गुणा: Difference between revisions
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{{about| | {{about| गणितीय कार्य विधि }} | ||
[[File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|thumb|right|3 मार्बल्स के 4 बैग बारह मार्बल्स (4 × 3 = 12) देते हैं।]] | |||
[[File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|thumb|right| | |||
[[File:Multiply scaling.svg|thumb|right|गुणन को [[ पैमाने के कारक ]] भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।]] | [[File:Multiply scaling.svg|thumb|right|गुणन को [[ पैमाने के कारक ]] भी माना जा सकता है। यहां हम देखते हैं कि स्केलिंग का उपयोग करके 2 को 3 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 मिलता है।]] | ||
[[File:Multiplication as scaling integers.gif|thumb|गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।]] | [[File:Multiplication as scaling integers.gif|thumb|गुणा 2 × 3 = 6 के लिए एनिमेशन।]] | ||
[[File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|thumb|right|4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।]] | [[File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|thumb|right|4 × 5 = 20। बड़ा आयत 20 वर्गों से बना है, प्रत्येक 1 इकाई 1 इकाई है।]] | ||
[[File:Multiply field fract.svg|thumb|right|एक कपड़े का क्षेत्रफल {{nowrap|1=4.5m × 2.5m = 11.25m<sup>2</sup>}}; {{nowrap|1=4{{sfrac|1|2}} × 2{{sfrac|1|2}} = 11{{sfrac|1|4}}}}]]गुणन ( | [[File:Multiply field fract.svg|thumb|right|एक कपड़े का क्षेत्रफल {{nowrap|1=4.5m × 2.5m = 11.25m<sup>2</sup>}}; {{nowrap|1=4{{sfrac|1|2}} × 2{{sfrac|1|2}} = 11{{sfrac|1|4}}}}]]गुणन (प्रायः क्रॉस प्रतीक {{char|'''×'''}} द्वारा चिह्नित, मध्य-रेखा डॉट संक्रिया {{char|'''⋅'''}} द्वारा, जक्सटैप द्वारा, या, कंप्यूटर पर, एक तारक द्वारा {{char|'''*'''}}) [[ अंकगणित |अंकगणित]] के चार [[Index.php?title=प्राथमिक अंकगणितीय|प्राथमिक अंकगणितीय]] [[Index.php?title=ऑपरेशन गणित|संक्रियाओं]] में से एक है, जिनमे अन्य संक्रियाए जोड़, घटाव, और विभाजन हैं। गुणन संक्रिया के परिणाम को [[Index.php?title= उत्पाद(गणित)|गुणनफल]] कहा जाता है। | ||
[[ प्राकृतिक संख्या ]] के गुणन को | [[ प्राकृतिक संख्या |प्राकृतिक संख्या]] के गुणन को पुनरावर्ती जोड़ के रूप में संदर्भित किया जा स है; अर्थात्, दो संख्याओं का गुणन उनमें से एक की कई प्रतियों को जोड़ने के समान है, गुण्य, दूसरे की मात्रा के रूप में, गुणक होता है। दोनों संख्याओं को कारकों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। | ||
:<math>a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_{a \text{ times}}</math> | :<math>a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_{a \text{ times}}</math> | ||
उदाहरण के लिए, 4 | उदाहरण के लिए, 4 का 3 से गुणा किया जाता है, जिसे प्रायः इस रूप में <math> 3 \times 4 </math> लिखा जाता है और 3 गुना 4 के रूप में बोला जाता है, इसकी गणना 4 की 3 प्रतियों को एक साथ जोड़कर भी की जा सकती है: | ||
:<math>3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12</math> | :<math>3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12</math> | ||
यहाँ, 3 (गुणक) और 4 ( | यहाँ, 3 (गुणक) और 4 (गुण्य) गुणनखंड हैं, और 12 गुणनफल है। | ||
गुणन के मुख्य | गुणन के मुख्य गुणों में से एक[[ क्रमचयी गुणधर्म | क्रम विनिमय गुण]] है, जो इस परिप्रेक्ष्य में बताता है कि 4 की 3 प्रतियां जोड़ने से और 3 की 4 प्रतियां जोड़ने से समान परिणाम मिलता है: | ||
