त्वरण: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
No edit summary
 
(9 intermediate revisions by 3 users not shown)
Line 1: Line 1:
यांत्रिकी में, त्वरण समय के संबंध में किसी वस्तु के [[ वेग | वेग]] के परिवर्तन की [[ दर (गणित) | दर (गणित)]] है।त्वरण [[ यूक्लिडियन वेक्टर | यूक्लिडियन वेक्टर]] मात्रा हैं (इसमें उनके पास [[ परिमाण (गणित) | परिमाण (गणित)]] और [[ दिशा (ज्यामिति) | दिशा (ज्यामिति)]] ) हैं।<ref>{{cite book |title=Relativity and Common Sense |first=Hermann |last=Bondi |pages=[https://archive.org/details/relativitycommon0000bond/page/3 3] |publisher=Courier Dover Publications |year=1980 |isbn=978-0-486-24021-3 |url=https://archive.org/details/relativitycommon0000bond/page/3 }}</ref><ref>{{cite book |title=Physics the Easy Way |pages=[https://archive.org/details/physicseasyway00lehr_0/page/27 27] |first=Robert L. |last=Lehrman |publisher=Barron's Educational Series |year=1998 |isbn=978-0-7641-0236-3 |url=https://archive.org/details/physicseasyway00lehr_0/page/27 }}</ref> किसी वस्तु के त्वरण का उन्मुखीकरण उस ऑब्जेक्ट पर अभिनय करने वाले शुद्ध बल के उन्मुखीकरण द्वारा दिया जाता है।न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा वर्णित किसी वस्तु के त्वरण की भयावहता,<ref>{{cite book |title=The Principles of Mechanics |first=Henry |last=Crew |publisher=BiblioBazaar, LLC |year=2008 |isbn=978-0-559-36871-4 |pages=43}}</ref> दो कारणों का संयुक्त प्रभाव है:
यांत्रिकी में, समय के संबंध में किसी ऑब्जेक्ट के [[वेग]] में परिवर्तन की [[ दर (गणित) |दर (गणित)]] को त्वरण कहते हैं। त्वरण सदिश भौतिक राशियाँ के रूप में होती है, जिसमें उनका [[ परिमाण (गणित) |परिमाण (गणित)]] और [[ दिशा (ज्यामिति) |दिशा (ज्यामिति)]] के रूप में होता है।<ref>{{cite book |title=Relativity and Common Sense |first=Hermann |last=Bondi |pages=[https://archive.org/details/relativitycommon0000bond/page/3 3] |publisher=Courier Dover Publications |year=1980 |isbn=978-0-486-24021-3 |url=https://archive.org/details/relativitycommon0000bond/page/3 }}</ref><ref>{{cite book |title=Physics the Easy Way |pages=[https://archive.org/details/physicseasyway00lehr_0/page/27 27] |first=Robert L. |last=Lehrman |publisher=Barron's Educational Series |year=1998 |isbn=978-0-7641-0236-3 |url=https://archive.org/details/physicseasyway00lehr_0/page/27 }}</ref> किसी ऑब्जेक्ट के त्वरण का ओरिएंटेशन उस ऑब्जेक्ट पर कार्य करने वाले शुद्ध बल के ओरिएंटेशन द्वारा दिया जाता है। न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा वर्णित ऑब्जेक्ट के त्वरण का परिमाण,<ref>{{cite book |title=The Principles of Mechanics |first=Henry |last=Crew |publisher=BiblioBazaar, LLC |year=2008 |isbn=978-0-559-36871-4 |pages=43}}</ref> दो कारणों का संयुक्त प्रभाव के रूप में होता है
* उस वस्तु पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का शुद्ध संतुलन - परिमाण इस शुद्ध परिणामी बल के लिए [[ प्रत्यक्ष आनुपातिकता ]] है;
* उस ऑब्जेक्ट पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बलों का शुद्ध संतुलन परिमाण इस शुद्ध परिणामी बल के लिए [[ प्रत्यक्ष आनुपातिकता |स्पष्टतः समानुपातिक]] रूप में होता है,
* उस ऑब्जेक्ट का [[ द्रव्यमान ]], उन सामग्रियों पर निर्भर करता है जिनमें से इसे बनाया गया है - परिमाण वस्तु के द्रव्यमान के लिए व्युत्क्रम आनुपातिकता है।
* उस ऑब्जेक्ट का [[ द्रव्यमान |द्रव्यमान]] उन पदार्थो पर निर्भर करता है, जिनमें से इसे बनाया गया है, परिमाण ऑब्जेक्ट के द्रव्यमान के लिए व्युत्क्रम समानुपातिक रूप में होता है।


त्वरण के लिए यूनिट्स यूनिट की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली मीटर प्रति सेकंड का चुकता है ({{nowrap|m⋅s<sup>−2</sup>}}, <math>\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}</math>)।
त्वरण के लिए यूनिट की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली मीटर प्रति सेकंड वर्ग ({{nowrap|m⋅s<sup>−2</sup>}}, <math>\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}</math>) के रूप में होती है।


