हार तरंगिका: Difference between revisions
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[[Image:Haar wavelet.svg|thumb|right|बाल तरंगिका]]गणित में, हार [[ छोटा लहर |तरंगिका]] पुनर्वर्धित वर्ग-आकार के फलनों का क्रम है जो एक साथ तरंगिका परिवार या आधार बनाते हैं। तरंगिका विश्लेषण [[फूरियर विश्लेषण]] के समान है जिसमें यह अंतराल पर लक्ष्य फलन को ऑर्थोनॉर्मल आधार के रूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। हार अनुक्रम अब पहले ज्ञात तरंगिका आधार के रूप में पहचाना जाता है और बड़े पैमाने पर शिक्षण उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है। | |||
1909 में अल्फ्रेड हार द्वारा हार अनुक्रम प्रस्तावित किया गया था।<ref>see p. 361 in {{harvtxt|Haar|1910}}.</ref> हार ने इन फलनों का उपयोग [[इकाई अंतराल]] [0, 1] पर वर्ग-पूर्णांक फलनों के स्थान के लिए ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली का उदाहरण देने के लिए किया था। तरंगिकाओं का अध्ययन, और यहां तक कि तरंगिका शब्द भी बहुत बाद तक नहीं आया था था। [[Daubechies तरंगिका|डोबेचीज तरंगिका]] के एक विशेष स्थिति के रूप में, हार तरंगिका को Db1 के रूप में भी जाना जाता है। | |||
हर तरंगिका भी सबसे सरल संभव तरंगिका है। हर तरंगिका का प्रौद्योगिक हानि यह है कि यह [[निरंतर कार्य|निरंतर फलन]] नहीं करता है, और इसलिए व्युत्पन्न नहीं है। हालांकि, यह गुण अचानक संक्रमण ([[डिजिटल सिग्नल (सिग्नल प्रोसेसिंग)]]), जैसे मशीनों में उपकरण की विफलता की निगरानी के साथ संकेतों के विश्लेषण के लिए लाभ हो सकती है।<ref>{{cite journal |first1=B. |last1=Lee |first2=Y. S. |last2=Tarng |title=स्पिंडल मोटर करंट का उपयोग करके एंड मिलिंग में उपकरण की विफलता की निगरानी के लिए असतत तरंगिका परिवर्तन का अनुप्रयोग|journal=International Journal of Advanced Manufacturing Technology |year=1999 |volume=15 |issue=4 |pages=238–243 |doi=10.1007/s001700050062 |s2cid=109908427 }}</ref> | |||
हर तरंगिका भी सबसे सरल संभव तरंगिका है। हर तरंगिका का प्रौद्योगिक हानि यह है कि यह [[निरंतर कार्य]] नहीं करता है, और इसलिए व्युत्पन्न नहीं है। हालांकि, यह गुण अचानक संक्रमण ([[डिजिटल सिग्नल (सिग्नल प्रोसेसिंग)]]), जैसे मशीनों में उपकरण की विफलता की निगरानी के साथ संकेतों के विश्लेषण के लिए लाभ हो सकती है।<ref>{{cite journal |first1=B. |last1=Lee |first2=Y. S. |last2=Tarng |title=स्पिंडल मोटर करंट का उपयोग करके एंड मिलिंग में उपकरण की विफलता की निगरानी के लिए असतत तरंगिका परिवर्तन का अनुप्रयोग|journal=International Journal of Advanced Manufacturing Technology |year=1999 |volume=15 |issue=4 |pages=238–243 |doi=10.1007/s001700050062 |s2cid=109908427 }}</ref> | |||
हर तरंगिका का मदर तरंगिका फलन <math>\psi(t)</math> के रूप में वर्णित किया जा सकता है | हर तरंगिका का मदर तरंगिका फलन <math>\psi(t)</math> के रूप में वर्णित किया जा सकता है | ||
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== हार | == हार फलन और हार प्रणाली == | ||
<math>\mathbb{Z}</math> में पूर्णांकों की प्रत्येक जोड़ी n, k के लिए, हार फलन ''ψ'''n'',''k को सूत्र द्वारा'' [[वास्तविक रेखा]] | <math>\mathbb{Z}</math> में पूर्णांकों की प्रत्येक जोड़ी n, k के लिए, हार फलन ''ψ'''n'',''k को सूत्र द्वारा'' [[वास्तविक रेखा]] <math>\mathbb{R}</math> पर परिभाषित किया गया है'' | ||
