टॉर्क: Difference between revisions

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{{Classical mechanics|cTopic=Fundamental concepts}}
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[[ भौतिकी |भौतिकी]] और [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में, टॉर्क रैखिक [[ बल |बल]] के घूर्णी समकक्ष है।<ref>सेरवे, आर.ए. और ज्वेट, जूनियर जे.डब्ल्यू. (2003)। ''वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी''। 6 वां एड। ब्रूक्स कोल। {{ISBN|0-534-40842-7}}</ref> इसे अध्ययन के क्षेत्र के आधार पर क्षण,बल का क्षण,घूर्णन बल या मोड़ प्रअभिव्यक्ति के रूप में भी जाना जाता है। यह बॉडी की घूर्णी गति में परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए बल की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है। अवधारणा की उत्पत्ति [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]] द्वारा [[ लीवर |लीवर]] एस के उपयोग के अध्ययन के साथ हुई। जिस तरह रैखिक बल धक्का या खिंचाव है, उसी तरह टॉर्क को विशिष्ट अक्ष के चारों ओर वस्तु के लिए मोड़ के रूप में माना जा सकता है। टॉर्क को बल के परिमाण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है और [[ लाइन ऑफ एक्शन |लाइन ऑफ एक्शन]] की लंबवत दूरी को [[ रोटेशन से एक निश्चित अक्ष |रोटेशन]] अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है। टॉर्क के लिए <math>\boldsymbol\tau</math> प्रतीक सामान्यतः है, लोअरकेस [[ ग्रीक वर्णमाला |ग्रीक अक्षर]] [[ ताऊ |ताऊ]]। जब [[ पल (भौतिकी) |पल]] बल के रूप में संदर्भित किया जाता है,तो इसे सामान्यतः {{mvar|M}} द्वारा दर्शाया जाता है।
[[ भौतिकी |भौतिकी]] और [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में, टॉर्क रैखिक [[ बल |बल]] के घूर्णी समकक्ष है।<ref>सेरवे, आर.ए. और ज्वेट, जूनियर जे.डब्ल्यू. (2003)। ''वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी''। 6 वां एड। ब्रूक्स कोल। {{ISBN|0-534-40842-7}}</ref> इसे अध्ययन के क्षेत्र के आधार पर क्षण,बल का क्षण,घूर्णन बल या मोड़ प्रअभिव्यक्ति के रूप में भी जाना जाता है। यह बॉडी की घूर्णी गति में परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए बल की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है। अवधारणा की उत्पत्ति [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]] द्वारा [[ लीवर |लीवर]] एस के उपयोग के अध्ययन के साथ हुई। जिस तरह रैखिक बल धक्का या खिंचाव है, उसी तरह टॉर्क को विशिष्ट अक्ष के चारों ओर वस्तु के लिए मोड़ के रूप में माना जा सकता है। टॉर्क को बल के परिमाण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है और [[ लाइन ऑफ एक्शन |लाइन ऑफ एक्शन]] की लंबवत दूरी का [[ रोटेशन से एक निश्चित अक्ष |घूर्णन]] अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है। टॉर्क के लिए <math>\boldsymbol\tau</math> प्रतीक सामान्यतः है, लोअरकेस [[ ग्रीक वर्णमाला |ग्रीक अक्षर]] [[ ताऊ |ताऊ]]। जब [[ पल (भौतिकी) |पल]] बल के रूप में संदर्भित किया जाता है,तो इसे सामान्यतः {{mvar|M}} द्वारा दर्शाया जाता है।


