संयोजन: Difference between revisions

Latest revision as of 16:28, 27 April 2023

गणित में संयोजन समूह से वस्तुओं का चयन होता है, जिसमें अलग-अलग सदस्य होते हैं, जैसे कि चयन का क्रम मतलब नहीं रखता क्रम परिवर्तन के विपरीत हैं। उदाहरण के लिए, तीन फल दिए गए हैं, जैसे सेब, संतरा और नाशपाती, दो के तीन संयोजन हैं जिन्हें इस समूह से निकाला जा सकता है। सेब और नाशपाती, सेब और संतरा, नाशपाती और संतरा इत्यादि अधिक औपचारिक रूप से, K- समूह (गणित) S का संयोजन S के K विशिष्ट तत्वों का उपसमूह है। इसलिए, दो संयोजन समान हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक संयोजन में समान सदस्य हैं। प्रत्येक समूह में सदस्यों की व्यवस्था कोई मतलब नहीं रखती है। यदि समूह में 'N' तत्व हैं, तो 'K'-संयोजन की संख्या, द्वारा निरूपित $C(n,k)$ या $C_{k}^{n}$ , द्विपद गुणांक के बराबर है।

{\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}},

जिसे भाज्य का उपयोग करके

\textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}

लिखा जा सकता है। जब कभी भी

k\leq n

और

k>n

कौन सा कब शून्य है। यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त किया जा सकता है कि n सदस्यों के समुच्चय S के प्रत्येक k-संयोजन में है

k!

क्रमपरिवर्तन तो

P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!

या

C_{k}^{n}=P_{k}^{n}/k!

^[1] समुच्चय S के सभी k-संयोजनों के समुच्चय को प्राय:

\textstyle {\binom {S}{k}}

द्वारा निरूपित किया जाता है।

संयोजन n चीजों का संयोजन है जिसे बार में अतिरिक्त दोहराव k लिया जाता है। उन संयोजनों को संदर्भित करने के लिए जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति है, पुनरावृत्ति के साथ k-संयोजन, k-बहु समुच्चय,^[2] K-चयन,^[3] अधिकांशतः उपयोग किए जाते हैं।^[4] यदि, उपरोक्त उदाहरण में किसी प्रकार के दो फलों का होना संभव था, दो सेब, दो संतरे, और दो नाशपाती, तो 3 और 2-चयन होंगे।

यद्यपि संयोजनों की पूरी सूची लिखने के लिए तीन फलों का समूह काफी छोटा था। यह अव्यावहारिक हो जाता है क्योंकि समूह का आकार बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए, हाथ (पोकर) को 52 टिकट डेक (n = 52) से टिकट के 5-संयोजन (k = 5) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हाथ के 5 टिकट अलग-अलग हैं और हाथ में टिकट का क्रम मतलब नहीं रखता हैं। इस प्रकार के 2,598,960 संयोजन हैं और यादृच्छिक रूप से किसी हाथ को खींचने की संभावना 1 / 2,598,960 है।

K-संयोजनों की संख्या

File:Combinations without repetition; 5 choose 3.svg

5-तत्व समूह के 3-तत्व बहुसमूह

N तत्वों के दिए गए समूह एस से K-संयोजनों की संख्या को अधिकांशतः प्राथमिक संयोजक ग्रंथों में दर्शाया जाता है। $C(n,k)$ , भिन्नरूप द्वारा जैसे $C_{k}^{n}$ , ${}_{n}C_{k}$ , ${}^{n}C_{k}$ , $C_{n,k}$ और भी $C_{n}^{k}$ अंतिम रूप फ्रेंच, रोमानियाई, रूसी, चीनी में मानक है^[5]^[6] और पोलिश ग्रंथ। वही संख्या चूंकि कई अन्य गणितीय संदर्भों में होती है, जहां इसे द्वारा निरूपित किया जाता है ${\tbinom {n}{k}}$ अधिकांशतः n चुनें k के रूप में पढ़ा जाता है। विशेष रूप से यह द्विपद सूत्र में गुणांक के रूप में होता है, इसलिए इसका नाम 'द्विपद गुणांक' है।कलन विधि ${\tbinom {n}{k}}$ सभी प्राकृत संख्याओं k के साथ संबंध द्वारा परिभाषित कर सकता है,

