समीकरण: Difference between revisions

Revision as of 19:22, 17 March 2022

समीकरण बनाना

वास्तविक समाधान में जाने से पहले हमें समीकरणों (Equations) पर कुछ प्रारंभिक संचालन करने की आवश्यकता है।

हमें प्रस्तावित समस्या की दी गई शर्तों से समीकरण (समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया; समा, बराबर और कर् से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित की एक या एक से अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।

भास्कर द्वितीय कहते हैं: "यावत्-तावत् " को अज्ञात मात्रा का मान मान लें। फिर ठीक वैसा ही करें जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है- किसी समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या भाग देना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।

बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण

बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण ^[1]से समझा जा सकता है।

राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम के सिक्कों की संख्या + 10

हम 'श्याम के सिक्कों की संख्या' को अक्षर x से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।

x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,

राम के सिक्कों की संख्या = x+10

अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।

बीजगणित प्रतीकों के प्रयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।


क्रमांक	बीजीय व्यंजक का संघटक	संस्कृत शब्द	प्रतीक/चिह्न	उदाहरण
1	अज्ञात	यावत्तावत् कालकः नीलकः , ......	या का नी , ........	या ३५ का १४ नी ८२	35x 14y 82z
2	योगफल	योगः	-	या का या ३५ का १४	x + y 35x + 14y
3	गुणनफल	भावितम्	भा	याकाभा याकाभा ३२	xy 32xy
4	वर्ग	वर्गः	व	याव	x²
5	घनक्षेत्र	घनः	घ	याघ	x³
6	चौथी शक्ति	वर्ग-वर्गः	वव	यावव	x⁴
7	स्थायी अवधि	रूपम्	रू	रू ३२	32
8	ऋणात्मक	ऋणम्	मात्रा के ऊपर बिंदु (.)	. रू ४३२	-432

अक्षर या (यावत्-तावत् का संक्षिप्त रूप) अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को याव कहा जाता था, जो यावत्-तावत्-वर्ग (वर्ग का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को रू अक्षर से निरूपित किया गया था, जो रूपा का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।

यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न या , का, और नी हैं। ये यावत्-तावत्, कालका और नीलका के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के उत्पाद को याकाभा के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ या और का दो अज्ञात हैं और भा उनके उत्पाद के लिए है।

निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।


क्रमांक	आधुनिक संकेतन	प्राचीन भारतीय संकेतन
1	x + 17	या १ रू १७
2	7x - 17	या ७ रू १७^.
3	18x – 8	या १८ रू ८^.
4	15x² + 17x - 2	याव १५ या ७ रू २^.
5	1x⁴ + 16x³ + 25x² + 8x + 6	यावव १ याघ १६ याव २५ या ८ रू ६
6	8x² + 12xy - 6xz -16x	याव ८ याकाभा १२ यानीभा ६^. या १६^.

हम देखेंगे कि प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।

समीकरण 10x - 8 = x² +1 पर विचार करें

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,

0x² + 10x - 8 = 1x² + 0x + 1

x², x¹, x⁰ (स्थिर पद/अवधि) की स्थितियों का निरीक्षण करने पर कुछ स्वरूप मिलता है? समीकरण लिखने का सामान्य तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम(descending order) में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।

ब्रह्मगुप्त ने समीकरण को समकरण या संकरण कहा। इसका अर्थ है 'समान बनाना'। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा गया था। प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।

चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत पर अपनी टिप्पणी में समीकरण 40x - 48 = x² + 51 को नीचे के रूप में लिखा है


देवनागरी	लिप्यंतरण		आधुनिक संकेतन
याव ० या ४० रू ४८^. याव १ या ० रू ५१	याव 0 या 40 rū 48^. याव 1 या 0 rū 51	⇒	0x² + 0 x - 8 = 1x² + 0x + 51

भास्कर द्वितीय के बीजगणित से समीकरण का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:

x⁴ - 2x² - 400x = 9999

इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,

यावव १ याव २^. या ४^.०० रू ०

यावव ० याव ० या ० रू ९९९९

बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया

भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते हैं :

स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥

वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।

भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥^[2]

"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल भाविता है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।"

बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव

भास्कर द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते हैं:

योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।^[3]

"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"

व्याख्या:

जोड़ और घटाव समान पदों के साथ किया जा सकता है और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना है। समान घातों के लिए उठाए गए समान अक्षर चर को समान पदों के रूप में माना जाता है। उदा., या ४,या ५, या ६ समान पद हैं। याव ७, याव ८, याव ९ भी समान पद हैं। का ३, का ७, का १५ भी समान पद हैं। वर्तमान में हम कहते हैं कि 4x, 5x, 6x समान पद हैं। इसी प्रकार 7x², 8x², 9x² समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं।जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 4x + 6x को 10x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 9x² - 7x² को 2x² के रूप में सरल बनाया जा सकता है।