उदाहरण के लिए, जब कोई [[ वाहन ]] एक स्टैंडस्टिल (शून्य वेग, संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में) से शुरू होता है और बढ़ती गति पर एक सीधी रेखा में यात्रा करता है, तो यह यात्रा की दिशा में तेजी ला रहा है। यदि वाहन बदल जाता है, तो एक त्वरण नई दिशा की ओर होता है और इसके गति वेक्टर को बदल देता है। गति की अपनी वर्तमान दिशा में वाहन के त्वरण को एक रैखिक (या परिपत्र गतियों के दौरान स्पर्शरेखा) त्वरण कहा जाता है, [[ प्रतिक्रिया (भौतिकी) ]] जिसके लिए यात्री बोर्ड पर अनुभव करते हैं, एक बल के रूप में उन्हें अपनी सीटों में वापस धकेलते हैं। दिशा बदलते समय, प्रभाव त्वरण को रेडियल (या परिपत्र गति के दौरान सेंट्रिपेटल) कहा जाता है, जिस प्रतिक्रिया से यात्री एक [[ केन्द्रापसारक बल ]] के रूप में अनुभव करते हैं। यदि वाहन की गति कम हो जाती है, तो यह विपरीत दिशा में एक त्वरण है और गणितीय रूप से एक नकारात्मक संख्या है, जिसे कभी -कभी मंदी या मंदता कहा जाता है, और यात्री एक जड़त्वीय बल के रूप में मंदी के लिए प्रतिक्रिया का अनुभव करते हैं जो उन्हें आगे बढ़ाते हैं। इस तरह के नकारात्मक त्वरण अक्सर [[ अंतरिक्ष यान ]] में [[ रिट्रोरॉकेट ]] जलने से प्राप्त होते हैं।<ref>{{cite book |author1=Raymond A. Serway |author2=Chris Vuille |author3=Jerry S. Faughn |title=College Physics, Volume 10 |year=2008 |publisher=Cengage |isbn=9780495386933 |page=32 |url=https://books.google.com/books?id=CX0u0mIOZ44C&pg=PA32}}</ref> त्वरण और मंदी दोनों का इलाज किया जाता है, क्योंकि वे दोनों वेग में परिवर्तन होते हैं।इनमें से प्रत्येक त्वरण (स्पर्शरेखा, रेडियल, मंदी) यात्रियों द्वारा महसूस किया जाता है जब तक कि उनके रिश्तेदार (अंतर) वेग को गति में परिवर्तन के कारण त्वरण के संदर्भ के फ्रेम में बेअसर नहीं किया जाता है।
उदाहरण के लिए, जब कोई [[वाहन]] संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में स्थिर शून्य वेग से शुरू होता है और बढ़ती गति से एक सीधी रेखा में यात्रा करता है, तो यह यात्रा की दिशा में तेजी ला रहा होता है। यदि वाहन मुड़ता है तो त्वरण नई दिशा की ओर होता है और इसके गति वेक्टर को बदल देता है। गति की अपनी धारा दिशा में वाहन के त्वरण को वृत्ताकार गति के समय एक रैखिक या स्पर्शरेखा कहा जाता है, त्वरण[[ प्रतिक्रिया (भौतिकी) | प्रतिक्रिया (भौतिकी)]] जिसके लिए यात्रियों को एक बल के रूप में अनुभव होता है, यह बल इन्हें अपनी सीटों में वापस धकेलता है। दिशा बदलते समय प्रभावी त्वरण को वृत्ताकार गति त्वरण के समय रेडियल या सेंट्रिपेटल कहा जाता है, जिसकी प्रतिक्रिया यात्रियों को एक [[केन्द्रापसारक बल]] के रूप में अनुभव करते हैं। यदि वाहन की गति कम हो जाती है, तो यह गणितीय रूप से नकारात्मक दिशा में त्वरण के रूप में होता है जिसे कभी -कभी मंद होना या मंदबुद्धिता कहा जाता है और यात्रियों को एक जड़त्वीय बल के रूप में गतिहीनता की प्रतिक्रिया का अनुभव होता है। इस तरह के नकारात्मक त्वरण अधिकांशतः अंतरिक्ष यान में [[ रिट्रोरॉकेट |रिट्रोरॉकेट]] जलने से प्राप्त होते हैं।<ref>{{cite book |author1=Raymond A. Serway |author2=Chris Vuille |author3=Jerry S. Faughn |title=College Physics, Volume 10 |year=2008 |publisher=Cengage |isbn=9780495386933 |page=32 |url=https://books.google.com/books?id=CX0u0mIOZ44C&pg=PA32}}</ref> त्वरण और मंदी दोनों को समान माना जाता है, क्योंकि ये दोनों के वेग में परिवर्तन होते हैं। इनमें से प्रत्येक त्वरण स्पर्शरेखा, रेडियल, डिलेरेशन यात्रियों द्वारा महसूस किया जाता है जब तक उनके सापेक्ष विभेदी वेग को गति में परिवर्तन के कारण त्वरण के संदर्भ में निष्क्रिय रूप में नहीं हो जाते हैं।


== परिभाषा और गुण ==
== परिभाषा और गुण ==
[[File:Kinematics.svg|thumb|300px|एक शास्त्रीय कण की काइनेमेटिक मात्रा: द्रव्यमान {{mvar|m}}, स्थान {{math|'''r'''}}, वेग {{math|'''v'''}}, त्वरण {{math|'''a'''}}।]]
[[File:Kinematics.svg|thumb|300px|एक मौलिक कण की काइनेमेटिक मात्रा: द्रव्यमान {{mvar|m}}, स्थान {{math|'''r'''}}, वेग {{math|'''v'''}}, त्वरण {{math|'''a'''}}।]]




