तरंग: Difference between revisions

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पानी की लहरें पानी की लहरें पानी के तरंगों को दिखाती हैं

भौतिकी, गणित और संबंधित क्षेत्रों में, तरंग एक या अधिक मात्राओं का गतिशील विक्षोभ (संतुलन से परिवर्तन) है। तरंगें आवर्ती हो सकती हैं, ऐसी स्थिति में वे मात्राएँ संतुलन (बाकी) मान के बारे में किसी आवृत्ति पर बार-बार दोलन करती हैं। जब पूरी तरंग एक दिशा में गमन करती है, तो उसे यात्रा तरंग कहते हैं; इसके विपरीत, विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली आरोपित आवर्ती तरंगों का एक जोड़ा एक स्थायी तरंग बनाता है। एक स्थायी तरंग में, उस स्थिति में कंपन का आयाम शून्य होता है जहां तरंग का आयाम छोटा या शून्य भी प्रतीत होता है। तरंगो को अक्सर एक एकल तरंग समीकरण (दो विपरीत तरंगों के स्थायी तरंग क्षेत्र) या परिभाषित दिशा में फैलने वाली एकल तरंग के लिए एकांगी तरंग समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है।

चिरसम्मत भौतिकी में, दो प्रकार की तरंगों का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक यांत्रिक तरंग में, प्रतिबल और विकृति क्षेत्र यांत्रिक संतुलन के संबंध में में दोलन करते हैं। एक यांत्रिक तरंग कुछ भौतिक माध्यम में एक स्थानीय विकृति (तनाव) है जो एक स्थानीय तनाव बनाकर कण से कण तक फैलती है जो निकटवर्ती कणों में तनाव भी पैदा करती है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें स्थानीय दबाव और कण गति के रूपांतर हैं जो एक माध्यम से फैलती हैं। यांत्रिक तरंगों के अन्य उदाहरण भूकंपीय तरंगें, गुरुत्वाकर्षण तरंगें, सतही तरंगें, तार कंपन और भंवर हैं। मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार, विद्युत चुम्बकीय तरंग (जैसे प्रकाश) में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच युग्मन इन क्षेत्रों को घेरने वाली तरंग के प्रसार को बनाए रखता है।विद्युत चुम्बकीय तरंगें एक निर्वात और परावैद्युत माध्यम (तरंग दैर्ध्य पर जहां उन्हें पारदर्शी माना जाता है) के माध्यम से अवतरण कर सकते हैं। विद्युत चुम्बकीय तरंगों में रेडियो तरंग, अवरक्त विकिरण, टेराहर्ट्ज तरंग, दृश्य प्रकाश, पराबैंगनी विकिरण, एक्स-रे और गामा किरणों सहित उनकी आवृत्तियों (या तरंग दैर्ध्य) के अनुसार अधिक विशिष्ट पदनाम होते हैं।

अन्य प्रकार की तरंगों में गुरुत्वाकर्षण तरंगें शामिल हैं, जो दिक्काल गड़बड़ी हैं जो सामान्य सापेक्षता गर्मी प्रसार तरंगों के अनुसार फैलती हैं, प्लाज्मा तरंगें जो यांत्रिक विकृतियों को जोड़ती हैं, और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र प्रतिक्रिया-प्रसार तरंगें, जैसे कि बेलौसोव-ज़ाबोटिन्स्की प्रतिक्रिया और कई अन्य। यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय तरंगें ऊर्जा,^[1] गति और सूचना को स्थानांतरित करती हैं, लेकिन वे कणों को माध्यम में नहीं ले जाती हैं। गणित और इलेक्ट्रॉनिक्स में तरंगों का अध्ययन संकेतों के रूप में किया जाता है।^[2] दूसरी ओर, कुछ तरंगों में ऐसे आवरण होते हैं जो बिल्कुल भी हिलते नहीं हैं जैसे कि अप्रगामी तरंगें (जो संगीत के लिए मूलभूत हैं) और द्रव-चालित अकस्मात वृद्धि। कुछ, क्वांटम यांत्रिकी के संभाव्यता तरंग कार्यों की तरह, पूरी तरह से स्थिर हो सकते हैं।^{[dubious – discuss]}.

File:Santos E et al Neuroimage 2014 .gif

मस्तिष्क कॉर्टेक्स पर विस्तार करने वाली जैविक तरंगों का उदाहरण, विध्रुवण फैलाने का एक उदाहरण।^[3]

एक भौतिक तरंग क्षेत्र लगभग हमेशा अंतरिक्ष के कुछ सीमित क्षेत्र तक ही सीमित रहता है, जिसे उसका कार्यक्षेत्र कहा जाता है। उदाहरण के लिए, भूकंप से उत्पन्न भूकंपीय तरंगें केवल ग्रह के आंतरिक और सतह पर ही महत्वपूर्ण होती हैं, इसलिए उन्हें इसके बाहर नजरअंदाज किया जा सकता है। हालांकि, अनंत कार्यक्षेत्र वाली तरंगें, जो अंतरिक्ष में फैली हुई हैं, आमतौर पर गणित में अध्ययन की जाती हैं और परिमित कार्यक्षेत्र में भौतिक तरंगों को समझने के लिए बहुत मूल्यवान उपकरण हैं।

समतल तरंग एक महत्वपूर्ण गणितीय आदर्शीकरण है जहां किसी भी (अनंत) समतल के साथ यात्रा की एक विशिष्ट दिशा के लिए अशांति समान होती है। गणितीय रूप से, सरलतम तरंग एक ज्यावक्रीय समतल तरंग है जिसमें किसी भी बिंदु पर क्षेत्र आवृत्ति पर सरल लयबद्ध गति का अनुभव करता है। रैखिक माध्यम में, जटिल तरंगों को आम तौर पर कई ज्यावक्रीय समतल तरंगों के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है, प्रसार की विभिन्न दिशाओं और/या विभिन्न आवृत्तियों के साथ। एक समतल तरंग को अनुप्रस्थ तरंग के रूप में वर्गीकृत किया जाता है यदि प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र विक्षोभ को प्रसार की दिशा (ऊर्जा हस्तांतरण की दिशा भी) के लंबवत वेक्टर द्वारा वर्णित किया जाता है; या एक अनुदैर्ध्य तरंग यदि वे वैक्टर प्रसार दिशा के साथ संरेखित हों। यांत्रिक तरंगों में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों तरंगें शामिल हैं; दूसरी ओर, विद्युत चुम्बकीय समतल तरंगें सख्ती से अनुप्रस्थ होती हैं जबकि तरल पदार्थ (जैसे वायु) में ध्वनि तरंगें केवल अनुदैर्ध्य हो सकती हैं। प्रसार दिशा के सापेक्ष एक दोलन क्षेत्र की भौतिक दिशा, जिसे तरंग के ध्रुवीकरण के रूप में भी जाना जाता है, एक महत्वपूर्ण विशेषता हो सकती है।

गणितीय विवरण

एकल तरंगें

एक तरंग को एक क्षेत्र की तरह वर्णित किया जा सकता है, अर्थात, एक फ़ंक्शन $F(x,t)$ के रूप में जहां $x$ एक स्थिति है और $t$ एक समय है।

$x$ का मान अंतराल में एक बिंदु है, विशेष रूप से वह क्षेत्र जिसमें तरंग परिभाषित होती है।गणितीय शब्दों में, यह आमतौर पर कार्तीय त्रि-आयामी अंतराल $\mathbb {R} ^{3}$ में एक वेक्टर होता है। हालांकि, कई मामलों में कोई एक आयाम को अनदेखा कर सकता है, और $x$ को एक कार्टेशियन तल $\mathbb {R} ^{2}$ एक बिंदु के रूप में मान सकता है। यह मामला है, उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी कंपन का अध्ययन करते समय। कोई व्यक्ति $x$ कार्टेशियन लाइन $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं के समहू पर एक बिंदु तक सीमित कर सकता है। ह मामला है, उदाहरण के लिए, जब वायलिन स्ट्रिंग पर या रिकॉर्डर में कंपन का अध्ययन किया जाता है। दूसरी ओर, समय $t$ को हमेशा एक अदिश राशि अर्थात वास्तविक संख्या माना जाता है।

का मूल्य $F(x,t)$ किसी भी भौतिक मात्रा को बिंदु पर सौंपा जा सकता है $x$ यह समय के साथ भिन्न हो सकता है।उदाहरण के लिए, यदि $F$ एक लोचदार ठोस के अंदर कंपन का प्रतिनिधित्व करता है, मूल्य $F(x,t)$ आमतौर पर एक वेक्टर है जो वर्तमान विस्थापन देता है $x$ भौतिक कणों में से जो बिंदु पर होंगे $x$ कंपन की अनुपस्थिति में। एक विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए, $F$ का मान एक विद्युत क्षेत्र वेक्टर $E$ , या एक चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर $H$ , या कोई भी संबंधित मात्रा हो सकता है, जैसे कि सूचक वेक्टर $E\times H$ । द्रव की गतिशीलता में, मूल्य $F(x,t)$ बिंदु पर द्रव का वेग वेक्टर हो सकता है $x$ , या किसी भी अदिश संपत्ति जैसे दबाव, तापमान, या घनत्व। एक रासायनिक प्रतिक्रिया में, $F(x,t)$ बिंदु $x$ के पड़ोस में किसी पदार्थ की सांद्रता प्रतिक्रिया माध्यम हो सकती है।

किसी भी आयाम $d$ (1, 2, या 3), के लिए, तरंग का कार्यक्षेत्र तब $\mathbb {R} ^{d}$ का एक उपसमुच्चय $D$ होता है, ताकि फ़ंक्शन मान $F(x,t)$ को $D$ में किसी भी बिंदु $x$ के लिए परिभाषित किया सकता है। उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी की गति का वर्णन करते समय, कोई विचार कर सकता है $D$ सतह पर एक डिस्क (सर्कल) होना $\mathbb {R} ^{2}$ मूल में केंद्र के साथ $(0,0)$ , और मान लीजिए कि बिंदु $x$ पर $F(x,t)$ सर्वपृष्ठी का लंबवत विस्थापन है और $x$ पर समय $t$ है।

तरंग परिवार

कभी-कभी एक विशिष्ट तरंग में रुचि होती है। अधिक बार, हालांकि, किसी को संभावित तरंगों के एक बड़े सेट को समझने की आवश्यकता होती है; सभी तरीकों की तरह, ड्रमस्टिक, या हवाई अड्डों के पास हवाई जहाजों से प्राप्त सभी संभावित रडार गूँज से टकराने के बाद ड्रम की त्वचा कंपन करती है।

उनमें से कुछ स्थितियों में, एक फ़ंक्शन $F(A,B,\ldots ;x,t)$ द्वारा तरंगों के ऐसे परिवार का वर्णन कर सकता है जो $x$ और $t$ के अलावा कुछ पैरामीटर $A,B,\ldots$ पर निर्भर करता है। फिर कोई अलग-अलग तरंग-कार्य प्राप्त कर सकता है - यानी $x$ और $t$ के विभिन्न कार्य - उनके लिए अलग-अलग मान चुनकर मापदंड।

File:Half-open pipe wave.gif

एक आधे-खुले पाइप में ध्वनि दबाव खड़ी लहर मौलिक के 7 वें हार्मोनिक खेलते हुए (n = 4)

उदाहरण के लिए, एक रिकॉर्डर के अंदर ध्वनि दबाव जो "शुद्ध" सुर बजा रहा है, आमतौर पर एक स्थायी तरंग होता है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

F(A,L,n,c;x,t)=A\left(\cos 2\pi x{\frac {2n-1}{4L}}\right)\left(\cos 2\pi ct{\frac {2n-1}{4L}}\right)

पैरामीटर $A$ लहर के आयाम को परिभाषित करता है (अर्थात, बोर में अधिकतम ध्वनि दबाव, जो सुर की ज़ोर से संबंधित है); $c$ ध्वनि की गति है; $L$ बोर की लंबाई है;तथा $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक (1,2,3,…) है जो स्थायी तरंग में नोड्स की संख्या को निर्दिष्ट करता है। (स्थिति $x$ माउथपीस और समय से मापा जाना चाहिए $t$ किसी भी क्षण से, जिस पर मुखपत्र पर दबाव अधिकतम होता है। मात्रा $\lambda =4L/(2n-1)$ उत्सर्जित नोट की तरंग दैर्ध्य है, और $f=c/\lambda$ इसकी आवृत्ति है।) इन तरंगों के कई सामान्य गुणों को इस सामान्य समीकरण से अनुमान लगाया जा सकता है, मापदंडों के लिए विशिष्ट मूल्यों का चयन किए बिना।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, यह हो सकता है कि एक ही प्रहार के बाद ड्रम की त्वचा का कंपन केवल त्वचा के केंद्र से स्ट्राइक बिंदु तक की दूरी $r$ और स्ट्राइक $s$ की ताकत पर निर्भर करता है। तब सभी संभावित हमलों के लिए कंपन हो सकता है एक प्रकार्य $F(r,s;x,t)$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

कभी -कभी ब्याज की लहरों के परिवार में कई मापदंड होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह वर्णन करना चाह सकता है कि धातु की छड़ में तापमान का क्या होता है जब इसे शुरू में इसकी लंबाई के साथ अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग तापमान पर गर्म किया जाता है और फिर वैक्यूम में अपने आप ठंडा हो जाता है।उस स्थिति में, एक स्केलर या वेक्टर के बजाय, पैरामीटर को एक प्रकार्य होना होगा $h$ ऐसा है कि $h(x)$ प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान है $x$ के बार के प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान हो। फिर बाद के समय में तापमान एक क्रिया द्वारा व्यक्त किया जा सकता है $F$ यह क्रिया पर निर्भर करता है $h$ (वह है, एक कार्यात्मक परिचालक), ताकि बाद में तापमान हो $F(h;x,t)$ ।

विभेदक तरंग समीकरण

तरंगों के परिवार का वर्णन और अध्ययन करने का एक अन्य तरीका एक गणितीय समीकरण देना है, जो स्पष्ट रूप से $F(x,t)$ का मान देने के बजाय, केवल यह बताता है कि वे मान समय के साथ कैसे बदल सकते हैं। फिर प्रश्न में लहरों के परिवार में सभी कार्य होते हैं $F$ यह उन बाधाओं को पूरा करता है - अर्थात, समीकरण के सभी समाधान।

भौतिकी में यह दृष्टिकोण अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि बाधाएं आमतौर पर उन भौतिक प्रक्रियाओं का परिणाम होती हैं जो लहर को विकसित करने का कारण बनती हैं। उदाहरण के लिए, यदि $F(x,t)$ एक सजातीय और समरूप ठोस के एक ब्लॉक के अंदर का तापमान है, तो इसकी वृद्धि आंशिक अंतर समीकरण द्वारा बाधित होती है

{\frac {\partial F}{\partial t}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta Q(x,t)

जंहा पे $Q(p,f)$ क्या गर्मी है जो प्रति यूनिट वॉल्यूम और समय के पड़ोस में उत्पन्न हो रही है $x$ समय पर $t$ (उदाहरण के लिए, वहां हो रही रासायनिक प्रतिक्रियाओं द्वारा); $x_{1},x_{2},x_{3}$ बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक हैं $x$ ; $\partial F/\partial t$ का (पहले) व्युत्पन्न है $F$ इसके संबंध में $t$ ;तथा $\partial ^{2}F/\partial x_{i}^{2}$ का दूसरा व्युत्पन्न है $F$ के सापेक्ष $x_{i}$ ।(प्रतीक $\partial$ यह संकेत देने के लिए है कि, कुछ चर के संबंध में व्युत्पन्न में, अन्य सभी चर को निश्चित माना जाना चाहिए।)

यह समीकरण भौतिकी के नियमों से प्राप्त किया जा सकता है जो ठोस मीडिया में गर्मी के प्रसार को नियंत्रित करते हैं।उस कारण से, इसे गणित में हीट समीकरण कहा जाता है, भले ही यह तापमान के अलावा कई अन्य भौतिक मात्राओं पर लागू होता है।

एक अन्य उदाहरण के लिए, हम एक क्रिया द्वारा गैस के कंटेनर के भीतर गूंजने वाली सभी संभावित ध्वनियों का वर्णन कर सकते हैं $F(x,t)$ जो एक बिंदु पर दबाव देता है $x$ और समय $t$ उस कंटेनर के भीतर। यदि गैस शुरू में एक समान तापमान और संरचना पर थी, तो का विकास $F$ सूत्र द्वारा विवश है

{\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta P(x,t)

यहां $P(x,t)$ कुछ अतिरिक्त संपीड़न बल है जो गैस के पास लागू किया जा रहा है $x$ कुछ बाहरी प्रक्रिया द्वारा, जैसे कि लाउडस्पीकर या पिस्टन के ठीक बगल में $p$ ।

यह समान अंतर समीकरण एक सजातीय आइसोट्रोपिक गैर-संवाहक ठोस में यांत्रिक कंपन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के व्यवहार का वर्णन करता है। ध्यान दें कि यह समीकरण ही गर्मी के प्रवाह से भिन्न होता है, केवल बाईं ओर की ओर होता है $\partial ^{2}F/\partial t^{2}$ , का दूसरा व्युत्पन्न $F$ समय के संबंध में, पहले व्युत्पन्न के बजाय $\partial F/\partial t$ । फिर भी यह छोटा परिवर्तन समाधान के सेट पर एक बड़ा अंतर बनाता है $F$ । इस अंतर समीकरण को गणित में तरंग समीकरण कहा जाता है, भले ही यह केवल एक बहुत ही विशेष प्रकार की तरंगों का वर्णन करता है।

तन्य माध्यम में तरंग

एक स्ट्रिंग (मध्यम) पर यात्रा करने वाली एक अनुप्रस्थ तरंग (जो एक पल्स हो सकती है) पर विचार करें। स्ट्रिंग को स्थानिक आयाम के लिए मानें। इस लहर को एक यात्रा के रूप में सोचें

File:Nonsinusoidal wavelength.svg

तरंग दैर्ध्य λ, एक तरंग पर किसी भी दो संबंधित बिंदुओं के बीच मापा जा सकता है

File:Superpositionprinciple.gif

में $x$ अंतरिक्ष में दिशा।उदाहरण के लिए, सकारात्मक होने दें $x$ दिशा दाईं ओर है, और नकारात्मक $x$ दिशा बाईं ओर हो।
निरंतर आयाम के साथ $u$
निरंतर वेग के साथ $v$ $v$ , कहाँ पे $v$ $v$ है
- तरंग दैर्ध्य से स्वतंत्र (कोई फैलाव नहीं)
- आयाम से स्वतंत्र (रैखिक मीडिया, नॉनलाइनियर नहीं)।^[4]^[5]
निरंतर तरंग, या आकार के साथ

इस लहर को तब दो-आयामी कार्यों द्वारा वर्णित किया जा सकता है

u(x,t)=F(x-vt)

(तरंग

F

दाईं ओर यात्रा)

u(x,t)=G(x+vt)

(तरंग

G

बाईं ओर यात्रा)

या, अधिक आम तौर पर, डी'अलेम्बर्ट (D'Alembert) के सूत्र द्वारा:^[6]

u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt).

दो घटक तरंगों का प्रतिनिधित्व करना $F$ तथा $G$ विपरीत दिशाओं में माध्यम से यात्रा करना।इस लहर का एक सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जा सकता है^[7] आंशिक अंतर समीकरण के रूप में

{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.

