इकाई वेक्टर: Difference between revisions

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गणित में, सामान्यतया सदिश समष्टि में इकाई सदिश की लंबाई 1 होती है। इकाई [[सदिश]] को प्रायः लोअरकेस अक्षर द्वारा सरकमफ्लेक्स या "हैट" के रूप में दर्शाया जाता है, जैसा कि
गणित में, सामान्यतया सदिश समतल क्षेत्र में एकल सदिश की लंबाई 1 होती है। एकल [[सदिश]] को प्रायः लोअरकेस अक्षर के द्वारा चिह्नित किया जाता है, जिसमें गोलाकार या हैट होता है। जैसा कि


उच्चारण <math>\hat{\mathbf{v}}</math>-हैट के रूप में दर्शाया जाता है।
उच्चारण <math>\hat{\mathbf{v}}</math>-हैट के रूप में दर्शाया जाता है।


शब्द ''दिशा सदिश '', जिसे सामान्यतः डी के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसका उपयोग [[स्थानिक दिशा]] और [[सापेक्ष दिशा]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली इकाई सदिश का वर्णन करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएँ संख्यात्मक रूप से [[इकाई वृत्त]] पर बिंदुओं के समतुल्य होते है और 3डी में स्थानिक दिशाएँ इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के के बराबर होते है।
शब्द ''दिशा सदिश '', जिसे सामान्यतः डी के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसका उपयोग [[स्थानिक दिशा]] और [[सापेक्ष दिशा]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली एकल सदिश का वर्णन करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएँ संख्यात्मक रूप से [[इकाई वृत्त|एकल वृत्त]] पर बिंदुओं के समतुल्य होते है और 3डी में स्थानिक दिशाएँ एकल क्षेत्र पर एक बिंदु के के बराबर होते है।


एक गैर-शून्य सदिश यू का सामान्यीकृत सदिश यू की दिशा में इकाई सदिश के रूप में होता है जैसे ,
एक गैर-शून्य सदिश यू का सामान्यीकृत सदिश यू की दिशा में एकल सदिश के रूप में होता है जैसे ,
:<math alt="u-hat equals the vector u divided by its length">\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}</math>
:<math alt="u-hat equals the vector u divided by its length">\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}</math>
जहां एफ यू का मानक (गणित) या लंबाई होता है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=इकाई वेक्टर|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitVector.html#:~:text=A%20unit%20vector%20is%20a,as%20the%20(finite)%20vector%20.|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=Unit Vectors {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/unit-vectors/|access-date=2020-08-19|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> सामान्यीकृत सदिश शब्द को कभी कभी इकाई सदिश के लिए पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।
जहां एफ यू का मानक (गणित) या लंबाई होता है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=इकाई वेक्टर|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitVector.html#:~:text=A%20unit%20vector%20is%20a,as%20the%20(finite)%20vector%20.|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=Unit Vectors {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/unit-vectors/|access-date=2020-08-19|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> सामान्यीकृत सदिश शब्द को कभी कभी एकल सदिश के लिए पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।


इकाई सदिश को अधिकांशतः सदिश समष्टि के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] बनाने के लिए चुना जाता है और समष्टि में प्रत्येक सदिश को इकाई सदिश के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में लिखा जा सकता है।
एकल सदिश को अधिकांशतः सदिश समतल के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] बनाने के लिए चुना जाता है और समतल में प्रत्येक सदिश को एकल सदिश के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में लिखा जा सकता है।


== ऑर्थोगोनल निर्देशांक ==
== ऑर्थोगोनल निर्देशांक ==
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{{Main|मानक आधार}}
{{Main|मानक आधार}}


इकाई सदिश का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z अक्षों की दिशा में मानक इकाई सदिश के रूप में होते है  
एकल सदिश का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z अक्षों की दिशा में मानक एकल सदिश के रूप में होते है  


