स्क्विर्कल: Difference between revisions
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== सुपरलिप्स-आधारित | [[File:Superellipse chamfered square.svg|thumb|200px|right|उद्गम पर केन्द्रित वर्गाकार ({{math|''a'' {{=}} ''b'' {{=}} 0}}) सामान्य त्रिज्या के साथ {{math|1=''r'' = 1}}: {{math|''x''<sup>4</sup> + ''y''<sup>4</sup> {{=}} 1}}]]वर्गाकार वृत्त के [[वर्ग (ज्यामिति)]] और वृत्त के बीच का मध्यवर्ती [[आकार]] है। उपयोग में वर्गाकार की कम से कम दो परिभाषाएँ होती हैं,जिनमें से सबसे साधारण [[superellipse|सुपेरेल्लिप्से]] पर आधारित होती है। "स्क्वायरिकल" शब्द "स्क्वायर" और "सर्कल" शब्दों का संयोजन है। [[डिज़ाइन|रचना]] और [[प्रकाशिकी]] में स्क्वायरल्स प्रयुक्त किया गया हैं। | ||
== सुपरलिप्स-आधारित वर्गाकार == | |||
कार्तीय गुणन के समन्वय प्रणाली में, सुपरलिप्स को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है | |||
<math display="block">\left|\frac{x - a}{r_a}\right|^n + \left|\frac{y - b}{r_b}\right|^n = 1,</math> | <math display="block">\left|\frac{x - a}{r_a}\right|^n + \left|\frac{y - b}{r_b}\right|^n = 1,</math> | ||
जहाँ {{math|''r''<sub>''a''</sub>}} और {{math|''r''<sub>''b''</sub>}} [[सेमीमेजर एक्सिस|अर्ध-प्रमुख]] और अर्ध-लघु अक्ष हैं a और b दीर्घवृत्त के केंद्र के x और y निर्देशांक हैं, और एन एक सकारात्मक संख्या है। वर्गाकार को तब {{math|1=''r''<sub>''a''</sub> = ''r''<sub>''b''</sub>}} और {{math|1=''n'' = 4}} के साथ सुपरलिप्स के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका समीकरण है। <ref name=Weisstein>{{MathWorld|Squircle}}</ref> | |||
<math display="block">\left(x - a\right)^4 + \left(y - b\right)^4 = r^4</math> | <math display="block">\left(x - a\right)^4 + \left(y - b\right)^4 = r^4</math> | ||
जहाँ r वर्गाकार की छोटी त्रिज्या है। इसकी तुलना एक वृत्त के समीकरण से करें। जब वर्गाकार मूल बिंदु पर केन्द्रित होता है, तब a = b = 0 होता है, और इसे लैमे का विशेष क्वार्टिक कहा जाता है। | |||
[[गामा समारोह]] के | वर्गाकार के अंदर के क्षेत्र को [[गामा समारोह|गामा फलन]] Γ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है<ref name=Weisstein/> | ||
<math display="block"> \mathrm{Area} = 4 r^2 \frac{\left(\operatorname{\Gamma} \left(1+\frac14\right)\right)^2}{\operatorname{\Gamma} \left(1+\frac24\right)} = \frac{8r^2 \left(\operatorname{\Gamma} \left(\frac54\right)\right)^2 }{ \sqrt{\pi} } = \varpi \sqrt{2}\, r^2 \approx 3.708149\, r^2, </math> | <math display="block"> \mathrm{Area} = 4 r^2 \frac{\left(\operatorname{\Gamma} \left(1+\frac14\right)\right)^2}{\operatorname{\Gamma} \left(1+\frac24\right)} = \frac{8r^2 \left(\operatorname{\Gamma} \left(\frac54\right)\right)^2 }{ \sqrt{\pi} } = \varpi \sqrt{2}\, r^2 \approx 3.708149\, r^2, </math> | ||
जहाँँ {{mvar|r}} वर्गाकार की छोटी त्रिज्या होती है,और <math> \varpi </math> द्विपाशी स्थिरांक होती है। | |||
=== पी- | === पी-नॉर्म संकेत === | ||
