बानाच समष्टि: Difference between revisions

गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, बानाख समष्टि (उच्चारण {{IPA-pl|ˈbanax|}}) एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण मीट्रिक समष्टि]] मानक सदिश समष्टि है। इस प्रकार, बानाख समष्टि [[मीट्रिक (गणित)]] मीट्रिक के साथ एक सदिश समष्टि है जो सदिश लंबाई और सदिशों के बीच की दूरी की गणना की स्वीकृति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि सदिशों का कॉची अनुक्रम सदैव एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है जो समष्टि के अंदर है।

बानाख समष्टि का नाम पोलिश गणितज्ञ [[स्टीफन बानाच]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को प्रस्तुत किया और 1920-1922 में [[हंस हैन (गणितज्ञ)]] और [[एडुआर्ड हेली]] के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987|loc=V.86}}<!--From French edition. Please check the "Historical Note" in the English edition.--></ref> मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बानाख समष्टि का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बानाख ने फ्रेचेट समष्टि शब्द नियत किया ।{{sfn|Narici|Beckenstein| 2011|p=93}} बानाख समष्टि मूल रूप से [[डेविड हिल्बर्ट]], मौरिस रेने फ्रेचेट, और [[फ्रिगियस रिज्ज़]] द्वारा शताब्दी में पहले फलन समष्टि के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बानाख समष्टि एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के अंतर्गत रिक्त समष्टि प्रायः बानाख समष्टि होते हैं।

एक बानाख समष्टि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि [[नॉर्म्ड स्पेस|नॉर्म्ड समष्टि]] है और <math>(X, \| \cdot \|)</math> मानक समष्टि युग्म है<ref group="note">It is common to read "<math>X</math> is a normed space" instead of the more technically correct but (usually) pedantic "<math>(X, \| \cdot \|)</math> is a normed space," especially if the norm is well known (for example, such as with [[Lp space|<math>L^p</math> spaces]]) or when there is no particular need to choose any one (equivalent) norm over any other (especially in the more abstract theory of [[topological vector space]]s), in which case this norm (if needed) is often automatically assumed to be denoted by <math>\| \cdot \|.</math> However, in situations where emphasis is placed on the norm, it is common to see <math>(X, \| \cdot \|)</math> written instead of <math>X.</math> The technically correct definition of normed spaces as pairs <math>(X, \| \cdot \|)</math> may also become important in the context of [[category theory]] where the distinction between the categories of normed spaces, [[normable space]]s, [[metric space]]s, [[topological vector space|TVS]]s, [[topological space]]s, etc. is usually important.</ref> जिसमे <math>(X, \| \cdot \|)</math> [[सदिश स्थल|सदिश क्षेत्र]]  <math>X</math> पर <math>\mathbb{K}</math> (जहाँ <math>\mathbb{K}</math> सामान्यतः है <math>\R</math> या <math>\Complex</math>) विशिष्ट वेक्टर समष्टि सम्मिलित है।<ref group="note">This means that if the norm <math>\| \cdot \|</math> is replaced with a different norm <math>\|\,\cdot\,\|^{\prime} \text{ on } X,</math> then <math>(X, \| \cdot \|)</math> is {{em|not}} the same normed space as <math>\left(X, \| \cdot \|^{\prime}\right),</math> even if the norms are equivalent. However, equivalence of norms on a given vector space does form an [[equivalence relation]].</ref> सामान्य (गणित) <math>\| \cdot \| : X \to \R</math> मानदंडों की तरह, यह मानदंड [[अनुवाद अपरिवर्तनीय]] और दूरी फलन<ref group="note" name="translation invariant metric">A metric <math>D</math> on a vector space <math>X</math> is said to be '''translation invariant''' if <math>D(x, y) = D(x + z, y + z)</math> for all vectors <math>x, y, z \in X.</math> This happens if and only if <math>D(x, y) = D(x - y, 0)</math> for all vectors <math>x, y \in X.</math> A metric that is induced by a norm is always translation invariant.</ref> मीट्रिक (गणित) को प्रेरित करता है, जिसे प्रामाणिक या मानक प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है। जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है।<ref group="note">Because <math>\|- z\| = \|z\|</math> for all <math>z \in X,</math> it is always true that <math>d(x, y) := \|y - x\| = \|x - y\|</math> for all <math>x, y \in X.</math> So the order of <math>x</math> and <math>y</math> in this definition does not matter.</ref>