=== औसत त्वरण ===
=== औसत त्वरण ===


[[File:Acceleration as derivative of velocity along trajectory.svg|right|thumb|त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है।किसी प्रक्षेपवक्र पर किसी भी बिंदु पर, त्वरण की भयावहता उस बिंदु पर परिमाण और दिशा दोनों में वेग के परिवर्तन की दर से दी जाती है।समय पर सच्चा त्वरण {{mvar|t}} [[ समय अंतराल ]] के रूप में सीमा में पाया जाता है {{math|Δ''t'' → 0}} का {{math|Δ'''v'''/Δ''t''}}]]
[[File:Acceleration as derivative of velocity along trajectory.svg|right|thumb|त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है।किसी प्रक्षेपवक्र पर किसी भी बिंदु पर, त्वरण की भयावहता उस बिंदु पर परिमाण और दिशा दोनों में वेग के परिवर्तन की दर से दी जाती है।समय पर सच्चा त्वरण {{mvar|t}} [[ समय अंतराल |समय अंतराल]] के रूप में सीमा में पाया जाता है {{math|Δ''t'' → 0}} का {{math|Δ'''v'''/Δ''t''}}]]
[[ भौतिकी में समय ]] की अवधि में एक वस्तु का औसत त्वरण वेग में इसका परिवर्तन है, <math>\Delta \mathbf{v}</math>, अवधि की अवधि से विभाजित, <math>\Delta t</math>।गणितीय रूप से,
[[ भौतिकी में समय | भौतिकी में समय]] की अवधि में एक ऑब्जेक्ट का औसत त्वरण वेग <math>\Delta \mathbf{v}</math>,में इसका परिवर्तन होता है, जिसे अवधि <math>\Delta t</math>। से विभाजित किया जाता है, गणितीय रूप से इस प्रकार दिखाया गया है।
<math display="block">\bar{\mathbf{a}} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}.</math>
<math display="block">\bar{\mathbf{a}} = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}.</math>
=== तात्कालिक त्वरण ===
=== तात्कालिक त्वरण ===
[[File:1-D kinematics.svg|thumb|right|नीचे से उपर तक: {{bulleted list
[[File:1-D kinematics.svg|thumb|right|नीचे से उपर तक: {{bulleted list
Line 24: Line 22:
  | and the integral of the velocity is the distance function {{math|''s''(''t'')}}.
  | and the integral of the velocity is the distance function {{math|''s''(''t'')}}.
}}]]
}}]]
तात्कालिक त्वरण, इस बीच, समय के एक अनंत अंतराल पर औसत त्वरण के [[ एक समारोह की सीमा ]] है।[[ गणना ]] के संदर्भ में, तात्कालिक त्वरण समय के संबंध में वेग वेक्टर का व्युत्पन्न है:
इस बीच तात्कालिक त्वरण, समय के एक अतिसूक्ष्म अंतराल पर औसत त्वरण के [[ एक समारोह की सीमा |फलन की सीमा]] के रूप में होता है। [[ गणना |गणना]] के संदर्भ में, तात्कालिक त्वरण समय के संबंध में वेग सदिश का व्युत्पन्न होता है।
<math display="block">\mathbf{a} = \lim_{{\Delta t} \to 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac{d\mathbf{v}}{dt}</math>
<math display="block">\mathbf{a} = \lim_{{\Delta t} \to 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac{d\mathbf{v}}{dt}</math>
जैसा कि त्वरण को वेग के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, {{math|'''v'''}}, समय के संबंध में {{mvar|t}} और वेग को स्थिति के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, {{math|'''x'''}}, समय के संबंध में, त्वरण को दूसरे व्युत्पन्न के रूप में सोचा जा सकता है {{math|'''x'''}} इसके संबंध में {{mvar|t}}:
जैसा कि त्वरण को वेग {{math|'''v'''}} के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, समय {{mvar|t}} के संबंध में और वेग को स्थिति {{math|'''x'''}} के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, समय के संबंध में, त्वरण को {{mvar|t}}: के संबंध में {{math|'''x'''}} के दूसरे व्युत्पन्न के रूप में माना जा सकता है। <math display="block">\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2}</math>
<math display="block">\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2}</math>
 
(यहाँ और अन्य जगहों पर, यदि [[ वचन -गति ]], यूक्लिडियन वेक्टर मात्रा को समीकरणों में [[ स्केलर (भौतिकी) ]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।)


कैलकुलस के मौलिक प्रमेय द्वारा, यह देखा जा सकता है कि त्वरण फ़ंक्शन का [[ अभिन्न ]] अंग {{math|''a''(''t'')}} वेग फ़ंक्शन है {{math|''v''(''t'')}};अर्थात्, एक त्वरण बनाम समय के वक्र के तहत क्षेत्र ({{mvar|a}} बनाम {{mvar|t}}) ग्राफ वेग के परिवर्तन से मेल खाता है।
<math display="block" qid=Q11465>\mathbf{\Delta v} =  \int \mathbf{a} \, dt</math>
इसी तरह, [[ जर्क (भौतिकी) ]] फ़ंक्शन का अभिन्न अंग {{math|''j''(''t'')}}, त्वरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न, एक निश्चित समय पर त्वरण के परिवर्तन को खोजने के लिए उपयोग किया जा सकता है:
<math display="block">\mathbf{\Delta a} =  \int \mathbf{j} \, dt</math>


यहाँ और अन्यत्र, यदि [[गति एक सीधी]] रेखा में होती है, तो समीकरणों में सदिश राशियों को अदिशों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।