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Line 53: / Line 53: @@
 &= \tfrac{80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000}{120\times258,623,241,511,168,180,642,964,355,153,611,979,969,197,632,389,120,000,000,000} \\[6pt]
 &= 2{,}598{,}960.
-\end{align}</math>K-संयोजनों की [[गणना]]
+\end{align}</math>'''K-संयोजनों की [[गणना]]'''
 कोई निश्चित क्रम में n तत्वों के दिए गए समूह S के सभी k-संयोजनों की गणना कर सकता है, जो अंतराल <math>\tbinom nk</math>से आक्षेप स्थापित करता है , न K-संयोजनों के समूह के साथ पूर्णांक। यह मानते हुए कि S को स्वयं अनुक्रम किया गया है, उदाहरण के लिए S = { 1, 2, ..., n }, इसके k-संयोजनों को अनुक्रम करने की दो स्वाभाविक संभावनाएँ हैं। पहले उनके सबसे छोटे तत्वों की तुलना करके जैसा कि ऊपर दिए गए चित्र में है, तुलना करके उनके सबसे बड़े तत्व पहले। किया जाता हैं बइसकेवपश्चात विकल्पों का लाभ यह है कि एस में नया सबसे बड़ा तत्व जोड़ने से गणना के प्रारंभिक भागों में बदलाव नहीं आएगा, किन्तु पिछले वाले के बाद बड़े समूह के नए K-संयोजन जोड़ें। इस प्रक्रिया को दोहराते हुए, कभी भी बड़े समूहों के k-संयोजनों के साथ गणना को अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है। यदि इसके अतिरिक्त पूर्णांकों के अंतराल को 0 से प्रारंभ करने के लिए लिया जाता है, तो गणना में किसी दिए गए स्थान i पर k-संयोजन की गणना i से सुगमता से की जा सकती है और इस प्रकार प्राप्त होने वाली आपत्ति [[संयोजन संख्या प्रणाली]] के रूप में जानी जाती है। इसे कम्प्यूटेशनल गणित में रैंक/रैंकिंग और अनरैंकिंग के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{cite web|url=http://www.site.uottawa.ca/~lucia/courses/5165-09/GenCombObj.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.site.uottawa.ca/~lucia/courses/5165-09/GenCombObj.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live |title=प्राथमिक मिश्रित वस्तुओं का निर्माण|author=Lucia Moura |website=Site.uottawa.ca |access-date=2017-04-10}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/subset.html |format=PDF |title=SAGE : Subsets |website=Sagemath.org |access-date=2017-04-10}}</ref> K संयोजनों की गणना करने के कई विधियाँ हैं। 2<sup>N</sup> से कम सभी बाइनरी नंबरों पर जाना। उन संख्याओं को चुनें जिनमें k अशून्य बिट्स हों, चूंकि यह छोटे n के लिए भी बहुत अक्षम है उदाहरण के लिए n = 20 को लगभग मिलियन नंबरों पर जाने की आवश्यकता होगी, जबकि k = 10 के लिए अनुमत k संयोजनों की अधिकतम संख्या लगभग 186 हजार है। ऐसी संख्या में इन 1 बिट्स की स्थिति समूह {1, ..., n} का विशिष्ट k-संयोजन है<ref>{{cite web|url=http://rosettacode.org/wiki/Combinations|title=संयोजन - रोसेटा कोड|date=23 October 2022 }}{{ugc|date=April 2017}}</ref> और सरल, तेज़ विधि चयनित तत्वों के k अनुक्रमणिका नंबरों को ट्रैक करना है, {0 .. k−1} (शून्य-आधारित) या {1 .. k} -आधारित से प्रारंभ होकर पहले अनुमत k-संयोजन के रूप में और फिर बार-बार अंतिम अनुक्रमणिका संख्या में वृद्धि करके अगले अनुमत k-संयोजन पर जाना यदि यह n-1 (शून्य-आधारित) या n -आधारित अंतिम अनुक्रमणिका संख्या x से कम है, जो अनुक्रमणिका संख्या से कम है यदि ऐसा कोई अनुक्रमणिका उपस्तिथ है, तो इसके बाद ऋण और अनुक्रमणिका नंबर को x के बाद {x+1, x+2, ...} पर फिर से स्थापित कर देते है।
