समीकरण: Difference between revisions
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'''भास्कर द्वितीय के नियम :''' भास्कर द्वितीय (1150) कहते हैं : "जब अज्ञात का वर्ग | '''भास्कर द्वितीय के नियम :''' भास्कर द्वितीय (1150) कहते हैं : "जब अज्ञात का वर्ग रहता है, तो दोनों पक्षों (समीकरण के) को कुछ उपयुक्त मात्राओं से गुणा करते हुए, उनमें अन्य उपयुक्त मात्राएँ जोड़ी जानी चाहिए ताकि अज्ञात वाली भुजा एक मूल (''पद-प्रद'') उत्पन्न करने में सक्षम हो जाए।फिर इस पक्ष के मूल और ज्ञात पक्ष के मूल के साथ फिर से समीकरण बनाना चाहिए। इस प्रकार अज्ञात का मान उस समीकरण से प्राप्त होता है। | ||
इस नियम को लेखक ने आगे इस प्रकार स्पष्ट किया है : . | इस नियम को लेखक ने आगे इस प्रकार स्पष्ट किया है : . | ||
"जब दोनों पक्षों की पूर्ण निकासी के बाद, एक तरफ अज्ञात का वर्ग, आदि रहता है और दूसरी तरफ केवल पूर्ण शब्द होता है, तो, दोनों पक्षों को कुछ उपयुक्त वैकल्पिक मात्रा से गुणा या विभाजित किया जाना चाहिए; कुछ समान मात्राओं को आगे दोनों पक्षों से जोड़ा या घटाया जाना चाहिए ताकि अज्ञात पक्ष एक | "जब दोनों पक्षों की पूर्ण निकासी के बाद, एक तरफ अज्ञात का वर्ग, आदि रहता है और दूसरी तरफ केवल पूर्ण शब्द होता है, तो, दोनों पक्षों को कुछ उपयुक्त वैकल्पिक मात्रा से गुणा या विभाजित किया जाना चाहिए; कुछ समान मात्राओं को आगे दोनों पक्षों से जोड़ा या घटाया जाना चाहिए ताकि अज्ञात पक्ष एक मूल देने में सक्षम हो जाए। उस पक्ष की मूल दूसरी तरफ के निरपेक्ष पदों के मूल के बराबर होनी चाहिए। एक साथ समान जोड़, आदि द्वारा के लिए,दो समान पक्षों में समानता बनी रहती है। इसलिए इन मूलों के साथ फिर से एक समीकरण बनाने से अज्ञात का मान मिल जाता है।" | ||
भास्कर प्रथम ने अंकगणित पर अपने ग्रंथ में हमेशा अज्ञात के वर्ग के गुणांक से विभाजित करने की आधुनिक पद्धति का पालन किया है। | |||
ज्ञानराज (1503) और गणेश (1545) द्विघात को हल करने के लिए भास्कर द्वितीय के समान सामान्य तरीकों का वर्णन करते हैं। | ज्ञानराज (1503) और गणेश (1545) द्विघात को हल करने के लिए भास्कर द्वितीय के समान सामान्य तरीकों का वर्णन करते हैं। | ||
'''मध्य अवधि का उन्मूलन :''' | '''मध्य अवधि का उन्मूलन :''' ''मध्यमहारना'' या "मध्य का उन्मूलन"(''मध्यम'' = मध्य और ''अहारना'' = हटाने, या नष्ट करने, यानी उन्मूलन), तकनीकी पदनाम जिसके माध्यम से हिंदू बीजगणितविदों ने द्विघात समीकरण को हल करने की विधि दी। | ||
इस नाम की उत्पत्ति विधि के अंतर्निहित सिद्धांत से हुई है। | |||
सामान्य तौर पर द्विघात समीकरण में तीन पद होते हैं जिनमें एक मध्य पद होता है। इस विधि द्वारा इसे केवल दो पदों के साथ सरल समीकरणों में परिवर्तित किया जाएगा, जहां मध्य पद को हटा दिया जाता है। इसलिए नाम ''मध्यमहारना'' | |||
भास्कर द्वितीय ने देखा है, "यह भी विशेष रूप से विद्वान शिक्षकों द्वारा ''मध्यमहारना'' के रूप में नामित किया गया है। क्योंकि, द्विघात के दो शब्दों में से एक(बीच वाला) को हटा दिया जाता है,इसके द्वारा होता है।:हालाँकि, नाम को एक विस्तारित अर्थ में भी नियोजित किया जाता है ताकि घन और द्विघात को हल करने के तरीकों को अपनाया जा सके, जहाँ कुछ शर्तों को भी समाप्त कर दिया जाता है। यह ब्रह्मगुप्त (628) के कार्यों के रूप में यथाशीध्र होता है। | |||
समाधान। "यहाँ | '''द्विघात के दो मूल :''' हिंदुओं ने जल्दी ही पहचान लिया कि द्विघात की आम तौर पर दो मूल होते हैं।इस संबंध में भास्कर द्वितीय ने पद्मनाभ नाम के एक प्राचीन लेखक से निम्नलिखित नियम उद्धृत किया है जिसका बीजगणित पर ग्रंथ अब उपलब्ध नहीं है।"यदि मूलों को निकालने के बाद द्विघात की निरपेक्ष भुजा का वर्गमूल दूसरी ओर के ऋणात्मक निरपेक्ष पद से कम हो, तो इसे ऋणात्मक और धनात्मक लेने पर अज्ञात के दो मान मिलते हैं।" | ||
