चर परिवर्तन

गणित में चरों का परिवर्तन एक मूलभूत तकनीक है जिसका उपयोग समस्याओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है जिसमें मूल चर को अन्य चर में बदल दिया जाता है इसका उद्देश्य यह है कि जब नए चरों को किसी अचर शब्दों में व्यक्त किया जाता है तो समस्या सरल हो सकती है तथा यह बेहतर समझी जाने वाली समस्या के बराबर मानी जाती है।

चरों का परिवर्तन एक संक्रिया है जो प्रतिस्थापन से संबंधित है जबकि ये अलग-अलग संक्रिया पर कार्य करती है तथा एक जैसा भेदभाव श्रृंखला नियम या एकीकरण तथा प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण पर विचार करते समय देखा गया है।

उपयोगी चर परिवर्तन का एक बहुत ही सरल उदाहरण है यह छठी डिग्री पर बहुपद की जड़ों को खोजने की समस्या में सहायता करता है जैसे-

$x^{6}-9x^{3}+8=0.$

रेडिकल के संदर्भ में छठी-डिग्री बहुपद समीकरणों को हल करना असंभव है एबेल-रफिनी प्रमेय जबकि यह विशेष समीकरण है

$(x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0$

यह बहुपद अपघटन की एक साधारण स्थित है। जो एक नए चर को परिभाषित करके समीकरण को सरल बना सकती है तथा एक्स को प्रतिस्थापित करके ${\sqrt[{3}]{u}}$ बहुपद में बदल दिया जाता है।

$u^{2}-9u+8=0,$

दो निराकरणों के साथ एक दिघात समीकरण इस प्रकार है।

$u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.$

मूल चर के संदर्भ में एक्स को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।

$x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.$

जबकि वास्तविक समस्या निराकरण पर बल देती है तथा

वास्तविक संख्या निराकरण में रुचि रखता है जिसका मूल समीकरण यह है।

$x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.$

सरल उदाहरण

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें जो इस प्रकार है

$xy+x+y=71$

$x^{2}y+xy^{2}=880$

जहां एक्स और वाई धनात्मक पूर्णांक है

स्रोत 1991 में अमेरिकी साधारण गणित परीक्षा

इसे सामान्य रूप से हल करना बहुत कठिन नहीं है जबकि हम दूसरे समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं $xy(x+y)=880$ जो $s=x+y$ और $t=xy$ प्रणाली को कम कर देता है तथा $s+t=71,st=880$ इसका समाधान करते हैं $(s,t)=(16,55)$ और $(s,t)=(55,16)$ पहले क्रमित युग्म का पिछला-प्रतिस्थापन हमें यह बताता है कि$x+y=16,xy=55,x>y$, $(x,y)=(11,5).$तथा दूसरी ओर हमें पिछला-प्रतिस्थापन यह होता है $x+y=55,xy=16,x>y$, जिसका कोई निराकरण नहीं होता है इसलिए प्रणाली को हल करने वाला निराकरण इस प्रकार $(x,y)=(11,5)$ है।

अधिकृत परिचय

ए बी का कई गुना है थीटा ए बी के बीच भिन्नता है तथा थीटा एक निरंतर अवकलनीय विशेषण तथा मानचित्र से ए को बी के साथ निरन्तर अवकलनीय प्रतिलोम में बदलता है ए या बी तथा आर भी प्राकृतिक संख्या होती है सिग्मा या ओमेगा विश्लेषणात्मक कार्य है।

थीटा एक नियमित समन्वय या नियमित चर प्रतिस्थापन होता है जहां इसे नियमित रूप से हल किया जाता है तथा $C^{r}$ को थीटा लिख सकते हैं। $x=\Phi (y)$ चर के प्रतिस्थापन को इंगित करने के लिए एक्स चर वाई के मान को प्रतिस्थापित करके थीटा को वाई की हर घटना के लिए एक्स मानना होगा।

अन्य उदाहरण

समन्वय परिवर्तन

ध्रुवीय निर्देशांक को बदलने पर कुछ प्रणालियों को अधिक आसानी से हल किया जा सकता है। उदाहरणार्थ

$U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.$

यह किसी समस्या के संभावित ऊर्जा का फलन है जिससे वह प्रतिस्थापन का प्रयास कर सकता है।

यह वैज्ञानिकों द्वारा दिए गए समीकरण हैं $$