तरंग: Difference between revisions
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चिरसम्मत भौतिकी में, दो प्रकार की तरंगों का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक '''यांत्रिक तरंग''' में, प्रतिबल और विकृति क्षेत्र यांत्रिक संतुलन के संबंध में में दोलन करते हैं। एक यांत्रिक तरंग कुछ भौतिक माध्यम में एक स्थानीय विकृति (तनाव) है जो एक स्थानीय तनाव बनाकर कण से कण तक फैलती है जो निकटवर्ती कणों में तनाव भी पैदा करती है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें स्थानीय दबाव और कण गति के रूपांतर हैं जो एक माध्यम से फैलती हैं। यांत्रिक तरंगों के अन्य उदाहरण भूकंपीय तरंगें, गुरुत्वाकर्षण तरंगें, सतही तरंगें, तार कंपन और भंवर हैं। मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार, '''विद्युत चुम्बकीय तरंग''' (जैसे प्रकाश) में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच युग्मन इन क्षेत्रों को घेरने वाली तरंग के प्रसार को बनाए रखता है।विद्युत चुम्बकीय तरंगें एक निर्वात और परावैद्युत माध्यम (तरंग दैर्ध्य पर जहां उन्हें पारदर्शी माना जाता है) के माध्यम से अवतरण कर सकते हैं। विद्युत चुम्बकीय तरंगों में रेडियो तरंग, अवरक्त विकिरण, टेराहर्ट्ज तरंग, दृश्य प्रकाश, पराबैंगनी विकिरण, एक्स-रे और गामा किरणों सहित उनकी आवृत्तियों (या तरंग दैर्ध्य) के अनुसार अधिक विशिष्ट पदनाम होते हैं। | चिरसम्मत भौतिकी में, दो प्रकार की तरंगों का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक '''यांत्रिक तरंग''' में, प्रतिबल और विकृति क्षेत्र यांत्रिक संतुलन के संबंध में में दोलन करते हैं। एक यांत्रिक तरंग कुछ भौतिक माध्यम में एक स्थानीय विकृति (तनाव) है जो एक स्थानीय तनाव बनाकर कण से कण तक फैलती है जो निकटवर्ती कणों में तनाव भी पैदा करती है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें स्थानीय दबाव और कण गति के रूपांतर हैं जो एक माध्यम से फैलती हैं। यांत्रिक तरंगों के अन्य उदाहरण भूकंपीय तरंगें, गुरुत्वाकर्षण तरंगें, सतही तरंगें, तार कंपन और भंवर हैं। मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार, '''विद्युत चुम्बकीय तरंग''' (जैसे प्रकाश) में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच युग्मन इन क्षेत्रों को घेरने वाली तरंग के प्रसार को बनाए रखता है।विद्युत चुम्बकीय तरंगें एक निर्वात और परावैद्युत माध्यम (तरंग दैर्ध्य पर जहां उन्हें पारदर्शी माना जाता है) के माध्यम से अवतरण कर सकते हैं। विद्युत चुम्बकीय तरंगों में रेडियो तरंग, अवरक्त विकिरण, टेराहर्ट्ज तरंग, दृश्य प्रकाश, पराबैंगनी विकिरण, एक्स-रे और गामा किरणों सहित उनकी आवृत्तियों (या तरंग दैर्ध्य) के अनुसार अधिक विशिष्ट पदनाम होते हैं। | ||
अन्य प्रकार की तरंगों में गुरुत्वाकर्षण तरंगें शामिल हैं, जो दिक्काल गड़बड़ी हैं जो सामान्य सापेक्षता गर्मी प्रसार तरंगों के अनुसार फैलती हैं, प्लाज्मा तरंगें जो यांत्रिक विकृतियों को जोड़ती हैं, और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र प्रतिक्रिया-प्रसार तरंगें, जैसे कि बेलौसोव-ज़ाबोटिन्स्की प्रतिक्रिया और कई अन्य। यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय तरंगें ऊर्जा,<ref>{{Harv|Hall|1982| p=8}}</ref> गति और सूचना को स्थानांतरित करती हैं, लेकिन वे कणों को माध्यम में नहीं ले जाती हैं। गणित और इलेक्ट्रॉनिक्स में तरंगों का अध्ययन संकेतों के रूप में किया जाता है।<ref>Pragnan Chakravorty, "What Is a Signal? [Lecture Notes]," IEEE ''Signal Processing Magazine'', vol. 35, no. 5, pp. 175-177, Sept. 2018. {{doi|10.1109/MSP.2018.2832195}}</ref> दूसरी ओर, कुछ तरंगों में ऐसे आवरण होते हैं जो बिल्कुल भी हिलते नहीं हैं जैसे कि अप्रगामी तरंगें (जो संगीत के लिए मूलभूत हैं) और द्रव-चालित अकस्मात वृद्धि। कुछ, क्वांटम यांत्रिकी के संभाव्यता तरंग कार्यों की तरह, पूरी तरह से स्थिर हो सकते हैं।{{dubious|date=August 2020}}. | |||
