क्वांटम तर्क: Difference between revisions
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[[क्वांटम नींव| | [[क्वांटम नींव|क्वांटम मूल]] के [[गणितीय तर्क]] और भौतिकी विश्लेषण में, '''क्वांटम तर्क''' [[क्वांटम यांत्रिकी]] की संरचना से प्रेरित [[प्रस्ताव|प्रस्तावों]] के प्रकलन के लिए नियमों का एक समूह है। यह क्षेत्र अपने प्रारम्भिक बिंदु के रूप में [[गैरेट बिरखॉफ]] और जॉन वॉन न्यूमैन का एक अवलोकन लेता है, कि पारम्परिक यांत्रिकी में प्रायोगिक परीक्षणों की संरचना एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] बनाती है, लेकिन क्वांटम यांत्रिकी में प्रायोगिक परीक्षणों की संरचना बहुत अधिक जटिल संरचना बनाती है। | ||
क्वांटम तर्क को सामान्यतः प्रस्तावात्मक अनुमान के लिए सही तर्क के रूप में प्रस्तावित किया गया है, विशेष रूप से दार्शनिक [[हिलेरी पटनम]] द्वारा, कम से कम अपने जीवन में एक बिंदु पर। यह अभिधारणा पुत्नाम के 1968 के समाचार पट्र <nowiki>''</nowiki>तर्क अनुभवजन्य है<nowiki>''</nowiki>? में एक महत्वपूर्ण घटक था जिसमें उन्होंने तर्कवाक्य तर्क के नियमों की ज्ञानमीमांसा की स्थिति का विश्लेषण किया। आधुनिक दार्शनिक तर्क के आधार के रूप में क्वांटम तर्क को अस्वीकार करते हैं, क्योंकि इसमें भौतिक सशर्त का अभाव है; एक सामान्य विकल्प रेखीय तर्क की प्रणाली है, जिसमें से क्वांटम तर्क एक टुकड़ा है। | |||
गणितीय रूप से, बूलियन बीजगणित के लिए [[वितरण कानून|वितरण नियम]] को दुर्बलन करके | गणितीय रूप से, बूलियन बीजगणित के लिए [[वितरण कानून|वितरण नियम]] को दुर्बलन करके क्वांटम तर्क तैयार किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक [[ऑर्थोकंप्लीमेंट|ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड जाली]] होता है। क्वांटम-यांत्रिक वेधशालाओं और [[जितना राज्य|जितना स्थिति]] को क्वांटम संगणनाओं के लिए एक वैकल्पिक [[औपचारिकता (गणित)|वैधिकता (गणित)]] देते हुए या जाली पर कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। | ||
== परिचय == | == परिचय == | ||
क्वांटम तर्क और [[शास्त्रीय तर्क|पारम्परिक तर्क]] के बीच सबसे उल्लेखनीय अंतर प्रस्तावात्[[मक तर्क]] वितरण नियम की विफलता है:<ref>Peter Forrest, "Quantum logic" in ''[[Routledge Encyclopedia of Philosophy]]'', vol. 7, 1998. p. 882ff: "[Quantum logic] differs from the standard sentential calculus....The most notable difference is that the distributive laws fail, being replaced by a weaker law known as orthomodularity."</ref> : p और (q या r) = (p और q) या (p और r), | |||
जहाँ प्रतीक p, q और r प्रस्तावक चर हैं। | जहाँ प्रतीक p, q और r प्रस्तावक चर हैं। | ||
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== इतिहास और आधुनिक आलोचना == | == इतिहास और आधुनिक आलोचना == | ||
1932 के अपने पारम्परिक ग्रंथ [[क्वांटम | 1932 के अपने पारम्परिक ग्रंथ [[क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव]] में, जॉन वॉन न्यूमैन ने कहा कि [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] पर [[प्रक्षेपण (गणित)]] को भौतिक अवलोकनों के प्रस्ताव के रूप में देखा जा सकता है; अर्थात संभावित हाँ या ना वाले प्रश्न जो एक प्रेक्षक एक भौतिक प्रणाली की स्थिति के बारे में पूछ सकता है, ऐसे प्रश्न जिन्हें कुछ माप द्वारा सुलझाया जा सकता है।{{sfn|von Neumann|1932}} 1936 के सामाचार पत्र में वॉन न्यूमैन और बिरखॉफ द्वारा इन क्वांटम प्रस्तावों में प्रकलन करने के सिद्धांतों को तब क्वांटम तर्क कहा गया था।{{sfn|Birkhoff|von Neumann|1936}} | ||
