एपोटेम: Difference between revisions

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समभुजकोणीय बहुभुज का अंतःत्रिज्या (कभी-कभी '''ऐपो'''<ref>{{cite web |last=Shaneyfelt |first=Ted V. |title=德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine? |publisher=[[University of Hawaii]] |location=Hilo, Hawaii |url=http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html |access-date=2015-11-08 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20150919053929/http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html |archive-date=2015-09-19}}</ref>) के रूप में संक्षिप्त रूप में) केंद्र से इसकी एक भुजा के मध्यबिंदु तक एक रेखा खंड होता है। समतुल्य रूप से, यह बहुभुज के केंद्र से खींची गई वह रेखा है जो इसकी एक भुजा पर लम्बवत् होती है। शब्द "एपोथेम" उस रेखा खंड की लंबाई को भी संदर्भित कर सकता है और प्राचीन यूनानी ἀπόθεμα ("दूर रखो, अलग रखो") से आया है, जो ἀπό ("बंद, दूर") और θέμα ("जो कि यथा निर्धारित है"), नीचे लिखी गई एक सामान्य रेखा को दर्शाता है।<ref>{{Cite web|title=एपोटेम की परिभाषा|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/apothem|access-date=2022-02-17|website=www.merriam-webster.com|language=en}}</ref> समभुजकोणीय बहुभुज एकमात्र ऐसे बहुभुज होते हैं जिनमें अंत:त्रिज्या होते हैं। इसी कारण, बहुभुज में सभी अंतःत्रिज्याएँ [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] होंगी।
[[Image:Apothem of hexagon.svg|thumb|right|एक [[षट्भुज]] का एपोटेम]]
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अंतःत्रिज्या (कभी-कभी एपो के रूप में संक्षिप्त रूप में<ref>{{cite web |last=Shaneyfelt |first=Ted V. |title=德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine? |publisher=[[University of Hawaii]] |location=Hilo, Hawaii |url=http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html |access-date=2015-11-08 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20150919053929/http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html |archive-date=2015-09-19}}</ref>) एक [[नियमित [[बहुभुज]]]] का केंद्र से उसके एक पक्ष के मध्य बिंदु तक एक रेखा खंड है। समतुल्य रूप से, यह बहुभुज के केंद्र से खींची गई रेखा है जो इसकी एक भुजा पर लंबवत है। अपोथेम शब्द उस रेखा खंड की लंबाई को भी संदर्भित कर सकता है और [[प्राचीन यूनान]]ी ἀπόθεμα (दूर रखो, एक तरफ रख दो), ἀπό (बंद, दूर) और θέμα (जो नीचे रखा गया है) से बना है, जो एक सामान्य रेखा का संकेत देता है। लिखा हुआ।<ref>{{Cite web|title=एपोटेम की परिभाषा|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/apothem|access-date=2022-02-17|website=www.merriam-webster.com|language=en}}</ref> नियमित बहुभुज एकमात्र ऐसे बहुभुज होते हैं जिनमें अपोथेम्स होते हैं। इस वजह से, एक बहुभुज में सभी अंतःत्रिज्याएँ [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] होंगी।


एक नियमित [[पिरामिड (ज्यामिति)]] के लिए, जो एक पिरामिड है जिसका आधार एक नियमित बहुभुज है, अंतःत्रिज्या एक पार्श्व चेहरे की [[तिरछी ऊंचाई]] है; अर्थात्, किसी दिए गए चेहरे पर शीर्ष से आधार तक की सबसे छोटी दूरी। एक छोटे नियमित पिरामिड के लिए (आधार के समानांतर एक समतल (ज्यामिति) द्वारा हटाई गई चोटी के साथ एक नियमित पिरामिड), अंतःत्रिज्या एक [[चतुर्भुज]] पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है।
एक सम पिरामिड [[पिरामिड (ज्यामिति)|(ज्यामिति)]] के लिए, जो एक पिरामिड है जिसका आधार एक समभुजकोणीय बहुभुज है, अंतःत्रिज्या एक पार्श्‍वीय फलक की [[तिरछी ऊंचाई]] है; अर्थात्, किसी दिए गए फलक पर शीर्ष से आधार तक की सबसे छोटी दूरी है। एक छोटे सम पिरामिड के लिए (आधार के समानांतर एक समतल (ज्यामिति) द्वारा हटाए गए शीर्ष के साथ एक सम पिरामिड), अंतःत्रिज्या एक [[चतुर्भुज]] पार्श्‍वीय फलक की ऊंचाई है।