कैलकुलस के मौलिक प्रमेय द्वारा यह देखा जा सकता है कि त्वरण फलन {{math|''a''(''t'')}} का [[ अभिन्न |अभिन्न]] अंग वेग फलन {{math|''v''(''t'')}} के रूप में हैअर्थात्, एक त्वरण बनाम समय के वक्र के अनुसार क्षेत्र {{mvar|a}} बनाम {{mvar|t}} ग्राफ वेग के परिवर्तन से मेल खाता है।
<math display="block" qid="Q11465">\mathbf{\Delta v} =  \int \mathbf{a} \, dt</math>
इसी तरह, [[ जर्क (भौतिकी) |जर्क (भौतिकी)]] फलन का अभिन्न अंग {{math|''j''(''t'')}}, त्वरण फलन के व्युत्पन्न के रूप में होता है, एक निश्चित समय पर त्वरण के परिवर्तन को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है,
<math display="block">\mathbf{\Delta a} =  \int \mathbf{j} \, dt</math>
=== इकाइयाँ ===
=== इकाइयाँ ===
त्वरण में [[ समय ]] से विभाजित वेग (एल/टी) का [[ आयामी विश्लेषण ]] होता है, अर्थात् [[ लंबाई ]] का समय<sup>−2 </sup>।एक्सेलेरेशन की यूनिट्स यूनिट की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली मीटर प्रति सेकंड का चुकता है (एम एस)<sup>−2 </sup>);या मीटर प्रति सेकंड, प्रति सेकंड मीटर में वेग के रूप में, त्वरण मूल्य द्वारा प्रति सेकंड परिवर्तन, हर सेकंड।
त्वरण में वेग के [[ आयामी विश्लेषण |आयामी]] (एल/टी) [[समय]] से विभाजित होते हैं, अर्थात् [[एल टी-2]] के रूप में विभाजित होते है, त्वरण की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली इकाई मीटर प्रति सेकंड वर्ग (एम एस−2) या मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड होती है, क्योंकि मीटर प्रति सेकंड में वेग त्वरण का मान प्रति सेकंड बदलता रहता है।


=== अन्य रूप ===
=== अन्य रूप ===
एक गोलाकार गति में जाने वाली एक वस्तु - जैसे कि पृथ्वी की परिक्रमा करने वाला एक उपग्रह - गति की दिशा में परिवर्तन के कारण तेज हो रहा है, हालांकि इसकी गति स्थिर हो सकती है।इस मामले में कहा जाता है कि यह सेंट्रिपेटल (केंद्र की ओर निर्देशित) त्वरण से गुजर रहा है।
एक गोलाकार गति में गतिमान एक ऑब्जेक्ट जैसे कि पृथ्वी की परिक्रमा करने वाला एक उपग्रह गति की दिशा में परिवर्तन के कारण त्वरित होता है, चूंकि, इसकी गति स्थिर रूप में हो सकती है। इस स्थिति में कहा जाता है कि यह केंद्र त्वरण की ओर निर्देशित केन्द्रापसारक से गुजर रहा है।


[[ उचित त्वरण ]], एक मुक्त-पतन स्थिति के सापेक्ष एक शरीर का त्वरण, एक उपकरण द्वारा मापा जाता है जिसे [[ accelerometer ]] कहा जाता है।
[[उचित त्वरण]] ,मुक्त पतन की स्थिति के सापेक्ष पिण्ड के त्वरण को एक उपकरण द्वारा मापा जाता है, जिसे[[ accelerometer | एक्सीलरोमीटर]] कहा जाता है।


[[ शास्त्रीय यांत्रिकी ]] में, निरंतर द्रव्यमान के साथ एक निकाय के लिए, शरीर के द्रव्यमान के केंद्र का वेक्टर (वेक्टर) त्वरण नेट फोर्स वेक्टर (यानी सभी बलों का योग) के लिए आनुपातिक है।दूसरा कानून):
[[ शास्त्रीय यांत्रिकी | मौलिक यांत्रिकी]] में, निरंतर द्रव्यमान के साथ एक निकाय के लिए, पिण्ड के द्रव्यमान के केंद्र का वेक्टर त्वरण नेट फोर्स वेक्टर अर्थात सभी बलों का योग के लिए आनुपातिक रूप में होता है।न्यूटन का दूसरा नियम इस प्रकार है,
<math display="block" qid=Q2397319>\mathbf{F} = m\mathbf{a} \quad \implies \quad \mathbf{a} = \frac{\mathbf{F}}{m}</math>
<math display="block" qid=Q2397319>\mathbf{F} = m\mathbf{a} \quad \implies \quad \mathbf{a} = \frac{\mathbf{F}}{m}</math>
कहाँ पे {{math|'''F'''}} क्या शुद्ध बल शरीर पर अभिनय कर रहा है, {{mvar|m}} शरीर का द्रव्यमान है, और {{math|'''a'''}} केंद्र-द्रव्यमान त्वरण है।जैसे -जैसे गति प्रकाश की गति तक पहुंचती है, [[ विशेष सापेक्षता ]] तेजी से बड़ी होती जाती है।
जहाँ पे {{math|'''F'''}} पिण्ड पर कार्य करने वाला शुद्ध बल के रूप में है, {{mvar|m}} पिण्ड का द्रव्यमान है और {{math|'''a'''}} द्रव्यमान त्वरण का केंद्र है। जैसे -जैसे प्रकाश की गति निकट तक पहुंचती है,प्रकाश के सापेक्ष प्रभाव की गति तेजी से बड़ी होती जाती है।