सभी वैक्टर के लिए <math>x, y \in X.</math> यह है <math>X</math> एक मीट्रिक समष्टि में <math>(X, d).</math> अनुक्रम <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> बनाता है। {{nowrap|'''{{em|[[Cauchy sequence|<math>d</math>-कॉची]]}}'''}} को {{nowrap|'''{{em|कॉची मे}} <math>(X, d)</math>'''}} या {{nowrap|'''{{em|<math>\| \cdot \|</math>-कॉची}}'''}} में यदि प्रत्येक वास्तविक <math>r > 0,</math> वहाँ कुछ सूचकांक <math>N</math> सम्मिलित है जैसे कि

जब भी <math>m</math> और <math>n</math> से <math>N</math> अधिक हैं तो प्रामाणिक मीट्रिक <math>d</math> को पूर्ण मेट्रिक कहा जाता है यदि युग्म <math>(X, d)</math> पूर्ण मेट्रिक समष्टि है, जो परिभाषा के अनुसार प्रत्येक {{nowrap|<math>d</math>-[[कॉची अनुक्रम]]}} <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> में <math>(X, d)</math> के लिए <math>x \in X</math> सम्मिलित है जैसे कि

परिभाषा के अनुसार, मानक समष्टि <math>(X, \| \cdot \|)</math> बनच समष्टि है, यदि मानक प्रेरित मीट्रिक <math>d</math> एक [[पूर्ण मीट्रिक]] है, या अलग तरीके से कहा जाता है, यदि <math>(X, d)</math> एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है। नियम <math>\| \cdot \|</math> मानक समष्टि का <math>(X, \| \cdot \|)</math> को एक पूर्ण मानक कहा जाता है यदि <math>(X, \| \cdot \|)</math> बानाख समष्टि है।

किसी भी सामान्य समष्टि के लिए <math>(X, \| \cdot \|),</math> एक L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> पर <math>X</math> सम्मिलित है जैसे कि <math display="inline">\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</math> सभी <math>x \in X</math>; के लिए सामान्य रूप से, असीम रूप से कई L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल हो सकते हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं। L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल का एक सामान्यीकरण है, जो मूल रूप से हिल्बर्ट रिक्त समष्टि को अन्य सभी बानाच समष्टि से अलग करते हैं। इससे पता चलता है कि सभी मानक समष्टि (और इसलिए सभी बानाख समष्टि) को (पूर्व-) हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है।

सदिश समष्टि संरचना हमें कॉशी अनुक्रमों के व्यवहार को अभिसरण श्रृंखला (गणित) सामान्यीकरण के व्यवहार से संबंधित करने की स्वीकृति देती है। एक मानक समष्टि <math>X</math> एक बानाख समष्टि है यदि और केवल यदि <math>X</math> प्रत्येक निरपेक्ष अभिसरण श्रृंखला <math>X</math> में अभिसरित हो जाता है <ref>see Theorem&nbsp;1.3.9, p.&nbsp;20 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref>

प्रामाणिक मीट्रिक <math>d</math> एक मानक समष्टि का <math>(X, \|\cdot\|)</math> सामान्य [[मीट्रिक टोपोलॉजी|मीट्रिक सांस्थिति]] <math>\tau_d</math> पर <math>X</math> को प्रेरित करता है, जिसे प्रामाणिक या मानक प्रेरित [[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] कहा जाता है। जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है, तब तक प्रत्येक मानक समष्टि स्वचालित रूप से इस [[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ समष्टि]] सांस्थिति को ले जाने के लिए मान लिया जाता है। इस सांस्थिति के साथ, प्रत्येक बानाख समष्टि एक बायर समष्टि है, हालांकि ऐसे मानक समष्टि सम्मिलित हैं जो बेयर हैं लेकिन बानाख नहीं हैं।{{sfn|Wilansky|2013|p=29}} नियम <math>\|\,\cdot\,\| : \left(X, \tau_d\right) \to \R</math> सांस्थिति के संबंध में सदैव एक सतत फलन होता है जो इसे प्रेरित करता है।

त्रिज्या की विवृत और संवृत गोले <math>r > 0</math> बिंदु पर केंद्रित <math>x \in X</math> क्रमशः समुच्चय हैं

