तरंग

This article is about waves in the scientific sense. For waves on seas and lakes, see Wind wave. For other uses, see Wave (disambiguation).

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पानी की लहरें पानी की लहरें पानी के तरंगों को दिखाती हैं

भौतिकी, गणित और संबंधित क्षेत्रों में, तरंग एक या अधिक मात्राओं का गतिशील विक्षोभ (संतुलन से परिवर्तन) है। तरंगें आवर्ती हो सकती हैं, ऐसी स्थिति में वे मात्राएँ संतुलन (बाकी) मान के बारे में किसी आवृत्ति पर बार-बार दोलन करती हैं। जब पूरी तरंग एक दिशा में गमन करती है, तो उसे यात्रा तरंग कहते हैं; इसके विपरीत, विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली आरोपित आवर्ती तरंगों का एक जोड़ा एक स्थायी तरंग बनाता है। एक स्थायी तरंग में, उस स्थिति में कंपन का आयाम शून्य होता है जहां तरंग का आयाम छोटा या शून्य भी प्रतीत होता है। तरंगो को अक्सर एक एकल तरंग समीकरण (दो विपरीत तरंगों के स्थायी तरंग क्षेत्र) या परिभाषित दिशा में फैलने वाली एकल तरंग के लिए एकांगी तरंग समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है।

चिरसम्मत भौतिकी में, दो प्रकार की तरंगों का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक यांत्रिक तरंग में, प्रतिबल और विकृति क्षेत्र यांत्रिक संतुलन के संबंध में में दोलन करते हैं। एक यांत्रिक तरंग कुछ भौतिक माध्यम में एक स्थानीय विकृति (तनाव) है जो एक स्थानीय तनाव बनाकर कण से कण तक फैलती है जो निकटवर्ती कणों में तनाव भी पैदा करती है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें स्थानीय दबाव और कण गति के रूपांतर हैं जो एक माध्यम से फैलती हैं। यांत्रिक तरंगों के अन्य उदाहरण भूकंपीय तरंगें, गुरुत्वाकर्षण तरंगें, सतही तरंगें, तार कंपन और भंवर हैं। मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार, विद्युत चुम्बकीय तरंग (जैसे प्रकाश) में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच युग्मन इन क्षेत्रों को घेरने वाली तरंग के प्रसार को बनाए रखता है।विद्युत चुम्बकीय तरंगें एक निर्वात और परावैद्युत माध्यम (तरंग दैर्ध्य पर जहां उन्हें पारदर्शी माना जाता है) के माध्यम से अवतरण कर सकते हैं। विद्युत चुम्बकीय तरंगों में रेडियो तरंग, अवरक्त विकिरण, टेराहर्ट्ज तरंग, दृश्य प्रकाश, पराबैंगनी विकिरण, एक्स-रे और गामा किरणों सहित उनकी आवृत्तियों (या तरंग दैर्ध्य) के अनुसार अधिक विशिष्ट पदनाम होते हैं।

अन्य प्रकार की तरंगों में गुरुत्वाकर्षण तरंगें शामिल हैं, जो दिक्काल गड़बड़ी हैं जो सामान्य सापेक्षता गर्मी प्रसार तरंगों के अनुसार फैलती हैं, प्लाज्मा तरंगें जो यांत्रिक विकृतियों को जोड़ती हैं, और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र प्रतिक्रिया-प्रसार तरंगें, जैसे कि बेलौसोव-ज़ाबोटिन्स्की प्रतिक्रिया और कई अन्य। यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय तरंगें ऊर्जा, गति और सूचना को स्थानांतरित करती हैं, लेकिन वे कणों को माध्यम में नहीं ले जाती हैं। गणित और इलेक्ट्रॉनिक्स में तरंगों का अध्ययन संकेतों के रूप में किया जाता है। दूसरी ओर, कुछ तरंगों में ऐसे आवरण होते हैं जो बिल्कुल भी हिलते नहीं हैं जैसे कि अप्रगामी तरंगें (जो संगीत के लिए मूलभूत हैं) और द्रव-चालित अकस्मात वृद्धि। कुछ, क्वांटम यांत्रिकी के संभाव्यता तरंग कार्यों की तरह, पूरी तरह से स्थिर हो सकते हैं।.

File:Santos E et al Neuroimage 2014 .gif

मस्तिष्क कॉर्टेक्स पर विस्तार करने वाली जैविक तरंगों का उदाहरण, विध्रुवण फैलाने का एक उदाहरण।

एक भौतिक तरंग क्षेत्र लगभग हमेशा अंतरिक्ष के कुछ सीमित क्षेत्र तक ही सीमित रहता है, जिसे उसका कार्यक्षेत्र कहा जाता है। उदाहरण के लिए, भूकंप से उत्पन्न भूकंपीय तरंगें केवल ग्रह के आंतरिक और सतह पर ही महत्वपूर्ण होती हैं, इसलिए उन्हें इसके बाहर नजरअंदाज किया जा सकता है। हालांकि, अनंत कार्यक्षेत्र वाली तरंगें, जो अंतरिक्ष में फैली हुई हैं, आमतौर पर गणित में अध्ययन की जाती हैं और परिमित कार्यक्षेत्र में भौतिक तरंगों को समझने के लिए बहुत मूल्यवान उपकरण हैं।

समतल तरंग एक महत्वपूर्ण गणितीय आदर्शीकरण है जहां किसी भी (अनंत) समतल के साथ यात्रा की एक विशिष्ट दिशा के लिए अशांति समान होती है। गणितीय रूप से, सरलतम तरंग एक ज्यावक्रीय समतल तरंग है जिसमें किसी भी बिंदु पर क्षेत्र आवृत्ति पर सरल लयबद्ध गति का अनुभव करता है। रैखिक माध्यम में, जटिल तरंगों को आम तौर पर कई ज्यावक्रीय समतल तरंगों के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है, प्रसार की विभिन्न दिशाओं और/या विभिन्न आवृत्तियों के साथ। एक समतल तरंग को अनुप्रस्थ तरंग के रूप में वर्गीकृत किया जाता है यदि प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र विक्षोभ को प्रसार की दिशा (ऊर्जा हस्तांतरण की दिशा भी) के लंबवत वेक्टर द्वारा वर्णित किया जाता है; या एक अनुदैर्ध्य तरंग यदि वे वैक्टर प्रसार दिशा के साथ संरेखित हों। यांत्रिक तरंगों में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों तरंगें शामिल हैं; दूसरी ओर, विद्युत चुम्बकीय समतल तरंगें सख्ती से अनुप्रस्थ होती हैं जबकि तरल पदार्थ (जैसे वायु) में ध्वनि तरंगें केवल अनुदैर्ध्य हो सकती हैं। प्रसार दिशा के सापेक्ष एक दोलन क्षेत्र की भौतिक दिशा, जिसे तरंग के ध्रुवीकरण के रूप में भी जाना जाता है, एक महत्वपूर्ण विशेषता हो सकती है।