:<math>4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12</math> | :<math>4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12</math> | ||
इस प्रकार गुणक और | इस प्रकार गुणक और गुण्य का पदनाम, गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण, पूर्णांकों के ऋणात्मक संख्याओं सहित, परिमेय संख्याओं के अंशों और वास्तविक संख्याओं के गुणन को परिभाषित करता हैं। | ||
इस मूल परिभाषा के व्यवस्थित सामान्यीकरण पूर्णांकों | |||
गुणन को एक [[ आयत ]] (पूर्ण संख्याओं के लिए) में व्यवस्थित वस्तुओं की | गुणन को एक [[ आयत |आयत]] (पूर्ण संख्याओं के लिए) में व्यवस्थित वस्तुओं की गिनती के रूप में भी देखा जा सकता है या एक आयत का [[ क्षेत्र |क्षेत्रफल]] ज्ञात करने के रूप में देखा जा सकता है, जिसकी भुजाओं में कुछ दी गई [[ लंबाई |लंबाई]] होती है। एक आयत का क्षेत्रफल इस बात पर निर्भर नहीं करता है,कि किस भुजा को पहले मापा जाता है,यह क्रमविनिमेय विशेषता का एक परिणाम है। | ||
दो मापों का | दो मापों का गुणन एक नए प्रकार का मापन है। उदाहरण के लिए, किसी आयत की दोनों भुजाओं की लंबाइयों को गुणा करने पर उसका क्षेत्रफल प्राप्त होता है। ऐसा गुणन[[ आयामी विश्लेषण | विमितीय विश्लेषण]] का विषय है। | ||
गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन | गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया विभाजन है। उदाहरण के लिए, 4 को 3 से गुणा करने पर 12 प्राप्त होता है, तो 12 को 3 से विभाजित करने पर भी 4 प्राप्त होता है। वास्तव में, 3 से गुणा करने पर 3 से भाग करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। 0 के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या का सामान संख्या से विभाजन करने पर 1 प्राप्त होता है। | ||
गुणन को अन्य प्रकार की संख्याओं के लिए भी परिभाषित किया गया है, जैसे कि [[ जटिल संख्या |सम्मिश्र संख्याएँ]], और अधिक अमूर्त निर्माणों जैसे [[ मैट्रिक्स (गणित) |मैट्रिक्स गणित]] आदि। इनमें से कुछ अधिक अमूर्त निर्माणों के लिए,यह मुख्य है की किस क्रम में संकार्य को एक साथ गुणा किया जाए। गणित में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के गुणन की सूची गुणन में दी गई है। | |||
== संकेतन और शब्दावली == | == संकेतन और शब्दावली == | ||
{{Infobox symbol | {{Infobox symbol | ||
|name= | |name= गुणन चिन्ह | ||
|sign=× ⋅ | |sign=× ⋅ | ||
|unicode={{unichar|00D7| | |unicode={{unichar|00D7|गुणन चिन्ह|html=}}<br />{{unichar|22C5|बिन्दु संकार्य|html=}} | ||
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}} | }} | ||
{{See also| | {{See also|गुणक (भाषाविज्ञान)}} | ||
अंकगणित में, गुणन को | अंकगणित में, गुणन को प्रायः गुणन चिह्न ( {{char|×}} या {{char|<math>\times</math> }} ) को सबंधों के मध्य अर्थात,[[ इन्फिक्स नोटेशन ]]में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, | ||
:<math>2\times 3 = 6</math> | :<math>2\times 3 = 6</math> | ||
:<math>3\times 4 = 12</math> | :<math>3\times 4 = 12</math> | ||
:<math>2\times 3\times 5 = 6\times 5 = 30</math> | :<math>2\times 3\times 5 = 6\times 5 = 30</math> | ||
:<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math> | :<math>2\times 2\times 2\times 2\times 2 = 32</math> | ||
गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं: | गुणन के लिए अन्य गणितीय संकेतन हैं: | ||
* गुणन चिह्न × और सामान्य चर के | * गुणन चिह्न × और सामान्य चर के मध्य दुविधा को कम करने के लिए {{mvar|x}} गुणन को बिंदु चिह्नों द्वारा भी निरूपित किया जाता है''',''' सामान्यतः एक मध्य-स्थिति वाला बिंदु किंचित ही किसी समय मै प्रयोग किया जाता हैं :- | ||