:<math alt= "i-hat equals the 3 by 1 matrix 1,0,0; j-hat equals the 3 by 1 matrix 0,1,0; k-hat equals the 3 by 1 matrix 0,0,1">
:<math alt= "i-hat equals the 3 by 1 matrix 1,0,0; j-hat equals the 3 by 1 matrix 0,1,0; k-hat equals the 3 by 1 matrix 0,0,1">
\mathbf{\hat{i}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{j}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\,  \mathbf{\hat{k}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}</math>
\mathbf{\hat{i}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{j}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\,  \mathbf{\hat{k}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}</math>
वे पारस्परिक रूप से[[ ओर्थोगोनल | ओर्थोगोनल]] इकाई सदिश का एक सेट बनाते हैं, जिसे सामान्यतः रैखिक बीजगणित में एक [[मानक आधार]] के रूप में संदर्भित किया जाता है।
वे पारस्परिक रूप से[[ ओर्थोगोनल | ओर्थोगोनल]] एकल सदिश का एक सेट बनाते हैं, जिसे सामान्यतः रैखिक बीजगणित में एक [[मानक आधार]] के रूप में संदर्भित किया जाता है।


वे अधिकांशतः सामान्य सदिश संकेतन जैसे,'' i ''का उपयोग करके निरूपित किया जाता है <math alt= "vector i">\vec{\imath}</math> मानक इकाई सदिश संकेतन के अतिरिक्त जैसे, <math alt= "unit vector i">\mathbf{\hat{\imath}}</math> के रूप में होता है, तथा अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि i, j, और k या <math alt="vector i">\vec{\imath},</math> <math alt= "vector j">\vec{\jmath},</math> और <math alt= "vector k"> \vec{k}</math> एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स होते है। अंकन पद्धति <math alt="x-hat, y-hat, z-hat">(\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}})</math>, <math alt="x-hat sub 1, x-hat sub 2, x-hat sub 3">(\mathbf{\hat{x}}_1, \mathbf{\hat{x}}_2, \mathbf{\hat{x}}_3)</math>, <math alt="e-hat sub x, e-hat sub y, e-hat sub z">(\mathbf{\hat{e}}_x, \mathbf{\hat{e}}_y, \mathbf{\hat{e}}_z)</math>, या <math alt= "e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">(\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3)</math>, के साथ या उसके बिना गणित का उपयोग किया जाता है,<ref name=":0" />विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां i, j, k किसी अन्य मात्रा के साथ भान्ति उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए,'' I '', ''J '', ''k ''जैसे अनुक्रमित सूचकांक प्रतीकों के साथ होता है, जो किसी सेट या सरणी या चर के अनुक्रम के तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता है।
वे अधिकांशतः सामान्य सदिश संकेतन जैसे,'' i ''का उपयोग करके निरूपित किया जाता है <math alt= "vector i">\vec{\imath}</math> मानक एकल सदिश संकेतन के अतिरिक्त जैसे, <math alt= "unit vector i">\mathbf{\hat{\imath}}</math> के रूप में होता है, तथा अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि i, j, और k या <math alt="vector i">\vec{\imath},</math> <math alt= "vector j">\vec{\jmath},</math> और <math alt= "vector k"> \vec{k}</math> एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स होते है। अंकन पद्धति <math alt="x-hat, y-hat, z-hat">(\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}})</math>, <math alt="x-hat sub 1, x-hat sub 2, x-hat sub 3">(\mathbf{\hat{x}}_1, \mathbf{\hat{x}}_2, \mathbf{\hat{x}}_3)</math>, <math alt="e-hat sub x, e-hat sub y, e-hat sub z">(\mathbf{\hat{e}}_x, \mathbf{\hat{e}}_y, \mathbf{\hat{e}}_z)</math>, या <math alt= "e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">(\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3)</math>, के साथ या उसके बिना गणित का उपयोग किया जाता है,<ref name=":0" />विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां i, j, k किसी अन्य मात्रा के साथ भान्ति उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए,'' I '', ''J '', ''k ''जैसे अनुक्रमित सूचकांक प्रतीकों के साथ होता है, जो किसी सेट या सरणी या चर के अनुक्रम के तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता है।