:<math> \psi_{n,k}(t) = 2^{n / 2} \psi(2^n t-k), \quad t \in \mathbb{R}.</math> | :<math> \psi_{n,k}(t) = 2^{n / 2} \psi(2^n t-k), \quad t \in \mathbb{R}.</math> | ||
यह फलन [[ अर्ध-खुला अंतराल ]]{{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub> {{=}}}} {{nowrap|[ ''k''2<sup>−''n''</sup>, (''k''+1)2<sup>−''n''</sup>)}} पर समर्थित है, अर्थात्, यह उस अंतराल के बाहर किसी फलन का शून्य है। [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्पेस]] L<sup>2</sup>(<math>\mathbb{R}</math>) में इसका | यह फलन [[ अर्ध-खुला अंतराल |अर्ध-खुला अंतराल]] {{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub> {{=}}}} {{nowrap|[ ''k''2<sup>−''n''</sup>, (''k''+1)2<sup>−''n''</sup>)}} पर समर्थित है, अर्थात्, यह उस अंतराल के बाहर किसी फलन का शून्य है। [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्पेस]] L<sup>2</sup>(<math>\mathbb{R}</math>) में इसका इंटीग्रल 0 और नॉर्म 1 है, | ||
:<math> \int_{\mathbb{R}} \psi_{n, k}(t) \, d t = 0, \quad \|\psi_{n, k}\|^2_{L^2(\mathbb{R})} = \int_{\mathbb{R}} \psi_{n, k}(t)^2 \, d t = 1.</math> | :<math> \int_{\mathbb{R}} \psi_{n, k}(t) \, d t = 0, \quad \|\psi_{n, k}\|^2_{L^2(\mathbb{R})} = \int_{\mathbb{R}} \psi_{n, k}(t)^2 \, d t = 1.</math> | ||
हार फलन युग्मानूसार लंबकोणीय फलन हैं, | हार फलन युग्मानूसार लंबकोणीय फलन हैं, | ||
:<math> \int_{\mathbb{R}} \psi_{n_1, k_1}(t) \psi_{n_2, k_2}(t) \, d t = \delta_{n_1n_2} \delta_{k_1k_2}, </math> | :<math> \int_{\mathbb{R}} \psi_{n_1, k_1}(t) \psi_{n_2, k_2}(t) \, d t = \delta_{n_1n_2} \delta_{k_1k_2}, </math> | ||
जहाँ <math>\delta_{ij}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] का प्रतिनिधित्व करता है। यहाँ रूढ़िवादिता का कारण है: जब दो सहायक अंतराल <math>I_{n_1, k_1}</math> और <math>I_{n_2, k_2}</math> समान नहीं होते हैं, तो वे या तो अलग हो जाते हैं, या फिर दो में से छोटा समर्थन करता है, मान लीजिए <math>I_{n_1, k_1}</math>, दूसरे अंतराल के निचले या ऊपरी भाग में समाहित है, जिस पर फलन <math>\psi_{n_2, k_2}</math> स्थिर रहता है। इस स्थिति में यह इस प्रकार है कि इन दो हार | जहाँ <math>\delta_{ij}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] का प्रतिनिधित्व करता है। यहाँ रूढ़िवादिता का कारण है: जब दो सहायक अंतराल <math>I_{n_1, k_1}</math> और <math>I_{n_2, k_2}</math> समान नहीं होते हैं, तो वे या तो अलग हो जाते हैं, या फिर दो में से छोटा समर्थन करता है, मान लीजिए <math>I_{n_1, k_1}</math>, दूसरे अंतराल के निचले या ऊपरी भाग में समाहित है, जिस पर फलन <math>\psi_{n_2, k_2}</math> स्थिर रहता है। इस स्थिति में यह इस प्रकार है कि इन दो हार फलनों का उत्पाद पहले हार फलन का गुणक है, इसलिए उत्पाद का पूर्णांक 0 है। | ||
वास्तविक रेखा पर हार प्रणाली | वास्तविक रेखा पर हार प्रणाली फलनों का समूह है | ||
:<math>\{1\} \cup \{ \psi_{n,k}(t) \; : \; n \in \mathbb{Z}, \; k \in \mathbb{Z} \}.</math> | :<math>\{1\} \cup \{ \psi_{n,k}(t) \; : \; n \in \mathbb{Z}, \; k \in \mathbb{Z} \}.</math> | ||
