आयतन: Difference between revisions

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आयतन [[त्रि-आयामी स्थान]] का एक माप (गणित) है।<ref name=":0">{{Cite journal |date=April 13, 2022 |title=SI Units - Volume |url=https://www.nist.gov/pml/owm/si-units-volume |journal=[[National Institute of Standards and Technology]] |access-date=August 7, 2022 |archive-date=August 7, 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220807105244/https://www.nist.gov/pml/owm/si-units-volume |url-status=live }}</ref> यह अक्सर एसआई व्युत्पन्न इकाइयों (जैसे [[घन मीटर]] और [[लीटर]]) या विभिन्न शाही इकाइयों या संयुक्त राज्य की प्रथागत इकाइयों (जैसे [[गैलन]], [[चौथाई गेलन]], [[घन इंच]]) का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से निर्धारित किया जाता है। [[लंबाई]] (क्यूब्ड) की परिभाषा मात्रा के साथ परस्पर संबंधित है। कंटेनर की मात्रा को आमतौर पर कंटेनर की क्षमता समझा जाता है; यानी, [[तरल]] पदार्थ (गैस या तरल) की मात्रा जिसे कंटेनर पकड़ सकता है, न कि कंटेनर द्वारा खुद को विस्थापित किए जाने वाले स्थान की मात्रा।
आयतन [[त्रि-आयामी स्थान]] का माप (गणित) है।<ref name=":0">{{Cite journal |date=April 13, 2022 |title=SI Units - Volume |url=https://www.nist.gov/pml/owm/si-units-volume |journal=[[National Institute of Standards and Technology]] |access-date=August 7, 2022 |archive-date=August 7, 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220807105244/https://www.nist.gov/pml/owm/si-units-volume |url-status=live }}</ref> सामान्यतः इसे SI (एसआई) व्युत्पन्न इकाइयों (जैसे [[घन मीटर]] और [[लीटर]]) या विभिन्न इम्पीरियल इकाइयों या संयुक्त राज्य की प्रथागत इकाइयों (जैसे [[गैलन]], [[चौथाई गेलन]], [[घन इंच]]) का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से निर्धारित किया जाता है। [[लंबाई]] (क्यूब्ड) की परिभाषा मात्रा के साथ परस्पर संबंधित है। कंटेनर (धारक) में पदार्थ मात्रा को सामान्य रूप से धारक की क्षमता समझा जाता है अर्थात [[तरल]] पदार्थ (गैस या तरल) जिसे धारक धारण कर सकता है बल्कि इसके कि धारक स्वयं कितनी जगह विस्थापित करता है।


प्राचीन समय में, समान आकार के प्राकृतिक कंटेनरों और बाद में मानकीकृत कंटेनरों का उपयोग करके मात्रा को मापा जाता है। कुछ सरल त्रिविमीय|त्रिविमीय आकृतियों के आयतन की गणना [[अंकगणित]]ीय सूत्रों का उपयोग करके आसानी से की जा सकती है। यदि आकार की सीमा के लिए कोई सूत्र मौजूद है, तो अधिक जटिल आकृतियों के आयतन की गणना अभिन्न कलन से की जा सकती है। शून्य-आयामी स्थान|शून्य-, एक-आयामी स्थान|एक- और द्वि-आयामी वस्तुओं का कोई आयतन नहीं है; चार-आयामी स्थान और उच्च आयामों में, सामान्य आयतन के अनुरूप एक अवधारणा हाइपरवॉल्यूम है।
प्राचीन समय में समान आकार के प्राकृतिक कंटेनरों (धारक) और बाद में मानकीकृत कंटेनरों का उपयोग करके मात्रा को मापा जाता है। कुछ सरल त्रि-आयामी आकार [[अंकगणित|अंकगणितीय]] सूत्रों का उपयोग करके सरलता से उनकी मात्रा की गणना कर सकते हैं। यदि आकार की सीमा के लिए कोई सूत्र उपस्थित है तब अधिक जटिल आकृतियों के आयतन की गणना अभिन्नकलन से की जा सकती है। शून्य, एक और द्वि-आयामी वस्तुओं का कोई आयतन नहीं होता है, चौथे और उससे उच्च आयामों में सामान्य आयतन के अनुरूप अवधारणा हाइपरवॉल्यूम है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==


=== प्राचीन इतिहास ===
=== प्राचीन इतिहास ===
[[File:Pompeji_6_Hohlmaße_aus_Glas.jpg|thumb|वजन और माप के नियंत्रण के लिए एक प्राचीन नगरपालिका संस्थान [[पॉम्पी]] में पुरुषों के पोंडरिया से 6 माप माप]]प्राचीन काल में आयतन मापन की सटीकता आमतौर पर के बीच होती है {{Cvt|10–50|mL|USoz impoz|sigfig=1}}.<ref name=":3" />{{Rp|page=8}} आयतन गणना का सबसे पहला प्रमाण [[प्राचीन मिस्र]] और [[मेसोपोटामिया]] से गणितीय समस्याओं के रूप में आया, घनाकार, बेलन, छिन्नक और शंकु जैसे साधारण आकार के आयतन का अनुमान। गणित की इन समस्याओं [[कोन]] [[मास्को गणितीय पेपिरस]] (सी. 1820 ई.पू.) में लिखा गया है।<ref name=":2" />{{Rp|page=403}} [[रीस्नर पपीरस]] में, प्राचीन मिस्रवासियों ने अनाज और तरल पदार्थों के लिए आयतन की ठोस इकाइयाँ लिखी हैं, साथ ही सामग्री के ब्लॉकों के लिए लंबाई, चौड़ाई, गहराई और आयतन की तालिका भी लिखी है।<ref name=":3">{{Cite book |last=Imhausen |first=Annette |url= |title=Mathematics in Ancient Egypt: A Contextual History |date=2016 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-1-4008-7430-9 |location= |oclc=934433864}}</ref>{{Rp|page=116}} मिस्र के लोग लंबाई की अपनी इकाइयों ([[हाथ]], [[हथेली (इकाई)]], [[अंक (इकाई)]]) का उपयोग मात्रा की अपनी इकाइयों को तैयार करने के लिए करते हैं, जैसे कि आयतन हाथ<ref name=":3" />{{Rp|page=117}} या इनकार<ref name=":2" />{{Rp|page=396}} (1 हाथ × 1 हाथ × 1 हाथ), आयतन हथेली (1 हाथ × 1 हाथ × 1 हथेली), और आयतन अंक (1 हाथ × 1 हाथ × 1 अंक)।<ref name=":3" />{{Rp|page=117}}