सामान्य समाधान दुहमेल के सिद्धांत पर आधारित हैं।^[8] दूसरे ऑर्डर वेव समीकरणों के अलावा जो एक स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन कर रहे हैं, एक-तरफ़ा तरंग समीकरण एक परिभाषित दिशा में एकल तरंग के प्रसार का वर्णन करता है।

तरंग रूप

File:Waveforms.svg

साइन, स्क्वायर, त्रिभुज और आरा वेवफॉर्म।

D'Alembert के सूत्र में F के रूपों या आंकड़ों में तर्क x - vt शामिल है। इस तर्क के निरंतर मान F के निरंतर मानों के अनुरूप हैं, और ये स्थिर मान तब होते हैं जब x उसी दर से बढ़ता है जो vt बढ़ता है। अर्थात्, तरंग के आकार का फलन F धनात्मक x-दिशा में v वेग से यात्रा करेगा (और G ऋणात्मक x-दिशा में समान गति से यात्रा करेगा)।^[9] n आवर्त फलन F की अवधि के साथ, अर्थात्, F(x + - vt) = F(x - vt) के मामले में, अंतरिक्ष में F की आवृत्ति का अर्थ है कि कोई व्यक्ति किसी निश्चित समय पर तरंग का एक स्नैपशॉट पाता है। टी समय अंतरिक्ष में अवधि (लहर की तरंग दैर्ध्य) के साथ बदलता है। इसी तरह, f की यह आवधिकता समय में आवधिकता को भी दर्शाती है: f(x - v(t + t)) = f(x - vt) दिया गया vt =, इसलिए एक निश्चित स्थान पर तरंग का अवलोकन x अवधि T = साथ / v आवधिक तरंग को लहरदार पाते हैं।^[10]

आयाम और मॉड्यूलेशन

File:Amplitudemodulation.gif

File:Wave packet.svg

एक आयाम-संशोधित लहर के लिफाफे (धीरे-धीरे अलग-धीरे लाल वक्र) का चित्रण।तेजी से अलग -अलग नीले वक्र वाहक लहर है, जिसे संशोधित किया जा रहा है।

एक तरंग का आयाम स्थिर हो सकता है (जिस स्थिति में लहर एक C.W.(continuous wave) या निरंतर तरंग है), या इसे समय और/या स्थिति के साथ बदलने के लिए संशोधित किया जा सकता है। आयाम में भिन्नता के पैटर्न को तरंग का आवरण कहा जाता है। गणितीय रूप से, एक संग्राहक तरंग को इस प्रकार लिखा जा सकता है::^[11]^[12]^[13]

u(x,t)=A(x,t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),

कहाँ पे $A(x,\ t)$ लहर का आयाम आवरण है, $k$ लहरें है और $\phi$ चरण है। यदि समूह वेग $v_{g}$ (नीचे देखें) तरंग दैर्ध्य-स्वतंत्र है, इस समीकरण को सरल किया जा सकता है:^[14]

u(x,t)=A(x-v_{g}t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),

यइससे पता चलता है कि आवरण समूह वेग के साथ गति करता है और अपना आकार बनाए रखता है। अन्यथा, ऐसे मामलों में जहां समूह वेग तरंग दैर्ध्य के साथ बदलता है, पल्स आकार एक आवरण समीकरण का उपयोग करके वर्णित तरीके से बदलता है।^[14]^[15]

चरण वेग और समूह वेग

File:Wave group.gif

लाल वर्ग चरण वेग के साथ चलता है, जबकि हरे रंग के घेरे बाईं ओर से फैलते हैं

दो वेग हैं जो तरंगों, चरण वेग और समूह वेग से जुड़े होते हैं।

चरण वेग वह दर है जिस पर तरंग का चरण अंतराल पर फैलता है: लहर का कोई भी चरण (उदाहरण के लिए, शिखा) चरण वेग के साथ यात्रा करता हुआ दिखाई देगा। चरण वेग तरंग दैर्ध्य के संदर्भ में दिया जाता है $λ$ (लैम्ब्डा) और अवधि $T$ जैसा

v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.

File:Wave opposite-group-phase-velocity.gif

समूह और चरण वेगों के साथ एक लहर अलग -अलग दिशाओं में जा रही है

समूह वेग तरंगों की एक संपत्ति है जिसमें एक परिभाषित आवरण होता है, जो कि तरंगों के आयामों के समग्र आकार के अंतरिक्ष के माध्यम से प्रसार को मापता है (या लहर के मॉड्यूलेशन या आवरण;

विशेष तरंगें

ज्या तरंगें

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ज्या तरंग, ज्यावक्रीय तरंग, या सिर्फ ज्यावक्र एक गणितीय वक्र है जिसे ज्या त्रिकोणमितीय क्रिया के संदर्भ में परिभाषित किया गया है जिसमें यह एक ग्राफ है। यह एक प्रकार की सतत तरंग है और यह एक स्वतःस्फूर्त समय फलन भी है। यह अक्सर गणित, साथ ही भौतिकी, इंजीनियरिंग, सिग्नल प्रोसेसिंग और कई अन्य क्षेत्रों में होता है।

समतल तरंगें

समतल तरंग एक प्रकार की तरंग है जिसका मान केवल एक स्थानिक दिशा में भिन्न होता है। अर्थात् उस दिशा के लम्बवत तल पर इसका मान स्थिर होता है। समतल तरंगों को इकाई लंबाई ${\hat {n}}$ के एक वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है जो उस दिशा को इंगित करता है जिसमें तरंग विचलन करती है, और एक तरंग रूपरेखा यह बताती है कि उस दिशा के साथ विस्थापन के कार्य के रूप में तरंग कैसे बदलती है। ( ${\hat {n}}\cdot {\vec {x}}$ और समय ( t ) चूंकि तरंग रूपरेखा ${\hat {n}}\cdot {\vec {x}}$ संयोजन में केवल स्थिति ${\vec {x}}$ पर निर्भर करती है, ${\hat {n}}$ के लंबवत दिशाओं में कोई भी विस्थापन क्षेत्र के मान को प्रभावित नहीं कर सकता है।

समतल तरंगों का उपयोग अक्सर विद्युत चुम्बकीय तरंगों को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है जो एक स्रोत से बहुत दूर होती हैं। विद्युत चुम्बकीय समतल तरंगों के लिए, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र स्वयं प्रसार की दिशा में अनुप्रस्थ होते हैं, और एक दूसरे के लंबवत भी होते हैं।

स्थायी तरंगें

File:Standing wave.gif

खड़ी लहर।लाल डॉट्स वेव नोड्स का प्रतिनिधित्व करते हैं

एक स्थायी तरंग, जिसे एक स्थिर तरंग के रूप में भी जाना जाता है, एक तरंग है जिसका आवरण स्थिर अवस्था में रहता है। यह घटना विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो तरंगों के बीच हस्तक्षेप के परिणामस्वरूप होती है।

दो प्रति-प्रसार तरंगों का योग (एक ही आयाम और आवृत्ति की) एक स्थायी तरंग बनाता है। स्थायी तरंगें आमतौर पर तब उत्पन्न होती हैं जब एक सीमा लहर के आगे के प्रसार को अवरुद्ध करती है, इस प्रकार लहर को प्रतिबिंबित करती है, और इसलिए एक प्रति-प्रसार लहर का परिचय देती है। उदाहरण के लिए, जब एक वायलिन स्ट्रिंग को विस्थापित किया जाता है, तो अनुप्रस्थ तरंगें उस बिंदु तक फैलती हैं जहां स्ट्रिंग को पुल और अखरोट पर रखा जाता है, जहां तरंगें वापस परावर्तित होती हैं। पुल और नट पर, दो विरोधी तरंगें विरोधी चरण में होती हैं और एक दूसरे को रद्द करके एक नोड बनाती हैं। दो नोड्स के बीच में, एक एंटीनोड होता है, जहां दो प्रति-प्रसार तरंगें एक-दूसरे को अधिकतम रूप से बढ़ाती हैं। समय के साथ ऊर्जा का कोई शुद्ध अपव्यय नहीं है।

One-dimensional standing waves; the fundamental mode and the first 5 overtones.
A two-dimensional standing wave on a disk; this is the fundamental mode.
A standing wave on a disk with two nodal lines crossing at the center; this is an overtone.

भौतिक गुण

तरंगें कई मानक परिस्थितियों में सामान्य व्यवहार प्रदर्शित करती हैं, उदाहरण के लिए:

संचरण और संचार माध्यम

तरंगें आम तौर पर एक ट्रांसमिशन माध्यम के माध्यम से एक सीधी रेखा (यानी, यानी, आयतवाद) में चलती हैं। इस तरह के मीडिया को निम्नलिखित श्रेणियों में से एक या अधिक में वर्गीकृत किया जा सकता है:

एक परिबद्ध माध्यम यदि वह सीमा में परिमित है, अन्यथा एक असंबद्ध माध्यम।
एक रैखिक माध्यम यदि माध्यम में किसी विशेष बिंदु पर विभिन्न तरंगों के आयामों को जोड़ा जा सकता है।
एक समान माध्यम या सजातीय माध्यम यदि इसके भौतिक गुण अंतरिक्ष में विभिन्न स्थानों पर अपरिवर्तित हैं।
एक विषमदैशिक माध्यम यदि इसके एक या अधिक भौतिक गुण एक या अधिक दिशाओं में भिन्न होते हैं।
एक समदिक माध्यम यदि इसके भौतिक गुण सभी दिशाओं में समान हैं।

अवशोषण

तरंगों को आमतौर पर मीडिया में परिभाषित किया जाता है जो बिना किसी नुकसान के अधिकांश या सभी तरंगों की ऊर्जा को प्रसारित करने की अनुमति देते हैं। हालांकि, सामग्रियों को "हानिकारक" के रूप में वर्णित किया जा सकता है यदि वे एक तरंग से ऊर्जा निकालते हैं, आमतौर पर इसे गर्मी में परिवर्तित करते हैं। इसे "अवशोषण" कहते हैं। एक सामग्री जो एक तरंग की ऊर्जा को अवशोषित करती है, या तो संचरण या प्रतिबिंब में, एक अपवर्तक सूचकांक द्वारा विशेषता होती है जो जटिल होती है। अवशोषण की मात्रा आमतौर पर तरंग की आवृत्ति (तरंग दैर्ध्य) पर निर्भर करती है, जो उदाहरण के लिए, यह बताती है कि वस्तुएं रंगीन क्यों दिखाई दे सकती हैं।

प्रतिबिंब

जब कोई तरंग किसी परावर्तक सतह से टकराती है, तो दिशा इस तरह बदल जाती है कि आपतित तरंग द्वारा अंतरित कोण और सतह पर अभिलंब रेखा परावर्तित तरंग द्वारा अंतरित कोण और समान अभिलंब रेखा के बराबर हो जाती है।

अपवर्तन

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साइनसोइडल ट्रैवलिंग प्लेन वेव लहर एक कोण पर निचली लहर वेग के एक क्षेत्र में प्रवेश करते हुए, जो तरंग दैर्ध्य में कमी और दिशा (अपवर्तन) के परिवर्तन को दर्शाता है।

अपवर्तन एक तरंग के वेग में परिवर्तन की घटना है। गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि चरण वेग का आकार बदला गया है। आमतौर पर, अपवर्तन तब होता है जब एक तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है। वह मात्रा जिससे किसी पदार्थ द्वारा तरंग का अपवर्तन किया जाता है, सामग्री के अपवर्तनांक द्वारा दी जाती है। आपतन और अपवर्तन की दिशाएं स्नेल के नियम के अनुसार दो पदार्थों के अपवर्तनांक से संबंधित हैं।

विवर्तन

एक तरंग विवर्तन प्रदर्शित करती है जब वह एक बाधा का सामना करती है जो लहर को मोड़ती है या जब यह एक उद्घाटन से निकलने के बाद फैलती है। विवर्तन प्रभाव तब अधिक स्पष्ट होते हैं जब बाधा या उद्घाटन का आकार तरंग की तरंग दैर्ध्य के बराबर होता है।

हस्तक्षेप

जब एक रेखीय माध्यम में तरंगें (सामान्य स्थिति) अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में एक दूसरे को पार करती हैं, तो वे वास्तव में एक-दूसरे के साथ बातचीत नहीं करती हैं, लेकिन इस तरह जारी रहती हैं जैसे कि कोई मौजूद नहीं थी। हालांकि, उस क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर, उन तरंगों का वर्णन करने वाली क्षेत्र मात्राएं अध्यारोपण सिद्धांत के अनुसार जुड़ती हैं। यदि तरंगें एक निश्चित चरण संबंध में समान आवृत्ति की होती हैं, तो आम तौर पर ऐसी स्थितियाँ होंगी जिन पर दो तरंगें चरण में होती हैं और उनके आयाम जुड़ते हैं, और अन्य स्थितियाँ जहाँ वे चरण से बाहर होती हैं और उनके आयाम (आंशिक रूप से या पूरी तरह से) रद्द करना। इसे व्यतिकरण प्रतिरूप कहते हैं।

ध्रुवीकरण

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बाएं

ध्रुवीकरण की घटना तब उत्पन्न होती है जब तरंग गति एक साथ दो लंबवत दिशाओं में हो सकती है। अनुप्रस्थ तरंगों को ध्रुवीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए। जब ध्रुवीकरण को बिना योग्यता के एक विवरणक के रूप में प्रयोग किया जाता है, तो यह आमतौर पर रैखिक ध्रुवीकरण के विशेष, सरल मामले को संदर्भित करता है। एक अनुप्रस्थ तरंग को रैखिक रूप से ध्रुवीकृत किया जाता है यदि यह केवल एक दिशा या तल में दोलन करती है। रैखिक ध्रुवीकरण के मामले में, उस विमान के सापेक्ष अभिविन्यास को जोड़ने के लिए अक्सर उपयोगी होता है, यात्रा की दिशा के लंबवत, जिसमें दोलन होता है, जैसे "क्षैतिज", उदाहरण के लिए, यदि ध्रुवीकरण का विमान समानांतर है मैदान। उदाहरण के लिए, मुक्त स्थान में प्रसारित विद्युत चुम्बकीय तरंगें अनुप्रस्थ होती हैं; ध्रुवीकरण फिल्टर के उपयोग से उन्हें ध्रुवीकरण किया जा सकता है।

अनुदैर्ध्य तरंगें, जैसे ध्वनि तरंगें, ध्रुवीकरण नहीं दिखाती हैं। इन तरंगों के लिए दोलन की केवल एक ही दिशा होती है, अर्थात् यात्रा की दिशा के साथ।

प्रसार

File:Light dispersion conceptual waves.gif

प्रकाश के योजनाबद्ध एक प्रिज्म द्वारा बिखरे हुए।एनीमेशन देखने के लिए क्लिक करें।

तरंग का प्रकीर्णन तब होता है जब या तो प्रावस्था वेग या समूह वेग तरंग आवृत्ति पर निर्भर करता है। सफेद प्रकाश को प्रिज्म से गुजरने देने से फैलाव सबसे आसानी से देखा जा सकता है, जिसका परिणाम इंद्रधनुष के रंगों के स्पेक्ट्रम का उत्पादन करना है। आइजैक न्यूटन ने प्रकाश और प्रिज्म के साथ प्रयोग किए, ऑप्टिक्स (1704) में अपने निष्कर्ष प्रस्तुत किए कि सफेद प्रकाश में कई रंग होते हैं और इन रंगों को आगे और विघटित नहीं किया जा सकता है।^[16]

यांत्रिक तरंगें

तार पर तरंगें

एक कंपन स्ट्रिंग (v) के साथ यात्रा करने वाली अनुप्रस्थ तरंग की गति रैखिक द्रव्यमान घनत्व (μ) पर स्ट्रिंग (T) के तनाव के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होती है:

v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}},

जहां रैखिक घनत्व μ स्ट्रिंग की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।

ध्वनिक तरंगें

ध्वनिक या ध्वनि तरंगें द्वारा दी गई गति से यात्रा करती हैं

v={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}},

या स्थिरोष्म बल्क मापांक का वर्गमूल परिवेशी द्रव घनत्व (ध्वनि की गति देखें) से विभाजित है।

जल तरंगें

File:Shallow water wave.gif

एक तालाब की सतह पर लहरें वास्तव में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगों का संयोजन होती हैं; इसलिए, सतह पर स्थित बिंदु कक्षीय मार्ग का अनुसरण करते हैं।
ध्वनि - एक यांत्रिक तरंग जो गैसों, तरल पदार्थों, ठोस पदार्थों और प्लाज्मा के माध्यम से फैलती है।
जड़त्वीय तरंगें, जो गतिमान तरल पदार्थों में होती हैं और कोरिओलिस प्रभाव से बहाल हो जाती हैं।
महासागरीय सतही तरंगें वे विक्षोभ हैं जो जल के माध्यम से फैलती हैं।

भूकंपीय तरंगें

भूकंपीय तरंगें ऊर्जा की तरंगें हैं जो पृथ्वी की पपड़ी के माध्यम से यात्रा करती हैं और भूकंप, ज्वालामुखी विस्फोट, मैग्मा आंदोलन, बड़े भूस्खलन और बड़े मानव निर्मित विस्फोटों का परिणाम हैं जो कम आवृत्ति ध्वनिक ऊर्जा का उत्सर्जन करते हैं।

डॉपलर प्रभाव

डॉप्लर प्रभाव (या डॉप्लर शिफ्ट) एक प्रेक्षक के संबंध में तरंग की आवृत्ति में परिवर्तन है जो तरंग स्रोत के सापेक्ष गति कर रहा है।^[17]इसका नाम ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी क्रिश्चियन डॉपलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस घटना का वर्णन 1842 में किया था।

आघात तरंग

File:Transonico-en.svg

एक विमान द्वारा एक सदमे की लहर का गठन।

आघात तरंग एक प्रकार का प्रसार गड़बड़ी है। जब कोई तरंग किसी द्रव में ध्वनि की स्थानीय गति से तेज गति से यात्रा करती है, तो यह आघात तरंग होती है। एक साधारण लहर की तरह, आघात तरंग ऊर्जा वहन करती है और एक माध्यम से फैल सकती है; हालांकि, यह माध्यम के दबाव, तापमान और घनत्व में अचानक, लगभग असंतुलित परिवर्तनों की विशेषता है।^[18]

अन्य

यातायात की लहरें, यानी मोटर वाहनों के विभिन्न घनत्वों का प्रसार, और आगे, जिसे गतिज तरंगों के रूप में प्रतिरूपित किया जा सकता है।^[19]
मेटाक्रोनल तरंग समन्वित अनुक्रमिक क्रियाओं द्वारा उत्पादित एक यात्रा तरंग की उपस्थिति को संदर्भित करती है।

विद्युत चुम्बकीय तरंगें

File:Onde electromagnétique.png

300 पीएक्स

विद्युत चुम्बकीय तरंग में दो तरंगें होती हैं जो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के दोलन होते हैं। एक विद्युत चुम्बकीय तरंग एक दिशा में यात्रा करती है जो दोनों क्षेत्रों की दोलन दिशा के समकोण पर है। 19वीं शताब्दी में, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने दिखाया कि, निर्वात में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र तरंग समीकरण को प्रकाश की गति के बराबर गति के साथ संतुष्ट करते हैं। इससे यह विचार उभरा कि प्रकाश एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है। विद्युत चुम्बकीय तरंगों में अलग-अलग आवृत्तियाँ (और इस प्रकार तरंग दैर्ध्य) हो सकती हैं, जिससे विभिन्न प्रकार के विकिरण जैसे रेडियो तरंगें, माइक्रोवेव, अवरक्त, दृश्य प्रकाश, पराबैंगनी, एक्स-रे और गामा किरणें उत्पन्न होती हैं।

क्वांटम यांत्रिक तरंग

श्रोडिंगर समीकरण

श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम यांत्रिकी में कणों के तरंग जैसे व्यवहार का वर्णन करता है। इस समीकरण के हल तरंग फलन हैं जिनका उपयोग किसी कण के प्रायिकता घनत्व का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।

DIRAC समीकरण

DIRAC समीकरण एक आपेक्षिक तरंग समीकरण है जो विद्युतचुंबकीय अंतःक्रियाओं का विवरण देता है। DIRAC तरंगों ने पूरी तरह से कठोर तरीके से हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के बारीक विवरण के लिए जिम्मेदार हैं। तरंग समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, प्रतिकण के अस्तित्व को भी निहित किया, जो पहले से अनसुना और अप्रमाणित था और जिसकी प्रयोगात्मक पुष्टि की गई थी। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, स्पिन-आधा कणों के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए DIRAC समीकरण की पुनर्व्याख्या की जाती है।

File:Wave packet (dispersion).gif

एक प्रसार तरंग पैकेट;सामान्य तौर पर, वेव पैकेट का लिफाफा घटक तरंगों की तुलना में एक अलग गति से चलता है।^[20]

डी ब्रोगली तरंगें

लुईस डी ब्रोगली ने कहा कि संवेग वाले सभी कणों की तरंगदैर्घ्य होती है

\lambda ={\frac {h}{p}},

जहाँ h प्लांक नियतांक है और p कण के संवेग का परिमाण है। यह परिकल्पना क्वांटम यांत्रिकी पर आधारित थी। आजकल, इस तरंगदैर्घ्य को डी ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सीआरटी डिस्प्ले में इलेक्ट्रॉनों में लगभग 10⁻¹³ m डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य होती है।

k-दिशा में यात्रा कर रहे ऐसे कण का प्रतिनिधित्व करने वाली तरंग तरंग फ़ंक्शन द्वारा निम्नानुसार व्यक्त की जाती है:

\psi (\mathbf {r} ,\,t=0)=Ae^{i\mathbf {k\cdot r} },

जहां तरंग दैर्ध्य को वेव वेक्टर के रूप में निर्धारित किया जाता है:

\lambda ={\frac {2\pi }{k}},

और द्वारा गति:

\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .

हालांकि, इस तरह की एक निश्चित तरंग दैर्ध्य के साथ एक लहर अंतरिक्ष में स्थानीयकृत नहीं होती है, और इसलिए अंतरिक्ष में स्थानीयकृत कण का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकती है। एक कण को स्थानीयकृत करने के लिए, डी ब्रोगली ने एक तरंग पैकेट में एक केंद्रीय मूल्य के आसपास विभिन्न तरंग दैर्ध्य के एक सुपरपोजिशन का प्रस्ताव रखा,^[21] एक कण के तरंग कार्य का वर्णन करने के लिए क्वांटम यांत्रिकी में अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला एक तरंग। एक तरंग पैकेट में, कण की तरंग दैर्ध्य सटीक नहीं होती है, और स्थानीय तरंगदैर्घ्य मुख्य तरंग दैर्ध्य मान के दोनों ओर विचलित हो जाता है।

एक स्थानीयकृत कण के तरंग कार्य का प्रतिनिधित्व करने में, तरंग पैकेट को अक्सर गाऊसी आकार के लिए लिया जाता है और इसे गाऊसी तरंग पैकेट कहा जाता है।^[22] गाऊसी तरंग पैकेट का उपयोग पानी की तरंगों का विश्लेषण करने के लिए भी किया जाता है।^[23] उदाहरण के लिए, एक गाऊसी तरंग का रूप ले सकता है:^[24]

\psi (x,\,t=0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}+ik_{0}x\right),

प्रारंभिक समय में t = 0, जहां केंद्रीय तरंग दैर्ध्य केंद्रीय तरंग सदिश k0 से 0 = 2π / k0 के रूप में संबंधित होता है। फूरियर विश्लेषण के सिद्धांत, ,^[25] या हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी के मामले में) से यह सर्वविदित है कि एक स्थानीय तरंग पैकेट का निर्माण करने के लिए तरंग दैर्ध्य की एक संकीर्ण सीमा आवश्यक है, और लिफाफा जितना अधिक हो स्थानीयकृत है, आवश्यक तरंगदैर्घ्य में प्रसार जितना अधिक होगा। एक गाऊसी का फूरियर रूपांतरण अपने आप में एक गाऊसी है।^[26] गौसियन को देखते हुए:

f(x)=e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)},

फूरियर ट्रांसफॉर्म है:

{\tilde {f}}(k)=\sigma e^{-\sigma ^{2}k^{2}/2}.

अंतरिक्ष में गौसियन इसलिए लहरों से बना है:

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\ {\tilde {f}}(k)e^{ikx}\ dk;

अर्थात्, तरंग दैर्ध्य की एक संख्या λ जैसे कि kλ = 2 π।

मापदंड σ एक्स-अक्ष के साथ गाऊसी के स्थानिक प्रसार को तय करता है, जबकि फूरियर रूपांतरण 1/σ द्वारा निर्धारित तरंग वेक्टर k में एक प्रसार दिखाता है। अर्थात्, अंतरिक्ष में विस्तार जितना छोटा होगा, k में विस्तार उतना ही अधिक होगा, और इसलिए λ = 2π/k में।

File:GravitationalWave CrossPolarization.gif

एनीमेशन परीक्षण कणों की एक अंगूठी पर एक क्रॉस-ध्रुवीकृत गुरुत्वाकर्षण तरंग के प्रभाव को दर्शाता है

गुरुत्वाकर्षण तरंगें

गुरुत्वाकर्षण तरंगें एक तरल माध्यम में या दो माध्यमों के बीच अंतराफलक में उत्पन्न होने वाली तरंगें होती हैं, जब गुरुत्वाकर्षण बल या उत्प्लावकता संतुलन को बहाल करने का प्रयास करती है। एक तालाब पर लहर इसका एक उदाहरण है।

गुरुत्वीय तरंगे

गुरत्वीय तरंगें भी अंतरिक्ष से होकर गुजरती हैं। गुरुत्वाकर्षण तरंगों के पहले अवलोकन की घोषणा 11 फरवरी 2016 को की गई थी।^[27] गुरुत्वाकर्षण तरंगें अंतरिक्ष की वक्रता में गड़बड़ी हैं, जिसकी भविष्यवाणी आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा की गई थी।

यह भी देखें

तरंग लेखों का सूचकांक

सामान्य रूप से लहरें

Wave equation, general
One-way wave equation, for waves running in pre-defined direction
Wave propagation, any of the ways in which waves travel
Interference (wave propagation), a phenomenon in which two waves superpose to form a resultant wave
Mechanical wave, in media transmission
Wave Motion (journal), a scientific journal
Wavefront, an advancing surface of wave propagation

पैरामीटर

Phase (waves), offset or angle of a sinusoidal wave function at its origin
Standing wave ratio, in telecommunications
Wavelength
Wavenumber
Wave period

तरंग

Creeping wave, a wave diffracted around a sphere
Evanescent wave
Longitudinal wave
Periodic travelling wave
Sine wave
Square wave
Standing wave
Transverse wave

विद्युत चुम्बकीय तरंगें

Dyakonov surface waves
Dyakonov–Voigt wave
Earth-Ionosphere waveguide, in radio transmission
Electromagnetic wave
Electromagnetic wave equation, describes electromagnetic wave propagation
Microwave, a form of electromagnetic radiation

तरल पदार्थ में

द्रव की गतिशीलता में हवादार तरंग सिद्धांत
केशिका तरंग, द्रव की गतिशीलता में
द्रव की गतिशीलता में cnoidal तरंग
किनारे की लहर, एक कठोर सीमा के खिलाफ अपवर्तन द्वारा तय की गई सतह गुरुत्व तरंग
फैराडे वेव, तरल पदार्थों में एक प्रकार की लहर
गुरुत्वाकर्षण तरंग, द्रव की गतिशीलता में
ध्वनि तरंग, हवा या पानी जैसे माध्यम के माध्यम से ध्वनि की एक लहर
समुद्री तरंग स्पेक्ट्रम
शॉक वेव, वायुगतिकी में
आंतरिक तरंग, एक तरल माध्यम के भीतर एक लहर
ज्वारीय लहर, एक सुनामी के लिए एक वैज्ञानिक रूप से गलत नाम
टोलमीन -स्लीचिंग वेव, द्रव की गतिशीलता में

क्वांटम यांत्रिकी में

सापेक्षता में

Gravitational wave, in relativity theory
Relativistic wave equations, wave equations that consider special relativity
pp-wave spacetime, a set of exact solutions to Einstein's field equation

अन्य विशिष्ट प्रकार की लहरें

प्लाज्मा भौतिकी में अल्फवेन वेव
वायुमंडलीय लहर, वायुमंडलीय चर के क्षेत्र में एक आवधिक गड़बड़ी
देवदार लहर, एक वन विन्यास
भेड़ का बच्चा लहरें, ठोस पदार्थों में
रेले लहरें, सतह ध्वनिक तरंगें जो ठोस पदार्थों पर यात्रा करती हैं
स्पिन वेव, चुंबकत्व में
स्पिन-घनत्व तरंग, ठोस पदार्थों में
ट्रोजन वेव पैकेट, कण विज्ञान में
प्लाज्मा में प्लाज्मा में लहरें, प्लाज्मा भौतिकी में

संदर्भ

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सूत्रों का कहना है

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बाहरी संबंध

[1] (Hall 1982, p. 8)

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[3] Santos, Edgar; Schöll, Michael; Sánchez-Porras, Renán; Dahlem, Markus A.; Silos, Humberto; Unterberg, Andreas; Dickhaus, Hartmut; Sakowitz, Oliver W. (2014-10-01). "Radial, spiral and reverberating waves of spreading depolarization occur in the gyrencephalic brain". NeuroImage. 99: 244–255. doi:10.1016/j.neuroimage.2014.05.021. ISSN 1095-9572. PMID 24852458. S2CID 1347927.

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[7] For an example derivation, see the steps leading up to eq. (17) in Francis Redfern. "Kinematic Derivation of the Wave Equation". Physics Journal. Archived from the original on 2013-07-24. Retrieved 2012-12-11.

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[wavepacket-22] See for example Walter Greiner; D. Allan Bromley (2007). Quantum Mechanics (2 ed.). Springer. p. 60. ISBN 978-3-540-67458-0. and John Joseph Gilman (2003). Electronic basis of the strength of materials. Cambridge University Press. p. 57. ISBN 978-0-521-62005-5.,Donald D. Fitts (1999). Principles of quantum mechanics. Cambridge University Press. p. 17. ISBN 978-0-521-65841-6..

[Mei-23] Chiang C. Mei (1989). The applied dynamics of ocean surface waves (2nd ed.). World Scientific. p. 47. ISBN 978-9971-5-0789-3.

[Bromley-24] Walter Greiner; D. Allan Bromley (2007). Quantum Mechanics (2nd ed.). Springer. p. 60. ISBN 978-3-540-67458-0.

[Brandt-25] Siegmund Brandt; Hans Dieter Dahmen (2001). The picture book of quantum mechanics (3rd ed.). Springer. p. 23. ISBN 978-0-387-95141-6.

[Gaussian-26] Cyrus D. Cantrell (2000). Modern mathematical methods for physicists and engineers. Cambridge University Press. p. 677. ISBN 978-0-521-59827-9.

[27] "Gravitational waves detected for 1st time, 'opens a brand new window on the universe'". Canadian Broadcasting Corporation. 11 February 2016.

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v t e Patterns in nature
Patterns	Crack Dune Foam Meander Phyllotaxis Soap bubble Symmetry in crystals Quasicrystals in flowers in biology Tessellation Vortex street Wave Widmanstätten pattern	File:Yemen Chameleon (cropped).jpg
Causes	Pattern formation Biology Natural selection Camouflage Mimicry Sexual selection Mathematics Chaos theory Fractal Logarithmic spiral Physics Crystal Fluid dynamics Plateau's laws Self-organization
People	Plato Pythagoras Empedocles Fibonacci Liber Abaci Adolf Zeising Ernst Haeckel Joseph Plateau Wilson Bentley D'Arcy Wentworth Thompson On Growth and Form Alan Turing The Chemical Basis of Morphogenesis Aristid Lindenmayer Benoît Mandelbrot How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension
Related	Pattern recognition Emergence Mathematics and art