[[जॉर्ज मैके]] ने अपनी 1963 की पुस्तक (जिसे | [[जॉर्ज मैके]] ने अपनी 1963 की पुस्तक (जिसे क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव भी कहा जाता है) में, क्वांटम तर्क को एक ऑर्थोकम्प्लिमेंटेड जाली की संरचना के रूप में स्वयंसिद्ध करने का प्रयास किया, और माना कि एक भौतिक अवलोकन योग्य को क्वांटम प्रस्ताव के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। हालांकि मैके की प्रस्तुति अभी भी मानती है कि [[orthocomplemented जाली|ऑर्थोकम्प्लिमेंटेड जाली]] एक वियोज्य अंतरिक्ष हिल्बर्ट अंतरिक्ष के [[बंद सेट|बंद सम्मुच्चय]] रैखिक उप-स्थानों का जाली (क्रम) है,{{sfn|Mackey|1963}} [[कॉन्स्टेंटाइन पिरोन]], गुंथर लुडविग और अन्य ने बाद में स्वयंसिद्धीकरण विकसित किए जो एक अंतर्निहित हिल्बर्ट स्थान नहीं मानते हैं।<ref>Piron: | ||
* C. Piron, "Axiomatique quantique" (in French), ''Helvetica Physica Acta'' vol. 37, 1964. DOI: [http://doi.org/10.5169/seals-113494 10.5169/seals-113494]. | * C. Piron, "Axiomatique quantique" (in French), ''Helvetica Physica Acta'' vol. 37, 1964. DOI: [http://doi.org/10.5169/seals-113494 10.5169/seals-113494]. | ||
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[[हंस रीचेनबैक]] के हाल ही में [[सामान्य सापेक्षता]] के बचाव से प्रेरित होकर, दार्शनिक हिलेरी पुतनाम ने 1968 और 1975 में दो पत्रों में मैके के काम को लोकप्रिय बनाया,{{sfn|Maudlin|2005}} जिसमें उन्होंने अपने सह-लेखक, भौतिक विज्ञानी [[डेविड फिंकेलस्टीन]] को इस विचार के लिए जिम्मेदार ठहराया कि | [[हंस रीचेनबैक]] के हाल ही में [[सामान्य सापेक्षता]] के बचाव से प्रेरित होकर, दार्शनिक हिलेरी पुतनाम ने 1968 और 1975 में दो पत्रों में मैके के काम को लोकप्रिय बनाया,{{sfn|Maudlin|2005}} जिसमें उन्होंने अपने सह-लेखक, भौतिक विज्ञानी [[डेविड फिंकेलस्टीन]] को इस विचार के लिए जिम्मेदार ठहराया कि क्वांटम मापन से जुड़ी विसंगतियां तर्क की विफलता से उत्पन्न होती हैं।{{sfn|Putnam|1969}} पुटनाम ने [[क्वांटम माप]]न की समस्या में छिपे-चर सिद्धांत या [[वेवफंक्शन पतन]] के लिए एक संभावित विकल्प विकसित करने की आशा की, लेकिन ग्लीसन का प्रमेय इस लक्ष्य के लिए गंभीर कठिनाइयों को प्रस्तुत करता है।{{sfn|Maudlin|2005}}{{sfn|Wilce}} बाद में, पुत्नाम ने अपने विचारों को वापस ले लिया, यद्यपि बहुत कम धूमधाम से,{{sfn|Maudlin|2005}} परन्तु हानि हो चुकी थी। जबकि बिरखॉफ़ और वॉन न्यूमैन के मूल कार्य ने केवल क्वांटम यांत्रिकी की [[कोपेनहेगन व्याख्या]] से जुड़ी गणनाओं को व्यवस्थित करने का प्रयास किया था, शोधकर्ताओं का एक समूह अब उभर आया था, वह या तो यह उम्मीद कर रहा था कि क्वांटम तर्क एक व्यवहार्य छिपा-चर सिद्धांत प्रदान करेगा, या इसकी आवश्यकता को कम करेगा।<ref>{{wikicite|T. A. Brody, "On Quantum Logic", ''Foundations of Physics'', vol. 14, no. 5, 1984. pp. 409-430.|ref={{harvid|Brody|1984}}}}</ref> उनका काम निष्फल प्रमाणित हुआ, और अब खराब प्रतिष्ठा में है।{{sfn|Bacciagaluppi|2009}} | ||
अधिकांश दार्शनिक | अधिकांश दार्शनिक क्वांटम तर्क को पारम्परिक तर्क का अनाकर्षक प्रतियोगी मानते हैं। यह स्पष्ट नहीं है कि क्वांटम तर्क, तर्क की एक प्रक्रिया का वर्णन करने के अर्थ में एक तर्क है, जो क्वांटम उपकरणों द्वारा किए गए मापों को सारांशित करने के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक भाषा के विपरीत है।{{sfn|Maudlin|2005|p=159-161}}{{sfn|Brody|1984}} (हालांकि, दूसरों का तर्क है कि वे तर्क हैं और सभी प्रामाणिक शर्तों को पूरा करते हैं, तर्कशास्त्रियों को एक अमूर्त वस्तु को तर्क कहने की आवश्यकता होती है।