गणितीय विवरण

एकल तरंगें

एक तरंग को एक क्षेत्र की तरह वर्णित किया जा सकता है, अर्थात, एक फ़ंक्शन $F(x,t)$ के रूप में जहां $x$ एक स्थिति है और $t$ एक समय है।

$x$ का मान अंतराल में एक बिंदु है, विशेष रूप से वह क्षेत्र जिसमें तरंग परिभाषित होती है।गणितीय शब्दों में, यह आमतौर पर कार्तीय त्रि-आयामी अंतराल $\mathbb {R} ^{3}$ में एक वेक्टर होता है। हालांकि, कई मामलों में कोई एक आयाम को अनदेखा कर सकता है, और $x$ को एक कार्टेशियन तल $\mathbb {R} ^{2}$ एक बिंदु के रूप में मान सकता है। यह मामला है, उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी कंपन का अध्ययन करते समय। कोई व्यक्ति $x$ कार्टेशियन लाइन $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं के समहू पर एक बिंदु तक सीमित कर सकता है। ह मामला है, उदाहरण के लिए, जब वायलिन स्ट्रिंग पर या रिकॉर्डर में कंपन का अध्ययन किया जाता है। दूसरी ओर, समय $t$ को हमेशा एक अदिश राशि अर्थात वास्तविक संख्या माना जाता है।

का मूल्य $F(x,t)$ किसी भी भौतिक मात्रा को बिंदु पर सौंपा जा सकता है $x$ यह समय के साथ भिन्न हो सकता है।उदाहरण के लिए, यदि $F$ एक लोचदार ठोस के अंदर कंपन का प्रतिनिधित्व करता है, मूल्य $F(x,t)$ आमतौर पर एक वेक्टर है जो वर्तमान विस्थापन देता है $x$ भौतिक कणों में से जो बिंदु पर होंगे $x$ कंपन की अनुपस्थिति में। एक विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए, $F$ का मान एक विद्युत क्षेत्र वेक्टर $E$, या एक चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर $H$, या कोई भी संबंधित मात्रा हो सकता है, जैसे कि सूचक वेक्टर $E\times H$। द्रव की गतिशीलता में, मूल्य $F(x,t)$ बिंदु पर द्रव का वेग वेक्टर हो सकता है $x$, या किसी भी अदिश संपत्ति जैसे दबाव, तापमान, या घनत्व। एक रासायनिक प्रतिक्रिया में, $F(x,t)$ बिंदु $x$ के पड़ोस में किसी पदार्थ की सांद्रता प्रतिक्रिया माध्यम हो सकती है।

किसी भी आयाम $d$ (1, 2, या 3), के लिए, तरंग का कार्यक्षेत्र तब $\mathbb {R} ^{d}$ का एक उपसमुच्चय $D$ होता है, ताकि फ़ंक्शन मान $F(x,t)$को $D$ में किसी भी बिंदु $x$ के लिए परिभाषित किया सकता है। उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी की गति का वर्णन करते समय, कोई विचार कर सकता है $D$ सतह पर एक डिस्क (सर्कल) होना $\mathbb {R} ^{2}$ मूल में केंद्र के साथ $(0,0)$, और मान लीजिए कि बिंदु $x$ पर $F(x,t)$ सर्वपृष्ठी का लंबवत विस्थापन है और $x$ पर समय $t$ है।

तरंग परिवार

कभी-कभी एक विशिष्ट तरंग में रुचि होती है। अधिक बार, हालांकि, किसी को संभावित तरंगों के एक बड़े सेट को समझने की आवश्यकता होती है; सभी तरीकों की तरह, ड्रमस्टिक, या हवाई अड्डों के पास हवाई जहाजों से प्राप्त सभी संभावित रडार गूँज से टकराने के बाद ड्रम की त्वचा कंपन करती है।

उनमें से कुछ स्थितियों में, एक फ़ंक्शन $F(A,B,\ldots ;x,t)$ द्वारा तरंगों के ऐसे परिवार का वर्णन कर सकता है जो $x$ और $t$ के अलावा कुछ पैरामीटर $A,B,\ldots$ पर निर्भर करता है। फिर कोई अलग-अलग तरंग-कार्य प्राप्त कर सकता है - यानी $x$ और $t$ के विभिन्न कार्य - उनके लिए अलग-अलग मान चुनकर मापदंड।

File:Half-open pipe wave.gif

एक आधे-खुले पाइप में ध्वनि दबाव खड़ी लहर मौलिक के 7 वें हार्मोनिक खेलते हुए (n = 4)

उदाहरण के लिए, एक रिकॉर्डर के अंदर ध्वनि दबाव जो "शुद्ध" सुर बजा रहा है, आमतौर पर एक स्थायी तरंग होता है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$F(A,L,n,c;x,t)=A\left(\cos 2\pi x{\frac {2n-1}{4L}}\right)\left(\cos 2\pi ct{\frac {2n-1}{4L}}\right)$

पैरामीटर $A$ लहर के आयाम को परिभाषित करता है (अर्थात, बोर में अधिकतम ध्वनि दबाव, जो सुर की ज़ोर से संबंधित है); $c$ ध्वनि की गति है; $L$ बोर की लंबाई है;तथा $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक (1,2,3,…) है जो स्थायी तरंग में नोड्स की संख्या को निर्दिष्ट करता है। (स्थिति $x$ माउथपीस और समय से मापा जाना चाहिए $t$ किसी भी क्षण से, जिस पर मुखपत्र पर दबाव अधिकतम होता है। मात्रा $\lambda =4L/(2n-1)$ उत्सर्जित नोट की तरंग दैर्ध्य है, और $f=c/\lambda$ इसकी आवृत्ति है।) इन तरंगों के कई सामान्य गुणों को इस सामान्य समीकरण से अनुमान लगाया जा सकता है, मापदंडों के लिए विशिष्ट मूल्यों का चयन किए बिना।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, यह हो सकता है कि एक ही प्रहार के बाद ड्रम की त्वचा का कंपन केवल त्वचा के केंद्र से स्ट्राइक बिंदु तक की दूरी $r$ और स्ट्राइक $s$ की ताकत पर निर्भर करता है। तब सभी संभावित हमलों के लिए कंपन हो सकता है एक प्रकार्य$F(r,s;x,t)$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