== स्पर्शरेखा और सेंट्रिपेटल त्वरण ==
== स्पर्शरेखा और सेंट्रिपेटल त्वरण ==
{{See also|Centripetal force#Local coordinates}}
{{See also| सेंट्रिपेटल बल § स्थानीय निर्देशांक}}
[[File:Oscillating pendulum.gif|thumb|left|एक दोलन पेंडुलम, वेग और त्वरण के साथ चिह्नित।यह स्पर्शरेखा और सेंट्रिपेटल त्वरण दोनों का अनुभव करता है।]]
[[File:Oscillating pendulum.gif|thumb|left|एक दोलन पेंडुलम, वेग और त्वरण के साथ चिह्नित।यह स्पर्शरेखा और सेंट्रिपेटल त्वरण दोनों का अनुभव करता है।]]
[[File:Acceleration components.JPG|right|thumb|एक घुमावदार गति के लिए त्वरण के घटक।स्पर्शरेखा घटक {{math|'''a'''<sub>t</sub>}} ट्रैवर्सल की गति में परिवर्तन के कारण है, और वेग वेक्टर (या विपरीत दिशा में) की दिशा में वक्र के साथ अंक।सामान्य घटक (जिसे परिपत्र गति के लिए सेंट्रिपेटल घटक भी कहा जाता है) {{math|'''a'''<sub>c</sub>}} वेग वेक्टर की दिशा में परिवर्तन के कारण है और पथ के वक्रता के केंद्र की ओर इशारा करते हुए, प्रक्षेपवक्र के लिए सामान्य है।]]
[[File:Acceleration components.JPG|right|thumb|एक घुमावदार गति के लिए त्वरण के घटक।स्पर्शरेखा घटक {{math|'''a'''<sub>t</sub>}} ट्रैवर्सल की गति में परिवर्तन के कारण है, और वेग वेक्टर (या विपरीत दिशा में) की दिशा में वक्र के साथ अंक।सामान्य घटक (जिसे परिपत्र गति के लिए सेंट्रिपेटल घटक भी कहा जाता है) {{math|'''a'''<sub>c</sub>}} वेग वेक्टर की दिशा में परिवर्तन के कारण है और पथ के वक्रता के केंद्र की ओर इशारा करते हुए, प्रक्षेपवक्र के लिए सामान्य है।]]
समय के एक [[ समारोह (गणित) ]] के रूप में एक घुमावदार पथ पर चलते हुए एक कण का वेग लिखा जा सकता है:
समय के एक [[ समारोह (गणित) |फलन (गणित)]] के रूप में एक घुमावदार पथ पर चलते हुए एक कण का वेग इस प्रकार लिखा जाता है
<math display="block">\mathbf{v}(t) = v(t) \frac{\mathbf{v}(t)}{v(t)} = v(t) \mathbf{u}_\mathrm{t}(t) , </math>
<math display="block">\mathbf{v}(t) = v(t) \frac{\mathbf{v}(t)}{v(t)} = v(t) \mathbf{u}_\mathrm{t}(t) , </math>
साथ {{math|''v''(''t'')}} पथ के साथ यात्रा की गति के बराबर, और
{{math|''v''(''t'')}} पथ के साथ यात्रा की गति के बराबर होती है, और
<math display="block">\mathbf{u}_\mathrm{t} = \frac{\mathbf{v}(t)}{v(t)} \, , </math>
<math display="block">\mathbf{u}_\mathrm{t} = \frac{\mathbf{v}(t)}{v(t)} \, , </math>
समय में चुने गए क्षण में गति की दिशा में इंगित करने वाले पथ के लिए कर्व्स#स्पर्शरेखा वेक्टर की एक अंतर ज्यामिति।बदलती गति दोनों को ध्यान में रखते हुए {{math|''v''(''t'')}} और की बदलती दिशा {{math|'''u'''<sub>''t''</sub>}}, एक घुमावदार पथ पर चलने वाले कण का त्वरण भेदभाव के [[ श्रृंखला नियम ]] का उपयोग करके लिखा जा सकता है<ref>{{cite web|last1=Weisstein|first1=Eric W.|title=Chain Rule| url=http://mathworld.wolfram.com/ChainRule.html |website=Wolfram MathWorld| publisher=Wolfram Research| access-date=2 August 2016}}</ref> समय के दो कार्यों के उत्पाद के लिए:
एक समय में चुने गए क्षण में गति की दिशा में इंगित करने वाले पथ के लिए इकाई वेक्टर स्पर्शरेखा की अंतर ज्यामिति के रूप में होती है। बदलती गति {{math|''v''(''t'')}} और घुमावदार पथ पर चलने वाले कण {{math|'''u'''<sub>''t''</sub>}}, के त्वरण की बदलती दिशा दोनों को ध्यान में रखते हुए, समय के दो कार्यों के उत्पाद के लिए विभेदन के [[ श्रृंखला नियम |श्रृंखला नियम]] का उपयोग करके लिखा जाता है<ref>{{cite web|last1=Weisstein|first1=Eric W.|title=Chain Rule| url=http://mathworld.wolfram.com/ChainRule.html |website=Wolfram MathWorld| publisher=Wolfram Research| access-date=2 August 2016}}</ref> ।