[[File:Pompeji_6_Hohlmaße_aus_Glas.jpg|thumb|भार और माप के नियंत्रण के लिए एक प्राचीन नगरपालिका संस्थान [[पॉम्पी]] में पुरुषों के पोंडरिया से 6 माप पात्र।]]प्राचीन काल में आयतन मापन की सटीकता सामान्य रूप से {{Cvt|10–50|mL|USoz impoz|sigfig=1}} के बीच होती थी।<ref name=":3" />{{Rp|page=8}} आयतन गणना का सबसे पहला प्रमाण [[प्राचीन मिस्र]] और [[मेसोपोटामिया]] से गणितीय समस्याओं के रूप में आया घनाकार, बेलन, छिन्नक और शंकु जैसे साधारण आकार के आयतन का अनुमान लगाया गया था। गणित की इन समस्याओं को [[मास्को गणितीय पेपिरस]] (सी. 1820 ई.पू.) में लिखा गया है।<ref name=":2" />{{Rp|page=403}} [[रीस्नर पपीरस|रीसनर पपीरस]] में प्राचीन मिस्रवासियों ने अनाज और तरल पदार्थों के लिए आयतन की ठोस इकाइयाँ लिखी हैं साथ ही सामग्री के ब्लॉकों के लिए लंबाई, चौड़ाई, गहराई और आयतन की तालिका भी लिखी है।<ref name=":3">{{Cite book |last=Imhausen |first=Annette |url= |title=Mathematics in Ancient Egypt: A Contextual History |date=2016 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-1-4008-7430-9 |location= |oclc=934433864}}</ref>{{Rp|page=116}} मिस्र के लोग लंबाई की अपनी इकाइयों ([[हाथ]], [[हथेली (इकाई)|हथेली]], [[अंक (इकाई)|अंक)]] का उपयोग मात्रा की अपनी इकाइयों को तैयार करने के लिए करते हैं, जैसे कि आयतन हाथ<ref name=":3" />{{Rp|page=117}} या डिने<ref name=":2" />{{Rp|page=396}} (1 हाथ × 1 हाथ × 1 हाथ), आयतन हथेली (1 हाथ × 1 हाथ × 1 हथेली), और आयतन अंक (1 हाथ × 1 हाथ × 1 अंक)।<ref name=":3" />{{Rp|page=117}}
यूक्लिड के तत्वों की अंतिम तीन पुस्तकें | लगभग 300 ईसा पूर्व में लिखी गई यूक्लिड के तत्व, समानांतर चतुर्भुज, शंकु, [[पिरामिड]], बेलन और गोले के आयतन की गणना के लिए सटीक सूत्रों का विवरण देते हैं। सूत्रों को छोटे और सरल टुकड़ों में आकृतियों को तोड़कर, [[अभिन्न]] के एक आदिम रूप का उपयोग करके पूर्व गणितज्ञों द्वारा निर्धारित किया गया था।<ref name=":2">{{Cite book |last=Treese |first=Steven A. |title=History and Measurement of the Base and Derived Units |date=2018 |publisher=[[Springer Science+Business Media]] |isbn=978-3-319-77577-7 |location=Cham, Switzerland |lccn=2018940415 |oclc=1036766223}}</ref>{{Rp|page=403}} एक सदी बाद, [[आर्किमिडीज]] ({{Circa|287 – 212 BCE}}) कई आकृतियों के अनुमानित आयतन सूत्र का निर्माण किया, जिसमें समाप्‍ति दृष्टिकोण की विधि का उपयोग किया गया, जिसका अर्थ समान आकृतियों के पिछले ज्ञात सूत्रों से समाधान निकालना है। आकृतियों के आदिम एकीकरण की खोज स्वतंत्र रूप से तीसरी शताब्दी सीई में [[एल आईयू हुई]], 5वीं शताब्दी सीई में [[जेड यूसी होंग्ज़ी]], [[मध्य पूर्व]] और [[भारत]] में की गई थी।<ref name=":2" />{{Rp|page=404}}
लगभग 300 ईसा पूर्व में लिखी गई यूक्लिड के तत्वों की अंतिम तीन पुस्तकों में समानांतर चतुर्भुज, शंकु, [[पिरामिड]], बेलन और गोले के आयतन की गणना के लिए सटीक सूत्रों का विवरण देते हैं। सूत्रों को छोटे और सरल टुकड़ों में आकृतियों को विभाजित कर [[अभिन्न|एकीकरण]] के एक आदिम रूप का उपयोग करके पूर्व गणितज्ञों द्वारा निर्धारित किया गया था।<ref name=":2">{{Cite book |last=Treese |first=Steven A. |title=History and Measurement of the Base and Derived Units |date=2018 |publisher=[[Springer Science+Business Media]] |isbn=978-3-319-77577-7 |location=Cham, Switzerland |lccn=2018940415 |oclc=1036766223}}</ref>{{Rp|page=403}} एक शताब्दी बाद [[आर्किमिडीज]] ({{Circa|287 – 212 ईसा पूर्व}}) कई आकृतियों के अनुमानित आयतन सूत्र का निर्माण किया जिसमें समाप्‍ति दृष्टिकोण की विधि का उपयोग किया गया जिसका अर्थ समान आकृतियों के पिछले ज्ञात सूत्रों से समाधान निकालना है। आकृतियों के साधारण एकीकरण की खोज स्वतंत्र रूप से तीसरी शताब्दी सीई (3<sup>rd</sup> Century CE) में [[एल आईयू हुई|लिउ हुई]](Liu Hui), 5वीं शताब्दी (5th Century CE) सीई में [[जेड यूसी होंग्ज़ी]], [[मध्य पूर्व]] और [[भारत]] में की गई थी।<ref name=":2" />{{Rp|page=404}}