तीन आयामों में, टॉर्क [[ स्यूडोवेक्टर |स्यूडोसदिश]] है; [[ बिंदु कण |बिंदु कण]] के लिए, यह स्थिति सदिश के [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] ([[ यूक्लिडियन वेक्टर |दूरी सदिश]]) और बल सदिश द्वारा दिया गया है। [[ कठोर शरीर |कठोर बॉडी]] के बल आघूर्ण का परिमाण तीन मात्राओं पर निर्भर करता है: प्रयुक्त बल, लीवर आर्म सदिश<ref>{{cite book|author=Tipler, Paul|title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.)|publisher=W. H. Freeman|year=2004|isbn=0-7167-0809-4}}</ref> उस बिंदु को जोड़ना जिसके बारे में बल के अनुप्रयोग के बिंदु पर टॉर्क को मापा जा रहा है, और बल और लीवर आर्म सदिश के बीच का कोण। प्रतीकों में:
तीन आयामों में, टॉर्क [[ स्यूडोवेक्टर |स्यूडोसदिश]] है; [[ बिंदु कण |बिंदु कण]] के लिए, यह स्थिति सदिश के [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] ([[ यूक्लिडियन वेक्टर |दूरी सदिश]]) और बल सदिश द्वारा दिया गया है। [[ कठोर शरीर |कठोर बॉडी]] के बल आघूर्ण का परिमाण तीन मात्राओं पर निर्भर करता है: प्रयुक्त बल, लीवर आर्म सदिश<ref>{{cite book|author=Tipler, Paul|title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.)|publisher=W. H. Freeman|year=2004|isbn=0-7167-0809-4}}</ref> उस बिंदु को जोड़ना जिसके बारे में बल के अनुप्रयोग के बिंदु पर टॉर्क को मापा जा रहा है, और बल और लीवर आर्म सदिश के बीच का कोण। प्रतीकों में:
:<math qid="Q104177819">\boldsymbol \tau = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!</math><math>\tau = \|\mathbf{r}\|\,\|\mathbf{F}\|\sin \theta\,\!</math>
:<math qid="Q104177819">\boldsymbol \tau = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!</math><math>\tau = \|\mathbf{r}\|\,\|\mathbf{F}\|\sin \theta\,\!</math>
जहाँ पर, <math>\boldsymbol\tau</math> टॉर्क सदिश है और <math>\tau</math> टॉर्क का परिमाण है, <math> \mathbf{r} </math> स्थिति सदिश है (उस बिंदु से सदिश जिसके बारे में टॉर्क को उस बिंदु तक मापा जा रहा है जहां बल लगाया जाता है), <math> \mathbf{F} </math> बल सदिश है, <math> \times </math> [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] को दर्शाता है, जो सदिश उत्पन्न करता है जो दोनों {{mvar|r}} और {{mvar|F}} के लिए [[ दाहिने हाथ के नियम |दाहिने हाथ के नियम]] का पालन करते हुए [[ लंबवत |लंबवत]] है, <math> \theta</math> बल सदिश और लीवर आर्म सदिश के बीच का कोण है।
जहाँ पर, <math>\boldsymbol\tau</math> टॉर्क सदिश है और <math>\tau</math> टॉर्क का परिमाण है, <math> \mathbf{r} </math> स्थिति सदिश है (उस बिंदु से सदिश जिसके बारे में टॉर्क को उस बिंदु तक मापा जा रहा है जहां बल लगाया जाता है), <math> \mathbf{F} </math> बल सदिश है, <math> \times </math> [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] को दर्शाता है, जो सदिश उत्पन्न करता है जो दोनों {{mvar|r}} और {{mvar|F}} के लिए [[ दाहिने हाथ के नियम |दाहिने हाथ के नियम]] का पालन करते हुए [[ लंबवत |लंबवत]] है, <math> \theta</math> बल सदिश और लीवर आर्म सदिश के बीच का कोण है।


टॉर्क के लिए [[ एसआई यूनिट |एसआई इकाई]] [[ न्यूटन-मीटर |न्यूटन-मीटर]] (N⋅m) है। टॉर्क की इकाइयों के बारे में अधिक जानकारी के लिए देखें {{slink||इकाई}}.
टॉर्क के लिए [[ एसआई यूनिट |एसआई इकाई]] [[ न्यूटन-मीटर |न्यूटन-मीटर]] (N⋅m) है। टॉर्क की इकाइयों के बारे में अधिक जानकारी के लिए देखें {{slink||इकाई}}.
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== परिभाषा और कोणीय गति से संबंध ==
== परिभाषा और कोणीय गति से संबंध ==
[[File:Torque, position, and force.svg|thumb|right|कण अपने घूर्णन अक्ष के सापेक्ष '''r''' स्थिति में स्थित होता है। जब बल '''F''' कण पर लगाया जाता है, तो केवल लंबवत घटक '''F'''<sub>⊥</sub> टॉर्क उत्पन्न करता है। यह टॉर्क {{math|1='''τ''' = '''r''' × '''F'''}} परिमाण है {{math|1=''τ'' = <nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>|&thinsp;|</nowiki>'''F'''<sub>⊥</sub><nowiki>|</nowiki> = <nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>|&thinsp;|</nowiki>'''F'''<nowiki>|</nowiki> sin ''θ''}} और पृष्ठ से बाहर की ओर निर्देशित है। ]][[ लीवर |लीवर के फुलक्रम]] ([[ लीवर आर्म |लीवर आर्म]] की लंबाई) से इसकी दूरी से गुणा करके लीवर पर लंबवत रूप से लगाया गया बल इसका टॉर्क है। तीन [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन]] के बल ने फुलक्रम से दो [[ मीटर |मीटर]] सेकेंड लगाए, उदाहरण के लिए, न्यूटन के बल के रूप में एक ही टॉर्क को फुलक्रम से छह मीटर की दूरी पर लगाया जाता है। टॉर्क की दिशा [[ राइट हैंड ग्रिप नियम |राइट हैंड ग्रिप नियम]] का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है: यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को लीवर आर्म की दिशा से बल की दिशा में घुमाया जाता है, तो अंगूठा किस दिशा में इंगित करता है टॉर्कः<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tord.html|title=Right Hand Rule for Torque|access-date=2007-09-08}}</ref>
[[File:Torque, position, and force.svg|thumb|right|कण अपने घूर्णन अक्ष के सापेक्ष '''r''' स्थिति में स्थित होता है। जब बल '''F''' कण पर लगाया जाता है, तो केवल लंबवत घटक '''F'''<sub>⊥</sub> टॉर्क उत्पन्न करता है। यह टॉर्क {{math|1='''τ''' = '''r''' × '''F'''}} परिमाण है {{math|1=''τ'' = |'''r'''<nowiki>|&thinsp;|'''F'''<sub>⊥</sub>| '''r'''|&thinsp;|'''F'''|sin ''θ''}} और पृष्ठ से बाहर की ओर निर्देशित है। ]][[ लीवर |लीवर के फुलक्रम]] ([[ लीवर आर्म |लीवर आर्म]] की लंबाई) से इसकी दूरी से गुणा करके लीवर पर लंबवत रूप से लगाया गया बल इसका टॉर्क है। तीन [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन]] के बल ने फुलक्रम से दो [[ मीटर |मीटर]] सेकेंड लगाए, उदाहरण के लिए, न्यूटन के बल के रूप में एक ही टॉर्क को फुलक्रम से छह मीटर की दूरी पर लगाया जाता है। टॉर्क की दिशा [[ राइट हैंड ग्रिप नियम |राइट हैंड ग्रिप नियम]] का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है: यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को लीवर आर्म की दिशा से बल की दिशा में घुमाया जाता है, तो अंगूठा किस दिशा में इंगित करता है टॉर्क<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tord.html|title=Right Hand Rule for Torque|access-date=2007-09-08}}</ref>