एक समबाहु त्रिभुज के लिए, अंतःत्रिज्या एक भुजा के मध्य बिंदु से त्रिभुज के केंद्र तक रेखा खंड के बराबर है।{{NoteTag|Equilateral triangles have only one triangle center, which is what makes this definition of the apothem of an equilateral triangle {{nowrap|well-defined}}. For {{nowrap|non-equilateral}} triangles however, there are many {{nowrap|non-coinciding}} notions of triangle center; see [[Triangle center]] for details.}}
एक समबाहु त्रिभुज के लिए, अंतःत्रिज्या एक भुजा के मध्य बिंदु से त्रिभुज के केंद्र तक रेखा खंड के समतुल्य है।{{NoteTag|Equilateral triangles have only one triangle center, which is what makes this definition of the apothem of an equilateral triangle {{nowrap|well-defined}}. For {{nowrap|non-equilateral}} triangles however, there are many {{nowrap|non-coinciding}} notions of triangle center; see [[Triangle center]] for details.}}


== अपोथेम्स के गुण ==
== अंत:त्रिज्या के गुण ==
अंतःत्रिज्या a का उपयोग निम्न सूत्र के अनुसार पार्श्व लंबाई s के किसी भी नियमित n-भुजा वाले बहुभुज का [[क्षेत्र]]फल ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है, जिसमें यह भी कहा गया है कि क्षेत्रफल अंतःत्रिज्या के बराबर है जो परिधि के आधे भाग से गुणा किया जाता है क्योंकि ns = p।
अंतःत्रिज्या a का उपयोग निम्न सूत्र के अनुसार पार्श्‍वीय लंबाई s के किसी भी नियमित n-भुजा वाले बहुभुज का [[क्षेत्र]]फल ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है, जिसमें यह भी कहा गया है कि क्षेत्रफल अंतःत्रिज्या के बराबर है जो परिधि के आधे भाग से गुणा किया जाता है क्योंकि ns = p है।
:<math>A = \frac{nsa}{2} = \frac{pa}{2}. </math>
:<math>A = \frac{nsa}{2} = \frac{pa}{2}. </math>
यह सूत्र n-पक्षीय बहुभुज को n सर्वांगसमता (ज्यामिति) त्रिभुज#प्रकार के त्रिभुज में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है, और फिर यह ध्यान में रखते हुए कि अंतःत्रिज्या प्रत्येक त्रिभुज की ऊँचाई है, और यह कि त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार के आधे गुणन के बराबर होता है। ऊंचाई। निम्नलिखित फॉर्मूलेशन सभी समकक्ष हैं:
यह सूत्र n-भुजा बहुभुज को n सर्वांगसमता (ज्यामिति) समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है, और फिर यह ध्यान में रखते हुए कि अंतःत्रिज्या प्रत्येक त्रिभुज की ऊँचाई है, और यह कि त्रिभुज का क्षेत्रफल आधा आधार गुणा ऊँचाई के बराबर है। निम्नलिखित सूत्रीकरण सभी समकक्ष हैं:
:<math>A = \tfrac{1}{2}nsa = \tfrac{1}{2}pa = \tfrac{1}{4}ns^2\cot\frac{\pi}{n} = na^2\tan\frac{\pi}{n}</math>
:<math>A = \tfrac{1}{2}nsa = \tfrac{1}{2}pa = \tfrac{1}{4}ns^2\cot\frac{\pi}{n} = na^2\tan\frac{\pi}{n}</math>
एक नियमित बहुभुज का अंतःत्रिज्या हमेशा खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या होगी। यह बहुभुज के किसी भी भुजा और उसके केंद्र के बीच की न्यूनतम दूरी भी है।
एक समभुजकोणीय बहुभुज का अंतःत्रिज्या हमेशा अंतर्गवृत्‍त की त्रिज्या होगी। यह बहुभुज के किसी भी भुजा और उसके केंद्र के बीच की न्यूनतम दूरी भी है।


इस संपत्ति का उपयोग किसी वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र को आसानी से प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है, क्योंकि जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल त्रिज्या r = a के उत्कीर्ण वृत्त के क्षेत्र तक पहुँच जाता है।
इस गुण का उपयोग किसी वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र को आसानी से प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है, क्योंकि जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, समभुजकोणीय बहुभुज का क्षेत्रफल त्रिज्या r = a के अंतर्गवृत्‍त के क्षेत्रफल तक पहुँचता है।