यह L<sup>2</sup>(<math>\mathbb{R}</math>) में ऑर्थोनॉर्मल आधार है: लाइन पर हार प्रणाली L<sup>2</sup>(<math>\mathbb{R}</math>) में असामान्य आधार है। | यह L<sup>2</sup>(<math>\mathbb{R}</math>) में ऑर्थोनॉर्मल आधार है: लाइन पर हार प्रणाली L<sup>2</sup>(<math>\mathbb{R}</math>) में असामान्य आधार है। | ||
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== इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार प्रणाली == | == इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार प्रणाली == | ||
इस खंड में, चर्चा इकाई अंतराल [0, 1] और हार | इस खंड में, चर्चा इकाई अंतराल [0, 1] और हार फलनों तक सीमित है जो [0, 1] पर समर्थित हैं। 1910<ref>p. 361 in {{harvtxt|Haar|1910}}</ref> में हार द्वारा विचार किए गए फलनों की प्रणाली को इस लेख में [0, 1] पर हार प्रणाली कहा जाता है, इसमें [0, 1] पर स्थिर फलन 1 के अतिरिक्त के साथ | ||
इस लेख में [0, 1] पर हार प्रणाली कहा जाता है, इसमें | |||
:<math>\{ t \in [0, 1] \mapsto \psi_{n,k}(t) \; : \; n \in \N \cup \{0\}, \; 0 \leq k < 2^n\},</math> | :<math>\{ t \in [0, 1] \mapsto \psi_{n,k}(t) \; : \; n \in \N \cup \{0\}, \; 0 \leq k < 2^n\},</math> | ||
तरंगिकाएँ के उपसमुच्चय को परिभाषित किया गया है। | |||
हिल्बर्ट | ''हिल्बर्ट स्पेस शब्दों में, [0, 1] पर यह हार प्रणाली एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली है, अर्थात्, इकाई अंतराल पर वर्ग समाकलनीय फलन के स्पेस L<sup>2</sup>([0, 1]) के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है।'' | ||
[0, | [0, 1] पर लगातार फलन 1 के साथ हार सिस्टम पहले तत्व के रूप में जोड़े {{nowrap|(''n'', ''k'')}} के शब्दकोष क्रम के अनुसार आदेशित हार फलनों के साथ आगे स्पेस L<sup>p</sup> ([0, 1]) जब {{nowrap|1 ≤ ''p'' < ∞}} के लिए एक मोनोटोन स्कॉडर आधार है।<ref name="L. Tzafriri, 1977">see p. 3 in [[Joram Lindenstrauss|J. Lindenstrauss]], L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete '''92''', Berlin: Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-08072-4}}.</ref> यह आधार बिना शर्त जब {{nowrap|1 < ''p'' < ∞}} है।<ref>The result is due to [[Raymond Paley|R. E. Paley]], ''A remarkable series of orthogonal functions (I)'', Proc. London Math. Soc. '''34''' (1931) pp. 241-264. See also p. 155 in J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), "Classical Banach spaces II, Function spaces". Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete '''97''', Berlin: Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-08888-1}}.</ref> | ||
संबंधित [[रैडेमाकर प्रणाली]] है जिसमें हार | |||
संबंधित [[रैडेमाकर प्रणाली]] है जिसमें हार फलनों के योग शामिल हैं, | |||
:<math>r_n(t) = 2^{-n/2} \sum_{k=0}^{2^n - 1} \psi_{n, k}(t), \quad t \in [0, 1], \ n \ge 0.</math> | :<math>r_n(t) = 2^{-n/2} \sum_{k=0}^{2^n - 1} \psi_{n, k}(t), \quad t \in [0, 1], \ n \ge 0.</math> | ||
