सामान्य फ्रेम

तर्क में, सामान्य फ्रेम (या मात्र फ्रेम) अतिरिक्त संरचना के साथ क्रिपके फ्रेम होते हैं, जिनका उपयोग मॉडल तर्क और मध्यवर्ती तर्क लॉजिक्स के मॉडल के लिए किया जाता है। सामान्य फ्रेम शब्दार्थ कृपके शब्दार्थ और बीजगणितीय शब्दार्थ के मुख्य गुणों को जोड़ता है: यह पूर्व की पारदर्शी ज्यामितीय अंतर्दृष्टि को साझा करता है

परिभाषा

मॉडल सामान्य फ्रेम ट्रिपल है $\mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle$, जहां$\langle F,R\rangle$ क्रिप्के फ़्रेम है (अर्थात, $R$ समुच्चय पर द्विआधारी संबंध है $F$), और $V$ के उपसमुच्चय का समुच्चय है $F$ जो निम्नलिखित के अनुसार बंद है:

• (द्विआधारी) प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत), संघ (समुच्चय सिद्धांत), और पूरक (समुच्चय सिद्धांत) के बूलियन संचालन,
• संचालन $\Box$, द्वारा परिभाषित $\Box A=\{x\in F\mid \forall y\in F\,(x\,R\,y\to y\in A)\}$.

वे इस प्रकार समुच्चय के क्षेत्र कि विशेष स्थितिया हैं या अतिरिक्त संरचना के साथ समुच्चय के क्षेत्र। उद्देश्य से $V$ फ्रेम में अनुमत मूल्यांकन को प्रतिबंधित करता है: मॉडल $\langle F,R,\Vdash \rangle$ क्रिप्के फ्रेम पर आधारित है $\langle F,R\rangle$ सामान्य ढांचे में $\mathbf {F}$ स्वीकार्य है, यदि

$\{x\in F\mid x\Vdash p\}\in V$ प्रत्येक प्रस्तावक चर के लिए $p$.

बंद करने की स्थिति चालू है $V$ तो सुनिश्चित करें $\{x\in F\mid x\Vdash A\}$ से संबंधित $V$ प्रत्येक सूत्र के लिए $A$ (न केवल चर)।

सूत्र $A$ में मान्य है $\mathbf {F}$, यदि $x\Vdash A$ सभी स्वीकार्य मूल्यांकन के लिए $\Vdash$, और सभी बिंदु $x\in F$. सामान्य मॉडल तर्क $L$ फ्रेम में मान्य है $\mathbf {F}$, यदि सभी अभिगृहीत (या समतुल्य, सभी प्रमेय (तर्क) हैं $L$ में मान्य हैं $\mathbf {F}$. ऐसे में हम पुकारते हैं $\mathbf {F}$ $L$- फ्रेम ।

क्रिपके फ्रेम $\langle F,R\rangle$ सामान्य ढांचे के साथ पहचाना जा सकता है जिसमें सभी मूल्यांकन स्वीकार्य हैं: अर्थात, $\langle F,R,{\mathcal {P}}(F)\rangle$, जहां${\mathcal {P}}(F)$ के सत्ता स्थापित $F$ को दर्शाता है

फ्रेम के प्रकार

पूर्ण सामान्यता में, क्रिपके मॉडल के लिए सामान्य फ्रेम संभवतः ही फैंसी नाम से अधिक हैं; विशेष रूप से, अभिगम्यता संबंध पर गुणों के लिए मॉडल स्वयंसिद्धों का पत्राचार खो गया है। स्वीकार्य मूल्यांकन के समुच्चय पर अतिरिक्त शर्तें लगाकर इसका उपचार किया जा सकता है।

फ्रेम $\mathbf {F} =\langle F,R,V\rangle$ कहा जाता है

• विभेदित, यदि $\forall A\in V\,(x\in A\Leftrightarrow y\in A)$ तात्पर्य $x=y$,
• तंग, यदि $\forall A\in V\,(x\in \Box A\Rightarrow y\in A)$ तात्पर्य $x\,R\,y$,
• कॉम्पैक्ट, यदि का प्रत्येक उपसमुच्चय $V$ परिमित प्रतिच्छेदन संपत्ति के साथ गैर-खाली प्रतिच्छेदन है,
• परमाणु, यदि $V$ सभी एकमात्र सम्मिलित हैं,
• परिष्कृत, यदि यह विभेदित और तंग है,
• वर्णनात्मक, यदि यह परिष्कृत और कॉम्पैक्ट है।

क्रिप्के फ्रेम परिष्कृत और परमाणु हैं। चूँकि, अनंत क्रिपके फ्रेम कभी भी कॉम्पैक्ट नहीं होते हैं। प्रत्येक परिमित विभेदित या परमाणु फ्रेम क्रिपके फ्रेम है।

द्वैत सिद्धांत के कारण वर्णनात्मक फ्रेम फ्रेम का सबसे महत्वपूर्ण वर्ग है (नीचे देखें)। वर्णनात्मक और क्रिपके फ्रेम के सामान्य सामान्यीकरण के रूप में परिष्कृत फ्रेम उपयोगी होते हैं।

फ्रेम पर संचालन और रूपवाद

हर क्रिपके मॉडल $\langle F,R,{\Vdash }\rangle$ सामान्य ढांचे को प्रेरित करता है $\langle F,R,V\rangle$, जहां$V$ परिभाषित किया जाता है

$V={\big \{}\{x\in F\mid x\Vdash A\}\mid A{\hbox{ is a formula}}{\big \}}.$