तरंग: Difference between revisions
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किसी भी आयाम <math>d</math> (1, 2, या 3), के लिए, तरंग का कार्यक्षेत्र तब <math>\mathbb{R}^d</math> का एक उपसमुच्चय <math>D</math> होता है, ताकि फ़ंक्शन मान <math>F(x,t)</math>को <math>D</math> में किसी भी बिंदु <math>x</math> के लिए परिभाषित किया सकता है। उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी की गति का वर्णन करते समय, कोई विचार कर सकता है <math>D</math> सतह पर एक डिस्क (सर्कल) होना <math>\mathbb{R}^2</math> मूल में केंद्र के साथ <math>(0,0)</math>, और मान लीजिए कि बिंदु <math>x</math> पर <math>F(x,t)</math> सर्वपृष्ठी का लंबवत विस्थापन है और <math>x</math> पर समय <math>t</math> है। | किसी भी आयाम <math>d</math> (1, 2, या 3), के लिए, तरंग का कार्यक्षेत्र तब <math>\mathbb{R}^d</math> का एक उपसमुच्चय <math>D</math> होता है, ताकि फ़ंक्शन मान <math>F(x,t)</math>को <math>D</math> में किसी भी बिंदु <math>x</math> के लिए परिभाषित किया सकता है। उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी की गति का वर्णन करते समय, कोई विचार कर सकता है <math>D</math> सतह पर एक डिस्क (सर्कल) होना <math>\mathbb{R}^2</math> मूल में केंद्र के साथ <math>(0,0)</math>, और मान लीजिए कि बिंदु <math>x</math> पर <math>F(x,t)</math> सर्वपृष्ठी का लंबवत विस्थापन है और <math>x</math> पर समय <math>t</math> है। | ||
=== | === तरंग परिवार === | ||
कभी -कभी एक | कभी-कभी एक विशिष्ट तरंग में रुचि होती है। अधिक बार, हालांकि, किसी को संभावित तरंगों के एक बड़े सेट को समझने की आवश्यकता होती है; सभी तरीकों की तरह, ड्रमस्टिक, या हवाई अड्डों के पास हवाई जहाजों से प्राप्त सभी संभावित रडार गूँज से टकराने के बाद ड्रम की त्वचा कंपन करती है। | ||
उनमें से कुछ स्थितियों में, एक फ़ंक्शन <math>F(A,B,\ldots;x,t)</math> द्वारा तरंगों के ऐसे परिवार का वर्णन कर सकता है जो <math>x</math> और <math>t</math> के अलावा कुछ पैरामीटर <math>A,B,\ldots</math> पर निर्भर करता है। फिर कोई अलग-अलग तरंग-कार्य प्राप्त कर सकता है - यानी <math>x</math> और <math>t</math> के विभिन्न कार्य - उनके लिए अलग-अलग मान चुनकर मापदंड। | |||
[[File:Half-open pipe wave.gif|thumb|right|एक आधे-खुले पाइप में ध्वनि दबाव खड़ी लहर मौलिक के 7 वें हार्मोनिक खेलते हुए (n = 4)]] | [[File:Half-open pipe wave.gif|thumb|right|एक आधे-खुले पाइप में ध्वनि दबाव खड़ी लहर मौलिक के 7 वें हार्मोनिक खेलते हुए (n = 4)]] | ||
उदाहरण के लिए, एक रिकॉर्डर के अंदर ध्वनि | उदाहरण के लिए, एक रिकॉर्डर के अंदर ध्वनि दबाव जो "शुद्ध" सुर बजा रहा है, आमतौर पर एक स्थायी तरंग होता है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: | ||
:<math>F(A,L,n,c;x,t) = A \left(\cos 2\pi x\frac{2 n - 1}{4 L}\right) \left(\cos 2\pi c t\frac{2n - 1}{4 L}\right)</math> | :<math>F(A,L,n,c;x,t) = A \left(\cos 2\pi x\frac{2 n - 1}{4 L}\right) \left(\cos 2\pi c t\frac{2n - 1}{4 L}\right)</math> | ||
पैरामीटर <math>A</math> लहर के आयाम को परिभाषित करता है (अर्थात, बोर में अधिकतम ध्वनि दबाव, जो | पैरामीटर <math>A</math> लहर के आयाम को परिभाषित करता है (अर्थात, बोर में अधिकतम ध्वनि दबाव, जो सुर की ज़ोर से संबंधित है); <math>c</math> ध्वनि की गति है; <math>L</math> बोर की लंबाई है;तथा <math>n</math> एक सकारात्मक पूर्णांक (1,2,3,…) है जो स्थायी तरंग में नोड्स की संख्या को निर्दिष्ट करता है। (स्थिति <math>x</math> माउथपीस और समय से मापा जाना चाहिए <math>t</math> किसी भी क्षण से, जिस पर मुखपत्र पर दबाव अधिकतम होता है। मात्रा <math>\lambda = 4L/(2 n - 1)</math> उत्सर्जित नोट की तरंग दैर्ध्य है, और <math>f = c/\lambda</math> इसकी आवृत्ति है।) इन तरंगों के कई सामान्य गुणों को इस सामान्य समीकरण से अनुमान लगाया जा सकता है, मापदंडों के लिए विशिष्ट मूल्यों का चयन किए बिना। | ||