:<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math> | :<math>5 \cdot 2</math> या <math>5\,.\,3</math> | ||
: मध्य बिंदु संकेतन | : मध्य बिंदु संकेतन जिन्हे यूनिकोड में {{unichar|22C5|बिंदु संक्रिया}} के रूप मे एन्कोड किया गया है, अब संयुक्त राज्य अमेरिका और अन्य देशों में मानक है। जहां एक समय इसका उपयोग [[ दशमलव विभाजक |दशमलव विभाजक]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। वही दुसरी और जब बिंदु संक्रिया चिह्न पहुंच योग्य नहीं होता है, तो [[ इंटरपंक ]] (·) का उपयोग किया जाता है। अन्य देशों में जो दशमलव चिह्न के रूप में [[ अल्पविराम (विराम चिह्न) |अल्पविराम]] का उपयोग करते हैं वही गुणा के लिए ,या तो गुणा चिह्न या मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग किया जाता है। | ||
:ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए | :ऐतिहासिक रूप से, यूनाइटेड किंगडम और आयरलैंड में, मध्य बिंदु चिह्न का उपयोग कभी-कभी दशमलव के लिए रेखांकित रेखा के लोप होने से रोकने के लिए किया जाता था, और पूर्ण विराम का उपयोग गुणा के लिए किया जाता था। यद्यपि , चूंकि [[ प्रौद्योगिकी मंत्रालय ]] ने 1968 में इस कालावधि को दशमलव बिंदु के रूप में उपयोग करने का निर्णय लिया था,और एसआई मानक तब से व्यापक रूप से प्रयोग में है, यह उपयोग अब केवल प्राचीन पत्रिकाओं जैसे 'द लांसेट' में पाया जाता है। | ||
* | * [[ बीजगणित ]]में, [[ चर (गणित) |चर]] से जुड़े गुणन को प्रायः एक संयोजन गणित के रूप में लिखा जाता है उदाहरण के लिए, <math>xy</math> के लिये <math>x</math> बार <math>y</math> या <math>5x</math> पाँच बार के लिए <math>x</math>, जिसे निहित गुणन भी कहा जाता है। अंकन का उपयोग उन मात्राओं के लिए भी किया जा सकता है, जो कोष्ठकों से घिरी हुई हैं उदाहरण के लिए, <math>5(2)</math>, <math>(5)2</math> या <math>(5)(2)</math> पांच बार दो के लिए। गुणन का यह निहित उपयोग अस्पष्टता का कारण बन सकता है जब समवर्ती चर किसी अन्य चर के नाम से मेल खाते हैं, जब एक कोष्ठक के सामने एक चर नाम को फलन नाम के साथ भ्रमित किया जा सकता है, या संचालन के क्रम के सही निर्धारण में हो सकता है। | ||
* सदिश गुणन में, | * सदिश गुणन में, रेखित करना और बिंदु प्रतीकों के मध्य अंतर करना है। [[ पार उत्पाद |रेखित गुणन]] सामान्यतः दो [[ वेक्टर (गणित) |सदिश]] राशियों के क्रॉस गुणन करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक सदिश राशि उत्पन्न होती है, जबकि बिंदु दो सदिश के [[ डॉट उत्पाद |बिंदु गुणन]] को करने का संकेत देता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अदिश राशि की प्राप्ति होती है।{{Citation needed|date=December 2021}} | ||
[[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग ]] में, तारांकन चिह्न | [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक प्रोग्रामिंग]] में, तारांकन चिह्न जैसा कि <code>5*2</code> अभी भी सबसे साधारण अंकन है। यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश [[ कंप्यूटर प्रोग्रामिंग |संगणक]] ऐतिहासिक रूप से छोटे वर्ण समुच्चय जैसे [[ ASCII ]]और [[ EBCDIC |EBCDIC]] तक सीमित थे जिनमें गुणन चिह्न जैसे कि <code>⋅</code> या <code>×</code>सम्मिलित है,जबकि प्रत्येक कुंजीपटल पर तारक (*) दिखाई देता है। यह प्रयोग [[ फोरट्रान |फोरट्रान]] प्रोग्रामिंग भाषा में उत्पन्न हुआ। | ||