सामान्यतः, एक बिंदु कण पर टॉर्क (जिसकी स्थिति '''r''' कुछ संदर्भ फ्रेम में होती है) को [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] <math>\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
सामान्यतः, एक बिंदु कण पर टॉर्क (जिसकी स्थिति '''r''' कुछ संदर्भ फ्रेम में होती है) को [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] <math>\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
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जहां ''F'' प्रयुक्त बल का परिमाण है, और ''θ'' स्थिति और बल सदिशों के बीच का कोण है। वैकल्पिक रूप से, <math>\tau = rF_{\perp},</math>
जहां ''F'' प्रयुक्त बल का परिमाण है, और ''θ'' स्थिति और बल सदिशों के बीच का कोण है। वैकल्पिक रूप से, <math>\tau = rF_{\perp},</math>


जहाँ ''F''<sub>⊥</sub> कण की स्थिति के लिए लंबवत निर्देशित बल की मात्रा है। कण की स्थिति सदिश के समानांतर निर्देशित कोई भी बल टॉर्क उत्पन्न नहीं करता है<ref name="halliday_184-85{{cite book| last1=Halliday| first1=David|last2=Resnick|first2=Robert|title=Fundamentals of Physics|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|year=1970|pages=184–85}}</ref"></ref><ref>{{Cite book|title=College Physics: A Strategic Approach|last1=Knight|first1=Randall|last2=Jones|first2=Brian| last3=Field|first3=Stuart| publisher=Pearson|others=Jones, Brian, 1960-, Field, Stuart, 1958-|year=2016|isbn=9780134143323| edition=Third edition, technology update|location=Boston|pages=199|oclc=922464227}}</ref>
जहाँ ''F''<sub>⊥</sub> कण की स्थिति के लिए लंबवत निर्देशित बल की मात्रा है। कण की स्थिति सदिश के समानांतर निर्देशित कोई भी बल टॉर्क उत्पन्न नहीं करता है<ref name="halliday_184-85">{{cite book| last1=Halliday| first1=David|last2=Resnick|first2=Robert|title=Fundamentals of Physics|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|year=1970|pages=184–85}}</ref><ref>{{Cite book|title=College Physics: A Strategic Approach|last1=Knight|first1=Randall|last2=Jones|first2=Brian| last3=Field|first3=Stuart| publisher=Pearson|others=Jones, Brian, 1960-, Field, Stuart, 1958-|year=2016|isbn=9780134143323| edition=Third edition, technology update|location=Boston|pages=199|oclc=922464227}}</ref>


यह क्रॉस गुणांक के गुणों से इस प्रकार है कि टॉर्क सदिश स्थिति और बल दोनों सदिशों के लंबवत है। इसके विपरीत, टॉर्क सदिश उस विमान को परिभाषित करता है जिसमें स्थिति और बल सदिश झूठ बोलते हैं। परिणामी टॉर्क सदिश दिशा दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित होती है<ref name="halliday_184-85" />
यह क्रॉस गुणांक के गुणों से इस प्रकार है कि टॉर्क सदिश स्थिति और बल दोनों सदिशों के लंबवत है। इसके विपरीत, टॉर्क सदिश उस विमान को परिभाषित करता है जिसमें स्थिति और बल सदिश झूठ बोलते हैं। परिणामी टॉर्क सदिश दिशा दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित होती है<ref name="halliday_184-85" />
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<math>{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }</math>
<math>{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }</math>
'''<गणित प्रदर्शन = ब्लॉक>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}<nowiki></math></nowiki>'''


