बल (गणित): Difference between revisions

{{for|[[पुनरावर्तन सिद्धांत]] में बल प्रयोग का उपयोग|पुनरावृत्ति सिद्धांत}}

[[समुच्चय सिद्धान्त]] के गणितीय अनुशासन में, शक्तिशालीी स्थिरता और स्वतंत्रता ([[गणितीय तर्क]]) के परिणाम को सिद्ध करने के लिए निहित विधि है। यह पहली बार 1963 में [[पॉल कोहेन (गणितज्ञ)]] द्वारा पसंद के स्वयंसिद्ध की स्वतंत्रता और ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सिद्धांत से सातत्य परिकल्पना को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया गया था।

इसके बाद के वर्षों में बल पर अधिकतम सीमा तक फिर से कार्य किया गया और इसे सरल बनाया गया, और तब से सिद्धांत और '''गणितीय तर्क''' जैसे रिकर्सन सिद्धांत दोनों में शक्तिशाली विधि के रूप में कार्य किया है। वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत [[पुनरावर्तन सिद्धांत]] और समुच्चय सिद्धांत दोनों से बल प्रयोग की धारणाओं का उपयोग करता है। [[मॉडल सिद्धांत|प्रारूप सिद्धांत]] में भी बल का उपयोग किया गया है, किन्तु प्रारूप सिद्धांत में यह सामान्य है कि बिना बल का उल्लेख किए सीधे [[सामान्य फ़िल्टर]] को परिभाषित किया जाए।

सहज रूप से, बल में सिद्धांत सैद्धांतिक [[ब्रह्मांड (गणित)]] का विस्तार होता है, <math> V </math> बड़े ब्रह्मांड के लिए <math> V^{*} </math>का चयन करती हैं। इस बड़े ब्रह्मांड में, उदाहरण के लिए, सिद्धांत के [[सबसेट|सबसिद्धांत]] के साथ पहचाने जाने वाले कई नए वास्तविक संख्या <math>\mathbb{N}</math> हो सकती हैं  प्राकृतिक संख्याएँ, जो पुराने ब्रह्मांड में नहीं थीं, और इस प्रकार सातत्य परिकल्पना का उल्लंघन करती हैं।

जबकि [[परिमित सेट|परिमित सिद्धांत]] [[सेट (गणित)|सिद्धांत (गणित)]] के साथ व्यवहार करना असंभव है, यह अनंत के बारे में कैंटर के विरोधाभास का सिर्फ और संस्करण है। सिद्धांत रूप में, कोई विचार कर सकता है:

पहचान करना <math> x \in V </math> साथ <math> (x,0) </math>, और फिर विस्तारित सदस्यता संबंध प्रस्तुत करें जिसमें प्रपत्र के नए सिद्धांत सम्मलित हों <math> (x,1) </math>. विवशता पूर्ण इस विचार का अधिक विस्तृत संस्करण है, नए सिद्धांत के अस्तित्व के विस्तार को कम करता है, और इस प्रकार विस्तारित ब्रह्मांड के गुणों पर ठीक नियंत्रण की अनुमति देता है।

कोहेन की मूल विधि, जिसे अब [[शाखा मजबूर]] कहा जाता है, यहां बताए गए असम्बद्ध बल से थोड़ा अलग है। बल भी [[बूलियन-मूल्यवान मॉडल|बूलियन-मूल्यवान प्रारूप]] की विधि के बराबर है, जो कुछ लोगों को वैचारिक रूप से अधिक स्वाभाविक और सहज लगता है, किन्तु इस प्रकार सामान्यतः इसे लागू करना अधिक कठिन होता है।

== विवशता पूर्ण पोसेट्स ==

एक मजबूर पोसेट आदेशित ट्रिपल है, <math> (\mathbb{P},\leq,\mathbf{1}) </math>, जहाँ <math> \mathbb{P} </math><math> \leq </math> पर अग्रिम आदेश है  वह परमाणु (आदेश सिद्धांत) है, जिसका अर्थ है कि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

*प्रत्येक के लिए <math> p \in \mathbb{P} </math>, जहाँ <math> q,r \in \mathbb{P} </math> इस प्रकार है कि <math> q,r \leq p </math>, कोई साथ <math> s \in \mathbb{P} </math> ऐसा है कि <math> s \leq q,r </math>. का सबसे बड़ा तत्व है <math> \mathbb{P} </math> है <math> \mathbf{1} </math>, वह है, <math> p \leq \mathbf{1} </math> सभी के लिए <math> p \in \mathbb{P} </math>.