एक अन्य उदाहरण के रूप में, यह हो सकता है कि एक ही | एक अन्य उदाहरण के रूप में, यह हो सकता है कि एक ही प्रहार के बाद ड्रम की त्वचा का कंपन केवल त्वचा के केंद्र से स्ट्राइक बिंदु तक की दूरी <math>r</math> और स्ट्राइक <math>s</math> की ताकत पर निर्भर करता है। तब सभी संभावित हमलों के लिए कंपन हो सकता है एक प्रकार्य<math>F(r,s;x,t)</math> द्वारा वर्णित किया जा सकता है। | ||
कभी -कभी ब्याज की लहरों के परिवार में कई मापदंड होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह वर्णन करना चाह सकता है कि धातु की छड़ में तापमान का क्या होता है जब इसे शुरू में इसकी लंबाई के साथ अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग तापमान पर गर्म किया जाता है और फिर वैक्यूम में अपने आप ठंडा हो जाता है।उस स्थिति में, एक स्केलर या वेक्टर के बजाय, पैरामीटर को एक प्रकार्य होना होगा <math>h</math> ऐसा है कि <math>h(x)</math> प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान है <math>x</math> के बार के प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान हो। फिर बाद के समय में तापमान एक क्रिया द्वारा व्यक्त किया जा सकता है <math>F</math> यह क्रिया पर निर्भर करता है <math>h</math> (वह है, एक कार्यात्मक परिचालक), ताकि बाद में तापमान हो <math>F(h;x,t)</math>। | |||
=== विभेदक तरंग समीकरण === | === विभेदक तरंग समीकरण === | ||
तरंगों के परिवार का वर्णन और अध्ययन करने का एक अन्य तरीका एक गणितीय समीकरण देना है, जो स्पष्ट रूप से <math>F(x,t)</math>का मान देने के बजाय, केवल यह बताता है कि वे मान समय के साथ कैसे बदल सकते हैं। फिर प्रश्न में लहरों के परिवार में सभी कार्य होते हैं <math>F</math> यह उन बाधाओं को पूरा करता है - अर्थात, समीकरण के सभी समाधान। | |||
यह दृष्टिकोण | भौतिकी में यह दृष्टिकोण अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि बाधाएं आमतौर पर उन भौतिक प्रक्रियाओं का परिणाम होती हैं जो लहर को विकसित करने का कारण बनती हैं। उदाहरण के लिए, यदि <math>F(x,t)</math> एक सजातीय और समरूप ठोस के एक ब्लॉक के अंदर का तापमान है, तो इसकी वृद्धि आंशिक अंतर समीकरण द्वारा बाधित होती है | ||
:<math>\frac{\partial F}{\partial t}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta Q(x,t)</math> | :<math>\frac{\partial F}{\partial t}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta Q(x,t)</math> | ||
जंहा पे <math>Q(p,f)</math> क्या गर्मी है जो प्रति यूनिट वॉल्यूम और समय के पड़ोस में उत्पन्न हो रही है <math>x</math> समय पर <math>t</math> (उदाहरण के लिए, वहां हो रही रासायनिक प्रतिक्रियाओं द्वारा); <math>x_1,x_2,x_3</math> बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक हैं <math>x</math>; <math>\partial F/\partial t</math> का (पहले) व्युत्पन्न है <math>F</math> इसके संबंध में <math>t</math>;तथा <math>\partial^2 F/\partial x_i^2</math> का दूसरा व्युत्पन्न है <math>F</math> के सापेक्ष <math>x_i</math>।(प्रतीक<math>\partial</math>यह संकेत देने के लिए है कि, कुछ चर के संबंध में व्युत्पन्न में, अन्य सभी चर को निश्चित माना जाना चाहिए।) | |||