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 [[File:2006-01-14 Surface waves.jpg|thumb|पानी की लहरें पानी की लहरें पानी के तरंगों को दिखाती हैं]]
-भौतिकी, गणित और संबंधित क्षेत्रों में, एक लहर एक या एक से अधिक मात्रा में एक प्रचार गतिशील गड़बड़ी (संतुलन से परिवर्तन) है। तरंगें आवधिक हो सकती हैं, जिस स्थिति में वे मात्रा कुछ आवृत्ति पर एक संतुलन (आराम) मूल्य के बारे में बार -बार दोलन करती हैं। जब संपूर्ण तरंग एक दिशा में चलता है, तो इसे '' ट्रैवलिंग वेव '' कहा जाता है; इसके विपरीत, विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाले सुपरिंपोज्ड आवधिक तरंगों की एक जोड़ी '' स्टैंडिंग वेव '' बनाती है। एक स्थायी लहर में, कंपन के आयाम में कुछ पदों पर नल होते हैं जहां तरंग आयाम छोटा या यहां तक कि शून्य दिखाई देता है। तरंगों को अक्सर एक '' लहर समीकरण '' (दो विपरीत तरंगों के स्थायी तरंग क्षेत्र) या एक परिभाषित दिशा में एकल तरंग प्रसार के लिए एक-तरफ़ा लहर समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है।
+भौतिकी, गणित और संबंधित क्षेत्रों में, '''तरंग''' एक या अधिक मात्राओं का गतिशील विक्षोभ (संतुलन से परिवर्तन) है। तरंगें आवर्ती हो सकती हैं, ऐसी स्थिति में वे मात्राएँ संतुलन (बाकी) मान के बारे में किसी आवृत्ति पर बार-बार दोलन करती हैं। जब पूरी तरंग एक दिशा में गमन करती है, तो उसे यात्रा तरंग कहते हैं; इसके विपरीत, विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली आरोपित आवर्ती तरंगों का एक जोड़ा एक स्थायी तरंग बनाता है। एक स्थायी तरंग में, उस स्थिति में कंपन का आयाम शून्य होता है जहां तरंग का आयाम छोटा या शून्य भी प्रतीत होता है। तरंगो को अक्सर एक एकल तरंग समीकरण (दो विपरीत तरंगों के स्थायी तरंग क्षेत्र) या परिभाषित दिशा में फैलने वाली एकल तरंग के लिए एकांगी तरंग समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है।
-शास्त्रीय भौतिकी में दो प्रकार की तरंगों का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक '' मैकेनिकल वेव '' में, तनाव और तनाव क्षेत्र एक यांत्रिक संतुलन के बारे में दोलन करते हैं। एक यांत्रिक तरंग कुछ भौतिक माध्यमों में एक स्थानीय विरूपण (तनाव) है जो स्थानीय तनाव पैदा करके कण से कण तक फैलती है जो पड़ोसी कणों में भी तनाव का कारण बनती है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें स्थानीय दबाव और कण गति की विविधताएं हैं जो माध्यम के माध्यम से फैलती हैं। यांत्रिक तरंगों के अन्य उदाहरण हैं भूकंपीय तरंगें, गुरुत्वाकर्षण तरंगें, सतह तरंगें, स्ट्रिंग कंपन और भंवर। एक '' इलेक्ट्रोमैग्नेटिक वेव '' (जैसे प्रकाश) में, इलेक्ट्रिक और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच युग्मन जो मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार इन क्षेत्रों को शामिल करने वाली एक लहर के प्रसार को बनाए रखता है। विद्युत चुम्बकीय तरंगें एक वैक्यूम के माध्यम से और कुछ ढांकता हुआ मीडिया (तरंग दैर्ध्य पर जहां उन्हें पारदर्शी माना जाता है) के माध्यम से यात्रा कर सकती है। विद्युत चुम्बकीय तरंगों, उनकी आवृत्तियों (या तरंग दैर्ध्य) के अनुसार रेडियो तरंगों, अवरक्त विकिरण, टेराहर्ट्ज़ तरंगों, दृश्यमान प्रकाश, पराबैंगनी विकिरण, एक्स-रे और गामा किरणों सहित अधिक विशिष्ट पदनाम हैं।
+चिरसम्मत भौतिकी में, दो प्रकार की तरंगों का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक '''यांत्रिक तरंग''' में, प्रतिबल और विकृति क्षेत्र यांत्रिक संतुलन के संबंध में में दोलन करते हैं। एक यांत्रिक तरंग कुछ भौतिक माध्यम में एक स्थानीय विकृति (तनाव) है जो एक स्थानीय तनाव बनाकर कण से कण तक फैलती है जो निकटवर्ती कणों में तनाव भी पैदा करती है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें स्थानीय दबाव और कण गति के रूपांतर हैं जो एक माध्यम से फैलती हैं। यांत्रिक तरंगों के अन्य उदाहरण भूकंपीय तरंगें, गुरुत्वाकर्षण तरंगें, सतही तरंगें, तार कंपन और भंवर हैं। मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार, '''विद्युत चुम्बकीय तरंग''' (जैसे प्रकाश) में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच युग्मन इन क्षेत्रों को घेरने वाली तरंग के प्रसार को बनाए रखता है।विद्युत चुम्बकीय तरंगें एक निर्वात और परावैद्युत माध्यम (तरंग दैर्ध्य पर जहां उन्हें पारदर्शी माना जाता है) के माध्यम से अवतरण कर सकते हैं। विद्युत चुम्बकीय तरंगों में रेडियो तरंग, अवरक्त विकिरण, टेराहर्ट्ज तरंग, दृश्य प्रकाश, पराबैंगनी विकिरण, एक्स-रे और गामा किरणों सहित उनकी आवृत्तियों (या तरंग दैर्ध्य) के अनुसार अधिक विशिष्ट पदनाम होते हैं।
-अन्य प्रकार की तरंगों में गुरुत्वाकर्षण तरंगें शामिल हैं, जो स्पेसटाइम में गड़बड़ी हैं जो सामान्य सापेक्षता के अनुसार प्रचारित होती हैं; गर्मी प्रसार तरंगें; प्लाज्मा तरंगें जो यांत्रिक विकृति और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों को जोड़ती हैं; रिएक्शन -डिफ्यूजन सिस्टम | रिएक्शन -डिफ्यूजन वेव्स, जैसे कि बेलसोव -ज़बोटिंस्की रिएक्शन में; और भी कई। यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय तरंगें ऊर्जा हस्तांतरित करें,<ref>{{Harv|Hall|1982| p=8}}</ref> गति, और जानकारी, लेकिन वे माध्यम में कणों को स्थानांतरित नहीं करते हैं।गणित और इलेक्ट्रॉनिक्स तरंगों में संकेतों के रूप में अध्ययन किया जाता है।<ref>Pragnan Chakravorty, "What Is a Signal? [Lecture Notes]," IEEE ''Signal Processing Magazine'', vol. 35, no. 5, pp. 175-177, Sept. 2018. {{doi|10.1109/MSP.2018.2832195}}</ref> दूसरी ओर, कुछ तरंगों में लिफाफे होते हैं जो बिल्कुल भी नहीं चलते हैं जैसे कि स्टैंडिंग वेव्स (जो संगीत के लिए मौलिक हैं) और हाइड्रोलिक जंप।कुछ, क्वांटम यांत्रिकी की संभावना तरंगों की तरह, पूरी तरह से स्थिर हो सकता है{{dubious|date=August 2020}}.
+अन्य प्रकार की तरंगों में गुरुत्वाकर्षण तरंगें शामिल हैं, जो दिक्काल गड़बड़ी हैं जो सामान्य सापेक्षता गर्मी प्रसार तरंगों के अनुसार फैलती हैं, प्लाज्मा तरंगें जो यांत्रिक विकृतियों को जोड़ती हैं, और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र प्रतिक्रिया-प्रसार तरंगें, जैसे कि बेलौसोव-ज़ाबोटिन्स्की प्रतिक्रिया और कई अन्य। यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय तरंगें ऊर्जा,<ref>{{Harv|Hall|1982| p=8}}</ref> गति और सूचना को स्थानांतरित करती हैं, लेकिन वे कणों को माध्यम में नहीं ले जाती हैं। गणित और इलेक्ट्रॉनिक्स में तरंगों का अध्ययन संकेतों के रूप में किया जाता है।<ref>Pragnan Chakravorty, "What Is a Signal? [Lecture Notes]," IEEE ''Signal Processing Magazine'', vol. 35, no. 5, pp. 175-177, Sept. 2018. {{doi|10.1109/MSP.2018.2832195}}</ref> दूसरी ओर, कुछ तरंगों में ऐसे आवरण होते हैं जो बिल्कुल भी हिलते नहीं हैं जैसे कि अप्रगामी तरंगें (जो संगीत के लिए मूलभूत हैं) और द्रव-चालित अकस्मात वृद्धि। कुछ, क्वांटम यांत्रिकी के संभाव्यता तरंग कार्यों की तरह, पूरी तरह से स्थिर हो सकते हैं।{{dubious|date=August 2020}}.
 [[File:Santos E et al Neuroimage 2014 .gif|thumb|मस्तिष्क कॉर्टेक्स पर विस्तार करने वाली जैविक तरंगों का उदाहरण, विध्रुवण फैलाने का एक उदाहरण।<ref>{{Cite journal|last1=Santos|first1=Edgar|last2=Schöll|first2=Michael|last3=Sánchez-Porras|first3=Renán|last4=Dahlem|first4=Markus A.|last5=Silos|first5=Humberto|last6=Unterberg|first6=Andreas|last7=Dickhaus|first7=Hartmut|last8=Sakowitz|first8=Oliver W.|date=2014-10-01|title=Radial, spiral and reverberating waves of spreading depolarization occur in the gyrencephalic brain|journal=NeuroImage|volume=99|pages=244–255|doi=10.1016/j.neuroimage.2014.05.021|issn=1095-9572|pmid=24852458|s2cid=1347927}}</ref>]]
-एक भौतिक तरंग क्षेत्र लगभग हमेशा अंतरिक्ष के कुछ परिमित क्षेत्र तक ही सीमित रहता है, जिसे इसका डोमेन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, भूकंपों द्वारा उत्पन्न भूकंपीय तरंगें केवल ग्रह के आंतरिक और सतह में महत्वपूर्ण हैं, इसलिए उन्हें इसके बाहर नजरअंदाज किया जा सकता है। हालांकि, अनंत डोमेन के साथ तरंगें, जो पूरे स्थान पर विस्तार करती हैं, आमतौर पर गणित में अध्ययन की जाती हैं, और परिमित डोमेन में भौतिक तरंगों को समझने के लिए बहुत मूल्यवान उपकरण हैं।
+एक भौतिक तरंग क्षेत्र लगभग हमेशा अंतरिक्ष के कुछ सीमित क्षेत्र तक ही सीमित रहता है, जिसे उसका कार्यक्षेत्र कहा जाता है। उदाहरण के लिए, भूकंप से उत्पन्न भूकंपीय तरंगें केवल ग्रह के आंतरिक और सतह पर ही महत्वपूर्ण होती हैं, इसलिए उन्हें इसके बाहर नजरअंदाज किया जा सकता है। हालांकि, अनंत कार्यक्षेत्र वाली तरंगें, जो अंतरिक्ष में फैली हुई हैं, आमतौर पर गणित में अध्ययन की जाती हैं और परिमित कार्यक्षेत्र में भौतिक तरंगों को समझने के लिए बहुत मूल्यवान उपकरण हैं।
-एक विमान की लहर एक महत्वपूर्ण गणितीय आदर्शीकरण है जहां गड़बड़ी यात्रा की एक विशिष्ट दिशा के लिए किसी भी (अनंत) विमान के साथ समान होती है। गणितीय रूप से, सबसे सरल लहर एक साइनसोइडल विमान की लहर है जिसमें किसी भी बिंदु पर क्षेत्र एक आवृत्ति पर सरल हार्मोनिक गति का अनुभव करता है। रैखिक मीडिया में, जटिल तरंगों को आम तौर पर कई साइनसोइडल विमान तरंगों के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है, जिसमें प्रसार और/या विभिन्न आवृत्तियों की अलग -अलग दिशाएं होती हैं। एक विमान की लहर को एक अनुप्रस्थ तरंग के रूप में वर्गीकृत किया जाता है यदि प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र की गड़बड़ी को एक वेक्टर लंबवत द्वारा प्रसार की दिशा में वर्णित किया जाता है (ऊर्जा हस्तांतरण की दिशा भी); या अनुदैर्ध्य तरंग यदि उन वैक्टर को प्रसार दिशा के साथ संरेखित किया जाता है। यांत्रिक तरंगों में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों तरंगें शामिल हैं; दूसरी ओर विद्युत चुम्बकीय विमान तरंगें कड़ाई से अनुप्रस्थ होती हैं, जबकि तरल पदार्थ (जैसे हवा) में ध्वनि तरंगें केवल अनुदैर्ध्य हो सकती हैं। प्रसार दिशा के सापेक्ष एक दोलन क्षेत्र की भौतिक दिशा को भी लहर के ध्रुवीकरण के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो एक महत्वपूर्ण विशेषता हो सकती है।
+समतल तरंग एक महत्वपूर्ण गणितीय आदर्शीकरण है जहां किसी भी (अनंत) समतल के साथ यात्रा की एक विशिष्ट दिशा के लिए अशांति समान होती है। गणितीय रूप से, सरलतम तरंग एक ज्यावक्रीय समतल तरंग है जिसमें किसी भी बिंदु पर क्षेत्र आवृत्ति पर सरल लयबद्ध गति का अनुभव करता है। रैखिक माध्यम में, जटिल तरंगों को आम तौर पर कई ज्यावक्रीय समतल तरंगों के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है, प्रसार की विभिन्न दिशाओं और/या विभिन्न आवृत्तियों के साथ। एक समतल तरंग को अनुप्रस्थ तरंग के रूप में वर्गीकृत किया जाता है यदि प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र विक्षोभ को प्रसार की दिशा (ऊर्जा हस्तांतरण की दिशा भी) के लंबवत वेक्टर द्वारा वर्णित किया जाता है; या एक अनुदैर्ध्य तरंग यदि वे वैक्टर प्रसार दिशा के साथ संरेखित हों। यांत्रिक तरंगों में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों तरंगें शामिल हैं; दूसरी ओर, विद्युत चुम्बकीय समतल तरंगें सख्ती से अनुप्रस्थ होती हैं जबकि तरल पदार्थ (जैसे वायु) में ध्वनि तरंगें केवल अनुदैर्ध्य हो सकती हैं। प्रसार दिशा के सापेक्ष एक दोलन क्षेत्र की भौतिक दिशा, जिसे तरंग के ध्रुवीकरण के रूप में भी जाना जाता है, एक महत्वपूर्ण विशेषता हो सकती है।
 == गणितीय विवरण ==
-=== सिंगल वेव्स ===
+=== एकल तरंगें ===
-एक लहर को एक फ़ील्ड की तरह ही वर्णित किया जा सकता है, अर्थात् एक फ़ंक्शन के रूप में <math>F(x,t)</math> कहाँ पे <math>x</math> एक स्थिति है और <math>t</math> एक समय है।
+एक तरंग को एक क्षेत्र की तरह वर्णित किया जा सकता है, अर्थात, एक फ़ंक्शन <math>F(x,t)</math> के रूप में जहां <math>x</math> एक स्थिति है और <math>t</math> एक समय है।
-का मूल्य <math>x</math> अंतरिक्ष का एक बिंदु है, विशेष रूप से उस क्षेत्र में जहां लहर को परिभाषित किया गया है।गणितीय शब्दों में, यह आमतौर पर कार्टेशियन त्रि-आयामी स्थान में एक वेक्टर होता है <math>\mathbb{R}^3</math>।हालांकि, कई मामलों में कोई एक आयाम को अनदेखा कर सकता है, और जाने दें <math>x</math> कार्टेशियन विमान का एक बिंदु बनें <math>\mathbb{R}^2</math>।यह मामला है, उदाहरण के लिए, जब ड्रम त्वचा के कंपन का अध्ययन किया जाता है।एक भी प्रतिबंधित हो सकता है <math>x</math> कार्टेशियन लाइन के एक बिंदु पर <math>\R</math> - वह है, वास्तविक संख्याओं का सेट।यह मामला है, उदाहरण के लिए, जब वायलिन स्ट्रिंग या रिकॉर्डर में कंपन का अध्ययन किया जाता है।समय <math>t</math>दूसरी ओर, हमेशा एक स्केलर माना जाता है;वह है, एक वास्तविक संख्या।
+<math>x</math> का मान अंतराल में एक बिंदु है, विशेष रूप से वह क्षेत्र जिसमें तरंग परिभाषित होती है।गणितीय शब्दों में, यह आमतौर पर कार्तीय त्रि-आयामी अंतराल <math>\mathbb{R}^3</math> में एक वेक्टर होता है। हालांकि, कई मामलों में कोई एक आयाम को अनदेखा कर सकता है, और <math>x</math> को एक कार्टेशियन तल  <math>\mathbb{R}^2</math> एक बिंदु के रूप में मान सकता है। यह मामला है, उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी कंपन का अध्ययन करते समय। कोई व्यक्ति <math>x</math> कार्टेशियन लाइन <math>\R</math> वास्तविक संख्याओं के समहू पर एक बिंदु तक सीमित कर सकता है। ह मामला है, उदाहरण के लिए, जब वायलिन स्ट्रिंग पर या रिकॉर्डर में कंपन का अध्ययन किया जाता है। दूसरी ओर, समय <math>t</math> को हमेशा एक अदिश राशि अर्थात वास्तविक संख्या माना जाता है।
-का मूल्य <math>F(x,t)</math> किसी भी भौतिक मात्रा को बिंदु पर सौंपा जा सकता है <math>x</math> यह समय के साथ भिन्न हो सकता है।उदाहरण के लिए, यदि <math>F</math> एक लोचदार ठोस के अंदर कंपन का प्रतिनिधित्व करता है, मूल्य <math>F(x,t)</math> आमतौर पर एक वेक्टर है जो वर्तमान विस्थापन देता है <math>x</math> भौतिक कणों में से जो बिंदु पर होंगे <math>x</math> कंपन की अनुपस्थिति में।एक विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए, का मान <math>F</math> विद्युत क्षेत्र वेक्टर हो सकता है <math>E</math>, या चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर <math>H</math>, या किसी भी संबंधित मात्रा, जैसे कि पोयंटिंग वेक्टर <math>E\times H</math>।द्रव की गतिशीलता में, मूल्य <math>F(x,t)</math> बिंदु पर द्रव का वेग वेक्टर हो सकता है <math>x</math>, या किसी भी स्केलर संपत्ति जैसे दबाव, तापमान, या घनत्व।एक रासायनिक प्रतिक्रिया में, <math>F(x,t)</math> बिंदु के पड़ोस में कुछ पदार्थ की एकाग्रता हो सकती है <math>x</math> प्रतिक्रिया माध्यम का।
+का मूल्य <math>F(x,t)</math> किसी भी भौतिक मात्रा को बिंदु पर सौंपा जा सकता है <math>x</math> यह समय के साथ भिन्न हो सकता है।उदाहरण के लिए, यदि <math>F</math> एक लोचदार ठोस के अंदर कंपन का प्रतिनिधित्व करता है, मूल्य <math>F(x,t)</math> आमतौर पर एक वेक्टर है जो वर्तमान विस्थापन देता है <math>x</math> भौतिक कणों में से जो बिंदु पर होंगे <math>x</math> कंपन की अनुपस्थिति में। एक विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए, <math>F</math> का मान एक विद्युत क्षेत्र वेक्टर <math>E</math>, या एक चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर <math>H</math>, या कोई भी संबंधित मात्रा हो सकता है, जैसे कि सूचक वेक्टर <math>E\times H</math>। द्रव की गतिशीलता में, मूल्य <math>F(x,t)</math> बिंदु पर द्रव का वेग वेक्टर हो सकता है <math>x</math>, या किसी भी अदिश संपत्ति जैसे दबाव, तापमान, या घनत्व। एक रासायनिक प्रतिक्रिया में, <math>F(x,t)</math> बिंदु <math>x</math> के पड़ोस में किसी पदार्थ की सांद्रता प्रतिक्रिया माध्यम हो सकती है।
-किसी भी आयाम के लिए <math>d</math> (1, 2, या 3), वेव का डोमेन तब एक सबसेट है <math>D</math> का <math>\mathbb{R}^d</math>, ऐसा कि फ़ंक्शन वैल्यू <math>F(x,t)</math> किसी भी बिंदु के लिए परिभाषित किया गया है <math>x</math> में <math>D</math>।उदाहरण के लिए, ड्रम त्वचा की गति का वर्णन करते समय, कोई विचार कर सकता है <math>D</math> विमान पर एक डिस्क (सर्कल) होना <math>\mathbb{R}^2</math> मूल में केंद्र के साथ <math>(0,0)</math>, और जाने <math>F(x,t)</math> बिंदु पर त्वचा का ऊर्ध्वाधर विस्थापन हो <math>x</math> का <math>D</math> और समय पर <math>t</math>।
+किसी भी आयाम <math>d</math> (1, 2, या 3), के लिए, तरंग का कार्यक्षेत्र तब  <math>\mathbb{R}^d</math> का एक उपसमुच्चय <math>D</math> होता है, ताकि फ़ंक्शन मान <math>F(x,t)</math>को <math>D</math> में किसी भी बिंदु <math>x</math> के लिए परिभाषित किया सकता है। उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी की गति का वर्णन करते समय, कोई विचार कर सकता है <math>D</math> सतह पर एक डिस्क (सर्कल) होना <math>\mathbb{R}^2</math> मूल में केंद्र के साथ <math>(0,0)</math>, और मान लीजिए कि बिंदु <math>x</math> पर <math>F(x,t)</math> सर्वपृष्ठी का लंबवत विस्थापन है और <math>x</math> पर समय <math>t</math> है।
-=== लहर परिवार ===
+=== तरंग परिवार ===
-कभी -कभी एक एकल विशिष्ट लहर में रुचि होती है।अधिक बार, हालांकि, किसी को संभावित तरंगों के बड़े सेट को समझने की आवश्यकता होती है;ड्रम स्टिक के साथ एक बार मारा जाने के बाद ड्रम की त्वचा को एक बार झुकने के बाद कंपन कर सकते हैं, या सभी संभव रडार इकोस एक हवाई जहाज से प्राप्त हो सकते हैं जो एक हवाई अड्डे के पास पहुंच सकता है।
+कभी-कभी एक विशिष्ट तरंग में रुचि होती है। अधिक बार, हालांकि, किसी को संभावित तरंगों के एक बड़े सेट को समझने की आवश्यकता होती है; सभी तरीकों की तरह, ड्रमस्टिक, या हवाई अड्डों के पास हवाई जहाजों से प्राप्त सभी संभावित रडार गूँज से टकराने के बाद ड्रम की त्वचा कंपन करती है।
-उन स्थितियों में से कुछ में, कोई एक फ़ंक्शन द्वारा लहरों के ऐसे परिवार का वर्णन कर सकता है <math>F(A,B,\ldots;x,t)</math> यह कुछ मापदंडों पर निर्भर करता है <math>A,B,\ldots</math>, के अतिरिक्त <math>x</math> तथा <math>t</math>।तब कोई अलग -अलग तरंगें प्राप्त कर सकता है - अर्थात्, अलग -अलग कार्य <math>x</math> तथा <math>t</math> - उन मापदंडों के लिए अलग -अलग मूल्यों का चयन करके।
+उनमें से कुछ स्थितियों में, एक फ़ंक्शन <math>F(A,B,\ldots;x,t)</math> द्वारा तरंगों के ऐसे परिवार का वर्णन कर सकता है जो <math>x</math> और <math>t</math> के अलावा कुछ पैरामीटर <math>A,B,\ldots</math> पर निर्भर करता है। फिर कोई अलग-अलग तरंग-कार्य प्राप्त कर सकता है - यानी <math>x</math> और <math>t</math> के विभिन्न कार्य - उनके लिए अलग-अलग मान चुनकर मापदंड।
 [[File:Half-open pipe wave.gif|thumb|right|एक आधे-खुले पाइप में ध्वनि दबाव खड़ी लहर मौलिक के 7 वें हार्मोनिक खेलते हुए (n = 4)]]
-उदाहरण के लिए, एक रिकॉर्डर के अंदर ध्वनि का दबाव जो एक शुद्ध नोट खेल रहा है, आमतौर पर एक खड़ी लहर है, जिसे लिखा जा सकता है
+उदाहरण के लिए, एक रिकॉर्डर के अंदर ध्वनि दबाव जो "शुद्ध" सुर बजा रहा है, आमतौर पर एक स्थायी तरंग होता है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 :<math>F(A,L,n,c;x,t) = A \left(\cos 2\pi x\frac{2 n - 1}{4 L}\right) \left(\cos 2\pi c t\frac{2n - 1}{4 L}\right)</math>
-पैरामीटर <math>A</math> लहर के आयाम को परिभाषित करता है (अर्थात, बोर में अधिकतम ध्वनि दबाव, जो नोट की ज़ोर से संबंधित है); <math>c</math> ध्वनि की गति है; <math>L</math> बोर की लंबाई है;तथा <math>n</math> एक सकारात्मक पूर्णांक (1,2,3,…) है जो स्थायी लहर में नोड्स की संख्या को निर्दिष्ट करता है।(स्थिति <math>x</math> माउथपीस और समय से मापा जाना चाहिए <math>t</math> किसी भी क्षण से, जिस पर मुखपत्र पर दबाव अधिकतम होता है।मात्रा <math>\lambda = 4L/(2 n - 1)</math> उत्सर्जित नोट की तरंग दैर्ध्य है, और <math>f = c/\lambda</math> इसकी आवृत्ति है।) इन तरंगों के कई सामान्य गुणों को इस सामान्य समीकरण से अनुमान लगाया जा सकता है, मापदंडों के लिए विशिष्ट मूल्यों का चयन किए बिना।
+पैरामीटर <math>A</math> लहर के आयाम को परिभाषित करता है (अर्थात, बोर में अधिकतम ध्वनि दबाव, जो सुर की ज़ोर से संबंधित है); <math>c</math> ध्वनि की गति है; <math>L</math> बोर की लंबाई है;तथा <math>n</math> एक सकारात्मक पूर्णांक (1,2,3,…) है जो स्थायी तरंग में नोड्स की संख्या को निर्दिष्ट करता है। (स्थिति <math>x</math> माउथपीस और समय से मापा जाना चाहिए <math>t</math> किसी भी क्षण से, जिस पर मुखपत्र पर दबाव अधिकतम होता है। मात्रा <math>\lambda = 4L/(2 n - 1)</math> उत्सर्जित नोट की तरंग दैर्ध्य है, और <math>f = c/\lambda</math> इसकी आवृत्ति है।) इन तरंगों के कई सामान्य गुणों को इस सामान्य समीकरण से अनुमान लगाया जा सकता है, मापदंडों के लिए विशिष्ट मूल्यों का चयन किए बिना।
