टाइट बाइंडिंग: Difference between revisions
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ठोस | भौतिकी की ठोस अवस्था में, '''दृढ़-बाध्यकारी मॉडल''' (टीबी मॉडल/TB model) इलेक्ट्रॉनिक बंधन संरचना की गणना करने के लिए प्रयोग किया जाता है, यह तरंग संबंधित कार्यों के अनुमानित समूहों का उपयोग करता है। यह पृथक परमाणुओं के लिए तरंग फलनों के अध्यारोपण पर आधारित होने के साथ-साथ प्रत्येक परमाण्विक कक्षों पर स्थित होता है। विधि रसायन विज्ञान में प्रयुक्त होने वाली एलसीएओ विधि (LCAO) (परमाणु कक्षक विधि का रैखिक संयोजन) इससे निकटता से संबंधित है। दृढ़ बंधन मॉडल विभिन्न प्रकार के ठोस पदार्थों पर लागू होते हैं। यह मॉडल कई मामलों में अच्छे गुणात्मक परिणाम देता है और अन्य मॉडलों के साथ हम इसे जोड़ भी सकते हैं, यह स्थित तब देखने को मिलती है जब दृढ़ बंधन मॉडल विफल हो जाते हैं। चूँकि दृढ़ बंधन मॉडल एक [[इलेक्ट्रॉन]] मॉडल है इसलिए यह मॉडल अधिक उन्नत गणनाओं को करने के लिए एक आधार भी प्रदान करता है। जैसे- सतह की स्थिति की गणना करने में, किसी निकाय की समस्याओं को हल करने में और अर्ध-कण गणनाओं को करने में इसका उपयोग किया जाता है। | ||
== परिचय == | == परिचय == | ||
इस इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना मॉडल | इस इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना मॉडल का नाम "'''टाइट बाइंडिंग'''" है जो हमें यह बताता है कि [[क्वांटम यांत्रिकी|क्वांटम]] यांत्रिक मॉडल ठोस अवस्था में कसकर बंधे इलेक्ट्रॉनों के गुणों का वर्णन करता है। इस मॉडल में इलेक्ट्रॉनों को उस परमाणु से कसकर बांधना जरूरी होता है जिससे वे संबंधित होते हैं। परमाणु की ठोस अवस्था के आस-पास के परमाणुओं पर विभिन्न स्थितियों और क्षमताओं के साथ उनकी सीमित अंतःक्रिया होनी चाहिए। परिणामस्वरूप, [[इलेक्ट्रॉन]] का [[तरंग]] कार्य मुक्त परमाणु के परमाणु कक्षीय के समान होगा, जिससे वह संबंधित है। इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा भी मुक्त परमाणु या आयन में इलेक्ट्रॉन की आयनीकरण ऊर्जा के बहुत पास होगी क्योंकि पड़ोसी परमाणुओं पर क्षमता और विभिन्न स्थितियों के साथ अंतःक्रिया सीमित होती है। | ||
चूंकि एक-कण दृढ़ बंधन का गणितीय सूत्रीकरण<ref name="SlaterKoster"> | |||
{{cite journal | {{cite journal | ||
| author = J. C. Slater, G. F. Koster | year = 1954 | | author = J. C. Slater, G. F. Koster | year = 1954 | ||
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| volume=94| issue=6 | pages = 1498–1524 | | volume=94| issue=6 | pages = 1498–1524 | ||
| doi= 10.1103/PhysRev.94.1498 | | doi= 10.1103/PhysRev.94.1498 | ||
|bibcode = 1954PhRv...94.1498S }}</ref> | |bibcode = 1954PhRv...94.1498S }}</ref> हैमिल्टनियन की पहली नज़र में जटिल लग सकता है, परन्तु मॉडल बिल्कुल भी जटिल नहीं है और इसे सहज रूप से काफी आसानी से समझा जा सकता है। इसमें केवल तीन प्रकार के [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (मैट्रिक्स)]] तत्व होते हैं जो सैद्धांतिक रूप से महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। इन तीन प्रकार के तत्वों में से दो को शून्य के समीप होना चाहिए और सामान्यतः इसे इस प्रकार उपेक्षित किया जा सकता है। मॉडल में सबसे महत्वपूर्ण तत्व अणु के बीच का आव्यूह तत्व हैं, जिसे केवल एक रसायन में बन्धन ऊर्जा कहा जाता हैं। | ||