विपरीत पद वे पद हैं जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा.या ३, याव ३, याघ ४, का ५, काव, याकाभा । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x², 4x³, 5y, y², xy के रूप में दर्शाया जाता है।

बीजीय व्यंजकों का गुणन

बीजगणित गुणन का नियम देता है -

गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।

अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥^[4]

"गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और समस्या में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और करणी (surd/सर्ड) के वर्गों कि स्थिति में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के स्थिति में बताई गई आंशिक उत्पादों (partial products) की विधि यहां भी लागू होती है।"

व्याख्या

प्राचीन भारतीय संकेतन	आधुनिक संकेतन
यदि या २ रू ४ और या ३ रू ५ क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:	यदि 2x + 4 और 3x + 5 क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, उनका उत्पाद निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ३ और रू ५	गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 3x और 5
गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है। (या २ रू ४)) X या ३ = याव ६ या १२ (या २ रू ४)) X रू ५ = या १० रू २०	गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है। (2x + 4) X 3x = 6x² + 12x (2x + 4) X 5 = 10x + 20
परिणाम जोड़ें। गुणन परिणाम है:: याव् ६ या २२ रू २०	परिणाम जोड़ें। गुणन परिणाम है: 6x² + 22x + 20

यदि $ax+b$ और $cx+d$ क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।

$(ax+b)cx=acx^{2}+bcx$

$(ax+b)d=adx+bd$

परिणाम जोड़ें।

गुणन परिणाम है: $acx^{2}+(bc+ad)x+bd$

समीकरणों का वर्गीकरण

लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में यह पाया गया है कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी घातों के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से यावत्-तावत् कहा जाता है), द्विघात (वर्ग), घनीय(घन) और द्विघात (वर्ग-वर्ग))।

लेकिन आगे के पुष्ट प्रमाणों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (एक-वर्ण-समीकरण), (2) कई अज्ञात में समीकरण (अनेक-वर्ण-समीकरण), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (भैविता)।

एक अज्ञात में समीकरणों (एक-वर्ण-समीकरण) को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (अव्यक्त-वर्ग-समीकरण)।यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी घातों के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। चतुर्वेद पृथुदकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने वर्गीकृत किया: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) उनकी दूसरी और उच्च घातों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को मध्यमाहारण (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ -" मध्य अवधि का उन्मूलन" कहा जाता है।")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।

भास्कर द्वितीय तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करते हैं , अर्थात् "(i) अपनी दूसरी और उच्च घातों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) अपनी दूसरी और उच्च घातों में दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण।' कृष्ण के अनुसार (1580) समीकरण मुख्य रूप से दो वर्गों के होते हैं: (1) एक अज्ञात में समीकरण और (2) दो या दो से अधिक अज्ञात में समीकरण। पहले वर्गीकरण में दो उपवर्ग शामिल हैं: (i) सरल समीकरण और (ii) द्विघात और उच्च समीकरण। दूसरे वर्गीकरण में तीन उपवर्ग हैं: (i) एक साथ रैखिक समीकरण, (ii) अज्ञात की दूसरी और उच्च घातों वाले समीकरण, और (iii) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। फिर वह देखते हैं कि इन पांच वर्गों को, कक्षा (1) और (2) के दूसरे उपवर्गों को मध्यमाहारण के रूप में एक वर्ग में शामिल करके, घटाकर चार किया जा सकता है।

एक अज्ञात में रैखिक समीकरण

एक रैखिक समीकरण एक समीकरण है जिसमें चर, गुणांक और स्थिरांक की केवल पहली घात होती है। उदाहरण के लिए, समीकरण 4x + 7 = 8 एक चर में एक रैखिक समीकरण है। इसे प्रथम-क्रम समीकरण कहा जाता है क्योंकि चर (x) की घात एक है। यदि समीकरण में x की उच्चतम शक्ति दो के रूप में है, अर्थात x² , तो यह एक द्विघात (द्वितीय क्रम) समीकरण होगा।

प्रारंभिक समाधान:

जैसा कि पहले ही कहा गया है, एक अज्ञात में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय समाधान शुल्बसूत्र; śulba में पाया जाता है, जिसमें से सबसे पहला 800 ईसा पूर्व के बाद का नहीं है।