ध्यान दें कि | | ध्यान दें कि |''r<sub>n</sub>''(''t'')| = 1 = 1 [0, 1) पर. यह असामान्य प्रणाली है लेकिन यह पूर्ण नहीं है।<ref>{{SpringerEOM |title=Orthogonal system}}</ref><ref>{{cite book |first1=Gilbert G. |last1=Walter |first2=Xiaoping |last2=Shen |title=वेवलेट्स और अन्य ऑर्थोगोनल सिस्टम|year=2001 |location=Boca Raton |publisher=Chapman |isbn=1-58488-227-1 }}</ref> संभाव्यता सिद्धांत की भाषा में, रैडेमाकर अनुक्रम स्वतंत्र बर्नौली [[यादृच्छिक चर]] के एक अनुक्रम का एक उदाहरण है जिसका अर्थ 0 है। [[खिंचिन असमानता]] इस तथ्य को व्यक्त करती है कि सभी स्थानों में L<sup>p</sup>([0, 1]), {{nowrap|1 ≤ ''p'' < ∞}}, रैडेमाकर अनुक्रम ℓ<sup>2</sup> में इकाई सदिश आधार के समतुल्य है।<sup><ref>see for example p. 66 in [[Joram Lindenstrauss|J. Lindenstrauss]], L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete '''92''', Berlin: Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-08072-4}}.</ref> विशेष रूप से, L<sup>p([0, 1]), {{nowrap|1 ≤ ''p'' < ∞}}, में रैडेमाकर अनुक्रम की बंद रैखिक अवधि ℓ<sup>2</sup> के लिए[[आइसोमॉर्फिक नॉर्म्ड स्पेस]] से है। | ||
संभाव्यता सिद्धांत की भाषा में, रैडेमाकर अनुक्रम | |||
=== फैबर-शॉडर प्रणाली === | === फैबर-शॉडर प्रणाली === | ||
फैबर-शाउडर प्रणाली<ref name="Faber">Faber, Georg (1910), "Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", ''Deutsche Math.-Ver'' (in German) '''19''': 104–112. {{issn|0012-0456}}; | फैबर-शाउडर प्रणाली<ref name="Faber">Faber, Georg (1910), "Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", ''Deutsche Math.-Ver'' (in German) '''19''': 104–112. {{issn|0012-0456}}; | ||
http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553</ref><ref>Schauder, Juliusz (1928), "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems", ''Mathematische Zeitschrift'' '''28''': 317–320.</ref><ref>{{eom|id=f/f038020 | http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553</ref><ref>Schauder, Juliusz (1928), "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems", ''Mathematische Zeitschrift'' '''28''': 317–320.</ref><ref>{{eom|id=f/f038020 | ||
|title=Faber–Schauder system|first=B.I.|last= Golubov}}</ref> [0, 1] पर निरंतर | |title=Faber–Schauder system|first=B.I.|last= Golubov}}</ref> [0, 1] पर निरंतर फलनों का परिवार है, जिसमें निरंतर फलन 1, और हार प्रणाली में फलनों के [[ antiderivative |अनिश्चित अभिन्न]] के गुणक शामिल हैं [0, 1], [[समान मानदंड]] 1 को अधिकतम मानदंड में चुना गया है। यह प्रणाली ''S<sub>0</sub>= 1'' से शुरू होता है, फिर {{nowrap| ''s''<sub>1</sub>(''t'') {{=}} ''t''}} फलन 1 के 0 पर लुप्त होने वाला अनिश्चितकालीन इंटीग्रल [0, 1] पर हार प्रणाली का पहला तत्व है,। अगला, प्रत्येक पूर्णांक के लिए {{nowrap|''n'' ≥ 0}}, फलन करता है {{nowrap| ''s''<sub>''n'',''k''</sub>}} सूत्र द्वारा परिभाषित हैं | ||
:<math> | :<math> | ||
s_{n, k}(t) = 2^{1 + n/2} \int_0^t \psi_{n, k}(u) \, d u, \quad t \in [0, 1], \ 0 \le k < 2^n.</math> | s_{n, k}(t) = 2^{1 + n/2} \int_0^t \psi_{n, k}(u) \, d u, \quad t \in [0, 1], \ 0 \le k < 2^n.</math> | ||