[[File:Santos E et al Neuroimage 2014 .gif|thumb|मस्तिष्क कॉर्टेक्स पर विस्तार करने वाली जैविक तरंगों का उदाहरण, विध्रुवण फैलाने का एक उदाहरण।<ref>{{Cite journal|last1=Santos|first1=Edgar|last2=Schöll|first2=Michael|last3=Sánchez-Porras|first3=Renán|last4=Dahlem|first4=Markus A.|last5=Silos|first5=Humberto|last6=Unterberg|first6=Andreas|last7=Dickhaus|first7=Hartmut|last8=Sakowitz|first8=Oliver W.|date=2014-10-01|title=Radial, spiral and reverberating waves of spreading depolarization occur in the gyrencephalic brain|journal=NeuroImage|volume=99|pages=244–255|doi=10.1016/j.neuroimage.2014.05.021|issn=1095-9572|pmid=24852458|s2cid=1347927}}</ref>]] | [[File:Santos E et al Neuroimage 2014 .gif|thumb|मस्तिष्क कॉर्टेक्स पर विस्तार करने वाली जैविक तरंगों का उदाहरण, विध्रुवण फैलाने का एक उदाहरण।<ref>{{Cite journal|last1=Santos|first1=Edgar|last2=Schöll|first2=Michael|last3=Sánchez-Porras|first3=Renán|last4=Dahlem|first4=Markus A.|last5=Silos|first5=Humberto|last6=Unterberg|first6=Andreas|last7=Dickhaus|first7=Hartmut|last8=Sakowitz|first8=Oliver W.|date=2014-10-01|title=Radial, spiral and reverberating waves of spreading depolarization occur in the gyrencephalic brain|journal=NeuroImage|volume=99|pages=244–255|doi=10.1016/j.neuroimage.2014.05.021|issn=1095-9572|pmid=24852458|s2cid=1347927}}</ref>]] | ||
एक भौतिक तरंग क्षेत्र लगभग हमेशा अंतरिक्ष के कुछ | एक भौतिक तरंग क्षेत्र लगभग हमेशा अंतरिक्ष के कुछ सीमित क्षेत्र तक ही सीमित रहता है, जिसे उसका कार्यक्षेत्र कहा जाता है। उदाहरण के लिए, भूकंप से उत्पन्न भूकंपीय तरंगें केवल ग्रह के आंतरिक और सतह पर ही महत्वपूर्ण होती हैं, इसलिए उन्हें इसके बाहर नजरअंदाज किया जा सकता है। हालांकि, अनंत कार्यक्षेत्र वाली तरंगें, जो अंतरिक्ष में फैली हुई हैं, आमतौर पर गणित में अध्ययन की जाती हैं और परिमित कार्यक्षेत्र में भौतिक तरंगों को समझने के लिए बहुत मूल्यवान उपकरण हैं। | ||
समतल तरंग एक महत्वपूर्ण गणितीय आदर्शीकरण है जहां किसी भी (अनंत) समतल के साथ यात्रा की एक विशिष्ट दिशा के लिए अशांति समान होती है। गणितीय रूप से, सरलतम तरंग एक ज्यावक्रीय समतल तरंग है जिसमें किसी भी बिंदु पर क्षेत्र आवृत्ति पर सरल लयबद्ध गति का अनुभव करता है। रैखिक माध्यम में, जटिल तरंगों को आम तौर पर कई ज्यावक्रीय समतल तरंगों के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है, प्रसार की विभिन्न दिशाओं और/या विभिन्न आवृत्तियों के साथ। एक समतल तरंग को अनुप्रस्थ तरंग के रूप में वर्गीकृत किया जाता है यदि प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र विक्षोभ को प्रसार की दिशा (ऊर्जा हस्तांतरण की दिशा भी) के लंबवत वेक्टर द्वारा वर्णित किया जाता है; या एक अनुदैर्ध्य तरंग यदि वे वैक्टर प्रसार दिशा के साथ संरेखित हों। यांत्रिक तरंगों में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों तरंगें शामिल हैं; दूसरी ओर, विद्युत चुम्बकीय समतल तरंगें सख्ती से अनुप्रस्थ होती हैं जबकि तरल पदार्थ (जैसे वायु) में ध्वनि तरंगें केवल अनुदैर्ध्य हो सकती हैं। प्रसार दिशा के सापेक्ष एक दोलन क्षेत्र की भौतिक दिशा, जिसे तरंग के ध्रुवीकरण के रूप में भी जाना जाता है, एक महत्वपूर्ण विशेषता हो सकती है। | |||
