ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन: Difference between revisions

Revision as of 09:46, 16 February 2023

क्रमसंख्या की संख्या का प्रतिनिधित्व

\omega ^{\omega }

सर्पिल का प्रत्येक मोड़ एक शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है

\omega

पारपरिमित आगमन के लिए एक आधार स्थिति (0 के लिए उपयोग किया जाता है) को प्रमाणित करने की आवश्यकता होती है, एक आनुक्रमिक स्थिति (उन क्रमसूचक के लिए उपयोग किया जाता है जिनमें एक पूर्ववर्ती होता है), और एक सीमा स्थिति (क्रमसूचक के लिए उपयोग किया जाता है जो एक पूर्ववर्ती नहीं होता है)।

पारपरिमित आगमन सुव्यवस्थित समुच्चयों के लिए गणितीय प्रवर्तन का एक विस्तार है, उदाहरण के लिए क्रमिक संख्याओं या गणन संख्या संख्याओ के समूह के लिए इसकी शुद्धता ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत की एक प्रमेय है।^[1]

स्थितियों द्वारा प्रेरण

मान लीजिए $P(\alpha )$ वर्गीय $\alpha$ के लिए परिभाषित गुण है। मान लीजिए कि जब भी $P(\beta )$ सभी $\beta <\alpha$ , तब $P(\alpha )$ सभी सत्य है।^[2] तब पारपरिमित आगमन हमें बताता है कि $P$ सभी क्रमसूचक के लिए सत्य है।

सामान्य रूप से प्रमाण तीन स्थितियों में विभाजित किया जाता है:

शून्य स्थिति: प्रमाणित करें कि $P(0)$ क्या सत्य है।
आनुक्रमिक स्थिति: प्रमाणित करें कि किसी भी आनुक्रमिक के लिए क्रमसंख्या $\alpha +1$ , $P(\alpha +1)$ से अनुसरण करता है $P(\alpha )$ (और, यदि आवश्यक हो, $P(\beta )$ सभी के लिए $\beta <\alpha$ ) है।
सीमा स्थिति: सिद्ध करें कि किसी भी सीमा के लिए क्रमिक $\lambda$ , $P(\lambda )$ से अनुसरण करता है $P(\beta )$ सभी के लिए $\beta <\lambda$ है।

विचार किए गए क्रमसंख्या के प्रकार को छोड़कर सभी तीन स्थिति समान हैं, जो कि क्रमिक के प्रकार को छोड़कर हैं। उन्हें औपचारिक रूप से अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन व्यवहार में प्रमाणित सामान्य रूप से इतने अलग होते हैं कि अलग -अलग प्रस्तुतियों की आवश्यकता होती है। शून्य को कभी -कभी एक सीमा क्रम माना जाता है और फिर कभी -कभी सीमा क्रम के रूप में एक ही स्थिति में प्रमाणों में संशोधित किया जा सकता है।

पारपरिमित प्रत्यावर्तन

पारपरिमित प्रत्यावर्तन पारपरिमित आगमन के समान है; हालाँकि, यह साबित करने के अतिरिक्त कि सभी क्रमिक संख्याओं के लिए कुछ मान्य है, हम प्रत्येक क्रमसूचक के लिए वस्तुओं के अनुक्रम का निर्माण करते हैं।

एक उदाहरण के रूप में, (संभवतः अनंत-आयामी) वेक्टर समष्टि के लिए एक आधार (वेक्टर समष्टि) शून्य समुच्चय के साथ प्रारंभ करके और प्रत्येक क्रमसूचक α> 0 वेक्टर का चयन किया जा सकता है जो वैक्टर की अवधि में नहीं है $\{v_{\beta }\mid \beta <\alpha \}$ । यह प्रक्रिया तब रुक जाती है जब कोई वेक्टर नहीं चयन किया जा सकता।

अधिक औपचारिक रूप से, हम पारपरिमित प्रत्यावर्तन प्रमेय को निम्नानुसार बता सकते हैं:

पारपरिमित प्रत्यावर्तन प्रमेय (संस्करण 1)। एक वर्ग फलन^[3] G: V → V (जहां V सभी समुच्चय का वर्ग (निर्धारित सिद्धांत) है), एक अद्वितीय पारपरिमित अनुक्रम F: Ord → V (जहां ORD सभी क्रमसूचक का वर्ग है) सम्मिलित है जैसे कि

F(\alpha )=G(F\upharpoonright \alpha )