ये | ये फलन {{nowrap| ''s''<sub>''n'',''k''</sub>}} के निरंतर हैं, अंतराल {{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub>}} द्वारा समर्थित टुकड़े-टुकड़े रैखिक हैं जो{{nowrap| ψ<sub>''n'',''k''</sub>}} का भी समर्थन करता है। फलनक्रम {{nowrap| ''s''<sub>''n'',''k''</sub>}} अंतराल {{nowrap| ''I''<sub>''n'',''k''</sub>}} के मध्यबिंदु {{nowrap| ''x''<sub>''n'',''k''</sub>}} पर 1 के बराबर है , उस अंतराल के दोनों हिस्सों पर रैखिक है। यह हर जगह 0 और 1 के बीच मान लेता है। | ||
फैबर-शाउडर प्रणाली [0, 1] पर निरंतर फलनों के स्थान C([0, 1]) के लिए शाउडर आधार है।<ref name="L. Tzafriri, 1977"/> | |||
C([0, 1]) में प्रत्येक f के लिए, आंशिक योग | C([0, 1]) में प्रत्येक f के लिए, आंशिक योग | ||
:<math> f_{n+1} = a_0 s_0 + a_1 s_1 + \sum_{m = 0}^{n-1} \Bigl( \sum_{k=0}^{2^m - 1} a_{m,k} s_{m, k} \Bigr) \in C([0, 1])</math> | :<math> f_{n+1} = a_0 s_0 + a_1 s_1 + \sum_{m = 0}^{n-1} \Bigl( \sum_{k=0}^{2^m - 1} a_{m,k} s_{m, k} \Bigr) \in C([0, 1])</math> | ||
फैबर-शाउडर प्रणाली में f के [[श्रृंखला विस्तार]] का निरंतर टुकड़ा-वार रैखिक फलन है जो {{nowrap|2<sup>''n''</sup> + 1}} बिंदु {{nowrap|''k''2<sup>−''n''</sup>}}, पर f से सहमत है, जहां {{nowrap| 0 ≤ ''k'' ≤ 2<sup>''n''</sup>}} है। अगला, सूत्र | |||
:<math> f_{n+2} - f_{n+1} = \sum_{k=0}^{2^n - 1} \bigl( f(x_{n,k}) - f_{n+1}(x_{n, k}) \bigr) s_{n, k} = \sum_{k=0}^{2^n - 1} a_{n, k} s_{n, k} </math> | :<math> f_{n+2} - f_{n+1} = \sum_{k=0}^{2^n - 1} \bigl( f(x_{n,k}) - f_{n+1}(x_{n, k}) \bigr) s_{n, k} = \sum_{k=0}^{2^n - 1} a_{n, k} s_{n, k} </math> | ||
चरण दर चरण f के विस्तार की गणना करने का तरीका देता है। चूँकि f हीन-बोरेल प्रमेय है, अनुक्रम {f<sub>''n''</sub>} समान रूप से f में परिवर्तित हो जाता है। यह इस प्रकार है कि f का | चरण दर चरण f के विस्तार की गणना करने का तरीका देता है। चूँकि f हीन-बोरेल प्रमेय है, अनुक्रम {f<sub>''n''</sub>} समान रूप से f में परिवर्तित हो जाता है। यह इस प्रकार है कि f का फैबर-शाउडर श्रृंखला विस्तार C([0, 1]) में अभिसरित होता है, और इस श्रृंखला का योग f के बराबर है। | ||
=== फ्रेंकलिन प्रणाली === | === फ्रेंकलिन प्रणाली === | ||
फ्रैंकलिन प्रणाली फैबर-शौडर प्रणाली से ग्राम-श्मिट प्रक्रिया द्वारा प्राप्त की जाती है। | चूंकि फ्रैंकलिन प्रणाली में फेबर शाउडर प्रणाली के समान रैखिक फैलाव है, इसलिए यह अवधि एल2 ([0, 1]) में सी ([0, 1]) में सघन है। | ||
चूंकि फ्रेंकलिन प्रणाली में फैबर-शौडर प्रणाली के समान रैखिक फैलाव है, इसलिए यह फैलाव C([0, 1]) में | |||
फ्रैंकलिन प्रणाली [[डिस्क बीजगणित]] | फ्रेंकलिन प्रणाली फैबर-शौडर प्रणाली से ग्राम-श्मिट ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन प्रक्रिया द्वारा प्राप्त की जाती है।<ref>see Z. Ciesielski, ''Properties of the orthonormal Franklin system''. Studia Math. 23 1963 141–157.</ref><ref>Franklin system. B.I. Golubov (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655</ref> चूंकि फ्रेंकलिन प्रणाली में फैबर-शौडर प्रणाली के समान रैखिक फैलाव है, इसलिए यह फैलाव C([0, 1]) में L<sup>2</sup>([0, 1]) में सघन है। फ्रैंकलिन प्रणाली इसलिए L<sup>2</sup>([0, 1]) के लिए एक असामान्य आधार है, जिसमें निरंतर टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य होते हैं। पी. फ्रेंकलिन ने 1928 में सिद्ध किया कि यह प्रणाली C([0, 1]) के लिए शाउडर आधार है।<ref>Philip Franklin, ''A set of continuous orthogonal functions'', Math. Ann. 100 (1928), 522-529. {{doi|10.1007/BF01448860}}</ref> फ्रेंकलिन प्रणाली स्पेस L<sup>p</sup>([0, 1]) के लिए बिना शर्त शॉडर आधार भी है जब {{nowrap|1 < ''p'' < ∞}} हो।<ref name="Bo">S. V. Bočkarev, ''Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system''. Mat. Sb. '''95''' (1974), 3–18 (Russian). Translated in Math. USSR-Sb. '''24''' (1974), 1–16.</ref> | ||