{{math|'''R'''<sup>2</sup>}} पर ''p''-norm ‖ · ‖<sub>''p''</sub> के संदर्भ में,वर्गाकार को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है। | |||
<math display="block"> \left\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_c\right\|_p = r </math> | <math display="block"> \left\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_c\right\|_p = r </math> | ||
जहाँ p = 4, xc = (a, b) वर्गाकार के केंद्र को दर्शाने वाला सदिश है, और x = (x, y)। प्रभावी रूप से, यह अभी भी केंद्र से दूरी r पर बिंदुओं का एक "सर्कल" है, लेकिन दूरी को अलग तरह से परिभाषित किया गया है। तुलना के लिए, सामान्य वृत्त स्थिति p = 2 है, जबकि वर्ग p → ∞ स्थिति ([[समान मानदंड]]),और घुमाया हुआ वर्ग द्वारा दिया गया है {{math|1=''p'' = 1}} (टैक्सीकैब मानदंड)। यह गोलाकार घन,या स्फूब के लिए सीधा सामान्यीकरण की अनुमति देता है। {{math|'''R'''<sup>3</sup>}},या उच्च आयामों में हाइपरस्पूब होता है। <ref name="fong">{{cite journal|title=Squircular Calculations|author=Chamberlain Fong|arxiv=1604.02174|year=2016|bibcode=2016arXiv160402174F}}</ref> | |||
== फर्नांडीज-गुआस्टी वर्गाकार == | |||
प्रकाशिकी में काम से एक और चक्कर आता है।<ref>{{cite journal|journal=Int. J. Educ. Sci. Technol.| volume = 23|author = M. Fernández Guasti | title= Analytic Geometry of Some Rectilinear Figures| pages=895–901 |year=1992}}</ref><ref name="optik">{{cite journal |journal=[[Optik (journal)|Optik]] |volume=116 |pages=265–269 |year=2005 |url=http://investigacion.izt.uam.mx/mfg/pub/lcdpix_optik05.pdf |accessdate=20 November 2006 |doi=10.1016/j.ijleo.2005.01.018 |title=LCD pixel shape and far-field diffraction patterns |issue=6 |author1=M. Fernández Guasti |author2=A. Meléndez Cobarrubias |author3=F.J. Renero Carrillo |author4=A. Cornejo Rodríguez|bibcode=2005Optik.116..265F }}</ref> इसके लेखक के नाम पर इसे फर्नांडीज-गुआस्टी वर्गाकार कहा जा सकता है,जिससे इसे ऊपर के सुपरलिप्स-संबंधित वर्गाकार से अलग किया जा सके।<ref name="fong" /> | |||
इस प्रकार की चक्कर के मूल पर केंद्रित किया जाता है,समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। | |||
<math display="block"> x^2 + y^2 - \frac{s^2}{r^2} x^2 y^2 = r^2 </math> | <math display="block"> x^2 + y^2 - \frac{s^2}{r^2} x^2 y^2 = r^2 </math> | ||
जहाँँ {{mvar|r}} वर्गाकार की सामान्य त्रिज्या होती है,{{mvar|s}} वर्गाकार पैरामीटर होती है,और {{mvar|x}} और {{mvar|y}} अंतराल में हैं। (गणित) {{closed-closed|−''r'', ''r''}}. यदि {{math|1=''s'' = 0}},समीकरण वृत्त है; यदि {{math|1=''s'' = 1}},यह वर्ग है। यह समीकरण [[अनंतता]] को सम्मिलित किए बिना वृत्त से वर्ग तक संक्रमण के सहज [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)]] की अनुमति देता है। | |||
== समान आकार == | == समान आकार == | ||