:<math>A = \frac{pa}{2} = \frac{(2\pi r)r}{2} = \pi r^2</math>
:<math>A = \frac{pa}{2} = \frac{(2\pi r)r}{2} = \pi r^2</math>


[[File:Regular polygon side count graph.svg|thumb|363x363px|भुजाओं के रेखांकन, s; अंतःत्रिज्या, -ए; और क्षेत्रफल,- n भुजाओं वाले समभुजकोणीय बहुभुजो का और समान क्षेत्रफल वाले आयत के आधार,-b के साथ परिवृत्त 1.है, हरी रेखा स्थिति n = 6 को दर्शाती है।]]


==अंतःकरण का पता लगाना==
==अंतःकरण का पता लगाना==
एक नियमित बहुभुज के अंतःत्रिज्या को कई तरीकों से पाया जा सकता है।
एक समभुजकोणीय बहुभुज के अंतःत्रिज्या को कई तरीकों से पाया जा सकता है।


पार्श्व लंबाई s, या परित्रिज्या R के साथ एक नियमित n-पक्षीय बहुभुज का अंतःत्रिज्या निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
पार्श्‍वीय लंबाई s, या परित्रिज्या R के साथ एक समभुजकोणीय n-भुजा बहुभुज का अंतःत्रिज्या निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:


:<math>a = \frac{s}{2\tan\frac{\pi}{n}} = R\cos\frac{\pi}{n}.</math>
:<math>a = \frac{s}{2\tan\frac{\pi}{n}} = R\cos\frac{\pi}{n}.</math>
एपोटेम भी द्वारा पाया जा सकता है
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अंतःत्रिज्या द्वारा भी पाया जा सकता है


:<math>a = \frac{s}{2}\tan\frac{\pi(n - 2)}{2n}.</math>
:<math>a = \frac{s}{2}\tan\frac{\pi(n - 2)}{2n}.</math>
इन सूत्रों का अभी भी उपयोग किया जा सकता है, भले ही केवल परिमाप p और भुजाओं की संख्या n ज्ञात हो क्योंकि s ={{sfrac|''p''|''n''}}.
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इन सूत्रों का तब भी उपयोग किया जा सकता है, जब केवल परिधि p और भुजाओं की संख्या n ज्ञात हो, क्योंकि s ={{sfrac|''p''|''n''}}.
 
 
 
 
 


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
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== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* नियमित बहुभुज#परित्रिज्या
* समभुजकोणीय बहुभुज की परिवृत्त-त्रिज्या
* सगिट्टा (ज्यामिति)
* शराश्मक (ज्यामिति)
* तार (त्रिकोणमिति)
* जीवा (त्रिकोणमिति)
* तिरछी ऊंचाई
* तिरछी ऊंचाई


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==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
{{wiktionary}}
* [https://web.archive.org/web/20170303195003/http://mathopenref.com/polygonapothem.html Apothem of a regular polygon] With interactive animation
* [https://web.archive.org/web/20170303195003/http://mathopenref.com/polygonapothem.html Apothem of a regular polygon] With interactive animation
* [http://www.bymath.com/studyguide/geo/sec/geo15.htm Apothem of pyramid or truncated pyramid]
* [http://www.bymath.com/studyguide/geo/sec/geo15.htm Apothem of pyramid or truncated pyramid]
* {{cite web |title=Sagitta, Apothem, and Chord |last=Pegg |first=Ed  Jr.|author-link=Ed Pegg, Jr. |publisher=[[The Wolfram Demonstrations Project]] |url=http://demonstrations.wolfram.com/SagittaApothemAndChord/}}
* {{cite web |title=Sagitta, Apothem, and Chord |last=Pegg |first=Ed  Jr.|author-link=Ed Pegg, Jr. |publisher=[[The Wolfram Demonstrations Project]] |url=http://demonstrations.wolfram.com/SagittaApothemAndChord/}}
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Latest revision as of 10:26, 7 March 2023

षट्भुज की अंत:त्रिज्या

समभुजकोणीय बहुभुज का अंतःत्रिज्या (कभी-कभी ऐपो[1]) के रूप में संक्षिप्त रूप में) केंद्र से इसकी एक भुजा के मध्यबिंदु तक एक रेखा खंड होता है। समतुल्य रूप से, यह बहुभुज के केंद्र से खींची गई वह रेखा है जो इसकी एक भुजा पर लम्बवत् होती है। शब्द "एपोथेम" उस रेखा खंड की लंबाई को भी संदर्भित कर सकता है और प्राचीन यूनानी ἀπόθεμα ("दूर रखो, अलग रखो") से आया है, जो ἀπό ("बंद, दूर") और θέμα ("जो कि यथा निर्धारित है"), नीचे लिखी गई एक सामान्य रेखा को दर्शाता है।[2] समभुजकोणीय बहुभुज एकमात्र ऐसे बहुभुज होते हैं जिनमें अंत:त्रिज्या होते हैं। इसी कारण, बहुभुज में सभी अंतःत्रिज्याएँ सर्वांगसमता (ज्यामिति) होंगी।