जब समष्टि में एक इकाई सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो कार्टेशियन संकेतन के साथ सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन अदिश घटकों को [[दिशा कोसाइन]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ इकाई सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर होता है। यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष या उन्मुख अक्ष सदिश के खंड के [[अभिविन्यास]] कोणीय स्थिति का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।
जब समतल में एक एकल सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो कार्टेशियन संकेतन के साथ सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन अदिश घटकों को [[दिशा कोसाइन]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ एकल सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर होता है। यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष या उन्मुख अक्ष सदिश के खंड के [[अभिविन्यास]] कोणीय स्थिति का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।


=== बेलनाकार निर्देशांक ===
=== बेलनाकार निर्देशांक ===
{{seealso| जैकोबियन आव्यूह }}
{{seealso| जैकोबियन आव्यूह }}


बेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त तीन [[ऑर्थोगोनल]] इकाई सदिश के रूप में होती है
बेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त तीन [[ऑर्थोगोनल]] एकल सदिश के रूप में होती है
* <math alt="rho-hat">\boldsymbol{\hat{\rho}}</math> (भी नामित <math alt="e-hat">\mathbf{\hat{e}}</math> या <math alt="s-hat">\boldsymbol{\hat s}</math>), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करती है, जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है
* <math alt="rho-hat">\boldsymbol{\hat{\rho}}</math> (भी नामित <math alt="e-hat">\mathbf{\hat{e}}</math> या <math alt="s-hat">\boldsymbol{\hat s}</math>), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करती है, जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है
* <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math>, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए देखा जाता है कि यदि बिंदु [[समरूपता अक्ष]] के प्रति घड़ी की वामावर्त दिशा में घूमता है
* <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math>, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए देखा जाता है कि यदि बिंदु [[समरूपता अक्ष]] के प्रति घड़ी की वामावर्त दिशा में घूमता है
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:<math alt="phi-hat equals negative sine of phi in the x-hat direction plus the cosine of phi in the y-hat direction">\boldsymbol{\hat \varphi} = -\sin(\varphi) \mathbf{\hat{x}} + \cos(\varphi) \mathbf{\hat{y}}</math>
:<math alt="phi-hat equals negative sine of phi in the x-hat direction plus the cosine of phi in the y-hat direction">\boldsymbol{\hat \varphi} = -\sin(\varphi) \mathbf{\hat{x}} + \cos(\varphi) \mathbf{\hat{y}}</math>
:<math alt="z-hat equals z-hat"> \mathbf{\hat{z}} = \mathbf{\hat{z}}.</math>
:<math alt="z-hat equals z-hat"> \mathbf{\hat{z}} = \mathbf{\hat{z}}.</math>
सदिश <math alt="rho-hat">\boldsymbol{\hat{\rho}}</math> और <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math> के कार्य के रूप में होते है <math alt="coordinate phi">\varphi,</math> और दिशा में स्थिर नहीं होते है। बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय इन इकाई सदिश को भी संचालित किया जाता है। डेरिवेटिव के संबंध में <math>\varphi</math> के रूप में होते है
सदिश <math alt="rho-hat">\boldsymbol{\hat{\rho}}</math> और <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math> के कार्य के रूप में होते है <math alt="coordinate phi">\varphi,</math> और दिशा में स्थिर नहीं होते है। बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय इन एकल सदिश को भी संचालित किया जाता है। डेरिवेटिव के संबंध में <math>\varphi</math> के रूप में होते है


:<math alt="partial derivative of rho-hat with respect to phi equals minus sine of phi in the x-hat direction plus cosine of phi in the y-hat direction equals phi-hat">\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\rho}}} {\partial \varphi} = -\sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \boldsymbol{\hat \varphi}</math>
:<math alt="partial derivative of rho-hat with respect to phi equals minus sine of phi in the x-hat direction plus cosine of phi in the y-hat direction equals phi-hat">\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\rho}}} {\partial \varphi} = -\sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \boldsymbol{\hat \varphi}</math>
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=== गोलाकार निर्देशांक ===
=== गोलाकार निर्देशांक ===


गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त इकाई सदिश <math alt="r-hat">\mathbf{\hat{r}}</math> के रूप में होती है, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है; <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat{\varphi}}</math>, वह दिशा जिसमें सकारात्मक एक्स-अक्ष से एक्स-वाई समतल वामावर्त में कोण बढ़ता रहता है और <math alt="theta-hat">\boldsymbol{\hat \theta}</math> जिस दिशा में सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ता है। प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए ध्रुवीय कोण <math alt="theta">\theta</math> को सामान्यतः शून्य और 180 डिग्री के बीच ले जाया जाता है। [[गोलाकार निर्देशांक]] में लिखे गए किसी भी क्रमबद्ध ट्रिपलेट के संदर्भ को विशेष रूप से ध्यान देना महत्वपूर्ण होता है, तथा भूमिकाओं के रूप में <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math> और <math alt="theta-hat">\boldsymbol{\hat \theta}</math> अधिकांशतः उलट होते हैं। यहाँ, अमेरिकन भौतिकी कन्वेंशन<ref>Tevian Dray and Corinne A. Manogue,Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).</ref> का प्रयोग किया जाता है। अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है <math alt="phi">\varphi</math> बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध के रूप में होती है
गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त एकल सदिश <math alt="r-hat">\mathbf{\hat{r}}</math> के रूप में होती है, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है; <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat{\varphi}}</math>, वह दिशा जिसमें सकारात्मक एक्स-अक्ष से एक्स-वाई समतल वामावर्त में कोण बढ़ता रहता है और <math alt="theta-hat">\boldsymbol{\hat \theta}</math> जिस दिशा में सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ता है। प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए ध्रुवीय कोण <math alt="theta">\theta</math> को सामान्यतः शून्य और 180 डिग्री के बीच ले जाया जाता है। [[गोलाकार निर्देशांक]] में लिखे गए किसी भी क्रमबद्ध ट्रिपलेट के संदर्भ को विशेष रूप से ध्यान देना महत्वपूर्ण होता है, तथा भूमिकाओं के रूप में <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math> और <math alt="theta-hat">\boldsymbol{\hat \theta}</math> अधिकांशतः उलट होते हैं। यहाँ, अमेरिकन भौतिकी कन्वेंशन<ref>Tevian Dray and Corinne A. Manogue,Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).</ref> का प्रयोग किया जाता है। अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है <math alt="phi">\varphi</math> बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध के रूप में होती है


:<math alt="r-hat equals sin of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus sine of theta times sine of phi in the y-hat direction plus cosine of theta in the z-hat direction">\mathbf{\hat{r}} = \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}}  + \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} + \cos \theta\mathbf{\hat{z}}</math>
:<math alt="r-hat equals sin of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus sine of theta times sine of phi in the y-hat direction plus cosine of theta in the z-hat direction">\mathbf{\hat{r}} = \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}}  + \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} + \cos \theta\mathbf{\hat{z}}</math>
:<math alt="theta-hat equals cosine of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus cosine of theta times sine of phi in the y-hat direction minus sine of theta in the z-hat direction">\boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}</math>
:<math alt="theta-hat equals cosine of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus cosine of theta times sine of phi in the y-hat direction minus sine of theta in the z-hat direction">\boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}</math>
:<math alt="phi-hat equals minus sine of phi in the x-hat direction plus cosine of phi in the y-hat direction">\boldsymbol{\hat \varphi} = - \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}}</math>
:<math alt="phi-hat equals minus sine of phi in the x-hat direction plus cosine of phi in the y-hat direction">\boldsymbol{\hat \varphi} = - \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}}</math>
गोलाकार इकाई सदिश दोनों पर निर्भर करते हैं <math alt="phi">\varphi</math> और <math alt="theta">\theta</math> और इसलिए 5 संभावित गैर-शून्य डेरिवेटिव के रूप में होते है। अधिक पूर्ण विवरण के लिए, [[जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक|जैकबियन आव्यूह और निर्धारक]] को देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव के रूप में होते है।
गोलाकार एकल सदिश दोनों पर निर्भर करते हैं <math alt="phi">\varphi</math> और <math alt="theta">\theta</math> और इसलिए 5 संभावित गैर-शून्य डेरिवेटिव के रूप में होते है। अधिक पूर्ण विवरण के लिए, [[जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक|जैकबियन आव्यूह और निर्धारक]] को देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव के रूप में होते है।