यह समीकरण भौतिकी के नियमों से प्राप्त किया जा सकता है जो ठोस मीडिया में गर्मी के प्रसार को नियंत्रित करते हैं।उस कारण से, इसे गणित में हीट समीकरण कहा जाता है, भले ही यह तापमान के अलावा कई अन्य भौतिक मात्राओं पर लागू होता है। | यह समीकरण भौतिकी के नियमों से प्राप्त किया जा सकता है जो ठोस मीडिया में गर्मी के प्रसार को नियंत्रित करते हैं।उस कारण से, इसे गणित में हीट समीकरण कहा जाता है, भले ही यह तापमान के अलावा कई अन्य भौतिक मात्राओं पर लागू होता है। | ||
एक अन्य उदाहरण के लिए, हम एक | एक अन्य उदाहरण के लिए, हम एक क्रिया द्वारा गैस के कंटेनर के भीतर गूंजने वाली सभी संभावित ध्वनियों का वर्णन कर सकते हैं <math>F(x,t)</math> जो एक बिंदु पर दबाव देता है <math>x</math> और समय <math>t</math> उस कंटेनर के भीतर। यदि गैस शुरू में एक समान तापमान और संरचना पर थी, तो का विकास <math>F</math> सूत्र द्वारा विवश है | ||
:<math>\frac{\partial^2 F}{\partial t^2}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta P(x,t)</math> | :<math>\frac{\partial^2 F}{\partial t^2}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta P(x,t)</math> | ||
यहां <math>P(x,t)</math> कुछ अतिरिक्त संपीड़न बल है जो गैस के पास लागू किया जा रहा है <math>x</math> कुछ बाहरी प्रक्रिया द्वारा, जैसे कि लाउडस्पीकर या पिस्टन के ठीक बगल में <math>p</math>। | यहां <math>P(x,t)</math> कुछ अतिरिक्त संपीड़न बल है जो गैस के पास लागू किया जा रहा है <math>x</math> कुछ बाहरी प्रक्रिया द्वारा, जैसे कि लाउडस्पीकर या पिस्टन के ठीक बगल में <math>p</math>। | ||
यह समान अंतर समीकरण एक सजातीय आइसोट्रोपिक गैर-संवाहक ठोस में यांत्रिक कंपन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के व्यवहार का वर्णन करता | यह समान अंतर समीकरण एक सजातीय आइसोट्रोपिक गैर-संवाहक ठोस में यांत्रिक कंपन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के व्यवहार का वर्णन करता है। ध्यान दें कि यह समीकरण ही गर्मी के प्रवाह से भिन्न होता है, केवल बाईं ओर की ओर होता है <math>\partial^2 F/\partial t^2</math>, का दूसरा व्युत्पन्न <math>F</math> समय के संबंध में, पहले व्युत्पन्न के बजाय <math>\partial F/\partial t</math>। फिर भी यह छोटा परिवर्तन समाधान के सेट पर एक बड़ा अंतर बनाता है <math>F</math>। इस अंतर समीकरण को गणित में तरंग समीकरण कहा जाता है, भले ही यह केवल एक बहुत ही विशेष प्रकार की तरंगों का वर्णन करता है। | ||
== | == तन्य माध्यम में तरंग == | ||
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{{Main|Wave equation|D'Alembert's formula}} | {{Main|Wave equation|D'Alembert's formula}} | ||
एक स्ट्रिंग ( | एक स्ट्रिंग (मध्यम) पर यात्रा करने वाली एक अनुप्रस्थ तरंग (जो एक पल्स हो सकती है) पर विचार करें। स्ट्रिंग को स्थानिक आयाम के लिए मानें। इस लहर को एक यात्रा के रूप में सोचें | ||
[[File:Nonsinusoidal wavelength.svg|thumb|right|200 px | तरंग दैर्ध्य λ, एक तरंग पर किसी भी दो संबंधित बिंदुओं के बीच मापा जा सकता है]] | [[File:Nonsinusoidal wavelength.svg|thumb|right|200 px | तरंग दैर्ध्य λ, एक तरंग पर किसी भी दो संबंधित बिंदुओं के बीच मापा जा सकता है]] | ||
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: <math>u(x,t) = G(x + v t)</math> (तरंग <math>G</math> बाईं ओर यात्रा) | : <math>u(x,t) = G(x + v t)</math> (तरंग <math>G</math> बाईं ओर यात्रा) | ||