[[File:squircle rounded square.svg|thumb| | [[File:squircle rounded square.svg|thumb|वर्गाकार ({{color|नीला|नीला}}) गोल वर्ग की तुलना में ({{color|लाल|लाल}}). [{{filepath:squircle rounded square.svg}} (बड़ी छवि)]]]वर्गाकार के समान आकार,जिसे गोलाकार वर्ग कहा जाता है,वृत्त के चार चौथाई हिस्सों को अलग करके और उनके ढीले सिरों को सीधी [[रेखा (ज्यामिति)]] से जोड़कर,या वर्ग के चारों पक्षों को अलग करके और उन्हें चौथाई-वृत्तों से जोड़कर उत्पन्न किया जा सकता है। इस तरह की आकृति बहुत मिलती-जुलती रहती है किन्तु वर्गाकार के समान नहीं होती है।चूंकि गोलाकार वर्ग का निर्माण अवधारणात्मक और शारीरिक रूप से सरल हो सकता है,स्क्वायरकल में सरल समीकरण होता है और इसे अधिक आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसका परिणाम यह है कि वर्गाकार और अन्य सुपरलिप्स को आसानी से ऊपर या नीचे बढ़ाया जा सकता है। यह उपयोगी होती है,उदाहरण के लिए,कोई नेस्टेड स्क्वायर बनाना चाहता है। | ||
[[File:Truncated circles.svg|thumb|काटे गए वृत्त के विभिन्न रूप]] | [[File:Truncated circles.svg|thumb|काटे गए वृत्त के विभिन्न रूप]]समान आकृति का छोटा वृत्त है,वर्ग से घिरे क्षेत्रों के चौराहे (सेट सिद्धांत) की सीमा और केंद्रित वृत्त द्वारा जिसका [[व्यास]] वर्ग के किनारे की लंबाई से अधिक होती है और इससे कम है वर्ग के विकर्ण की लंबाई (जिससे प्रत्येक आकृति में आंतरिक बिंदु हों जो दूसरे के आंतरिक भाग में न हों)। इस तरह की आकृतियों में [[सुपरएलिप्सिड]] और गोल वर्गों दोनों के पास स्पर्शरेखा निरंतरता का अभाव होता है। | ||
गोलाकार घन को सुपरेलिप्सोइड्स के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। | गोलाकार घन को सुपरेलिप्सोइड्स के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। | ||
== उपयोग | == उपयोग == | ||
प्रकाशिकी में | प्रकाशिकी में वर्गाकार्स उपयोगी होते हैं। यदि प्रकाश द्वि-आयामी स्क्वायर एपर्चर के माध्यम से पारित किया जा सकता है,तो [[विवर्तन]] पैटर्न में केंद्रीय स्थान को स्क्वायरकल या सुपरवृत्त द्वारा बारीकी से तैयार किया जा सकता है। यदि आयताकार एपर्चर का उपयोग किया जाता है,तो स्पॉट को सुपरलिप्स द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।<ref name="optik"/> | ||
[[प्लेट (डिशवेयर)]] के निर्माण के लिए स्क्वायरल्स का भी उपयोग किया गया है। वर्गाकार प्लेट में समान त्रिज्या वाले गोलाकार प्लेट की तुलना में बड़ा क्षेत्र होता है (और इस प्रकार अधिक भोजन | [[प्लेट (डिशवेयर)]] के निर्माण के लिए स्क्वायरल्स का भी उपयोग किया गया है। वर्गाकार प्लेट में समान त्रिज्या वाले गोलाकार प्लेट की तुलना में बड़ा क्षेत्र होता है (और इस प्रकार अधिक भोजन रखा जा सकता है),किन्तु फिर भी आयताकार या चौकोर अलमारी में समान मात्रा में स्थान घेरता है।<ref>{{cite web |publisher=Kitchen Contraptions |url=http://www.kitchencontraptions.com/archives/006830.php |title=Squircle Plate |access-date=20 November 2006 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20061101032925/http://www.kitchencontraptions.com/archives/006830.php |archive-date=1 November 2006 }}</ref> | ||