गुणा की जाने वाली संख्याओं को सामान्यतः [[ गुणन |गुणन]] खंड कहा जाता है। गुणा की जाने वाली संख्या गुण्य है, और जिस संख्या से गुणा किया जाता है वह गुणक है। सामान्यतः, गुणक को पहले और गुण्य को दूसरे स्थान पर रखा जाता है ,यद्यपि कभी-कभी पहला कारक गुणक और दूसरा गुण्य होता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि गुणन का परिणाम कारकों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, गुणक और गुण्य के मध्य का अंतर केवल प्रारंभिक स्तर पर और कुछ गुणन विधिकलन में उपयोगी होता है, जैसे कि [[ लंबा गुणन |दीर्घ गुणन]], इसलिए, कुछ स्रोतों में, गुणक शब्द को कारक के पर्याय के रूप में माना जाता है। बीजगणित में, एक संख्या जो एक चर या व्यंजक का गुणक है उदाहरण के लिए, 3 में <math>3xy^2</math> को गुणांक कहा जाता है। | |||
गुणन के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है,और जब गुणनखंड पूर्णांक होता है, तो एक गुणनफल दूसरे का गुणनफल होता है। इस प्रकार <math>2\times \pi</math> का एक बहुगुणज {{pi}} ऐसा है की <math>5133 \times 486 \times \pi</math>. पूर्णांकों का गुणनफल प्रत्येक गुणनखंड का गुणज होता है; उदाहरण के लिए, 3 और 5 का गुणनफल 15 है, और दोनों 3 के गुणज और 5 के गुणज है। | |||
== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
दो संख्याओं के | दो संख्याओं के गुणन या दो संख्याओं के मध्य गुणनफल को सामान्य विशेष स्थिति के लिए परिभाषित किया जाता है, जैसे पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न, वास्तविक संख्याएँ,सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण इत्यादि। | ||
===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल=== | ===दो प्राकृत संख्याओं का गुणनफल=== | ||
[[File:Three by Four.svg|thumb|3 बटा 4 12 है]]एक आयताकार | [[File:Three by Four.svg|thumb|3 बटा 4 12 है]]एक आयताकार प्रतिरुप में कई पत्थरों को <math>r</math> पंक्तियाँ और <math>s</math> स्तम्भ मे रखने पर | ||
:<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ times}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+\cdots+s }_{r\text{ times}} </math> | :<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ times}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+\cdots+s }_{r\text{ times}} </math> | ||
पत्थर प्राप्त होतें है। | |||
=== दो पूर्णांकों का गुणनफल === | === दो पूर्णांकों का गुणनफल === | ||
पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति | पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की अनुमति देता हैं। उनका गुणन उनकी सकारात्मक मात्रा के गुणन द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो निम्नलिखित नियम से प्राप्त चिन्ह के साथ संयुक्त होता है: | ||
:<math>\begin{array}{|c|c c|} | :<math>\begin{array}{|c|c c|} | ||
| Line 76: | Line 74: | ||
+ & - & + \\ \hline | + & - & + \\ \hline | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
यह नियम जोड़ पर गुणन की विशेषताये की मांग का एक आवश्यक परिणाम है, और इसके अतिरिक्त्त कोई नियम नहीं है। | |||
शब्दों में, | शब्दों में, हम इन्हे निम्नलिखित विधियों से दर्शाया जा सकता है। : | ||
* ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, | * ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, | ||
* ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, | * ऋणात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, | ||
* ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर | * धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है, | ||
* धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है। | * धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर धनात्मक संख्या प्राप्त होती है। | ||
