तरंग: Difference between revisions
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[[File:Waveforms.svg|thumb|right|280 पीएक्स | साइन, स्क्वायर, त्रिभुज और आरा वेवफॉर्म।]] | [[File:Waveforms.svg|thumb|right|280 पीएक्स | साइन, स्क्वायर, त्रिभुज और आरा वेवफॉर्म।]] | ||
D'Alembert के सूत्र में F के रूपों या आंकड़ों में तर्क x - vt शामिल है। इस तर्क के निरंतर मान F के निरंतर मानों के अनुरूप हैं, और ये स्थिर मान तब होते हैं जब x उसी दर से बढ़ता है जो vt बढ़ता है। अर्थात्, तरंग के आकार का फलन F धनात्मक x-दिशा में v वेग से यात्रा करेगा (और G ऋणात्मक x-दिशा में समान गति से यात्रा करेगा)।<ref name=Lyons>{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=WdPGzHG3DN0C&pg=PA128 |pages = 128 ''ff'' |title = All you wanted to know about mathematics but were afraid to ask |author = Louis Lyons |isbn = 978-0-521-43601-4 |publisher = Cambridge University Press |year = 1998 }}</ref> n आवर्त फलन F की अवधि के साथ, अर्थात्, F(x + - vt) = F(x - vt) के मामले में, अंतरिक्ष में F की आवृत्ति का अर्थ है कि कोई व्यक्ति किसी निश्चित समय पर तरंग का एक स्नैपशॉट पाता है। टी समय अंतरिक्ष में अवधि (लहर की तरंग दैर्ध्य) के साथ बदलता है। इसी तरह, f की यह आवधिकता समय में आवधिकता को भी दर्शाती है: f(x - v(t + t)) = f(x - vt) दिया गया vt =, इसलिए एक निश्चित स्थान पर तरंग का अवलोकन x अवधि T = साथ / v आवधिक तरंग को लहरदार पाते हैं।<ref name="McPherson0">{{cite book |title = Introduction to Macromolecular Crystallography |author = Alexander McPherson |chapter-url = https://books.google.com/books?id=o7sXm2GSr9IC&pg=PA77 |page = 77 |chapter = Waves and their properties |isbn = 978-0-470-18590-2 |year = 2009 |edition = 2 |publisher = Wiley }}</ref> | D'Alembert के सूत्र में F के रूपों या आंकड़ों में तर्क x - vt शामिल है। इस तर्क के निरंतर मान F के निरंतर मानों के अनुरूप हैं, और ये स्थिर मान तब होते हैं जब x उसी दर से बढ़ता है जो vt बढ़ता है। अर्थात्, तरंग के आकार का फलन F धनात्मक x-दिशा में v वेग से यात्रा करेगा (और G ऋणात्मक x-दिशा में समान गति से यात्रा करेगा)।<ref name=Lyons>{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=WdPGzHG3DN0C&pg=PA128 |pages = 128 ''ff'' |title = All you wanted to know about mathematics but were afraid to ask |author = Louis Lyons |isbn = 978-0-521-43601-4 |publisher = Cambridge University Press |year = 1998 }}</ref> n आवर्त फलन F की अवधि के साथ, अर्थात्, F(x + - vt) = F(x - vt) के मामले में, अंतरिक्ष में F की आवृत्ति का अर्थ है कि कोई व्यक्ति किसी निश्चित समय पर तरंग का एक स्नैपशॉट पाता है। टी समय अंतरिक्ष में अवधि (लहर की तरंग दैर्ध्य) के साथ बदलता है। इसी तरह, f की यह आवधिकता समय में आवधिकता को भी दर्शाती है: f(x - v(t + t)) = f(x - vt) दिया गया vt =, इसलिए एक निश्चित स्थान पर तरंग का अवलोकन x अवधि T = साथ / v आवधिक तरंग को लहरदार पाते हैं।<ref name="McPherson0">{{cite book |title = Introduction to Macromolecular Crystallography |author = Alexander McPherson |chapter-url = https://books.google.com/books?id=o7sXm2GSr9IC&pg=PA77 |page = 77 |chapter = Waves and their properties |isbn = 978-0-470-18590-2 |year = 2009 |edition = 2 |publisher = Wiley }}</ref> | ||