-एक अन्य उदाहरण के रूप में, यह हो सकता है कि एक ही स्ट्राइक के बाद ड्रम की त्वचा का कंपन केवल दूरी पर निर्भर करता है <math>r</math> त्वचा के केंद्र से हड़ताल बिंदु तक, और ताकत पर <math>s</math> हड़ताल का।फिर सभी संभावित हमलों के लिए कंपन एक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है <math>F(r,s;x,t)</math>।
+एक अन्य उदाहरण के रूप में, यह हो सकता है कि एक ही प्रहार के बाद ड्रम की त्वचा का कंपन केवल त्वचा के केंद्र से स्ट्राइक बिंदु तक की दूरी <math>r</math> और स्ट्राइक <math>s</math> की ताकत पर निर्भर करता है। तब सभी संभावित हमलों के लिए कंपन हो सकता है एक प्रकार्य<math>F(r,s;x,t)</math> द्वारा वर्णित किया जा सकता है।
-कभी -कभी ब्याज की लहरों के परिवार में कई पैरामीटर होते हैं।उदाहरण के लिए, कोई यह वर्णन करना चाह सकता है कि धातु की पट्टी में तापमान का क्या होता है जब इसे शुरू में विभिन्न तापमानों पर विभिन्न बिंदुओं पर अपनी लंबाई के साथ गरम किया जाता है, और फिर वैक्यूम में खुद को ठंडा करने की अनुमति दी जाती है।उस स्थिति में, एक स्केलर या वेक्टर के बजाय, पैरामीटर को एक फ़ंक्शन होना होगा <math>h</math> ऐसा है कि <math>h(x)</math> प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान है <math>x</math> बार की।फिर बाद के समय में तापमान एक फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है <math>F</math> यह फ़ंक्शन पर निर्भर करता है <math>h</math> (वह है, एक कार्यात्मक ऑपरेटर), ताकि बाद में तापमान हो <math>F(h;x,t)</math>
+कभी -कभी ब्याज की लहरों के परिवार में कई मापदंड होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह वर्णन करना चाह सकता है कि धातु की छड़ में तापमान का क्या होता है जब इसे शुरू में इसकी लंबाई के साथ अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग तापमान पर गर्म किया जाता है और फिर वैक्यूम में अपने आप ठंडा हो जाता है।उस स्थिति में, एक स्केलर या वेक्टर के बजाय, पैरामीटर को एक प्रकार्य होना होगा <math>h</math> ऐसा है कि <math>h(x)</math> प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान है <math>x</math>  के बार के प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान हो। फिर बाद के समय में तापमान एक क्रिया द्वारा व्यक्त किया जा सकता है <math>F</math> यह क्रिया पर निर्भर करता है <math>h</math> (वह है, एक कार्यात्मक परिचालक), ताकि बाद में तापमान हो <math>F(h;x,t)</math>।
 === विभेदक तरंग समीकरण ===
-लहरों के एक परिवार का वर्णन करने और उनका अध्ययन करने का एक और तरीका एक गणितीय समीकरण देना है, जो स्पष्ट रूप से मूल्य देने के बजाय है <math>F(x,t)</math>, केवल यह बाधा है कि वे मूल्य समय के साथ कैसे बदल सकते हैं।फिर प्रश्न में लहरों के परिवार में सभी कार्य होते हैं <math>F</math> यह उन बाधाओं को पूरा करता है - अर्थात, समीकरण के सभी समाधान।
+तरंगों के परिवार का वर्णन और अध्ययन करने का एक अन्य तरीका एक गणितीय समीकरण देना है, जो स्पष्ट रूप से <math>F(x,t)</math>का मान देने के बजाय, केवल यह बताता है कि वे मान समय के साथ कैसे बदल सकते हैं। फिर प्रश्न में लहरों के परिवार में सभी कार्य होते हैं <math>F</math> यह उन बाधाओं को पूरा करता है - अर्थात, समीकरण के सभी समाधान।
-यह दृष्टिकोण भौतिकी में अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि बाधाएं आमतौर पर शारीरिक प्रक्रियाओं का एक परिणाम होती हैं जो लहर को विकसित करने का कारण बनती हैं।उदाहरण के लिए, यदि <math>F(x,t)</math> कुछ सजातीय और आइसोट्रोपिक ठोस सामग्री के एक ब्लॉक के अंदर का तापमान है, इसका विकास आंशिक अंतर समीकरण द्वारा विवश है
+भौतिकी में यह दृष्टिकोण अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि बाधाएं आमतौर पर उन भौतिक प्रक्रियाओं का परिणाम होती हैं जो लहर को विकसित करने का कारण बनती हैं। उदाहरण के लिए, यदि <math>F(x,t)</math> एक सजातीय और समरूप ठोस के एक ब्लॉक के अंदर का तापमान है, तो इसकी वृद्धि आंशिक अंतर समीकरण द्वारा बाधित होती है
 :<math>\frac{\partial F}{\partial t}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta Q(x,t)</math>
-कहाँ पे <math>Q(p,f)</math> क्या गर्मी है जो प्रति यूनिट वॉल्यूम और समय के पड़ोस में उत्पन्न हो रही है <math>x</math> समय पर <math>t</math> (उदाहरण के लिए, वहां हो रही रासायनिक प्रतिक्रियाओं द्वारा); <math>x_1,x_2,x_3</math> बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक हैं <math>x</math>; <math>\partial F/\partial t</math> का (पहले) व्युत्पन्न है <math>F</math> इसके संबंध में <math>t</math>;तथा <math>\partial^2 F/\partial x_i^2</math> का दूसरा व्युत्पन्न है <math>F</math> के सापेक्ष <math>x_i</math>।(प्रतीक<math>\partial</math>यह संकेत देने के लिए है कि, कुछ चर के संबंध में व्युत्पन्न में, अन्य सभी चर को निश्चित माना जाना चाहिए।)
+जंहा पे <math>Q(p,f)</math> क्या गर्मी है जो प्रति यूनिट वॉल्यूम और समय के पड़ोस में उत्पन्न हो रही है <math>x</math> समय पर <math>t</math> (उदाहरण के लिए, वहां हो रही रासायनिक प्रतिक्रियाओं द्वारा); <math>x_1,x_2,x_3</math> बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक हैं <math>x</math>; <math>\partial F/\partial t</math> का (पहले) व्युत्पन्न है <math>F</math> इसके संबंध में <math>t</math>;तथा <math>\partial^2 F/\partial x_i^2</math> का दूसरा व्युत्पन्न है <math>F</math> के सापेक्ष <math>x_i</math>।(प्रतीक<math>\partial</math>यह संकेत देने के लिए है कि, कुछ चर के संबंध में व्युत्पन्न में, अन्य सभी चर को निश्चित माना जाना चाहिए।)
 यह समीकरण भौतिकी के नियमों से प्राप्त किया जा सकता है जो ठोस मीडिया में गर्मी के प्रसार को नियंत्रित करते हैं।उस कारण से, इसे गणित में हीट समीकरण कहा जाता है, भले ही यह तापमान के अलावा कई अन्य भौतिक मात्राओं पर लागू होता है।
-एक अन्य उदाहरण के लिए, हम एक फ़ंक्शन द्वारा गैस के कंटेनर के भीतर गूंजने वाली सभी संभावित ध्वनियों का वर्णन कर सकते हैं <math>F(x,t)</math> जो एक बिंदु पर दबाव देता है <math>x</math> और समय <math>t</math> उस कंटेनर के भीतर।यदि गैस शुरू में एक समान तापमान और संरचना पर थी, तो का विकास <math>F</math> सूत्र द्वारा विवश है
+एक अन्य उदाहरण के लिए, हम एक क्रिया  द्वारा गैस के कंटेनर के भीतर गूंजने वाली सभी संभावित ध्वनियों का वर्णन कर सकते हैं <math>F(x,t)</math> जो एक बिंदु पर दबाव देता है <math>x</math> और समय <math>t</math> उस कंटेनर के भीतर। यदि गैस शुरू में एक समान तापमान और संरचना पर थी, तो का विकास <math>F</math> सूत्र द्वारा विवश है
 :<math>\frac{\partial^2 F}{\partial t^2}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta P(x,t)</math>
 यहां <math>P(x,t)</math> कुछ अतिरिक्त संपीड़न बल है जो गैस के पास लागू किया जा रहा है <math>x</math> कुछ बाहरी प्रक्रिया द्वारा, जैसे कि लाउडस्पीकर या पिस्टन के ठीक बगल में <math>p</math>।
-यह समान अंतर समीकरण एक सजातीय आइसोट्रोपिक गैर-संवाहक ठोस में यांत्रिक कंपन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के व्यवहार का वर्णन करता है।ध्यान दें कि यह समीकरण ही गर्मी के प्रवाह से भिन्न होता है, केवल बाईं ओर की ओर होता है <math>\partial^2 F/\partial t^2</math>, का दूसरा व्युत्पन्न <math>F</math> समय के संबंध में, पहले व्युत्पन्न के बजाय <math>\partial F/\partial t</math>।फिर भी यह छोटा परिवर्तन समाधान के सेट पर एक बड़ा अंतर बनाता है <math>F</math>।इस अंतर समीकरण को गणित में तरंग समीकरण कहा जाता है, भले ही यह केवल एक बहुत ही विशेष प्रकार की तरंगों का वर्णन करता है।
+यह समान अंतर समीकरण एक सजातीय आइसोट्रोपिक गैर-संवाहक ठोस में यांत्रिक कंपन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के व्यवहार का वर्णन करता है। ध्यान दें कि यह समीकरण ही गर्मी के प्रवाह से भिन्न होता है, केवल बाईं ओर की ओर होता है <math>\partial^2 F/\partial t^2</math>, का दूसरा व्युत्पन्न <math>F</math> समय के संबंध में, पहले व्युत्पन्न के बजाय <math>\partial F/\partial t</math>। फिर भी यह छोटा परिवर्तन समाधान के सेट पर एक बड़ा अंतर बनाता है <math>F</math>। इस अंतर समीकरण को गणित में तरंग समीकरण कहा जाता है, भले ही यह केवल एक बहुत ही विशेष प्रकार की तरंगों का वर्णन करता है।
-== लोचदार माध्यम में लहर ==
+== तन्य माध्यम में तरंग ==
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 {{Main|Wave equation|D'Alembert's formula}}
-एक स्ट्रिंग (माध्यम) पर एक यात्रा अनुप्रस्थ लहर (जो एक नाड़ी हो सकती है) पर विचार करें।एक एकल स्थानिक आयाम के लिए स्ट्रिंग पर विचार करें।इस लहर को यात्रा के रूप में विचार करें
+एक स्ट्रिंग (मध्यम) पर यात्रा करने वाली एक अनुप्रस्थ तरंग (जो एक पल्स हो सकती है) पर विचार करें। स्ट्रिंग को स्थानिक आयाम के लिए मानें। इस लहर को एक यात्रा के रूप में सोचें
 [[File:Nonsinusoidal wavelength.svg|thumb|right|200 px | तरंग दैर्ध्य λ, एक तरंग पर किसी भी दो संबंधित बिंदुओं के बीच मापा जा सकता है]]
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 : <math>u(x,t) = G(x + v t)</math> (तरंग <math>G</math> बाईं ओर यात्रा)
-या, अधिक आम तौर पर, D'Alembert के सूत्र द्वारा:<ref name=Graaf>{{cite book |title = Wave motion in elastic solids |author = Karl F Graaf |edition = Reprint of Oxford 1975 |publisher = Dover |year = 1991 |url = https://books.google.com/books?id=5cZFRwLuhdQC |pages = 13–14 |isbn = 978-0-486-66745-4 }}</ref>
+या, अधिक आम तौर पर, डी'अलेम्बर्ट (D'Alembert)  के सूत्र द्वारा:<ref name=Graaf>{{cite book |title = Wave motion in elastic solids |author = Karl F Graaf |edition = Reprint of Oxford 1975 |publisher = Dover |year = 1991 |url = https://books.google.com/books?id=5cZFRwLuhdQC |pages = 13–14 |isbn = 978-0-486-66745-4 }}</ref>
 :<math>u(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt). </math>
 दो घटक तरंगों का प्रतिनिधित्व करना <math>F</math> तथा <math>G</math> विपरीत दिशाओं में माध्यम से यात्रा करना।इस लहर का एक सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जा सकता है<ref>For an example derivation, see the steps leading up to eq. (17) in {{cite web |url = http://prism.texarkanacollege.edu/physicsjournal/wave-eq.html |title = Kinematic Derivation of the Wave Equation |author = Francis Redfern |work = Physics Journal |access-date = 2012-12-11 |archive-date = 2013-07-24 |archive-url = https://web.archive.org/web/20130724011045/http://prism.texarkanacollege.edu/physicsjournal/wave-eq.html |url-status = dead }}</ref> आंशिक अंतर समीकरण के रूप में
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 सामान्य समाधान दुहमेल के सिद्धांत पर आधारित हैं।<ref name=Struwe>{{cite book |title = Geometric wave equations |author1=Jalal M. Ihsan Shatah |author2=Michael Struwe |chapter-url = https://books.google.com/books?id=zsasG2axbSoC&pg=PA37 |chapter = The linear wave equation |pages = 37''ff'' |isbn = 978-0-8218-2749-9 |year = 2000 |publisher = American Mathematical Society Bookstore }}</ref> दूसरे ऑर्डर वेव समीकरणों के अलावा जो एक स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन कर रहे हैं, एक-तरफ़ा तरंग समीकरण एक परिभाषित दिशा में एकल तरंग के प्रसार का वर्णन करता है।
-=== लहर प्रपत्र ===
+=== तरंग रूप ===
 {{main|Waveform}}
 [[File:Waveforms.svg|thumb|right|280 पीएक्स | साइन, स्क्वायर, त्रिभुज और आरा वेवफॉर्म।]]
-D'Alembert के सूत्र में f के रूप या आकार में तर्क x - vt शामिल है।इस तर्क के निरंतर मूल्य एफ के निरंतर मूल्यों के अनुरूप हैं, और ये निरंतर मूल्य तब होते हैं जब एक्स उसी दर से बढ़ता है जो वीटी बढ़ता है।अर्थात्, फ़ंक्शन F की तरह आकार की लहर वेलोसिटी V (और G नकारात्मक X- दिशा में समान गति से फैल जाएगी) पर सकारात्मक X- दिशा में आगे बढ़ेगी।<ref name=Lyons>{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=WdPGzHG3DN0C&pg=PA128 |pages = 128 ''ff'' |title = All you wanted to know about mathematics but were afraid to ask |author = Louis Lyons |isbn = 978-0-521-43601-4 |publisher = Cambridge University Press |year = 1998 }}</ref>
+D'Alembert के सूत्र में F के रूपों या आंकड़ों में तर्क x - vt शामिल है। इस तर्क के निरंतर मान F के निरंतर मानों के अनुरूप हैं, और ये स्थिर मान तब होते हैं जब x उसी दर से बढ़ता है जो vt बढ़ता है। अर्थात्, तरंग के आकार का फलन F धनात्मक x-दिशा में v वेग से यात्रा करेगा (और G ऋणात्मक x-दिशा में समान गति से यात्रा करेगा)।<ref name=Lyons>{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=WdPGzHG3DN0C&pg=PA128 |pages = 128 ''ff'' |title = All you wanted to know about mathematics but were afraid to ask |author = Louis Lyons |isbn = 978-0-521-43601-4 |publisher = Cambridge University Press |year = 1998 }}</ref> n आवर्त फलन F की अवधि के साथ, अर्थात्, F(x + - vt) = F(x - vt) के मामले में, अंतरिक्ष में F की आवृत्ति का अर्थ है कि कोई व्यक्ति किसी निश्चित समय पर तरंग का एक स्नैपशॉट पाता है। टी समय अंतरिक्ष में अवधि (लहर की तरंग दैर्ध्य) के साथ बदलता है। इसी तरह, f की यह आवधिकता समय में आवधिकता को भी दर्शाती है: f(x - v(t + t)) = f(x - vt) दिया गया vt =, इसलिए एक निश्चित स्थान पर तरंग का अवलोकन x अवधि T = साथ / v आवधिक तरंग को लहरदार पाते हैं।<ref name="McPherson0">{{cite book |title = Introduction to Macromolecular Crystallography |author = Alexander McPherson |chapter-url = https://books.google.com/books?id=o7sXm2GSr9IC&pg=PA77 |page = 77 |chapter = Waves and their properties |isbn = 978-0-470-18590-2 |year = 2009 |edition = 2 |publisher = Wiley }}</ref>
-अवधि λ के साथ एक आवधिक फ़ंक्शन f के मामले में, अर्थात्, f (x + λ - vt) = f (x - vt), अंतरिक्ष में f की आवधिकता का मतलब है कि एक दिए गए समय पर लहर का एक स्नैपशॉट टी खोजता हैअवधि λ (तरंग की तरंग दैर्ध्य) के साथ अंतरिक्ष में समय -समय पर भिन्न होती है।इसी तरह के फैशन में, f की इस आवधिकता का अर्थ समय में एक आवधिकता का भी अर्थ है: f (x - v (t + t)) = f (x - vt) ने vt = λ प्रदान किया, इसलिए एक निश्चित स्थान पर लहर का अवलोकनX समय -समय पर अवधि t = λ/v के साथ समय -समय पर लहर को ढूंढता है।<ref name="McPherson0">{{cite book |title = Introduction to Macromolecular Crystallography |author = Alexander McPherson |chapter-url = https://books.google.com/books?id=o7sXm2GSr9IC&pg=PA77 |page = 77 |chapter = Waves and their properties |isbn = 978-0-470-18590-2 |year = 2009 |edition = 2 |publisher = Wiley }}</ref>
+=== '''आयाम और मॉड्यूलेशन''' ===
-=== आयाम और मॉड्यूलेशन ===
 [[File:Amplitudemodulation.gif|thumb|आयाम मॉड्यूलेशन को F (x, t) = 1.00 × sin (2π/0.10 × (x × 1.00 × t)) और G (x, t) = 1.00 × sin (2π/0.11 × (x) 1.00 × (x) 1.00 × के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है।टी)) केवल परिणाम वेवफॉर्म की स्पष्टता में सुधार करने के लिए दिखाई देता है। वामपंथी |]]
 [[File:Wave packet.svg|right|thumb|एक आयाम-संशोधित लहर के लिफाफे (धीरे-धीरे अलग-धीरे लाल वक्र) का चित्रण।तेजी से अलग -अलग नीले वक्र वाहक लहर है, जिसे संशोधित किया जा रहा है।]]
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 {{See also|Frequency modulation|Phase modulation}}
-एक लहर का आयाम स्थिर हो सकता है (जिस स्थिति में लहर एक C.W. या निरंतर लहर है), या समय और/या स्थिति के साथ भिन्न होने के लिए संशोधित किया जा सकता है।आयाम में भिन्नता की रूपरेखा को लहर का लिफाफा कहा जाता है।गणितीय रूप से, मॉड्यूलेटेड लहर को रूप में लिखा जा सकता है:<ref name=Jirauschek>{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=6kOoT_AX2CwC&pg=PA9 |page = 9 |title = FEW-cycle Laser Dynamics and Carrier-envelope Phase Detection |author = Christian Jirauschek |isbn = 978-3-86537-419-6 |year = 2005 |publisher = Cuvillier Verlag }}
+एक तरंग का आयाम स्थिर हो सकता है (जिस स्थिति में लहर एक C.W.(continuous wave) या निरंतर तरंग है), या इसे समय और/या स्थिति के साथ बदलने के लिए संशोधित किया जा सकता है। आयाम में भिन्नता के पैटर्न को तरंग का आवरण कहा जाता है। गणितीय रूप से, एक संग्राहक तरंग को इस प्रकार लिखा जा सकता है::<ref name=Jirauschek>{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=6kOoT_AX2CwC&pg=PA9 |page = 9 |title = FEW-cycle Laser Dynamics and Carrier-envelope Phase Detection |author = Christian Jirauschek |isbn = 978-3-86537-419-6 |year = 2005 |publisher = Cuvillier Verlag }}
 </ref><ref name="Kneubühl">{{cite book |title = Oscillations and waves |author = Fritz Kurt Kneubühl |url = https://books.google.com/books?id=geYKPFoLgoMC&pg=PA365 |page = 365 |year = 1997 |isbn = 978-3-540-62001-3 |publisher = Springer }}</ref><ref name=Lundstrom>{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=FTdDMtpkSkIC&pg=PA33 |page = 33 |author = Mark Lundstrom |isbn = 978-0-521-63134-1 |year = 2000 |title = Fundamentals of carrier transport |publisher = Cambridge University Press }}</ref>
 :<math>u(x,t) = A(x,t) \sin \left(kx - \omega t + \phi \right) , </math>
-कहाँ पे <math>A(x,\ t)</math> लहर का आयाम लिफाफा है, <math>k</math> लहरें है और <math>\phi</math> चरण है।यदि समूह वेग <math>v_g</math> (नीचे देखें) तरंग दैर्ध्य-स्वतंत्र है, इस समीकरण को सरल किया जा सकता है:<ref name=Chen>{{cite book |chapter-url = https://books.google.com/books?id=LxzWPskhns0C&pg=PA363 |author = Chin-Lin Chen |title = Foundations for guided-wave optics |page = 363 |chapter = §13.7.3 Pulse envelope in nondispersive media |isbn = 978-0-471-75687-3 |year = 2006 |publisher = Wiley }}</ref>
+कहाँ पे <math>A(x,\ t)</math> लहर का आयाम आवरण है, <math>k</math> लहरें है और <math>\phi</math> चरण है। यदि समूह वेग <math>v_g</math> (नीचे देखें) तरंग दैर्ध्य-स्वतंत्र है, इस समीकरण को सरल किया जा सकता है:<ref name=Chen>{{cite book |chapter-url = https://books.google.com/books?id=LxzWPskhns0C&pg=PA363 |author = Chin-Lin Chen |title = Foundations for guided-wave optics |page = 363 |chapter = §13.7.3 Pulse envelope in nondispersive media |isbn = 978-0-471-75687-3 |year = 2006 |publisher = Wiley }}</ref>
 :<math>u(x,t) = A(x - v_g t) \sin \left(kx - \omega t + \phi \right) , </math>
-यह दिखाते हुए कि लिफाफा समूह वेग के साथ चलता है और इसके आकार को बनाए रखता है।अन्यथा, ऐसे मामलों में जहां समूह का वेग तरंग दैर्ध्य के साथ बदलता रहता है, पल्स आकार एक तरीके से बदल जाता है जो अक्सर एक लिफाफा समीकरण का उपयोग करके वर्णित होता है।<ref name=Chen/><ref name=Recami>{{cite book |title = Localized Waves |chapter = Localization and Wannier wave packets in photonic crystals |author1=Stefano Longhi |author2=Davide Janner |editor1=Hugo E. Hernández-Figueroa |editor2=Michel Zamboni-Rached |editor3=Erasmo Recami |chapter-url = https://books.google.com/books?id=xxbXgL967PwC&pg=PA329 |page = 329 |isbn = 978-0-470-10885-7 |year = 2008 |publisher = Wiley-Interscience }}</ref>
+यइससे पता चलता है कि आवरण समूह वेग के साथ गति करता है और अपना आकार बनाए रखता है। अन्यथा, ऐसे मामलों में जहां समूह वेग तरंग दैर्ध्य के साथ बदलता है, पल्स आकार एक आवरण समीकरण का उपयोग करके वर्णित तरीके से बदलता है।<ref name=Chen/><ref name=Recami>{{cite book |title = Localized Waves |chapter = Localization and Wannier wave packets in photonic crystals |author1=Stefano Longhi |author2=Davide Janner |editor1=Hugo E. Hernández-Figueroa |editor2=Michel Zamboni-Rached |editor3=Erasmo Recami |chapter-url = https://books.google.com/books?id=xxbXgL967PwC&pg=PA329 |page = 329 |isbn = 978-0-470-10885-7 |year = 2008 |publisher = Wiley-Interscience }}</ref>
 === चरण वेग और समूह वेग ===
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 {{See also|Envelope (waves)#Phase and group velocity}}
 [[Image:Wave group.gif|thumb|लाल वर्ग चरण वेग के साथ चलता है, जबकि हरे रंग के घेरे बाईं ओर से फैलते हैं]]
-दो वेग हैं जो लहरों, चरण वेग और समूह वेग से जुड़े हैं।
+दो वेग हैं जो तरंगों, चरण वेग और समूह वेग से जुड़े होते हैं।
-चरण वेग वह दर है जिस पर लहर का चरण अंतरिक्ष में फैलता है: लहर का कोई भी चरण (उदाहरण के लिए, शिखा) चरण वेग पर यात्रा करने के लिए दिखाई देगा।चरण वेग तरंग दैर्ध्य के संदर्भ में दिया जाता है {{mvar|λ}} (लैम्ब्डा) और अवधि {{mvar|T}} जैसा
+चरण वेग वह दर है जिस पर तरंग का चरण अंतराल पर फैलता है: लहर का कोई भी चरण (उदाहरण के लिए, शिखा) चरण वेग के साथ यात्रा करता हुआ दिखाई देगा। चरण वेग तरंग दैर्ध्य के संदर्भ में दिया जाता है {{mvar|λ}} (लैम्ब्डा) और अवधि {{mvar|T}} जैसा
 :<math>v_\mathrm{p} = \frac{\lambda}{T}.</math>
 [[Image:Wave opposite-group-phase-velocity.gif|thumb|right|समूह और चरण वेगों के साथ एक लहर अलग -अलग दिशाओं में जा रही है]]
-समूह वेग तरंगों की एक संपत्ति है जिसमें एक परिभाषित लिफाफा होता है, जो कि तरंगों के आयामों के समग्र आकार के अंतरिक्ष के माध्यम से प्रसार को मापता है (या लहर के मॉड्यूलेशन या लिफाफे;
+समूह वेग तरंगों की एक संपत्ति है जिसमें एक परिभाषित आवरण होता है, जो कि तरंगों के आयामों के समग्र आकार के अंतरिक्ष के माध्यम से प्रसार को मापता है (या लहर के मॉड्यूलेशन या आवरण;
 == विशेष तरंगें ==
-=== साइन वेव्स ===
+=== ज्या तरंगें ===
-{{excerpt|Sine wave}}
+{{excerpt|Sine wave}}ज्या तरंग, ज्यावक्रीय तरंग, या सिर्फ ज्यावक्र एक गणितीय वक्र है जिसे ज्या त्रिकोणमितीय क्रिया के संदर्भ में परिभाषित किया गया है जिसमें यह एक ग्राफ है। यह एक प्रकार की सतत तरंग है और यह एक स्वतःस्फूर्त समय फलन भी है। यह अक्सर गणित, साथ ही भौतिकी, इंजीनियरिंग, सिग्नल प्रोसेसिंग और कई अन्य क्षेत्रों में होता है।
+=== समतल तरंगें ===
-=== विमान तरंगें ===
 {{Main|Plane wave}}
-एक विमान की लहर एक प्रकार की लहर है जिसका मूल्य केवल एक स्थानिक दिशा में भिन्न होता है।यही है, इसका मूल्य एक विमान पर स्थिर है जो उस दिशा में लंबवत है।विमान तरंगों को इकाई लंबाई के एक वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है <math>\hat n</math> उस दिशा को इंगित करना जो तरंग में भिन्न होती है, और एक तरंग प्रोफ़ाइल यह बताती है कि कैसे तरंग उस दिशा के साथ विस्थापन के एक समारोह के रूप में भिन्न होती है (<math>\hat n \cdot \vec{x}</math>) और समय (<math>t</math>)।चूंकि वेव प्रोफाइल केवल स्थिति पर निर्भर करता है <math>\vec{x}</math> संयोजन में <math>\hat n \cdot \vec{x}</math>, दिशाओं में किसी भी विस्थापन के लिए लंबवत <math>\hat n</math> क्षेत्र के मूल्य को प्रभावित नहीं कर सकता।
+समतल तरंग एक प्रकार की तरंग है जिसका मान केवल एक स्थानिक दिशा में भिन्न होता है। अर्थात् उस दिशा के लम्बवत तल पर इसका मान स्थिर होता है।  समतल तरंगों को इकाई लंबाई <math>\hat n</math> के एक वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है जो उस दिशा को इंगित करता है जिसमें तरंग विचलन करती है, और एक तरंग रूपरेखा यह बताती है कि उस दिशा के साथ विस्थापन के कार्य के रूप में तरंग कैसे बदलती है। (<math>\hat n \cdot \vec{x}</math>  और समय ( t ) चूंकि तरंग रूपरेखा <math>\hat n \cdot \vec{x}</math>  संयोजन में केवल स्थिति <math>\vec{x}</math> पर निर्भर करती है, <math>\hat n</math> के लंबवत दिशाओं में कोई भी विस्थापन क्षेत्र के मान को प्रभावित नहीं कर सकता है।
-विमान तरंगों का उपयोग अक्सर एक स्रोत से दूर विद्युत चुम्बकीय तरंगों को मॉडल करने के लिए किया जाता है।विद्युत चुम्बकीय विमान तरंगों के लिए, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र स्वयं प्रसार की दिशा के लिए अनुप्रस्थ होते हैं, और एक दूसरे के लिए भी लंबवत होते हैं।
+समतल तरंगों का उपयोग अक्सर विद्युत चुम्बकीय तरंगों को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है जो एक स्रोत से बहुत दूर होती हैं। विद्युत चुम्बकीय समतल तरंगों के लिए, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र स्वयं प्रसार की दिशा में अनुप्रस्थ होते हैं, और एक दूसरे के लंबवत भी होते हैं।
-=== खड़े लहरें ===
+=== स्थायी तरंगें ===
 {{Main|Standing wave|Acoustic resonance|Helmholtz resonator|Organ pipe}}
 [[File:Standing wave.gif|thumb|right|300px|खड़ी लहर।लाल डॉट्स वेव नोड्स का प्रतिनिधित्व करते हैं]]
-एक स्थायी लहर, जिसे एक स्थिर लहर के रूप में भी जाना जाता है, एक लहर है जिसका लिफाफा एक निरंतर स्थिति में रहता है।यह घटना विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो तरंगों के बीच हस्तक्षेप के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती है।
+एक स्थायी तरंग, जिसे एक स्थिर तरंग के रूप में भी जाना जाता है, एक तरंग है जिसका आवरण स्थिर अवस्था में रहता है। यह घटना विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो तरंगों के बीच हस्तक्षेप के परिणामस्वरूप होती है।
-दो काउंटर-प्रॉपिंग तरंगों (समान आयाम और आवृत्ति) का योग एक स्थायी लहर बनाता है।खड़े तरंगें आमतौर पर तब उत्पन्न होती हैं जब एक सीमा लहर के आगे प्रसार को अवरुद्ध करती है, इस प्रकार तरंग प्रतिबिंब का कारण बनती है, और इसलिए एक काउंटर-प्रोपिंग लहर का परिचय देती है।उदाहरण के लिए, जब एक वायलिन स्ट्रिंग विस्थापित हो जाती है, तो अनुप्रस्थ तरंगों को बाहर निकलते हैं, जहां पुल और अखरोट में स्ट्रिंग को जगह में रखा जाता है, जहां लहरें वापस परिलक्षित होती हैं।पुल और अखरोट में, दोनों विरोधी तरंगें एंटीफेस में हैं और एक दूसरे को रद्द कर देती हैं, जिससे नोड का उत्पादन होता है।दो नोड्स के बीच आधा एक एंटिनोड है, जहां दो काउंटर-प्रोपिंग लहरें एक-दूसरे को अधिकतम रूप से बढ़ाती हैं।समय के साथ ऊर्जा का कोई शुद्ध प्रसार नहीं है।
+दो प्रति-प्रसार तरंगों का योग (एक ही आयाम और आवृत्ति की) एक स्थायी तरंग बनाता है। स्थायी तरंगें आमतौर पर तब उत्पन्न होती हैं जब एक सीमा लहर के आगे के प्रसार को अवरुद्ध करती है, इस प्रकार लहर को प्रतिबिंबित करती है, और इसलिए एक प्रति-प्रसार लहर का परिचय देती है। उदाहरण के लिए, जब एक वायलिन स्ट्रिंग को विस्थापित किया जाता है, तो अनुप्रस्थ तरंगें उस बिंदु तक फैलती हैं जहां स्ट्रिंग को पुल और अखरोट पर रखा जाता है, जहां तरंगें वापस परावर्तित होती हैं। पुल और नट पर, दो विरोधी तरंगें विरोधी चरण में होती हैं और एक दूसरे को रद्द करके एक नोड बनाती हैं। दो नोड्स के बीच में, एक एंटीनोड होता है, जहां दो प्रति-प्रसार तरंगें एक-दूसरे को अधिकतम रूप से बढ़ाती हैं। समय के साथ ऊर्जा का कोई शुद्ध अपव्यय नहीं है।
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 Image:Drum vibration mode21.gif|A [[Vibrations of a circular drum|standing wave on a disk]] with two nodal lines crossing at the center; this is an overtone.
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 == भौतिक गुण ==
-फ़ाइल: एक फ्लिंट ग्लास प्रिज्म ipnr ° के साथ एक पारा-वाष्प लैंप का प्रकाश फैलाव0125.jpg|thumb|right|upright|प्रकाश किरण एक प्रिज्म का सामना करते समय प्रतिबिंब, अपवर्तन, संचरण और फैलाव प्रदर्शित करता है
+तरंगें कई मानक परिस्थितियों में सामान्य व्यवहार प्रदर्शित करती हैं, उदाहरण के लिए:
-उदाहरण के लिए, तरंगें कई मानक स्थितियों के तहत सामान्य व्यवहार प्रदर्शित करती हैं: उदाहरण के लिए:
+=== संचरण और संचार माध्यम ===
-=== ट्रांसमिशन और मीडिया ===
 {{Main|Rectilinear propagation|Transmittance|Transmission medium}}
-तरंगें आम तौर पर एक ट्रांसमिशन माध्यम के माध्यम से एक सीधी रेखा (यानी, यानी, आयतवाद) में चलती हैं।इस तरह के मीडिया को निम्नलिखित श्रेणियों में से एक या अधिक में वर्गीकृत किया जा सकता है:
+तरंगें आम तौर पर एक ट्रांसमिशन माध्यम के माध्यम से एक सीधी रेखा (यानी, यानी, आयतवाद) में चलती हैं। इस तरह के मीडिया को निम्नलिखित श्रेणियों में से एक या अधिक में वर्गीकृत किया जा सकता है:
-* एक बंधे हुआ माध्यम अगर यह सीमा में परिमित है, अन्यथा एक अनबाउंड माध्यम
+* एक परिबद्ध माध्यम यदि वह सीमा में परिमित है, अन्यथा एक असंबद्ध माध्यम।
-* एक रैखिक माध्यम यदि माध्यम में किसी विशेष बिंदु पर विभिन्न तरंगों के आयामों को जोड़ा जा सकता है
+* एक रैखिक माध्यम यदि माध्यम में किसी विशेष बिंदु पर विभिन्न तरंगों के आयामों को जोड़ा जा सकता है।
-* एक समान माध्यम या सजातीय माध्यम यदि इसके भौतिक गुण अंतरिक्ष में विभिन्न स्थानों पर अपरिवर्तित हैं
+* एक समान माध्यम या सजातीय माध्यम यदि इसके भौतिक गुण अंतरिक्ष में विभिन्न स्थानों पर अपरिवर्तित हैं।
-* एक अनीसोट्रोपिक माध्यम यदि इसके एक या अधिक भौतिक गुण एक या अधिक दिशाओं में भिन्न होते हैं
+* एक विषमदैशिक माध्यम यदि इसके एक या अधिक भौतिक गुण एक या अधिक दिशाओं में भिन्न होते हैं।
-* एक आइसोट्रोपिक माध्यम यदि इसके भौतिक गुण सभी दिशाओं में समान हैं
+* एक समदिक माध्यम यदि इसके भौतिक गुण सभी दिशाओं में समान हैं।
 === अवशोषण ===
 {{Main|Absorption (acoustics)|Absorption (electromagnetic radiation)}}
-तरंगों को आमतौर पर मीडिया में परिभाषित किया जाता है जो किसी भी लहर की ऊर्जा को नुकसान के बिना प्रचारित करने की अनुमति देते हैं।हालांकि सामग्री को हानि के रूप में चित्रित किया जा सकता है यदि वे एक लहर से ऊर्जा को हटाते हैं, तो आमतौर पर इसे गर्मी में परिवर्तित करते हैं।इसे अवशोषण कहा जाता है।एक सामग्री जो एक लहर की ऊर्जा को अवशोषित करती है, या तो संचरण या प्रतिबिंब में, एक अपवर्तक सूचकांक की विशेषता है जो जटिल है।अवशोषण की मात्रा आम तौर पर तरंग की आवृत्ति (तरंग दैर्ध्य) पर निर्भर करेगी, जो उदाहरण के लिए, बताती है कि वस्तुएं रंगीन क्यों दिखाई दे सकती हैं।
+तरंगों को आमतौर पर मीडिया में परिभाषित किया जाता है जो बिना किसी नुकसान के अधिकांश या सभी तरंगों की ऊर्जा को प्रसारित करने की अनुमति देते हैं। हालांकि, सामग्रियों को "हानिकारक" के रूप में वर्णित किया जा सकता है यदि वे एक तरंग से ऊर्जा निकालते हैं, आमतौर पर इसे गर्मी में परिवर्तित करते हैं। इसे "अवशोषण" कहते हैं। एक सामग्री जो एक तरंग की ऊर्जा को अवशोषित करती है, या तो संचरण या प्रतिबिंब में, एक अपवर्तक सूचकांक द्वारा विशेषता होती है जो जटिल होती है। अवशोषण की मात्रा आमतौर पर तरंग की आवृत्ति (तरंग दैर्ध्य) पर निर्भर करती है, जो उदाहरण के लिए, यह बताती है कि वस्तुएं रंगीन क्यों दिखाई दे सकती हैं।
 === प्रतिबिंब ===
 {{Main|Reflection (physics)}}
-जब एक लहर एक चिंतनशील सतह से टकरा जाती है, तो यह दिशा बदलती है, जैसे कि घटना की लहर द्वारा बनाया गया कोण और सतह पर सामान्य रेखा पर परावर्तित लहर और एक ही सामान्य रेखा द्वारा बनाए गए कोण के बराबर होता है।
+जब कोई तरंग किसी परावर्तक सतह से टकराती है, तो दिशा इस तरह बदल जाती है कि आपतित तरंग द्वारा अंतरित कोण और सतह पर अभिलंब रेखा परावर्तित तरंग द्वारा अंतरित कोण और समान अभिलंब रेखा के बराबर हो जाती है।
 === अपवर्तन ===
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 [[File:Wave refraction.gif|thumb|right|200 पीएक्स | साइनसोइडल ट्रैवलिंग प्लेन वेव लहर एक कोण पर निचली लहर वेग के एक क्षेत्र में प्रवेश करते हुए, जो तरंग दैर्ध्य में कमी और दिशा (अपवर्तन) के परिवर्तन को दर्शाता है।]]
-अपवर्तन एक लहर की घटना है जो इसकी गति को बदल रहा है।गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि चरण वेग का आकार बदल जाता है।आमतौर पर, अपवर्तन तब होता है जब एक लहर एक माध्यम से दूसरे माध्यम से गुजरती है।वह राशि जिसके द्वारा एक लहर को किसी सामग्री द्वारा अपवर्तित किया जाता है, सामग्री के अपवर्तक सूचकांक द्वारा दिया जाता है।घटनाओं और अपवर्तन की दिशाएं स्नेल के कानून द्वारा दो सामग्रियों के अपवर्तक सूचकांकों से संबंधित हैं।
+अपवर्तन एक तरंग के वेग में परिवर्तन की घटना है। गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि चरण वेग का आकार बदला गया है। आमतौर पर, अपवर्तन तब होता है जब एक तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है। वह मात्रा जिससे किसी पदार्थ द्वारा तरंग का अपवर्तन किया जाता है, सामग्री के अपवर्तनांक द्वारा दी जाती है। आपतन और अपवर्तन की दिशाएं स्नेल के नियम के अनुसार दो पदार्थों के अपवर्तनांक से संबंधित हैं।
 === विवर्तन ===
-{{Main|Diffraction}}
+{{Main|Diffraction}}एक तरंग विवर्तन प्रदर्शित करती है जब वह एक बाधा का सामना करती है जो लहर को मोड़ती है या जब यह एक उद्घाटन से निकलने के बाद फैलती है। विवर्तन प्रभाव तब अधिक स्पष्ट होते हैं जब बाधा या उद्घाटन का आकार तरंग की तरंग दैर्ध्य के बराबर होता है।
-एक लहर विवर्तन को प्रदर्शित करती है जब यह एक बाधा का सामना करती है जो लहर को झुकती है या जब यह एक उद्घाटन से उभरने के बाद फैल जाती है।विवर्तन प्रभाव अधिक स्पष्ट होते हैं जब बाधा या खोलने का आकार लहर के तरंग दैर्ध्य के बराबर होता है।
 === हस्तक्षेप ===
-{{Main|Interference (wave propagation)}}
+{{Main|Interference (wave propagation)}}जब एक रेखीय माध्यम में तरंगें (सामान्य स्थिति) अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में एक दूसरे को पार करती हैं, तो वे वास्तव में एक-दूसरे के साथ बातचीत नहीं करती हैं, लेकिन इस तरह जारी रहती हैं जैसे कि कोई मौजूद नहीं थी। हालांकि, उस क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर, उन तरंगों का वर्णन करने वाली क्षेत्र मात्राएं अध्यारोपण सिद्धांत के अनुसार जुड़ती हैं। यदि तरंगें एक निश्चित चरण संबंध में समान आवृत्ति की होती हैं, तो आम तौर पर ऐसी स्थितियाँ होंगी जिन पर दो तरंगें चरण में होती हैं और उनके आयाम जुड़ते हैं, और अन्य स्थितियाँ जहाँ वे चरण से बाहर होती हैं और उनके आयाम (आंशिक रूप से या पूरी तरह से) रद्द करना। इसे व्यतिकरण प्रतिरूप कहते हैं।
-[[Image:Two sources interference.gif|right|frame|हस्तक्षेप से गुजरने वाले दो स्रोतों से समान तरंगें।नीचे एक पर देखा गया 5 पदों को देखता है जहां लहरें चरण में जोड़ती हैं, लेकिन जिनके बीच में वे चरण से बाहर हैं और रद्द कर देते हैं।]]
-जब एक रैखिक माध्यम (सामान्य मामला) में तरंगें अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में एक दूसरे को पार करती हैं, तो वे वास्तव में एक दूसरे के साथ बातचीत नहीं करते हैं, लेकिन इस तरह से जारी रखते हैं जैसे कि दूसरा मौजूद नहीं था।हालांकि उस क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर उन तरंगों का वर्णन करने वाली क्षेत्र मात्राएँ सुपरपोजिशन सिद्धांत के अनुसार जोड़ती हैं।यदि तरंगें एक निश्चित चरण संबंध में एक ही आवृत्ति की होती हैं, तो आम तौर पर ऐसे स्थान होंगे जिन पर दो तरंगें चरण में होती हैं और उनके आयाम जोड़ते हैं, और अन्य पदों पर जहां वे चरण से बाहर हैं और उनके आयाम (आंशिक रूप से या पूरी तरह से)रद्द करना।इसे एक हस्तक्षेप पैटर्न कहा जाता है।
 === ध्रुवीकरण ===
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 [[File:Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Circular.Polarizer Creating.Left.Handed.Helix.View.svg|thumb|बाएं]]
-ध्रुवीकरण की घटना तब उत्पन्न होती है जब लहर गति एक साथ दो ऑर्थोगोनल दिशाओं में हो सकती है।उदाहरण के लिए, अनुप्रस्थ तरंगों को ध्रुवीकृत किया जा सकता है।जब ध्रुवीकरण का उपयोग योग्यता के बिना एक डिस्क्रिप्टर के रूप में किया जाता है, तो यह आमतौर पर रैखिक ध्रुवीकरण के विशेष, सरल मामले को संदर्भित करता है।एक अनुप्रस्थ लहर रैखिक रूप से ध्रुवीकृत होती है यदि यह केवल एक दिशा या विमान में दोलन करता है।रैखिक ध्रुवीकरण के मामले में, उस विमान के सापेक्ष अभिविन्यास को जोड़ने के लिए अक्सर उपयोगी होता है, यात्रा की दिशा में लंबवत, जिसमें दोलन होता है, जैसे कि उदाहरण के लिए क्षैतिज, यदि ध्रुवीकरण का विमान जमीन के समानांतर है।उदाहरण के लिए, मुक्त स्थान में प्रचारित विद्युत चुम्बकीय तरंगें अनुप्रस्थ हैं;उन्हें एक ध्रुवीकरण फिल्टर के उपयोग से ध्रुवीकृत किया जा सकता है।
+ध्रुवीकरण की घटना तब उत्पन्न होती है जब तरंग गति एक साथ दो लंबवत दिशाओं में हो सकती है। अनुप्रस्थ तरंगों को ध्रुवीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए। जब ध्रुवीकरण को बिना योग्यता के एक विवरणक के रूप में प्रयोग किया जाता है, तो यह आमतौर पर रैखिक ध्रुवीकरण के विशेष, सरल मामले को संदर्भित करता है। एक अनुप्रस्थ तरंग को रैखिक रूप से ध्रुवीकृत किया जाता है यदि यह केवल एक दिशा या तल में दोलन करती है। रैखिक ध्रुवीकरण के मामले में, उस विमान के सापेक्ष अभिविन्यास को जोड़ने के लिए अक्सर उपयोगी होता है, यात्रा की दिशा के लंबवत, जिसमें दोलन होता है, जैसे "क्षैतिज", उदाहरण के लिए, यदि ध्रुवीकरण का विमान समानांतर है मैदान। उदाहरण के लिए, मुक्त स्थान में प्रसारित विद्युत चुम्बकीय तरंगें अनुप्रस्थ होती हैं; ध्रुवीकरण फिल्टर के उपयोग से उन्हें ध्रुवीकरण किया जा सकता है।
-अनुदैर्ध्य तरंगें, जैसे ध्वनि तरंगें, ध्रुवीकरण का प्रदर्शन नहीं करती हैं।इन तरंगों के लिए दोलन की केवल एक दिशा है, यानी यात्रा की दिशा के साथ।
+अनुदैर्ध्य तरंगें, जैसे ध्वनि तरंगें, ध्रुवीकरण नहीं दिखाती हैं। इन तरंगों के लिए दोलन की केवल एक ही दिशा होती है, अर्थात् यात्रा की दिशा के साथ।
+=== प्रसार ===
-=== फैलाव ===
 [[File:Light dispersion conceptual waves.gif|thumb|right|270 px | प्रकाश के योजनाबद्ध एक प्रिज्म द्वारा बिखरे हुए।एनीमेशन देखने के लिए क्लिक करें।]]
 {{Main|Dispersion relation|Dispersion (optics)|Dispersion (water waves)}}
-एक लहर फैलाव से गुजरती है जब या तो चरण वेग या समूह वेग तरंग आवृत्ति पर निर्भर करता है।
+तरंग का प्रकीर्णन तब होता है जब या तो प्रावस्था वेग या समूह वेग तरंग आवृत्ति पर निर्भर करता है। सफेद प्रकाश को प्रिज्म से गुजरने देने से फैलाव सबसे आसानी से देखा जा सकता है, जिसका परिणाम इंद्रधनुष के रंगों के स्पेक्ट्रम का उत्पादन करना है। आइजैक न्यूटन ने प्रकाश और प्रिज्म के साथ प्रयोग किए, ऑप्टिक्स (1704) में अपने निष्कर्ष प्रस्तुत किए कि सफेद प्रकाश में कई रंग होते हैं और इन रंगों को आगे और विघटित नहीं किया जा सकता है।<ref name=Newton>
-फैलाव को सबसे आसानी से एक प्रिज्म के माध्यम से सफेद प्रकाश को पारित करके देखा जाता है, जिसका परिणाम इंद्रधनुष के रंगों के स्पेक्ट्रम का उत्पादन करना है।इसहाक न्यूटन ने प्रकाश और प्रिज्मों के साथ प्रयोग किए, अपने निष्कर्षों को ऑप्टिक्स (1704) में प्रस्तुत करते हुए कहा कि सफेद प्रकाश में कई रंग होते हैं और इन रंगों को आगे भी विघटित नहीं किया जा सकता है।<ref name=Newton>
 {{cite book |last = Newton |first = Isaac |year = 1704 |author-link = Isaac Newton |title = Opticks: Or, A treatise of the Reflections, Refractions, Inflexions and Colours of Light. Also Two treatises of the Species and Magnitude of Curvilinear Figures |page = 118 |location = London |chapter = Prop VII Theor V |quote = All the Colours in the Universe which are made by Light... are either the Colours of homogeneal Lights, or compounded of these... |volume = 1 |chapter-url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3362k.image.f128.pagination }}
 </ref>
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-=== स्ट्रिंग्स पर लहरें ===
+=== तार पर तरंगें ===
 {{Main|Vibrating string}}
-एक वाइब्रेटिंग स्ट्रिंग (V) के साथ यात्रा करने वाली एक अनुप्रस्थ तरंग की गति रैखिक द्रव्यमान घनत्व (μ) पर स्ट्रिंग (टी) के तनाव के वर्गमूल के लिए सीधे आनुपातिक है:
+एक कंपन स्ट्रिंग (v) के साथ यात्रा करने वाली अनुप्रस्थ तरंग की गति रैखिक द्रव्यमान घनत्व (μ) पर स्ट्रिंग (T) के तनाव के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होती है:
 :<math> v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}, </math>
-जहां रैखिक घनत्व μ स्ट्रिंग की प्रति यूनिट लंबाई प्रति द्रव्यमान है।
+जहां रैखिक घनत्व μ स्ट्रिंग की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
 === ध्वनिक तरंगें ===
 {{Main|Acoustic wave}}
-ध्वनिक या ध्वनि तरंगें दी गई गति से यात्रा करती हैं
+ध्वनिक या ध्वनि तरंगें द्वारा दी गई गति से यात्रा करती हैं
 :<math> v = \sqrt{\frac{B}{\rho_0}}, </math>
-या परिवेशी द्रव घनत्व (ध्वनि की गति देखें) द्वारा विभाजित एडियाबेटिक बल्क मापांक का वर्गमूल।
+या स्थिरोष्म बल्क मापांक का वर्गमूल परिवेशी द्रव घनत्व (ध्वनि की गति देखें) से विभाजित है।
-=== पानी की तरंगें ===
+=== जल तरंगें ===
 [[File:Shallow water wave.gif|thumb|right|400px]]
 {{Main|Water waves}}
-* एक तालाब की सतह पर लहर वास्तव में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगों का एक संयोजन है;इसलिए, सतह पर अंक कक्षीय पथ का अनुसरण करते हैं।
+* एक तालाब की सतह पर लहरें वास्तव में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगों का संयोजन होती हैं; इसलिए, सतह पर स्थित बिंदु कक्षीय मार्ग का अनुसरण करते हैं।
-* ध्वनि & nbsp; - एक यांत्रिक लहर जो गैसों, तरल पदार्थों, ठोस और प्लास्मास के माध्यम से फैलता है;
+* ध्वनि - एक यांत्रिक तरंग जो गैसों, तरल पदार्थों, ठोस पदार्थों और प्लाज्मा के माध्यम से फैलती है।
-* जड़त्वीय तरंगें, जो घूर्णन तरल पदार्थों में होती हैं और कोरिओलिस प्रभाव द्वारा बहाल होती हैं;
+* जड़त्वीय तरंगें, जो गतिमान तरल पदार्थों में होती हैं और कोरिओलिस प्रभाव से बहाल हो जाती हैं।
-* महासागर की सतह की तरंगें, जो पानी के माध्यम से प्रचारित होने वाली गड़बड़ी हैं।
+* महासागरीय सतही तरंगें वे विक्षोभ हैं जो जल के माध्यम से फैलती हैं।
 === भूकंपीय तरंगें ===
 {{Main|Seismic waves}}
-भूकंपीय तरंगें ऊर्जा की तरंगें हैं जो पृथ्वी की परतों के माध्यम से यात्रा करती हैं, और भूकंप, ज्वालामुखी विस्फोट, मैग्मा आंदोलन, बड़े भूस्खलन और बड़े मानव-निर्मित विस्फोटों का परिणाम हैं जो कम आवृत्ति वाली ध्वनिक ऊर्जा देते हैं।
+भूकंपीय तरंगें ऊर्जा की तरंगें हैं जो पृथ्वी की पपड़ी के माध्यम से यात्रा करती हैं और भूकंप, ज्वालामुखी विस्फोट, मैग्मा आंदोलन, बड़े भूस्खलन और बड़े मानव निर्मित विस्फोटों का परिणाम हैं जो कम आवृत्ति ध्वनिक ऊर्जा का उत्सर्जन करते हैं।
 === डॉपलर प्रभाव ===
-डॉपलर प्रभाव (या डॉपलर शिफ्ट) एक पर्यवेक्षक के संबंध में एक लहर की आवृत्ति में परिवर्तन है जो लहर स्रोत के सापेक्ष आगे बढ़ रहा है।<ref name="Giordano">{{cite book
+डॉप्लर प्रभाव (या डॉप्लर शिफ्ट) एक प्रेक्षक के संबंध में तरंग की आवृत्ति में परिवर्तन है जो तरंग स्रोत के सापेक्ष गति कर रहा है।<ref name="Giordano">{{cite book
   | last1  = Giordano
   | first1 = Nicholas
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   | url    = https://books.google.com/books?id=BwistUlpZ7cC&pg=PA424
   | isbn   = 978-0534424718
-  }}</ref> इसका नाम ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी क्रिश्चियन डॉपलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1842 में घटना का वर्णन किया था।
+  }}</ref>इसका नाम ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी क्रिश्चियन डॉपलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस घटना का वर्णन 1842 में किया था।
-=== शॉक वेव्स ===
+=== आघात तरंग ===
 [[File:Transonico-en.svg|thumb|right|300 पीएक्स | एक विमान द्वारा एक सदमे की लहर का गठन।]]
 {{Main|Shock wave}}
-एक शॉक वेव एक प्रकार का प्रचार गड़बड़ी है।जब एक तरल एक तरल पदार्थ में ध्वनि की स्थानीय गति की तुलना में तेजी से आगे बढ़ती है, तो यह एक सदमे की लहर होती है।एक साधारण लहर की तरह, एक शॉक वेव ऊर्जा वहन करता है और एक माध्यम के माध्यम से फैल सकता है;हालांकि, यह एक अचानक, दबाव, तापमान और माध्यम के घनत्व में लगभग असंतुलित परिवर्तन की विशेषता है।<ref>{{Citation
+आघात तरंग एक प्रकार का प्रसार गड़बड़ी है। जब कोई तरंग किसी द्रव में ध्वनि की स्थानीय गति से तेज गति से यात्रा करती है, तो यह आघात तरंग होती है। एक साधारण लहर की तरह, आघात तरंग ऊर्जा वहन करती है और एक माध्यम से फैल सकती है; हालांकि, यह माध्यम के दबाव, तापमान और घनत्व में अचानक, लगभग असंतुलित परिवर्तनों की विशेषता है।<ref>{{Citation
    | last = Anderson | first = John D. Jr.
    | title = Fundamentals of Aerodynamics | orig-year = 1984 | edition = 3rd
@@ Line 257: / Line 243: @@
 === अन्य ===
-* यातायात की लहरें, अर्थात् मोटर वाहनों के विभिन्न घनत्वों का प्रसार, और इसके बाद, जिसे काइनेमेटिक तरंगों के रूप में मॉडल किया जा सकता है<ref name=Lighthill>{{cite journal |author1 = M.J. Lighthill | author1-link=James Lighthill |author2 = G.B. Whitham | author2-link=Gerald B. Whitham |year = 1955 |title = On kinematic waves. II. A theory of traffic flow on long crowded roads |journal = Proceedings of the Royal Society of London. Series A |volume = 229 | issue=1178 |pages = 281–345 |bibcode = 1955RSPSA.229..281L |doi = 10.1098/rspa.1955.0088 | citeseerx=10.1.1.205.4573 | s2cid=18301080 }} And: {{cite journal |doi = 10.1287/opre.4.1.42 |author = P.I. Richards |year = 1956 |title = Shockwaves on the highway |journal = Operations Research |volume = 4 |issue = 1 |pages = 42–51 }}</ref>
+* यातायात की लहरें, यानी मोटर वाहनों के विभिन्न घनत्वों का प्रसार, और आगे, जिसे गतिज तरंगों के रूप में प्रतिरूपित किया जा सकता है।<ref name=Lighthill>{{cite journal |author1 = M.J. Lighthill | author1-link=James Lighthill |author2 = G.B. Whitham | author2-link=Gerald B. Whitham |year = 1955 |title = On kinematic waves. II. A theory of traffic flow on long crowded roads |journal = Proceedings of the Royal Society of London. Series A |volume = 229 | issue=1178 |pages = 281–345 |bibcode = 1955RSPSA.229..281L |doi = 10.1098/rspa.1955.0088 | citeseerx=10.1.1.205.4573 | s2cid=18301080 }} And: {{cite journal |doi = 10.1287/opre.4.1.42 |author = P.I. Richards |year = 1956 |title = Shockwaves on the highway |journal = Operations Research |volume = 4 |issue = 1 |pages = 42–51 }}</ref>
-* मेटाक्रोनल वेव समन्वित अनुक्रमिक कार्यों द्वारा निर्मित एक यात्रा लहर की उपस्थिति को संदर्भित करता है।
+* मेटाक्रोनल तरंग समन्वित अनुक्रमिक क्रियाओं द्वारा उत्पादित एक यात्रा तरंग की उपस्थिति को संदर्भित करती है।
 == विद्युत चुम्बकीय तरंगें ==
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 {{Main|Electromagnetic wave}}
 {{Further|Electromagnetic spectrum}}
-एक विद्युत चुम्बकीय तरंग में दो तरंगें होती हैं जो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के दोलन होते हैं।एक विद्युत चुम्बकीय तरंग एक दिशा में यात्रा करती है जो दोनों क्षेत्रों के दोलन दिशा में समकोण पर होती है।19 वीं शताब्दी में, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने दिखाया कि, वैक्यूम में, इलेक्ट्रिक और मैग्नेटिक फील्ड्स लहर के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, जो प्रकाश की गति के बराबर गति के साथ दोनों के साथ होता है।इससे यह विचार सामने आया कि प्रकाश एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है।विद्युत चुम्बकीय तरंगों में अलग-अलग आवृत्तियों (और इस प्रकार तरंग दैर्ध्य) हो सकते हैं, जो विभिन्न प्रकार के विकिरणों जैसे कि रेडियो तरंगों, माइक्रोवेव, अवरक्त, दृश्यमान प्रकाश, पराबैंगनी, एक्स-रे, और गामा किरणों को जन्म देते हैं।
+विद्युत चुम्बकीय तरंग में दो तरंगें होती हैं जो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के दोलन होते हैं। एक विद्युत चुम्बकीय तरंग एक दिशा में यात्रा करती है जो दोनों क्षेत्रों की दोलन दिशा के समकोण पर है। 19वीं शताब्दी में, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने दिखाया कि, निर्वात में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र तरंग समीकरण को प्रकाश की गति के बराबर गति के साथ संतुष्ट करते हैं। इससे यह विचार उभरा कि प्रकाश एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है। विद्युत चुम्बकीय तरंगों में अलग-अलग आवृत्तियाँ (और इस प्रकार तरंग दैर्ध्य) हो सकती हैं, जिससे विभिन्न प्रकार के विकिरण जैसे रेडियो तरंगें, माइक्रोवेव, अवरक्त, दृश्य प्रकाश, पराबैंगनी, एक्स-रे और गामा किरणें उत्पन्न होती हैं।
-== क्वांटम मैकेनिकल वेव्स ==
+== क्वांटम यांत्रिक तरंग ==
 {{Main|Schrödinger equation}}
 {{See also|Wave function}}
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 === श्रोडिंगर समीकरण ===
-श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम यांत्रिकी में कणों के तरंग-जैसे व्यवहार का वर्णन करता है।इस समीकरण के समाधान तरंग कार्य हैं जिनका उपयोग एक कण की संभावना घनत्व का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।
+श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम यांत्रिकी में कणों के तरंग जैसे व्यवहार का वर्णन करता है। इस समीकरण के हल तरंग फलन हैं जिनका उपयोग किसी कण के प्रायिकता घनत्व का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।
 === DIRAC समीकरण ===
-DIRAC समीकरण विद्युत चुम्बकीय इंटरैक्शन का विवरण देने वाला एक सापेक्ष लहर समीकरण है।DIRAC तरंगों ने पूरी तरह से कठोर तरीके से हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के ठीक विवरण के लिए जिम्मेदार है।लहर समीकरण ने भी मामले के एक नए रूप के अस्तित्व को निहित किया, एंटीमैटर, पहले से अनसुना और अप्रकाशित और जिसे प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी।क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत के संदर्भ में, DIRAC समीकरण को स्पिन -। कणों के अनुरूप क्वांटम फ़ील्ड का वर्णन करने के लिए फिर से व्याख्या किया जाता है।
+DIRAC समीकरण एक आपेक्षिक तरंग समीकरण है जो विद्युतचुंबकीय अंतःक्रियाओं का विवरण देता है। DIRAC तरंगों ने पूरी तरह से कठोर तरीके से हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के बारीक विवरण के लिए जिम्मेदार हैं। तरंग समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, प्रतिकण के अस्तित्व को भी निहित किया, जो पहले से अनसुना और अप्रमाणित था और जिसकी प्रयोगात्मक पुष्टि की गई थी। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, स्पिन-आधा कणों के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए DIRAC समीकरण की पुनर्व्याख्या की जाती है।
 [[File:Wave packet (dispersion).gif|thumb|एक प्रसार तरंग पैकेट;सामान्य तौर पर, वेव पैकेट का लिफाफा घटक तरंगों की तुलना में एक अलग गति से चलता है।<ref name=Fromhold>{{cite book |title = Quantum Mechanics for Applied Physics and Engineering |author = A.T. Fromhold |chapter = Wave packet solutions |pages = 59 ff |quote = (p. 61) ...the individual waves move more slowly than the packet and therefore pass back through the packet as it advances |chapter-url = https://books.google.com/books?id=3SOwc6npkIwC&pg=PA59 |isbn = 978-0-486-66741-6 |publisher = Courier Dover Publications |year = 1991 |edition = Reprint of Academic Press 1981 }}</ref>]]
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 === डी ब्रोगली तरंगें ===
 {{Main|Wave packet|Matter wave}}
-लुईस डी ब्रोगली ने पोस्ट किया कि गति के साथ सभी कणों में एक तरंग दैर्ध्य है
+लुईस डी ब्रोगली ने कहा कि संवेग वाले सभी कणों की तरंगदैर्घ्य होती है
 :<math>\lambda = \frac{h}{p},</math>
-जहां एच प्लैंक का स्थिरांक है, और पी कण की गति का परिमाण है।यह परिकल्पना क्वांटम यांत्रिकी के आधार पर थी।आजकल, इस तरंग दैर्ध्य को डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य कहा जाता है।उदाहरण के लिए, एक कैथोड-रे ट्यूब में इलेक्ट्रॉनों | CRT डिस्प्ले में लगभग 10 का डे ब्रोगली तरंग दैर्ध्य है<sup>−13 </sup> & nbsp; m।
+जहाँ h प्लांक नियतांक है और p कण के संवेग का परिमाण है। यह परिकल्पना क्वांटम यांत्रिकी पर आधारित थी। आजकल, इस तरंगदैर्घ्य को डी ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सीआरटी डिस्प्ले में इलेक्ट्रॉनों में लगभग 10<sup>−13</sup> m डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य होती है।
-K- दिशा में यात्रा करने वाली इस तरह के कण का प्रतिनिधित्व करने वाली एक लहर वेव फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त की जाती है:
+k-दिशा में यात्रा कर रहे ऐसे कण का प्रतिनिधित्व करने वाली तरंग तरंग फ़ंक्शन द्वारा निम्नानुसार व्यक्त की जाती है:
 :<math>\psi (\mathbf{r}, \, t=0) = A e^{i\mathbf{k \cdot r}} , </math>
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 :<math> \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} . </math>
-हालांकि, निश्चित तरंग दैर्ध्य के साथ इस तरह की एक लहर अंतरिक्ष में स्थानीयकृत नहीं है, और इसलिए अंतरिक्ष में स्थानीयकृत एक कण का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है।एक कण को स्थानीय बनाने के लिए, डी ब्रोगली ने एक तरंग पैकेट में एक केंद्रीय मूल्य के आसपास विभिन्न तरंग दैर्ध्य के एक सुपरपोजिशन का प्रस्ताव दिया,<ref name=Marton>
+हालांकि, इस तरह की एक निश्चित तरंग दैर्ध्य के साथ एक लहर अंतरिक्ष में स्थानीयकृत नहीं होती है, और इसलिए अंतरिक्ष में स्थानीयकृत कण का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकती है। एक कण को स्थानीयकृत करने के लिए, डी ब्रोगली ने एक तरंग पैकेट में एक केंद्रीय मूल्य के आसपास विभिन्न तरंग दैर्ध्य के एक सुपरपोजिशन का प्रस्ताव रखा,<ref name=Marton>
 {{cite book |title = Advances in Electronics and Electron Physics |page = 271 |chapter-url = https://books.google.com/books?id=g5q6tZRwUu4C&pg=PA271 |isbn = 978-0-12-014653-6 |year = 1980 |publisher = Academic Press |volume = 53 |editor1=L. Marton |editor2=Claire Marton |author = Ming Chiang Li |chapter = Electron Interference }}
-</ref> एक वेवफॉर्म अक्सर क्वांटम यांत्रिकी में एक कण के तरंग फ़ंक्शन का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है।एक तरंग पैकेट में, कण की तरंग दैर्ध्य सटीक नहीं है, और स्थानीय तरंग दैर्ध्य मुख्य तरंग दैर्ध्य मूल्य के दोनों ओर विचलित होता है।
+</ref> एक कण के तरंग कार्य का वर्णन करने के लिए क्वांटम यांत्रिकी में अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला एक तरंग। एक तरंग पैकेट में, कण की तरंग दैर्ध्य सटीक नहीं होती है, और स्थानीय तरंगदैर्घ्य मुख्य तरंग दैर्ध्य मान के दोनों ओर विचलित हो जाता है।
-एक स्थानीय कण के तरंग फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने में, वेव पैकेट को अक्सर गॉसियन आकार के लिए लिया जाता है और इसे गॉसियन वेव पैकेट कहा जाता है।<ref name=wavepacket>
+एक स्थानीयकृत कण के तरंग कार्य का प्रतिनिधित्व करने में, तरंग पैकेट को अक्सर गाऊसी आकार के लिए लिया जाता है और इसे गाऊसी तरंग पैकेट कहा जाता है।<ref name=wavepacket>
 See for example {{cite book |url = https://books.google.com/books?id=7qCMUfwoQcAC&pg=PA60 |title = Quantum Mechanics |author1=Walter Greiner |author2=D. Allan Bromley |page = 60 |isbn = 978-3-540-67458-0 |edition = 2 |year = 2007 |publisher = Springer }} and {{cite book |title = Electronic basis of the strength of materials |author = John Joseph Gilman |url = https://books.google.com/books?id=YWd7zHU0U7UC&pg=PA57 |page = 57 |year = 2003 |isbn = 978-0-521-62005-5 |publisher = Cambridge University Press }},{{cite book |title = Principles of quantum mechanics |author = Donald D. Fitts |url = https://books.google.com/books?id=8t4DiXKIvRgC&pg=PA17 |page = 17 |isbn = 978-0-521-65841-6 |publisher = Cambridge University Press |year = 1999 }}.
-</ref> गौसियन वेव पैकेट का उपयोग पानी की तरंगों का विश्लेषण करने के लिए भी किया जाता है।<ref name=Mei>
+</ref> गाऊसी तरंग पैकेट का उपयोग पानी की तरंगों का विश्लेषण करने के लिए भी किया जाता है।<ref name=Mei>
 {{cite book |url = https://books.google.com/books?id=WHMNEL-9lqkC&pg=PA47 |page = 47 |author = Chiang C. Mei |author-link=Chiang C. Mei |title = The applied dynamics of ocean surface waves |isbn = 978-9971-5-0789-3 |year = 1989 |edition = 2nd |publisher = World Scientific }}
-</ref>
+</ref> उदाहरण के लिए, एक गाऊसी तरंग का रूप ले सकता है:<ref name=Bromley>
-उदाहरण के लिए, एक गौसियन वेवफंक्शन ψ फॉर्म ले सकता है:<ref name=Bromley>
 {{cite book |title = Quantum Mechanics |author1=Walter Greiner |author2=D. Allan Bromley |page = 60 |url = https://books.google.com/books?id=7qCMUfwoQcAC&pg=PA60 |edition = 2nd |year = 2007 |publisher = Springer |isbn = 978-3-540-67458-0 }}
 </ref>
 :<math> \psi(x,\, t=0) = A \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} + i k_0 x \right) , </math>
-कुछ प्रारंभिक समय t = 0 पर, जहां केंद्रीय तरंग दैर्ध्य केंद्रीय तरंग वेक्टर k से संबंधित है<sub>0</sub> के रूप में λ<sub>0</sub> = 2 a / k<sub>0</sub>।यह फूरियर विश्लेषण के सिद्धांत से अच्छी तरह से जाना जाता है,<ref name=Brandt>
+प्रारंभिक समय में t = 0, जहां केंद्रीय तरंग दैर्ध्य केंद्रीय तरंग सदिश k0 से 0 = 2π / k0 के रूप में संबंधित होता है। फूरियर विश्लेषण के सिद्धांत, ,<ref name=Brandt>
 {{cite book |page = 23 |url = https://books.google.com/books?id=VM4GFlzHg34C&pg=PA23 |title = The picture book of quantum mechanics |author1=Siegmund Brandt |author2=Hans Dieter Dahmen |isbn = 978-0-387-95141-6 |year = 2001 |edition = 3rd |publisher = Springer }}
-</ref> या हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी के मामले में) से कि एक स्थानीयकृत तरंग पैकेट का उत्पादन करने के लिए तरंगदैर्ध्य की एक संकीर्ण रेंज आवश्यक है, और लिफाफे को अधिक स्थानीयकृत, आवश्यक तरंग दैर्ध्य में फैलने वाला बड़ा।एक गाऊसी का फूरियर रूपांतरण अपने आप में एक गाऊसी है।<ref name=Gaussian>
+</ref> या हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी के मामले में) से यह सर्वविदित है कि एक स्थानीय तरंग पैकेट का निर्माण करने के लिए तरंग दैर्ध्य की एक संकीर्ण सीमा आवश्यक है, और लिफाफा जितना अधिक हो स्थानीयकृत है, आवश्यक तरंगदैर्घ्य में प्रसार जितना अधिक होगा। एक गाऊसी का फूरियर रूपांतरण अपने आप में एक गाऊसी है।<ref name=Gaussian>
 {{cite book |title = Modern mathematical methods for physicists and engineers |author = Cyrus D. Cantrell |page = [https://archive.org/details/modernmathematic0000cant/page/677 677] |url = https://archive.org/details/modernmathematic0000cant |url-access = registration |isbn = 978-0-521-59827-9 |publisher = Cambridge University Press |year = 2000 }}
 </ref> गौसियन को देखते हुए:
@@ Line 327: / Line 312: @@
 अर्थात्, तरंग दैर्ध्य की एक संख्या λ जैसे कि kλ = 2 π।
-पैरामीटर the एक्स-एक्सिस के साथ गाऊसी के स्थानिक प्रसार को तय करता है, जबकि फूरियर ट्रांसफॉर्म 1/σ द्वारा निर्धारित तरंग वेक्टर k में एक प्रसार को दर्शाता है।अर्थात्, अंतरिक्ष में जितनी छोटी सीमा होती है, k में बड़ी सीमा होती है, और इसलिए λ = 2π/k में।
+मापदंड σ एक्स-अक्ष के साथ गाऊसी के स्थानिक प्रसार को तय करता है, जबकि फूरियर रूपांतरण 1/σ द्वारा निर्धारित तरंग वेक्टर k में एक प्रसार दिखाता है। अर्थात्, अंतरिक्ष में विस्तार जितना छोटा होगा, k में विस्तार उतना ही अधिक होगा, और इसलिए λ = 2π/k में।
 [[File:GravitationalWave CrossPolarization.gif|thumb|right|एनीमेशन परीक्षण कणों की एक अंगूठी पर एक क्रॉस-ध्रुवीकृत गुरुत्वाकर्षण तरंग के प्रभाव को दर्शाता है]]
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 == गुरुत्वाकर्षण तरंगें ==
-गुरुत्वाकर्षण तरंगें तरंगें एक द्रव माध्यम में या दो मीडिया के बीच इंटरफ़ेस में उत्पन्न होती हैं जब गुरुत्वाकर्षण या उछाल का बल संतुलन को बहाल करने की कोशिश करता है।एक तालाब पर एक लहर एक उदाहरण है।
+गुरुत्वाकर्षण तरंगें एक तरल माध्यम में या दो माध्यमों के बीच अंतराफलक में उत्पन्न होने वाली तरंगें होती हैं, जब गुरुत्वाकर्षण बल या उत्प्लावकता संतुलन को बहाल करने का प्रयास करती है। एक तालाब पर लहर इसका एक उदाहरण है।
-== गुरुत्वाकर्षण तरंगें ==
+== गुरुत्वीय तरंगे ==
 {{Main|Gravitational wave}}
-गुरुत्वाकर्षण तरंगें भी अंतरिक्ष के माध्यम से यात्रा करती हैं।गुरुत्वाकर्षण तरंगों का पहला अवलोकन 11 फरवरी 2016 को घोषित किया गया था।<ref>{{cite web|title=Gravitational waves detected for 1st time, 'opens a brand new window on the universe'|url=http://www.cbc.ca/news/technology/ligo-gravitational-wave-1.3443697|publisher=Canadian Broadcasting Corporation|date=11 February 2016}}</ref>
+गुरत्वीय तरंगें भी अंतरिक्ष से होकर गुजरती हैं। गुरुत्वाकर्षण तरंगों के पहले अवलोकन की घोषणा 11 फरवरी 2016 को की गई थी।<ref>{{cite web|title=Gravitational waves detected for 1st time, 'opens a brand new window on the universe'|url=http://www.cbc.ca/news/technology/ligo-gravitational-wave-1.3443697|publisher=Canadian Broadcasting Corporation|date=11 February 2016}}</ref>  गुरुत्वाकर्षण तरंगें अंतरिक्ष की वक्रता में गड़बड़ी हैं, जिसकी भविष्यवाणी आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा की गई थी।
-गुरुत्वाकर्षण तरंगें स्पेसटाइम की वक्रता में गड़बड़ी हैं, जो कि सामान्य सापेक्षता के आइंस्टीन के सिद्धांत द्वारा भविष्यवाणी की जाती है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 496: / Line 480: @@
 {{Authority control}}
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तरंग: Difference between revisions