स्थानांग-सूत्र (सी 300 ईसा पूर्व) में इसके नाम (यावत्-तावत्) से एक रैखिक समीकरण का संदर्भ है, जो उस समय के समाधान की विधि का सूचक है।

बख्शाली ग्रंथ में सरल बीजगणितीय समीकरणों और समाधान पद्धति से जुड़ी समस्याएं हैं, जो शायद ईसाई युग की शुरुआत में लिखी गई थीं।

एक समस्या यह है कि "पहले को दी गई राशि ज्ञात नहीं है। दूसरे को पहले की तुलना में दोगुना दिया जाता है, तीसरे को दूसरे से तीन गुना और चौथे को तीसरे से चार गुना अधिक दिया जाता है। वितरित की गई कुल राशि है 132, पहले की राशि क्या है?"

यदि x पहले को दी गई राशि हो, तो समस्या के अनुसार,

$x+2x+6x+24x=132$

असत्य स्थिति का नियम:

इस समीकरण का हल इस प्रकार दिया गया है:

"'किसी भी वांछित मात्रा को रिक्त स्थान पर रखना'; कोई भी वांछित मात्रा 1 है; 'फिर श्रृंखला का निर्माण करें।


1	2	2 3	6 4
1	1	1 1	1 1

'गुणा किया हुआ'


1	2	2*3=6	6*4 =24


1	2	6	24

जोड़ा गया

1 + 2 + 6 + 24 = 33

जोड़ा गया' 33.

"दृश्यमान मात्रा को विभाजित करें'


132 33

(जो) कमी करने पर बन जाता है


4 1

(यह है) दी गई राशि (पहले को)।"

बख्शाली ग्रंथ में समस्याओं के समूह का ,एक और समाधान अंततः ax+ b=p प्रकार के समीकरण की ओर ले जाता है। इसके समाधान के लिए दी गई विधि यह है कि x के लिए कोई मनमाना मान g रखा जाए, ताकि

ag+ b =p' कहा जाए ।

तब सही मान होगा

${\displaystyle x={\frac {(p-p')}{a}}+g}$

रैखिक समीकरणों का हल

आर्यभट्ट (499) कहते हैं:

"दो व्यक्तियों से संबंधित ज्ञात "राशि" के अंतर को अज्ञात के गुणांकों के अंतर से विभाजित किया जाना चाहिए। भागफल अज्ञात का मान होगा, यदि उनकी संपत्ति समान हो।"

यह नियम इस प्रकार की समस्या पर विचार करता है: दो व्यक्ति, जो समान रूप से अमीर हैं, के पास क्रमशः c, d के साथ एक निश्चित अज्ञात राशि का a, b गुना है

नकद में पैसे की इकाइयों। वह राशि क्या है?

मान लीजिए x अज्ञात राशि है, दी गई जानकारी के साथ

ax + c = bx+ d

इसलिए ${\displaystyle x={\frac {(d-c)}{(a-b)}}}$

जिस वजह से नियम।

bx + c = dx + e के रूप के रैखिक समीकरण को हल करने का नियम, जहाँ b, c, d और e संख्याएँ दी गई हैं, ब्रह्मगुप्त द्वारा निम्नानुसार दिया गया है।

अव्यक्तान्तरभक्तं व्यस्ततां समानऽव्यक्तं।

कक्षा व्यक्ताः शोध यशद्रूपाणी तदधस्तात II ^[5]

"पूर्ण संख्याओं का अंतर, उत्क्रम और अज्ञात के अंतर से विभाजित, एक समीकरण में अज्ञात का [मान] है।"

व्याख्या: समीकरण पर विचार करें, bx + c = dx + e

यहाँ x अज्ञात राशि है जिसका मान ज्ञात करना है। अक्षर b और d इसके गुणांक हैं। शेष अक्षर c और e संख्यात्मक स्थिरांक हैं।