कभी -कभी ब्याज की लहरों के परिवार में कई मापदंड होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह वर्णन करना चाह सकता है कि धातु की छड़ में तापमान का क्या होता है जब इसे शुरू में इसकी लंबाई के साथ अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग तापमान पर गर्म किया जाता है और फिर वैक्यूम में अपने आप ठंडा हो जाता है।उस स्थिति में, एक स्केलर या वेक्टर के बजाय, पैरामीटर को एक प्रकार्य होना होगा $h$ ऐसा है कि $h(x)$ प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान है $x$ के बार के प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान हो। फिर बाद के समय में तापमान एक क्रिया द्वारा व्यक्त किया जा सकता है $F$ यह क्रिया पर निर्भर करता है $h$ (वह है, एक कार्यात्मक परिचालक), ताकि बाद में तापमान हो $F(h;x,t)$।

विभेदक तरंग समीकरण

तरंगों के परिवार का वर्णन और अध्ययन करने का एक अन्य तरीका एक गणितीय समीकरण देना है, जो स्पष्ट रूप से $F(x,t)$का मान देने के बजाय, केवल यह बताता है कि वे मान समय के साथ कैसे बदल सकते हैं। फिर प्रश्न में लहरों के परिवार में सभी कार्य होते हैं $F$ यह उन बाधाओं को पूरा करता है - अर्थात, समीकरण के सभी समाधान।

भौतिकी में यह दृष्टिकोण अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि बाधाएं आमतौर पर उन भौतिक प्रक्रियाओं का परिणाम होती हैं जो लहर को विकसित करने का कारण बनती हैं। उदाहरण के लिए, यदि $F(x,t)$ एक सजातीय और समरूप ठोस के एक ब्लॉक के अंदर का तापमान है, तो इसकी वृद्धि आंशिक अंतर समीकरण द्वारा बाधित होती है

${\frac {\partial F}{\partial t}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta Q(x,t)$

जंहा पे $Q(p,f)$ क्या गर्मी है जो प्रति यूनिट वॉल्यूम और समय के पड़ोस में उत्पन्न हो रही है $x$ समय पर $t$ (उदाहरण के लिए, वहां हो रही रासायनिक प्रतिक्रियाओं द्वारा); $x_{1},x_{2},x_{3}$ बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक हैं $x$; $\partial F/\partial t$ का (पहले) व्युत्पन्न है $F$ इसके संबंध में $t$;तथा $\partial ^{2}F/\partial x_{i}^{2}$ का दूसरा व्युत्पन्न है $F$ के सापेक्ष $x_{i}$।(प्रतीक$\partial$यह संकेत देने के लिए है कि, कुछ चर के संबंध में व्युत्पन्न में, अन्य सभी चर को निश्चित माना जाना चाहिए।)

यह समीकरण भौतिकी के नियमों से प्राप्त किया जा सकता है जो ठोस मीडिया में गर्मी के प्रसार को नियंत्रित करते हैं।उस कारण से, इसे गणित में हीट समीकरण कहा जाता है, भले ही यह तापमान के अलावा कई अन्य भौतिक मात्राओं पर लागू होता है।

एक अन्य उदाहरण के लिए, हम एक क्रिया द्वारा गैस के कंटेनर के भीतर गूंजने वाली सभी संभावित ध्वनियों का वर्णन कर सकते हैं $F(x,t)$ जो एक बिंदु पर दबाव देता है $x$ और समय $t$ उस कंटेनर के भीतर। यदि गैस शुरू में एक समान तापमान और संरचना पर थी, तो का विकास $F$ सूत्र द्वारा विवश है

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta P(x,t)$

यहां $P(x,t)$ कुछ अतिरिक्त संपीड़न बल है जो गैस के पास लागू किया जा रहा है $x$ कुछ बाहरी प्रक्रिया द्वारा, जैसे कि लाउडस्पीकर या पिस्टन के ठीक बगल में $p$।

यह समान अंतर समीकरण एक सजातीय आइसोट्रोपिक गैर-संवाहक ठोस में यांत्रिक कंपन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के व्यवहार का वर्णन करता है। ध्यान दें कि यह समीकरण ही गर्मी के प्रवाह से भिन्न होता है, केवल बाईं ओर की ओर होता है $\partial ^{2}F/\partial t^{2}$, का दूसरा व्युत्पन्न $F$ समय के संबंध में, पहले व्युत्पन्न के बजाय $\partial F/\partial t$। फिर भी यह छोटा परिवर्तन समाधान के सेट पर एक बड़ा अंतर बनाता है $F$। इस अंतर समीकरण को गणित में तरंग समीकरण कहा जाता है, भले ही यह केवल एक बहुत ही विशेष प्रकार की तरंगों का वर्णन करता है।

तन्य माध्यम में तरंग

Main articles: Wave equation and D'Alembert's formula

एक स्ट्रिंग (मध्यम) पर यात्रा करने वाली एक अनुप्रस्थ तरंग (जो एक पल्स हो सकती है) पर विचार करें। स्ट्रिंग को स्थानिक आयाम के लिए मानें। इस लहर को एक यात्रा के रूप में सोचें

File:Nonsinusoidal wavelength.svg

तरंग दैर्ध्य λ, एक तरंग पर किसी भी दो संबंधित बिंदुओं के बीच मापा जा सकता है

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• में $x$ अंतरिक्ष में दिशा।उदाहरण के लिए, सकारात्मक होने दें $x$ दिशा दाईं ओर है, और नकारात्मक $x$ दिशा बाईं ओर हो।
• निरंतर आयाम के साथ $u$
• निरंतर वेग के साथ $v$, कहाँ पे $v$ है
  • तरंग दैर्ध्य से स्वतंत्र (कोई फैलाव नहीं)
  • आयाम से स्वतंत्र (रैखिक मीडिया, नॉनलाइनियर नहीं)।
• निरंतर तरंग, या आकार के साथ

इस लहर को तब दो-आयामी कार्यों द्वारा वर्णित किया जा सकता है

$u(x,t)=F(x-vt)$ (तरंग $F$ दाईं ओर यात्रा)

$u(x,t)=G(x+vt)$ (तरंग $G$ बाईं ओर यात्रा)

या, अधिक आम तौर पर, डी'अलेम्बर्ट (D'Alembert) के सूत्र द्वारा:

$u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt).$

दो घटक तरंगों का प्रतिनिधित्व करना $F$ तथा $G$ विपरीत दिशाओं में माध्यम से यात्रा करना।इस लहर का एक सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जा सकता है आंशिक अंतर समीकरण के रूप में

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$

सामान्य समाधान दुहमेल के सिद्धांत पर आधारित हैं। दूसरे ऑर्डर वेव समीकरणों के अलावा जो एक स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन कर रहे हैं, एक-तरफ़ा तरंग समीकरण एक परिभाषित दिशा में एकल तरंग के प्रसार का वर्णन करता है।

तरंग रूप

Main article: Waveform

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साइन, स्क्वायर, त्रिभुज और आरा वेवफॉर्म।

D'Alembert के सूत्र में F के रूपों या आंकड़ों में तर्क x - vt शामिल है। इस तर्क के निरंतर मान F के निरंतर मानों के अनुरूप हैं, और ये स्थिर मान तब होते हैं जब x उसी दर से बढ़ता है जो vt बढ़ता है। अर्थात्, तरंग के आकार का फलन F धनात्मक x-दिशा में v वेग से यात्रा करेगा (और G ऋणात्मक x-दिशा में समान गति से यात्रा करेगा)। n आवर्त फलन F की अवधि के साथ, अर्थात्, F(x + - vt) = F(x - vt) के मामले में, अंतरिक्ष में F की आवृत्ति का अर्थ है कि कोई व्यक्ति किसी निश्चित समय पर तरंग का एक स्नैपशॉट पाता है। टी समय अंतरिक्ष में अवधि (लहर की तरंग दैर्ध्य) के साथ बदलता है। इसी तरह, f की यह आवधिकता समय में आवधिकता को भी दर्शाती है: f(x - v(t + t)) = f(x - vt) दिया गया vt =, इसलिए एक निश्चित स्थान पर तरंग का अवलोकन x अवधि T = साथ / v आवधिक तरंग को लहरदार पाते हैं।

आयाम और मॉड्यूलेशन

File:Amplitudemodulation.gif

File:Wave packet.svg

एक आयाम-संशोधित लहर के लिफाफे (धीरे-धीरे अलग-धीरे लाल वक्र) का चित्रण।तेजी से अलग -अलग नीले वक्र वाहक लहर है, जिसे संशोधित किया जा रहा है।

Main article: Amplitude modulation

See also: Frequency modulation and Phase modulation

एक तरंग का आयाम स्थिर हो सकता है (जिस स्थिति में लहर एक C.W.(continuous wave) या निरंतर तरंग है), या इसे समय और/या स्थिति के साथ बदलने के लिए संशोधित किया जा सकता है। आयाम में भिन्नता के पैटर्न को तरंग का आवरण कहा जाता है। गणितीय रूप से, एक संग्राहक तरंग को इस प्रकार लिखा जा सकता है::

$u(x,t)=A(x,t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),$

कहाँ पे $A(x,\ t)$ लहर का आयाम आवरण है, $k$ लहरें है और $\phi$ चरण है। यदि समूह वेग $v_{g}$ (नीचे देखें) तरंग दैर्ध्य-स्वतंत्र है, इस समीकरण को सरल किया जा सकता है:

$u(x,t)=A(x-v_{g}t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),$

यइससे पता चलता है कि आवरण समूह वेग के साथ गति करता है और अपना आकार बनाए रखता है। अन्यथा, ऐसे मामलों में जहां समूह वेग तरंग दैर्ध्य के साथ बदलता है, पल्स आकार एक आवरण समीकरण का उपयोग करके वर्णित तरीके से बदलता है।

चरण वेग और समूह वेग

Main articles: Phase velocity and Group velocity

See also: Envelope (waves) § Phase and group velocity

File:Wave group.gif

लाल वर्ग चरण वेग के साथ चलता है, जबकि हरे रंग के घेरे बाईं ओर से फैलते हैं

दो वेग हैं जो तरंगों, चरण वेग और समूह वेग से जुड़े होते हैं।

चरण वेग वह दर है जिस पर तरंग का चरण अंतराल पर फैलता है: लहर का कोई भी चरण (उदाहरण के लिए, शिखा) चरण वेग के साथ यात्रा करता हुआ दिखाई देगा। चरण वेग तरंग दैर्ध्य के संदर्भ में दिया जाता है λ (लैम्ब्डा) और अवधि T जैसा

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.$

File:Wave opposite-group-phase-velocity.gif

समूह और चरण वेगों के साथ एक लहर अलग -अलग दिशाओं में जा रही है

समूह वेग तरंगों की एक संपत्ति है जिसमें एक परिभाषित आवरण होता है, जो कि तरंगों के आयामों के समग्र आकार के अंतरिक्ष के माध्यम से प्रसार को मापता है (या लहर के मॉड्यूलेशन या आवरण;

विशेष तरंगें

ज्या तरंगें

ज्या तरंग, ज्यावक्रीय तरंग, या सिर्फ ज्यावक्र एक गणितीय वक्र है जिसे ज्या त्रिकोणमितीय क्रिया के संदर्भ में परिभाषित किया गया है जिसमें यह एक ग्राफ है। यह एक प्रकार की सतत तरंग है और यह एक स्वतःस्फूर्त समय फलन भी है। यह अक्सर गणित, साथ ही भौतिकी, इंजीनियरिंग, सिग्नल प्रोसेसिंग और कई अन्य क्षेत्रों में होता है।

समतल तरंगें

Main article: Plane wave

समतल तरंग एक प्रकार की तरंग है जिसका मान केवल एक स्थानिक दिशा में भिन्न होता है। अर्थात् उस दिशा के लम्बवत तल पर इसका मान स्थिर होता है। समतल तरंगों को इकाई लंबाई ${\hat {n}}$ के एक वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है जो उस दिशा को इंगित करता है जिसमें तरंग विचलन करती है, और एक तरंग रूपरेखा यह बताती है कि उस दिशा के साथ विस्थापन के कार्य के रूप में तरंग कैसे बदलती है। (${\hat {n}}\cdot {\vec {x}}$ और समय ( t ) चूंकि तरंग रूपरेखा ${\hat {n}}\cdot {\vec {x}}$ संयोजन में केवल स्थिति ${\vec {x}}$ पर निर्भर करती है, ${\hat {n}}$ के लंबवत दिशाओं में कोई भी विस्थापन क्षेत्र के मान को प्रभावित नहीं कर सकता है।

समतल तरंगों का उपयोग अक्सर विद्युत चुम्बकीय तरंगों को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है जो एक स्रोत से बहुत दूर होती हैं। विद्युत चुम्बकीय समतल तरंगों के लिए, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र स्वयं प्रसार की दिशा में अनुप्रस्थ होते हैं, और एक दूसरे के लंबवत भी होते हैं।

स्थायी तरंगें

Main articles: Standing wave, Acoustic resonance, Helmholtz resonator, and Organ pipe

File:Standing wave.gif

खड़ी लहर।लाल डॉट्स वेव नोड्स का प्रतिनिधित्व करते हैं

एक स्थायी तरंग, जिसे एक स्थिर तरंग के रूप में भी जाना जाता है, एक तरंग है जिसका आवरण स्थिर अवस्था में रहता है। यह घटना विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो तरंगों के बीच हस्तक्षेप के परिणामस्वरूप होती है।

दो प्रति-प्रसार तरंगों का योग (एक ही आयाम और आवृत्ति की) एक स्थायी तरंग बनाता है। स्थायी तरंगें आमतौर पर तब उत्पन्न होती हैं जब एक सीमा लहर के आगे के प्रसार को अवरुद्ध करती है, इस प्रकार लहर को प्रतिबिंबित करती है, और इसलिए एक प्रति-प्रसार लहर का परिचय देती है। उदाहरण के लिए, जब एक वायलिन स्ट्रिंग को विस्थापित किया जाता है, तो अनुप्रस्थ तरंगें उस बिंदु तक फैलती हैं जहां स्ट्रिंग को पुल और अखरोट पर रखा जाता है, जहां तरंगें वापस परावर्तित होती हैं। पुल और नट पर, दो विरोधी तरंगें विरोधी चरण में होती हैं और एक दूसरे को रद्द करके एक नोड बनाती हैं। दो नोड्स के बीच में, एक एंटीनोड होता है, जहां दो प्रति-प्रसार तरंगें एक-दूसरे को अधिकतम रूप से बढ़ाती हैं। समय के साथ ऊर्जा का कोई शुद्ध अपव्यय नहीं है।

• Standing waves on a string.gif

  One-dimensional standing waves; the fundamental mode and the first 5 overtones.

• Drum vibration mode01.gif

  A two-dimensional standing wave on a disk; this is the fundamental mode.

• Drum vibration mode21.gif

  A standing wave on a disk with two nodal lines crossing at the center; this is an overtone.

भौतिक गुण

फ़ाइल: एक फ्लिंट ग्लास प्रिज्म ipnr ° के साथ एक पारा-वाष्प लैंप का प्रकाश फैलाव0125.jpg|thumb|right|upright|प्रकाश किरण एक प्रिज्म का सामना करते समय प्रतिबिंब, अपवर्तन, संचरण और फैलाव प्रदर्शित करता है

उदाहरण के लिए, तरंगें कई मानक स्थितियों के तहत सामान्य व्यवहार प्रदर्शित करती हैं: उदाहरण के लिए:

ट्रांसमिशन और मीडिया

Main articles: Rectilinear propagation, Transmittance, and Transmission medium

तरंगें आम तौर पर एक ट्रांसमिशन माध्यम के माध्यम से एक सीधी रेखा (यानी, यानी, आयतवाद) में चलती हैं।इस तरह के मीडिया को निम्नलिखित श्रेणियों में से एक या अधिक में वर्गीकृत किया जा सकता है:

• एक बंधे हुआ माध्यम अगर यह सीमा में परिमित है, अन्यथा एक अनबाउंड माध्यम
• एक रैखिक माध्यम यदि माध्यम में किसी विशेष बिंदु पर विभिन्न तरंगों के आयामों को जोड़ा जा सकता है
• एक समान माध्यम या सजातीय माध्यम यदि इसके भौतिक गुण अंतरिक्ष में विभिन्न स्थानों पर अपरिवर्तित हैं
• एक अनीसोट्रोपिक माध्यम यदि इसके एक या अधिक भौतिक गुण एक या अधिक दिशाओं में भिन्न होते हैं
• एक आइसोट्रोपिक माध्यम यदि इसके भौतिक गुण सभी दिशाओं में समान हैं

अवशोषण

Main articles: Absorption (acoustics) and Absorption (electromagnetic radiation)

तरंगों को आमतौर पर मीडिया में परिभाषित किया जाता है जो किसी भी लहर की ऊर्जा को नुकसान के बिना प्रचारित करने की अनुमति देते हैं।हालांकि सामग्री को हानि के रूप में चित्रित किया जा सकता है यदि वे एक लहर से ऊर्जा को हटाते हैं, तो आमतौर पर इसे गर्मी में परिवर्तित करते हैं।इसे अवशोषण कहा जाता है।एक सामग्री जो एक लहर की ऊर्जा को अवशोषित करती है, या तो संचरण या प्रतिबिंब में, एक अपवर्तक सूचकांक की विशेषता है जो जटिल है।अवशोषण की मात्रा आम तौर पर तरंग की आवृत्ति (तरंग दैर्ध्य) पर निर्भर करेगी, जो उदाहरण के लिए, बताती है कि वस्तुएं रंगीन क्यों दिखाई दे सकती हैं।

प्रतिबिंब

Main article: Reflection (physics)

जब एक लहर एक चिंतनशील सतह से टकरा जाती है, तो यह दिशा बदलती है, जैसे कि घटना की लहर द्वारा बनाया गया कोण और सतह पर सामान्य रेखा पर परावर्तित लहर और एक ही सामान्य रेखा द्वारा बनाए गए कोण के बराबर होता है।

अपवर्तन

Main article: Refraction

File:Wave refraction.gif

साइनसोइडल ट्रैवलिंग प्लेन वेव लहर एक कोण पर निचली लहर वेग के एक क्षेत्र में प्रवेश करते हुए, जो तरंग दैर्ध्य में कमी और दिशा (अपवर्तन) के परिवर्तन को दर्शाता है।

अपवर्तन एक लहर की घटना है जो इसकी गति को बदल रहा है।गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि चरण वेग का आकार बदल जाता है।आमतौर पर, अपवर्तन तब होता है जब एक लहर एक माध्यम से दूसरे माध्यम से गुजरती है।वह राशि जिसके द्वारा एक लहर को किसी सामग्री द्वारा अपवर्तित किया जाता है, सामग्री के अपवर्तक सूचकांक द्वारा दिया जाता है।घटनाओं और अपवर्तन की दिशाएं स्नेल के कानून द्वारा दो सामग्रियों के अपवर्तक सूचकांकों से संबंधित हैं।

विवर्तन

Main article: Diffraction

एक लहर विवर्तन को प्रदर्शित करती है जब यह एक बाधा का सामना करती है जो लहर को झुकती है या जब यह एक उद्घाटन से उभरने के बाद फैल जाती है।विवर्तन प्रभाव अधिक स्पष्ट होते हैं जब बाधा या खोलने का आकार लहर के तरंग दैर्ध्य के बराबर होता है।

हस्तक्षेप

Main article: Interference (wave propagation)

हस्तक्षेप से गुजरने वाले दो स्रोतों से समान तरंगें।नीचे एक पर देखा गया 5 पदों को देखता है जहां लहरें चरण में जोड़ती हैं, लेकिन जिनके बीच में वे चरण से बाहर हैं और रद्द कर देते हैं।

जब एक रैखिक माध्यम (सामान्य मामला) में तरंगें अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में एक दूसरे को पार करती हैं, तो वे वास्तव में एक दूसरे के साथ बातचीत नहीं करते हैं, लेकिन इस तरह से जारी रखते हैं जैसे कि दूसरा मौजूद नहीं था।हालांकि उस क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर उन तरंगों का वर्णन करने वाली क्षेत्र मात्राएँ सुपरपोजिशन सिद्धांत के अनुसार जोड़ती हैं।यदि तरंगें एक निश्चित चरण संबंध में एक ही आवृत्ति की होती हैं, तो आम तौर पर ऐसे स्थान होंगे जिन पर दो तरंगें चरण में होती हैं और उनके आयाम जोड़ते हैं, और अन्य पदों पर जहां वे चरण से बाहर हैं और उनके आयाम (आंशिक रूप से या पूरी तरह से)रद्द करना।इसे एक हस्तक्षेप पैटर्न कहा जाता है।

ध्रुवीकरण

Main article: Polarization (waves)

File:Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Circular.Polarizer Creating.Left.Handed.Helix.View.svg

बाएं

ध्रुवीकरण की घटना तब उत्पन्न होती है जब लहर गति एक साथ दो ऑर्थोगोनल दिशाओं में हो सकती है।उदाहरण के लिए, अनुप्रस्थ तरंगों को ध्रुवीकृत किया जा सकता है।जब ध्रुवीकरण का उपयोग योग्यता के बिना एक डिस्क्रिप्टर के रूप में किया जाता है, तो यह आमतौर पर रैखिक ध्रुवीकरण के विशेष, सरल मामले को संदर्भित करता है।एक अनुप्रस्थ लहर रैखिक रूप से ध्रुवीकृत होती है यदि यह केवल एक दिशा या विमान में दोलन करता है।रैखिक ध्रुवीकरण के मामले में, उस विमान के सापेक्ष अभिविन्यास को जोड़ने के लिए अक्सर उपयोगी होता है, यात्रा की दिशा में लंबवत, जिसमें दोलन होता है, जैसे कि उदाहरण के लिए क्षैतिज, यदि ध्रुवीकरण का विमान जमीन के समानांतर है।उदाहरण के लिए, मुक्त स्थान में प्रचारित विद्युत चुम्बकीय तरंगें अनुप्रस्थ हैं;उन्हें एक ध्रुवीकरण फिल्टर के उपयोग से ध्रुवीकृत किया जा सकता है।

अनुदैर्ध्य तरंगें, जैसे ध्वनि तरंगें, ध्रुवीकरण का प्रदर्शन नहीं करती हैं।इन तरंगों के लिए दोलन की केवल एक दिशा है, यानी यात्रा की दिशा के साथ।

फैलाव

File:Light dispersion conceptual waves.gif

प्रकाश के योजनाबद्ध एक प्रिज्म द्वारा बिखरे हुए।एनीमेशन देखने के लिए क्लिक करें।

Main articles: Dispersion relation, Dispersion (optics), and Dispersion (water waves)

एक लहर फैलाव से गुजरती है जब या तो चरण वेग या समूह वेग तरंग आवृत्ति पर निर्भर करता है। फैलाव को सबसे आसानी से एक प्रिज्म के माध्यम से सफेद प्रकाश को पारित करके देखा जाता है, जिसका परिणाम इंद्रधनुष के रंगों के स्पेक्ट्रम का उत्पादन करना है।इसहाक न्यूटन ने प्रकाश और प्रिज्मों के साथ प्रयोग किए, अपने निष्कर्षों को ऑप्टिक्स (1704) में प्रस्तुत करते हुए कहा कि सफेद प्रकाश में कई रंग होते हैं और इन रंगों को आगे भी विघटित नहीं किया जा सकता है।

यांत्रिक तरंगें

Main article: Mechanical wave

स्ट्रिंग्स पर लहरें

Main article: Vibrating string

एक वाइब्रेटिंग स्ट्रिंग (V) के साथ यात्रा करने वाली एक अनुप्रस्थ तरंग की गति रैखिक द्रव्यमान घनत्व (μ) पर स्ट्रिंग (टी) के तनाव के वर्गमूल के लिए सीधे आनुपातिक है:

$v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}},$

जहां रैखिक घनत्व μ स्ट्रिंग की प्रति यूनिट लंबाई प्रति द्रव्यमान है।

ध्वनिक तरंगें

Main article: Acoustic wave

ध्वनिक या ध्वनि तरंगें दी गई गति से यात्रा करती हैं

$v={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}},$

या परिवेशी द्रव घनत्व (ध्वनि की गति देखें) द्वारा विभाजित एडियाबेटिक बल्क मापांक का वर्गमूल।

पानी की तरंगें

Main article: Water waves

• एक तालाब की सतह पर लहर वास्तव में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगों का एक संयोजन है;इसलिए, सतह पर अंक कक्षीय पथ का अनुसरण करते हैं।
• ध्वनि & nbsp; - एक यांत्रिक लहर जो गैसों, तरल पदार्थों, ठोस और प्लास्मास के माध्यम से फैलता है;
• जड़त्वीय तरंगें, जो घूर्णन तरल पदार्थों में होती हैं और कोरिओलिस प्रभाव द्वारा बहाल होती हैं;
• महासागर की सतह की तरंगें, जो पानी के माध्यम से प्रचारित होने वाली गड़बड़ी हैं।

भूकंपीय तरंगें

Main article: Seismic waves

भूकंपीय तरंगें ऊर्जा की तरंगें हैं जो पृथ्वी की परतों के माध्यम से यात्रा करती हैं, और भूकंप, ज्वालामुखी विस्फोट, मैग्मा आंदोलन, बड़े भूस्खलन और बड़े मानव-निर्मित विस्फोटों का परिणाम हैं जो कम आवृत्ति वाली ध्वनिक ऊर्जा देते हैं।

डॉपलर प्रभाव

डॉपलर प्रभाव (या डॉपलर शिफ्ट) एक पर्यवेक्षक के संबंध में एक लहर की आवृत्ति में परिवर्तन है जो लहर स्रोत के सापेक्ष आगे बढ़ रहा है। इसका नाम ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी क्रिश्चियन डॉपलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1842 में घटना का वर्णन किया था।

शॉक वेव्स

File:Transonico-en.svg

एक विमान द्वारा एक सदमे की लहर का गठन।

Main article: Shock wave

एक शॉक वेव एक प्रकार का प्रचार गड़बड़ी है।जब एक तरल एक तरल पदार्थ में ध्वनि की स्थानीय गति की तुलना में तेजी से आगे बढ़ती है, तो यह एक सदमे की लहर होती है।एक साधारण लहर की तरह, एक शॉक वेव ऊर्जा वहन करता है और एक माध्यम के माध्यम से फैल सकता है;हालांकि, यह एक अचानक, दबाव, तापमान और माध्यम के घनत्व में लगभग असंतुलित परिवर्तन की विशेषता है।

See also: Sonic boom and Cherenkov radiation

अन्य

• यातायात की लहरें, अर्थात् मोटर वाहनों के विभिन्न घनत्वों का प्रसार, और इसके बाद, जिसे काइनेमेटिक तरंगों के रूप में मॉडल किया जा सकता है
• मेटाक्रोनल वेव समन्वित अनुक्रमिक कार्यों द्वारा निर्मित एक यात्रा लहर की उपस्थिति को संदर्भित करता है।

विद्युत चुम्बकीय तरंगें

File:Onde electromagnétique.png

300 पीएक्स

Main article: Electromagnetic wave

Further information: Electromagnetic spectrum

एक विद्युत चुम्बकीय तरंग में दो तरंगें होती हैं जो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के दोलन होते हैं।एक विद्युत चुम्बकीय तरंग एक दिशा में यात्रा करती है जो दोनों क्षेत्रों के दोलन दिशा में समकोण पर होती है।19 वीं शताब्दी में, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने दिखाया कि, वैक्यूम में, इलेक्ट्रिक और मैग्नेटिक फील्ड्स लहर के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, जो प्रकाश की गति के बराबर गति के साथ दोनों के साथ होता है।इससे यह विचार सामने आया कि प्रकाश एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है।विद्युत चुम्बकीय तरंगों में अलग-अलग आवृत्तियों (और इस प्रकार तरंग दैर्ध्य) हो सकते हैं, जो विभिन्न प्रकार के विकिरणों जैसे कि रेडियो तरंगों, माइक्रोवेव, अवरक्त, दृश्यमान प्रकाश, पराबैंगनी, एक्स-रे, और गामा किरणों को जन्म देते हैं।

क्वांटम मैकेनिकल वेव्स

Main article: Schrödinger equation

See also: Wave function

श्रोडिंगर समीकरण

श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम यांत्रिकी में कणों के तरंग-जैसे व्यवहार का वर्णन करता है।इस समीकरण के समाधान तरंग कार्य हैं जिनका उपयोग एक कण की संभावना घनत्व का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।

DIRAC समीकरण

DIRAC समीकरण विद्युत चुम्बकीय इंटरैक्शन का विवरण देने वाला एक सापेक्ष लहर समीकरण है।DIRAC तरंगों ने पूरी तरह से कठोर तरीके से हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के ठीक विवरण के लिए जिम्मेदार है।लहर समीकरण ने भी मामले के एक नए रूप के अस्तित्व को निहित किया, एंटीमैटर, पहले से अनसुना और अप्रकाशित और जिसे प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई थी।क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत के संदर्भ में, DIRAC समीकरण को स्पिन -। कणों के अनुरूप क्वांटम फ़ील्ड का वर्णन करने के लिए फिर से व्याख्या किया जाता है।

File:Wave packet (dispersion).gif

एक प्रसार तरंग पैकेट;सामान्य तौर पर, वेव पैकेट का लिफाफा घटक तरंगों की तुलना में एक अलग गति से चलता है।

डी ब्रोगली तरंगें

Main articles: Wave packet and Matter wave

लुईस डी ब्रोगली ने पोस्ट किया कि गति के साथ सभी कणों में एक तरंग दैर्ध्य है

$\lambda ={\frac {h}{p}},$

जहां एच प्लैंक का स्थिरांक है, और पी कण की गति का परिमाण है।यह परिकल्पना क्वांटम यांत्रिकी के आधार पर थी।आजकल, इस तरंग दैर्ध्य को डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य कहा जाता है।उदाहरण के लिए, एक कैथोड-रे ट्यूब में इलेक्ट्रॉनों | CRT डिस्प्ले में लगभग 10 का डे ब्रोगली तरंग दैर्ध्य है⁻¹³ & nbsp; m।

K- दिशा में यात्रा करने वाली इस तरह के कण का प्रतिनिधित्व करने वाली एक लहर वेव फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त की जाती है:

$\psi (\mathbf {r} ,\,t=0)=Ae^{i\mathbf {k\cdot r} },$

जहां तरंग दैर्ध्य को वेव वेक्टर के रूप में निर्धारित किया जाता है:

$\lambda ={\frac {2\pi }{k}},$

और द्वारा गति:

$\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .$

हालांकि, निश्चित तरंग दैर्ध्य के साथ इस तरह की एक लहर अंतरिक्ष में स्थानीयकृत नहीं है, और इसलिए अंतरिक्ष में स्थानीयकृत एक कण का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है।एक कण को स्थानीय बनाने के लिए, डी ब्रोगली ने एक तरंग पैकेट में एक केंद्रीय मूल्य के आसपास विभिन्न तरंग दैर्ध्य के एक सुपरपोजिशन का प्रस्ताव दिया, एक वेवफॉर्म अक्सर क्वांटम यांत्रिकी में एक कण के तरंग फ़ंक्शन का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है।एक तरंग पैकेट में, कण की तरंग दैर्ध्य सटीक नहीं है, और स्थानीय तरंग दैर्ध्य मुख्य तरंग दैर्ध्य मूल्य के दोनों ओर विचलित होता है।

एक स्थानीय कण के तरंग फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने में, वेव पैकेट को अक्सर गॉसियन आकार के लिए लिया जाता है और इसे गॉसियन वेव पैकेट कहा जाता है। गौसियन वेव पैकेट का उपयोग पानी की तरंगों का विश्लेषण करने के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक गौसियन वेवफंक्शन ψ फॉर्म ले सकता है:

$\psi (x,\,t=0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}+ik_{0}x\right),$

कुछ प्रारंभिक समय t = 0 पर, जहां केंद्रीय तरंग दैर्ध्य केंद्रीय तरंग वेक्टर k से संबंधित है₀ के रूप में λ₀ = 2 a / k₀।यह फूरियर विश्लेषण के सिद्धांत से अच्छी तरह से जाना जाता है, या हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी के मामले में) से कि एक स्थानीयकृत तरंग पैकेट का उत्पादन करने के लिए तरंगदैर्ध्य की एक संकीर्ण रेंज आवश्यक है, और लिफाफे को अधिक स्थानीयकृत, आवश्यक तरंग दैर्ध्य में फैलने वाला बड़ा।एक गाऊसी का फूरियर रूपांतरण अपने आप में एक गाऊसी है। गौसियन को देखते हुए:

$f(x)=e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)},$

फूरियर ट्रांसफॉर्म है:

${\tilde {f}}(k)=\sigma e^{-\sigma ^{2}k^{2}/2}.$

अंतरिक्ष में गौसियन इसलिए लहरों से बना है:

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\ {\tilde {f}}(k)e^{ikx}\ dk;$

अर्थात्, तरंग दैर्ध्य की एक संख्या λ जैसे कि kλ = 2 π।

पैरामीटर the एक्स-एक्सिस के साथ गाऊसी के स्थानिक प्रसार को तय करता है, जबकि फूरियर ट्रांसफॉर्म 1/σ द्वारा निर्धारित तरंग वेक्टर k में एक प्रसार को दर्शाता है।अर्थात्, अंतरिक्ष में जितनी छोटी सीमा होती है, k में बड़ी सीमा होती है, और इसलिए λ = 2π/k में।