सामान्य तौर पर मॉडल में | सामान्य तौर पर मॉडल में भाग लेने वाले परमाण्विक कक्षा के कई परमाणु ऊर्जा स्तर होते हैं। इस प्रकार इससे जटिल बैंड की संरचनाएं हो सकती हैं क्योंकि कक्षा विभिन्न बिंदु-समूह के अभ्यावेदन से संबंधित होती हैं। पारस्परिक जाली और '''ब्रिलॉइन क्षेत्र''' सामान्यतः ठोस क्रिस्टल की तुलना में एक अलग अंतरिक्ष समूह से संबंधित होते हैं। ब्रिलॉइन क्षेत्र में उच्च-समरूपता बिंदु विभिन्न बिंदु-समूह अभ्यावेदन से संबंधित होते हैं। जब तत्वों या सरल यौगिकों की जाली जैसी सरल प्रणालियों का अध्ययन किया जाता है तब विश्लेषणात्मक रूप से उच्च-समरूपता बिंदुओं में आइजन स्थिति की गणना करने में सामान्यतः कठिनाई नहीं होती है। इसलिए दृढ़ बंधन मॉडल उन लोगों के लिए अच्छे उदाहरण प्रदान कर सकता है जो समूह सिद्धांत के बारे में अधिक जानना चाहते हैं। | ||
दृढ़ बंधन मॉडल का एक लंबा इतिहास रहा है और इसे कई तरीकों से कई अलग-अलग उद्देश्यों के लिए और विभिन्न परिणामों के साथ लागू किया जाचा है। मॉडल अपने आप खड़ा नहीं होता है। मॉडल के कुछ हिस्सों को अन्य प्रकार की गणनाओं और मॉडलों द्वारा बनाया या बढ़ाया जा सकता है। इस प्रकार लगभग मुक्त [[इलेक्ट्रॉन]] मॉडल की तरह ही इसके कुछ भाग, अन्य गणनाओं के आधार के रूप में काम कर सकते हैं।<ref name="Harrison"> | |||
{{cite book |author=Walter Ashley Harrison |title=Electronic Structure and the Properties of Solids |year= 1989 | {{cite book |author=Walter Ashley Harrison |title=Electronic Structure and the Properties of Solids |year= 1989 | ||
|publisher=Dover Publications |url=https://books.google.com/books?id=R2VqQgAACAAJ |isbn=0-486-66021-4 }} | |publisher=Dover Publications |url=https://books.google.com/books?id=R2VqQgAACAAJ |isbn=0-486-66021-4 }} | ||
</ref> प्रवाहकीय पॉलिमर | </ref> प्रवाहकीय पॉलिमर, [[कार्बनिक अर्धचालक]] और [[आण्विक इलेक्ट्रॉनिक्स]] के अध्ययन में, उदाहरण के लिए, दृढ़ बंधन-जैसे मॉडल लागू होते हैं जिसमें मूल अवधारणा में परमाणुओं की भूमिका को संयुग्मित प्रणालियों के आण्विक कक्ष द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रकार जहाँ अंतर-परमाणु आव्यूह तत्वों को अंतर- या अंतरणु होपिंग और सुरंगन मापदंडों द्वारा प्रतिस्थापित करने में सहयोगी होता है। इन सुचालकों में लगभग सभी में बहुत विषमदैशिक गुण होते हैं और कभी-कभी लगभग पूरी तरह से ये एक-आयामी होते हैं। | ||
== ऐतिहासिक पृष्ठभूमि == | == ऐतिहासिक पृष्ठभूमि == | ||
1928 | 1928 ईं. में, आण्विक कक्षा के विचार को रॉबर्ट मुल्लिकेन द्वारा उन्नत किया गया था, जो फ्रेडरिक हुंड के कार्य से काफी प्रभावित थे। आण्विक कक्षा के सन्निकटन के लिए एलसीएओ (LCAO) विधि 1928 में बी. एन. फिंकलेस्टेइन और जी. ई. होरोविट्ज द्वारा पेश की गई थी, लेकिन ठोस पदार्थों के लिए एलसीएओ पद्धति फेलिक्स बलोच द्वारा विकसित की गई थी। 1928 में अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध के हिस्से के रूप में, जो समवर्ती रूप से एलसीएओ-एमओ (LCAO-MO) दृष्टिकोण के साथ और स्वतंत्र है, इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना का अनुमान लगाने के लिए एक बहुत ही सरल प्रक्षेप योजना है। जो विशेष रूप से संक्रमण धातुओं के डी-बैंड के लिए, जॉन क्लार्क स्लेटर और जॉर्ज फ्रेड कोस्टर द्वारा 1954 ईं. में परिकल्पित पैरामीटरयुक्त दृढ़ बंधन मॉडल विधि है,<ref name=SlaterKoster /> इसे एसके दृढ़ बंधन विधि के रूप से भी जाना जाता है। एस.