कई [[नोकिया]] फोन मॉडलों को चौकोर आकार के टचपैड बटन के साथ डिजाइन किया गया है,<ref>Nokia Designer Mark Delaney mentions the squircle in a video regarding classic Nokia phone designs:<br />{{cite video |url=http://conversations.nokia.com/2009/06/17/nokia-6700-the-little-black-dress-of-phones/ |title=Nokia 6700 – The little black dress of phones |quote=See 3:13 in video |access-date=9 December 2009 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20100106035910/http://conversations.nokia.com/2009/06/17/nokia-6700-the-little-black-dress-of-phones/ |archive-date=6 January 2010 |df= }}</ref><ref>{{cite web |title=Clayton Miller evaluates shapes on mobile phone platforms |url=http://interuserface.net/2011/06/own-a-shape/ |accessdate=2 July 2011}}</ref> जैसा कि दूसरी पीढ़ी का [[ज़ून पैड]] था।<ref>{{cite web |last1=Marsal |first1=Katie |title=Microsoft discontinues hard drives, "squircle" from Zune lineup |url=https://appleinsider.com/articles/09/09/02/microsoft_discontinues_hard_drives_squircle_from_zune_lineup |website=Apple Insider |access-date=25 August 2022}}</ref> [[Apple Inc|एप्पल इंक]] [[iOS|आईओएस]],[[iPadOS|इपैडऑस]],[[macOS|मैकऑस]],और कुछ एप्पल हार्डवेयर के होम बटन में आइकन के लिए वर्गाकार (वास्तव में क्विंटिक सुपरलिप्स) के समीपता का उपयोग करता है।<ref>{{cite web |title=The Hunt for the Squircle |url=https://applypixels.com/blog/the-hunt-for-the-squircle |accessdate=23 May 2022}}</ref> एंड्रॉइड ओरियो एंड्रॉइड ओरियो ऑपरेटिंग प्रणाली /पद्धति में प्रस्तुत किए गए अनुकूली आइकन के लिए आकृतियों में से वर्गाकार होता है।<ref>{{cite web |url=https://developer.android.com/guide/practices/ui_guidelines/icon_design_adaptive.html | title=Adaptive Icons | accessdate=15 January 2018}}</ref> [[SAMSUNG|सैमसंग]] अपने एंड्रॉइड सॉफ़्टवेयर ओवरले [[एक यूआई|यूआई]] में और [[सैमसंग अनुभव]] और [[टचविज]] में स्क्वायर-आकार के आइकन का उपयोग करता है।<ref>{{Cite web |title=OneUI |url=https://developer.samsung.com/OneUI/iconography/background.html |access-date=2022-04-14 |website=Samsung Developers |language=en}}</ref> | |||
इटालियन कार निर्माता फिएट ने तीसरी पीढ़ी के [[फिएट पांडा]] के इंटीरियर और बाहरी डिजाइन में कई स्क्वायर्स का उपयोग किया जाता हैं।<ref>{{cite web |title=PANDA DESIGN STORY |url=http://www.fiatpress.com/download/2011/FIAT/FILES/111011_F_panda_design_story_en.pdf |accessdate=30 December 2018}}</ref> | |||
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Latest revision as of 11:38, 10 March 2023
वर्गाकार वृत्त के वर्ग (ज्यामिति) और वृत्त के बीच का मध्यवर्ती आकार है। उपयोग में वर्गाकार की कम से कम दो परिभाषाएँ होती हैं,जिनमें से सबसे साधारण सुपेरेल्लिप्से पर आधारित होती है। "स्क्वायरिकल" शब्द "स्क्वायर" और "सर्कल" शब्दों का संयोजन है। रचना और प्रकाशिकी में स्क्वायरल्स प्रयुक्त किया गया हैं।
सुपरलिप्स-आधारित वर्गाकार
कार्तीय गुणन के समन्वय प्रणाली में, सुपरलिप्स को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है
जहाँ ra और rb अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्ष हैं a और b दीर्घवृत्त के केंद्र के x और y निर्देशांक हैं, और एन एक सकारात्मक संख्या है। वर्गाकार को तब ra = rb और n = 4 के साथ सुपरलिप्स के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका समीकरण है। [1]