सभी क्रमसूचक α के लिए, जहां

\upharpoonright

क्रमसंख्या <α के लिए प्रक्षेत्र F के प्रतिबंध को दर्शाता है ।

जैसा कि प्रेरण के स्थिति में, हम विभिन्न प्रकार के अध्यादेशों का अलग -अलग संशोधित कर सकते हैं: पारपरिमित पुनरावृत्ति का अन्य सूत्रीकरण निम्नलिखित है:

' पारपरिमित प्रत्यावर्तन प्रमेय (संस्करण 2)'। एक समुच्चय g₁, और वर्ग फलन g₂, g₃, को देखते हुए एक अद्वितीय फलन F: ord → V सम्मिलित हैं जैसे कि

F(0) = g₁,
F(α + 1) = G₂(F(α)), सभी α ∈ Ord के लिए
$F(\lambda )=G_{3}(F\upharpoonright \lambda )$ , सभी सीमा λ ≠ 0 के लिए।

ध्यान दें कि उपरोक्त गुणों को सार्थक बनाने के लिए हमें G₂, G₃ के प्रक्षेत्र पर्याप्त व्यापक होने की आवश्यकता है। इन गुणों को पूरा करने वाले अनुक्रम की विशिष्टता को पारपरिमित आगमन का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

अधिक सामान्य रूप से, कोई भी अच्छी तरह से स्थापित संबंध R पर पारपरिमित पुनरावृत्ति द्वारा वस्तुओं को परिभाषित कर सकता है। (R को एक समुच्चय होने की भी आवश्यकता नहीं है, यह एक उपयुक्त वर्ग हो सकता है हालांकि यह एक समुच्चय जैसा संबंध हो अर्थात किसी भी x के लिए सभी y का संग्रह ऐसा हो कि yRx एक समुच्चय हो।)

विकल्प के स्वयंसिद्ध से संबंध

प्रेरण और प्रत्यावर्तन का उपयोग करने वाले प्रमाणित या निर्माण प्रायः सुव्यवस्थित संबंध बनाने के लिए विकल्प के स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हैं जिसे पारपरिमित आगमन द्वारा संशोधित किया जा सकता है। हालाँकि, यदि प्रश्न में संबंध पहले से ही सुव्यवस्थित है, तो कोई भी प्रायः विकल्प के स्वयंसिद्ध को लागू किए बिना पारपरिमित आगमन का उपयोग कर सकता है।^[4] उदाहरण के लिए, बोरल समुच्चय के बारे में कई परिणाम समुच्चय के क्रमिक श्रेणी पर पारपरिमित आगमन द्वारा प्रमाणित होते हैं; ये श्रेणी पहले से ही सुव्यवस्थित हैं, इसलिए उन्हें अच्छी तरह से व्यवस्थित करने के लिए विकल्प के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता नहीं है।

विटाली समुच्चय का निम्नलिखित निर्माण एक तरीका दिखाता है कि विकल्प के स्वयंसिद्ध को पारपरिमित आगमन द्वारा एक प्रमाण में इस्तेमाल किया जा सकता है:

सबसे पहले, वास्तविक संख्याओं को अच्छी तरह से व्यवस्थित करें (यह वह जगह है जहां विकल्प का स्वयंसिद्ध अच्छी तरह से अच्छी तरह से व्यवस्थित प्रमेय के माध्यम से प्रवेश करता है), एक अनुक्रम

\langle r_{\alpha }|\alpha <\beta \rangle

देता है, जहां β सातत्य की प्रमुखता के साथ एक क्रमसूचक है। मान लीजिए v₀ बराबर r₀ है। फिर मान लीजिए v₁ बराबर r_α₁, जहां α₁ कम से कम ऐसा है कि r_α₁ − v₀ एक परिमेय संख्या नहीं है। प्रत्येक चरण पर जारी रखें r अनुक्रम से कम से कम वास्तविक का उपयोग करें जिसमें अब तक v अनुक्रम में निर्मित किसी भी तत्व के साथ तर्कसंगत अंतर नहीं है। तब तक जारी रखें जब तक r अनुक्रम में सभी वास्तविक समाप्त नहीं हो जाते। अंतिम v क्रम विटाली समुच्चय की गणना करेगा।

उपरोक्त तर्क वास्तविक को अच्छी तरह से व्यवस्थित करने के लिए, प्रारंभ में ही विकल्प के स्वयंसिद्ध सिद्धांत का एक आवश्यक तरीके से उपयोग करता है। उस चरण के बाद, चयन के स्वयंसिद्ध का फिर से उपयोग नहीं किया जाता है।