<math display=block>B_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| < r\} \qquad \text{ and } \qquad C_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| \leq r\}.</math> ऐसी कोई भी गोले <math>X</math> का एक उत्तल और परिबद्ध उपसमुच्चय है (सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि) है लेकिन एक [[ कॉम्पैक्ट जगह | सुसंहत समष्टि]] गोले/प्रतिवेश (सांस्थिति) सम्मिलित है यदि और केवल तभी <math>X</math> एक [[परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष|परिमित-आयामी वेक्टर समष्टि]] है।

<math display="block">x_0 + s B_r(x) = B_{|s| r}\left(x_0 + s x\right) \qquad \text{ and } \qquad x_0 + s C_r(x) = C_{|s| r}\left(x_0 + s x\right).</math> <math>s := 1</math> का उपयोग करते हुए दिखाता है कि यह मानक-प्रेरित सांस्थिति [[अनुवाद अपरिवर्तनीय टोपोलॉजी|अनुवाद अपरिवर्तनीय सांस्थिति]] है, जिसका अर्थ है कि किसी <math>x \in X</math> और <math>S \subseteq X</math> के लिए उप-समुच्चय <math>S</math> [[खुला सेट|विवृत समुच्चय]] (क्रमशः, [[बंद सेट|संवृत समुच्चय]])  <math>X</math> में है यदि और केवल यदि यह इसके अनुवाद <math>x + S := \{x + s : s \in S\}</math> के लिए सही है। परिणामस्वरूप, मानक प्रेरित सांस्थिति मूल रूप से किसी भी [[पड़ोस व्यवस्था|प्रतिवेश व्यवस्था]] द्वारा मूल रूप से निर्धारित की जाती है। मूल में कुछ सामान्य प्रतिवेश के आधारों में सम्मिलित हैं:

जहाँ <math>\left(r_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> धनात्मक वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो <math>0</math> में <math>\R</math> (जैसे कि <math>r_n := 1/n</math> या <math>r_n := 1/2^n</math> के लिए) अभिसरण करता है। तो उदाहरण के लिए, प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय <math>U</math> का <math>X</math> समूह के रूप में लिखा जा सकता है

कुछ उपसमुच्चय द्वारा अनुक्रमित <math>I \subseteq U,</math> जहां प्रत्येक <math>r_x</math> किसी पूर्णांक <math>r_x = \tfrac{1}{n_x}</math> कुछ पूर्णांक के लिए <math>n_x > 0</math> स्वरूप का है (संवृत गोले का उपयोग विवृत गोले के अतिरिक्त भी किया जा सकता है, हालांकि अनुक्रमणिका समुच्चय <math>I</math> और त्रिज्या <math>r_x</math> बदलने की आवश्यकता हो सकती है)। इसके अतिरिक्त, <math>I</math> [[ गणनीय सेट | गणनीय समुच्चय]] होने के लिए सदैव चयन किया जा सकता है यदि <math>X</math> {{em|[[वियोज्य समष्टि]]}} है, जिसका परिभाषा के अनुसार तात्पर्य है कि <math>X</math> कुछ गणनीय सघन समुच्चय सम्मिलित हैं। एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट समष्टि [[उत्पाद स्थान|गुणनफल समष्टि]] के लिए <math display="inline">\prod_{i \in \N} \R</math> की अनगिनत प्रतियाँ <math>\R</math> (इस होमियोमॉर्फिज़्म को एक रेखीय मानचित्र नहीं होना चाहिए) [[होमोमोर्फिज्म]] है।<ref>{{harvnb|Bessaga|Pełczyński|1975|p=189}}</ref> चूँकि प्रत्येक बानाख समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है, यह सभी अनंत-आयामी वियोज्य बानाख समष्टि के लिए भी सही है, जिसमें वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि L2-समष्टि <math>\ell</math>² अनुक्रम समष्टि <math>\ell^2(\N)</math> भी सम्मिलित है। इसका सामान्य मानदंड <math>\|\cdot\|_2,</math> जहां (परिमित-आयामी रिक्त समष्टि के विपरीत) <math>\ell^2(\N)</math> इसकी इकाई क्षेत्र <math>\left\{x \in \ell^2(\N) : \|x\|_2 = 1\right\}</math>होमोमोर्फिज्म भी है।