<ref>{{cite book |last1=Chiara |first1=Maria Luisa Dalla |author-link1=Maria Luisa Dalla Chiara |last2=Giuntini |first2=Roberto |last3=Greechie |first3=Richard |date=2004 |title=Reasoning in Quantum Theory: Sharp and Unsharp Quantum Logics |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-017-0526-4 |publisher=Springer Dordrecht |page=267 |doi=10.1007/978-94-017-0526-4 |isbn=978-94-017-0526-4 |quote=Why quantum logics? Simply because "quantum logics are there!" They seem to be deeply incorporated in the abstract structures generated by QT. Quantum logics are, without any doubt, logics. As we have seen, they satisfy all the canonical conditions that the present community of logicians require in order to call a given abstract object a logic. A question that has been often discussed concerns the compatibility between quantum logic and the mathematical formalism of quantum theory, based on classical logic. Is the quantum physicist bound to a kind of "logical schizophrenia"? At first sight, the copresence of different logics in one and the same theory may give a sense of uneasiness. However, the splitting of the basic logical operations (negation, conjunction, disjunction,...) into different connectives with different meanings and uses is now a well accepted logical phenomenon, that admits consistent descriptions. Classical and quantum logic turn out to apply to different sublanguages of quantum theory, that must be carefully distinguished.}}</ref>) विशेष रूप से, विज्ञान के आधुनिक दार्शनिक तर्क देते हैं कि क्वांटम तर्क भौतिक विज्ञान की समस्याओं को ठीक से हल करने के स्थान पर भौतिकी में अनसुलझी समस्याओं के लिए आध्यात्मिक कठिनाइयों को स्थानापन्न करने का प्रयास करता है।{{sfn|Brody|1984|pp=428-429}} [[टिम मौडलिन]] लिखते हैं कि क्वांटम तर्क माप समस्या को हल करता है | [माप] समस्या को स्तिथि के लिए असंभव बनाकर हल करता है।{{sfn|Maudlin|2005|p=174}} | ||
{{Quote frame|परिमाण तर्क के घोड़े को इतना पीटा गया है, कोड़े मारे गए हैं, और इतनी बुरी तरह से मरा गया है कि ... सवाल यह नहीं है कि घोड़ा फिर से उठेगा, यह है: दुनिया में यह घोड़ा पहले स्थान पर कैसे आया ? परिमाण तर्क की कहानी एक होनहार विचार के खराब होने की कहानी नहीं है, बल्कि यह एक बुरे विचार के निरंतर पीछा करने की कहानी है। ...कई, दार्शनिक और भौतिक विज्ञानी आश्वस्त हो गए हैं कि तर्क में परिवर्तन (और सबसे नाटकीय रूप से, शास्त्रीय तर्क की अस्वीकृति) किसी तरह परिमाण सिद्धांत को समझने में मदद करेगा, या किसी तरह परिमाण सिद्धांत द्वारा हमें सुझाया या मजबूर किया गया है। लेकिन परिमाण तर्क, इसके कई अवतारों और विविधताओं के माध्यम से, तकनीकी रूप और व्याख्या दोनों में, माल कभी नहीं दिया है।|मॉडलिन|[[#{{harvid|Maudlin|2005}}|हिलेरी पूनम]]|pp. 184-185}} | {{Quote frame|परिमाण तर्क के घोड़े को इतना पीटा गया है, कोड़े मारे गए हैं, और इतनी बुरी तरह से मरा गया है कि ... सवाल यह नहीं है कि घोड़ा फिर से उठेगा, यह है: दुनिया में यह घोड़ा पहले स्थान पर कैसे आया ? परिमाण तर्क की कहानी एक होनहार विचार के खराब होने की कहानी नहीं है, बल्कि यह एक बुरे विचार के निरंतर पीछा करने की कहानी है। ...कई, दार्शनिक और भौतिक विज्ञानी आश्वस्त हो गए हैं कि तर्क में परिवर्तन (और सबसे नाटकीय रूप से, शास्त्रीय तर्क की अस्वीकृति) किसी तरह परिमाण सिद्धांत को समझने में मदद करेगा, या किसी तरह परिमाण सिद्धांत द्वारा हमें सुझाया या मजबूर किया गया है। लेकिन परिमाण तर्क, इसके कई अवतारों और विविधताओं के माध्यम से, तकनीकी रूप और व्याख्या दोनों में, माल कभी नहीं दिया है।|मॉडलिन|[[#{{harvid|Maudlin|2005}}|हिलेरी पूनम]]|pp. 184-185}} | ||