===दो भिन्नों का गुणनफल=== | ===दो भिन्नों का गुणनफल=== | ||
दो भिन्नों | दो भिन्नों का गुणनफल उनके अंश और हर को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है: | ||
:<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math> | :<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math> | ||
| Line 93: | Line 91: | ||
=== दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल === | === दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल === | ||
दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की | दो वास्तविक संख्याओं के गुणनफल की परिभाषा वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक भाग है। इस रचना का तात्पर्य है कि, प्रत्येक वास्तविक संख्या {{mvar|a}} के एक समुच्चय {{mvar|A}} हैं[[ परिमेय संख्या | परिमेय संख्या]] {{mvar|a}} के तत्वों की न्यूनतम उच्च सीमा {{mvar|A}} है : | ||
:<math>a=\sup_{x\in A} x.</math> | :<math>a=\sup_{x\in A} x.</math> | ||
यद्यपि {{mvar|b}} एक और वास्तविक संख्या है जिसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा {{mvar|B}} हैं गुणन <math>a\cdot b</math> की तरह परिभाषित किया जाता है | |||
की तरह परिभाषित किया | |||
:<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math> | :<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y.</math> | ||
यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी | यह परिभाषा किसी विशेष पसंद पर निर्भर नहीं करती है {{mvar|A}} तथा {{mvar|b}}. यही है, अगर वे अपनी न्यूनतम उच्च सीमा को परिवर्तन के बिना परिवर्तित हो जाते हैं, तो न्यूनतम उच्च सीमा परिभाषित होती है तथा <math>a\cdot b</math> परिवर्तित नहीं होता है। | ||
===दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल=== | ===दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल=== | ||
दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है <math> i^2=-1</math>, निम्नलिखित | दो सम्मिश्र संख्याओं को वितरण नियम और इस तथ्य से गुणा किया जा सकता है <math> i^2=-1</math>, | ||
निम्नलिखित अनुसार: | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
(a + b\, i) \cdot (c + d\, i) | (a + b\, i) \cdot (c + d\, i) | ||
| Line 108: | Line 107: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
[[File:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।]] | [[File:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|ध्रुवीय निर्देशांक में एक सम्मिश्र संख्या।]]सम्मिश्र गुणन का ज्यामितीय अर्थ समझा जा सकता है तथा ध्रुवीय निर्देशांक में सम्मिश्र संख्याओं को पुनः लिखना: | ||
:<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) + i \sin(\varphi) ) = r \cdot e ^{ i \varphi} </math> | :<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) + i \sin(\varphi) ) = r \cdot e ^{ i \varphi} </math> | ||
| Line 115: | Line 114: | ||
जिससे प्राप्त होता है | जिससे प्राप्त होता है | ||
:<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math> | :<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math> | ||
ज्यामितीय अर्थ | ज्यामितीय का अर्थ है,कि गुणा का विस्तार और कथन जोड़े जाते हैं। | ||
=== दो चतुर्भुजों का गुणनफल === | === दो चतुर्भुजों का गुणनफल === | ||
दो [[ quaternion ]] | दो [[ quaternion |चतुर्भुजों]] के गुणन [[ quaternions |चतुष्कोणों]] पर लेख में पाया जा सकता है। ध्यान दें, इस विषय में, कि <math> a\cdot\quad b </math> और <math> b \cdot\quad a </math> सामान्य रूप से भिन्न होते हैं। | ||