जहाँ r वर्गाकार की छोटी त्रिज्या है। इसकी तुलना एक वृत्त के समीकरण से करें। जब वर्गाकार मूल बिंदु पर केन्द्रित होता है, तब a = b = 0 होता है, और इसे लैमे का विशेष क्वार्टिक कहा जाता है।
वर्गाकार के अंदर के क्षेत्र को गामा फलन Γ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है[1]
जहाँँ r वर्गाकार की छोटी त्रिज्या होती है,और द्विपाशी स्थिरांक होती है।
पी-नॉर्म संकेत
R2 पर p-norm ‖ · ‖p के संदर्भ में,वर्गाकार को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।
जहाँ p = 4, xc = (a, b) वर्गाकार के केंद्र को दर्शाने वाला सदिश है, और x = (x, y)। प्रभावी रूप से, यह अभी भी केंद्र से दूरी r पर बिंदुओं का एक "सर्कल" है, लेकिन दूरी को अलग तरह से परिभाषित किया गया है। तुलना के लिए, सामान्य वृत्त स्थिति p = 2 है, जबकि वर्ग p → ∞ स्थिति (समान मानदंड),और घुमाया हुआ वर्ग द्वारा दिया गया है p = 1 (टैक्सीकैब मानदंड)। यह गोलाकार घन,या स्फूब के लिए सीधा सामान्यीकरण की अनुमति देता है। R3,या उच्च आयामों में हाइपरस्पूब होता है। [2]
फर्नांडीज-गुआस्टी वर्गाकार
प्रकाशिकी में काम से एक और चक्कर आता है।[3][4] इसके लेखक के नाम पर इसे फर्नांडीज-गुआस्टी वर्गाकार कहा जा सकता है,जिससे इसे ऊपर के सुपरलिप्स-संबंधित वर्गाकार से अलग किया जा सके।[2]
इस प्रकार की चक्कर के मूल पर केंद्रित किया जाता है,समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।
जहाँँ r वर्गाकार की सामान्य त्रिज्या होती है,s वर्गाकार पैरामीटर होती है,और x और y अंतराल में हैं। (गणित) [−r, r]. यदि s = 0,समीकरण वृत्त है; यदि s = 1,यह वर्ग है। यह समीकरण अनंतता को सम्मिलित किए बिना वृत्त से वर्ग तक संक्रमण के सहज पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) की अनुमति देता है।
समान आकार
वर्गाकार के समान आकार,जिसे गोलाकार वर्ग कहा जाता है,वृत्त के चार चौथाई हिस्सों को अलग करके और उनके ढीले सिरों को सीधी रेखा (ज्यामिति) से जोड़कर,या वर्ग के चारों पक्षों को अलग करके और उन्हें चौथाई-वृत्तों से जोड़कर उत्पन्न किया जा सकता है। इस तरह की आकृति बहुत मिलती-जुलती रहती है किन्तु वर्गाकार के समान नहीं होती है।चूंकि गोलाकार वर्ग का निर्माण अवधारणात्मक और शारीरिक रूप से सरल हो सकता है,स्क्वायरकल में सरल समीकरण होता है और इसे अधिक आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसका परिणाम यह है कि वर्गाकार और अन्य सुपरलिप्स को आसानी से ऊपर या नीचे बढ़ाया जा सकता है। यह उपयोगी होती है,उदाहरण के लिए,कोई नेस्टेड स्क्वायर बनाना चाहता है।
समान आकृति का छोटा वृत्त है,वर्ग से घिरे क्षेत्रों के चौराहे (सेट सिद्धांत) की सीमा और केंद्रित वृत्त द्वारा जिसका व्यास वर्ग के किनारे की लंबाई से अधिक होती है और इससे कम है वर्ग के विकर्ण की लंबाई (जिससे प्रत्येक आकृति में आंतरिक बिंदु हों जो दूसरे के आंतरिक भाग में न हों)। इस तरह की आकृतियों में सुपरएलिप्सिड और गोल वर्गों दोनों के पास स्पर्शरेखा निरंतरता का अभाव होता है।
गोलाकार घन को सुपरेलिप्सोइड्स के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।
उपयोग