<math display="block">\begin{alignat}{3}
<math display="block">\begin{alignat}{3}
Line 63: Line 61:
           & = \frac{dv }{dt} \mathbf{u}_\mathrm{t}+ \frac{v^2}{r}\mathbf{u}_\mathrm{n}\ ,
           & = \frac{dv }{dt} \mathbf{u}_\mathrm{t}+ \frac{v^2}{r}\mathbf{u}_\mathrm{n}\ ,
\end{alignat}</math>
\end{alignat}</math>
कहाँ पे {{math|'''u'''<sub>n</sub>}} कण के प्रक्षेपवक्र के लिए#सामान्य या वक्रता वेक्टर की इकाई (आवक) अंतर ज्यामिति है (जिसे प्रिंसिपल सामान्य भी कहा जाता है), और {{math|'''r'''}} इसका तात्कालिक वक्रता है#समय पर ऑस्कुलेटिंग सर्कल#गणितीय विवरण के आधार पर विमान घटता की वक्रता {{mvar|t}}।इन घटकों को [[ स्पर्शरेखा त्वरण ]] और सामान्य या रेडियल त्वरण (या परिपत्र गति में सेंट्रिपेटल त्वरण कहा जाता है, परिपत्र गति और [[ केन्द्राभिमुख शक्ति ]] भी देखें) कहा जाता है।
जहाँ पे {{math|'''u'''<sub>n</sub>}} कण के प्रक्षेपवक्र के लिए आंतरिक सामान्य वेक्टर की इकाई के रूप में होती है, जिसे प्रिंसिपल नॉर्मल भी कहा जाता है और {{math|'''r'''}} इसकी वक्रता की तात्क्षणिक त्रिज्या समय t पर दोलन चक्र पर आधारित तात्कालिक वक्रता। इन घटकों को [[स्पर्शरेखा त्वरण]] कहा जाता है और परिपत्र गति में सामान्य या रेडियल त्वरण या केन्द्रापसारक त्वरण, परिपत्र गति और [[ केन्द्राभिमुख शक्ति |केन्द्राभिमुख बल]] इत्यादि रूप में होते है।
 
त्रि-आयामी अंतरिक्ष घटता का ज्यामितीय विश्लेषण, जो स्पर्शरेखा, (प्रिंसिपल) सामान्य और द्विअर्थी को बताता है, को फ्रेनेट-सीरेट फॉर्मूला द्वारा वर्णित किया गया है।<ref name = Andrews>{{cite book |title = Mathematical Techniques for Engineers and Scientists |author1=Larry C. Andrews |author2=Ronald L. Phillips |page = 164 |url = https://books.google.com/books?id=MwrDfvrQyWYC&q=particle+%22planar+motion%22&pg=PA164 |isbn = 978-0-8194-4506-3 |publisher = SPIE Press |year = 2003 }}</ref><ref name = Chand>{{cite book |title = Applied Mathematics |page = 337 |author1=Ch V Ramana Murthy |author2=NC Srinivas |isbn = 978-81-219-2082-7 | url = https://books.google.com/books?id=Q0Pvv4vWOlQC&pg=PA337 | publisher = S. Chand & Co. | year = 2001| location=New Delhi }}</ref>
 


== विशेष मामले ==
त्रि-आयामी अंतरिक्ष वक्रों का ज्यामितीय विश्लेषण के रूप में होता है, जो स्पर्शरेखा, मुख्य सामान्य और द्विसामान्य की व्याख्या करता है, इसे फ्रेनेट-सीरेट फॉर्मूला द्वारा वर्णित किया गया है।<ref name = Andrews>{{cite book |title = Mathematical Techniques for Engineers and Scientists |author1=Larry C. Andrews |author2=Ronald L. Phillips |page = 164 |url = https://books.google.com/books?id=MwrDfvrQyWYC&q=particle+%22planar+motion%22&pg=PA164 |isbn = 978-0-8194-4506-3 |publisher = SPIE Press |year = 2003 }}</ref><ref name = Chand>{{cite book |title = Applied Mathematics |page = 337 |author1=Ch V Ramana Murthy |author2=NC Srinivas |isbn = 978-81-219-2082-7 | url = https://books.google.com/books?id=Q0Pvv4vWOlQC&pg=PA337 | publisher = S. Chand & Co. | year = 2001| location=New Delhi }}</ref>
== विशेष स्थिति ==


=== वर्दी त्वरण ===
=== यूनिफार्म त्वरण ===
{{See also|Torricelli's equation}}
{{See also|टोरिकेली का समीकरण}}
[[File:Strecke und konstante Beschleunigung.png|thumb|एक समान त्वरण के लिए गति अंतर की गणना]]
[[File:Strecke und konstante Beschleunigung.png|thumb|एक समान त्वरण के लिए गति अंतर की गणना]]
समान या निरंतर त्वरण एक प्रकार की गति है जिसमें किसी वस्तु का वेग प्रत्येक समान समय अवधि में एक समान राशि से बदलता है।
समान या निरंतर त्वरण एक प्रकार की गति के रूप में होती है, जिसमें किसी ऑब्जेक्ट का वेग प्रत्येक समान समय अवधि में एक समान राशि से बदलता रहता है।