के सदस्यों <math> \mathbb{P} </math> मजबूर करने की स्थिति या सिर्फ स्थिति कहा जाता है। पढ़ता है <math> p \leq q </math> जैसा<math> p </math> से ज्यादा शक्तिशाली <math> q </math> है, सहज रूप से, छोटी स्थिति अधिक जानकारी प्रदान करती है, जैसे कि छोटा अंतराल <math> [3.1415926,3.1415927] </math> Pi| संख्या के बारे में अधिक जानकारी प्रदान करता है, {{pi}}अंतराल की तुलना में <math> [3.1,3.2] </math> करता है।

उपयोग में विभिन्न सम्मेलन हैं। कुछ लेखकों की आवश्यकता होती है <math> \leq </math> प्रतिसममित संबंध भी होना चाहिए, जिससे कि संबंध आंशिक क्रम में होता हैं। कुछ वैसे भी [[आंशिक आदेश]] शब्द का उपयोग करते हैं, जो इस प्रकार मानक शब्दावली के साथ परस्पर विरोधी हैं, जबकि कुछ शब्द प्रीऑर्डर का उपयोग करते हैं। सबसे बड़े तत्व के साथ तिरस्कृत किया जा सकता है। रिवर्स ऑर्डरिंग का भी उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[सहारों शेलाह]] और उनके सह-लेखकों द्वारा होता हैं।

इस प्रकार मजबूर पोसेट के साथ संबद्ध <math> \mathbb{P} </math> वर्ग है (सिद्धांत सिद्धांत) <math> V^{(\mathbb{P})} </math> का <math> \mathbb{P} </math>-नाम  A <math> \mathbb{P} </math>-नाम सिद्धांत है <math> A </math> फार्म का

यह वास्तव में [[ट्रांसफिनिट रिकर्सन]] द्वारा परिभाषा है। साथ <math>\varnothing</math> खाली सिद्धांत, <math>\alpha + 1</math> क्रमसूचक का उत्तराधिकारी <math>\alpha</math>, <math>\mathcal{P}</math> [[सत्ता स्थापित]] | पावर-सिद्धांत ऑपरेटर, और <math>\lambda</math> सीमा क्रमसूचक, निम्नलिखित पदानुक्रम को परिभाषित करें:

  <math> \mathbb{P} </math>वें>-नाम, वास्तव में, वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का विस्तार हैं। दिया गया <math> x \in V </math>, परिभाषित करता है <math> \check{x} </math> होना के लिए <math> \mathbb{P} </math>-नाम

इस प्रकार कोई उपसमुच्चय <math> G </math> के लिए  <math> \mathbb{P} </math> दिया गया है , अगला व्याख्या या मूल्यांकन मानचित्र को परिभाषित करता है <math> \mathbb{P} </math>-नाम द्वारा

यह फिर से ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषा है। ध्यान दें कि यदि <math> \mathbf{1} \in G </math>, तब <math> \operatorname{val}(\check{x},G) = x </math>. तो परिभाषित करता है

जिससे कि <math> \operatorname{val}(\underline{G},G) = \{\operatorname{val}(\check p, G) \mid p \in G\} = G </math>.