भास्कर कुछ विशिष्ट दृष्टांतों की मदद से बताते हैं कि हालांकि द्विघात की ये दोहरी मूले सैद्धांतिक रूप से सही हैं, वे कभी-कभी असंगति की ओर ले जाती हैं और इसलिए हमेशा स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए।इसलिए वह नियम को इस प्रकार संशोधित करते है:"यदि द्विघात के ज्ञात पक्ष का वर्गमूल अज्ञात पक्ष के वर्गमूल में आने वाले ऋणात्मक निरपेक्ष पद से कम हो तो उसे ऋणात्मक और धनात्मक बनाते हुए अज्ञात के दो मान ज्ञात करने चाहिए।यह कभी-कभी किया जाना है।" | |||
उदाहरण 1."बंदरों की एक टोली का आठवां हिस्सा(वर्ग), जंगल के अंदर कूद रहा था, खुशी से उससे जुड़ा हुआ था। बारह को पहाड़ी पर चिल्लाते और चिल्लाते हुए देखा गया था। वे कितने थे?" | |||
समाधान। "यहाँ बन्दरों की टोली x है। इसके आठवें भाग का वर्ग 12 को मिलाकर सेना के बराबर है। तो दोनों पक्ष इस प्रकार हैं | |||
<math>{\displaystyle {\frac{1}{64}}x^2+0x+12 = 0x^2+x+0}</math> | <math>{\displaystyle {\frac{1}{64}}x^2+0x+12 = 0x^2+x+0}</math> | ||
इन्हें एक सामान्य भाजक में कम करना और फिर हर को हटाना, और निकासी करना | इन्हें एक सामान्य भाजक में कम करना और फिर हर को हटाना, और निकासी भी करना दोनों पक्ष बन जाते हैं | ||
x² - 64x + 0 = 0x2 + 0x - 768 | x² - 64x + 0 = 0x2 + 0x - 768 | ||
दोनों पक्षों में 32 का वर्ग जोड़ने पर और वर्गमूल निकालने पर, | दोनों पक्षों में 32 का वर्ग जोड़ने पर और वर्गमूल निकालने पर, हम यह प्राप्त करते हैं | ||
x- 32 = ± (0x + 16) | x- 32 = ± (0x + 16) | ||
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इस उदाहरण में ज्ञात पक्ष पर निरपेक्ष पद अज्ञात के पक्ष में ऋणात्मक निरपेक्ष पद से छोटा है; इसलिए इसे सकारात्मक के साथ-साथ नकारात्मक भी लिया जाता है; x के दो मान 48, 16 पाए जाते हैं। | इस उदाहरण में ज्ञात पक्ष पर निरपेक्ष पद अज्ञात के पक्ष में ऋणात्मक निरपेक्ष पद से छोटा है; इसलिए इसे सकारात्मक के साथ-साथ नकारात्मक भी लिया जाता है; x के दो मान 48, 16 पाए जाते हैं। | ||
== उच्च | == उच्च घात के समीकरण == | ||
'''घन और द्विघात:''' | '''घन और द्विघात:''' घन और द्विघात समीकरणों को हल करने में हिंदुओं की कोई खास उपलब्धि नहीं है। भास्कर द्वितीय(1150) ने ''मध्यमाहारन'' (मध्य का उन्मूलन) पद्धति को उन समीकरणों पर भी लागू करने की कोशिश की ताकि लाभप्रद परिवर्तनों के माध्यम से उन्हें कम किया जा सके और सहायक मात्राओं को क्रमशः सरल और द्विघात समीकरणों में शामिल किया जा सके।इस प्रकार उन्होंने द्विघात को हल करने के आधुनिक तरीकों में से एक का अनुमान लगाया। "यदि, हालांकि," भास्कर द्वितीय का कहना है, "घन, द्विघात, आदि की उपस्थिति के कारण, अज्ञात पक्ष के मूल के अभाव में, इस तरह के संचालन के प्रदर्शन के बाद, कमी का कार्य आगे नहीं बढ़ सकता है ( एक समीकरण का), तो अज्ञात का मान सरलता (गणितज्ञ के) द्वारा प्राप्त किया जाना चाहिए।उन्होंने दो उदाहरण दिए हैं, एक घन का और दूसरा द्विघात का, जिसमें ऐसी कमी संभव है। | ||
उदाहरण 1. "वह कौन सी संख्या है, जिसे बारह से गुणा | उदाहरण 1. "वह कौन सी संख्या है, जिसे बारह से गुणा किया जाता है और संख्या के घन से बढ़ा दिया जाता है, जो पैंतीस के साथ जोड़ी गई संख्या के वर्ग के छह गुणा के बराबर होती है। | ||
समाधान : "यहाँ संख्या x है। इसे बारह से गुणा करने पर संख्या का घन x³ + 12x हो जाता है। यह 6x² + 35 के बराबर होता है। निकासी करने पर, एक तरफ x³ - 6x² + 12x; दूसरी तरफ 35 दोनों पक्षों में ऋणात्मक आठ जोड़ने पर और घनमूल निकालने पर हमें x - 2. = 0x + 3 प्राप्त होता है और इस समीकरण से संख्या 5 होती है। | |||
