बीजगणितीय तर्क: Difference between revisions

[[गणितीय तर्क]] में, बीजगणितीय तर्क को [[मुक्त चर और बाध्य चर]] के साथ समीकरणों में परिवर्तन करके प्राप्त किया गया तर्क है।

जिसे अब सामान्यतः मौलिक बीजगणितीय तर्क कहा जाता है, विभिन्न तर्कशास्त्रों के अध्ययन के लिए उपयुक्त [[मॉडल सिद्धांत|प्रारूप सिद्धांत]] की पहचान और बीजगणितीय विवरण पर केंद्रित है (बीजगणित के वर्गों के रूप में जो इन निगमनात्मक प्रणालियों के लिए [[बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क)]] का गठन करते हैं) और इस प्रकार संबंधित समस्याएं [[प्रतिनिधित्व (गणित)]] और द्वंद्व की तरह प्रकट करते हैं। बूलियन बीजगणित और स्टोन द्वैत के लिए प्रतिनिधित्व प्रमेय जैसे प्रसिद्ध परिणाम मौलिक बीजगणितीय तर्क के कार्यसमय में आते हैं।

इस प्रकार वर्तमान के [[सार बीजगणितीय तर्क|बीजगणितीय तर्क]] (एएएल) में यह तर्र कार्य करता है बीजगणित की प्रक्रिया पर ही ध्यान केंद्रित करता है, जैसे [[लीबनिज ऑपरेटर]] का उपयोग करके बीजगणितीयता के विभिन्न रूपों को वर्गीकृत करना होता हैं।

कुछ समुच्चय X के लिए X × X के [[सत्ता स्थापित]] में सजातीय बाइनरी संबंध पाया जाता है, जबकि X × Y के पावर समुच्चय में [[विषम संबंध]] पाया जाता है, जहां X ≠ Y दिये गये संबंधों में दो व्यक्तियों के लिए ऐसा [[अंश]] है जिसके लिए सूचना का प्रबंध करना है, इसलिए बूलियन अंकगणित के साथ संबंधों का अध्ययन किया जाता है। इस प्रकार पावर समुच्चय के तत्वों को आंशिक रूप से [[समावेशन (सेट सिद्धांत)|समावेशन (समुच्चय सिद्धांत)]] द्वारा आदेश दिया जाता है, और इन समुच्चयों की असत्यता के सापेक्ष गुणन या संबंधों की संरचना के माध्यम से बीजगणित बन जाती है।

  मूल संचालन समुच्चय-सैद्धांतिक संघ, प्रतिच्छेदन और पूरकता, सापेक्ष गुणन और रूपांतरण हैं।<ref>{{cite book | author=Bjarni Jónsson | year=1984| contribution=Maximal Algebras of Binary Relations  | url= | title=Contributions to Group Theory  | editor1=Kenneth I. Appel |editor2= John G. Ratcliffe |editor3= Paul E. Schupp | location=Providence/RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | series=Contemporary Mathematics | volume=33 | pages=299&ndash;307 |  isbn=978-0-8218-5035-0}}</ref>

रूपांतरण [[विपरीत संबंध]] को संदर्भित करता है जो सदैव कार्य सिद्धांत के विपरीत संलग्न रहता है। दिए गए संबंध को [[तार्किक मैट्रिक्स|तार्किक आव्यहू]] द्वारा दर्शाया जा सकता है, इस स्थिति में व्युत्क्रम संबंध को [[खिसकाना]] आव्यहू द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार दो अन्य की संरचना के रूप में प्राप्त संबंध तब बूलियन अंकगणित का उपयोग करके [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यहू गुणन]] द्वारा प्राप्त तार्किक आव्यहू द्वारा दर्शाया जाता है।

[[कामुक|का]][[र्यकर्ता]], प्रश्नों के सिद्धांत में संबंधों की कलन का उदाहरण उत्पन्न होता है। कथनों के ब्रह्मांड में [[कथन (तर्क)]] S और प्रश्न Q हैं। Q से S तक दो संबंध π और α हैं: q α a धारण करता है जब a प्रश्न q का सीधा उत्तर होता है। अन्य संबंध, q π p तब धारण करता है जब p पूर्वधारणा प्रश्न q की तार्किक रचना है। विलोम संबंध π^T S से Q तक चलता है जिससे कि रचना π^T,αs पर सजातीय संबंध है। इस प्रकार पर्याप्त उत्तर प्राप्त करने के लिए सही प्रश्न पूछने की कला को सुकरात पद्धति संवाद में मान्यता प्राप्त है।