बल पोसेट का अच्छा उदाहरण है <math> (\operatorname{Bor}(I),\subseteq,I) </math>, जहाँ<math> I = [0,1] </math> और <math> \operatorname{Bor}(I) </math> के बोरेल उपसमूहों का संग्रह है <math> I </math> गैर-शून्य Lebesgue माप प्रकट करता हैं। इस स्थिति में, परिस्थितियों के बारे में संभावनाओं के रूप में बात की जा सकती है, और a <math> \operatorname{Bor}(I) </math>-नाम संभाव्य अर्थ में सदस्यता प्रदान करता है। तैयार अंतर्ज्ञान के कारण यह उदाहरण प्रदान कर सकता है, इस प्रकार संभाव्य भाषा का प्रयोग कभी-कभी अन्य अलग-अलग मजबूर पॉसिद्धांत्स के साथ किया जाता है।

== गणनीय सकर्मक प्रारूप और सामान्य फ़िल्टर ==

बाध्य करने में मुख्य चरण दिया गया है a <math> \mathsf{ZFC} </math> ब्रह्मांड <math> V </math>, उपयुक्त वस्तु खोजने के लिए <math> G </math> अंदर नही <math> V </math>. की सभी व्याख्याओं का परिणामी वर्ग <math> \mathbb{P} </math>-नाम का प्रारूप होगा <math> \mathsf{ZFC} </math> जो मूल रूप से मूल का विस्तार करता है, इस प्रकार <math> V </math> (तब से <math> G \notin V </math>) के साथ कार्य करने के अतिरिक्त <math> V </math>, गणनीय सकर्मक प्रारूप पर विचार करना उपयोगी है <math> M </math> साथ <math> (\mathbb{P},\leq,\mathbf{1}) \in M </math>. प्रारूप सिद्धांत सिद्धांत के प्रारूप को संदर्भित करता है, या तो सभी में से <math> \mathsf{ZFC} </math>, या बड़े किन्तु परिमित उपसमुच्चय का प्रारूप <math> \mathsf{ZFC} </math>, या उसका कोई संस्करण हैं। सकर्मकता का अर्थ है कि यदि <math> x \in y \in M </math>, तब <math> x \in M </math>. [[मोस्टोव्स्की पतन लेमो]] में कहा गया है कि सदस्यता संबंध अच्छी प्रकार से स्थापित होने पर यह माना जाता है। सकर्मकता का प्रभाव यह है कि सदस्यता और अन्य प्राथमिक धारणाओं को सहजता से नियंत्रित किया जाता है। इस प्रकार प्रारूप की गणना लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय पर निर्भर करती है।

जैसा <math> M </math> सिद्धांत है, इसमें सिद्धांत नहीं हैं <math> M </math> - यह रसेल के विरोधाभास से आता है। उपयुक्त सिद्धांत <math> G </math> चुनना और जोड़ना <math> M </math> सामान्य फ़िल्टर चालू है <math> \mathbb{P} </math>. फ़िल्टर स्थिति का अर्थ है कि:

* यदि <math> p \geq q \in G </math>, तब <math> p \in G; </math>

* यदि <math> p,q \in G </math>, तो वहाँ सम्मलित है <math> r \in G </math> ऐसा है कि <math> r \leq p,q. </math>

* यदि <math> D \in M </math> का सघन उपसमुच्चय है <math> \mathbb{P} </math> (अर्ताथ, प्रत्येक के लिए <math> p \in \mathbb{P} </math>, वहाँ सम्मलित है, जहाँ <math> q \in D </math> ऐसा है कि <math> q \leq p </math>), तब <math> G \cap D \neq \varnothing </math> द्वारा प्रकट होता हैं।

इस प्रकार सामान्य फ़िल्टर का अस्तित्व <math> G </math> रसिओवा-सिकोर्स्की लेम्मा से आता है। वास्तव में, थोड़ा और सत्य है: शर्त दी गई है <math> p \in \mathbb{P} </math>, कोई सामान्य फ़िल्टर पा सकता है <math> G </math> ऐसा है कि <math> p \in G </math>. बंटवारे की स्थिति के कारण <math>\mathbb{P}</math> (ऊपर 'परमाणुलेस' कहा जा रहा है), यदि <math> G </math> फिल्टर है, फिर <math> \mathbb{P} \setminus G </math> सघन है। यदि <math> G \in M </math>, तब <math> \mathbb{P} \setminus G \in M </math> क्योंकि <math> M </math> का प्रारूप है <math> \mathsf{ZFC} </math>. इस कारण से, सामान्य फ़िल्टर कभी नहीं होता है <math> M </math>.