आर्किमिडीज़ ने एक अनियमित वस्तु के आयतन की गणना करने का एक तरीका भी तैयार किया, इसे पानी के नीचे डुबो कर और प्रारंभिक और अंतिम पानी की मात्रा के बीच के अंतर को माप कर। जल आयतन अंतर वस्तु का आयतन है।<ref name=":2" />{{Rp|page=404}} अत्यधिक लोकप्रिय होने के बावजूद, आर्किमिडीज़ अत्यधिक सटीक शामिल होने के कारण इसकी मात्रा, और इस प्रकार इसकी घनत्व और शुद्धता को खोजने के लिए सोने के मुकुट को नहीं डुबोते हैं।<ref name="inaccuracy">{{cite web |last=Rorres |first=Chris |title=The Golden Crown |url=http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20090311051318/http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html |archive-date=11 March 2009 |access-date=24 March 2009 |publisher=[[Drexel University]]}}</ref> इसके बजाय, उन्होंने [[हीड्रास्टाटिक संतुलन]] का एक आदिम रूप तैयार किया होगा। यहां, मुकुट और एक समान वजन वाले शुद्ध सोने का एक टुकड़ा पानी के नीचे डूबे हुए तराजू के दोनों सिरों पर रखा जाता है, जो आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार टिप जाएगा।<ref name=":7">{{Cite journal |last=Graf |first=E. H. |date=2004 |title=Just what did Archimedes say about buoyancy? |url=https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1737965 |journal=The Physics Teacher |volume=42 |issue=5 |pages=296–299 |bibcode=2004PhTea..42..296G |doi=10.1119/1.1737965 |access-date=2022-08-07 |archive-date=2021-04-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210414102422/https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1737965 |url-status=live }}</ref>
 
आर्किमिडीज़ ने अनियमित वस्तु के आयतन की गणना करने का एक तरीका भी तैयार किया, वस्तु पानी के नीचे डुबो कर और प्रारंभिक और अंतिम पानी की मात्रा के बीच के अंतर को माप कर, जल आयतन अंतर वस्तु का आयतन है।<ref name=":2" />{{Rp|page=404}} अत्यधिक लोकप्रिय होने के बाद भी आर्किमिडीज ने अत्यधिक सटीकता के कारण इसकी मात्रा और इस प्रकार इसकी घनत्व और शुद्धता को खोजने के लिए सोने के मुकुट को नहीं डुबोया।<ref name="inaccuracy">{{cite web |last=Rorres |first=Chris |title=The Golden Crown |url=http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20090311051318/http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html |archive-date=11 March 2009 |access-date=24 March 2009 |publisher=[[Drexel University]]}}</ref> इसके स्थान पर उन्होंने [[हीड्रास्टाटिक संतुलन]] का एक साधारण रूप तैयार किया। जिसमें मुकुट और एक समान भार वाले शुद्ध सोने का एक टुकड़ा पानी के नीचे डूबे हुए तराजू के दोनों सिरों पर रखा जाता है जो आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार झुक जाएगा।<ref name=":7">{{Cite journal |last=Graf |first=E. H. |date=2004 |title=Just what did Archimedes say about buoyancy? |url=https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1737965 |journal=The Physics Teacher |volume=42 |issue=5 |pages=296–299 |bibcode=2004PhTea..42..296G |doi=10.1119/1.1737965 |access-date=2022-08-07 |archive-date=2021-04-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210414102422/https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1737965 |url-status=live }}</ref>
 




=== इकाइयों की गणना और मानकीकरण ===
=== इकाइयों की गणना और मानकीकरण ===
{{Further|History of calculus|Apothecaries' system}}
{{Further|कैलकुलस का इतिहास|एपोथेकरीज़ प्रणाली}}
[[File:"How to Measure" diagram, with graduated cylinder measuring fluid drams, 1926.jpg|alt=Pouring liquid to a marked flask|left|thumb|[[द्रव नाटक]] मार्किंग, 1926 के साथ स्नातक किए गए सिलेंडर का उपयोग करके मात्रा को मापने का तरीका दिखाने वाला आरेख]][[मध्य युग]] में, मात्रा मापने के लिए कई इकाइयाँ बनाई गईं, जैसे कि [[बहन की]], एम्बर (यूनिट), [[कुम्ब (इकाई)]] और [[सीवन (इकाई)]]। इस तरह की इकाइयों की विशाल मात्रा ने ब्रिटिश राजाओं को उन्हें मानकीकृत करने के लिए प्रेरित किया, जिसकी परिणति इंग्लैंड के हेनरी III द्वारा 1258 में ब्रेड और एले क़ानून के आकलन में हुई। क़ानून ने वजन, लंबाई और मात्रा को मानकीकृत किया और साथ ही पेनी, औंस, पाउंड, गैलन और बुशल को पेश किया।<ref name=":3" />{{Rp|page=|pages=73–74}} 1618 में, [[लंदन फार्माकोपिया]] (मेडिसिन कंपाउंड कैटलॉग) ने रोमन गैलन को अपनाया<ref name=":5">{{Cite web |date=4 Feb 2020 |title=Balances, Weights and Measures |url=https://www.rpharms.com/Portals/0/MuseumLearningResources/11%20Balances%20Weights%20and%20Measures.pdf |access-date=13 August 2022 |website=[[Royal Pharmaceutical Society]] |page=1 |archive-date=20 May 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220520094140/https://www.rpharms.com/Portals/0/MuseumLearningResources/11%20Balances%20Weights%20and%20Measures.pdf |url-status=live }}</ref> या कोंगियस<ref>{{Cite book |last=Cardarelli |first=François |title=Scientific Unit Conversion: A Practical Guide to Metrication |date=6 Dec 2012 |publisher=[[Springer Science+Business Media]] |isbn=978-1-4471-0805-4 |edition=2nd |location=London |pages=151 |oclc=828776235}}</ref> मात्रा की एक मूल इकाई के रूप में और एपोथेकरीज़ के वजन की इकाइयों को एक रूपांतरण तालिका दी।<ref name=":5" />इस समय के आसपास, मात्रा माप अधिक सटीक होते जा रहे हैं और बीच में अनिश्चितता कम होती जा रही है {{Cvt|1–5|mL|USoz impoz|sigfig=1}}.<ref name=":3" />{{Rp|page=8}}