== गणितीय विवरण == | == गणितीय विवरण == | ||
=== | === एकल तरंगें === | ||
एक | एक तरंग को एक क्षेत्र की तरह वर्णित किया जा सकता है, अर्थात, एक फ़ंक्शन <math>F(x,t)</math> के रूप में जहां <math>x</math> एक स्थिति है और <math>t</math> एक समय है। | ||
<math>x</math> का मान अंतराल में एक बिंदु है, विशेष रूप से वह क्षेत्र जिसमें तरंग परिभाषित होती है।गणितीय शब्दों में, यह आमतौर पर कार्तीय त्रि-आयामी अंतराल <math>\mathbb{R}^3</math> में एक वेक्टर होता है। हालांकि, कई मामलों में कोई एक आयाम को अनदेखा कर सकता है, और <math>x</math> को एक कार्टेशियन तल <math>\mathbb{R}^2</math> एक बिंदु के रूप में मान सकता है। यह मामला है, उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी कंपन का अध्ययन करते समय। कोई व्यक्ति <math>x</math> कार्टेशियन लाइन <math>\R</math> वास्तविक संख्याओं के समहू पर एक बिंदु तक सीमित कर सकता है। ह मामला है, उदाहरण के लिए, जब वायलिन स्ट्रिंग पर या रिकॉर्डर में कंपन का अध्ययन किया जाता है। दूसरी ओर, समय <math>t</math> को हमेशा एक अदिश राशि अर्थात वास्तविक संख्या माना जाता है। | |||
का मूल्य <math>F(x,t)</math> किसी भी भौतिक मात्रा को बिंदु पर सौंपा जा सकता है <math>x</math> यह समय के साथ भिन्न हो सकता है।उदाहरण के लिए, यदि <math>F</math> एक लोचदार ठोस के अंदर कंपन का प्रतिनिधित्व करता है, मूल्य <math>F(x,t)</math> आमतौर पर एक वेक्टर है जो वर्तमान विस्थापन देता है <math>x</math> भौतिक कणों में से जो बिंदु पर होंगे <math>x</math> कंपन की अनुपस्थिति | का मूल्य <math>F(x,t)</math> किसी भी भौतिक मात्रा को बिंदु पर सौंपा जा सकता है <math>x</math> यह समय के साथ भिन्न हो सकता है।उदाहरण के लिए, यदि <math>F</math> एक लोचदार ठोस के अंदर कंपन का प्रतिनिधित्व करता है, मूल्य <math>F(x,t)</math> आमतौर पर एक वेक्टर है जो वर्तमान विस्थापन देता है <math>x</math> भौतिक कणों में से जो बिंदु पर होंगे <math>x</math> कंपन की अनुपस्थिति में। एक विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए, <math>F</math> का मान एक विद्युत क्षेत्र वेक्टर <math>E</math>, या एक चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर <math>H</math>, या कोई भी संबंधित मात्रा हो सकता है, जैसे कि सूचक वेक्टर <math>E\times H</math>। द्रव की गतिशीलता में, मूल्य <math>F(x,t)</math> बिंदु पर द्रव का वेग वेक्टर हो सकता है <math>x</math>, या किसी भी अदिश संपत्ति जैसे दबाव, तापमान, या घनत्व। एक रासायनिक प्रतिक्रिया में, <math>F(x,t)</math> बिंदु <math>x</math> के पड़ोस में किसी पदार्थ की सांद्रता प्रतिक्रिया माध्यम हो सकती है। | ||