क्वांटम तर्क तर्कशास्त्रियों के बीच एक अत्यंत तर्कहीन काउंटरएक्साम्पल के रूप में सीमित उपयोग में रहता है (दल्ला चियारा और गिउंटिनी: क्वांटम तर्क क्यों? सिर्फ इसलिए कि 'क्वांटम तर्क हैं!')।{{sfn|Dalla Chiara|Giuntini|2002}} हालांकि क्वांटम तर्क के लिए केंद्रीय अंतर्दृष्टि [[वर्गीकरण]] के लिए एक अंतर्ज्ञान पंप के रूप में गणितीय लोककथा बनी हुई है, चर्चा कदाचित ही कभी क्वांटम तर्क का उल्लेख करती है।<ref>[[Terry Tao]], "[https://terrytao.wordpress.com/2021/11/07/venn-and-euler-type-diagrams-for-vector-spaces-and-abelian-groups/ Venn and Euler type diagrams for vector spaces and abelian groups]" on ''What's New'' (blog), 2021.</ref> | |||
== बीजगणितीय संरचना == | == बीजगणितीय संरचना == | ||
क्वांटम तर्क को प्रस्तावों के सिद्धांत के रूप में स्वयंसिद्ध किया जा सकता है जो निम्नलिखित पहचानों को मापांक करता है:{{sfn|Megill|2019}} | |||
* <nowiki>a{{=}¬¬a</nowiki> | * <nowiki>a{{=}¬¬a</nowiki> | ||
* ∨ क्रम[[विनिमेय]] और साहचर्य है। | * ∨ क्रम[[विनिमेय]] और साहचर्य है। | ||
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वैकल्पिक फॉर्मूलेशन में [[प्राकृतिक कटौती|प्राकृतिक निगमन]] के माध्यम से व्युत्पन्न प्रस्ताव सम्मिलित हैं,{{sfn|Dalla Chiara|Giuntini|2002}} [[गणना का पालन करें|अनुवर्ती कलन]] <ref>{{cite journal | jstor = 44084050 | author1=N.J. Cutland |author2= P.F. Gibbins | title=A regular sequent calculus for Quantum Logic in which ∨ and ∧ are dual | journal=Logique et Analyse |series=Nouvelle Série | volume=25 | number=99 | pages=221–248 | date=Sep 1982 }}</ref><ref> | वैकल्पिक फॉर्मूलेशन में [[प्राकृतिक कटौती|प्राकृतिक निगमन]] के माध्यम से व्युत्पन्न प्रस्ताव सम्मिलित हैं,{{sfn|Dalla Chiara|Giuntini|2002}} [[गणना का पालन करें|अनुवर्ती कलन]] <ref>{{cite journal | jstor = 44084050 | author1=N.J. Cutland |author2= P.F. Gibbins | title=A regular sequent calculus for Quantum Logic in which ∨ and ∧ are dual | journal=Logique et Analyse |series=Nouvelle Série | volume=25 | number=99 | pages=221–248 | date=Sep 1982 }}</ref><ref> | ||
* {{cite journal | author=Hirokazu Nishimura | title=Proof theory for minimal quantum logic I | journal=International Journal of Theoretical Physics | volume=33 | number=1 | pages=103–113 | date=Jan 1994 |bibcode = 1994IJTP...33..103N |doi = 10.1007/BF00671616 | s2cid=123183879 }} | * {{cite journal | author=Hirokazu Nishimura | title=Proof theory for minimal quantum logic I | journal=International Journal of Theoretical Physics | volume=33 | number=1 | pages=103–113 | date=Jan 1994 |bibcode = 1994IJTP...33..103N |doi = 10.1007/BF00671616 | s2cid=123183879 }} | ||
* {{cite journal | author=Hirokazu Nishimura | title=Proof theory for minimal quantum logic II | journal=International Journal of Theoretical Physics | volume=33 | number=7 | pages=1427–1443 | date=Jul 1994 | doi=10.1007/bf00670687| bibcode=1994IJTP...33.1427N | s2cid=189850106 }}</ref> या विश्लेषणात्मक झांकी प्रणाली की विधि है।