इन संबंधों की कलन के साथ प्रमुख द्विआधारी संबंध गुणों का विवरण तैयार किया गया है। इस प्रकार कार्यों की अद्वितीयता <math>R</math> संपत्ति संबंध का वर्णन करती है, जो <math>R^T R \subseteq I ,</math> सूत्र को संतुष्ट करता है, जहाँ <math>I</math> की सीमा पर <math>R</math> की पहचान करना संबंधित है, अंतःक्षेपी गुण की एकरूपता <math>R^T</math> या सूत्र <math>R R^T \subseteq I ,</math>से मेल खाता है, इस बार यहाँ <math>I</math> के डोमेन पर पहचान <math>R</math> है।

इस प्रकार असमान संबंध केवल आंशिक फलन होता है, जबकि असमान [[कुल संबंध]] फलन (गणित) होता है। समग्रता का सूत्र है <math>I \subseteq R R^T .</math> [[चार्ल्स लोवेनर]] और [[गुंथर श्मिट]] कुल, असमान संबंध के लिए मैपिंग शब्द का उपयोग करते हैं।<ref>G. Schmidt & T. Ströhlein (1993) ''Relations and Graphs'' Discrete Mathematics for Computer Scientists, page 54, EATCS Monographs on Theoretical Computer Science, Springer Verlag, {{ISBN|3-540-56254-0}}</ref><ref>G. Schmidt (2011) ''Relational Mathematics'', Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 132, pages 49 and 57, [[Cambridge University Press]] {{ISBN|978-0-521-76268-7}}</ref>

समुच्चय सिद्धांत पर आधारित संबंध बीजगणित संरचना, टार्स्की द्वारा इसका वर्णन करने वाले स्वयंसिद्धों के साथ पार किया गया था। फिर उसने पूछा कि क्या अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाले प्रत्येक बीजगणित को समुच्चय संबंध द्वारा निरूपित किया जा सकता है। इस प्रकार इसका ऋणात्मक उत्तर<ref>{{cite journal | mr=0037278 | jstor=1969375 | author=Roger C. Lyndon | author-link=Roger C. Lyndon |title=The representation of Relational Algebras | journal=[[Annals of Mathematics]] | volume=51 | number=3 | pages=707&ndash;729 | date=May 1950 }}</ref> बीजगणितीय तर्क की सीमा पर निर्भर करता हैं।<ref>[[Vaughn Pratt]] [http://boole.stanford.edu/pub/ocbr.pdf The Origins of the Calculus of Relations], from [[Stanford University]]</ref><ref>[[Roger Maddux]] (1991) "The Origin of Relation Algebras in the Development and Axiomatization of the Calculus of Relations", [[Studia Logica]] 50'': 421-55</ref><ref name=T41/>

== [[तर्क]]शास्त्र के प्रारूप के रूप में बीजगणित ==

बीजगणितीय तर्क [[बीजगणितीय संरचना]]ओं का व्यवहार करता है, अधिकांशतः [[जाली (आदेश)]], कुछ तर्कों के प्रारूपों की व्याख्या के रूप में, तर्क को [[आदेश सिद्धांत]] की शाखा बनाते हैं।

* चर प्रवचन के कुछ ब्रह्मांड पर मौन रूप से [[सार्वभौमिक परिमाणीकरण]] हैं। कोई [[अस्तित्वगत परिमाणीकरण]] या [[वाक्य (गणितीय तर्क)]] नहीं हैं,

* टर्म (तर्क) आदिम और परिभाषित ऑपरेशन (गणित) का उपयोग करके चर से निर्मित होते हैं। कोई तार्किक संबंध नहीं हैं,

* सामान्य तरीके से शब्दों से निर्मित सूत्रों की बराबरी की जा सकती है यदि वे तार्किक तुल्यता हैं। तनातनी (तर्क) को व्यक्त करने के लिए, सूत्र को सत्य मान के साथ समान करें,

* सबूत के नियम बराबर के लिए बराबर का प्रतिस्थापन, और समान प्रतिस्थापन हैं। [[मूड सेट करना|मूड समुच्चय करना]] वैध रहता है, किन्तु संभवतः ही कभी इसका उपयोग किया जाता है।