File:GravitationalWave CrossPolarization.gif

एनीमेशन परीक्षण कणों की एक अंगूठी पर एक क्रॉस-ध्रुवीकृत गुरुत्वाकर्षण तरंग के प्रभाव को दर्शाता है

गुरुत्वाकर्षण तरंगें

गुरुत्वाकर्षण तरंगें तरंगें एक द्रव माध्यम में या दो मीडिया के बीच इंटरफ़ेस में उत्पन्न होती हैं जब गुरुत्वाकर्षण या उछाल का बल संतुलन को बहाल करने की कोशिश करता है।एक तालाब पर एक लहर एक उदाहरण है।

गुरुत्वाकर्षण तरंगें

Main article: Gravitational wave

गुरुत्वाकर्षण तरंगें भी अंतरिक्ष के माध्यम से यात्रा करती हैं।गुरुत्वाकर्षण तरंगों का पहला अवलोकन 11 फरवरी 2016 को घोषित किया गया था। गुरुत्वाकर्षण तरंगें स्पेसटाइम की वक्रता में गड़बड़ी हैं, जो कि सामान्य सापेक्षता के आइंस्टीन के सिद्धांत द्वारा भविष्यवाणी की जाती है।

यह भी देखें

• तरंग लेखों का सूचकांक

सामान्य रूप से लहरें

• Wave equation, general
• One-way wave equation, for waves running in pre-defined direction
• Wave propagation, any of the ways in which waves travel
• Interference (wave propagation), a phenomenon in which two waves superpose to form a resultant wave
• Mechanical wave, in media transmission
• Wave Motion (journal), a scientific journal
• Wavefront, an advancing surface of wave propagation

पैरामीटर

• Phase (waves), offset or angle of a sinusoidal wave function at its origin
• Standing wave ratio, in telecommunications
• Wavelength
• Wavenumber
• Wave period

तरंग

• Creeping wave, a wave diffracted around a sphere
• Evanescent wave
• Longitudinal wave
• Periodic travelling wave
• Sine wave
• Square wave
• Standing wave
• Transverse wave

विद्युत चुम्बकीय तरंगें

• Dyakonov surface waves
• Dyakonov–Voigt wave
• Earth-Ionosphere waveguide, in radio transmission
• Electromagnetic wave
• Electromagnetic wave equation, describes electromagnetic wave propagation
• Microwave, a form of electromagnetic radiation

तरल पदार्थ में

• द्रव की गतिशीलता में हवादार तरंग सिद्धांत
• केशिका तरंग, द्रव की गतिशीलता में
• द्रव की गतिशीलता में cnoidal तरंग
• किनारे की लहर, एक कठोर सीमा के खिलाफ अपवर्तन द्वारा तय की गई सतह गुरुत्व तरंग
• फैराडे वेव, तरल पदार्थों में एक प्रकार की लहर
• गुरुत्वाकर्षण तरंग, द्रव की गतिशीलता में
• ध्वनि तरंग, हवा या पानी जैसे माध्यम के माध्यम से ध्वनि की एक लहर
• समुद्री तरंग स्पेक्ट्रम
• शॉक वेव, वायुगतिकी में
• आंतरिक तरंग, एक तरल माध्यम के भीतर एक लहर
• ज्वारीय लहर, एक सुनामी के लिए एक वैज्ञानिक रूप से गलत नाम
• टोलमीन -स्लीचिंग वेव, द्रव की गतिशीलता में

क्वांटम यांत्रिकी में

• Bloch's theorem
• Matter wave
• Pilot wave, in Bohmian mechanics
• Wave function
• Wave packet
• Wave–particle duality

सापेक्षता में

• Gravitational wave, in relativity theory
• Relativistic wave equations, wave equations that consider special relativity
• pp-wave spacetime, a set of exact solutions to Einstein's field equation

अन्य विशिष्ट प्रकार की लहरें

• प्लाज्मा भौतिकी में अल्फवेन वेव
• वायुमंडलीय लहर, वायुमंडलीय चर के क्षेत्र में एक आवधिक गड़बड़ी
• देवदार लहर, एक वन विन्यास
• भेड़ का बच्चा लहरें, ठोस पदार्थों में
• रेले लहरें, सतह ध्वनिक तरंगें जो ठोस पदार्थों पर यात्रा करती हैं
• स्पिन वेव, चुंबकत्व में
• स्पिन-घनत्व तरंग, ठोस पदार्थों में
• ट्रोजन वेव पैकेट, कण विज्ञान में
• प्लाज्मा में प्लाज्मा में लहरें, प्लाज्मा भौतिकी में

संबंधित विषय

• बीट (ध्वनिकी)
• Cymatics
• डॉपलर प्रभाव
• लिफाफा डिटेक्टर
• समान रूप से फैले हुए डेटा में कंप्यूटिंग आवधिकता के लिए फूरियर रूपांतरण
• समूह वेग
• हार्मोनिक
• तरंग लेखों का सूचकांक
• जड़त्वीय लहर
• असमान रूप से फैले हुए डेटा में गणना आवधिकता के लिए कम से कम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
• लोगों के नाम पर लहरों की सूची
• चरण वेग
• प्रतिक्रिया -प्रसार प्रणाली
• प्रतिध्वनि
• रिपल टैंक
• शरारती लहर
• उथले पानी के समीकरण
• जॉन एन। शिव#शिव वेव मशीन | शिव वेव मशीन
• ध्वनि
• स्टैंडिंग वेव
• संचरण माध्यम
• लहर अशांति
• पवन वेव

सूत्रों का कहना है

• Fleisch, D.; Kinnaman, L. (2015). A student's guide to waves. Cambridge: Cambridge University Press. Bibcode:2015sgw..book.....F. ISBN 978-1107643260.
• Campbell, Murray; Greated, Clive (2001). The musician's guide to acoustics (Repr. ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198165057.
• French, A.P. (1971). Vibrations and Waves (M.I.T. Introductory physics series). Nelson Thornes. ISBN 978-0-393-09936-2. OCLC 163810889.
• Hall, D.E. (1980). Musical Acoustics: An Introduction. Belmont, CA: Wadsworth Publishing Company. ISBN 978-0-534-00758-4..
• Hunt, Frederick Vinton (1978). Origins in acoustics. Woodbury, NY: Published for the Acoustical Society of America through the American Institute of Physics. ISBN 978-0300022209.
• Ostrovsky, L.A.; Potapov, A.S. (1999). Modulated Waves, Theory and Applications. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-5870-3..
• Griffiths, G.; Schiesser, W.E. (2010). Traveling Wave Analysis of Partial Differential Equations: Numerical and Analytical Methods with Matlab and Maple. Academic Press. ISBN 9780123846532.

बाहरी संबंध

• The Feynman Lectures on Physics: Waves
• Interactive Visual Representation of Waves
• Linear and nonlinear waves
• Science Aid: Wave properties – Concise guide aimed at teens