एक सम पिरामिड (ज्यामिति) के लिए, जो एक पिरामिड है जिसका आधार एक समभुजकोणीय बहुभुज है, अंतःत्रिज्या एक पार्श्‍वीय फलक की तिरछी ऊंचाई है; अर्थात्, किसी दिए गए फलक पर शीर्ष से आधार तक की सबसे छोटी दूरी है। एक छोटे सम पिरामिड के लिए (आधार के समानांतर एक समतल (ज्यामिति) द्वारा हटाए गए शीर्ष के साथ एक सम पिरामिड), अंतःत्रिज्या एक चतुर्भुज पार्श्‍वीय फलक की ऊंचाई है।

एक समबाहु त्रिभुज के लिए, अंतःत्रिज्या एक भुजा के मध्य बिंदु से त्रिभुज के केंद्र तक रेखा खंड के समतुल्य है।[note 1]

अंत:त्रिज्या के गुण

अंतःत्रिज्या a का उपयोग निम्न सूत्र के अनुसार पार्श्‍वीय लंबाई s के किसी भी नियमित n-भुजा वाले बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है, जिसमें यह भी कहा गया है कि क्षेत्रफल अंतःत्रिज्या के बराबर है जो परिधि के आधे भाग से गुणा किया जाता है क्योंकि ns = p है।

यह सूत्र n-भुजा बहुभुज को n सर्वांगसमता (ज्यामिति) समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है, और फिर यह ध्यान में रखते हुए कि अंतःत्रिज्या प्रत्येक त्रिभुज की ऊँचाई है, और यह कि त्रिभुज का क्षेत्रफल आधा आधार गुणा ऊँचाई के बराबर है। निम्नलिखित सूत्रीकरण सभी समकक्ष हैं:

एक समभुजकोणीय बहुभुज का अंतःत्रिज्या हमेशा अंतर्गवृत्‍त की त्रिज्या होगी। यह बहुभुज के किसी भी भुजा और उसके केंद्र के बीच की न्यूनतम दूरी भी है।

इस गुण का उपयोग किसी वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र को आसानी से प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है, क्योंकि जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, समभुजकोणीय बहुभुज का क्षेत्रफल त्रिज्या r = a के अंतर्गवृत्‍त के क्षेत्रफल तक पहुँचता है।


भुजाओं के रेखांकन, s; अंतःत्रिज्या, -ए; और क्षेत्रफल,- n भुजाओं वाले समभुजकोणीय बहुभुजो का और समान क्षेत्रफल वाले आयत के आधार,-b के साथ परिवृत्त 1.है, हरी रेखा स्थिति n = 6 को दर्शाती है।

अंतःकरण का पता लगाना

एक समभुजकोणीय बहुभुज के अंतःत्रिज्या को कई तरीकों से पाया जा सकता है।

पार्श्‍वीय लंबाई s, या परित्रिज्या R के साथ एक समभुजकोणीय n-भुजा बहुभुज का अंतःत्रिज्या निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

अंतःत्रिज्या द्वारा भी पाया जा सकता है

इन सूत्रों का तब भी उपयोग किया जा सकता है, जब केवल परिधि p और भुजाओं की संख्या n ज्ञात हो, क्योंकि s =p/n.




टिप्पणियाँ

  1. ↑ Equilateral triangles have only one triangle center, which is what makes this definition of the apothem of an equilateral triangle well-defined. For non-equilateral triangles however, there are many non-coinciding notions of triangle center; see Triangle center for details.


यह भी देखें

  • समभुजकोणीय बहुभुज की परिवृत्त-त्रिज्या
  • शराश्मक (ज्यामिति)
  • जीवा (त्रिकोणमिति)
  • तिरछी ऊंचाई

संदर्भ

  1. ↑ Shaneyfelt, Ted V. "德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine?". Hilo, Hawaii: University of Hawaii. Archived from the original on 2015-09-19. Retrieved 2015-11-08.
  2. ↑ "एपोटेम की परिभाषा". www.merriam-webster.com (in English). Retrieved 2022-02-17.


बाहरी संबंध

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