निरपेक्ष संख्याओं का अंतर = c-e

उत्क्रमित पूर्ण संख्याओं का अंतर = e-c

अज्ञात के गुणांकों का अंतर = b - d

x के रूप में पाया जाता है

$x = \frac{(e - c)}{(b -}$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Line 564: / Line 564: @@
 <math>{\displaystyle x_1 = p +{\frac{1}{2}}(a_n- b)}</math>
-विशिष्ट स्थिति में (1) लेखक x के लिए स्वेच्छ मान 5 मानता है; फिर क्रमशः x₂ = 8, x₃ = 6 और x₃ + x₁ = 11 के मानों की गणना की जाती है
+एक विशिष्ट स्थिति में (1) लेखक x के लिए स्वेच्छ मान 5 मानता है; फिर क्रमशः x₂ = 8, x₃ = 6 और x₃ + x₁ = 11 के मानों की गणना की जाती है
 इसलिए सही मान हैं,
@@ Line 585: / Line 585: @@
 ==== दूसरा प्रकार ====
-समीकरणों के प्रकार (I) का एक विशेष मामला जिसके लिए n = 3, को भी रैखिक समीकरणों के एक अलग प्रकार के प्रणाली से संबंधित माना जा सकता है।
+समीकरणों के प्रकार (I) का एक विशिष्ट स्थिति जिसके लिए n = 3, को भी रैखिक समीकरणों के एक अलग प्रकार के प्रणाली से संबंधित माना जा सकता है।
 Σx - x<sub>1</sub> = a<sub>1</sub> , Σx - x<sub>2</sub> = a<sub>2</sub>, Σx - x<sub>n</sub> = a<sub>n</sub>
@@ Line 591: / Line 591: @@
 जहाँ Σx का अर्थ है x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> +....+x<sub>n</sub>
-लेकिन इसके समीकरणों को कहना ठीक नहीं होगा। प्रकार का व्यवहार बख्शिली ग्रंथ में किया गया है। l हालाँकि, आर्यभट्ट (499) और महावीर (850) द्वारा उन्हें हल किया गया है। पहला कहता है: "कुछ (अज्ञात) संख्याओं के (दिए गए) योग, एक क्रम में एक संख्या को छोड़कर, अलग-अलग जोड़े जाते हैं और कम से कम पदों की संख्या से विभाजित होते हैं; वह (भागफल) पूरे का मूल्य होगा।
+लेकिन यह कहना उचित नहीं होगा कि बख्शिली ग्रंथ में इस प्रकार के समीकरणों का उपचार किया गया है। हालाँकि, आर्यभट्ट (499) और महावीर (850) द्वारा उन्हें हल किया गया है।
+आर्यभट कहते हैं: "कुछ (अज्ञात) संख्याओं के योग (दिए गए) अलग-अलग जोड़ दिए जाते हैं,अनुक्रम में एक संख्या को छोड़कर, और एक से कम पदों की संख्या से विभाजित किए  जाते हैं; वह (भागफल) संपूर्ण का मान होगा।
 <math>{\displaystyle \sum x = \sum_{r=1}^n a_r/(n-1) }</math>
@@ Line 599: / Line 601: @@
 अपना शासन बनाने में महावीर ने निम्नलिखित उदाहरण को ध्यान में रखा था:
-"चार व्यापारियों से प्रत्येक को सीमा शुल्क अधिकारी द्वारा उनकी वस्तुओं के कुल मूल्य के बारे में अलग से पूछा गया था।
+"चार व्यापारियों से प्रत्येक से सीमा शुल्क अधिकारी द्वारा उनकी वस्तुओं के कुल मूल्य के बारे में अलग-अलग पूछा गया।
-पहले व्यापारी ने अपने स्वयं के निवेश को छोड़कर, इसे 22 बताया; दूसरे ने इसे 23, तीसरे 24 और चौथे 27 को बताया; उनमें से प्रत्येक काटा गया
+पहले व्यापारी ने अपने स्वयं के निवेश को छोड़कर, कुल मूल्य  22 बताया; दूसरे ने इसे 23, तीसरे ने 24 और चौथे ने 27 को बताया; उनमें से प्रत्येक ने निवेश में अपनी राशि काट ली।
-निवेश में अपनी राशि। हे मित्र, प्रत्येक के स्वामित्व वाली वस्तु का (हिस्सा) मूल्य अलग से बताओ।"
+हे मित्र, प्रत्येक के स्वामित्व वाली वस्तु का (हिस्सा) मूल्य अलग से बताओ।"
 यहाँ <math>{\displaystyle x_1 + x_2+x_3+x_4 = {\frac{22+23+24+27}{4-1}}=32}</math>
@@ Line 609: / Line 611: @@
 इसलिए x<sub>1</sub> = 10, x<sub>2</sub> = 9, x<sub>3</sub> = 8, x<sub>4</sub> = 5.
-नारायण कहते हैं: "एक से कम व्यक्तियों की संख्या से विभाजित राशि का योग, कुल राशि है। इसमें से बताई गई राशियों को अलग-अलग घटाने पर अलग-अलग राशियाँ मिलेंगी।"
+नारायण कहते हैं: "कुल राशि है "एक से कम व्यक्तियों की संख्या से विभाजित कम राशि का योग। इसमें से बताई गई राशि को अलग-अलग घटाने पर अलग-अलग राशियां मिल जाएंगी।"
 ==== तीसरा प्रकार ====

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