जहाँ '''p''' कण का [[ रैखिक संवेग |रैखिक संवेग]] है और '''r''' मूल बिन्दु से स्थिति सदिश है। इसका समय-व्युत्पन्न है:
जहाँ '''p''' कण का [[ रैखिक संवेग |रैखिक संवेग]] है और '''r''' मूल बिन्दु से स्थिति सदिश है। इसका समय-व्युत्पन्न है:
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<math>{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} }</math>
<math>{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} +\mathbf {v} \times \mathbf {p} }</math>
'''<nowiki><mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}</nowiki><nowiki></math></nowiki>''' '''(द्रव्यमान है या नहीं) स्थिर)'''  '''<nowiki><गणित प्रदर्शन = इनलाइन >\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{v}</nowiki><nowiki></math></nowiki>'''
'''<nowiki><गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ फ्रैक {\ गणित {डी} \ गणित {एल}} {\ गणित {डी} टी} = \ गणित {आर} \ गुना \ गणित एफ {एफ} + \ गणित {वी} \ बार \ गणितबीएफ {पी}। </गणित></nowiki>'''


संवेग <math>\mathbf{p}</math> का इसके संबंधित वेग <math>\mathbf{v}</math> के साथ क्रॉस उत्पाद शून्य है क्योंकि वेग और संवेग समानांतर हैं, इसलिए दूसरा शब्द लुप्त हो जाता है।
संवेग <math>\mathbf{p}</math> का इसके संबंधित वेग <math>\mathbf{v}</math> के साथ क्रॉस उत्पाद शून्य है क्योंकि वेग और संवेग समानांतर हैं, इसलिए दूसरा शब्द लुप्त हो जाता है।


परिभाषा के अनुसार, टॉर्क '''τ''' = '''r''' × '''F''' है। इसलिए, एक कण पर टॉर्क समय के संबंध में इसकी कोणीय गति के पहले व्युत्पन्न के बराबर है।
परिभाषा के अनुसार, टॉर्क '''τ''' = '''r''' × '''F''' है। इसलिए, एक कण पर टॉर्क समय के संबंध में इसकी कोणीय गति के पहले व्युत्पन्न के बराबर है।
[[ अवकलज#अवकलन के लिए अंकन | समय के संबंध में इसके कोणीय संवेग का प्रथम अवकलज]] ।


यदि कई बल लगाए जाते हैं, तो इसके अतिरिक्त न्यूटन का दूसरा नियम {{nowrap|1='''F'''<sub>net</sub> = ''m'''''a'''}} पढ़ा जाता है, और यह इस प्रकार है:
यदि कई बल लगाए जाते हैं, तो इसके अतिरिक्त न्यूटन का दूसरा नियम {{nowrap|1='''F'''<sub>net</sub> = ''m'''''a'''}} पढ़ा जाता है, और यह इस प्रकार है:
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उपरोक्त प्रमाण को प्रत्येक बिंदु कणों पर प्रयुक्त करके और फिर सभी बिंदु कणों को जोड़कर प्रमाण को बिंदु कणों की प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसी तरह, द्रव्यमान के अन्दर प्रत्येक बिंदु पर उपरोक्त प्रमाण को प्रयुक्त करके प्रमाण को निरंतर द्रव्यमान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और फिर [[ इंटीग्रल कैलकुस |पूरे द्रव्यमान पर]] को एकीकृत कर सकता है।
उपरोक्त प्रमाण को प्रत्येक बिंदु कणों पर प्रयुक्त करके और फिर सभी बिंदु कणों को जोड़कर प्रमाण को बिंदु कणों की प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसी तरह, द्रव्यमान के अन्दर प्रत्येक बिंदु पर उपरोक्त प्रमाण को प्रयुक्त करके प्रमाण को निरंतर द्रव्यमान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और फिर [[ इंटीग्रल कैलकुस |पूरे द्रव्यमान पर]] को एकीकृत कर सकता है।


== इकाइयां ==
== इकाइयां ==
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<math>{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{2}={\boldsymbol {\tau }}_{1}+(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\times \mathbf {F} }</math>
<math>{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{2}={\boldsymbol {\tau }}_{1}+(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\times \mathbf {F} }</math>
'''<गणित प्रदर्शन = ब्लॉक>\boldsymbol{\tau}_2 = \boldsymbol{\tau}_1 + (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \times \mathbf{F}<nowiki></math></nowiki>'''