[[File:"How to Measure" diagram, with graduated cylinder measuring fluid drams, 1926.jpg|alt=Pouring liquid to a marked flask|left|thumb|सन 1926 में, [[द्रव नाटक|द्रव ड्राम]] मार्किंग के साथ अंशांकित सिलिंडर का उपयोग करके मात्रा को मापने का आरेख।|link=index.php?title=File:%22How_to_Measure%22_diagram,_with_graduated_cylinder_measuring_fluid_drams,_1926.jpg]][[मध्य युग]] में मात्रा मापने के लिए कई इकाइयाँ बनाई गईं जैसे कि [[बहन की|सेस्टर]], एम्बर (इकाई), [[कुम्ब (इकाई)]] और [[सीवन (इकाई)]]। ऐसी इकाइयों की विशाल मात्रा ने ब्रिटिश राजाओं को उन्हें मानकीकृत करने के लिए प्रेरित किया जिसकी परिणति इंग्लैंड के हेनरी III (तृतीय) द्वारा सन 1258 में ब्रेड और एले कानून के आकलन में हुई। न्याय व्यवस्था ने भार, लंबाई और मात्रा को मानकीकृत किया और साथ ही पेनी, औंस, पाउंड, गैलन और बुशल को पेश किया।<ref name=":3" />{{Rp|page=|pages=73–74}} सन 1618 में [[लंदन फार्माकोपिया]] (मेडिसिन कंपाउंड कैटलॉग) ने रोमन गैलन <ref name=":5">{{Cite web |date=4 Feb 2020 |title=Balances, Weights and Measures |url=https://www.rpharms.com/Portals/0/MuseumLearningResources/11%20Balances%20Weights%20and%20Measures.pdf |access-date=13 August 2022 |website=[[Royal Pharmaceutical Society]] |page=1 |archive-date=20 May 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220520094140/https://www.rpharms.com/Portals/0/MuseumLearningResources/11%20Balances%20Weights%20and%20Measures.pdf |url-status=live }}</ref> या कोंगियस<ref>{{Cite book |last=Cardarelli |first=François |title=Scientific Unit Conversion: A Practical Guide to Metrication |date=6 Dec 2012 |publisher=[[Springer Science+Business Media]] |isbn=978-1-4471-0805-4 |edition=2nd |location=London |pages=151 |oclc=828776235}}</ref>को अपनाया। मात्रा की एक मूल इकाई के रूप में और एपोथेकरीज़ के भार की इकाइयों की रूपांतरण तालिका दी।<ref name=":5" /> इस समय के आसपास मात्रा माप अधिक सटीक होते जा रहे हैं और {{Cvt|1–5|mL|USoz impoz|sigfig=1}} के बीच में अनिश्चितता कम होती जा रही है <ref name=":3" />{{Rp|page=8}}
17वीं शताब्दी की शुरुआत में, [[बोनवेंट्योर कैवलियरी]] ने किसी भी वस्तु के आयतन की गणना करने के लिए आधुनिक इंटीग्रल कैलकुलस के दर्शन को लागू किया। उन्होंने कैवलियरी के सिद्धांत को तैयार किया, जिसमें कहा गया था कि आकृति के पतले और पतले स्लाइस का उपयोग करने से परिणामी मात्रा अधिक से अधिक सटीक होगी। इस विचार को बाद में 17 वीं और 18 वीं शताब्दी में [[पियरे डी फर्मेट]], [[जॉन वालिस]], आइज़ैक बैरो, [[जेम्स ग्रेगरी (गणितज्ञ)]], [[आइजैक न्यूटन]], [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]]़ और [[मारिया गेटाना अगनेसी]] द्वारा विस्तारित किया गया था, जो कि अभी भी आधुनिक इंटीग्रल कैलकुलस बनाने के लिए है। 21वीं सदी में प्रयोग किया जाता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=404}}
17वीं शताब्दी की के प्रारंभ में [[बोनवेंट्योर कैवलियरी]] ने किसी भी वस्तु के आयतन की गणना करने के लिए आधुनिक समाकलन कैलकुलस (समाकलन गणित) के दर्शन को प्रस्तुत किया। उन्होंने कैवलियरी के सिद्धांत को तैयार किया जिसमें कहा गया था कि आकृति के पतले से पतले टुकड़े का उपयोग करने से परिणामी मात्रा अधिक से अधिक सटीक होगी। इस विचार को बाद में 17 वीं और 18 वीं शताब्दी में [[पियरे डी फर्मेट]], [[जॉन वालिस]], आइज़ैक बैरो, [[जेम्स ग्रेगरी (गणितज्ञ)]], [[आइजैक न्यूटन]], [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]] और [[मारिया गेटाना अगनेसी]] द्वारा विस्तारित किया गया जिससे आधुनिक समाकलन गणित का निर्माण किया जो 21 वीं सदी में भी उपयोगी है।<ref name=":2" />{{Rp|page=404}}




=== मीट्रिक और पुनर्परिभाषा ===
=== मीट्रिक और पुनर्परिभाषा ===
{{Further|History of the metric system}}
{{Further|मीट्रिक प्रणाली का इतिहास}}