या, अधिक आम तौर पर, D'Alembert के सूत्र द्वारा:<ref name=Graaf>{{cite book |title = Wave motion in elastic solids |author = Karl F Graaf |edition = Reprint of Oxford 1975 |publisher = Dover |year = 1991 |url = https://books.google.com/books?id=5cZFRwLuhdQC |pages = 13–14 |isbn = 978-0-486-66745-4 }}</ref> | या, अधिक आम तौर पर, डी'अलेम्बर्ट (D'Alembert) के सूत्र द्वारा:<ref name=Graaf>{{cite book |title = Wave motion in elastic solids |author = Karl F Graaf |edition = Reprint of Oxford 1975 |publisher = Dover |year = 1991 |url = https://books.google.com/books?id=5cZFRwLuhdQC |pages = 13–14 |isbn = 978-0-486-66745-4 }}</ref> | ||
:<math>u(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt). </math> | :<math>u(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt). </math> | ||
दो घटक तरंगों का प्रतिनिधित्व करना <math>F</math> तथा <math>G</math> विपरीत दिशाओं में माध्यम से यात्रा करना।इस लहर का एक सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जा सकता है<ref>For an example derivation, see the steps leading up to eq. (17) in {{cite web |url = http://prism.texarkanacollege.edu/physicsjournal/wave-eq.html |title = Kinematic Derivation of the Wave Equation |author = Francis Redfern |work = Physics Journal |access-date = 2012-12-11 |archive-date = 2013-07-24 |archive-url = https://web.archive.org/web/20130724011045/http://prism.texarkanacollege.edu/physicsjournal/wave-eq.html |url-status = dead }}</ref> आंशिक अंतर समीकरण के रूप में | दो घटक तरंगों का प्रतिनिधित्व करना <math>F</math> तथा <math>G</math> विपरीत दिशाओं में माध्यम से यात्रा करना।इस लहर का एक सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जा सकता है<ref>For an example derivation, see the steps leading up to eq. (17) in {{cite web |url = http://prism.texarkanacollege.edu/physicsjournal/wave-eq.html |title = Kinematic Derivation of the Wave Equation |author = Francis Redfern |work = Physics Journal |access-date = 2012-12-11 |archive-date = 2013-07-24 |archive-url = https://web.archive.org/web/20130724011045/http://prism.texarkanacollege.edu/physicsjournal/wave-eq.html |url-status = dead }}</ref> आंशिक अंतर समीकरण के रूप में | ||
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सामान्य समाधान दुहमेल के सिद्धांत पर आधारित हैं।<ref name=Struwe>{{cite book |title = Geometric wave equations |author1=Jalal M. Ihsan Shatah |author2=Michael Struwe |chapter-url = https://books.google.com/books?id=zsasG2axbSoC&pg=PA37 |chapter = The linear wave equation |pages = 37''ff'' |isbn = 978-0-8218-2749-9 |year = 2000 |publisher = American Mathematical Society Bookstore }}</ref> दूसरे ऑर्डर वेव समीकरणों के अलावा जो एक स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन कर रहे हैं, एक-तरफ़ा तरंग समीकरण एक परिभाषित दिशा में एकल तरंग के प्रसार का वर्णन करता है। | सामान्य समाधान दुहमेल के सिद्धांत पर आधारित हैं।<ref name=Struwe>{{cite book |title = Geometric wave equations |author1=Jalal M. Ihsan Shatah |author2=Michael Struwe |chapter-url = https://books.google.com/books?id=zsasG2axbSoC&pg=PA37 |chapter = The linear wave equation |pages = 37''ff'' |isbn = 978-0-8218-2749-9 |year = 2000 |publisher = American Mathematical Society Bookstore }}</ref> दूसरे ऑर्डर वेव समीकरणों के अलावा जो एक स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन कर रहे हैं, एक-तरफ़ा तरंग समीकरण एक परिभाषित दिशा में एकल तरंग के प्रसार का वर्णन करता है। | ||