<math>S</math> का <math>\ell^2(\N)</math> सुसंहत उपसमुच्चय है जिसका उत्तल हल <math>\operatorname{co}(S)</math> संवृत {{em|not}} है और इस प्रकार भी सुसंहत {{em|not}} है (उदाहरण के लिए यह फुटनोट देखें।<ref group="note" name="ExampleCompactButHullIsNotCompact">Let <math>H</math> be the separable [[Hilbert space]] [[Lp space|<math>\ell^2(\N)</math>]] of square-summable sequences with the usual norm <math>\|\cdot\|_2</math> and let <math>e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)</math> be the standard [[orthonormal basis]] (that is <math>1</math> at the <math>n^{\text{th}}</math>-coordinate). The closed set <math>S = \{0\} \cup \left\{\tfrac{1}{n} e_n : n = 1, 2, \ldots\right\}</math> is compact (because it is [[Sequentially compact space|sequentially compact]]) but its convex hull <math>\operatorname{co} S</math> is {{em|not}} a closed set because <math>h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^n} \tfrac{1}{n} e_n</math> belongs to the closure of <math>\operatorname{co} S</math> in <math>H</math> but <math>h \not\in\operatorname{co} S</math> (since every sequence <math>\left(z_n\right)_{n=1}^\infty \in \operatorname{co} S</math> is a finite [[convex combination]] of elements of <math>S</math> and so <math>z_n = 0</math> for all but finitely many coordinates, which is not true of <math>h</math>). However, like in all [[Complete topological vector space|complete]] Hausdorff locally convex spaces, the {{em|closed}} convex hull <math>K := \overline{\operatorname{co}} S</math> of this compact subset is compact. The vector subspace <math>X := \operatorname{span} S = \operatorname{span} \left\{e_1, e_2, \ldots\right\}</math> is a [[pre-Hilbert space]] when endowed with the substructure that the Hilbert space <math>H</math> induces on it but <math>X</math> is not complete and <math>h \not\in C := K \cap X</math> (since <math>h \not\in X</math>). The closed convex hull of <math>S</math> in <math>X</math> (here, "closed" means with respect to <math>X,</math> and not to <math>H</math> as before) is equal to <math>K \cap X,</math> which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might {{em|fail}} to be compact (although it will be [[Totally bounded space|precompact/totally bounded]]).</ref>{{sfn|Aliprantis|Border|2006|p=185}} हालाँकि, सभी बानाख समष्टि की तरह, संवृत उत्तल हल  <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> उप-समुच्चय सुसंहत होगा।{{sfn|Trèves|2006|p=145}} लेकिन यदि एक मानक समष्टि पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से गारंटी {{em|not}} है कि <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> सुसंहत होगा जब भी <math>S</math> होगा; उदाहरण<ref group="note" name="ExampleCompactButHullIsNotCompact" /> के लिए (गैर-पूर्ण) पूर्व-हिल्बर्ट वेक्टर <math>\ell^2(\N)</math> उपसमष्टि में भी पाया जा सकता है

यह मानक-प्रेरित सांस्थिति <math>\left(X, \tau_d\right)</math> भी बनाती है एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक सांस्थिति के साथ संपन्न एक वेक्टर समष्टि है जो अतिरिक्त और अदिश गुणन के संचालन को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> है केवल एक निश्चित प्रकार की सांस्थिति के साथ एक सदिश समष्टि; अर्थात जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है {{em|not}} के साथ जुड़े कोई भी विशेष मानदंड या मीट्रिक (जिनमें से दोनों विस्मृत हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी विवृत गेंदों का समुच्चय मूल रूप से उत्तल [[संतुलित सेट|संतुलित समुच्चय]] विवृत समुच्चय से मिलकर [[पड़ोस का आधार|प्रतिवेश का आधार]] बनाता है। यह टीवीएस भी मानकीय है, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका सांस्थिति कुछ (संभवतः अज्ञात) मानक (गणित) से प्रेरित है। मानकीय टीवीएस को हॉसडॉर्फ होने और मूल के एक घिरे हुए उत्तल प्रतिवेश के रूप में चित्रित किया गया है।