7 अप्रैल 1795 को, छह इकाइयों का उपयोग करके मीट्रिक प्रणाली को औपचारिक रूप से फ्रांसीसी कानून में परिभाषित किया गया था। इनमें से तीन आयतन से संबंधित हैं: स्टीयर (1मी<sup>3</sup>) जलाऊ लकड़ी की मात्रा के लिए; लीटर (1 दिन<sup>3</sup>) द्रव की मात्रा के लिए; और [[ग्राम]], द्रव्यमान के लिए - अधिकतम घनत्व पर एक घन सेंटीमीटर पानी के द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया गया है {{Cvt|4|C|F}}.{{Citation needed|date=August 2022}} तीस साल बाद 1824 में, [[शाही गैलन]] को उस मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया था जिस पर दस पाउंड (द्रव्यमान) पानी का कब्जा था। {{Cvt|62|F|C|order=flip}}.<ref name=":2" />{{Rp|page=394}} यूनाइटेड किंगडम के [[बाट और माप अधिनियम 1985]] तक इस परिभाषा को और अधिक परिष्कृत किया गया था, जो पानी के उपयोग के बिना 1 शाही गैलन को ठीक 4.54609 लीटर के बराबर बनाता है।<ref>{{Cite book |last=Cook |first=James L. |url= |title=Conversion Factors |date=1991 |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=0-19-856349-3 |location=Oxford [England] |pages=xvi |oclc=22861139}}</ref>
1960 में अंतरराष्ट्रीय प्रोटोटाइप मीटर से [[क्रिप्टन -86]] परमाणुओं की नारंगी-लाल [[वर्णक्रमीय रेखा]] तक मीटर की पुनर्परिभाषा ने भौतिक वस्तुओं से मीटर, क्यूबिक मीटर और लीटर को अनबाउंड किया। यह [[अंतर्राष्ट्रीय प्रोटोटाइप मीटर]] में परिवर्तन के लिए मीटर और मीटर-व्युत्पन्न इकाइयों की मात्रा को लचीला बनाता है।<ref name="Marion">{{cite book |last=Marion |first=Jerry B. |title=Physics For Science and Engineering |publisher=CBS College Publishing |year=1982 |isbn=978-4-8337-0098-6 |page=3}}</ref> मीटर की परिभाषा को 1983 में [[प्रकाश की गति]] और [[दूसरा]] (जो कि सीज़ियम मानक से लिया गया है) और 2019 में एसआई आधार इकाइयों की पुनर्परिभाषा का उपयोग करने के लिए फिर से परिभाषित किया गया था।<ref>{{Cite web |date=20 May 2019 |title=''Mise en pratique'' for the definition of the metre in the SI |url=https://www.bipm.org/documents/20126/41489670/SI-App2-metre.pdf |website=[[International Bureau of Weights and Measures]] |publisher=Consultative Committee for Length |pages=1 |access-date=13 August 2022 |archive-date=13 August 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220813164032/https://www.bipm.org/documents/20126/41489670/SI-App2-metre.pdf |url-status=live }}</ref>


7 अप्रैल 1795 में फ्रांसीसी कानून में छह इकाइयों का उपयोग करके मीट्रिक प्रणाली को औपचारिक रूप से परिभाषित किया गया था। इनमें से तीन आयतन से संबंधित हैं: जलाऊ लकड़ी के आयतन के लिए स्टीयर (1m<sup>3</sup>) ; लीटर (1 dm<sup>3</sup>) द्रव की मात्रा के लिए; और [[ग्राम]], द्रव्यमान के लिए - अधिकतम घनत्व पर एक घन सेंटीमीटर पानी के द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया गया है {{Cvt|4|C|F}}.{{Citation needed|date=August 2022}} तीस साल बाद सन 1824 में [[शाही गैलन|इम्पीरियल गैलन]] को 17 डिग्री सेल्सियस (62 डिग्री फारेनहाइट) पर दस पाउंड पानी अधिकृत मात्रा वाले के रूप में परिभाषित किया गया था।<ref name=":2" />{{Rp|page=394}} यूनाइटेड किंगडम के [[बाट और माप अधिनियम 1985]] तक इस परिभाषा को और अधिक परिष्कृत किया गया था जो पानी के उपयोग के बिना 1 इम्पीरियल गैलन को ठीक 4.54609 लीटर के बराबर बनाता है।<ref>{{Cite book |last=Cook |first=James L. |url= |title=Conversion Factors |date=1991 |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=0-19-856349-3 |location=Oxford [England] |pages=xvi |oclc=22861139}}</ref>


== माप ==
सन 1960 में अंतरराष्ट्रीय मीटर नमूना से [[क्रिप्टन -86]] परमाणुओं की नारंगी-लाल [[वर्णक्रमीय रेखा]] तक मीटर की पुनर्परिभाषा ने भौतिक वस्तुओं से मीटर, क्यूबिक मीटर और लीटर को सीमाओं से बाहर किया। यह [[अंतर्राष्ट्रीय प्रोटोटाइप मीटर|अंतर्राष्ट्रीय प्रोटोटाइप (नमूना) मीटर]] में परिवर्तन के लिए मीटर और मीटर-व्युत्पन्न इकाइयों की मात्रा को लचीला बनाता है।<ref name="Marion">{{cite book |last=Marion |first=Jerry B. |title=Physics For Science and Engineering |publisher=CBS College Publishing |year=1982 |isbn=978-4-8337-0098-6 |page=3}}</ref> मीटर की परिभाषा को 1983 में [[प्रकाश की गति]] और [[दूसरा|सेकंड]] (जो कि सीज़ियम मानक से लिया गया है) का उपयोग करने के लिए परिभाषित किया गया और सन 2019 में स्पष्टता के लिए पुनर्परिभाषित किया गया था ।<ref>{{Cite web |date=20 May 2019 |title=''Mise en pratique'' for the definition of the metre in the SI |url=https://www.bipm.org/documents/20126/41489670/SI-App2-metre.pdf |website=[[International Bureau of Weights and Measures]] |publisher=Consultative Committee for Length |pages=1 |access-date=13 August 2022 |archive-date=13 August 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220813164032/https://www.bipm.org/documents/20126/41489670/SI-App2-metre.pdf |url-status=live }}</ref>