फ्रैंकलिन प्रणाली [[डिस्क बीजगणित]] A(D) में स्कॉडर आधार प्रदान करता है।<ref name="Bo" /> यह 1974 में बोकारेव द्वारा सिद्ध किया गया था जब डिस्क बीजगणित के लिए एक आधार का अस्तित्व चालीस से अधिक वर्षों तक खुला रहा था।<ref>The question appears p. 238, §3 in Banach's book, {{citation|first=Stefan|last=Banach|author-link=Stefan Banach|url=http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=1&wyd=10|title=Théorie des opérations linéaires|publication-place=Warszawa|publisher=Subwencji Funduszu Kultury Narodowej|year=1932|series=Monografie Matematyczne|volume=1|zbl=0005.20901}}. The disk algebra ''A''(''D'') appears as Example 10, p. 12 in Banach's book.</ref> | |||
A(D) में बोकेरेव का शाउडर आधार का निर्माण इस प्रकार है: मान लीजिए कि [0, π] पर जटिल मूल्यवान लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है; तो f निरपेक्ष अभिसरण गुणांक वाली फूरियर श्रृंखला का योग है। मान लें कि T(f) समान गुणांक वाली जटिल घात श्रृंखला द्वारा परिभाषित A(D) का तत्व है, | A(D) में बोकेरेव का शाउडर आधार का निर्माण इस प्रकार है: मान लीजिए कि [0, π] पर जटिल मूल्यवान लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है; तो f निरपेक्ष अभिसरण गुणांक वाली फूरियर श्रृंखला का योग है। मान लें कि T(f) समान गुणांक वाली जटिल घात श्रृंखला द्वारा परिभाषित A(D) का तत्व है, | ||
:<math> \left\{ f : x \in [0, \pi] \rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n \cos(n x) \right\} \longrightarrow \left\{ T(f) : z \rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n z^n, \quad |z| \le 1 \right\}.</math> | :<math> \left\{ f : x \in [0, \pi] \rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n \cos(n x) \right\} \longrightarrow \left\{ T(f) : z \rightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n z^n, \quad |z| \le 1 \right\}.</math> | ||
A(D) के लिए | A(D) के लिए बोकारेव का आधार [0, π] पर फ्रेंकलिन प्रणाली में फलनों के T के तहत छवियों द्वारा बनाया गया है। मैपिंग T के लिए बोकारेव का समकक्ष विवरण f को सम और विषम फलन लिप्सचिट्ज़ फलन g<sub>1</sub> [−π, π] पर तक विस्तारित करके शुरू होता है, जिसे इकाई वृत T पर एक लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शन के साथ पहचाना जाता है। इसके बाद, g<sub>2</sub> को g<sub>1</sub> का [[हार्डी अंतरिक्ष संयुग्म समारोह|हार्डी स्पेस संयुग्म फलन]] हो, और T(f) को A(D) में फलन के रूप में परिभाषित करें जिसका मान D की सीमा 'T' के {{nowrap|''g''<sub>1</sub> + i''g''<sub>2</sub>}} के बराबर है। | ||