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 {{See also|मल्टीसेट गुणांक}}
-k- 'पुनरावृत्ति के साथ संयोजन', k- 'बहुसंयोजन', आकार k का 'बहुसमूह' आकार n के समूह S से k के समूह द्वारा दिया जाता है, जो आवश्यक रूप से S के अलग-अलग तत्व नहीं होते हैं, जहाँ क्रम में नहीं लिया जाता है खाता: दो अनुक्रम ही बहुसमूह को परिभाषित करते हैं यदि शर्तों को अनुमति देकर दूसरे से प्राप्त किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, यह n तत्वों के समूह से k तत्वों का नमूना है जो डुप्लिकेट अर्थात, प्रतिस्थापन के साथ की अनुमति देता है, किन्तु अलग-अलग ऑर्डरिंग (जैसे {2,1,2} = {1,2,2}) की अवहेलना करता है। एस के प्रत्येक तत्व के लिए अनुक्रमणिका को संबद्ध करें और एस के तत्वों को वस्तुओं के प्रकार के रूप में सोचें, फिर हम बता सकते हैं <math>x_i</math> बहुउपसमुच्चय में प्रकार k तत्वों की संख्या को निरूपित करें। आकार k के बहुउपसमुच्चय की संख्या [[डायोफैंटाइन समीकरण]] के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक इसलिए शून्य की अनुमति समाधानों की संख्या है।<ref>{{harvnb|Brualdi|2010|loc=p. 52}}</ref><math display="block">x_1 + x_2 + \ldots + x_n = k.</math>यदि S में n अवयव हैं, तो ऐसे k-बहु उपसमुच्चय की संख्या को इसके द्वारा निरूपित किया जाता है।<math display="block">\left(\!\!\binom{n}{k}\!\!\right),</math>अंकन जो द्विपद गुणांक के अनुरूप है जो k-उपसमुच्चय की गणना करता है। यह व्यंजक, n बहुचयन k,<ref>{{harvnb|Benjamin|Quinn|2003|loc=p. 70}}</ref> द्विपद गुणांक के संदर्भ में भी दिया जा सकता है।<math display="block">\left(\!\!\binom{n}{k}\!\!\right)=\binom{n+k-1}{k}.</math>स्टार्स और बार्स साहचर्य के रूप में जाने जाने वाले प्रतिनिधित्व का उपयोग करके इस संबंध को सुगमता से सिद्ध किया जा सकता है।<ref>In the article [[Stars and bars (combinatorics)]] the roles of {{mvar|n}} and {{mvar|k}} are reversed.</ref>{{Hidden begin |showhide=left|title=प्रमाण|titlestyle = background:lightgray;}}
+k- 'पुनरावृत्ति के साथ संयोजन', k- 'बहुसंयोजन', आकार k का 'बहुसमूह' आकार n के समूह S से k के समूह द्वारा दिया जाता है, जो आवश्यक रूप से S के अलग-अलग तत्व नहीं होते हैं, जहाँ क्रम में नहीं लिया जाता है खाता: दो अनुक्रम ही बहुसमूह को परिभाषित करते हैं यदि शर्तों को अनुमति देकर दूसरे से प्राप्त किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, यह n तत्वों के समूह से k तत्वों का नमूना है जो डुप्लिकेट अर्थात, प्रतिस्थापन के साथ की अनुमति देता है, किन्तु अलग-अलग ऑर्डरिंग (जैसे {2,1,2} = {1,2,2}) की अवहेलना करता है। S के प्रत्येक तत्व के लिए अनुक्रमणिका को संबद्ध करें और एस के तत्वों को वस्तुओं के प्रकार के रूप में सोचें, फिर हम बता सकते हैं <math>x_i</math> बहुउपसमुच्चय में प्रकार k तत्वों की संख्या को निरूपित करें। आकार k के बहुउपसमुच्चय की संख्या [[डायोफैंटाइन समीकरण]] के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक इसलिए शून्य की अनुमति समाधानों की संख्या है।<ref>{{harvnb|Brualdi|2010|loc=p. 52}}</ref><math display="block">x_1 + x_2 + \ldots + x_n = k.</math>यदि S में n अवयव हैं, तो ऐसे k-बहु उपसमुच्चय की संख्या को इसके द्वारा निरूपित किया जाता है।<math display="block">\left(\!\!\binom{n}{k}\!\!\right),</math>अंकन जो द्विपद गुणांक के अनुरूप है जो k-उपसमुच्चय की गणना करता है। यह व्यंजक, n बहुचयन k,<ref>{{harvnb|Benjamin|Quinn|2003|loc=p. 70}}</ref> द्विपद गुणांक के संदर्भ में भी दिया जा सकता है।<math display="block">\left(\!\!\binom{n}{k}\!\!\right)=\binom{n+k-1}{k}.</math>स्टार्स और बार्स साहचर्य के रूप में जाने जाने वाले प्रतिनिधित्व का उपयोग करके इस संबंध को सुगमता से सिद्ध किया जा सकता है।<ref>In the article [[Stars and bars (combinatorics)]] the roles of {{mvar|n}} and {{mvar|k}} are reversed.</ref>{{Hidden begin |showhide=left|title=प्रमाण|titlestyle = background:lightgray;}}
 उपरोक्त डायोफैंटाइन समीकरण का एक समाधान द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>x_1</math> सितारे, एक विभाजक (एक बार), फिर <math>x_2</math> अधिक सितारे, एक और विभाजक, और इसी तरह। इस प्रतिनिधित्व में तारों की कुल संख्या k है और बार की संख्या n - 1 है (चूंकि n भागों में पृथक्करण के लिए n-1 विभाजक की आवश्यकता होती है)। इस प्रकार, k + n - 1 (या n + k - 1) प्रतीकों (सितारों और बार) की एक स्ट्रिंग एक समाधान के अनुरूप होती है यदि स्ट्रिंग में k तारे हैं। किसी भी समाधान को k में से चुनकर प्रदर्शित किया जा सकता है {{nobreak|''k'' + ''n'' − 1}} सितारों को रखने की स्थिति और शेष पदों को सलाखों से भरना। उदाहरण के लिए समाधान <math>x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 0, x_4 = 5</math> समीकरण का <math> x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10</math> (n = 4 और k = 10) द्वारा दर्शाया जा सकता है<ref>{{harvnb|Benjamin|Quinn|2003|loc=pp. 71 &ndash;72}}</ref>
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 |}
-सभी k के लिए k- संयोजनों की संख्या
+'''सभी k के लिए k- संयोजनों की संख्या'''
 {{See also|द्विपद गुणांक गुणांक पंक्ति का योग}}
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 संयोजन को वस्तुओं के दो समूहों के चयन के रूप में भी माना जा सकता है। वे जो चुने हुए कोष्ठ में जाते हैं और वे जो अवांछित कोष्ठ में जाते हैं। इसे किसी भी संख्या में डिब्बे के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें यह बाधा है कि प्रत्येक वस्तु को ठीक कोष्ठ में जाना चाहिए। वस्तुओं को डिब्बे में डालने के विधियों की संख्या बहुराष्ट्रीय प्रमेय द्वारा दी गई है वस्तुओं को डिब्बे में डालने के विधि इस प्रकार हैं।<math display="block"> {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!},</math>जहाँ n वस्तुओं की संख्या है, m डिब्बे की संख्या है, और <math>k_i</math> कोष्ठ i में जाने वाली वस्तुओं की संख्या है।
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 * [http://dl.dropbox.com/u/7951257/easymath/Combinations%20with%20Repetitions.pdf Combinations with repetitions (by: Akshatha AG and Smitha B)]{{Dead link|date=November 2019 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
 * [http://www.lucamoroni.it/the-dice-roll-sum-problem/ The dice roll with a given sum problem] An application of the combinations with repetition to rolling multiple dice
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