<ref>{{cite conference|url=http://www.kr.tuwien.ac.at/staff/tompits/papers/tableaux-99.pdf |author1=Uwe Egly |author2=Hans Tompits |title=क्वांटम लॉजिक में जेंटजन-लाइक मेथड्स|conference=8th Int. Conf. on Automated Reasoning with Analytic Tableaux and Related Methods (TABLEAUX) |publisher=[[SUNY Albany]] | year=1999 |citeseerx=10.1.1.88.9045 }}</ref> अपेक्षाकृत विकसित प्रमाण सिद्धांत के बावजूद, | * {{cite journal | author=Hirokazu Nishimura | title=Proof theory for minimal quantum logic II | journal=International Journal of Theoretical Physics | volume=33 | number=7 | pages=1427–1443 | date=Jul 1994 | doi=10.1007/bf00670687| bibcode=1994IJTP...33.1427N | s2cid=189850106 }}</ref> या विश्लेषणात्मक झांकी प्रणाली की विधि है।<ref>{{cite conference|url=http://www.kr.tuwien.ac.at/staff/tompits/papers/tableaux-99.pdf |author1=Uwe Egly |author2=Hans Tompits |title=क्वांटम लॉजिक में जेंटजन-लाइक मेथड्स|conference=8th Int. Conf. on Automated Reasoning with Analytic Tableaux and Related Methods (TABLEAUX) |publisher=[[SUNY Albany]] | year=1999 |citeseerx=10.1.1.88.9045 }}</ref> अपेक्षाकृत विकसित प्रमाण सिद्धांत के बावजूद, क्वांटम तर्क को [[निर्णायकता (तर्क)]] के रूप में नहीं जाना जाता है।{{sfn|Megill|2019}} | ||
== | == क्वांटम तर्क वेधशालाओं के तर्क के रूप में == | ||
इस लेख के शेष भाग में माना गया है कि पाठक हिल्बर्ट स्पेस पर स्व-संलग्न संचालक के [[वर्णक्रमीय सिद्धांत]] से परिचित है। हालांकि, मुख्य विचारों को परिमित-आयामी स्तिथि में समझा जा सकता है। | इस लेख के शेष भाग में माना गया है कि पाठक हिल्बर्ट स्पेस पर स्व-संलग्न संचालक के [[वर्णक्रमीय सिद्धांत]] से परिचित है। हालांकि, मुख्य विचारों को परिमित-आयामी स्तिथि में समझा जा सकता है। | ||
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=== एक | === एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की प्रस्तावित जाली === | ||
वॉन न्यूमैन द्वारा प्रस्तुत | वॉन न्यूमैन द्वारा प्रस्तुत क्वांटम यांत्रिकी के हिल्बर्ट स्पेस फॉर्मूलेशन में, हिल्बर्ट स्थल h पर कुछ (संभवतः अबाधित) सघन रूप से परिभाषित स्व-आसन्न संचालक a द्वारा एक भौतिक प्रेक्षण योग्य का प्रतिनिधित्व किया जाता है। a में एक वर्णक्रमीय अपघटन है, जो एक प्रक्षेपण-मूल्यवान है उपाय e 'r' के बोरेल सबसम्मुच्चय पर परिभाषित किया गया है। विशेष रूप से, 'R' पर किसी भी बंधे हुए बोरेल फलन f के लिए, संचालकों के लिए f का निम्नलिखित विस्तार किया जा सकता है: | ||
:<math> f(A) = \int_{\mathbb{R}} f(\lambda) \, d \operatorname{E}(\lambda).</math> | :<math> f(A) = \int_{\mathbb{R}} f(\lambda) \, d \operatorname{E}(\lambda).</math> | ||
स्तिथि में f एक अंतराल [a, b] का सूचक कार्य है, संचालक f (a) ईजेनवेल्यू के साथ a के [[सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर]] के उप-स्थान पर एक स्व-संलग्न प्रक्षेपण है {{closed-closed|''a'',''b''}}. उस उप-स्थान की व्याख्या पारम्परिक प्रस्ताव के | स्तिथि में f एक अंतराल [a, b] का सूचक कार्य है, संचालक f (a) ईजेनवेल्यू के साथ a के [[सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर]] के उप-स्थान पर एक स्व-संलग्न प्रक्षेपण है {{closed-closed|''a'',''b''}}. उस उप-स्थान की व्याख्या पारम्परिक प्रस्ताव के क्वांटम समधर्मी के रूप में की जा सकती है | ||
* A का मापन अंतराल [a, b] में एक मान देता है। | * A का मापन अंतराल [a, b] में एक मान देता है। | ||
यह पारम्परिक यांत्रिकी में प्रस्तावों के ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड जाली के लिए निम्नलिखित | यह पारम्परिक यांत्रिकी में प्रस्तावों के ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड जाली के लिए निम्नलिखित क्वांटम यांत्रिक प्रतिस्थापन का सुझाव देता है, अनिवार्य रूप से मैकी का स्वयंसिद्ध VII: | ||