विकल्प के स्वयंसिद्ध के अन्य उपयोग अधिक सूक्ष्म होते हैं। उदाहरण के लिए, पारपरिमित प्रत्यावर्तन द्वारा निर्माण प्रायः A_α₊₁, के लिए एक अद्वितीय मान निर्दिष्ट नहीं करेगा, α तक अनुक्रम दिया जाएगा लेकिन केवल एक शर्त निर्दिष्ट करेगा कि A_α₊₁ को पूरा करना चाहिए और तर्क देना चाहिए कि कम से कम एक समुच्चय इस शर्त को पूरा करता है। यदि प्रत्येक चरण में इस तरह के समुच्चय के अद्वितीय उदाहरण को परिभाषित करना संभव नहीं है, तो प्रत्येक चरण में इस तरह के एक का चयन करने के लिए विकल्प के स्वयंसिद्ध (के कुछ रूप) को प्रयुक्त करना आवश्यक हो सकता है। गणना योग्य लंबाई के प्रेरण और पुनरावर्तन के लिए, निर्भर पसंद का कमजोर स्वयंसिद्ध पर्याप्त है। क्योंकि सिद्धांतकारों को समुच्चय करने के लिए जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के मॉडल हैं जो निर्भर विकल्प के स्वयंसिद्ध को पूरा करते हैं, लेकिन विकल्प का पूर्ण स्वयंसिद्ध नहीं है, यह ज्ञान कि एक विशेष प्रमाण के लिए केवल निर्भर विकल्प की आवश्यकता होती है, उपयोगी हो सकता है।

यह भी देखें

गणितीय प्रेरण
∈-प्रेरण
पारपरिमित संख्या
अच्छी तरह से स्थापित प्रेरण
ज़ोर्न का लेम्मा

↑ J. Schlöder, Ordinal Arithmetic. Accessed 2022-03-24.
↑ It is not necessary here to assume separately that $P(0)$ is true. As there is no $\beta$ less than 0, it is vacuously true that for all $\beta <0$ , $P(\beta )$ is true.
↑ A class function is a rule (specifically, a logical formula) assigning each element in the lefthand class to an element in the righthand class. It is not a function because its domain and codomain are not sets.
↑ In fact, the domain of the relation does not even need to be a set. It can be a proper class, provided that the relation R is set-like: for any x, the collection of all y such that y R x must be a set.

संदर्भ

Suppes, Patrick (1972), "Section 7.1", Axiomatic set theory, Dover Publications, ISBN 0-486-61630-4

बाहरी संबंध

Emerson, Jonathan; Lezama, Mark & Weisstein, Eric W. "Transfinite Induction". MathWorld.

[1] J. Schlöder, Ordinal Arithmetic. Accessed 2022-03-24.

[2] It is not necessary here to assume separately that $P(0)$ is true. As there is no $\beta$ less than 0, it is vacuously true that for all $\beta <0$ , $P(\beta )$ is true.

[3] A class function is a rule (specifically, a logical formula) assigning each element in the lefthand class to an element in the righthand class. It is not a function because its domain and codomain are not sets.

[4] In fact, the domain of the relation does not even need to be a set. It can be a proper class, provided that the relation R is set-like: for any x, the collection of all y such that y R x must be a set.