== मशीन टॉर्क ==
== मशीन टॉर्क ==
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:<math qid=Q104145165> W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta,</math>
:<math qid=Q104145165> W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta,</math>
जहां ''τ'' टॉर्क है, और ''θ''<sub>1</sub> और ''θ''<sub>2</sub> प्रारंभिक और अंतिम [[ कोणीय स्थिति |कोणीय स्थिति]] s का प्रतिनिधित्व करते हैं (क्रमशः) बॉडी का<ref name="kleppner_267-68{{cite book|last1=Kleppner |first1=Daniel |last2=Kolenkow |first2=Robert|title=An Introduction to Mechanics |url=https://archive.org/details/introductiontome00dani |url-access=registration|publisher=McGraw-Hill |year=1973|pages=[https://archive.org/details/introductiontome00dani/page/267 267–68]|isbn=9780070350489 }}</ref>
जहां ''τ'' टॉर्क है, और ''θ''<sub>1</sub> और ''θ''<sub>2</sub> प्रारंभिक और अंतिम [[ कोणीय स्थिति |कोणीय स्थिति]] s (क्रमशः) बॉडी का प्रतिनिधित्व करते हैं<ref name="kleppner_267-68">{{cite book|last1=Kleppner |first1=Daniel |last2=Kolenkow |first2=Robert|title=An Introduction to Mechanics |url=https://archive.org/details/introductiontome00dani |url-access=registration|publisher=McGraw-Hill |year=1973|pages=[https://archive.org/details/introductiontome00dani/page/267 267–268]|isbn=9780070350489 }}</ref>




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<math>W = \int_{s_1}^{s_2} \boldsymbol{\tau} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}</math>
<math>W = \int_{s_1}^{s_2} \boldsymbol{\tau} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}</math>


चूंकि एकीकरण के पैरामीटर को रैखिक विस्थापन से कोणीय विस्थापन में बदल दिया गया है, इसलिए एकीकरण की सीमाएं भी तदनुसार बदलती हैं, जिससे  
चूंकि एकीकरण के पैरामीटर को रैखिक विस्थापन से कोणीय विस्थापन में परिवर्तित कर दिया गया है, इसलिए एकीकरण की सीमाएं भी तदनुसार बदलती हैं, जिससे  


<math>W = \int_{\theta _1}^{\theta _2} \boldsymbol{\tau} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}</math>
<math>W = \int_{\theta _1}^{\theta _2} \boldsymbol{\tau} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}</math>
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जहां ''I'' बॉडी की जड़ता का क्षण है और ''ω'' इसकी [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] है<ref name="kleppner_267-68" />
जहां ''I'' बॉडी की जड़ता का क्षण है और ''ω'' इसकी [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] है<ref name="kleppner_267-68" />
[[ शक्ति (भौतिकी) | शक्ति]] प्रति इकाई कार्य है [[ गुणा |गुणा]], द्वारा दिया गया है
:<math qid=Q104145185>P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega},</math>
:<math qid=Q104145185>P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega},</math>
जहाँ ''P'' शक्ति है, ''τ'' टॉर्क है, ''ω'' [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] है, और [[ अदिश उत्पाद |अदिश गुणांक]] का प्रतिनिधित्व करता है।
जहाँ ''P'' शक्ति है, ''τ'' टॉर्क है, ''ω'' [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] है, और [[ अदिश उत्पाद |अदिश गुणांक]] का प्रतिनिधित्व करता है।


बीजगणितीय रूप से, समीकरण को किसी दिए गए कोणीय गति और बिजली गुणांकन के लिए टॉर्क की गणना करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। ध्यान दें कि टॉर्क द्वारा इंजेक्ट की गई शक्ति केवल तात्कालिक कोणीय गति पर निर्भर करती है - इस पर नहीं कि टॉर्क प्रयुक्त होने के दौरान कोणीय गति बढ़ती है, घटती है, या स्थिर रहती है (यह रैखिक स्थिति के बराबर है जहां शक्ति बल द्वारा इंजेक्ट की जाती है केवल तात्कालिक गति पर निर्भर करता है - परिणामी त्वरण पर नहीं, यदि कोई हो)।
बीजगणितीय रूप से, समीकरण को किसी दिए गए कोणीय गति और विद्युत् गुणांकन के लिए टॉर्क की गणना करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। ध्यान दें कि टॉर्क द्वारा इंजेक्ट की गई शक्ति केवल तात्कालिक कोणीय गति पर निर्भर करती है - इस पर नहीं कि टॉर्क प्रयुक्त होने के समय कोणीय गति बढ़ती है, घटती है, या स्थिर रहती है (यह रैखिक स्थिति के बराबर है जहां शक्ति बल द्वारा इंजेक्ट की जाती है केवल तात्कालिक गति पर निर्भर करता है - परिणामी त्वरण पर नहीं, यदि कोई हो)।