=== '''आयाम और मॉड्यूलेशन''' === | === '''आयाम और मॉड्यूलेशन''' === | ||
[[File:Amplitudemodulation.gif|thumb|आयाम मॉड्यूलेशन को F (x, t) = 1.00 × sin (2π/0.10 × (x × 1.00 × t)) और G (x, t) = 1.00 × sin (2π/0.11 × (x) 1.00 × (x) 1.00 × के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है।टी)) केवल परिणाम वेवफॉर्म की स्पष्टता में सुधार करने के लिए दिखाई देता है। वामपंथी |]] | [[File:Amplitudemodulation.gif|thumb|आयाम मॉड्यूलेशन को F (x, t) = 1.00 × sin (2π/0.10 × (x × 1.00 × t)) और G (x, t) = 1.00 × sin (2π/0.11 × (x) 1.00 × (x) 1.00 × के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है।टी)) केवल परिणाम वेवफॉर्म की स्पष्टता में सुधार करने के लिए दिखाई देता है। वामपंथी |]] | ||
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Image:Drum vibration mode21.gif|A [[Vibrations of a circular drum|standing wave on a disk]] with two nodal lines crossing at the center; this is an overtone. | Image:Drum vibration mode21.gif|A [[Vibrations of a circular drum|standing wave on a disk]] with two nodal lines crossing at the center; this is an overtone. | ||
</gallery> | </gallery> | ||
== भौतिक गुण == | == भौतिक गुण == | ||
| Line 172: | Line 169: | ||
{{Main|Interference (wave propagation)}}जब एक रेखीय माध्यम में तरंगें (सामान्य स्थिति) अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में एक दूसरे को पार करती हैं, तो वे वास्तव में एक-दूसरे के साथ बातचीत नहीं करती हैं, लेकिन इस तरह जारी रहती हैं जैसे कि कोई मौजूद नहीं थी। हालांकि, उस क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर, उन तरंगों का वर्णन करने वाली क्षेत्र मात्राएं अध्यारोपण सिद्धांत के अनुसार जुड़ती हैं। यदि तरंगें एक निश्चित चरण संबंध में समान आवृत्ति की होती हैं, तो आम तौर पर ऐसी स्थितियाँ होंगी जिन पर दो तरंगें चरण में होती हैं और उनके आयाम जुड़ते हैं, और अन्य स्थितियाँ जहाँ वे चरण से बाहर होती हैं और उनके आयाम (आंशिक रूप से या पूरी तरह से) रद्द करना। इसे व्यतिकरण प्रतिरूप कहते हैं। | {{Main|Interference (wave propagation)}}जब एक रेखीय माध्यम में तरंगें (सामान्य स्थिति) अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में एक दूसरे को पार करती हैं, तो वे वास्तव में एक-दूसरे के साथ बातचीत नहीं करती हैं, लेकिन इस तरह जारी रहती हैं जैसे कि कोई मौजूद नहीं थी। हालांकि, उस क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर, उन तरंगों का वर्णन करने वाली क्षेत्र मात्राएं अध्यारोपण सिद्धांत के अनुसार जुड़ती हैं। यदि तरंगें एक निश्चित चरण संबंध में समान आवृत्ति की होती हैं, तो आम तौर पर ऐसी स्थितियाँ होंगी जिन पर दो तरंगें चरण में होती हैं और उनके आयाम जुड़ते हैं, और अन्य स्थितियाँ जहाँ वे चरण से बाहर होती हैं और उनके आयाम (आंशिक रूप से या पूरी तरह से) रद्द करना। इसे व्यतिकरण प्रतिरूप कहते हैं। | ||
=== | === ध्रुवीकरण === | ||
{{Main|Polarization (waves)}} | {{Main|Polarization (waves)}} | ||