=== | === तरंग रूप === | ||
{{main|Waveform}} | {{main|Waveform}} | ||
[[File:Waveforms.svg|thumb|right|280 पीएक्स | साइन, स्क्वायर, त्रिभुज और आरा वेवफॉर्म।]] | [[File:Waveforms.svg|thumb|right|280 पीएक्स | साइन, स्क्वायर, त्रिभुज और आरा वेवफॉर्म।]] | ||
D'Alembert के सूत्र में | D'Alembert के सूत्र में F के रूपों या आंकड़ों में तर्क x - vt शामिल है। इस तर्क के निरंतर मान F के निरंतर मानों के अनुरूप हैं, और ये स्थिर मान तब होते हैं जब x उसी दर से बढ़ता है जो vt बढ़ता है। अर्थात्, तरंग के आकार का फलन F धनात्मक x-दिशा में v वेग से यात्रा करेगा (और G ऋणात्मक x-दिशा में समान गति से यात्रा करेगा)।<ref name=Lyons>{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=WdPGzHG3DN0C&pg=PA128 |pages = 128 ''ff'' |title = All you wanted to know about mathematics but were afraid to ask |author = Louis Lyons |isbn = 978-0-521-43601-4 |publisher = Cambridge University Press |year = 1998 }}</ref> n आवर्त फलन F की अवधि के साथ, अर्थात्, F(x + - vt) = F(x - vt) के मामले में, अंतरिक्ष में F की आवृत्ति का अर्थ है कि कोई व्यक्ति किसी निश्चित समय पर तरंग का एक स्नैपशॉट पाता है। टी समय अंतरिक्ष में अवधि (लहर की तरंग दैर्ध्य) के साथ बदलता है। इसी तरह, f की यह आवधिकता समय में आवधिकता को भी दर्शाती है: f(x - v(t + t)) = f(x - vt) दिया गया vt =, इसलिए एक निश्चित स्थान पर तरंग का अवलोकन x अवधि T = साथ / v आवधिक तरंग को लहरदार पाते हैं।<ref name="McPherson0">{{cite book |title = Introduction to Macromolecular Crystallography |author = Alexander McPherson |chapter-url = https://books.google.com/books?id=o7sXm2GSr9IC&pg=PA77 |page = 77 |chapter = Waves and their properties |isbn = 978-0-470-18590-2 |year = 2009 |edition = 2 |publisher = Wiley }}</ref> | ||
अवधि | === '''आयाम और मॉड्यूलेशन''' === | ||
=== आयाम और मॉड्यूलेशन === | |||
[[File:Amplitudemodulation.gif|thumb|आयाम मॉड्यूलेशन को F (x, t) = 1.00 × sin (2π/0.10 × (x × 1.00 × t)) और G (x, t) = 1.00 × sin (2π/0.11 × (x) 1.00 × (x) 1.00 × के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है।टी)) केवल परिणाम वेवफॉर्म की स्पष्टता में सुधार करने के लिए दिखाई देता है। वामपंथी |]] | [[File:Amplitudemodulation.gif|thumb|आयाम मॉड्यूलेशन को F (x, t) = 1.00 × sin (2π/0.10 × (x × 1.00 × t)) और G (x, t) = 1.00 × sin (2π/0.11 × (x) 1.00 × (x) 1.00 × के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है।टी)) केवल परिणाम वेवफॉर्म की स्पष्टता में सुधार करने के लिए दिखाई देता है। वामपंथी |]] | ||
[[File:Wave packet.svg|right|thumb|एक आयाम-संशोधित लहर के लिफाफे (धीरे-धीरे अलग-धीरे लाल वक्र) का चित्रण।तेजी से अलग -अलग नीले वक्र वाहक लहर है, जिसे संशोधित किया जा रहा है।]] | [[File:Wave packet.svg|right|thumb|एक आयाम-संशोधित लहर के लिफाफे (धीरे-धीरे अलग-धीरे लाल वक्र) का चित्रण।तेजी से अलग -अलग नीले वक्र वाहक लहर है, जिसे संशोधित किया जा रहा है।]] | ||
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{{See also|Frequency modulation|Phase modulation}} | {{See also|Frequency modulation|Phase modulation}} | ||