व्यवहार में, यह संबंध को [[ साइकिल |साइकिल]] सेकेंड में देखा जा सकता है: साइकिलें सामान्यतः दो सड़क पहियों, आगे और पीछे के गियर ([[ स्प्रोकेट |स्प्रोकेट]] के रूप में संदर्भित) से बनी होती हैं, जो चेन से जुड़ी होती हैं, और एक [[ डिरेलियर के साथ जाली होती हैं। गियर्स |डिरेलियर मैकेनिज्म]] यदि साइकिल का ट्रांसमिशन प्रणाली कई गियर अनुपातों की अनुमति देता है प्रयुक्त (अर्थात् [[ सिंगल-स्पीड साइकिल#फायदे और नुकसान बनाम मल्टी-स्पीड साइकिल |मल्टी-स्पीड साइकिल]]), जो सभी [[ साइकिल फ्रेम से जुड़े हैं |फ्रेम]] से जुड़ी हुई हैं। [[ साइकिल चालक |साइकिल चालक]], जो व्यक्ति साइकिल की सवारी करता है, पैडल घुमाकर इनपुट शक्ति प्रदान करता है, जिससे सामने का [[ क्रैंक (तंत्र) |स्प्रोकेट]] क्रैंक होता है (सामान्यतः [[ क्रैंक के रूप में जाना जाता है)सेट # चेनिंग |चेनिंग]] कहा जाता है)। साइकिल चालक द्वारा प्रदान की गई इनपुट शक्ति [[ ताल (साइकिल चलाना) |ताल]] (अर्थात् प्रति मिनट पेडल रेवोलुशन की संख्या) के गुणांक के बराबर है और साइकिल के [[ क्रैंकसेट |क्रैंकसेट]] के [[ एक्सल |स्पिंडल]] पर टॉर्क है। साइकिल की [[ साइकिल ड्राइवट्रेन सिस्टम |ड्राइवट्रेन]] इनपुट विद्युत् को [[ व्हील |व्हील]] तक पहुंचाती है, जो बदले में साइकिल की आउटपुट विद्युत् के रूप में प्राप्त शक्ति को सड़क तक पहुंचाती है। साइकिल के [[ गियर अनुपात |गियर अनुपात]] के आधार पर, (टॉर्क, कोणीय गति)<sub>इनपुट</sub> जोड़ी को (टॉर्क, कोणीय गति)<sub>आउटपुट</sub> जोड़ी में बदल दिया जाता है। बड़े रियर गियर का उपयोग करके, या मल्टी-स्पीड साइकिल में निचले गियर पर स्विच करके, सड़क के पहियों की [[ कोणीय आवृत्ति |कोणीय गति]] कम हो जाती है, जबकि टॉर्क बढ़ जाता है, जिसका गुणांक (अर्थात् विद्युत्) नहीं बदलता है।
व्यवहार में, यह संबंध को [[ साइकिल |साइकिल]] सेकेंड में देखा जा सकता है: साइकिलें सामान्यतः दो सड़क पहियों, आगे और पीछे के गियर ([[ स्प्रोकेट |स्प्रोकेट]] के रूप में संदर्भित) से बनी होती हैं, जो चेन से जुड़ी होती हैं, और एक [[ डिरेलियर के साथ जाली होती हैं। गियर्स |डिरेलियर मैकेनिज्म]] यदि साइकिल का ट्रांसमिशन प्रणाली कई गियर अनुपातों की अनुमति देता है प्रयुक्त (अर्थात् [[ सिंगल-स्पीड साइकिल#फायदे और नुकसान बनाम मल्टी-स्पीड साइकिल |मल्टी-स्पीड साइकिल]]), जो सभी [[ साइकिल फ्रेम से जुड़े हैं |फ्रेम]] से जुड़ी हुई हैं। [[ साइकिल चालक |साइकिल चालक]], जो व्यक्ति साइकिल की सवारी करता है, पैडल घुमाकर इनपुट शक्ति प्रदान करता है, जिससे सामने का [[ क्रैंक (तंत्र) |स्प्रोकेट]] क्रैंक होता है (सामान्यतः [[ क्रैंक के रूप में जाना जाता है)सेट # चेनिंग |चेनिंग]] कहा जाता है)। साइकिल चालक द्वारा प्रदान की गई इनपुट शक्ति [[ ताल (साइकिल चलाना) |ताल]] (अर्थात् प्रति मिनट पेडल रेवोलुशन की संख्या) के गुणांक के बराबर है और साइकिल के [[ क्रैंकसेट |क्रैंकसेट]] के [[ एक्सल |स्पिंडल]] पर टॉर्क है। साइकिल की [[ साइकिल ड्राइवट्रेन सिस्टम |ड्राइवट्रेन]] इनपुट विद्युत् को [[ व्हील |व्हील]] तक पहुंचाती है, जो बदले में साइकिल की आउटपुट विद्युत् के रूप में प्राप्त शक्ति को सड़क तक पहुंचाती है। साइकिल के [[ गियर अनुपात |गियर अनुपात]] के आधार पर, (टॉर्क, कोणीय गति)<sub>इनपुट</sub> जोड़ी को (टॉर्क, कोणीय गति)<sub>आउटपुट</sub> जोड़ी में बदल दिया जाता है। बड़े रियर गियर का उपयोग करके, या मल्टी-स्पीड साइकिल में निचले गियर पर स्विच करके, सड़क के पहियों की [[ कोणीय आवृत्ति |कोणीय गति]] कम हो जाती है, जबकि टॉर्क बढ़ जाता है, जिसका गुणांक (अर्थात् विद्युत्) नहीं बदलता है।