एक समान त्वरण का अक्सर उद्धृत उदाहरण एक समान [[ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र ]] में मुक्त गिरावट में एक वस्तु है।गति के प्रतिरोधों की अनुपस्थिति में एक गिरने वाले शरीर का त्वरण केवल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत मानक गुरुत्व पर निर्भर है।{{math|g}}(गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण भी कहा जाता है)।न्यूटन के दूसरे कानून द्वारा बल <math> \mathbf{F_g}</math> एक निकाय पर अभिनय द्वारा दिया जाता है:
एक समान त्वरण का अधिकांशतः उद्धृत उदाहरण एक समान [[ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र |गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र]] में मुक्त गिरावट में एक ऑब्जेक्ट के रूप में होता है। गति के प्रतिरोधों की अनुपस्थिति में एक गिरने वाले पिण्ड का त्वरण केवल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत मानक गुरुत्व पर निर्भर होता है। g को गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण भी कहा जाता है। न्यूटन के द्वितीय नियम द्वारा किसी पिंड पर लगने वाले बल <math> \mathbf{F_g}</math> द्वारा दिया जाता है
<math display="block"> \mathbf{F_g} = m  \mathbf{g}</math>
<math display="block"> \mathbf{F_g} = m  \mathbf{g}</math>
निरंतर त्वरण के मामले के सरल विश्लेषणात्मक गुणों के कारण, [[ विस्थापन ]] (वेक्टर), प्रारंभिक और समय-निर्भर वेग, और भौतिकी में समय के लिए त्वरण से संबंधित सरल सूत्र हैं:<ref>{{cite book |title=Physics for you: revised national curriculum edition for GCSE |author =Keith Johnson |publisher=Nelson Thornes |year=2001 |edition=4th |page=135 |url=https://books.google.com/books?id=D4nrQDzq1jkC&q=suvat&pg=PA135 |isbn=978-0-7487-6236-1}}</ref>
निरंतर त्वरण के स्थिति के सरल विश्लेषणात्मक गुणों के कारण, [[ विस्थापन |विस्थापन]] (वेक्टर), प्रारंभिक और समय निर्भर वेग और भौतिकी में समय के लिए त्वरण से संबंधित सरल सूत्र के रूप में होता है<ref>{{cite book |title=Physics for you: revised national curriculum edition for GCSE |author =Keith Johnson |publisher=Nelson Thornes |year=2001 |edition=4th |page=135 |url=https://books.google.com/books?id=D4nrQDzq1jkC&q=suvat&pg=PA135 |isbn=978-0-7487-6236-1}}</ref>
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
\mathbf{s}(t) &= \mathbf{s}_0 + \mathbf{v}_0 t + \tfrac{1}{2} \mathbf{a}t^2 = \mathbf{s}_0 + \tfrac{1}{2} \left(\mathbf{v}_0 + \mathbf{v}(t)\right) t \\
\mathbf{s}(t) &= \mathbf{s}_0 + \mathbf{v}_0 t + \tfrac{1}{2} \mathbf{a}t^2 = \mathbf{s}_0 + \tfrac{1}{2} \left(\mathbf{v}_0 + \mathbf{v}(t)\right) t \\
Line 83: Line 79:
{v^2}(t) &= {v_0}^2 + 2\mathbf{a \cdot}[\mathbf{s}(t)-\mathbf{s}_0]
{v^2}(t) &= {v_0}^2 + 2\mathbf{a \cdot}[\mathbf{s}(t)-\mathbf{s}_0]
\end{align}</math>
\end{align}</math>
कहाँ पे
जहाँ पे
* <math>t</math> बीता हुआ समय है,
* <math>t</math> बीता हुआ समय है,
* <math>\mathbf{s}_0</math> मूल से प्रारंभिक विस्थापन है,
* <math>\mathbf{s}_0</math> मूल से प्रारंभिक विस्थापन है,
* <math>\mathbf{s}(t)</math> समय पर मूल से विस्थापन है <math>t</math>,
* <math>\mathbf{s}(t)</math> समय पर मूल से विस्थापन <math>t</math> है
* <math>\mathbf{v}_0</math> प्रारंभिक वेग है,
* <math>\mathbf{v}_0</math> प्रारंभिक वेग है,
* <math>\mathbf{v}(t)</math> समय पर वेग है <math>t</math>, तथा
* <math>\mathbf{v}(t)</math> समय पर वेग है <math>t</math>, तथा
* <math>\mathbf{a}</math> त्वरण की समान दर है।
* <math>\mathbf{a}</math> त्वरण की समान दर के रूप में है।
 
विशेष रूप से, गति को दो ऑर्थोगोनल भागों में हल किया जा सकता है, एक निरंतर वेग और दूसरा उपरोक्त समीकरणों के अनुसार।जैसा कि [[ गैलीलियो ]] ने दिखाया, शुद्ध परिणाम परवलयिक गति है, जो वर्णन करता है, ई। & nbsp; जी।, पृथ्वी की सतह के पास एक वैक्यूम में एक प्रक्षेप्य का प्रक्षेपवक्र।<ref>{{cite book |title=Understanding physics |author1=David C. Cassidy |author2=Gerald James Holton |author3=F. James Rutherford |publisher=Birkhäuser |year=2002 |isbn=978-0-387-98756-9 |page=146 |url=https://books.google.com/books?id=iPsKvL_ATygC&q=parabolic+arc+uniform-acceleration+galileo&pg=PA146}}</ref>
 