* | * क्वांटम यांत्रिक प्रणाली के प्रस्ताव एच के बंद उप-स्थानों की जाली के अनुरूप हैं; एक प्रस्ताव V की उपेक्षा आयतीय पूरक V<sup>⊥ है। | ||
क्वांटम प्रस्तावों का स्थान Q भी क्रमिक रूप से पूर्ण है: कोई भी जोड़ीदार असंयुक्त अनुक्रम {V<sub>''i''</sub>}<sub>''i''</sub> q के तत्वों की कम से कम ऊपरी सीमा है। यहाँ W<sub>1</sub> की असम्बद्धता और w<sub>2</sub> मतलब w<sub>2</sub> W<sub>1</sub> की एक उपसमष्टि है। {''V<sub>i</sub>''}<sub>''i''</sub> की सबसे कम ऊपरी सीमा बंद आंतरिक प्रत्यक्ष योग है | |||
=== मानक शब्दार्थ === | === मानक शब्दार्थ === | ||
क्वांटम तर्क का मानक शब्दार्थ यह है कि क्वांटम तर्क एक वियोज्य समष्टि हिल्बर्ट समष्टि या [[पूर्व-हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] में [[प्रोजेक्शन ऑपरेटर|प्रक्षेप संचालक]] का तर्क है, जहाँ एक प्रेक्षणीय p [[egenspace|आइगेनस्पेस]] से जुड़ा होता है जिसके लिए p (जब मापा जाता है) का [[eigenvalue|आइगेनवैल्यू]] 1 होता है। वहाँ से , | |||
* ¬p, p का आयतीय पूरक है (चूँकि उन अवस्थाओं के लिए, p, P(p) = 0 के प्रेक्षण की प्रायिकता), | * ¬p, p का आयतीय पूरक है (चूँकि उन अवस्थाओं के लिए, p, P(p) = 0 के प्रेक्षण की प्रायिकता), | ||
* p∧q, p और q का प्रतिच्छेदन है, और | * p∧q, p और q का प्रतिच्छेदन है, और | ||
* p∨q = ¬(¬p∧¬q) अवस्थाों को संदर्भित करता है कि | * p∨q = ¬(¬p∧¬q) अवस्थाों को संदर्भित करता है कि क्वांटम अध्यारोपण p और q है। | ||
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इस शब्दार्थ में अच्छी संपत्ति है कि प्री-हिल्बर्ट समष्टि पूरा हो गया है (अर्थात, हिल्बर्ट) अगर और केवल अगर प्रस्ताव ऑर्थोमॉड्यूलर नियम को संतुष्ट करते हैं, तो परिणाम सोलर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।<ref>{{harvnb|Dalla Chiara|Giuntini|2002}} and {{harvnb|de Ronde|Domenech|Freytes}}. Despite suggestions otherwise in Josef Jauch, ''Foundations of Quantum Mechanics'', Addison-Wesley Series in Advanced Physics; Addison-Wesley, 1968, this property cannot be used to deduce a vector space structure, because it is not peculiar to (pre-)Hilbert spaces. An analogous claim holds in most [[Category (math)|categories]]; see John Harding, "[https://www.ams.org/journals/tran/1996-348-05/S0002-9947-96-01548-6/S0002-9947-96-01548-6.pdf Decompositions in Quantum Logic]," ''Transactions of the AMS'', vol. 348, no. 5, 1996. pp. 1839-1862.</ref> | इस शब्दार्थ में अच्छी संपत्ति है कि प्री-हिल्बर्ट समष्टि पूरा हो गया है (अर्थात, हिल्बर्ट) अगर और केवल अगर प्रस्ताव ऑर्थोमॉड्यूलर नियम को संतुष्ट करते हैं, तो परिणाम सोलर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।<ref>{{harvnb|Dalla Chiara|Giuntini|2002}} and {{harvnb|de Ronde|Domenech|Freytes}}. Despite suggestions otherwise in Josef Jauch, ''Foundations of Quantum Mechanics'', Addison-Wesley Series in Advanced Physics; Addison-Wesley, 1968, this property cannot be used to deduce a vector space structure, because it is not peculiar to (pre-)Hilbert spaces. An analogous claim holds in most [[Category (math)|categories]]; see John Harding, "[https://www.ams.org/journals/tran/1996-348-05/S0002-9947-96-01548-6/S0002-9947-96-01548-6.pdf Decompositions in Quantum Logic]," ''Transactions of the AMS'', vol. 348, no. 5, 1996. pp. 1839-1862.</ref> क्वांटम तर्क के ऑर्थोमॉड्यूलर संकेतार्थविज्ञान और संकेतार्थविज्ञान के कारण है,<ref>{{harvnb|Kalmbach|1974}} and {{harvnb|Kalmbach|1983}}</ref> एक पूर्णता प्रमेय है और यह कटौती प्रमेय के लिए विफल रहता है। | ||