किसी भी आयाम | किसी भी आयाम <math>d</math> (1, 2, या 3), के लिए, तरंग का कार्यक्षेत्र तब <math>\mathbb{R}^d</math> का एक उपसमुच्चय <math>D</math> होता है, ताकि फ़ंक्शन मान <math>F(x,t)</math>को <math>D</math> में किसी भी बिंदु <math>x</math> के लिए परिभाषित किया सकता है। उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी की गति का वर्णन करते समय, कोई विचार कर सकता है <math>D</math> सतह पर एक डिस्क (सर्कल) होना <math>\mathbb{R}^2</math> मूल में केंद्र के साथ <math>(0,0)</math>, और मान लीजिए कि बिंदु <math>x</math> पर <math>F(x,t)</math> सर्वपृष्ठी का लंबवत विस्थापन है और <math>x</math> पर समय <math>t</math> है। | ||
=== | === तरंग परिवार === | ||
कभी -कभी एक | कभी-कभी एक विशिष्ट तरंग में रुचि होती है। अधिक बार, हालांकि, किसी को संभावित तरंगों के एक बड़े सेट को समझने की आवश्यकता होती है; सभी तरीकों की तरह, ड्रमस्टिक, या हवाई अड्डों के पास हवाई जहाजों से प्राप्त सभी संभावित रडार गूँज से टकराने के बाद ड्रम की त्वचा कंपन करती है। | ||
उनमें से कुछ स्थितियों में, एक फ़ंक्शन <math>F(A,B,\ldots;x,t)</math> द्वारा तरंगों के ऐसे परिवार का वर्णन कर सकता है जो <math>x</math> और <math>t</math> के अलावा कुछ पैरामीटर <math>A,B,\ldots</math> पर निर्भर करता है। फिर कोई अलग-अलग तरंग-कार्य प्राप्त कर सकता है - यानी <math>x</math> और <math>t</math> के विभिन्न कार्य - उनके लिए अलग-अलग मान चुनकर मापदंड। | |||
[[File:Half-open pipe wave.gif|thumb|right|एक आधे-खुले पाइप में ध्वनि दबाव खड़ी लहर मौलिक के 7 वें हार्मोनिक खेलते हुए (n = 4)]] | [[File:Half-open pipe wave.gif|thumb|right|एक आधे-खुले पाइप में ध्वनि दबाव खड़ी लहर मौलिक के 7 वें हार्मोनिक खेलते हुए (n = 4)]] | ||
उदाहरण के लिए, एक रिकॉर्डर के अंदर ध्वनि | उदाहरण के लिए, एक रिकॉर्डर के अंदर ध्वनि दबाव जो "शुद्ध" सुर बजा रहा है, आमतौर पर एक स्थायी तरंग होता है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: | ||
:<math>F(A,L,n,c;x,t) = A \left(\cos 2\pi x\frac{2 n - 1}{4 L}\right) \left(\cos 2\pi c t\frac{2n - 1}{4 L}\right)</math> | :<math>F(A,L,n,c;x,t) = A \left(\cos 2\pi x\frac{2 n - 1}{4 L}\right) \left(\cos 2\pi c t\frac{2n - 1}{4 L}\right)</math> | ||
पैरामीटर <math>A</math> लहर के आयाम को परिभाषित करता है (अर्थात, बोर में अधिकतम ध्वनि दबाव, जो | पैरामीटर <math>A</math> लहर के आयाम को परिभाषित करता है (अर्थात, बोर में अधिकतम ध्वनि दबाव, जो सुर की ज़ोर से संबंधित है); <math>c</math> ध्वनि की गति है; <math>L</math> बोर की लंबाई है;तथा <math>n</math> एक सकारात्मक पूर्णांक (1,2,3,…) है जो स्थायी तरंग में नोड्स की संख्या को निर्दिष्ट करता है। (स्थिति <math>x</math> माउथपीस और समय से मापा जाना चाहिए <math>t</math> किसी भी क्षण से, जिस पर मुखपत्र पर दबाव अधिकतम होता है। मात्रा <math>\lambda = 4L/(2 n - 1)</math> उत्सर्जित नोट की तरंग दैर्ध्य है, और <math>f = c/\lambda</math> इसकी आवृत्ति है।) इन तरंगों के कई सामान्य गुणों को इस सामान्य समीकरण से अनुमान लगाया जा सकता है, मापदंडों के लिए विशिष्ट मूल्यों का चयन किए बिना। | ||
एक अन्य उदाहरण के रूप में, यह हो सकता है कि एक ही | एक अन्य उदाहरण के रूप में, यह हो सकता है कि एक ही प्रहार के बाद ड्रम की त्वचा का कंपन केवल त्वचा के केंद्र से स्ट्राइक बिंदु तक की दूरी <math>r</math> और स्ट्राइक <math>s</math> की ताकत पर निर्भर करता है। तब सभी संभावित हमलों के लिए कंपन हो सकता है एक प्रकार्य<math>F(r,s;x,t)</math> द्वारा वर्णित किया जा सकता है। | ||