के. दृढ़ बंधन विधि के साथ, एक ठोस अवस्था की आवश्यकता होने पर इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की गणना मूल बलोच के प्रमेय की तरह पूरी कठोरता के साथ नहीं की जाती है। लेकिन, पहले-सिद्धांतों की गणना केवल उच्च-समरूपता बिंदुओं पर की जाती है और बैंड संरचना इन बिंदुओं के बीच शेष ब्रिलौइन क्षेत्र में प्रक्षेपित होती है। | ||
इस दृष्टिकोण में, विभिन्न परमाणु | इस दृष्टिकोण में, विभिन्न परमाणु कक्षाओं के बीच अंतःक्रिया की त्रुटियों को माना जाता है। कई प्रकार के पारस्परिक क्रिया सम्मलित होते हैं जिन पर हमें विचार करना चाहिए। क्रिस्टल हैमिल्टनियन केवल विभिन्न कक्षाओं पर स्थित परमाणु हैमिल्टन का योग करते हैं और परमाणु तरंग फलन क्रिस्टल में आसन्न परमाण्विक कक्षाओं का अधिव्यापन करते हैं, और इसलिए बिल्कुल सही तरंग फलन का सही प्रतिनिधित्व नहीं होता है। इसलिए कुछ गणितीय व्यंजकों के साथ अगले भाग में और स्पष्टीकरण दिए गए हैं। | ||
दृढ़ता से सहसंबद्ध सामग्री के बारे में | हाल के शोध में दृढ़ता से सहसंबद्ध सामग्री के बारे में दृढ़ बंधन दृष्टिकोण मूल सन्निकटन है क्योंकि अत्यधिक स्थानीयकृत इलेक्ट्रॉन जैसे 3-D संक्रमण धातु इलेक्ट्रॉन कभी-कभी दृढ़ता से सहसंबद्ध व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। इस मामले में, भौतिकी विवरण का उपयोग करके इलेक्ट्रॉन का इलेक्ट्रॉन संपर्क करने की भूमिका पर विचार किया जाना चाहिए। | ||
दृढ़ बंधन मॉडल का उपयोग आमतौर पर इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की गणना के लिए और स्थिर शासन में बैंड अंतराल के लिए भी किया जाता है। चूंकि, अन्य तरीकों के संयोजन में जैसे कि यादृच्छिक चरण सन्निकटन (आरपीए) मॉडल में सिस्टम की गतिशील प्रतिक्रिया का भी अध्ययन किया जा सकता है। | |||
== गणितीय सूत्रीकरण == | == गणितीय सूत्रीकरण == | ||
हम | हम परमाण्विक कक्षा का परिचय देते हैं <math>\varphi_m( \mathbf{r} )</math>, जो एक पृथक परमाणु के हैमिल्टनियन <math>H_{\rm at}</math> के आइजन फलन हैं। जब परमाणु को क्रिस्टल में रखा जाता है, तो यह परमाणु तरंग कार्य आसन्न परमाणु स्थलों को अधिव्यापन करता है, और इसलिए यह क्रिस्टल हैमिल्टनियन के सच्चे प्रतिजन कार्य के लिए उपयोगी नहीं हैं। जब इलेक्ट्रॉन आपस में कसकर बंधे होते हैं तो अधिव्यापन कम होता है, और यह वर्णनकर्ता "दृढ़ बंधन" का स्रोत है। सिस्टम के वास्तविक हैमिल्टनियन <math>H</math> को प्राप्त करने के लिए आवश्यक परमाणु क्षमता <math>\Delta U</math> में कोई भी सुधार, छोटा माना जाता है: | ||
:<math>H (\mathbf{r}) = H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r}) + \sum_{\mathbf{R_n} \neq \mathbf{0}} V(\mathbf{r} - \mathbf{R_n}) = H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r}) + \Delta U (\mathbf{r}) \ , </math> | :<math>H (\mathbf{r}) = H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r}) + \sum_{\mathbf{R_n} \neq \mathbf{0}} V(\mathbf{r} - \mathbf{R_n}) = H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r}) + \Delta U (\mathbf{r}) \ , </math> | ||