संगत इकाइयों का उपयोग किया जाना चाहिए। मीट्रिक एसआई इकाइयों के लिए, शक्ति [[ वाट |वाट]] सेकेंड है, टॉर्क [[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] सेकेंड है और कोणीय गति [[ रेडियन |रेडियन]] सेकेंड प्रति सेकेंड है (आरपीएम नहीं और प्रति सेकेंड क्रांति नहीं)।
संगत इकाइयों का उपयोग किया जाना चाहिए। मीट्रिक एसआई इकाइयों के लिए, शक्ति [[ वाट |वाट]] सेकेंड है, टॉर्क [[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] सेकेंड है और कोणीय गति [[ रेडियन |रेडियन]] सेकेंड प्रति सेकेंड है (आरपीएम नहीं और प्रति सेकेंड क्रांति नहीं)।
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जहां घूर्णन गति प्रति मिनट (आरपीएम) रेवोलुशन में है।
जहां घूर्णन गति प्रति मिनट (आरपीएम) रेवोलुशन में है।


कुछ लोग (जैसे, अमेरिकी ऑटोमोटिव इंजीनियर) बिजली के लिए [[ हॉर्स पावर |हॉर्स विद्युत्]] (मैकेनिकल), टॉर्क के लिए फुट-पाउंड (lbf⋅ft) और घूर्णी गति के लिए आरपीएम का उपयोग करते हैं। इसके परिणामस्वरूप सूत्र में परिवर्तन होता है:
कुछ लोग (जैसे, अमेरिकी ऑटोमोटिव इंजीनियर) विद्युत् के लिए [[ हॉर्स पावर |हॉर्स विद्युत्]] (मैकेनिकल), टॉर्क के लिए फुट-पाउंड (lbf⋅ft) और घूर्णी गति के लिए आरपीएम का उपयोग करते हैं। इसके परिणामस्वरूप सूत्र में परिवर्तन होता है:


<math> P ({\rm hp}) = \frac{ \tau {\rm (lbf \cdot ft)} \cdot 2 \pi {\rm (rad/rev)} \cdot \nu ({\rm rpm})} {33,000}. </math>
<math> P ({\rm hp}) = \frac{ \tau {\rm (lbf \cdot ft)} \cdot 2 \pi {\rm (rad/rev)} \cdot \nu ({\rm rpm})} {33,000}. </math>
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अश्वशक्ति की परिभाषा के साथ नीचे स्थिरांक (फुट-पाउंड प्रति मिनट में) बदलता है; उदाहरण के लिए, मीट्रिक अश्वशक्ति का उपयोग करके, यह लगभग 32,550 हो जाता है।
अश्वशक्ति की परिभाषा के साथ नीचे स्थिरांक (फुट-पाउंड प्रति मिनट में) बदलता है; उदाहरण के लिए, मीट्रिक अश्वशक्ति का उपयोग करके, यह लगभग 32,550 हो जाता है।


अन्य इकाइयों के उपयोग (उदाहरण के लिए, बिजली के लिए [[ बीटीयू |बीटीयू]] प्रति घंटे) के लिए अलग कस्टम रूपांतरण कारक की आवश्यकता होगी।
अन्य इकाइयों के उपयोग (उदाहरण के लिए, विद्युत् के लिए [[ बीटीयू |बीटीयू]] प्रति घंटे) के लिए अलग कस्टम रूपांतरण कारक की आवश्यकता होगी।


=== व्युत्पत्ति ===
=== व्युत्पत्ति ===


घूर्णन वस्तु के लिए, [[ परिधि |परिधि]] पर तय की गई ''रैखिक दूरी'' कवर किए गए कोण के साथ त्रिज्या का गुणनफल है। अर्थात्: रैखिक दूरी = त्रिज्या × कोणीय दूरी है और परिभाषा के अनुसार, रैखिक दूरी = रैखिक गति × समय = त्रिज्या × कोणीय गति × समय।
घूर्णन वस्तु के लिए, [[ परिधि |परिधि]] पर तय की गई रैखिक दूरी कवर किए गए कोण के साथ त्रिज्या का गुणनफल है। अर्थात्: रैखिक दूरी = त्रिज्या × कोणीय दूरी है और परिभाषा के अनुसार, रैखिक दूरी = रैखिक गति × समय = त्रिज्या × कोणीय गति × समय।