उदाहरण 2. "वह कौन सी संख्या है जिसे 200 से गुणा करके संख्या के वर्ग में जोड़ा जाता है, और फिर 2 से गुणा किया जाता है और संख्या की चौथी | उदाहरण 2. "वह कौन सी संख्या है जिसे 200 से गुणा करके संख्या के वर्ग में जोड़ा जाता है, और फिर 2 से गुणा किया जाता है और संख्या की चौथी घात से घटाया जाता है, तो वह असंख्य कम एकांक बन जाएगी? वह संख्या बताएं। | ||
समाधान: "यहाँ संख्या x है; 200 से गुणा करने पर यह 200x हो जाता है; संख्या के वर्ग में जोड़ने पर x² + 200x हो जाता है; इसे दो से गुणा करने पर, 2x² + 400x; इससे संख्या की चौथी घात कम हो जाती है, अर्थात्, यह x<sup>4</sup>- 2x² - 400x हो जाता है। यह असंख्य कम एकांक के बराबर है। सम-निकासी होने के बाद, दोनों पक्ष इस तरह होंगे, | |||
x<sup>4</sup>- 2x² - 400x = 0x<sup>4</sup> + 0x² + 0x + 9999 | x<sup>4</sup>- 2x² - 400x = 0x<sup>4</sup> + 0x² + 0x + 9999 | ||
यहाँ पर पहली भुजा में चार सौ x जमा एकता जोड़ने पर | यहाँ पर पहली भुजा में चार सौ x जमा एकता जोड़ने पर मूल निकाला जा सकता है, लेकिन दूसरी भुजा में समान जोड़ने पर उसकी मूल नहीं बनेगा । इस प्रकार कार्य (कमी का) आगे नहीं बढ़ता है। यहाँ दोनों पक्षों को x के वर्ग के चार गुणा, चार सौ x और एकांक में जोड़ने पर और फिर मूल निकालने पर, हम प्राप्त करते हैं | ||
x² + 0x+ 1 = 0x² + 2x + 100। | x² + 0x+ 1 = 0x² + 2x + 100। | ||
फिर से इनके साथ समीकरण बनाकर और पहले की तरह आगे बढ़ते हुए, x का मान 11 के रूप में प्राप्त होता | फिर से इनके साथ समीकरण बनाकर और पहले की तरह आगे बढ़ते हुए, x का मान 11 के रूप में प्राप्त होता है।" | ||
== समकालिक द्विघात समीकरण == | == समकालिक द्विघात समीकरण == | ||
Revision as of 16:35, 21 March 2022
समीकरण बनाना
वास्तविक समाधान में जाने से पहले हमें समीकरणों (Equations) पर कुछ प्रारंभिक संचालन करने की आवश्यकता है।
हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया; समा, बराबर और कर् से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित की एक या एक से अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।
भास्कर द्वितीय कहते हैं: "यावत्-तावत् " को अज्ञात मात्रा का मान मान लें। फिर ठीक वैसा ही करें जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है- किसी समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या भाग देना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।
बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण [1]से समझा जा सकता है।
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम के सिक्कों की संख्या + 10
हम 'श्याम के सिक्कों की संख्या' को अक्षर x से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,
राम के सिक्कों की संख्या = x+10
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।
बीजगणित प्रतीकों के प्रयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।
| क्रमांक | बीजीय व्यंजक का संघटक | संस्कृत शब्द | प्रतीक/चिह्न | उदाहरण | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | अज्ञात | यावत्तावत्
कालकः नीलकः , ...... |
या
का नी , ........ |
या ३५
का १४ नी ८२ |
35x
14y 82z |
| 2 | योगफल | योगः | - | या का
या ३५ का १४ |
x + y
35x + 14y |
| 3 | गुणनफल | भावितम् | भा | याकाभा
याकाभा ३२ |
xy
32xy |
| 4 | वर्ग | वर्गः | व | याव | x2 |
| 5 | घनक्षेत्र | घनः | घ | याघ | x3 |
| 6 | चौथी शक्ति | वर्ग-वर्गः | वव | यावव | x4 |
| 7 | स्थायी अवधि | रूपम् | रू | रू ३२ | 32 |
| 8 | ऋणात्मक | ऋणम् | मात्रा के ऊपर बिंदु (.) | .