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 {{Short description|Mathematical concept}}
-[[File:omega-exp-omega-labeled.svg|thumb|300px|अध्यादेश की संख्या का प्रतिनिधित्व <math>\omega^{\omega}</math> सर्पिल का प्रत्येक मोड़ एक शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है <math>\omega</math> पारपरिमित आगमन के लिए एक आधार स्थिति (0 के लिए उपयोग किया जाता है) को प्रमाणित करने की आवश्यकता होती है, एक आनुक्रमिक स्थिति (उन  क्रमसूचक के लिए उपयोग किया जाता है जिनमें एक पूर्ववर्ती होता है), और एक सीमा स्थिति (क्रमसूचक के लिए उपयोग किया जाता है जो एक पूर्ववर्ती नहीं होता है)।]]पारपरिमित आगमन सुव्यवस्थित समुच्चयों के लिए गणितीय प्रवर्तन का एक विस्तार है, उदाहरण के लिए क्रमिक संख्याओं या  गणन संख्या नंबरों के समूह के लिए। इसकी शुद्धता ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत की एक प्रमेय है।<ref>J. Schlöder, [https://jjsch.github.io/output/oa.pdf Ordinal Arithmetic]. Accessed 2022-03-24.</ref>
+[[File:omega-exp-omega-labeled.svg|thumb|300px|क्रमसंख्या की संख्या का प्रतिनिधित्व <math>\omega^{\omega}</math> सर्पिल का प्रत्येक मोड़ एक शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है <math>\omega</math> पारपरिमित आगमन के लिए एक आधार स्थिति (0 के लिए उपयोग किया जाता है) को प्रमाणित करने की आवश्यकता होती है, एक आनुक्रमिक स्थिति (उन क्रमसूचक के लिए उपयोग किया जाता है जिनमें एक पूर्ववर्ती होता है), और एक सीमा स्थिति (क्रमसूचक के लिए उपयोग किया जाता है जो एक पूर्ववर्ती नहीं होता है)।]]'''''पारपरिमित आगमन''''' सुव्यवस्थित समुच्चयों के लिए '''गणितीय प्रवर्तन''' का एक विस्तार है, उदाहरण के लिए क्रमिक संख्याओं या गणन संख्या संख्याओ के समूह के लिए इसकी शुद्धता ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत की एक प्रमेय है।<ref>J. Schlöder, [https://jjsch.github.io/output/oa.pdf Ordinal Arithmetic]. Accessed 2022-03-24.</ref>
 == स्थितियों द्वारा प्रेरण ==
-मान लीजिए <math>P(\alpha)</math> वर्गीय <math>\alpha</math> के लिए परिभाषित गुण है। मान लीजिए कि जब भी <math>P(\beta)</math> सभी  <math>\beta < \alpha</math>, तब <math>P(\alpha)</math> सभी  सत्य है।<ref>It is not necessary here to assume separately that <math>P(0)</math> is true.  As there is no <math>\beta</math> less than 0, it is [[vacuously true]] that for all <math>\beta<0</math>, <math>P(\beta)</math> is true.</ref> तब पारपरिमित आगमन हमें बताता है कि <math>P</math> सभी  क्रमसूचक के लिए सत्य है।
+मान लीजिए <math>P(\alpha)</math> वर्गीय <math>\alpha</math> के लिए परिभाषित गुण है। मान लीजिए कि जब भी <math>P(\beta)</math> सभी <math>\beta < \alpha</math>, तब <math>P(\alpha)</math> सभी सत्य है।<ref>It is not necessary here to assume separately that <math>P(0)</math> is true.  As there is no <math>\beta</math> less than 0, it is [[vacuously true]] that for all <math>\beta<0</math>, <math>P(\beta)</math> is true.</ref> तब पारपरिमित आगमन हमें बताता है कि <math>P</math> सभी क्रमसूचक के लिए सत्य है।
 सामान्य रूप से प्रमाण तीन स्थितियों में विभाजित किया जाता है:
-* शून्य स्थिति: प्रमाणित करें कि <math>P(0)</math> क्या सत्य है।
+* '''शून्य स्थिति:''' प्रमाणित करें कि <math>P(0)</math> क्या सत्य है।
-* [[उत्तराधिकारी|आनुक्रमिक]] स्थिति: प्रमाणित करें कि किसी भी आनुक्रमिक के लिए अध्यादेश <math>\alpha+1</math>, <math>P(\alpha+1)</math> से अनुसरण करता है <math>P(\alpha)</math> (और, यदि आवश्यक हो, <math>P(\beta)</math> सभी के लिए <math>\beta < \alpha</math>) है।
+* '''[[उत्तराधिकारी|आनुक्रमिक]] स्थिति:''' प्रमाणित करें कि किसी भी आनुक्रमिक के लिए क्रमसंख्या <math>\alpha+1</math>, <math>P(\alpha+1)</math> से अनुसरण करता है <math>P(\alpha)</math> (और, यदि आवश्यक हो, <math>P(\beta)</math> सभी के लिए <math>\beta < \alpha</math>) है।
-* सीमा स्थिति: सिद्ध करें कि किसी भी सीमा के लिए क्रमिक <math>\lambda</math>, <math>P(\lambda)</math> से अनुसरण करता है <math>P(\beta)</math> सभी के लिए <math>\beta < \lambda</math> है।
+* '''सीमा स्थिति:''' सिद्ध करें कि किसी भी सीमा के लिए क्रमिक <math>\lambda</math>, <math>P(\lambda)</math> से अनुसरण करता है <math>P(\beta)</math> सभी के लिए <math>\beta < \lambda</math> है।
-विचार किए गए अध्यादेश के प्रकार को छोड़कर सभी तीन स्थिति समान हैं, जो कि क्रमिक के प्रकार को छोड़कर हैं। उन्हें औपचारिक रूप से अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन व्यवहार में प्रमाणित सामान्य रूप से इतने अलग होते हैं कि अलग -अलग प्रस्तुतियों की आवश्यकता होती है। शून्य को कभी -कभी एक सीमा क्रम माना जाता है और फिर कभी -कभी सीमा क्रम के रूप में एक ही स्थिति में प्रमाणों में संशोधित किया जा सकता है।
+विचार किए गए क्रमसंख्या के प्रकार को छोड़कर सभी तीन स्थिति समान हैं, जो कि क्रमिक के प्रकार को छोड़कर हैं। उन्हें औपचारिक रूप से अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन व्यवहार में प्रमाणित सामान्य रूप से इतने अलग होते हैं कि अलग -अलग प्रस्तुतियों की आवश्यकता होती है। शून्य को कभी -कभी एक सीमा क्रम माना जाता है और फिर कभी -कभी सीमा क्रम के रूप में एक ही स्थिति में प्रमाणों में संशोधित किया जा सकता है।
-== पारपरिमित आवर्तन ==
+== पारपरिमित प्रत्यावर्तन ==
-पारपरिमित आवर्तन पारपरिमित आगमन के समान है; हालाँकि, यह साबित करने के अतिरिक्त कि सभी क्रमिक संख्याओं के लिए कुछ मान्य है, हम प्रत्येक क्रमसूचक के लिए वस्तुओं के अनुक्रम का निर्माण करते हैं।
+पारपरिमित प्रत्यावर्तन पारपरिमित आगमन के समान है; हालाँकि, यह साबित करने के अतिरिक्त कि सभी क्रमिक संख्याओं के लिए कुछ मान्य है, हम प्रत्येक क्रमसूचक के लिए वस्तुओं के अनुक्रम का निर्माण करते हैं।
-एक उदाहरण के रूप में, (संभवतः अनंत-आयामी) [[सदिश स्थल|वेक्टर समष्टि]] के लिए एक आधार (वेक्टर  समष्टि) शून्य समुच्चय के साथ प्रारंभ करके और प्रत्येक क्रमसूचक '' α> 0 '' वेक्टर का चयन किया जा सकता है जो वैक्टर की अवधि में नहीं है <math>\{v_{\beta}\mid\beta<\alpha\}</math>। यह प्रक्रिया तब रुक जाती है जब कोई वेक्टर नहीं चयन किया जा सकता।
+एक उदाहरण के रूप में, (संभवतः अनंत-आयामी) [[सदिश स्थल|वेक्टर समष्टि]] के लिए एक आधार (वेक्टर समष्टि) शून्य समुच्चय के साथ प्रारंभ करके और प्रत्येक क्रमसूचक ''α> 0'' वेक्टर का चयन किया जा सकता है जो वैक्टर की अवधि में नहीं है <math>\{v_{\beta}\mid\beta<\alpha\}</math>। यह प्रक्रिया तब रुक जाती है जब कोई वेक्टर नहीं चयन किया जा सकता।
-अधिक औपचारिक रूप से, हम पारपरिमित आवर्तन प्रमेय को निम्नानुसार बता सकते हैं:
+अधिक औपचारिक रूप से, हम पारपरिमित प्रत्यावर्तन प्रमेय को निम्नानुसार बता सकते हैं:
-पारपरिमित आवर्तन प्रमेय (संस्करण 1)। एक वर्ग फलन<ref>A class function is a rule (specifically, a logical formula) assigning each element in the lefthand class to an element in the righthand class. It is not a [[function (mathematics)|function]] because its domain and codomain are not sets.</ref> G: V → V (जहां V सभी समुच्चय का [[वर्ग (निर्धारित सिद्धांत)]] है), एक अद्वितीय पारपरिमित अनुक्रम F: Ord → V (जहां ORD सभी  क्रमसूचक का वर्ग है) सम्मिलित है जैसे कि
+पारपरिमित प्रत्यावर्तन प्रमेय (संस्करण 1)। एक वर्ग फलन<ref>A class function is a rule (specifically, a logical formula) assigning each element in the lefthand class to an element in the righthand class. It is not a [[function (mathematics)|function]] because its domain and codomain are not sets.</ref> G: V → V (जहां V सभी समुच्चय का [[वर्ग (निर्धारित सिद्धांत)]] है), एक अद्वितीय पारपरिमित अनुक्रम F: Ord → V (जहां ORD सभी क्रमसूचक का वर्ग है) सम्मिलित है जैसे कि
-:<math>F(\alpha) = G(F \upharpoonright \alpha)</math> सभी  क्रमसूचक α के लिए, जहां <math>\upharpoonright</math> अध्यादेश <α के लिए प्रक्षेत्र F के प्रतिबंध को दर्शाता है ।
+:<math>F(\alpha) = G(F \upharpoonright \alpha)</math> सभी क्रमसूचक α के लिए, जहां <math>\upharpoonright</math> क्रमसंख्या <α के लिए प्रक्षेत्र F के प्रतिबंध को दर्शाता है ।
 जैसा कि प्रेरण के स्थिति में, हम विभिन्न प्रकार के अध्यादेशों का अलग -अलग संशोधित कर सकते हैं: पारपरिमित पुनरावृत्ति का अन्य सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
-' पारपरिमित आवर्तन प्रमेय (संस्करण 2)'। एक समुच्चय ''g''<sub>1</sub>, और वर्ग फलन g<sub>2</sub>, g<sub>3</sub>, को देखते हुए एक अद्वितीय फलन F: ord → V  सम्मिलित हैं जैसे कि
+' पारपरिमित प्रत्यावर्तन प्रमेय (संस्करण 2)'। एक समुच्चय ''g''<sub>1</sub>, और वर्ग फलन g<sub>2</sub>, g<sub>3</sub>, को देखते हुए एक अद्वितीय फलन F: ord → V सम्मिलित हैं जैसे कि
 * ''F''(0) = ''g''<sub>1</sub>,
 * ''F''(''α'' + 1) = ''G''<sub>2</sub>(''F''(''α'')), सभी ''α'' ∈ Ord के लिए
-* <math>F(\lambda) = G_3(F \upharpoonright \lambda)</math>, सभी सीमा  λ ≠ 0 के लिए।
+* <math>F(\lambda) = G_3(F \upharpoonright \lambda)</math>, सभी सीमा λ ≠ 0 के लिए।
 ध्यान दें कि उपरोक्त गुणों को सार्थक बनाने के लिए हमें ''G''<sub>2</sub>, ''G''<sub>3</sub> के प्रक्षेत्र पर्याप्त व्यापक होने की आवश्यकता है। इन गुणों को पूरा करने वाले अनुक्रम की विशिष्टता को पारपरिमित आगमन का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।
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 अधिक सामान्य रूप से, कोई भी [[अच्छी तरह से स्थापित संबंध]] R पर पारपरिमित पुनरावृत्ति द्वारा वस्तुओं को परिभाषित कर सकता है। (R को एक समुच्चय होने की भी आवश्यकता नहीं है, यह एक उपयुक्त वर्ग हो सकता है हालांकि यह एक समुच्चय जैसा संबंध हो अर्थात किसी भी x के लिए सभी y का संग्रह ऐसा हो कि ''yRx'' एक समुच्चय हो।)
-== पसंद के स्वयंसिद्ध से संबंध ==
+== विकल्प के स्वयंसिद्ध से संबंध ==
-इंडक्शन और रिकर्स का उपयोग करने वाले प्रमाणित या निर्माण प्रायः एक अच्छी तरह से आदेशित संबंध का उत्पादन करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हैं जिसे पारपरिमित आगमन द्वारा संशोधित किया जा सकता है। हालांकि, यदि प्रश्न में संबंध पहले से ही अच्छी तरह से आदेश दिया गया है, तो कोई भी प्रायः पसंद के स्वयंसिद्ध को लागू किए बिना पारपरिमित आगमन का उपयोग कर सकता है।<ref>In fact, the domain of the relation does not even need to be a set. It can be a proper class, provided that the relation ''R'' is set-like: for any ''x'', the collection of all ''y'' such that ''y''&nbsp;''R''&nbsp;''x'' must be a set.</ref> उदाहरण के लिए, [[बोरल सेट|बोरल समुच्चय]] के बारे में कई परिणाम समुच्चय के क्रमिक रैंक पर पारपरिमित आगमन द्वारा प्रमाणित होते हैं; ये रैंकों को पहले से ही अच्छी तरह से आदेश दिया गया है, इसलिए पसंद के स्वयंसिद्ध को उन्हें अच्छी तरह से आदेश देने की आवश्यकता नहीं है।
+प्रेरण और प्रत्यावर्तन का उपयोग करने वाले प्रमाणित या निर्माण प्रायः सुव्यवस्थित संबंध बनाने के लिए विकल्प के स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हैं जिसे पारपरिमित आगमन द्वारा संशोधित किया जा सकता है। हालाँकि, यदि प्रश्न में संबंध पहले से ही सुव्यवस्थित है, तो कोई भी प्रायः विकल्प के स्वयंसिद्ध को लागू किए बिना पारपरिमित आगमन का उपयोग कर सकता है।<ref>In fact, the domain of the relation does not even need to be a set. It can be a proper class, provided that the relation ''R'' is set-like: for any ''x'', the collection of all ''y'' such that ''y''&nbsp;''R''&nbsp;''x'' must be a set.</ref> उदाहरण के लिए, [[बोरल सेट|बोरल समुच्चय]] के बारे में कई परिणाम समुच्चय के क्रमिक श्रेणी पर पारपरिमित आगमन द्वारा प्रमाणित होते हैं; ये श्रेणी पहले से ही सुव्यवस्थित हैं, इसलिए उन्हें अच्छी तरह से व्यवस्थित करने के लिए विकल्प के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता नहीं है।
-[[विताली सेट|विताली समुच्चय]] का निम्नलिखित निर्माण एक तरीका दिखाता है कि पसंद के स्वयंसिद्ध को पारपरिमित आगमन द्वारा एक प्रमाण में इस्तेमाल किया जा सकता है:
+[[विताली सेट|विटाली समुच्चय]] का निम्नलिखित निर्माण एक तरीका दिखाता है कि विकल्प के स्वयंसिद्ध को पारपरिमित आगमन द्वारा एक प्रमाण में इस्तेमाल किया जा सकता है:
-: सबसे पहले, [[वास्तविक संख्या]]ओं को अच्छी तरह से आदेश दें (यह वह जगह है जहां पसंद का स्वयंसिद्ध अच्छी तरह से ऑर्डरिंग प्रमेय के माध्यम से प्रवेश करता है), एक अनुक्रम देता है <math> \langle r_{\alpha} | \alpha < \beta \rangle </math>, जहां & बीटा;सातत्य के कार्डिनलिटी के साथ एक अध्यादेश है। चलो v<sub>0</sub> बराबर आर<sub>0</sub>। फिर v को चलो<sub>1</sub> बराबर आर<sub>''α''<sub>1</sub></sub>, जहां α<sub>1</sub> कम से कम ऐसा है कि आर<sub>''α''<sub>1</sub></sub> & nbsp; & minus; & nbsp; v<sub>0</sub> एक [[तर्कसंगत संख्या]] नहीं है। जारी रखना;प्रत्येक चरण में आर अनुक्रम से कम से कम वास्तविक का उपयोग करें, जिसमें किसी भी तत्व के साथ तर्कसंगत अंतर नहीं होता है, इस प्रकार अब तक वी अनुक्रम में निर्मित होता है।तब तक जारी रखें जब तक कि आर अनुक्रम में सभी वास्तविक थक नहीं जाते। अंतिम वी अनुक्रम विटालि समुच्चय की गणना करेगा।
+: सबसे पहले, वास्तविक संख्याओं को अच्छी तरह से व्यवस्थित करें (यह वह जगह है जहां विकल्प का स्वयंसिद्ध अच्छी तरह से अच्छी तरह से व्यवस्थित प्रमेय के माध्यम से प्रवेश करता है), एक अनुक्रम <math> \langle r_{\alpha} | \alpha < \beta \rangle </math> देता है, जहां β सातत्य की प्रमुखता के साथ एक क्रमसूचक है। मान लीजिए v<sub>0</sub> बराबर ''r''<sub>0</sub> है। फिर मान लीजिए ''v''<sub>1</sub> बराबर ''r<sub>α</sub>''<sub>1</sub>, जहां ''α''<sub>1</sub> कम से कम ऐसा है कि ''r<sub>α</sub>''<sub>1</sub> − ''v''<sub>0</sub> एक परिमेय संख्या नहीं है। प्रत्येक चरण पर जारी रखें r अनुक्रम से कम से कम वास्तविक का उपयोग करें जिसमें अब तक v अनुक्रम में निर्मित किसी भी तत्व के साथ तर्कसंगत अंतर नहीं है। तब तक जारी रखें जब तक r अनुक्रम में सभी वास्तविक समाप्त नहीं हो जाते। अंतिम v क्रम विटाली समुच्चय की गणना करेगा।
-उपरोक्त तर्क रियल को अच्छी तरह से ऑर्डर करने के लिए, शुरुआत में एक आवश्यक तरीके से पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करता है।उस कदम के बाद, पसंद के स्वयंसिद्ध को फिर से उपयोग नहीं किया जाता है।
+उपरोक्त तर्क वास्तविक को अच्छी तरह से व्यवस्थित करने के लिए, प्रारंभ में ही विकल्प के स्वयंसिद्ध सिद्धांत का एक आवश्यक तरीके से उपयोग करता है। उस चरण के बाद, चयन के स्वयंसिद्ध का फिर से उपयोग नहीं किया जाता है।
-पसंद के स्वयंसिद्ध के अन्य उपयोग अधिक सूक्ष्म हैं। उदाहरण के लिए, पारपरिमित पुनरावृत्ति द्वारा एक निर्माण प्रायः एक के लिए एक अद्वितीय मूल्य निर्दिष्ट नहीं करेगा<sub>''α''+1</sub>, α तक अनुक्रम को देखते हुए, लेकिन केवल एक शर्त निर्दिष्ट करेगा कि ए<sub>''α''+1</sub> पूरा होना चाहिए, और तर्क देना चाहिए कि इस स्थिति को पूरा करने वाले कम से कम एक समुच्चय है। यदि प्रत्येक चरण में इस तरह के एक समुच्चय के एक अनूठे उदाहरण को परिभाषित करना संभव नहीं है, तो प्रत्येक चरण में एक ऐसे व्यक्ति का चयन करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध (के कुछ रूप) को आमंत्रित करना आवश्यक हो सकता है। गणना योग्य समुच्चय लंबाई के प्रेरण और पुनरावृत्ति के लिए, आश्रित विकल्प का कमजोर स्वयंसिद्ध पर्याप्त है। क्योंकि सिद्धांतकारों को समुच्चय करने के लिए ज़रमेलो -फ्रेनकेल समुच्चय सिद्धांत के मॉडल हैं जो निर्भर पसंद के स्वयंसिद्ध को पूरा करते हैं, लेकिन पसंद का पूर्ण स्वयंसिद्ध नहीं है, यह ज्ञान कि एक विशेष प्रमाण को केवल निर्भर विकल्प की आवश्यकता होती है, उपयोगी हो सकता है।
+विकल्प के स्वयंसिद्ध के अन्य उपयोग अधिक सूक्ष्म होते हैं। उदाहरण के लिए, पारपरिमित प्रत्यावर्तन द्वारा निर्माण प्रायः ''A<sub>α</sub>''<sub>+1</sub>, के लिए एक अद्वितीय मान निर्दिष्ट नहीं करेगा, α तक अनुक्रम दिया जाएगा लेकिन केवल एक शर्त निर्दिष्ट करेगा कि ''A<sub>α</sub>''<sub>+1</sub> को पूरा करना चाहिए और तर्क देना चाहिए कि कम से कम एक समुच्चय इस शर्त को पूरा करता है। यदि प्रत्येक चरण में इस तरह के समुच्चय के अद्वितीय उदाहरण को परिभाषित करना संभव नहीं है, तो प्रत्येक चरण में इस तरह के एक का चयन करने के लिए विकल्प के स्वयंसिद्ध (के कुछ रूप) को प्रयुक्त करना आवश्यक हो सकता है। गणना योग्य लंबाई के प्रेरण और पुनरावर्तन के लिए, निर्भर पसंद का कमजोर स्वयंसिद्ध पर्याप्त है। क्योंकि सिद्धांतकारों को समुच्चय करने के लिए जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के मॉडल हैं जो निर्भर विकल्प के स्वयंसिद्ध को पूरा करते हैं, लेकिन विकल्प का पूर्ण स्वयंसिद्ध नहीं है, यह ज्ञान कि एक विशेष प्रमाण के लिए केवल निर्भर विकल्प की आवश्यकता होती है, उपयोगी हो सकता है।
 == यह भी देखें ==
 * गणितीय प्रेरण
-* एप्सिलॉन-इंडक्शन |-इंडक्शन
+* ∈-प्रेरण
 * [[ट्रांसफ़िनाइट संख्या|पारपरिमित संख्या]]
-* अच्छी तरह से स्थापित संबंध#प्रेरण और पुनरावृत्ति | अच्छी तरह से स्थापित प्रेरण
+* अच्छी तरह से स्थापित प्रेरण
 * ज़ोर्न का लेम्मा

v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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