यहाँ पर <math>V(\mathbf{r} - \mathbf{R_n})</math> साइट पर स्थित एक परमाणु की परमाणु क्षमता को <math>\mathbf{R}_n</math> द्वारा दर्शाया गया है, क्रिस्टल जाली में एक समाधान <math>\psi_m</math> समय-स्वतंत्र एकल इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण को परमाणु कक्षा के एक [[रैखिक संयोजन]] <math>\varphi_m(\mathbf{r- R_n})</math> के रूप में अनुमानित किया गया है : | |||
:<math>\psi_m(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{R_n}} b_m (\mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n})</math>, | :<math>\psi_m(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{R_n}} b_m (\mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n})</math>, | ||
यहाँ पर <math>m</math> टी परमाणु ऊर्जा स्तर को संदर्भित करता है। | |||
=== | === अनुवादकीय समरूपता और सामान्यीकरण === | ||
बलोच प्रमेय | [[बलोच प्रमेय]] के अनुसार एक क्रिस्टल में तरंग फलन केवल एक चरण कारक द्वारा अनुवाद के तहत बदल सकता है: | ||
:<math>\psi(\mathbf{r+R_{\ell}}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}\psi(\mathbf{r}) \ , </math> | :<math>\psi(\mathbf{r+R_{\ell}}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}\psi(\mathbf{r}) \ , </math> | ||
यहाँ पर <math>\mathbf{k}</math> [[तरंग]] फलन का वेव [[सदिश|सदिश (वेक्टर)]] है। परिणामस्वरूप, गुणांक संतुष्ट करते हैं | |||
:<math>\sum_{\mathbf{R_n}} b_m (\mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n+R_{\ell}})=e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}\sum_{\mathbf{R_n}} b_m ( \mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n})\ .</math> | :<math>\sum_{\mathbf{R_n}} b_m (\mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n+R_{\ell}})=e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}\sum_{\mathbf{R_n}} b_m ( \mathbf{R_n}) \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n})\ .</math> | ||
:<math>\mathbf{R_p}= \mathbf{R_n} - \mathbf{R_\ell}</math> द्वारा प्रतिस्थापित करने पर, हम देखतें है कि | |||
:<math>b_m (\mathbf{R_p+R_{\ell}}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}b_m ( \mathbf{R_p}) \ , </math> (जहां | :<math>b_m (\mathbf{R_p+R_{\ell}}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{\ell}}}b_m ( \mathbf{R_p}) \ , </math> (जहां आर.एच.एस. में हमने डमी इंडेक्स को <math>\mathbf{R_n}</math>तथा <math>\mathbf{R_p} </math> से बदल दिया है ) | ||
या | या | ||
:<math> b_m (\mathbf{R_l}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{l}}} b_m (\mathbf{0}) \ . </math> | :<math> b_m (\mathbf{R_l}) = e^{i\mathbf{k \cdot R_{l}}} b_m (\mathbf{0}) \ . </math> | ||
एकीकृत तरंग फलन को सामान्य करने के लिए: | |||
:<math> \int d^3 r \ \psi_m^* (\mathbf{r}) \psi_m (\mathbf{r}) = 1 </math> | :<math> \int d^3 r \ \psi_m^* (\mathbf{r}) \psi_m (\mathbf{r}) = 1 </math> | ||