:<math alt="partial derivative of r-hat with respect to phi equals minus sine of theta times sine of phi in the x-hat direction plus sine of theta times cosine of phi in the y-hat direction equals sine of theta in the phi-hat direction">\frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \varphi} = -\sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \sin \theta\boldsymbol{\hat \varphi}</math>
:<math alt="partial derivative of r-hat with respect to phi equals minus sine of theta times sine of phi in the x-hat direction plus sine of theta times cosine of phi in the y-hat direction equals sine of theta in the phi-hat direction">\frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \varphi} = -\sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \sin \theta\boldsymbol{\hat \varphi}</math>
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=== सामान्य इकाई वैक्टर ===
=== सामान्य एकल वैक्टर ===


{{main|ऑर्थोगोनल निर्देशांक}}
{{main|ऑर्थोगोनल निर्देशांक}}


इकाई सदिश के सामान्य विषय पूरे भौतिकी और [[ज्यामिति]] में पाए जाते हैं<ref>{{cite book|title=कैलकुलस (शाउम की रूपरेखा श्रृंखला)|edition=5th|publisher=Mc Graw Hill|author1=F. Ayres |author2=E. Mendelson |year=2009|isbn=978-0-07-150861-2}}</ref>
एकल सदिश के सामान्य विषय पूरे भौतिकी और [[ज्यामिति]] में पाए जाते हैं<ref>{{cite book|title=कैलकुलस (शाउम की रूपरेखा श्रृंखला)|edition=5th|publisher=Mc Graw Hill|author1=F. Ayres |author2=E. Mendelson |year=2009|isbn=978-0-07-150861-2}}</ref>


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! scope="col" width="200" | इकाई सदिश
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! scope="col" width="410" | आरेख
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| वक्र/फ्लक्स रेखा के लिए टेंगेंट सदिश के रूप में होते है || <math> \mathbf{\hat{t}}</math> || rowspan="3" | [[File:Tangent normal binormal unit vectors.svg|200px|"200px"]] [[File:Polar coord unit vectors and normal.svg|200px|"200px"]]
| वक्र/फ्लक्स रेखा के लिए टेंगेंट सदिश के रूप में होते है || <math> \mathbf{\hat{t}}</math> || rowspan="3" | [[File:Tangent normal binormal unit vectors.svg|200px|"200px"]] [[File:Polar coord unit vectors and normal.svg|200px|"200px"]]
एक सामान्य सदिश <math> \mathbf{\hat{n}} </math> रेडियल स्थिति सदिश द्वारा युक्त और परिभाषित समष्टि के लिए <math> r \mathbf{\hat{r}} </math> और रोटेशन की कोणीय स्पर्शरेखा दिशा <math> \theta \boldsymbol{\hat{\theta}} </math> आवश्यक है ताकि कोणीय गति के सदिश समीकरण बने रहें।.
एक सामान्य सदिश <math> \mathbf{\hat{n}} </math> रेडियल स्थिति सदिश द्वारा युक्त और परिभाषित समतल के लिए <math> r \mathbf{\hat{r}} </math> और रोटेशन की कोणीय स्पर्शरेखा दिशा <math> \theta \boldsymbol{\hat{\theta}} </math> आवश्यक है जिससे की कोणीय गति के सदिश समीकरण बने रहें।.
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|रेडियल स्थिति घटक और कोणीय स्पर्शरेखा घटक युक्त सतह स्पर्शरेखा समष्टि/ समष्टि के लिए सामान्य रूप में होते है  
|रेडियल स्थिति घटक और कोणीय स्पर्शरेखा घटक युक्त सतह स्पर्शरेखा समतल के लिए सामान्य रूप में होते है  
|| <math> \mathbf{\hat{n}}</math>
|| <math> \mathbf{\hat{n}}</math>