<ref name="ka2">{{Cite book|title= क्वांटम लॉजिक में वर्तमान मुद्दे|last=Kalmbach|first=G.|publisher=Plenum Press|year=1981|editor-last=Beltrametti|editor-first=E.|chapter= Orthomodular Logic as a Hilbert Type Calculus|pages=333–340}}</ref> | <ref name="ka2">{{Cite book|title= क्वांटम लॉजिक में वर्तमान मुद्दे|last=Kalmbach|first=G.|publisher=Plenum Press|year=1981|editor-last=Beltrametti|editor-first=E.|chapter= Orthomodular Logic as a Hilbert Type Calculus|pages=333–340}}</ref> | ||
यद्यपि | यद्यपि क्वांटम तर्क का अधिकांश विकास मानक शब्दार्थ से प्रेरित है, यह बाद वाले की विशेषता नहीं है; उस जाली से संतुष्ट अतिरिक्त गुण हैं जिन्हें क्वांटम तर्क में रखने की आवश्यकता नहीं है।{{sfn|Dalla Chiara|Giuntini|2002}} | ||
== पारम्परिक तर्क के साथ अंतर == | == पारम्परिक तर्क के साथ अंतर == | ||
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बिल्कुल एक समाधान है, अर्थात् p के सम्मुच्चय-सैद्धांतिक पूरक। अनुमानों की जाली के स्तिथि में उपरोक्त समीकरणों के असीमित रूप से कई समाधान हैं (p के किसी भी बंद, बीजगणितीय पूरक इसे हल करते हैं; इसे ऑर्थोकोम्प्लीमेंट होने की आवश्यकता नहीं है)। | बिल्कुल एक समाधान है, अर्थात् p के सम्मुच्चय-सैद्धांतिक पूरक। अनुमानों की जाली के स्तिथि में उपरोक्त समीकरणों के असीमित रूप से कई समाधान हैं (p के किसी भी बंद, बीजगणितीय पूरक इसे हल करते हैं; इसे ऑर्थोकोम्प्लीमेंट होने की आवश्यकता नहीं है)। | ||
अधिक सामान्यतः, [[मूल्यांकन (तर्क)]] में | अधिक सामान्यतः, [[मूल्यांकन (तर्क)]] में क्वांटम तर्क में असामान्य गुण होते हैं। { ⊥, ⊤} में [[ कुल कार्य |कुल कार्य]] [[जाली समरूपता]] को स्वीकार करने वाला एक ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड लैटिस बूलियन होना चाहिए। निस्यंदन संपत्ति के साथ अधिकतम आंशिक समरूपता q का अध्ययन करना एक मानक समाधान है: | ||
:अगर a≤b और q(a)=⊤, फिर q(b)=⊤.{{sfn|Bacciagaluppi|2009}} | :अगर a≤b और q(a)=⊤, फिर q(b)=⊤.{{sfn|Bacciagaluppi|2009}} | ||
=== वितरण की विफलता === | === वितरण की विफलता === | ||
क्वांटम तर्क में अभिव्यंजना संकेतार्थविज्ञान का उपयोग करके वेधशालाओं का वर्णन करते हैं जो पारम्परिक तर्क जैसा दिखता है। हालांकि, पारम्परिक तर्क के विपरीत, वितरण नियम a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) विफल हो जाता है जब क्वांटम यांत्रिकी में वेधशालाओं की असंगति, जैसे स्थिति और गति के साथ काम करते हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि यह माप प्रणाली को प्रभावित करता है, और यह माप कि क्या एक संयोजन धारण करता है, यह नहीं मापता है कि कौन से संयोजन सत्य हैं। | |||
उदाहरण के लिए, एक साधारण एक-आयामी कण पर विचार करें जिसे x द्वारा दर्शाया गया है और p द्वारा संवेग है, और वेधशालाओं को परिभाषित करें: | उदाहरण के लिए, एक साधारण एक-आयामी कण पर विचार करें जिसे x द्वारा दर्शाया गया है और p द्वारा संवेग है, और वेधशालाओं को परिभाषित करें: | ||
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* c - x ≥ 0 | * c - x ≥ 0 | ||