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:::<math>=N b_m^*(0)b_m(0)\sum_{\mathbf{R_p}} e^{-i \mathbf{k \cdot R_p}}\ \int d^3 r \ \varphi_m^* (\mathbf{r-R_p}) \varphi_m (\mathbf{r})\ </math> | :::<math>=N b_m^*(0)b_m(0)\sum_{\mathbf{R_p}} e^{-i \mathbf{k \cdot R_p}}\ \int d^3 r \ \varphi_m^* (\mathbf{r-R_p}) \varphi_m (\mathbf{r})\ </math> | ||
:::<math>=N b_m^*(0)b_m(0)\sum_{\mathbf{R_p}} e^{i \mathbf{k \cdot R_p}}\ \int d^3 r \ \varphi_m^* (\mathbf{r}) \varphi_m (\mathbf{r-R_p})\ ,</math> | :::<math>=N b_m^*(0)b_m(0)\sum_{\mathbf{R_p}} e^{i \mathbf{k \cdot R_p}}\ \int d^3 r \ \varphi_m^* (\mathbf{r}) \varphi_m (\mathbf{r-R_p})\ ,</math> | ||
तो | तो इस प्रकार <math>b_m(0)</math> सामान्यीकरण करने पर यह मान सेट करता है जैसे- | ||
:<math> b_m^*(0)b_m(0) = \frac {1} {N}\ \cdot \ \frac {1}{1 + \sum_{\mathbf{R_p \neq 0}} e^{i \mathbf{k \cdot R_p}} \alpha_m (\mathbf{R_p})} \ , </math> | :<math> b_m^*(0)b_m(0) = \frac {1} {N}\ \cdot \ \frac {1}{1 + \sum_{\mathbf{R_p \neq 0}} e^{i \mathbf{k \cdot R_p}} \alpha_m (\mathbf{R_p})} \ , </math> | ||
जहां α<sub>m</sub>( | जहां α<sub>m</sub>(<math>\mathbf{R_p} </math> ) परमाणु अधिव्यापन समाकलित हैं, जो अक्सर उपेक्षित होते हैं इसके परिणामस्वरूप<ref name="Lowdin">As an alternative to neglecting overlap, one may choose as a basis instead of atomic orbitals a set of orbitals based upon atomic orbitals but arranged to be orthogonal to orbitals on other atomic sites, the so-called [[Löwdin orbitals]]. See {{cite book |title=Fundamentals of Semiconductors |author=PY Yu & M Cardona |chapter-url=https://books.google.com/books?id=W9pdJZoAeyEC&pg=PA87 |page=87 |chapter=Tight-binding or LCAO approach to the band structure of semiconductors |isbn=3-540-25470-6 |edition=3 |year=2005 |publisher=Springrer}}</ref> | ||
:<math> b_m (0) \approx \frac {1} {\sqrt{N}} \ , </math> | :<math> b_m (0) \approx \frac {1} {\sqrt{N}} \ , </math> | ||
तथा | तथा | ||
::<math>\psi_m (\mathbf{r}) \approx \frac {1} {\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{R_n}} e^{i \mathbf{k \cdot R_n}} \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n}) \ .</math> | ::<math>\psi_m (\mathbf{r}) \approx \frac {1} {\sqrt{N}} \sum_{\mathbf{R_n}} e^{i \mathbf{k \cdot R_n}} \ \varphi_m (\mathbf{r-R_n}) \ .</math> | ||
=== दृढ़ बंधन हैमिल्टनियन === | |||
तरंग फलन के लिए दृढ़ बंधन रूप का उपयोग किया जाता है, और केवल M-TH परमाणु ऊर्जा स्तर मान लेना M-T ऊर्जा बैंड, बलोच ऊर्जा के लिए महत्वपूर्ण है <math>\varepsilon_m</math> रूप के हैं तो इस प्रकार | |||
=== | |||
तरंग | |||
:<math> \varepsilon_m = \int d^3 r \ \psi^*_m (\mathbf{r})H(\mathbf{r}) \psi (\mathbf{r}) </math> | :<math> \varepsilon_m = \int d^3 r \ \psi^*_m (\mathbf{r})H(\mathbf{r}) \psi (\mathbf{r}) </math> | ||
| Line 80: | Line 77: | ||