कभी -कभी ब्याज की लहरों के परिवार में कई मापदंड होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह वर्णन करना चाह सकता है कि धातु की छड़ में तापमान का क्या होता है जब इसे शुरू में इसकी लंबाई के साथ अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग तापमान पर गर्म किया जाता है और फिर वैक्यूम में अपने आप ठंडा हो जाता है।उस स्थिति में, एक स्केलर या वेक्टर के बजाय, पैरामीटर को एक प्रकार्य होना होगा <math>h</math> ऐसा है कि <math>h(x)</math> प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान है <math>x</math> के बार के प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान हो। फिर बाद के समय में तापमान एक क्रिया द्वारा व्यक्त किया जा सकता है <math>F</math> यह क्रिया पर निर्भर करता है <math>h</math> (वह है, एक कार्यात्मक परिचालक), ताकि बाद में तापमान हो <math>F(h;x,t)</math>। | |||
=== विभेदक तरंग समीकरण === | === विभेदक तरंग समीकरण === | ||
तरंगों के परिवार का वर्णन और अध्ययन करने का एक अन्य तरीका एक गणितीय समीकरण देना है, जो स्पष्ट रूप से <math>F(x,t)</math>का मान देने के बजाय, केवल यह बताता है कि वे मान समय के साथ कैसे बदल सकते हैं। फिर प्रश्न में लहरों के परिवार में सभी कार्य होते हैं <math>F</math> यह उन बाधाओं को पूरा करता है - अर्थात, समीकरण के सभी समाधान। | |||
यह दृष्टिकोण | भौतिकी में यह दृष्टिकोण अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि बाधाएं आमतौर पर उन भौतिक प्रक्रियाओं का परिणाम होती हैं जो लहर को विकसित करने का कारण बनती हैं। उदाहरण के लिए, यदि <math>F(x,t)</math> एक सजातीय और समरूप ठोस के एक ब्लॉक के अंदर का तापमान है, तो इसकी वृद्धि आंशिक अंतर समीकरण द्वारा बाधित होती है | ||
:<math>\frac{\partial F}{\partial t}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta Q(x,t)</math> | :<math>\frac{\partial F}{\partial t}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta Q(x,t)</math> | ||
जंहा पे <math>Q(p,f)</math> क्या गर्मी है जो प्रति यूनिट वॉल्यूम और समय के पड़ोस में उत्पन्न हो रही है <math>x</math> समय पर <math>t</math> (उदाहरण के लिए, वहां हो रही रासायनिक प्रतिक्रियाओं द्वारा); <math>x_1,x_2,x_3</math> बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक हैं <math>x</math>; <math>\partial F/\partial t</math> का (पहले) व्युत्पन्न है <math>F</math> इसके संबंध में <math>t</math>;तथा <math>\partial^2 F/\partial x_i^2</math> का दूसरा व्युत्पन्न है <math>F</math> के सापेक्ष <math>x_i</math>।(प्रतीक<math>\partial</math>यह संकेत देने के लिए है कि, कुछ चर के संबंध में व्युत्पन्न में, अन्य सभी चर को निश्चित माना जाना चाहिए।) | |||
यह समीकरण भौतिकी के नियमों से प्राप्त किया जा सकता है जो ठोस मीडिया में गर्मी के प्रसार को नियंत्रित करते हैं।उस कारण से, इसे गणित में हीट समीकरण कहा जाता है, भले ही यह तापमान के अलावा कई अन्य भौतिक मात्राओं पर लागू होता है। | यह समीकरण भौतिकी के नियमों से प्राप्त किया जा सकता है जो ठोस मीडिया में गर्मी के प्रसार को नियंत्रित करते हैं।उस कारण से, इसे गणित में हीट समीकरण कहा जाता है, भले ही यह तापमान के अलावा कई अन्य भौतिक मात्राओं पर लागू होता है। | ||
एक अन्य उदाहरण के लिए, हम एक | एक अन्य उदाहरण के लिए, हम एक क्रिया द्वारा गैस के कंटेनर के भीतर गूंजने वाली सभी संभावित ध्वनियों का वर्णन कर सकते हैं <math>F(x,t)</math> जो एक बिंदु पर दबाव देता है <math>x</math> और समय <math>t</math> उस कंटेनर के भीतर। यदि गैस शुरू में एक समान तापमान और संरचना पर थी, तो का विकास <math>F</math> सूत्र द्वारा विवश है | ||