एक | एक तरंग का आयाम स्थिर हो सकता है (जिस स्थिति में लहर एक C.W.(continuous wave) या निरंतर तरंग है), या इसे समय और/या स्थिति के साथ बदलने के लिए संशोधित किया जा सकता है। आयाम में भिन्नता के पैटर्न को तरंग का आवरण कहा जाता है। गणितीय रूप से, एक संग्राहक तरंग को इस प्रकार लिखा जा सकता है::<ref name=Jirauschek>{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=6kOoT_AX2CwC&pg=PA9 |page = 9 |title = FEW-cycle Laser Dynamics and Carrier-envelope Phase Detection |author = Christian Jirauschek |isbn = 978-3-86537-419-6 |year = 2005 |publisher = Cuvillier Verlag }} | ||
</ref><ref name="Kneubühl">{{cite book |title = Oscillations and waves |author = Fritz Kurt Kneubühl |url = https://books.google.com/books?id=geYKPFoLgoMC&pg=PA365 |page = 365 |year = 1997 |isbn = 978-3-540-62001-3 |publisher = Springer }}</ref><ref name=Lundstrom>{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=FTdDMtpkSkIC&pg=PA33 |page = 33 |author = Mark Lundstrom |isbn = 978-0-521-63134-1 |year = 2000 |title = Fundamentals of carrier transport |publisher = Cambridge University Press }}</ref> | </ref><ref name="Kneubühl">{{cite book |title = Oscillations and waves |author = Fritz Kurt Kneubühl |url = https://books.google.com/books?id=geYKPFoLgoMC&pg=PA365 |page = 365 |year = 1997 |isbn = 978-3-540-62001-3 |publisher = Springer }}</ref><ref name=Lundstrom>{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=FTdDMtpkSkIC&pg=PA33 |page = 33 |author = Mark Lundstrom |isbn = 978-0-521-63134-1 |year = 2000 |title = Fundamentals of carrier transport |publisher = Cambridge University Press }}</ref> | ||
:<math>u(x,t) = A(x,t) \sin \left(kx - \omega t + \phi \right) , </math> | :<math>u(x,t) = A(x,t) \sin \left(kx - \omega t + \phi \right) , </math> | ||
कहाँ पे <math>A(x,\ t)</math> लहर का आयाम | कहाँ पे <math>A(x,\ t)</math> लहर का आयाम आवरण है, <math>k</math> लहरें है और <math>\phi</math> चरण है। यदि समूह वेग <math>v_g</math> (नीचे देखें) तरंग दैर्ध्य-स्वतंत्र है, इस समीकरण को सरल किया जा सकता है:<ref name=Chen>{{cite book |chapter-url = https://books.google.com/books?id=LxzWPskhns0C&pg=PA363 |author = Chin-Lin Chen |title = Foundations for guided-wave optics |page = 363 |chapter = §13.7.3 Pulse envelope in nondispersive media |isbn = 978-0-471-75687-3 |year = 2006 |publisher = Wiley }}</ref> | ||
:<math>u(x,t) = A(x - v_g t) \sin \left(kx - \omega t + \phi \right) , </math> | :<math>u(x,t) = A(x - v_g t) \sin \left(kx - \omega t + \phi \right) , </math> | ||
यइससे पता चलता है कि आवरण समूह वेग के साथ गति करता है और अपना आकार बनाए रखता है। अन्यथा, ऐसे मामलों में जहां समूह वेग तरंग दैर्ध्य के साथ बदलता है, पल्स आकार एक आवरण समीकरण का उपयोग करके वर्णित तरीके से बदलता है।<ref name=Chen/><ref name=Recami>{{cite book |title = Localized Waves |chapter = Localization and Wannier wave packets in photonic crystals |author1=Stefano Longhi |author2=Davide Janner |editor1=Hugo E. Hernández-Figueroa |editor2=Michel Zamboni-Rached |editor3=Erasmo Recami |chapter-url = https://books.google.com/books?id=xxbXgL967PwC&pg=PA329 |page = 329 |isbn = 978-0-470-10885-7 |year = 2008 |publisher = Wiley-Interscience }}</ref> | |||
=== चरण वेग और समूह वेग === | === चरण वेग और समूह वेग === | ||
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{{See also|Envelope (waves)#Phase and group velocity}} | {{See also|Envelope (waves)#Phase and group velocity}} | ||