::<math>=\sum_{\mathbf{R_{\ell}}} \ \sum_{\mathbf{R_n}} b^* (\mathbf{R_n})\ \int d^3 r \ \varphi^* (\mathbf{r-R_n})H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r-R_{\ell}}) \psi (\mathbf{r}) \ + \sum_{\mathbf{R_n}} b^*( \mathbf{R_n})\ \int d^3 r \ \varphi^* (\mathbf{r-R_n})\Delta U (\mathbf{r}) \psi (\mathbf{r}) \ .</math> | ::<math>=\sum_{\mathbf{R_{\ell}}} \ \sum_{\mathbf{R_n}} b^* (\mathbf{R_n})\ \int d^3 r \ \varphi^* (\mathbf{r-R_n})H_{\mathrm{at}}(\mathbf{r-R_{\ell}}) \psi (\mathbf{r}) \ + \sum_{\mathbf{R_n}} b^*( \mathbf{R_n})\ \int d^3 r \ \varphi^* (\mathbf{r-R_n})\Delta U (\mathbf{r}) \psi (\mathbf{r}) \ .</math> | ||
::<math>\approx E_m + b^*(0)\sum_{\mathbf{R_n}} e^{-i \mathbf{k \cdot R_n}}\ \int d^3 r \ \varphi^* (\mathbf{r-R_n})\Delta U (\mathbf{r}) \psi (\mathbf{r}) \ .</math> | ::<math>\approx E_m + b^*(0)\sum_{\mathbf{R_n}} e^{-i \mathbf{k \cdot R_n}}\ \int d^3 r \ \varphi^* (\mathbf{r-R_n})\Delta U (\mathbf{r}) \psi (\mathbf{r}) \ .</math> | ||
यहाँ पर परमाणु हैमिल्टन को शामिल करने वाली शर्तों के अलावा अन्य स्थानों पर जहां यह केंद्रित है, | यहाँ पर परमाणु हैमिल्टन को शामिल करने वाली शर्तों के अलावा अन्य स्थानों पर जहां यह केंद्रित है, उसकी उपेक्षा की जाती है। ऊर्जा तो बन जाती है इसलिए | ||
:<math>\varepsilon_m(\mathbf{k}) = E_m - N\ |b (0)|^2 \left(\beta_m + \sum_{\mathbf{R_n}\neq 0}\sum_l \gamma_{m,l}(\mathbf{R_n}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{R_n}}\right) \ ,</math> | :<math>\varepsilon_m(\mathbf{k}) = E_m - N\ |b (0)|^2 \left(\beta_m + \sum_{\mathbf{R_n}\neq 0}\sum_l \gamma_{m,l}(\mathbf{R_n}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{R_n}}\right) \ ,</math> | ||
:::<math>= E_m - \ \frac {\beta_m + \sum_{\mathbf{R_n}\neq 0}\sum_l e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{R_n}} \gamma_{m,l}(\mathbf{R_n})}{\ \ 1 + \sum_{\mathbf{R_n \neq 0}}\sum_l e^{i \mathbf{k \cdot R_n}} \alpha_{m,l} (\mathbf{R_n})} \ , </math> | :::<math>= E_m - \ \frac {\beta_m + \sum_{\mathbf{R_n}\neq 0}\sum_l e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{R_n}} \gamma_{m,l}(\mathbf{R_n})}{\ \ 1 + \sum_{\mathbf{R_n \neq 0}}\sum_l e^{i \mathbf{k \cdot R_n}} \alpha_{m,l} (\mathbf{R_n})} \ , </math> | ||
जहां | जहां <math>\varepsilon_m</math> m-वें परमाणु स्तर की ऊर्जा है, और <math>\alpha_{m,l}</math>, <math>\beta_m</math> तथा <math>\gamma_{m,l}</math> '''दृढ़ बंधन आव्यूह''' तत्व है जिसकी नीचे चर्चा की गई हैं। | ||
=== दृढ़ बंधन आव्यूह के तत्व === | |||
अवयव<math display=block>\beta_m = -\int{ \varphi_m^*(\mathbf{r}) \Delta U(\mathbf{r}) \varphi_m(\mathbf{r}) \,d^3r} \text{,}</math>पड़ोसी परमाणुओं पर क्षमता के कारण परमाणु ऊर्जा में बदलाव होता हैं। यह शब्द ज्यादातर मामलों में अपेक्षाकृत छोटा है। पर यदि इसकी अधिकता पाई जाती है तो इसका मतलब होता है कि पड़ोसी परमाणुओं पर क्षमता केंद्रीय परमाणु की ऊर्जा पर एक बड़ा प्रभाव पड़ा है। | |||
शर्तों का अगला वर्ग<math display="block">\gamma_{m,l}(\mathbf{R_n}) = -\int{ \varphi_m^*(\mathbf{r}) \Delta U(\mathbf{r}) \varphi_l(\mathbf{r} - \mathbf{R_n}) \,d^3r} \text{,}</math>अंतरपरमाण्विक आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्वों की तालिका कुछ इस प्रकार है। इसे बंधन ऊर्जा या दो केंद्रीय एकीकरण भी कहा जाता है और यह दृढ़ बंधन मॉडल में प्रमुख शब्द है। | |||