==== पूर्ण मेट्रिजेबल वेक्टर सांस्थिति की तुलना ====

[[ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)]] का तात्पर्य है कि यदि <math>\tau \text{ and } \tau_2</math> सांस्थिति चालू हैं <math>X</math> जो दोनों बनाते हैं <math>(X, \tau)</math> और <math>\left(X, \tau_2\right)</math> [[एफ-स्पेस|एफ-समष्टि]] में (उदाहरण के लिए, बानाच या फ्रेचेट समष्टि) और यदि एक सांस्थिति दूसरे की तुलना में [[टोपोलॉजी की तुलना|सांस्थिति की तुलना]] है तो उन्हें समान होना चाहिए (अर्थात, यदि <math>\tau \subseteq \tau_2 \text{ or } \tau_2 \subseteq \tau \text{ then } \tau = \tau_2</math>).{{sfn|Trèves|2006|pp=166–173}}

तो उदाहरण के लिए, यदि <math>(X, p) \text{ and } (X, q)</math> सांस्थिति के साथ बानाख समष्टि हैं <math>\tau_p \text{ and } \tau_q</math> और यदि इन समष्टि में से एक में कुछ विवृत गोले है जो कि अन्य समष्टि का भी एक विवृत उपसमुच्चय है (या समकक्ष, यदि इनमें से एक <math>p : \left(X, \tau_q\right) \to \R</math> या <math>q : \left(X, \tau_p\right) \to \R</math> निरंतर है) तो उनकी सांस्थिति समान हैं और उनके [[समतुल्य मानदंड]] हैं।

पूर्ण मानक और समकक्ष मानदंड

दो मानदंड, <math>p</math> और <math>q,</math> सदिश समष्टि पर मानक (गणित) # समतुल्य मानदंड कहा जाता है{{em|equivalent}} यदि वे एक ही सांस्थिति प्रेरित करते हैं;<ref name="Conrad Equiv norms">{{cite web|url=https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|title=मानदंडों की समानता|last=Conrad|first=Keith|website=kconrad.math.uconn.edu|access-date=September 7, 2020}}</ref> ऐसा तब होता है जब और केवल तभी होता है जब धनात्मक वास्तविक संख्याएं सम्मिलित हों <math>c, C > 0</math> जैसे कि <math display=inline>c q(x) \leq p(x) \leq C q(x)</math> सभी के लिए <math> x \in X.</math> यदि <math>p</math> और <math>q</math> सदिश समष्टि पर दो समान मानदंड हैं <math>X</math> तब <math>(X, p)</math> एक बानाख समष्टि है यदि और केवल यदि <math>(X, q)</math> एक बानाख समष्टि है।

इस फ़ुटनोट को बानाच समष्टि पर एक सतत मानदंड के उदाहरण के लिए देखें {{em|not}} उस बानाख समष्टि के दिए गए मानदंड के बराबर।<ref group="note">Let <math>\left(C([0, 1]), \|\cdot\|_{\infty}\right)</math> denote the [[Continuous functions on a compact Hausdorff space|Banach space of continuous functions]] with the supremum norm and let <math>\tau_{\infty}</math> denote the topology on <math>C([0, 1])</math> induced by <math>\|\cdot\|_{\infty}.</math> The vector space <math>C([0, 1])</math> can be identified (via the [[inclusion map]]) as a proper [[Dense set|dense]] vector subspace <math>X</math> of the [[Lp-space|<math>L^1</math> space]] <math>\left(L^1([0, 1]), \|\cdot\|_1\right),</math> which satisfies <math>\|f\|_1 \leq \|f\|_{\infty}</math> for all <math>f \in X.</math> Let <math>p</math> denote the restriction of the [[Lp space|L¹-norm]] to <math>X,</math> which makes this map <math>p : X \to \R</math> a norm on <math>X</math> (in general, the restriction of any norm to any vector subspace will necessarily again be a norm). The normed space <math>(X, p)</math> is {{em|not}} a Banach space since its completion is the proper superset <math>\left(L^1([0, 1]), \|\cdot\|_1\right).</math> Because <math>p \leq \|\cdot\|_{\infty}</math> holds on <math>X,</math> the map <math>p : \left(X, \tau_{\infty}\right) \to \R</math> is continuous. Despite this, the norm <math>p</math> is {{em|not}} equivalent to the norm <math>\|\cdot\|_{\infty}</math> (because <math>\left(X, \|\cdot\|_{\infty}\right)</math> is complete but <math>(X, p)</math> is not).</ref><ref name="Conrad Equiv norms"/>