1-आवधिक निरंतर | 1-आवधिक निरंतर फलनों के साथ काम करते समय, या बल्कि [0, 1] पर निरंतर फलनों के साथ काम करते हैं {{nowrap|''f''(0) {{=}} ''f''(1)}}, कोई फलन को हटा देता है {{nowrap| ''s''<sub>1</sub>(''t'') {{=}} ''t''}} फैबर-शौडर प्रणाली से, आवधिक फैबर-शौडर प्रणाली प्राप्त करने के लिए। आवधिक फ्रैंकलिन प्रणाली आवधिक फैबर-शौडर प्रणाली से ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन द्वारा प्राप्त की जाती है।<ref name="Prz">See p. 161, III.D.20 and p. 192, III.E.17 in {{citation | ||
| last=Wojtaszczyk | first= Przemysław | | last=Wojtaszczyk | first= Przemysław | ||
| title = Banach spaces for analysts | | title = Banach spaces for analysts | ||
| Line 110: | Line 112: | ||
| isbn = 0-521-35618-0 | | isbn = 0-521-35618-0 | ||
}}</ref> | }}</ref> | ||
== हार | A(D) पर बोकारेव के परिणाम को साबित करके साबित किया जा सकता है कि [0, 2π] पर आवधिक फ्रैंकलिन प्रणाली A(D) के लिए एक बैनाच स्पेस A<sub>''r''</sub> आइसोमोर्फिक के लिए एक आधार है।<ref name="Prz" /> | ||
हर तरंगिका के साथ जुड़ा हुआ 2×2 हार | स्पेस A<sub>''r''</sub> इकाई वृत टी पर जटिल निरंतर फलन होते हैं जिसका [[हार्मोनिक संयुग्म]] भी निरंतर होता है। | ||
== हार आव्यूह == | |||
हर तरंगिका के साथ जुड़ा हुआ 2×2 हार आव्यूह है | |||
: <math> H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.</math> | : <math> H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.</math> | ||
असतत तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करके, कोई भी अनुक्रम | असतत तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करके, कोई भी लंबाई के किसी भी अनुक्रम <math>(a_0,a_1,\dots,a_{2n},a_{2n+1})</math> को दो-घटक-वैक्टर <math> \left(\left(a_0,a_1\right),\left(a_2,a_3\right),\dots,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right) </math> के अनुक्रम में बदल सकता है।यदि कोई प्रत्येक सदिश को आव्यूह <math> H_2 </math> के साथ सही-गुणा करता है तो उसे तेज़ तेज हार-तरंगिका परिवर्तन के चरण का <math>\left(\left(s_0,d_0\right),\dots,\left(s_n,d_n\right)\right)</math> मिलता है। आम तौर पर कोई अनुक्रम एस और डी को अलग करता है और अनुक्रम एस को बदलने के साथ जारी रहता है। अनुक्रम s को अक्सर औसत भाग के रूप में जाना जाता है, जबकि d को विवरण भाग के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book |first1=David K. |last1=Ruch |first2=Patrick J. |last2=Van Fleet |title=Wavelet Theory: An Elementary Approach with Applications |year=2009 |publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-38840-2 }}</ref> | ||
यदि किसी के पास लंबाई का अनुक्रम चार में से है, तो कोई 4 तत्वों के ब्लॉक बना सकता है और उन्हें 4×4 हार | |||
यदि किसी के पास लंबाई का अनुक्रम चार में से है, तो कोई 4 तत्वों के ब्लॉक बना सकता है और उन्हें 4×4 हार आव्यूह के साथ समान तरीके से बदल सकता है। | |||
: <math> H_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},</math> | : <math> H_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},</math> | ||
जो तेज हार-तरंगिका | जो तेज हार-तरंगिका परिवर्तन के दो चरणों को जोड़ती है। | ||
[[वॉल्श मैट्रिक्स]] से तुलना करें, जो गैर-स्थानीयकृत 1/-1 | [[वॉल्श मैट्रिक्स|वॉल्श आव्यूह]] से तुलना करें, जो गैर-स्थानीयकृत 1/-1 आव्यूह है। | ||