[[File:Graduated Measuring Cylinder with Stopper .jpg|alt=Glass cylinder with even markings|thumb|प्लास्टिक [[डाट (प्लग)]] के साथ स्नातक सिलेंडर]]किसी वस्तु के आयतन को मोटे तौर पर मापने का सबसे पुराना तरीका मानव शरीर का उपयोग करना है, जैसे हाथ के आकार और [[पिंच (क्रिया)]] का उपयोग करना। हालांकि, मानव शरीर की विविधताएं इसे बेहद अविश्वसनीय बनाती हैं। मात्रा को मापने का एक बेहतर तरीका प्रकृति में पाए जाने वाले मोटे तौर पर सुसंगत और टिकाऊ [[CONTAINER]]ों का उपयोग करना है, जैसे कि [[लौकी]], भेड़ या सुअर के [[पेट]] और मूत्र [[मूत्राशय]]। बाद में, जैसा कि धातु विज्ञान और कांच के उत्पादन में सुधार हुआ, आजकल छोटी मात्रा को आमतौर पर मानकीकृत मानव निर्मित कंटेनरों का उपयोग करके मापा जाता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=393}} कंटेनर के एक से अधिक (गणित) या अंश का उपयोग करके तरल पदार्थ या [[दानेदार सामग्री]] की छोटी मात्रा को मापने के लिए यह विधि आम है। दानेदार सामग्री के लिए, मोटे तौर पर सपाट सतह बनाने के लिए कंटेनर को हिलाया या समतल किया जाता है। यह विधि मात्रा को मापने का सबसे सटीक तरीका नहीं है, लेकिन अक्सर इसका उपयोग [[खाना पकाने की सामग्री]] को मापने के लिए किया जाता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=399}}
सूक्ष्म पैमाने पर तरल पदार्थ की मात्रा को मापने के लिए जीव विज्ञान और जैव रसायन में [[वायु विस्थापन पिपेट]] का उपयोग किया जाता है।<ref name=":02">{{cite web |title=Use of Micropipettes |url=http://faculty.buffalostate.edu/wadswogj/courses/bio211%20page/resources/micropipetting%20lab.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20160804033455/http://faculty.buffalostate.edu/wadswogj/courses/bio211%20page/resources/micropipetting%20lab.pdf |archive-date=4 August 2016 |accessdate=19 June 2016 |website=[[Buffalo State College]]}}</ref> कैलिब्रेटेड मापने वाले कप और मापने वाले चम्मच खाना पकाने और दैनिक जीवन के अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त हैं, हालांकि, वे [[प्रयोगशाला]] के लिए पर्याप्त सटीक नहीं हैं। वहां, तरल पदार्थ की मात्रा को अंशांकित सिलेंडरों, [[विंदुक]]्स और [[बड़ा फ्लास्क]] का उपयोग करके मापा जाता है। इस तरह के कैलिब्रेटेड कंटेनरों में सबसे बड़े पेट्रोलियम [[भंडारण टैंक]] होते हैं, जिनमें से कुछ को रखा जा सकता है {{Cvt|1000000|oilbbl|L|lk=in|abbr=off}} तरल पदार्थ का।<ref name=":2" />{{Rp|page=399}} इस पैमाने पर भी, पेट्रोलियम के घनत्व और तापमान को जानकर, इन टैंकों में अभी भी बहुत सटीक आयतन मापन किया जा सकता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=403}}
[[जलाशय]] जैसे बड़े आयतन के लिए, कंटेनर के आयतन को आकृतियों द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है और गणित का उपयोग करके गणना की जाती है।<ref name=":2" />{{Rp|page=403}} कंप्यूटर विज्ञान में [[कम्प्यूटेशनल ज्यामिति]] के क्षेत्र में संख्यात्मक रूप से वस्तुओं की मात्रा की गणना करने का कार्य अध्ययन किया जाता है, विभिन्न प्रकार की वस्तुओं के लिए इस गणना, [[सन्निकटन [[कलन विधि]]]] या [[सटीक एल्गोरिदम]] को करने के लिए कुशल एल्गोरिदम की जांच की जाती है। उदाहरण के लिए, उत्तल आयतन सन्निकटन तकनीक दिखाती है कि [[ओरेकल मशीन]] का उपयोग करके किसी भी उत्तल पिंड के आयतन का अनुमान कैसे लगाया जाए।{{Citation needed|date=August 2022}}




=== इकाइयां ===
{{main|Unit of volume|Orders of magnitude (volume)}}
[[File:Visualisation litre gram.svg|thumb|आयतन की कुछ SI इकाइयाँ मापनी और पानी के संगत द्रव्यमान का अनुमान|बायाँ]]आयतन की इकाई का सामान्य रूप [[घन (बीजगणित)]] (x<sup>3</sup>) लंबाई की एक इकाई। उदाहरण के लिए, यदि [[मीटर]] (m) को लंबाई की इकाई के रूप में चुना जाता है, तो आयतन की संगत इकाई घन मीटर (m) होती है।<sup>3</sup>).<ref>{{Cite journal |date=February 25, 2022 |title=Area and Volume |url=https://www.nist.gov/pml/owm/area-and-volume |journal=[[National Institute of Standards and Technology]] |access-date=August 7, 2022 |archive-date=August 7, 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220807105300/https://www.nist.gov/pml/owm/area-and-volume |url-status=live }}</ref> इस प्रकार, आयतन एक SI व्युत्पन्न इकाई है और इसका विमीय विश्लेषण L है<sup>3</उप>।<ref>{{Cite book |last=Lemons |first=Don S. |title=A Student's Guide to Dimensional Analysis |date=16 March 2017 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-1-107-16115-3 |location=New York |page=38 |oclc=959922612}}</ref> आयतन की मीट्रिक इकाइयाँ [[मीट्रिक उपसर्ग]]ों का उपयोग सख्ती से [[10 की शक्ति]] में करती हैं। आयतन की इकाइयों के लिए उपसर्गों को लागू करते समय, जो कि घन लंबाई की इकाइयों में व्यक्त किए जाते हैं, घन संचालकों को उपसर्ग सहित लंबाई की इकाई पर लागू किया जाता है। घन सेंटीमीटर को घन मीटर में बदलने का एक उदाहरण है: 2.3 सेंटीमीटर<sup>3</sup> = 2.3 (सेमी)<sup>3</sup> = 2.3 (0.01 मीटर)<sup>3</sup> = 0.0000023 मी<sup>3</sup> (पांच शून्य)।<ref name=":1">{{SIbrochure9th}}</ref>{{Rp|page=143}}
घन लंबाई इकाइयों के लिए आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले उपसर्ग घन मिलीमीटर (मिमी<sup>3</sup>), घन सेंटीमीटर (सेमी<sup>3</sup>), क्यूबिक डेसीमीटर (dm<sup>3</sup>), घन मीटर (एम<sup>3</sup>) और घन किलोमीटर (km<sup>3</sup>). उपसर्ग इकाइयों के बीच रूपांतरण इस प्रकार है: 1000 मिमी<sup>3</sup> = 1 सेमी<sup>3</sup>, 1000 सेमी<sup>3</sup> = 1 दिन<sup>3</sup>, और 1000 डीएम<sup>3</sup> = 1 मि<sup>3</उप>।<ref name=":0" />[[मीट्रिक प्रणाली]] में वॉल्यूम की इकाई के रूप में लीटर (L) भी शामिल है, जहां 1 L = 1 dm है<sup>3</sup> = 1000 सेमी<sup>3</sup> = 0.001 मी<sup>3</उप>।<ref name=":1" />{{Rp|page=145}} लीटर इकाई के लिए, आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले उपसर्ग मिलीलीटर (mL), सेंटीलीटर (cL) और लीटर (L) होते हैं, जिनमें 1000 mL = 1 L, 10 mL = 1 cL, 10 cL = 1 dL, और 10 dL होते हैं = 1 एल।<ref name=":0" />


लीटर आमतौर पर वस्तुओं के लिए उपयोग किया जाता है (जैसे कि तरल पदार्थ और ठोस पदार्थ जो डाले जा सकते हैं) जिन्हें उनके कंटेनर की क्षमता या आकार से मापा जाता है, जबकि क्यूबिक मीटर (और व्युत्पन्न इकाइयां) का उपयोग आमतौर पर या तो उनके आयामों द्वारा मापी गई वस्तुओं के लिए किया जाता है या उनका विस्थापन।{{Citation needed|date=August 2022}}
== माप ==
विभिन्न अन्य इंपीरियल इकाइयां या संयुक्त राज्य प्रथागत इकाइयां|यू.एस. वॉल्यूम की प्रथागत इकाइयाँ भी उपयोग में हैं, जिनमें शामिल हैं:<ref name=":2" />{{Rp|page=|pages=396–398}}
किसी वस्तु के आयतन को सामान्य रूप से मापने का सबसे पुराना तरीका मानव शरीर का उपयोग करना है जैसे हाथ के आकार और चुटकी का उपयोग करना। जबकि मानव शरीर की विविधताएं इसे अविश्वसनीय बनाती हैं। मात्रा को मापने का एक अच्छा तरीका प्रकृति में पाए जाने वाले सुसंगत और लम्बी अवधि तक चलने वाले [[CONTAINER|कंटेनरों]] का उपयोग करना है। इसके पश्चात जैसा कि धातु विज्ञान और कांच के उत्पादन में सुधार हुआ, आजकल कम मात्रा को सामान्य रूप से मानकीकृत मानव निर्मित कंटेनरों का उपयोग करके मापा जाता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=393}} कंटेनर के एक या एक से अधिक (गणित) अंश का उपयोग करके तरल पदार्थ या [[दानेदार सामग्री]] की छोटी मात्रा को मापने के लिए यह विधि सामान्य है। दानेदार सामग्री के लिए सपाट सतह बनाने हेतु कंटेनर को हिलाया या समतल किया जाता है। यह विधि मात्रा को मापने का सबसे सटीक तरीका नहीं है लेकिन इसका उपयोग [[खाना पकाने की सामग्री]] को मापने के लिए किया जाता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=399}}
* घन इंच, [[घन फुट]], घन गज, [[एकड़ फुट]], [[घन मील]];
सूक्ष्म पैमाने पर तरल पदार्थ की मात्रा को मापने के लिए जीव विज्ञान और जैव रसायन में [[वायु विस्थापन पिपेट|वायु विस्थापक पिपेट]] का उपयोग किया जाता है।<ref name=":02">{{cite web |title=Use of Micropipettes |url=http://faculty.buffalostate.edu/wadswogj/courses/bio211%20page/resources/micropipetting%20lab.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20160804033455/http://faculty.buffalostate.edu/wadswogj/courses/bio211%20page/resources/micropipetting%20lab.pdf |archive-date=4 August 2016 |accessdate=19 June 2016 |website=[[Buffalo State College]]}}</ref> मापने वाले कैलिब्रेटेड कप और मापने वाले चम्मच खाना पकाने और दैनिक जीवन के अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त हैं, जबकि वे [[प्रयोगशाला]] के लिए पर्याप्त सटीक नहीं हैं। जहाँ तरल पदार्थ की मात्रा को अंशांकित सिलेंडरों, [[विंदुक|पिपेट]] और [[बड़ा फ्लास्क|बड़ा (वॉल्यूमेट्रिक) फ्लास्क]] का उपयोग करके मापा जाता है। इस तरह के कैलिब्रेटेड कंटेनरों में सबसे बड़े पेट्रोलियम [[भंडारण टैंक]] होते हैं जिनमें से कुछ में {{Cvt|1000000|oilbbl|L|lk=in|abbr=off}} तरल पदार्थ को रखा जा सकता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=399}} इस पैमाने पर भी पेट्रोलियम के घनत्व और तापमान को जानकर इन टैंकों में अभी भी बहुत सटीक आयतन मापन किया जा सकता है।<ref name=":2" />{{Rp|page=403}}
* [[न्यूनतम (संयुक्त)]], ड्रामा (यूनिट), द्रव औंस, [[पिंट]];
* चम्मच, बड़ा चम्मच;
* गिल (वॉल्यूम), क्वार्ट, गैलन, बैरल (यूनिट);
* [[रस्सी (इकाई)]], [[पत्थर फेंकना]], [[बुशल]], [[होग्सहेड]]।


ज्ञात सबसे छोटी मात्रा जिस पर पदार्थ का कब्जा है, वह संभवतः [[प्रोटॉन]] है, जिसकी त्रिज्या 1 [[femtometer]] से छोटी मानी जाती है। इसका मतलब है कि इसकी मात्रा से छोटी होनी चाहिए {{val|4.19|u=m3|e=-45}}, हालांकि सटीक मान अभी भी 2019 तक [[प्रोटॉन त्रिज्या पहेली]] के रूप में बहस के अधीन है।<ref>{{cite journal |last1=Karr |first1=Jean-Philippe |last2=Marchand |first2=Dominique |date=2019 |title=Progress on the proton-radius puzzle |journal=Nature |volume=575 |issue=7781 |pages=61–62 |bibcode=2019Natur.575...61K |doi=10.1038/d41586-019-03364-z |pmid=31695215 |doi-access=free}}</ref> [[हाइड्रोजन]] परमाणु का वैन डेर वाल्स आयतन कहीं अधिक बड़ा होता है, जिसकी सीमा होती है {{val|4.19|u=m3|e=-30}} को {{val|7.24|u=m3|e=-30}} 100 और 120 [[picometre]] के बीच की त्रिज्या वाले गोले के रूप में।<ref>{{Cite book |last=Bethell |first=D. |url= |title=Advances in Physical Organic Chemistry |date=1990 |publisher=[[Academic Press]] |isbn=9780080581651 |volume=26 |location=London |pages=259 |oclc=646803097}}</ref> पैमाने के दूसरे छोर पर, पृथ्वी का आयतन लगभग है {{val|1.083|u=m3|e=21}}.<ref name="earth_fact_sheet">{{cite web |last=Williams |first=David R. |date=16 March 2017 |title=पृथ्वी तथ्य पत्रक|url=https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html |access-date=26 July 2018 |publisher=NASA/Goddard Space Flight Center |archive-date=8 May 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130508021904/http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html |url-status=live }}</ref> अवलोकन योग्य ब्रह्मांड में सबसे बड़ा संभावित आयतन स्वयं अवलोकनीय ब्रह्मांड है, at {{val|2.85|u=m3|e=81}} के एक क्षेत्र द्वारा {{val|8.8|u=m|e=26}} त्रिज्या में।<ref>{{cite book |author1=Bars |first=Itzhak |url=https://books.google.com/books?id=fFSMatekilIC&pg=PA27 |title=Extra Dimensions in Space and Time |last2=Terning |first2=John |publisher=Springer |year=2009 |isbn=978-0-387-77637-8 |pages=27 |access-date=2011-05-01}}</ref>
[[जलाशय]] जैसे बड़े आयतन के लिए कंटेनर के आयतन को आकृतियों द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है और गणित का उपयोग करके गणना की जाती है।<ref name=":2" />{{Rp|page=403}} कंप्यूटर विज्ञान में [[कम्प्यूटेशनल ज्यामिति]] के क्षेत्र में संख्यात्मक रूप से वस्तुओं की मात्रा की गणना करने का कार्य अध्ययन किया जाता है, विभिन्न प्रकार की वस्तुओं के लिए इस गणना, [[सन्निकटन [[कलन विधि]]]] या [[सटीक एल्गोरिदम|सटीक एल्गोरिदम (कलन विधि]]) को करने के लिए कुशल एल्गोरिदम (कलन विधि) की जांच की जाती है। उदाहरण के लिए उत्तल आयतन सन्निकटन तकनीक प्रदर्शित करती है कि [[ओरेकल मशीन]] का उपयोग करके किसी भी उत्तल पिंड के आयतन का अनुमान कैसे लगाया जाए।{{Citation needed|date=August 2022}}




=== क्षमता और मात्रा ===
क्षमता सामग्री की अधिकतम मात्रा है जो एक कंटेनर धारण कर सकता है, मात्रा या वजन में मापा जाता है। हालाँकि, निहित मात्रा को कंटेनर की क्षमता या इसके विपरीत भरने की आवश्यकता नहीं है। कंटेनर केवल एक विशिष्ट मात्रा में भौतिक मात्रा रख सकते हैं, वजन नहीं (व्यावहारिक चिंताओं को छोड़कर)। उदाहरण के लिए, ए {{Cvt|50000|oilbbl|L}} टैंक जो बस पकड़ सकता है {{Cvt|7200|MT|lb}} [[ईंधन तेल]] में समान नहीं होगा {{Cvt|7200|MT|lb}} [[मिट्टी का तेल]] का, नेफ्था के कम घनत्व और इस प्रकार बड़ी मात्रा के कारण।<ref name=":2" />{{Rp|page=|pages=390–391}}
== गणना ==
{{See also|List of formulas in elementary geometry}}
=== इंटीग्रल कैलकुलस ===
[[File:Integral_apl_rot_objem3.svg|alt=f(x) और g(x) को x-अक्ष|अंगूठा|परिक्रमा के एक ठोस का चित्रण, जिसे घुमाए गए g(x) का आयतन घुमाए गए f(x) के आयतन को घटाता है।]]आयतन की गणना समाकलन कलन का एक महत्वपूर्ण भाग है। जिनमें से एक एक ही तल पर एक [[रेखा (ज्यामिति)]] के चारों ओर एक [[समतल वक्र]] को घुमाकर, परिक्रमण के ठोस के आयतन की गणना कर रहा है। वॉशर या [[डिस्क एकीकरण]] विधि का उपयोग रोटेशन के अक्ष के समानांतर अक्ष द्वारा एकीकृत करते समय किया जाता है। सामान्य समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:<math display="block">V = \pi \int_a^b \left| f(x)^2 - g(x)^2\right|\,dx</math>कहाँ <math display="inline">f(x)</math> और <math display="inline">g(x)</math> समतल वक्र सीमाएँ हैं।<ref name=":4">{{Cite web |date=22 September 2014 |title=Volumes by Integration |url=https://www.rit.edu/academicsuccesscenter/sites/rit.edu.academicsuccesscenter/files/documents/math-handouts/C8_VolumesbyIntegration_BP_9