[[Image:Wave group.gif|thumb|लाल वर्ग चरण वेग के साथ चलता है, जबकि हरे रंग के घेरे बाईं ओर से फैलते हैं]] | [[Image:Wave group.gif|thumb|लाल वर्ग चरण वेग के साथ चलता है, जबकि हरे रंग के घेरे बाईं ओर से फैलते हैं]] | ||
दो वेग हैं जो | दो वेग हैं जो तरंगों, चरण वेग और समूह वेग से जुड़े होते हैं। | ||
चरण वेग वह दर है जिस पर | चरण वेग वह दर है जिस पर तरंग का चरण अंतराल पर फैलता है: लहर का कोई भी चरण (उदाहरण के लिए, शिखा) चरण वेग के साथ यात्रा करता हुआ दिखाई देगा। चरण वेग तरंग दैर्ध्य के संदर्भ में दिया जाता है {{mvar|λ}} (लैम्ब्डा) और अवधि {{mvar|T}} जैसा | ||
:<math>v_\mathrm{p} = \frac{\lambda}{T}.</math> | :<math>v_\mathrm{p} = \frac{\lambda}{T}.</math> | ||
[[Image:Wave opposite-group-phase-velocity.gif|thumb|right|समूह और चरण वेगों के साथ एक लहर अलग -अलग दिशाओं में जा रही है]] | [[Image:Wave opposite-group-phase-velocity.gif|thumb|right|समूह और चरण वेगों के साथ एक लहर अलग -अलग दिशाओं में जा रही है]] | ||
समूह वेग तरंगों की एक संपत्ति है जिसमें एक परिभाषित | समूह वेग तरंगों की एक संपत्ति है जिसमें एक परिभाषित आवरण होता है, जो कि तरंगों के आयामों के समग्र आकार के अंतरिक्ष के माध्यम से प्रसार को मापता है (या लहर के मॉड्यूलेशन या आवरण; | ||
== विशेष तरंगें == | == विशेष तरंगें == | ||
=== | === ज्या तरंगें === | ||
{{excerpt|Sine wave}} | {{excerpt|Sine wave}}ज्या तरंग, ज्यावक्रीय तरंग, या सिर्फ ज्यावक्र एक गणितीय वक्र है जिसे ज्या त्रिकोणमितीय क्रिया के संदर्भ में परिभाषित किया गया है जिसमें यह एक ग्राफ है। यह एक प्रकार की सतत तरंग है और यह एक स्वतःस्फूर्त समय फलन भी है। यह अक्सर गणित, साथ ही भौतिकी, इंजीनियरिंग, सिग्नल प्रोसेसिंग और कई अन्य क्षेत्रों में होता है। | ||
=== समतल तरंगें === | |||
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{{Main|Plane wave}} | {{Main|Plane wave}} | ||
समतल तरंग एक प्रकार की तरंग है जिसका मान केवल एक स्थानिक दिशा में भिन्न होता है। अर्थात् उस दिशा के लम्बवत तल पर इसका मान स्थिर होता है। समतल तरंगों को इकाई लंबाई <math>\hat n</math> के एक वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है जो उस दिशा को इंगित करता है जिसमें तरंग विचलन करती है, और एक तरंग रूपरेखा यह बताती है कि उस दिशा के साथ विस्थापन के कार्य के रूप में तरंग कैसे बदलती है। (<math>\hat n \cdot \vec{x}</math> और समय ( t ) चूंकि तरंग रूपरेखा <math>\hat n \cdot \vec{x}</math> संयोजन में केवल स्थिति <math>\vec{x}</math> पर निर्भर करती है, <math>\hat n</math> के लंबवत दिशाओं में कोई भी विस्थापन क्षेत्र के मान को प्रभावित नहीं कर सकता है। | |||
समतल तरंगों का उपयोग अक्सर विद्युत चुम्बकीय तरंगों को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है जो एक स्रोत से बहुत दूर होती हैं। विद्युत चुम्बकीय समतल तरंगों के लिए, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र स्वयं प्रसार की दिशा में अनुप्रस्थ होते हैं, और एक दूसरे के लंबवत भी होते हैं। | |||
=== | === स्थायी तरंगें === | ||
{{Main|Standing wave|Acoustic resonance|Helmholtz resonator|Organ pipe}} | {{Main|Standing wave|Acoustic resonance|Helmholtz resonator|Organ pipe}} | ||
[[File:Standing wave.gif|thumb|right|300px|खड़ी लहर।लाल डॉट्स वेव नोड्स का प्रतिनिधित्व करते हैं]] | [[File:Standing wave.gif|thumb|right|300px|खड़ी लहर।लाल डॉट्स वेव नोड्स का प्रतिनिधित्व करते हैं]] | ||
एक स्थायी | एक स्थायी तरंग, जिसे एक स्थिर तरंग के रूप में भी जाना जाता है, एक तरंग है जिसका आवरण स | ||