Latest revision as of 08:40, 28 August 2022

गणितीय विवरण

एकल तरंगें

तरंग परिवार

विभेदक तरंग समीकरण

तन्य माध्यम में तरंग

तरंग रूप

आयाम और मॉड्यूलेशन

चरण वेग और समूह वेग

विशेष तरंगें

ज्या तरंगें

समतल तरंगें

स्थायी तरंगें

भौतिक गुण

संचरण और संचार माध्यम

अवशोषण

प्रतिबिंब

अपवर्तन

विवर्तन

हस्तक्षेप

ध्रुवीकरण

प्रसार

यांत्रिक तरंगें

तार पर तरंगें

ध्वनिक तरंगें

जल तरंगें

भूकंपीय तरंगें

डॉपलर प्रभाव

आघात तरंग

अन्य

विद्युत चुम्बकीय तरंगें

क्वांटम यांत्रिक तरंग

श्रोडिंगर समीकरण

DIRAC समीकरण

डी ब्रोगली तरंगें

गुरुत्वाकर्षण तरंगें

गुरुत्वीय तरंगे

यह भी देखें

सामान्य रूप से लहरें

पैरामीटर

तरंग

विद्युत चुम्बकीय तरंगें

तरल पदार्थ में

क्वांटम यांत्रिकी में

सापेक्षता में

अन्य विशिष्ट प्रकार की लहरें

संबंधित विषय

संदर्भ

सूत्रों का कहना है

बाहरी संबंध

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