== विवशतापूर्वक ==

इस प्रकार सामान्य फ़िल्टर दिया गया <math> G \subseteq \mathbb{P}</math>, निम्नानुसार आगे बढ़ता है। जिसका उपवर्ग <math> \mathbb{P} </math> में <math> M </math> द्वारा निरूपित किया जाता है, इसलिए इसे हम <math> M^{(\mathbb{P})} </math> प्रकार लिखते हैं।

के सिद्धांत सिद्धांत के अध्ययन को कम करने के लिए <math> M[G] </math> उसके वहां के लिए <math> M </math>, विवशता पूर्ण भाषा के साथ कार्य करता है, जो बाइनरी रिलेशन के रूप में सदस्यता के साथ सामान्य प्रथम-क्रम तर्क की प्रकार निर्मित होता है और सभी <math> \mathbb{P} </math> प्रकार के नाम के स्थिरांक के रूप में उपयोग में लाया जाता हैं।

परिभाषित करना <math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) </math> (के रूप में पढ़ने के लिए<math>p</math> ताकतों <math> \varphi </math> प्रारूप में <math> M </math> पोसेट के साथ <math> \mathbb{P} </math>), जहाँ <math> p </math> शर्त है, <math> \varphi </math> विवशता पूर्ण भाषा में सूत्र है, और <math> u_{i} </math>के हैं <math> \mathbb{P} </math>-नाम, इसका अर्थ है कि यदि <math> G </math> सामान्य <math> p </math> फ़िल्टर युक्त है , तब <math> M[G] \models \varphi(\operatorname{val}(u_1,G),\ldots,\operatorname{val}(u_{n},G)) </math>. विशेष स्थिति <math> \mathbf{1} \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi </math> प्रायः के रूप में लिखा जाता है<math> \mathbb{P} \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi </math>या केवल<math> \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi </math>. में ऐसे कथन सत्य हैं तथा <math> M[G] </math>, में <math> G </math> के लिए कोई जरूरी पक्ष नहीं लिया जाता हैं।

इस प्रकार महत्वपूर्ण बात यह है कि यह विवशता पूर्ण संबंध की बाहरी परिभाषा <math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi </math> है, जिसके भीतर आंतरिक परिभाषा के बराबर <math> M </math> उपलब्ध है , पार परिमित प्रेरण द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ <math> \mathbb{P} </math>-नाम के उदाहरणों पर <math> u \in v </math> और <math> u = v </math>, और फिर सूत्रों की जटिलता पर साधारण प्रेरण द्वारा प्रदर्शित किया जाता हैं। इसका प्रभाव यह है कि के सभी गुण <math> M[G] </math> के गुण <math> M </math> हैं, और इसका सत्यापन <math> \mathsf{ZFC} </math> में <math> M[G] </math> सीधा हो जाता है। इसे सामान्यतः निम्नलिखित तीन प्रमुख गुणों के रूप में संक्षेपित किया जाता है:

*सच: <math> M[G] \models \varphi(\operatorname{val}(u_1,G),\ldots,\operatorname{val}(u_n,G)) </math> [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] इसके द्वारा मजबूर किया जाता है तथा <math> G </math>अर्ताथ कुछ शर्तों के लिए <math> p \in G </math>, अपने पास <math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) </math> मान निर्गत रखता हैं

* निश्चितता: कथन<math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) </math>में निश्चित मान <math> M </math> है।

इस प्रकार हम विवशता पूर्ण संबंध को परिभाषित करते हैं, <math> \Vdash_{M,\mathbb{P}} </math> में <math> M </math> सूत्रों की जटिलता पर प्रेरण द्वारा, जिसमें हम पहले परमाणु सूत्रों के संबंध को परिभाषित करते हैं जिसे <math> \in </math>-इंडक्शन और फिर इसे मनमाने फॉर्मूलों के लिए उनकी जटिलता पर इंडक्शन द्वारा परिभाषित करें।

