साहचर्य गुण: Difference between revisions

| name = Associative property

| caption = A visual graph representing associative operations; <math>(x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)</math>

| type = [[Principle|Law]], [[rule of replacement]]

* [[Elementary algebra]]

* [[Boolean algebra]]

* [[Set theory]]

* [[Linear algebra]]

* [[Propositional calculus]]

# Elementary algebra

# Propositional calculus

गणित में, साहचर्य संपत्ति<ref>

|quote=Definition 1.1 (i) a(bc) = (ab)c for all a, b, c in G.}}</ref> कुछ द्विआधारी संक्रियाओं का एक गुण है, जिसका अर्थ है कि किसी व्यंजक में कोष्ठकों को पुनर्व्यवस्थित करने से परिणाम नहीं बदलेगा। प्रस्तावपरक तर्क में, औपचारिक सबूत में [[अच्छी तरह से गठित सूत्र]] के प्रतिस्थापन के लिए सहयोगीता एक [[वैधता (तर्क)]] नियम है।

एक ही साहचर्य ऑपरेटर की एक पंक्ति में दो या दो से अधिक घटनाओं वाली अभिव्यक्ति के भीतर, जिस क्रम में [[ऑपरेशन (गणित)]] किया जाता है, तब तक कोई फर्क नहीं पड़ता जब तक कि [[ओपेरंड]] का क्रम नहीं बदला जाता है। यही है (अभिव्यक्ति को कोष्ठक के साथ फिर से लिखने के बाद और यदि आवश्यक हो तो infix संकेतन में), ऐसी अभिव्यक्ति में कोष्ठक को पुनर्व्यवस्थित करने से इसका मान नहीं बदलेगा। निम्नलिखित समीकरणों पर विचार करें:

भले ही कोष्ठकों को प्रत्येक पंक्ति पर पुनर्व्यवस्थित किया गया था, भावों के मूल्यों में परिवर्तन नहीं किया गया था। चूँकि यह किसी [[वास्तविक संख्या]] पर जोड़ और गुणा करते समय सही होता है, इसलिए यह कहा जा सकता है कि वास्तविक संख्याओं का जोड़ और गुणा साहचर्य संक्रियाएँ हैं।

साहचर्य [[क्रमविनिमेयता]] के समान नहीं है, जो बताता है कि क्या दो ऑपरेंड का क्रम परिणाम को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के गुणन में क्रम कोई मायने नहीं रखता, अर्थात, {{math|1={{var|a}} × {{var|b}} = {{var|b}} × {{var|a}}}}, इसलिए हम कहते हैं कि वास्तविक संख्याओं का गुणन एक क्रमविनिमेय संक्रिया है। हालांकि, फ़ंक्शन रचना और [[मैट्रिक्स गुणन]] जैसे संचालन साहचर्य हैं, लेकिन (आमतौर पर) क्रमविनिमेय नहीं हैं।

गणित में साहचर्य संक्रियाएँ प्रचुर मात्रा में हैं; वास्तव में, कई [[बीजगणितीय संरचना]]एं (जैसे कि सेमीग्रुप (गणित) और [[श्रेणी (गणित)]]) को स्पष्ट रूप से सहयोगी होने के लिए उनके द्विआधारी संचालन की आवश्यकता होती है।

हालांकि, कई महत्वपूर्ण और दिलचस्प ऑपरेशन गैर-सहयोगी हैं; कुछ उदाहरणों में [[घटाव]], [[घातांक]] और [[वेक्टर क्रॉस उत्पाद]] शामिल हैं। वास्तविक संख्याओं के सैद्धांतिक गुणों के विपरीत, कंप्यूटर विज्ञान में [[तैरनेवाला स्थल]] नंबरों का जोड़ साहचर्य नहीं है, और किसी व्यंजक को कैसे जोड़ा जाए, इसका चुनाव राउंडिंग एरर पर महत्वपूर्ण प्रभाव डाल सकता है।

[[File:Semigroup_associative.svg|thumbnail|एक बाइनरी ऑपरेशन ∗ सेट एस पर कम्यूटेटिव आरेख के दौरान सहयोगी है। यानी जब दोनों रास्ते से {{math|{{var|S}}×{{var|S}}×{{var|S}}}} को {{mvar|S}} फ़ंक्शन रचना से समान फ़ंक्शन तक {{math|{{var|S}}×{{var|S}}×{{var|S}}}} को {{mvar|S}}.]]औपचारिक रूप से, एक बाइनरी ऑपरेशन {{math|∗}} एक सेट पर (गणित) {{mvar|S}} साहचर्य कहा जाता है यदि यह साहचर्य कानून को संतुष्ट करता है:

यहाँ, ∗ का उपयोग ऑपरेशन के प्रतीक को बदलने के लिए किया जाता है, जो कि कोई भी प्रतीक हो सकता है, और यहाँ तक कि गुणन के लिए प्रतीक की अनुपस्थिति (जुक्सपोज़िशन#गणित) भी हो सकती है।

सहयोगी कानून को कार्यात्मक संकेतन में भी व्यक्त किया जा सकता है: {{math|1={{var|f}}({{var|f}}({{var|x}}, {{var|y}}), {{var|z}}) = {{var|f}}({{var|x}}, {{var|f}}({{var|y}}, {{var|z}}))}}.

== सामान्यीकृत साहचर्य कानून ==

[[Image:Tamari lattice.svg|thumb|साहचर्य गुण के अभाव में, पाँच कारक {{mvar|a}}, {{mvar|b}},{{mvar|c}}, {{mvar|d}}, {{mvar|e}} क्रम चार की एक [[तामरी जाली]] में परिणाम, संभवतः विभिन्न उत्पाद।]]यदि एक बाइनरी ऑपरेशन साहचर्य है, तो ऑपरेशन के बार-बार उपयोग से एक ही परिणाम उत्पन्न होता है, भले ही अभिव्यक्ति में कोष्ठकों के मान्य जोड़े डाले गए हों।<ref>{{cite book |last=Durbin |first=John R. |title=Modern Algebra: an Introduction |year=1992 |publisher=Wiley |location=New York |isbn=978-0-471-51001-7 |page=78 |url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html |edition=3rd |quote=If <math>a_1, a_2, \dots, a_n \,\, (n \ge 2)</math> are elements of a set with an associative operation, then the product <math>a_1 a_2 \cdots a_n</math> is unambiguous; this is, the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product.}}</ref> इसे सामान्यीकृत साहचर्य कानून कहा जाता है। उदाहरण के लिए, चार तत्वों का उत्पाद, कारकों के क्रम को बदले बिना, पाँच संभावित तरीकों से लिखा जा सकता है:

यदि उत्पाद संचालन साहचर्य है, तो सामान्यीकृत साहचर्य कानून कहता है कि ये सभी भाव समान परिणाम देंगे। इसलिए जब तक छोड़े गए कोष्ठक वाले व्यंजक का पहले से कोई भिन्न अर्थ न हो (नीचे देखें), कोष्ठकों को अनावश्यक माना जा सकता है और गुणनफल को स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है

जैसे-जैसे तत्वों की संख्या बढ़ती है, कैटलन संख्या # कॉम्बिनेटरिक्स में एप्लिकेशन तेज़ी से बढ़ते हैं, लेकिन वे असंबद्धता के लिए अनावश्यक रहते हैं।

[[File:Associativity of real number addition.svg|thumb|वास्तविक संख्याओं का योग साहचर्य है।]]साहचर्य संचालन के कुछ उदाहरणों में निम्नलिखित शामिल हैं।

|1= The [[string concatenation|concatenation]] of the three strings <code>"hello"</code>, <code>" "</code>, <code>"world"</code> can be computed by concatenating the first two strings (giving <code>"hello "</code>) and appending the third string (<code>"world"</code>), or by joining the second and third string (giving <code>" world"</code>) and concatenating the first string (<code>"hello"</code>) with the result. The two methods produce the same result; string concatenation is associative (but not commutative).

|2= In [[arithmetic]], [[addition]] and [[multiplication]] of [[real number]]s are associative; i.e.,

Because of associativity, the grouping parentheses can be omitted without ambiguity.

|3= The trivial operation {{math|1={{var|x}} ∗ {{var|y}} = {{var|x}}}} (अर्थात, परिणाम पहला तर्क है, कोई फर्क नहीं पड़ता कि दूसरा तर्क क्या है) साहचर्य है लेकिन क्रमविनिमेय नहीं है। इसी तरह, तुच्छ ऑपरेशन {{math|1={{var|x}} ∘ {{var|y}} = {{var|y}}}} (अर्थात, परिणाम दूसरा तर्क है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पहला तर्क क्या है) साहचर्य है लेकिन क्रमविनिमेय नहीं है।

|4= सम्मिश्र संख्याओं और चतुष्कोणों का जोड़ और गुणा साहचर्य हैं। [[ऑक्टोनियन]] का जोड़ भी सहयोगी है, लेकिन ऑक्टोनियंस का गुणा गैर-सहयोगी है।

साहचर्य सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावपरक तर्क के कुछ [[तार्किक संयोजक]]ों का गुण है। निम्नलिखित तार्किक तुल्यताएँ प्रदर्शित करती हैं कि साहचर्य विशेष संयोजकों का गुण है। निम्नलिखित (और उनके बातचीत, चूंकि {{math|↔}} क्रमविनिमेय है) सत्य-कार्यात्मक पुनरावलोकन (तर्क) हैं।{{cn|reason=Stack Exchange is not a reliable source?|date=June 2022}}