अब, स्थिति और संवेग एक दूसरे के फूरियर रूपांतर हैं, और एक [[कॉम्पैक्ट समर्थन|सुसंहत समर्थन]] के साथ एक वर्ग-एकीकृत गैर-शून्य फलन का [[फूरियर रूपांतरण]] संपूर्ण कार्य है और इसलिए इसमें गैर-पृथक शून्य नहीं हैं। इसलिए, ऐसा कोई तरंग फलन नहीं है जो संवेग स्थान में सामान्यीकरण योग्य तरंग फलन है और ठीक x ≥ 0 पर गायब हो जाता है। इस प्रकार, a ∧ b और इसी तरह a ∧ c असत्य हैं, इसलिए (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) असत्य है। हालांकि, a ∧ (b ∨ c) एक के बराबर है, जो निश्चित रूप से गलत नहीं है (ऐसे अवस्था हैं जिनके लिए यह एक व्यवहार्य | अब, स्थिति और संवेग एक दूसरे के फूरियर रूपांतर हैं, और एक [[कॉम्पैक्ट समर्थन|सुसंहत समर्थन]] के साथ एक वर्ग-एकीकृत गैर-शून्य फलन का [[फूरियर रूपांतरण]] संपूर्ण कार्य है और इसलिए इसमें गैर-पृथक शून्य नहीं हैं। इसलिए, ऐसा कोई तरंग फलन नहीं है जो संवेग स्थान में सामान्यीकरण योग्य तरंग फलन है और ठीक x ≥ 0 पर गायब हो जाता है। इस प्रकार, a ∧ b और इसी तरह a ∧ c असत्य हैं, इसलिए (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) असत्य है। हालांकि, a ∧ (b ∨ c) एक के बराबर है, जो निश्चित रूप से गलत नहीं है (ऐसे अवस्था हैं जिनके लिए यह एक व्यवहार्य क्वांटम माप है)। इसके अलावा यदि कण की गतिकी के लिए प्रासंगिक हिल्बर्ट स्थान केवल संवेग को 1 से अधिक नहीं मानता है, तो एक सत्य है। | ||
अधिक समझने के लिए, p<sub>1</sub> और p<sub>2</sub> कण तरंग फलन के क्रमशः x <0 और x ≥ 0 के प्रतिबंध के लिए गति हो (प्रतिबंध के बाहर तरंग फलन शून्य के साथ)। माना |p|↾<sub>>1</sub> |p| का प्रतिबंध मोमेंटा के लिए है जो (पूर्ण मूल्य में)> 1 हैं। | अधिक समझने के लिए, p<sub>1</sub> और p<sub>2</sub> कण तरंग फलन के क्रमशः x <0 और x ≥ 0 के प्रतिबंध के लिए गति हो (प्रतिबंध के बाहर तरंग फलन शून्य के साथ)। माना |p|↾<sub>>1</sub> |p| का प्रतिबंध मोमेंटा के लिए है जो (पूर्ण मूल्य में)> 1 हैं। | ||
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) |p वाले अवस्थाों के अनुरूप है<sub>1</sub>|↾<sub>>1</sub> = | p<sub>2</sub>|↾<sub>>1</sub> = 0 (यह तब भी लागू होता है जब हम p को अलग तरह से परिभाषित करते हैं ताकि ऐसी अवस्थाओं को संभव बनाया जा सके; साथ ही, a ∧ b |p के अनुरूप है<sub>1</sub>|↾<sub>>1</sub>= 0 और p<sub>2</sub>=0)। एक संचालक के रूप में, p = p<sub>1</sub>+ p<sub>2</sub>, और अशून्य | p<sub>1</sub>|↾<sub>>1</sub> और | p<sub>2</sub>|↾<sub>>1</sub> शून्य उत्पन्न करने के लिए हस्तक्षेप कर सकता है |p|↾<sub>>1</sub>। ऐसा हस्तक्षेप | (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) |p वाले अवस्थाों के अनुरूप है<sub>1</sub>|↾<sub>>1</sub> = | p<sub>2</sub>|↾<sub>>1</sub> = 0 (यह तब भी लागू होता है जब हम p को अलग तरह से परिभाषित करते हैं ताकि ऐसी अवस्थाओं को संभव बनाया जा सके; साथ ही, a ∧ b |p के अनुरूप है<sub>1</sub>|↾<sub>>1</sub>= 0 और p<sub>2</sub>=0)। एक संचालक के रूप में, p = p<sub>1</sub>+ p<sub>2</sub>, और अशून्य | p<sub>1</sub>|↾<sub>>1</sub> और | p<sub>2</sub>|↾<sub>>1</sub> शून्य उत्पन्न करने के लिए हस्तक्षेप कर सकता है |p|↾<sub>>1</sub>। ऐसा हस्तक्षेप क्वांटम तर्क और क्वांटम यांत्रिकी की समृद्धि की कुंजी है। | ||
== | == क्वांटम माप से संबंध == | ||
=== मैके वेधशाला === | === मैके वेधशाला === | ||
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प्रमेय ([[वर्णक्रमीय प्रमेय]]) यदि'' q ''हिल्बर्ट 'h' के बंद उप-स्थानों की जाली है, तो मैके वेधशालाओं और 'h' पर सघन रूप से परिभाषित स्व-संबद्ध संचालकों के बीच एक विशेषण पत्राचार है। | प्रमेय ([[वर्णक्रमीय प्रमेय]]) यदि'' q ''हिल्बर्ट 'h' के बंद उप-स्थानों की जाली है, तो मैके वेधशालाओं और 'h' पर सघन रूप से परिभाषित स्व-संबद्ध संचालकों के बीच एक विशेषण पत्राचार है। | ||
=== | === क्वांटम संभाव्यता उपाय === | ||
{{Main|ग्लीसन की प्रमेय|परिमाण सांख्यिकीय यांत्रिकी}} | |||