:<math>\frac{\partial^2 F}{\partial t^2}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta P(x,t)</math> | :<math>\frac{\partial^2 F}{\partial t^2}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta P(x,t)</math> | ||
यहां <math>P(x,t)</math> कुछ अतिरिक्त संपीड़न बल है जो गैस के पास लागू किया जा रहा है <math>x</math> कुछ बाहरी प्रक्रिया द्वारा, जैसे कि लाउडस्पीकर या पिस्टन के ठीक बगल में <math>p</math>। | यहां <math>P(x,t)</math> कुछ अतिरिक्त संपीड़न बल है जो गैस के पास लागू किया जा रहा है <math>x</math> कुछ बाहरी प्रक्रिया द्वारा, जैसे कि लाउडस्पीकर या पिस्टन के ठीक बगल में <math>p</math>। | ||
यह समान अंतर समीकरण एक सजातीय आइसोट्रोपिक गैर-संवाहक ठोस में यांत्रिक कंपन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के व्यवहार का वर्णन करता | यह समान अंतर समीकरण एक सजातीय आइसोट्रोपिक गैर-संवाहक ठोस में यांत्रिक कंपन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के व्यवहार का वर्णन करता है। ध्यान दें कि यह समीकरण ही गर्मी के प्रवाह से भिन्न होता है, केवल बाईं ओर की ओर होता है <math>\partial^2 F/\partial t^2</math>, का दूसरा व्युत्पन्न <math>F</math> समय के संबंध में, पहले व्युत्पन्न के बजाय <math>\partial F/\partial t</math>। फिर भी यह छोटा परिवर्तन समाधान के सेट पर एक बड़ा अंतर बनाता है <math>F</math>। इस अंतर समीकरण को गणित में तरंग समीकरण कहा जाता है, भले ही यह केवल एक बहुत ही विशेष प्रकार की तरंगों का वर्णन करता है। | ||
== | == तन्य माध्यम में तरंग == | ||
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{{Main|Wave equation|D'Alembert's formula}} | {{Main|Wave equation|D'Alembert's formula}} | ||
एक स्ट्रिंग ( | एक स्ट्रिंग (मध्यम) पर यात्रा करने वाली एक अनुप्रस्थ तरंग (जो एक पल्स हो सकती है) पर विचार करें। स्ट्रिंग को स्थानिक आयाम के लिए मानें। इस लहर को एक यात्रा के रूप में सोचें | ||
[[File:Nonsinusoidal wavelength.svg|thumb|right|200 px | तरंग दैर्ध्य λ, एक तरंग पर किसी भी दो संबंधित बिंदुओं के बीच मापा जा सकता है]] | [[File:Nonsinusoidal wavelength.svg|thumb|right|200 px | तरंग दैर्ध्य λ, एक तरंग पर किसी भी दो संबंधित बिंदुओं के बीच मापा जा सकता है]] | ||
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: <math>u(x,t) = G(x + v t)</math> (तरंग <math>G</math> बाईं ओर यात्रा) | : <math>u(x,t) = G(x + v t)</math> (तरंग <math>G</math> बाईं ओर यात्रा) | ||
या, अधिक आम तौर पर, D'Alembert के सूत्र द्वारा:<ref name=Graaf>{{cite book |title = Wave motion in elastic solids |author = Karl F Graaf |edition = Reprint of Oxford 1975 |publisher = Dover |year = 1991 |url = https://books.google.com/books?id=5cZFRwLuhdQC |pages = 13–14 |isbn = 978-0-486-66745-4 }}</ref> | या, अधिक आम तौर पर, डी'अलेम्बर्ट (D'Alembert) के सूत्र द्वारा:<ref name=Graaf>{{cite book |title = Wave motion in elastic solids |author = Karl F Graaf |edition = Reprint of Oxford 1975 |publisher = Dover |year = 1991 |url = https://books.google.com/books?id=5cZFRwLuhdQC |pages = 13–14 |isbn = 978-0-486-66745-4 }}</ref> | ||