नीचे दी गई तालिका में, बाएँ स्तंभ में या अधिक [[तार्किक प्रणाली]] या गणितीय प्रणालियाँ हैं, और बीजगणितीय संरचना जो इसके प्रारूप हैं, उसी पंक्ति में दाईं ओर दिखाई गई हैं। इनमें से कुछ संरचनाएं या तो [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] हैं या उनके [[उचित विस्तार]] हैं। [[मॉडल तर्क|प्रारूप तर्क]] और अन्य गणितीय तर्क, नॉनक्लासिकल और प्रारूप तर्क सामान्यतः ऑपरेटरों के साथ बूलियन बीजगणित कहलाते हैं।

* [[संयोजन तर्क]], [[समुच्चय सिद्धान्त]] की अभिव्यंजक शक्ति होना,

* [[संबंध बीजगणित]], यकीनन प्रतिमान बीजगणितीय तर्क, [[पियानो अंकगणित]] और सबसे [[स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत|स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत]] को व्यक्त कर सकता है, जिसमें विहित [[ZFC]] भी सम्मलित है।

!तार्किक प्रणाली

![[लिनडेनबाॅम टार्सिकी बीजगणित]]

|[[sentential logic|मौलिक सेंटेशियल तर्क]]

|[[बुलियन बीजगणित]]

|[[अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावपरक तर्क]]

|[[Heyting algebra|हेटिंग बीजगणित]]

|[[Łukasiewicz logic|लुकासिविक्ज़ लॉजिक]]

|[[MV-algebra|एमवी-बीजगणित]]

|मोडल लॉजिक के

|[[Modal algebra|प्रारूप बीजगणित]]

|लुईस का S4

|[[Interior algebra|आंतरिक बीजगणित]]

|लुईस का S5, मोनाडिक विधेय तर्क

|[[Monadic Boolean algebra|मोनाडिक बूलियन बीजगणित]]

|[[First-order logic|प्रथम-क्रम तर्क]]

|[[पूर्ण बूलियन बीजगणित, पॉलीएडिक बीजगणित, विधेय functor तर्क]]

|[[समानता के साथ प्रथम-क्रम तर्क]]

|[[Cylindric algebra|बेलनाकार बीजगणित]]

|[[Set theory|समुच्चय सिद्धान्त]]

|[[संयोजन तर्क, संबंध बीजगणित]]

{{see also|प्रतीकात्मक बीजगणित}}

बीजगणितीय तर्क, संभवतः, औपचारिक तर्क के लिए सबसे पुराना दृष्टिकोण है, यकीनन इसकी प्रारंभ 1680 के दशक में [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]] द्वारा लिखे गए कई ज्ञापनों से हुई थी, जिनमें से कुछ 19वीं शताब्दी में प्रकाशित हुए थे और इस प्रकार 1918 में [[क्लेरेंस लुईस]] द्वारा अंग्रेजी में अनुवादित किए गए थे।<ref name=Lewis/>{{rp|291–305}} किन्तु इस प्रकार बीजगणितीय तर्क पर लाइबनिट्स का लगभग सभी ज्ञात कार्य केवल 1903 में प्रकाशित हुआ था, जब लुई कॉटुरेट ने लीबनिज के [[जागीर]] में इसकी खोज की थी। {{harvtxt|पार्किंसंस|1966}} और {{harvtxt|लोमकर|1969}} काउट्यूरत की मात्रा से अंग्रेजी में अनुवादित चयन हैं।