[[File:Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Circular.Polarizer Creating.Left.Handed.Helix.View.svg|thumb|बाएं]] | [[File:Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Circular.Polarizer Creating.Left.Handed.Helix.View.svg|thumb|बाएं]] | ||
ध्रुवीकरण की घटना तब उत्पन्न होती है जब | ध्रुवीकरण की घटना तब उत्पन्न होती है जब तरंग गति एक साथ दो लंबवत दिशाओं में हो सकती है। अनुप्रस्थ तरंगों को ध्रुवीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए। जब ध्रुवीकरण को बिना योग्यता के एक विवरणक के रूप में प्रयोग किया जाता है, तो यह आमतौर पर रैखिक ध्रुवीकरण के विशेष, सरल मामले को संदर्भित करता है। एक अनुप्रस्थ तरंग को रैखिक रूप से ध्रुवीकृत किया जाता है यदि यह केवल एक दिशा या तल में दोलन करती है। रैखिक ध्रुवीकरण के मामले में, उस विमान के सापेक्ष अभिविन्यास को जोड़ने के लिए अक्सर उपयोगी होता है, यात्रा की दिशा के लंबवत, जिसमें दोलन होता है, जैसे "क्षैतिज", उदाहरण के लिए, यदि ध्रुवीकरण का विमान समानांतर है मैदान। उदाहरण के लिए, मुक्त स्थान में प्रसारित विद्युत चुम्बकीय तरंगें अनुप्रस्थ होती हैं; ध्रुवीकरण फिल्टर के उपयोग से उन्हें ध्रुवीकरण किया जा सकता है। | ||
अनुदैर्ध्य तरंगें, जैसे ध्वनि तरंगें, ध्रुवीकरण | अनुदैर्ध्य तरंगें, जैसे ध्वनि तरंगें, ध्रुवीकरण नहीं दिखाती हैं। इन तरंगों के लिए दोलन की केवल एक ही दिशा होती है, अर्थात् यात्रा की दिशा के साथ। | ||
=== प्रसार === | |||
=== | |||
[[File:Light dispersion conceptual waves.gif|thumb|right|270 px | प्रकाश के योजनाबद्ध एक प्रिज्म द्वारा बिखरे हुए।एनीमेशन देखने के लिए क्लिक करें।]] | [[File:Light dispersion conceptual waves.gif|thumb|right|270 px | प्रकाश के योजनाबद्ध एक प्रिज्म द्वारा बिखरे हुए।एनीमेशन देखने के लिए क्लिक करें।]] | ||
{{Main|Dispersion relation|Dispersion (optics)|Dispersion (water waves)}} | {{Main|Dispersion relation|Dispersion (optics)|Dispersion (water waves)}} | ||
तरंग का प्रकीर्णन तब होता है जब या तो प्रावस्था वेग या समूह वेग तरंग आवृत्ति पर निर्भर करता है। सफेद प्रकाश को प्रिज्म से गुजरने देने से फैलाव सबसे आसानी से देखा जा सकता है, जिसका परिणाम इंद्रधनुष के रंगों के स्पेक्ट्रम का उत्पादन करना है। आइजैक न्यूटन ने प्रकाश और प्रिज्म के साथ प्रयोग किए, ऑप्टिक्स (1704) में अपने निष्कर्ष प्रस्तुत किए कि सफेद प्रकाश में कई रंग होते हैं और इन रंगों को आगे और विघटित नहीं किया जा सकता है।<ref name=Newton> | |||
फैलाव | |||
{{cite book |last = Newton |first = Isaac |year = 1704 |author-link = Isaac Newton |title = Opticks: Or, A treatise of the Reflections, Refractions, Inflexions and Colours of Light. Also Two treatises of the Species and Magnitude of Curvilinear Figures |page = 118 |location = London |chapter = Prop VII Theor V |quote = All the Colours in the Universe which are made by Light... are either the Colours of homogeneal Lights, or compounded of these... |volume = 1 |chapter-url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3362k.image.f128.pagination }} | {{cite book |last = Newton |first = Isaac |year = 1704 |author-link = Isaac Newton |title = Opticks: Or, A treatise of the Reflections, Refractions, Inflexions and Colours of Light. Also Two treatises of the Species and Magnitude of Curvilinear Figures |page = 118 |location = London |chapter = Prop VII Theor V |quote = All the Colours in the Universe which are made by Light... are either the Colours of homogeneal Lights, or compounded of these... |volume = 1 |chapter-url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3362k.image.f128.pagination }} | ||