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| किसी अक्ष/रेखा के समानांतर होता है || <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel} </math> || rowspan="2" | [[File:Perpendicular and parallel unit vectors.svg|200px|"200px"]]
| किसी अक्ष/रेखा के समानांतर होता है || <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel} </math> || rowspan="2" | [[File:Perpendicular and parallel unit vectors.svg|200px|"200px"]]
एक इकाई सदिश <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel}</math> एक प्रमुख दिशा लाल रेखा और एक लंबवत इकाई वेक्टर के समानांतर संरेखित होते है <math> \mathbf{\hat{e}}_{\bot}</math> प्रिंसिपल लाइन के सापेक्ष किसी भी रेडियल दिशा में होते है।
एक एकल सदिश <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel}</math> एक प्रमुख दिशा लाल रेखा और एक लंबवत एकल वेक्टर के समानांतर संरेखित होते है <math> \mathbf{\hat{e}}_{\bot}</math> प्रिंसिपल लाइन के सापेक्ष किसी भी रेडियल दिशा में होते है।
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| कुछ रेडियल दिशा में कुछ अक्ष/रेखा के लंबवत रूप में होते है
| कुछ रेडियल दिशा में कुछ अक्ष/रेखा के लंबवत रूप में होते है
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|| <math> \mathbf{\hat{e}}_{\angle} </math>
|| <math> \mathbf{\hat{e}}_{\angle} </math>
|| [[File:Angular unit vector.svg|200px|"200px"]]
|| [[File:Angular unit vector.svg|200px|"200px"]]
एक मुख्य दिशा के सापेक्ष 0 या π/2 रेड सहित तीव्र विचलन कोण φ पर इकाई सदिश के रूप में होते है।
एक मुख्य दिशा के सापेक्ष 0 या π/2 रेड सहित तीव्र विचलन कोण φ पर एकल सदिश के रूप में होते है।
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== वक्रता निर्देशांक ==
== वक्रता निर्देशांक ==
सामान्यतः, एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्र इकाई सदिश <math alt="e-hat sub n">\mathbf{\hat{e}}_n</math> का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाता है<ref name=":0" /> वास्तविक संख्या समष्टि की स्वतंत्र डिग्री के बराबर होती है। साधारणतया 3समष्टि के लिए, इन सदिश <math alt="e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3</math> को निरूपित किया जाता है। यह अधिकांशतः सुविधाजनक रूप में होता है प्रणाली को ऑर्थोनॉर्मल और [[दाहिने हाथ का नियम]] होना चाहिए।
सामान्यतः, एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्र एकल सदिश <math alt="e-hat sub n">\mathbf{\hat{e}}_n</math> का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाता है<ref name=":0" /> वास्तविक संख्या समतल की स्वतंत्र डिग्री के बराबर होती है। साधारणतया 3समतल के लिए, इन सदिश <math alt="e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3</math> को निरूपित किया जाता है। यह अधिकांशतः सुविधाजनक रूप में होता है प्रणाली को ऑर्थोनॉर्मल और [[दाहिने हाथ का नियम]] होना चाहिए।


:<math alt="e-hat sub i dot e-hat sub j equals Kronecker delta of i and j">\mathbf{\hat{e}}_i \cdot \mathbf{\hat{e}}_j = \delta_{ij} </math>
:<math alt="e-hat sub i dot e-hat sub j equals Kronecker delta of i and j">\mathbf{\hat{e}}_i \cdot \mathbf{\hat{e}}_j = \delta_{ij} </math>
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== राइट वर्सोर ==
== राइट वर्सोर ==
एक इकाई सदिश मे <math>\mathbb{R}^3</math> को डब्ल्यू आर हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों <math>\mathbb{H} \subset \mathbb{R}^4</math>को विकसित किया था। वास्तव में, वह सदिश शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में <math>q = s + v</math> एक अदिश भाग s और एक सदिश भाग v के रूप में होते है। यदि V एक इकाई सदिश <math>\mathbb{R}^3</math> है, फिर v का वर्ग चतुर्भुज -1 है। इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, <math>\exp (\theta v) = \cos \theta + v \sin \theta</math> 3-गोलाकार का एक [[पाठ्यक्रम में होना|वर्सोर]] है। जब θ एक [[समकोण]] है, तो वर्सोर एक समकोण संस्करण है इसका अदिश भाग शून्य है और इसका सदिश भाग V एक इकाई सदिश <math>\mathbb{R}^3</math> के रूप में होता है।
एक एकल सदिश मे <math>\mathbb{R}^3</math> को डब्ल्यू आर हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों <math>\mathbb{H} \subset \mathbb{R}^4</math>को विकसित किया था। वास्तव में, वह सदिश शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में <math>q = s + v</math> एक अदिश भाग s और एक सदिश भाग v के रूप में होते है। यदि V एक एकल सदिश <math>\mathbb{R}^3</math> है, फिर v का वर्ग चतुर्भुज -1 है। इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, <math>\exp (\theta v) = \cos \theta + v \sin \theta</math> 3-गोलाकार का एक [[पाठ्यक्रम में होना|वर्सोर]] है। जब θ एक [[समकोण]] है, तो वर्सोर एक समकोण संस्करण है इसका अदिश भाग शून्य है और इसका सदिश भाग V एक एकल सदिश <math>\mathbb{R}^3</math> के रूप में होता है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
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*ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
*ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
*मानक आधार
*मानक आधार
*इकाई अंतराल
*एकल अंतराल
* [[इकाई]] [[एकक वर्ग|वर्ग]],[[इकाई]] क्यूब , इकाई वृत्त, इकाई गोला और [[इकाई हाइपरबोला]] के रूप में होता है  
* एकल [[एकक वर्ग|वर्ग]],एकल क्यूब , एकल वृत्त, एकल गोला और [[इकाई हाइपरबोला|एकल हाइपरबोला]] के रूप में होता है
* सदिश संकेतन
* सदिश संकेतन
*सदिश के बारे में
*सदिश के बारे में
*[[ एकक मैट्रिक्स | इकाई आव्यूह]]
*[[ एकक मैट्रिक्स | एकल आव्यूह]]


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
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*{{cite book|first=David J.|last=Griffiths|title=Introduction to Electrodynamics|edition=3rd|year=1998|publisher=Prentice Hall|isbn=0-13-805326-X|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0}}
*{{cite book|first=David J.|last=Griffiths|title=Introduction to Electrodynamics|edition=3rd|year=1998|publisher=Prentice Hall|isbn=0-13-805326-X|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0}}


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Latest revision as of 10:38, 15 March 2023


गणित में, सामान्यतया सदिश समतल क्षेत्र में एकल सदिश की लंबाई 1 होती है। एकल सदिश को प्रायः लोअरकेस अक्षर के द्वारा चिह्नित किया जाता है, जिसमें गोलाकार या हैट होता है। जैसा कि

उच्चारण -हैट के रूप में दर्शाया जाता है।

शब्द दिशा सदिश , जिसे सामान्यतः डी के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसका उपयोग स्थानिक दिशा और सापेक्ष दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली एकल सदिश का वर्णन करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएँ संख्यात्मक रूप से एकल वृत्त पर बिंदुओं के समतुल्य होते है और 3डी में स्थानिक दिशाएँ एकल क्षेत्र पर एक बिंदु के के बराबर होते है।

एक गैर-शून्य सदिश यू का सामान्यीकृत सदिश यू की दिशा में एकल सदिश के रूप में होता है जैसे ,

जहां एफ यू का मानक (गणित) या लंबाई होता है।[1][2] सामान्यीकृत सदिश शब्द को कभी कभी एकल सदिश के लिए पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।

एकल सदिश को अधिकांशतः सदिश समतल के आधार (रैखिक बीजगणित) बनाने के लिए चुना जाता है और समतल में प्रत्येक सदिश को एकल सदिश के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

ऑर्थोगोनल निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांक

Main article: मानक आधार

एकल सदिश का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z अक्षों की दिशा में मानक एकल सदिश के रूप में होते है