रू ४३२ |
-432 |
अक्षर या (यावत्-तावत् का संक्षिप्त रूप) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को याव कहा जाता था, जो यावत्-तावत्-वर्ग (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को रू अक्षर से निरूपित किया गया था, जो रूपा का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न या , का, और नी हैं। ये यावत्-तावत्, कालका और नीलका के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को याकाभा के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ या और का दो अज्ञात हैं और भा उनके उत्पाद के लिए है।
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।
| क्रमांक | आधुनिक संकेतन | प्राचीन भारतीय संकेतन |
|---|---|---|
| 1 | x + 17 | या १ रू १७ |
| 2 | 7x - 17 | या ७ रू १७. |
| 3 | 18x – 8 | या १८ रू ८. |
| 4 | 15x2 + 17x - 2 | याव १५ या ७ रू २. |
| 5 | 1x4 + 16x3 + 25x2 + 8x + 6 | यावव १ याघ १६ याव २५ या ८ रू ६ |
| 6 | 8x2 + 12xy - 6xz -16x | याव ८ याकाभा १२ यानीभा ६. या १६. |
हम देखेंगे कि प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।
समीकरण 10x - 8 = x2 +1 पर विचार करें
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,
0x2 + 10x - 8 = 1x2 + 0x + 1
x2, x1, x0 (स्थिर पद/अवधि) की स्थितियों का निरीक्षण करने पर कुछ स्वरूप मिलता है? समीकरण लिखने का सामान्य तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम(descending order) में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।
ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना'। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा गया था। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।
चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत पर अपनी टिप्पणी में समीकरण 40x - 48 = x2 + 51 को नीचे के रूप में लिखा है
| देवनागरी | लिप्यंतरण | आधुनिक संकेतन | |
|---|---|---|---|
| याव ० या ४० रू ४८.
याव १ या ० रू ५१ |
याव 0 या 40 rū 48.
याव 1 या 0 rū 51 |
⇒ | 0x2 + 0 x - 8 = 1x2 + 0x + 51 |
भास्कर द्वितीय के बीजगणित से समीकरण का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:
x4 - 2x2 - 400x = 9999
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,
यावव १ याव २. या ४.०० रू ०
यावव ० याव ० या ० रू ९९९९
बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :
स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥
वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।
भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥[2]
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।"
बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव
भास्कर द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:
योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।[3]
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"
व्याख्या:
जोड़ और घटाव समान पदों के साथ किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान घातों के लिए उठाए गए समान अक्षर चर को समान पदों के रूप में माना जाता है। उदा., या ४,या ५, या ६ समान पद हैं। याव ७, याव ८, याव ९ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं। वर्तमान में हम कहते हैं कि 4x, 5x, 6x समान पद हैं। इसी प्रकार 7x2, 8x2, 9x2 समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं।जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 4x + 6x को 10x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 9x2 - 7x2 को 2x2 के रूप में सरल बनाया जा सकता है।
विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x2, 4x3, 5y, y2, xy के रूप में दर्शाया जाता है।
बीजीय व्यंजकों का गुणन
बीजगणित गुणन का नियम देता है -
गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।
अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥[4]
"गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और करणी (surd/सर्ड) के वर्गों कि स्थिति में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के स्थिति में बताई गई आंशिक उत्पादों (partial products) की विधि यहां भी लागू होती है।"
व्याख्या
| प्राचीन भारतीय संकेतन | आधुनिक संकेतन |
|---|---|
| यदि या २ रू ४ और या ३ रू ५ क्रमशः गुण्य और गुणक हैं,
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: |
यदि 2x + 4 और 3x + 5 क्रमशः गुण्य और गुणक हैं,
उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: |
| गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ३ और रू ५ | गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 3x और 5 |
| गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
(या २ रू ४)) X या ३ = याव ६ या १२ (या २ रू ४)) X रू ५ = या १० रू २० |
गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
(2x + 4) X 3x = 6x2 + 12x (2x + 4) X 5 = 10x + 20 |
| परिणाम जोड़ें।
गुणन परिणाम है:: याव् ६ या २२ रू २० |
परिणाम जोड़ें।
गुणन परिणाम है: 6x2 + 22x + 20 |
यदि और क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
परिणाम जोड़ें।
गुणन परिणाम है: