क्वांटाइल फलन

प्रोबिट सामान्य वितरण का मात्रात्मक कार्य है।

संभाव्यता और सांख्यिकी में एच्छिक चर के वितरण से जुड़ा एक मात्र फलन स्वतंत्र चर के मान को निर्दिष्ट करता है जैसे चर के उस मान में सम्भाव्यता कम या उसके बराबर होने की संभावना के बराबर होती है यदि मात्रात्मक और कार्यात्मक संभाव्यता इनपुट के नीचे की सीमा के साथ संबद्ध होता है तो कुछ संभाव्य वितरण की सीमा एक स्वतंत्र चर का अनुभव होता है इसे फलन प्रतिशत-बिंदु फलन या व्युत्क्रम संचयी बंटन फलन भी कहा जाता है।

परिभाषा

स्वर वितरण फलन

सतत और एक स्वर संचयी वितरण फलन के संदर्भ में एक स्वर चर एक्स स्वतंत्र कार्यक्रम $Q\colon [0,1]\to \mathbb {R}$ को आरम्भिक वैल्यू एक्स देता है जिसके नीचे दिए गए सीडीएफ से याद्रच्छिक निष्कासन होता है जिसमें 100 प्रतिशत समय गिर जाता है वितरण कार्यक्रम एफ में स्वतंत्र कार्यक्रम वैल्यू एक्स को इस तरह लौटाता है जो निम्न प्रकार है-

$F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p\,,$

जिसे सीडीएफ के व्युत्क्रम के रूप में लिखा जा सकता है

$Q(p)=F_{X}^{-1}(p)\,.$

संचयी बंटन फलन (F(x) के रूप में दिखाया गया है) q मानों के फलन के रूप में p मान देता है। क्वांटाइल फ़ंक्शन विपरीत करता है: यह p मानों के फ़ंक्शन के रूप में q मान देता है। ध्यान दें कि लाल रंग में F(x) का भाग एक क्षैतिज रेखा खंड है।

सामान्य वितरण फलन

वितरण कार्यों की सामान्य स्थित में जो स्वर नहीं हैं वो व्युत्क्रम सीडीएफ की अनुमति नहीं देते हैं एक स्वर संभावित रूप से वितरण फलन एफ का निर्धारित मूल्य है जो अंतराल द्वारा दिया गया है

$Q(p)\,=\,\left[\sup \left\{x\colon F(x)<p\right\},\sup \left\{x\colon F(x)\leq p\right\}\right]$

निम्नतम मान अधिकतर मानक होता है जिसमें एफ के दांये निरंतरता का उपयोग करके समान रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है

$Q(p)\,=\,\inf \left\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\right\}\,.$

जैसे कि स्वतंत्र कार्यक्रम उन सभी मानों में एक्स का न्यूनतम मान लौटाता है जिनका सीडीएफ मान पी से अधिक है जो कुछ स्थानों में पिछले संभाव्यता कथन के बराबर है यदि वितरण निरंतर है तो निम्नतम और उच्चतम को न्यूनतम कार्यक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है क्योंकि वितरण कार्यक्रम निरंतर और कमजोर रूप से बढ़ रहा है।

गाल्वा जोड़ को संतुष्ट करने वाला एच्छिक अद्वितीय कार्य यह है-

$Q(p)\leq x$ और $p\leq F(x)$

यदि फलन एफ निरंतर है और यह नीरस रूप से बढ़ रहा है तो असमानताओं को समानता से बदला जा सकता है

$Q=F^{-1}$

$Q(F(X))=X$

सरल उदाहरण

उदाहरण के लिए घातीय वितरण तीव्रता λ और अपेक्षित मान माध्य1/λ का संचयी वितरण कार्यक्रम है

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

घातीय λ के लिए स्वतंत्र कार्यक्रम क्यू के मान को ढूंढकर प्राप्त किया जाता है $1-e^{-\lambda Q}=p$:

$Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!$

0 ≤ p < 1

पहला चतुर्थक (p = 1/4)

$-\ln(3/4)/\lambda \,$

मंझला (p= 2/4)

$-\ln(1/2)/\lambda \,$

तीसरा चतुर्थक (p = 3/4)

$-\ln(1/4)/\lambda .\,$

अनुप्रयोग

मात्रात्मक कार्यों का उपयोग सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में किया जाता है।

ऐच्छिक कार्यक्रम प्रायिकता वितरण निर्धारित करने का एक तरीका है और यह प्रायिकता घनत्व कार्यक्रम पीडीएफ एक विकल्प है जो प्रायिकता वितरण का ऐच्छिक कार्यक्रम क्यू संचयी वितरण कार्यक्रम एफ का व्युत्क्रम कार्यक्रम है ऐच्छिक कार्यक्रम का व्युत्पन्न घनत्व कार्यक्रम प्रायिकता वितरण निर्धारित करने का एक तरीका है यह ऐच्छिक कार्यक्रम से बनी पीडीएफ का व्युत्क्रम है।

सांख्यिकीय अनुप्रयोगों के लिए उपयोगकर्ताओं को प्रमुख प्रतिशत अंक जानने की आवश्यकता होती है किसी दिए गए वितरण की माध्यिका 25 प्रतिशत और 75 प्रतिशत है तो चतुर्थक की आवश्यकता होती है जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है यह अन्य अनुप्रयोगों के लिए 5 प्रतिशत 95 प्रतिशत 2.5 प्रतिशत 97.5 प्रतिशत स्तर जैसे किसी अवलोकन में सांख्यिकीय के महत्व का आकलन करना जिसका वितरण ज्ञात है कंप्यूटरों के लोकप्रिय होने से पहले पुस्तकों के लिए सांख्यिकीय तालिकाओं के साथ परिशिष्ट होना असामान्य नहीं था जो ऐच्छिक कार्यक्रम का नमूना मानते थे गिलक्रिस्ट द्वारा मात्रात्मक कार्यों के सांख्यिकीय अनुप्रयोगों पर व्यापक रूप से चर्चा की गई है मोंटे-कार्लो के अनुरूप विभिन्न प्रकार की गणनाओं में उपयोग के लिए गैर-समान स्वतंत्र या ऐच्छिक संख्या उत्पन्न करने के लिए मात्रात्मक कार्यों को नियोजित करते हैं यदि किसी दिए गए वितरण से एक नमूना एक समान वितरण से अपने ऐच्छिक कार्यक्रम को लागू करके सैद्धांतिक रूप से प्राप्त किया जा सकता है अनुरूप विधियों की मांग आधुनिक