प्रकाशिकी में वर्गाकार्स उपयोगी होते हैं। यदि प्रकाश द्वि-आयामी स्क्वायर एपर्चर के माध्यम से पारित किया जा सकता है,तो विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय स्थान को स्क्वायरकल या सुपरवृत्त द्वारा बारीकी से तैयार किया जा सकता है। यदि आयताकार एपर्चर का उपयोग किया जाता है,तो स्पॉट को सुपरलिप्स द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।[4]
प्लेट (डिशवेयर) के निर्माण के लिए स्क्वायरल्स का भी उपयोग किया गया है। वर्गाकार प्लेट में समान त्रिज्या वाले गोलाकार प्लेट की तुलना में बड़ा क्षेत्र होता है (और इस प्रकार अधिक भोजन रखा जा सकता है),किन्तु फिर भी आयताकार या चौकोर अलमारी में समान मात्रा में स्थान घेरता है।[5]
कई नोकिया फोन मॉडलों को चौकोर आकार के टचपैड बटन के साथ डिजाइन किया गया है,[6][7] जैसा कि दूसरी पीढ़ी का ज़ून पैड था।[8] एप्पल इंक आईओएस,इपैडऑस,मैकऑस,और कुछ एप्पल हार्डवेयर के होम बटन में आइकन के लिए वर्गाकार (वास्तव में क्विंटिक सुपरलिप्स) के समीपता का उपयोग करता है।[9] एंड्रॉइड ओरियो एंड्रॉइड ओरियो ऑपरेटिंग प्रणाली /पद्धति में प्रस्तुत किए गए अनुकूली आइकन के लिए आकृतियों में से वर्गाकार होता है।[10] सैमसंग अपने एंड्रॉइड सॉफ़्टवेयर ओवरले यूआई में और सैमसंग अनुभव और टचविज में स्क्वायर-आकार के आइकन का उपयोग करता है।[11]
इटालियन कार निर्माता फिएट ने तीसरी पीढ़ी के फिएट पांडा के इंटीरियर और बाहरी डिजाइन में कई स्क्वायर्स का उपयोग किया जाता हैं।[12]
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. "स्क्विर्कल". MathWorld.
- ↑ 2.0 2.1 Chamberlain Fong (2016). "Squircular Calculations". arXiv:1604.02174. Bibcode:2016arXiv160402174F.
{{cite journal}}: Cite journal requires|journal=(help) - ↑ M. Fernández Guasti (1992). "Analytic Geometry of Some Rectilinear Figures". Int. J. Educ. Sci. Technol. 23: 895–901.
- ↑ 4.0 4.1 M. Fernández Guasti; A. Meléndez Cobarrubias; F.J. Renero Carrillo; A. Cornejo Rodríguez (2005). "LCD pixel shape and far-field diffraction patterns" (PDF). Optik. 116 (6): 265–269. Bibcode:2005Optik.116..265F. doi:10.1016/j.ijleo.2005.01.018. Retrieved 20 November 2006.
- ↑ "Squircle Plate". Kitchen Contraptions. Archived from the original on 1 November 2006. Retrieved 20 November 2006.
- ↑ Nokia Designer Mark Delaney mentions the squircle in a video regarding classic Nokia phone designs:
Nokia 6700 – The little black dress of phones. Archived from the original on 6 January 2010. Retrieved 9 December 2009.See 3:13 in video
- ↑ "Clayton Miller evaluates shapes on mobile phone platforms". Retrieved 2 July 2011.
- ↑ Marsal, Katie. "Microsoft discontinues hard drives, "squircle" from Zune lineup". Apple Insider. Retrieved 25 August 2022.
- ↑ "The Hunt for the Squircle". Retrieved 23 May 2022.
- ↑ "Adaptive Icons". Retrieved 15 January 2018.
- ↑ "OneUI". Samsung Developers (in English). Retrieved 2022-04-14.
- ↑ "PANDA DESIGN STORY" (PDF). Retrieved 30 December 2018.
बाहरी संबंध
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