विशेष रूप से, गति को दो ऑर्थोगोनल भागों में हल किया जा सकता है, एक स्थिर वेग का और दूसरा उपरोक्त समीकरणों के अनुसार, जैसा कि [[ गैलीलियो |गैलीलियो]] ने दिखाया कि शुद्ध परिणाम परवलयिक गति के रूप में होता है, जो पृथ्वी की सतह के निकट निर्वात में एक प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र का वर्णन करता है।<ref>{{cite book |title=Understanding physics |author1=David C. Cassidy |author2=Gerald James Holton |author3=F. James Rutherford |publisher=Birkhäuser |year=2002 |isbn=978-0-387-98756-9 |page=146 |url=https://books.google.com/books?id=iPsKvL_ATygC&q=parabolic+arc+uniform-acceleration+galileo&pg=PA146}}</ref>
=== परिपत्र गति ===
=== परिपत्र गति ===
{{multiple image
{{multiple image
Line 107: Line 101:
|caption3 = Acceleration vector '''a''', not parallel to the radial motion but offset by the angular and Coriolis accelerations, nor tangent to the path but offset by the centripetal and radial accelerations.
|caption3 = Acceleration vector '''a''', not parallel to the radial motion but offset by the angular and Coriolis accelerations, nor tangent to the path but offset by the centripetal and radial accelerations.
|footer = Kinematic vectors in plane [[polar coordinates]]. Notice the setup is not restricted to 2d space, but may represent the [[osculating plane]] plane in a point of an arbitrary curve in any higher dimension.}}
|footer = Kinematic vectors in plane [[polar coordinates]]. Notice the setup is not restricted to 2d space, but may represent the [[osculating plane]] plane in a point of an arbitrary curve in any higher dimension.}}
एक समान परिपत्र गति में, जो एक गोलाकार पथ के साथ निरंतर गति के साथ आगे बढ़ रहा है, एक कण वेग वेक्टर की दिशा के परिवर्तन से उत्पन्न एक त्वरण का अनुभव करता है, जबकि इसका परिमाण स्थिर रहता है।समय के संबंध में एक वक्र पर एक बिंदु के स्थान का व्युत्पन्न, यानी इसका वेग, इस बिंदु में त्रिज्या के लिए क्रमशः ऑर्थोगोनल के लिए वक्र के लिए हमेशा स्पर्शरेखा होता है।चूंकि समान गति में स्पर्शरेखा दिशा में वेग नहीं बदलता है, इसलिए त्वरण रेडियल दिशा में होना चाहिए, सर्कल के केंद्र की ओर इशारा करता है।यह त्वरण लगातार पड़ोसी बिंदु में स्पर्शरेखा होने के लिए वेग की दिशा को बदलता है, जिससे सर्कल के साथ वेग वेक्टर को घुमाता है।
एक समान परिपत्र गति में, जो एक गोलाकार पथ के साथ निरंतर गति के साथ आगे बढ़ रहा है, एक कण वेग वेक्टर की दिशा के परिवर्तन से उत्पन्न एक त्वरण का अनुभव करता है, जबकि इसका परिमाण स्थिर रहता है। समय के संबंध में एक वक्र पर एक बिंदु के स्थान का व्युत्पन्न, अर्थात इसका वेग, इस बिंदु में त्रिज्या के लिए क्रमशः ऑर्थोगोनल के लिए वक्र के लिए सदैव स्पर्शरेखा के रूप में होता है। चूंकि समान गति में स्पर्शरेखा दिशा में वेग नहीं बदलता है, इसलिए त्वरण रेडियल दिशा में होना चाहिए, यह सर्कल के केंद्र की ओर इशारा करता है। यह त्वरण लगातार निकटतम बिंदु में स्पर्शरेखा होने के लिए वेग की दिशा को बदलता है, जिससे सर्कल के साथ वेग वेक्टर को घुमाता है।


* किसी दिए गए गति के लिए <math>v</math>, इस ज्यामितीय रूप से त्वरण (सेंट्रिपेटल त्वरण) की भयावहता त्रिज्या के विपरीत आनुपातिक है <math>r</math> सर्कल का, और इस गति के वर्ग के रूप में बढ़ता है: <math qid=Q2248131 display="block"> a_c = \frac {v^2} {r}\,.</math>
*किसी दिए गए गति v के लिए, इस ज्यामितीय रूप से उत्पन्न त्वरण सेंट्रिपेटल त्वरण का परिमाण वृत्त की त्रिज्या r के व्युत्क्रमानुपाती होता है और इस गति के वर्ग के रूप में बढ़ता है<math qid="Q2248131" display="block"> a_c = \frac {v^2} {r}\,.</math>
* ध्यान दें कि, एक दिए गए कोणीय वेग के लिए <math>\omega</math>, सेंट्रिपेटल त्वरण सीधे त्रिज्या के लिए आनुपातिक है <math>r</math>।यह वेग की निर्भरता के कारण है <math>v</math> त्रिज्या पर <math>r</math>. <math display="block"> v = \omega r.</math>
* ध्यान दें कि, एक दिए गए कोणीय वेग <math>\omega</math> के लिए, सेंट्रिपेटल त्वरण सीधे त्रिज्या के लिए आनुपातिक <math>r</math>। है, यह वेग की निर्भरता के कारण <math>v</math> त्रिज्या पर <math>r</math>.के रूप में है<math display="block"> v = \omega r.</math>
ध्रुवीय घटकों में सेंट्रीपेटल त्वरण वेक्टर को व्यक्त करना, जहां <math>\mathbf{r} </math> इस दूरी के बराबर परिमाण के साथ सर्कल के केंद्र से कण तक एक वेक्टर है, और केंद्र की ओर त्वरण के उन्मुखीकरण पर विचार करना, पैदावार
ध्रुवीय घटकों में सेंट्रीपेटल त्वरण वेक्टर को व्यक्त करना होता है, जहां <math>\mathbf{r} </math> इस दूरी के बर