</ref> | </ref> | ||
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=== | === तार पर तरंगें === | ||
{{Main|Vibrating string}} | {{Main|Vibrating string}} | ||
एक | एक कंपन स्ट्रिंग (v) के साथ यात्रा करने वाली अनुप्रस्थ तरंग की गति रैखिक द्रव्यमान घनत्व (μ) पर स्ट्रिंग (T) के तनाव के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होती है: | ||
:<math> v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}, </math> | :<math> v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}, </math> | ||
जहां रैखिक घनत्व μ स्ट्रिंग की प्रति | जहां रैखिक घनत्व μ स्ट्रिंग की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है। | ||
=== ध्वनिक तरंगें === | === ध्वनिक तरंगें === | ||
{{Main|Acoustic wave}} | {{Main|Acoustic wave}} | ||
ध्वनिक या ध्वनि तरंगें दी गई गति से यात्रा करती हैं | ध्वनिक या ध्वनि तरंगें द्वारा दी गई गति से यात्रा करती हैं | ||
:<math> v = \sqrt{\frac{B}{\rho_0}}, </math> | :<math> v = \sqrt{\frac{B}{\rho_0}}, </math> | ||
या परिवेशी द्रव घनत्व (ध्वनि की गति देखें) | या स्थिरोष्म बल्क मापांक का वर्गमूल परिवेशी द्रव घनत्व (ध्वनि की गति देखें) से विभाजित है। | ||
=== | === जल तरंगें === | ||
[[File:Shallow water wave.gif|thumb|right|400px]] | [[File:Shallow water wave.gif|thumb|right|400px]] | ||
{{Main|Water waves}} | {{Main|Water waves}} | ||
* एक तालाब की सतह पर | * एक तालाब की सतह पर लहरें वास्तव में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगों का संयोजन होती हैं; इसलिए, सतह पर स्थित बिंदु कक्षीय मार्ग का अनुसरण करते हैं। | ||
* ध्वनि | * ध्वनि - एक यांत्रिक तरंग जो गैसों, तरल पदार्थों, ठोस पदार्थों और प्लाज्मा के माध्यम से फैलती है। | ||
* जड़त्वीय तरंगें, जो | * जड़त्वीय तरंगें, जो गतिमान तरल पदार्थों में होती हैं और कोरिओलिस प्रभाव से बहाल हो जाती हैं। | ||
* | * महासागरीय सतही तरंगें वे विक्षोभ हैं जो जल के माध्यम से फैलती हैं। | ||
=== भूकंपीय तरंगें === | === भूकंपीय तरंगें === | ||
{{Main|Seismic waves}} | {{Main|Seismic waves}} | ||
भूकंपीय तरंगें ऊर्जा की तरंगें हैं जो पृथ्वी की | भूकंपीय तरंगें ऊर्जा की तरंगें हैं जो पृथ्वी की पपड़ी के माध्यम से यात्रा करती हैं और भूकंप, ज्वालामुखी विस्फोट, मैग्मा आंदोलन, बड़े भूस्खलन और बड़े मानव निर्मित विस्फोटों का परिणाम हैं जो कम आवृत्ति ध्वनिक ऊर्जा का उत्सर्जन करते हैं। | ||
=== डॉपलर प्रभाव === | === डॉपलर प्रभाव === | ||
डॉप्लर प्रभाव (या डॉप्लर शिफ्ट) एक प्रेक्षक के संबंध में तरंग की आवृत्ति में परिवर्तन है जो तरंग स्रोत के सापेक्ष गति कर रहा है।<ref name="Giordano">{{cite book | |||
| last1 = Giordano | | last1 = Giordano | ||
| first1 = Nicholas | | first1 = Nicholas | ||
| Line 232: | Line 227: | ||