आधुनिक गणितीय तर्क 1847 में दो पैम्फलेट के साथ प्रारंभ हुआ, जिसके संबंधित लेखक [[जॉर्ज बूले]] थे<ref>[[George Boole]], [https://books.google.com/books?id=zv4YAQAAIAAJ&pg=PP9#v=onepage&q&f=false ''The Mathematical Analysis of Logic, Being an Essay towards a Calculus of Deductive Reasoning''] (London, England: Macmillan, Barclay, & Macmillan, 1847).</ref> और ऑगस्टस डी मॉर्गन ने प्रस्तावित किये थे।<ref>[[Augustus De Morgan]] (1847), ''[https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015026440449;view=1up;seq=6 Formal Logic]'', London: Taylor & Walton, link from [[Hathi Trust]]</ref> 1870 में [[चार्ल्स सैंडर्स पियर्स]] ने रिश्तेदारों के तर्क पर कई कार्यों में से पहला प्रकाशित किया था। [[अलेक्जेंडर मैकफर्लेन]] ने तर्क के बीजगणित के सिद्धांतों को प्रकाशित किया था,<ref>[[Alexander Macfarlane]] (1879), ''[https://archive.org/details/principlesalgeb03macfgoog/page/n6/mode/2up Principles of the Algebra of Logic]'', via Internet Archive</ref> 1879 में, और 1883 में, [[जॉन्स हॉपकिन्स विश्वविद्यालय]] में पियर्स के छात्र [[क्रिस्टीन लैड]] ने तर्क के बीजगणित पर प्रकाशित किया।<ref>[[Christine Ladd]] (1883), ''[https://books.google.ca/books?id=A48XAAAAIAAJ&pg=PA17 On the Algebra of Logic]'' via [[Google Books]]</ref> तर्क अधिक बीजगणितीय हो गया जब द्विआधारी संबंधों को संबंधों की संरचना के साथ जोड़ दिया गया। समुच्चय ए और बी के लिए, संबंधों को पहले [[बूलियन बीजगणित]] द्वारा वर्णित गुणों के साथ a × b के पावर समुच्चय के तत्वों के रूप में समझा गया था। इस प्रकार संबंधों की गणना<ref name=T41/>तार्किक रूप से तर्क के प्रति लीबनिज के दृष्टिकोण की पराकाष्ठा है। हॉशचुले कार्लज़ूए में संबंधों की गणना का वर्णन अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर द्वारा किया गया था।<ref>[[Ernst Schröder (mathematician)|Ernst Schröder]], (1895), ''[https://archive.org/details/vorlesungenberd03mlgoog Algebra der Logik (Exakte Logik) Dritter Band, Algebra und Logik der Relative]'', Leibzig: [[B. G. Teubner]] via [[Internet Archive]]</ref> विशेष रूप से उन्होंने संबंधों की संरचना श्रोडर नियम|श्रोडर नियम तैयार किए, चूंकि डी मॉर्गन ने अपने प्रमेय K के साथ उनका अनुमान लगाया था।

1903 में [[बर्ट्रेंड रसेल]] ने आदिम धारणा रसेल के प्रिमिटिव के रूप में कैलकुलस के संचालन के आधार पर शुद्ध गणित के अपने संस्करण के रूप में संबंधों और [[तर्कवाद]] की कलन को विकसित किया।<ref>B. Russell (1903) ''[[The Principles of  Mathematics]]''</ref> इस प्रकार 1918 में क्लेरेंस लुईस द्वारा पाठ्यपुस्तक में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, बर्कले में तर्क के बूले-श्रोडर बीजगणित का विकास किया गया था।<ref name=Lewis>[[Clarence Lewis]] (1918) ''A Survey of Symbolic Logic'', [[University of California Press]], second edition 1932, Dover edition 1960</ref> उन्होंने संबंधों के तर्क को दो या दो से अधिक चरों के प्रस्तावात्मक कार्यों से प्राप्त किया था।

[[ह्यूग मैककॉल]], [[भगवान फ्रीज का शुक्र है]], [[जोसेफ पीनो]] और ए.एन. व्हाइटहेड सभी ने लीबनिज के [[प्रतीकात्मक तर्क]], गणित और [[दर्शन]] के संयोजन के सपने को साझा किया था।

[[गणितीय सिद्धांत]] पर लियोपोल्ड लोवेनहेम और [[थोराल्फ़ स्कोलेम]] के कुछ लेख 1910-13 में प्रिन्सिपिया [[अंक शास्त्र]] के प्रकाशन के बाद प्रकट हुए, और इस प्रकार टार्स्की ने अपने 1941 के निबंध ऑन द कैलकुलस ऑफ़ रिलेशंस के साथ संबंधों में रुचि को पुनर्जीवित किया था।<ref name=T41/>