== गैर-सहयोगी ऑपरेशन ==

एक बाइनरी ऑपरेशन <math>*</math> एक सेट S पर जो साहचर्य कानून को संतुष्ट नहीं करता है, उसे 'गैर-सहयोगी' कहा जाता है। प्रतीकात्मक रूप से,

ऐसे ऑपरेशन के लिए मूल्यांकन का क्रम मायने रखता है। उदाहरण के लिए:

; वेक्टर क्रॉस उत्पाद

हालांकि परिमित राशियों के लिए जोड़ साहचर्य है, यह अनंत योगों ([[श्रृंखला (गणित)]]) के अंदर साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए,

गणित में कुछ असहयोगी संक्रियाएँ मौलिक हैं। वे अक्सर गैर-सहयोगी बीजगणित नामक संरचनाओं में गुणन के रूप में दिखाई देते हैं, जिसमें एक जोड़ और एक अदिश गुणन भी होता है। उदाहरण ऑक्टोनियंस और लाई बीजगणित हैं। [[झूठ बीजगणित]] में, गुणन साहचर्य कानून के बजाय [[जैकोबी पहचान]] को संतुष्ट करता है; यह असीम परिवर्तनों की बीजगणितीय प्रकृति को अमूर्त करने की अनुमति देता है।

अन्य उदाहरण [[quasigroup]], [[kassifield]], [[गैर-सहयोगी अंगूठी]] और [[क्रमविनिमेय गैर साहचर्य मैग्मास]] हैं।

=== फ़्लोटिंग पॉइंट गणना की गैर-सहयोगीता ===

गणित में, वास्तविक संख्याओं का जोड़ और गुणा साहचर्य होता है। इसके विपरीत, कंप्यूटर विज्ञान में, फ़्लोटिंग पॉइंट नंबरों का जोड़ और गुणा साहचर्य नहीं है, क्योंकि भिन्न-भिन्न आकार के मानों को एक साथ जोड़ने पर राउंडिंग त्रुटियां पेश की जाती हैं।<ref>Knuth, Donald, [[The Art of Computer Programming]], Volume 3, section 4.2.2</ref>

इसे स्पष्ट करने के लिए, 4-बिट [[महत्व]] के साथ फ़्लोटिंग पॉइंट प्रतिनिधित्व पर विचार करें:

भले ही अधिकांश कंप्यूटर 24 या 53 बिट्स मंटिसा के साथ गणना करते हैं,<ref>{{Cite book |title=IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic |author=IEEE Computer Society |date=29 August 2008 |id=IEEE Std 754-2008|doi=10.1109/IEEESTD.2008.4610935 |ref=CITEREFIEEE_7542008 |isbn=978-0-7381-5753-5}}</ref> यह राउंडिंग एरर का एक महत्वपूर्ण स्रोत है, और एप्रोच जैसे कहन योग एल्गोरिथम त्रुटियों को कम करने के तरीके हैं। समानांतर कंप्यूटिंग में यह विशेष रूप से समस्याग्रस्त हो सकता है।<ref>{{Citation

}}</ref><ref name="Goldberg_1991">{{cite journal|last=Goldberg|first=David|author-link=David Goldberg (PARC)|date=March 1991|title=फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के बारे में प्रत्येक कंप्यूटर वैज्ञानिक को क्या पता होना चाहिए|url=http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/goldberg.pdf|journal=[[ACM Computing Surveys]]|volume=23|issue=1|pages=5–48|doi=10.1145/103162.103163|s2cid=222008826|access-date=20 January 2016|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20220519083509/http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/goldberg.pdf|archive-date=2022-05-19}}</रेफरी>

 

 

a*b*c=(a*b)*c

a*b*c*d=((a*b)*c)*d

a*b*c*d*e=(((a*b)*c)*d)*e\quad

</math>

 

<math display="block">

x*y*z=x*(y*z)

w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad

; वास्तविक संख्याओं का घटाव और विभाजन<ref>George Mark Bergman [https://math.berkeley.edu/~gbergman/misc/numbers/ord_ops.html "Order of arithmetic operations"]</ref><ref>[http://eduplace.com/math/mathsteps/4/a/index.html "The Order of Operations"]. Education Place.</ref><ref>[https://www.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-arith-prop/pre-algebra-order-of-operations/v/introduction-to-order-of-operations "The Order of Operations"], timestamp [https://www.youtube.com/watch?v=ClYdw4d4OmA&t=5m40s 5m40s]. [[Khan Academy]].</ref><ref>[http://www.doe.virginia.gov/instruction/mathematics/middle/algebra_readiness/curriculum_companion/order-operations.pdf#page=3 "Using Order of Operations and Exploring Properties"], section 9. Virginia Department of Education.</ref><ref name="Bronstein_1987">ब्रोंस्टीन, : डी: तस्चेनबच डेर मैथेमेटिक, पेज 115-120, अध्याय: 2.4.1.1, {{ISBN|978-3-8085-5673-3}}</रेफरी>