| url = https://books.google.com/books?id=BwistUlpZ7cC&pg=PA424 | | url = https://books.google.com/books?id=BwistUlpZ7cC&pg=PA424 | ||
| isbn = 978-0534424718 | | isbn = 978-0534424718 | ||
}}</ref> इसका नाम ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी क्रिश्चियन डॉपलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने | }}</ref>इसका नाम ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी क्रिश्चियन डॉपलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस घटना का वर्णन 1842 में किया था। | ||
=== | === आघात तरंग === | ||
[[File:Transonico-en.svg|thumb|right|300 पीएक्स | एक विमान द्वारा एक सदमे की लहर का गठन।]] | [[File:Transonico-en.svg|thumb|right|300 पीएक्स | एक विमान द्वारा एक सदमे की लहर का गठन।]] | ||
{{Main|Shock wave}} | {{Main|Shock wave}} | ||
आघात तरंग एक प्रकार का प्रसार गड़बड़ी है। जब कोई तरंग किसी द्रव में ध्वनि की स्थानीय गति से तेज गति से यात्रा करती है, तो यह आघात तरंग होती है। एक साधारण लहर की तरह, आघात तरंग ऊर्जा वहन करती है और एक माध्यम से फैल सकती है; हालांकि, यह माध्यम के दबाव, तापमान और घनत्व में अचानक, लगभग असंतुलित परिवर्तनों की विशेषता है।<ref>{{Citation | |||
| last = Anderson | first = John D. Jr. | | last = Anderson | first = John D. Jr. | ||
| title = Fundamentals of Aerodynamics | orig-year = 1984 | edition = 3rd | | title = Fundamentals of Aerodynamics | orig-year = 1984 | edition = 3rd | ||
| Line 248: | Line 243: | ||
=== अन्य === | === अन्य === | ||
* यातायात की लहरें, | * यातायात की लहरें, यानी मोटर वाहनों के विभिन्न घनत्वों का प्रसार, और आगे, जिसे गतिज तरंगों के रूप में प्रतिरूपित किया जा सकता है।<ref name=Lighthill>{{cite journal |author1 = M.J. Lighthill | author1-link=James Lighthill |author2 = G.B. Whitham | author2-link=Gerald B. Whitham |year = 1955 |title = On kinematic waves. II. A theory of traffic flow on long crowded roads |journal = Proceedings of the Royal Society of London. Series A |volume = 229 | issue=1178 |pages = 281–345 |bibcode = 1955RSPSA.229..281L |doi = 10.1098/rspa.1955.0088 | citeseerx=10.1.1.205.4573 | s2cid=18301080 }} And: {{cite journal |doi = 10.1287/opre.4.1.42 |author = P.I. Richards |year = 1956 |title = Shockwaves on the highway |journal = Operations Research |volume = 4 |issue = 1 |pages = 42–51 }}</ref> | ||
* मेटाक्रोनल | * मेटाक्रोनल तरंग समन्वित अनुक्रमिक क्रियाओं द्वारा उत्पादित एक यात्रा तरंग की उपस्थिति को संदर्भित करती है। | ||
== विद्युत चुम्बकीय तरंगें == | == विद्युत चुम्बकीय तरंगें == | ||
| Line 256: | Line 251: | ||
{{Main|Electromagnetic wave}} | {{Main|Electromagnetic wave}} | ||
{{Further|Electromagnetic spectrum}} | {{Further|Electromagnetic spectrum}} | ||