:<math>u(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt). </math> | :<math>u(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt). </math> | ||
दो घटक तरंगों का प्रतिनिधित्व करना <math>F</math> तथा <math>G</math> विपरीत दिशाओं में माध्यम से यात्रा करना।इस लहर का एक सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जा सकता है<ref>For an example derivation, see the steps leading up to eq. (17) in {{cite web |url = http://prism.texarkanacollege.edu/physicsjournal/wave-eq.html |title = Kinematic Derivation of the Wave Equation |author = Francis Redfern |work = Physics Journal |access-date = 2012-12-11 |archive-date = 2013-07-24 |archive-url = https://web.archive.org/web/20130724011045/http://prism.texarkanacollege.edu/physicsjournal/wave-eq.html |url-status = dead }}</ref> आंशिक अंतर समीकरण के रूप में | दो घटक तरंगों का प्रतिनिधित्व करना <math>F</math> तथा <math>G</math> विपरीत दिशाओं में माध्यम से यात्रा करना।इस लहर का एक सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जा सकता है<ref>For an example derivation, see the steps leading up to eq. (17) in {{cite web |url = http://prism.texarkanacollege.edu/physicsjournal/wave-eq.html |title = Kinematic Derivation of the Wave Equation |author = Francis Redfern |work = Physics Journal |access-date = 2012-12-11 |archive-date = 2013-07-24 |archive-url = https://web.archive.org/web/20130724011045/http://prism.texarkanacollege.edu/physicsjournal/wave-eq.html |url-status = dead }}</ref> आंशिक अंतर समीकरण के रूप में | ||
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सामान्य समाधान दुहमेल के सिद्धांत पर आधारित हैं।<ref name=Struwe>{{cite book |title = Geometric wave equations |author1=Jalal M. Ihsan Shatah |author2=Michael Struwe |chapter-url = https://books.google.com/books?id=zsasG2axbSoC&pg=PA37 |chapter = The linear wave equation |pages = 37''ff'' |isbn = 978-0-8218-2749-9 |year = 2000 |publisher = American Mathematical Society Bookstore }}</ref> दूसरे ऑर्डर वेव समीकरणों के अलावा जो एक स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन कर रहे हैं, एक-तरफ़ा तरंग समीकरण एक परिभाषित दिशा में एकल तरंग के प्रसार का वर्णन करता है। | सामान्य समाधान दुहमेल के सिद्धांत पर आधारित हैं।<ref name=Struwe>{{cite book |title = Geometric wave equations |author1=Jalal M. Ihsan Shatah |author2=Michael Struwe |chapter-url = https://books.google.com/books?id=zsasG2axbSoC&pg=PA37 |chapter = The linear wave equation |pages = 37''ff'' |isbn = 978-0-8218-2749-9 |year = 2000 |publisher = American Mathematical Society Bookstore }}</ref> दूसरे ऑर्डर वेव समीकरणों के अलावा जो एक स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन कर रहे हैं, एक-तरफ़ा तरंग समीकरण एक परिभाषित दिशा में एकल तरंग के प्रसार का वर्णन करता है। | ||
=== | === तरंग रूप === | ||
{{main|Waveform}} | {{main|Waveform}} | ||
[[File:Waveforms.svg|thumb|right|280 पीएक्स | साइन, स्क्वायर, त्रिभुज और आरा वेवफॉर्म।]] | [[File:Waveforms.svg|thumb|right|280 पीएक्स | साइन, स्क्वायर, त्रिभुज और आरा वेवफॉर्म।]] | ||
D'Alembert के सूत्र में | |||