टॉर्क की परिभाषा के अनुसार: टॉर्क = त्रिज्या × बल। हम बल = टॉर्क त्रिज्या निर्धारित करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। इन दो मूल्यों को [[ पावर (भौतिकी) |विद्युत्]] की परिभाषा में प्रतिस्थापित किया जा सकता है:
टॉर्क की परिभाषा के अनुसार: टॉर्क = त्रिज्या × बल। हम बल = टॉर्क त्रिज्या निर्धारित करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। इन दो मूल्यों को [[ पावर (भौतिकी) |विद्युत्]] की परिभाषा में प्रतिस्थापित किया जा सकता है:
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<math>{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{power}}&={\frac {{\text{force}}\cdot {\text{linear distance}}}{\text{time}}}\\[6pt]&={\frac {\left({\dfrac {\text{torque}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{angular speed}}\cdot t)}{t}}\\[6pt]&={\text{torque}}\cdot {\text{angular speed}}.\end{aligned}}}</math>
<math>{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{power}}&={\frac {{\text{force}}\cdot {\text{linear distance}}}{\text{time}}}\\[6pt]&={\frac {\left({\dfrac {\text{torque}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{angular speed}}\cdot t)}{t}}\\[6pt]&={\text{torque}}\cdot {\text{angular speed}}.\end{aligned}}}</math>


त्रिज्या ''r'' और समय ''t'' समीकरण से बाहर हो गए हैं। चूंकि, व्युत्पत्ति की शुरुआत में रैखिक गति और कोणीय गति के बीच प्रत्यक्ष संबंध के अनुसार, कोणीय गति समय की प्रति इकाई रेडियन में होनी चाहिए। यदि घूर्णन गति को प्रति इकाई समय में परिक्रमण में मापा जाता है, तो रैखिक गति और दूरी आनुपातिक रूप से बढ़ जाती है{{pi}} उपरोक्त व्युत्पत्ति में देने के लिए:
त्रिज्या ''r'' और समय ''t'' समीकरण से बाहर हो गए हैं। चूंकि, व्युत्पत्ति की शुरुआत में रैखिक गति और कोणीय गति के बीच प्रत्यक्ष संबंध के अनुसार, कोणीय गति समय की प्रति इकाई रेडियन में होनी चाहिए। यदि घूर्णन गति को प्रति इकाई समय में परिक्रमण में मापा जाता है, तो रैखिक गति और दूरी आनुपातिक रूप से बढ़ जाती है, उपरोक्त व्युत्पत्ति में {{pi}} देने के लिए:


: <math>\text{power} = \text{torque} \cdot 2 \pi \cdot \text{rotational speed}. \,</math>
: <math>\text{power} = \text{torque} \cdot 2 \pi \cdot \text{rotational speed}. \,</math>
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क्योंकि <math>5252.113122 \approx \frac {33,000} {2 \pi} \,</math> है।
क्योंकि <math>5252.113122 \approx \frac {33,000} {2 \pi} \,</math> है।


== क्षणों का सिद्धांत ==
== क्षणों का सिद्धांत ==
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{{Main|टॉर्क गुणक}}
{{Main|टॉर्क गुणक}}


टॉर्क को तीन विधियों से गुणा किया जा सकता है: फुलक्रम का पता लगाकर जैसे कि लीवर की लंबाई बढ़ जाती है; लंबे लीवर का उपयोग करके; या गति कम करने वाले गियरसेट या [[ गियर बॉक्स |गियर बॉक्स]] के उपयोग से। ऐसा तंत्र टॉर्क को गुणा करता है, क्योंकि रोटेशन दर कम हो जाती है।
टॉर्क को तीन विधियों से गुणा किया जा सकता है: फुलक्रम का पता लगाकर जैसे कि लीवर की लंबाई बढ़ जाती है; लंबे लीवर का उपयोग करके; या गति कम करने वाले गियरसेट या [[ गियर बॉक्स |गियर बॉक्स]] के उपयोग से बढ़ जाती है। ऐसा तंत्र टॉर्क को गुणा करता है, क्योंकि घूर्णन दर कम हो जाती है।


== See also ==
== See also ==
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{{Classical mechanics SI units}}
{{Classical mechanics SI units}}


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Latest revision as of 11:25, 27 April 2023

For other uses, see टॉर्क (disambiguation).
Torque
File:Torque animation.gif
Relationship between force F, torque τ, linear momentum p, and angular momentum L in a system which has rotation constrained to only one plane (forces and moments due to gravity and friction not considered).
सामान्य प्रतीक
, M
Si   इकाईN⋅m
अन्य इकाइयां
pound-force-feet, lbf⋅inch, ozf⋅in
SI आधार इकाइयाँ मेंkg⋅m2⋅s−2
आयामM L2T−2
<