आम तौर पर, 2N×2N हार | आम तौर पर, 2N×2N हार आव्यूह निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। | ||
: <math> H_{2N} = \begin{bmatrix} H_{N} \otimes [1, 1] \\ I_{N} \otimes [1, -1] \end{bmatrix}</math> | : <math> H_{2N} = \begin{bmatrix} H_{N} \otimes [1, 1] \\ I_{N} \otimes [1, -1] \end{bmatrix}</math> | ||
:जहाँ <math>I_{N} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix}</math> और <math>\otimes</math> [[क्रोनकर उत्पाद]] है। | :जहाँ <math>I_{N} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix}</math> और <math>\otimes</math> [[क्रोनकर उत्पाद]] है। | ||
क्रोनकर का उत्पाद <math>A \otimes B</math>, जहाँ <math>A</math> एम × एन | क्रोनकर का उत्पाद <math>A \otimes B</math>, जहाँ <math>A</math> एम × एन आव्यूह है और <math>B</math> p×q आव्यूह है, के रूप में व्यक्त किया गया है | ||
: <math>A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11}B & \dots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & \dots & a_{mn}B\end{bmatrix}.</math> | : <math>A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11}B & \dots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & \dots & a_{mn}B\end{bmatrix}.</math> | ||
गैर-सामान्यीकृत 8-बिंदु हार | गैर-सामान्यीकृत 8-बिंदु हार आव्यूह <math>H_8</math> नीचे दिखाया गया है | ||
: <math>H_{8} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1 \\ 1&1&-1&-1&0&0&0&0& \\ 0&0&0&0&1&1&-1&-1 \\ 1&-1&0&0&0&0&0&0& \\ 0&0&1&-1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&-1&0&0& \\ 0&0&0&0&0&0&1&-1 \end{bmatrix}.</math> | : <math>H_{8} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1 \\ 1&1&-1&-1&0&0&0&0& \\ 0&0&0&0&1&1&-1&-1 \\ 1&-1&0&0&0&0&0&0& \\ 0&0&1&-1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&-1&0&0& \\ 0&0&0&0&0&0&1&-1 \end{bmatrix}.</math> | ||
ध्यान दें कि, उपरोक्त | ध्यान दें कि, उपरोक्त आव्यूह गैर-सामान्यीकृत हार आव्यूह है। हार रूपांतरण के लिए आवश्यक हार आव्यूह को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए। | ||
हार | हार आव्यूह की परिभाषा से <math>H</math>, कोई यह देख सकता है कि, [[फूरियर रूपांतरण]] के विपरीत, <math>H</math> केवल वास्तविक तत्व हैं (अर्थात, 1, -1 या 0) और गैर-सममित है। | ||
8- | 8-बिंदु हार आव्यूह लें <math>H_8</math> उदहारण के लिए। की पहली पंक्ति <math>H_8</math> औसत मूल्य, और की दूसरी पंक्ति को मापता है <math>H_8</math> इनपुट वेक्टर के कम आवृत्ति घटक को मापता है। अगली दो पंक्तियाँ क्रमशः इनपुट वेक्टर के पहले और दूसरे भाग के प्रति संवेदनशील हैं, जो मध्यम आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं। शेष चार पंक्तियाँ इनपुट वेक्टर के चार खंडों के प्रति संवेदनशील हैं, जो उच्च आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं।<ref>{{cite web |url=http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |title=उसका|publisher=Fourier.eng.hmc.edu |date=2013-10-30 |access-date=2013-11-23 |archive-date=21 August 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120821004423/http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |url-status=dead }}</ref> | ||