[[हेलेना रसिओवा]] के अनुसार, 1920-40 के वर्षों में, विशेष रूप से पोलिश स्कूल ऑफ तर्क में, गैर-मौलिक प्रस्तावपरक गणना पर शोध किया गया, जिसे तार्किक आव्यहू विधि कहा जाता है। चूँकि इस प्रकार तार्किक आव्यूह कुछ बीजगणित होते हैं, इसने तर्क में बीजगणितीय पद्धति का उपयोग किया था।<ref>[[Helena Rasiowa]] (1974), "Post Algebras as Semantic Foundations of m-valued Logics", pages 92–142 in ''Studies in Algebraic Logic'', edited by Aubert Daigneault, [[Mathematical Association of America]] {{ISBN|0-88385-109-1}}</ref>

{{harvtxt|ब्रैडी|2000}} बीजगणितीय तर्क और प्रारूप सिद्धांत के बीच समृद्ध ऐतिहासिक संबंधों पर चर्चा करता है। इस प्रकार प्रारूप सिद्धांत के संस्थापक, अर्नस्ट श्रोडर और लियोपोल्ड लोवेनहेम, बीजगणितीय परंपरा में तार्किक थे। समकालीन गणितीय तर्क की प्रमुख शाखा के रूप में समुच्चय सिद्धांत प्रारूप सिद्धांत के संस्थापक [[अल्फ्रेड टार्स्की]] भी:

* संबंध बीजगणित के साथ बीजगणितीय तर्क की प्रारंभ की<ref name="T41">[[Alfred Tarski]] (1941), "On the Calculus of Relations", ''[[Journal of Symbolic Logic]]'' 6: 73–89 {{doi|10.2307/2268577 }}</ref>

संबंधों की कलन के अभ्यास में, [[जैक्स रिगुएट]] ने उपयोगी अवधारणाओं को आगे बढ़ाने के लिए बीजगणितीय तर्क का उपयोग किया: उन्होंने विषम संबंध की धारणा के साथ समतुल्य संबंधित की एक ही समुच्चय की अवधारणा को विषम स्थिति में विस्तारित किया था। इस प्रकार रिगुएट ने अपने नोट द्वारा विषम संदर्भ में आदेश देने का विस्तार किया कि सीढ़ी तार्किक आव्यहू में पूरक है जो सीढ़ी भी है, और इस प्रकार यह एनएम फेरर्स की प्रमेय सीढ़ी के स्थानान्तरण की व्याख्या से होता है। इस प्रकार रिगुएट ने तार्किक सदिशों के बाह्य गुणनफल को लेकर आयताकार संबंध उत्पन्न किए, ये [[औपचारिक अवधारणा विश्लेषण]] के गैर-विस्तारित आयतों में योगदान करते हैं।

लीबनिज का बीजगणितीय तर्क के उदय पर कोई प्रभाव नहीं था क्योंकि पार्किंसंस और लोएमकर अनुवादों से पहले उनके तार्किक लेखन का बहुत कम अध्ययन किया गया था। तर्कशास्त्री के रूप में लीबनिज की हमारी वर्तमान समझ मुख्य रूप से वोल्फगैंग लेनजेन के कार्य से उत्पन्न हुई हैं, इस प्रकार जिसका सारांश निम्नलिखित में दिया गया है: {{harvtxt|लेनजेन|2004}}. यह देखने के लिए कि कैसे तर्क और तत्वमीमांसा में वर्तमान समय का कार्य लीबनिज के विचारों से प्रेरणा ले सकता है और उन पर प्रकाश डाल सकता है, इसके लिए {{harvtxt|जैल्टा|2000}}. देखें।

* {{cite book|author1=J. Michael Dunn|author2=Gary M. Hardegree|title=Algebraic Methods in Philosophical Logic|year=2001|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-853192-0}} Good introduction for readers with prior exposure to [[non-classical logic|non-मौलिक तर्क]]s but without much background in order theory and/or universal algebra, the book covers these prerequisites at length. This book however has been criticized for poor and sometimes incorrect presentation of AAL results. [https://www.jstor.org/stable/3094793 Review by Janusz Czelakowski]

* Ramon Jansana (2011), "[http://plato.stanford.edu/entries/consequence-algebraic/ Propositional Consequence Relations and Algebraic तर्क]". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Mainly about abstract algebraic तर्क.

* Stanley Burris (2015), "[http://plato.stanford.edu/entries/algebra-logic-tradition/ The Algebra of तर्क Tradition]". Stanford Encyclopedia of Philosophy.

*[[Willard Quine]], 1976, "Algebraic तर्क and Predicate Functors" pages 283 to 307 in ''The Ways of Paradox'', [[Harvard University Press]].