विद्युत चुम्बकीय तरंग में दो तरंगें होती हैं जो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के दोलन होते हैं। एक विद्युत चुम्बकीय तरंग एक दिशा में यात्रा करती है जो दोनों क्षेत्रों की दोलन दिशा के समकोण पर है। 19वीं शताब्दी में, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने दिखाया कि, निर्वात में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र तरंग समीकरण को प्रकाश की गति के बराबर गति के साथ संतुष्ट करते हैं। इससे यह विचार उभरा कि प्रकाश एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है। विद्युत चुम्बकीय तरंगों में अलग-अलग आवृत्तियाँ (और इस प्रकार तरंग दैर्ध्य) हो सकती हैं, जिससे विभिन्न प्रकार के विकिरण जैसे रेडियो तरंगें, माइक्रोवेव, अवरक्त, दृश्य प्रकाश, पराबैंगनी, एक्स-रे और गामा किरणें उत्पन्न होती हैं। | |||
== क्वांटम | == क्वांटम यांत्रिक तरंग == | ||
{{Main|Schrödinger equation}} | {{Main|Schrödinger equation}} | ||
{{See also|Wave function}} | {{See also|Wave function}} | ||
| Line 264: | Line 259: | ||
=== श्रोडिंगर समीकरण === | === श्रोडिंगर समीकरण === | ||
श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम यांत्रिकी में कणों के तरंग | श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम यांत्रिकी में कणों के तरंग जैसे व्यवहार का वर्णन करता है। इस समीकरण के हल तरंग फलन हैं जिनका उपयोग किसी कण के प्रायिकता घनत्व का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। | ||
=== DIRAC समीकरण === | === DIRAC समीकरण === | ||
DIRAC समीकरण | DIRAC समीकरण एक आपेक्षिक तरंग समीकरण है जो विद्युतचुंबकीय अंतःक्रियाओं का विवरण देता है। DIRAC तरंगों ने पूरी तरह से कठोर तरीके से हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के बारीक विवरण के लिए जिम्मेदार हैं। तरंग समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, प्रतिकण के अस्तित्व को भी निहित किया, जो पहले से अनसुना और अप्रमाणित था और जिसकी प्रयोगात्मक पुष्टि की गई थी। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, स्पिन-आधा कणों के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए DIRAC समीकरण की पुनर्व्याख्या की जाती है। | ||
[[File:Wave packet (dispersion).gif|thumb|एक प्रसार तरंग पैकेट;सामान्य तौर पर, वेव पैकेट का लिफाफा घटक तरंगों की तुलना में एक अलग गति से चलता है।<ref name=Fromhold>{{cite book |title = Quantum Mechanics for Applied Physics and Engineering |author = A.T. Fromhold |chapter = Wave packet solutions |pages = 59 ff |quote = (p. 61) ...the individual waves move more slowly than the packet and therefore pass back through the packet as it advances |chapter-url = https://books.google.com/books?id=3SOwc6npkIwC&pg=PA59 |isbn = 978-0-486-66741-6 |publisher = Courier Dover Publications |year = 1991 |edition = Reprint of Academic Press 1981 }}</ref>]] | [[File:Wave packet (dispersion).gif|thumb|एक प्रसार तरंग पैकेट;सामान्य तौर पर, वेव पैकेट का लिफाफा घटक तरंगों की तुलना में एक अलग गति से चलता है।<ref name=Fromhold>{{cite book |title = Quantum Mechanics for Applied Physics and Engineering |author = A.T. Fromhold |chapter = Wave packet solutions |pages = 59 ff |quote = (p. 61) ...the individual waves move more slowly than the packet and therefore pass back through the packet as it advances |chapter-url = https://books.google.com/books?id=3SOwc6npkIwC&pg=PA59 |isbn = 978-0-486-66741-6 |publisher = Courier Dover Publications |year = 1991 |edition = Reprint of Academic Press 1981 }}</ref>]] | ||
| Line 274: | Line 269: | ||
=== डी ब्रोगली तरंगें === | === डी ब्रोगली तरंगें === | ||
{{Main|Wave packet|Matter wave}} | {{Main|Wave packet|Matter wave}} | ||
लुईस डी ब्रोगली ने | लुईस डी ब्रोगली ने कहा कि संवेग वाले सभी कणों की तरंगदैर्घ्य होती है | ||
:<math>\lambda = \frac{h}{p},</math> | :<math>\lambda = \frac{h}{p},</math> | ||
जहाँ h प्लांक नियतांक है और p कण के संवेग का परिमाण है। यह परिकल्पना क्वांटम यांत्रिकी पर आधारित थी। आजकल, इस तरंगदैर्घ्य को डी ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सीआरटी डिस्प्ले में इलेक्ट्रॉनों में लगभग 10<sup>−13</sup> m डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य होती है। | |||
k-दिशा में यात्रा कर रहे ऐसे कण का प्रतिनिधित्व करने वाली तरंग तरंग फ़ंक्शन द्वारा निम्नानुसार व्यक्त की जाती है: | |||
:<math>\psi (\mathbf{r}, \, t=0) = A e^{i\mathbf{k \cdot r}} , </math> | :<math>\psi (\mathbf{r}, \, t=0) = A e^{i\mathbf{k \cdot r}} , </math> | ||
| Line 288: | Line 283: | ||
:<math> \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} . </math> | :<math> \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} . </math> | ||
हालांकि, निश्चित तरंग दैर्ध्य के साथ | हालांकि, इस तरह की एक निश्चित तरंग दैर्ध्य के साथ एक लहर अंतरिक्ष में स्थानीयकृत नहीं होती है, और इसलिए अंतरिक्ष में स्थानीयकृत कण का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकती है। एक कण को स्थानीयकृत करने के लिए, डी ब्रोगली ने एक तरंग पैकेट में एक केंद्रीय मूल्य के आसपास विभिन्न तरंग दैर्ध्य के एक सुपरपोजिशन का प्रस्ताव रखा,<ref name=Marton> | ||
{{cite book |title = Advances in Electronics and Electron Physics |page = 271 |chapter-url = https://books.google.com/books?id=g5q6tZRwUu4C&pg=PA271 |isbn = 978-0-12-014653-6 |year = 1980 |publisher = Academic Press |volume = 53 |editor1=L. Marton |editor2=Claire Marton |author = Ming Chiang Li |chapter = Electron Interference }} | {{cite book |title = Advances in Electronics and Electron Physics |page = 271 |chapter-url = https://books.google.com/books?id=g5q6tZRwUu4C&pg=PA271 |isbn = 978-0-12-014653-6 |year = 1980 |publisher = Academic Press |volume = 53 |editor1=L. Marton |editor2=Claire Marton |author = Ming Chiang Li |chapter = Electron Interference }} | ||
</ref> | </ref> एक कण के तरंग कार्य का वर्णन करने के लिए क्वांटम यांत्रिकी में अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला एक तरंग। एक तरंग पैकेट में, कण की तरंग दैर्ध्य सटीक नहीं होती है, और स्थानीय तरंगदैर्घ्य मुख्य तरंग दैर्ध्य मान के दोनों ओर विचलित हो जाता है। | ||
एक | एक स्थानीयकृत कण के तरंग कार्य का प्रतिनिधित्व करने में, तरंग पैकेट को अक्सर गाऊसी आकार के लिए लिया जाता है और इसे गाऊसी तरंग पैकेट कहा जाता है।<ref name=wavepacket> | ||
See for example {{cite book |url = https://books.google.com/books?id=7qCMUfwoQcAC&pg=PA60 |title = Quantum Mechanics |author1=Walter Greiner |author2=D. Allan Bromley |page = 60 |isbn = 978-3-540-67458-0 |edition = 2 |year = 2007 |publisher = Springer }} and {{cite book |title = Electronic basis of the strength of materials |author = John Joseph Gilman |url = https://books.google.com/books?id=YWd7zHU0U7UC&pg=PA57 |page = 57 |year = 2003 |isbn = 978-0-521-62005-5 |publisher = Cambridge University Press }},{{cite book |title = Principles of quantum mechanics |author = Donald D. Fitts |url = https://books.google.com/books?id=8t4DiXKIvRgC&pg=PA17 |page = 17 |isbn = 978-0-521-65841-6 |publisher = Cambridge University Press |year = 1999 }}. | See for example {{cite book |url = https://books.google.com/books?id=7qCMUfwoQcAC&pg=PA60 |title = Quantum Mechanics |author1=Walter Greiner |author2=D. Allan Bromley |page = 60 |isbn = 978-3-540-67458-0 |edition = 2 |year = 2007 |publisher = Springer }} and {{cite book |title = Electronic basis of the strength of materials |author = John Joseph Gilman |url = https://books.google.com/books?id=YWd7zHU0U7UC&pg=PA57 |page = 57 |year = 2003 |isbn = 978-0-521-62005-5 |publisher = Cambridge University Press }},{{cite book |title = Principles of quantum mechanics |author = Donald D. Fitts |url = https://books.google.com/books?id=8t4DiXKIvRgC&pg=PA17 |page = 17 |isbn = 978-0-521-65841-6 |publisher = Cambridge University Press |year = 1999 }}. | ||
</ref> | </ref> गाऊसी तरंग पैकेट का उपयोग पानी की तरंगों का विश्लेषण करने के लिए भी किया जाता है।<ref name=Mei> | ||
{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=WHMNEL-9lqkC&pg=PA47 |page = 47 |author = Chiang C. Mei |author-link=Chiang C. Mei |title = The applied dynamics of ocean surface waves |isbn = 978-9971-5-0789-3 |year = 1989 |edition = 2nd |publisher = World Scientific }} | {{cite book |url = https://books.google.com/books?id=WHMNEL-9lqkC&pg=PA47 |page = 47 |author = Chiang C. Mei |author-link=Chiang C. Mei |title = The applied dynamics of ocean surface waves |isbn = 978-9971-5-0789-3 |year = 1989 |edition = 2nd |publisher = World Scientific }} | ||
</ref> | </ref> उदाहरण के लिए, एक गाऊसी तरंग का रूप ले सकता है:<ref name=Bromley> | ||
उदाहरण के लिए, एक | |||
{{cite book |title = Quantum Mechanics |author1=Walter Greiner |author2=D. Allan Bromley |page = 60 |url = https://books.google.com/books?id=7qCMUfwoQcAC&pg=PA60 |edition = 2nd |year = 2007 |publisher = Springer |isbn = 978-3-540-67458-0 }} | {{cite book |title = Quantum Mechanics |author1=Walter Greiner |author2=D. Allan Bromley |page = 60 |url = https://books.google.com/books?id=7qCMUfwoQcAC&pg=PA60 |edition = 2nd |year = 2007 |publisher = Springer |isbn = 978-3-540-67458-0 }} | ||
</ref> | </ref> | ||
:<math> \psi(x,\, t=0) = A \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} + i k_0 x \right) , </math> | :<math> \psi(x,\, t=0) = A \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} + i k_0 x \right) , </math> | ||
प्रारंभिक समय में t = 0, जहां केंद्रीय तरंग दैर्ध्य केंद्रीय तरंग सदिश k0 से 0 = 2π / k0 के रूप में संबंधित होता है। फूरियर विश्लेषण के सिद्धांत, ,<ref name=Brandt> | |||
{{cite book |page = 23 |url = https://b | |||