हम पहले परमाणु सूत्रों पर बल संबंध को परिभाषित करते हैं, ऐसा दोनों प्रकार के सूत्रों के लिए करते हैं, <math>x\in y</math> और <math>x=y</math>, इसके साथ ही। इसका अर्थ है कि हम संबंध को परिभाषित करते हैं <math>R(p,a,b,t,\mathbb{P})</math> जहाँ<math>t</math> सूत्र के प्रकार को निम्नानुसार दर्शाता है:

इस प्रकार यहाँ <math>p</math> शर्त है और <math>a</math> और <math>b</math> हैं <math>\mathbb{P}</math>-नाम। होने देना <math>R(p,a,b,t,\mathbb{P})</math> द्वारा परिभाषित सूत्र को <math>\in</math>-के रूप में उपयोग किया जाता हैं

आर 1। <math>R(p,a,b,0,\mathbb{P})</math> यदि और केवल यदि <math>(\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(\exists(c,s)\in b)(r\leq s\,\land\,R(r,a,c,1,\mathbb{P}))</math> के रूप में होता हैं।

<math>R(p,a,b,1,\mathbb{P})</math> यदि और केवल यदि <math>R(r,a,b,2,\mathbb{P})\,\land\,R(r,b,a,2,\mathbb{P})</math>पी 3 <math>R(p,a,b,2,\mathbb{P})</math> यदि और केवल यदि <math>(\forall(c,s)\in a)(\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(r\leq s\,\Rightarrow\,R(r,c,b,0,\mathbb{P}))</math>.

अधिक औपचारिक रूप से, हम निम्नलिखित द्विआधारी संबंध का उपयोग करते हैं,  <math>\mathbb{P}</math>-नाम के फंक्शन के अनुसार <math>S(a,b)</math> नामों के लिए रखता है <math>a</math> और <math>b</math> यदि और केवल यदि <math>(a,p)\in b</math> कम से कम शर्त के लिए <math>p</math> हैं। यह संबंध अच्छी प्रकार से स्थापित है, जिसका अर्थ है कि किसी भी नाम के लिए <math>a</math> सभी नामों का वर्ग <math>b</math>, ऐसा है कि <math>S(a,b)</math> धारण करता है, समुच्चय है और कोई फलन नहीं है <math>f:\omega\longrightarrow \text{Names}</math> ऐसा है कि <math>(\forall n\in\omega)S(f(n+1),f(n))</math> प्राप्त होता हैं।

सामान्यतः अच्छी प्रकार से स्थापित संबंध पूर्व-आदेश नहीं है, क्योंकि यह सकर्मक नहीं हो सकता है। किन्तु, यदि हम इसे क्रम के रूप में मानते हैं, तो यह अनंत घटते क्रम के बिना संबंध है और जहां किसी भी तत्व के लिए उसके नीचे के तत्वों का वर्ग सिद्धांत है।

ट्रांज़िटिविटी के लिए किसी भी बाइनरी रिलेशन को बंद करना सरल है। नामों के लिए <math>a</math> और <math>b</math>, <math>a<b</math> धारण करता है यदि कम से कम परिमित अनुक्रम है

<math>c_0,\dots,c_n</math> (डोमेन के साथ मानचित्र के रूप में <math>\{0,\dots,n\}</math>) कुछ के लिए <math>n>0</math> ऐसा है कि <math>c_0=a</math>, <math>c_n=b</math> और किसी के लिए <math>i<n</math>, <math>S(c_{i-1},c_i)</math> रखती है। इस प्रकार का आदेश भी अच्छी प्रकार से स्थापित है।

इस प्रकार हम नामों के जोड़े पर निम्नलिखित सुपरिभाषित क्रम <math>T((a,b),(c,d))</math> को परिभाषित करते हैं:  यदि निम्न में से कोई धारण करता है: