संकारक (गणित): Difference between revisions

Revision as of 23:55, 13 February 2023

गणित में, संकारक समान्यतः एक मैपिंग (गणित) या फलन (गणित) होता है जो किसी स्थान (गणित) के तत्वों पर कार्य करता है ताकि किसी अन्य स्थान के तत्वों का उत्पादन किया जा सके (संभवतः और कभी-कभी एक ही स्थान होने की आवश्यकता होती है)। संकारक की कोई सामान्य परिभाषा नहीं है, लेकिन इस शब्द का प्रयोग प्रायः फलन के स्थान पर किया जाता है, जब किसी फलन का डोमेन या अन्य संरचित वस्तुओं का एक समूह होता है। इसके अलावा, एक ऑपरेटर के डोमेन को स्पष्ट रूप से चित्रित करना प्रायः मुश्किल होता है (उदाहरण के लिए एक अभिन्न संकारक के मामले में), और संबंधित वस्तुओं तक बढ़ाया जा सकता है (एक संकारक जो कार्यों पर कार्य करता है, अंतर समीकरणों पर भी कार्य कर सकता है जिसका समाधान फलन हैं जो समीकरण को संतुष्ट करता है)। अन्य उदाहरणों के लिए संकारक (भौतिकी) देखें।

सबसे बुनियादी संकारक रैखिक मानचित्र हैं, जो सदिश समष्टि पर कार्य करते हैं। रेखीय संचालिकाएँ ऐसे रेखीय मानचित्रों को संदर्भित करती हैं जिनके डोमेन और श्रेणी समान स्थान पर हैं, उदाहरण के लिए $\mathbb {R} ^{n}$ को $\mathbb {R} ^{n}$ ।^[1] ^[2]ऐसे संकारक अक्सर निरंतरता जैसे गुणों को संरक्षित करते हैं। उदाहरण के लिए, अवकलन (गणित) और अनिश्चित समाकलन रैखिक संकारक हैं, संकारक जो उनसे निर्मित होते हैं, उन्हें अंतर संकारक, समाकलन संकारक या समाकल अवकल संकारक कहा जाता है।

संकारक का उपयोग गणितीय संक्रियाओं के प्रतीक को दर्शाने के लिए भी किया जाता है। यह कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में संचालक के अर्थ से संबंधित है, संचालक (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) देखें।

रैखिक संकारक

सबसे आम प्रकार के संकारक का सामना रैखिक संकारकों से होता है। माना U और V क्षेत्र (गणित) K पर सदिश समष्टियाँ है। मानचित्रण (गणित) A: U → V रैखिक है यदि-

A(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha A\mathbf {x} +\beta A\mathbf {y}

सभी x, y के लिए U में और सभी

\alpha

तथा

\beta

लिए K में। इसका मतलब यह है कि एक रैखिक संकारक सदिश समष्टियों कि संक्रियाओं को संरक्षित करता है, इस अर्थ में कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप रैखिक संकारक को गुणन की संक्रिया और अदिश गुणन के पहले या बाद में लागू करते हैं या नहीं। अधिक तकनीकी शब्दों में, रैखिक संकारक सदिश समष्टि के बीच मॉर्फिज्म(आकारिता) हैं।

परिमित-आयामी मामले में रैखिक संकारकों को निम्नलिखित तरीके से आव्यूह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। मान लें कि $K$ एक क्षेत्र है और $U$ तथा $V$ , $K$ पर परिमित-आयामी सदिश समष्टि हैं। आइए एक आधार चुनें $U$ में $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}$ तथा $V$ में $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ । तब माना $\mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}$ , $U$ में एक यादृच्छिक सदिश है (आइंस्टीन कान्वेंशन मानते हुए), और $A:U\to V$ एक रैखिक संकारक है। तब-

A\mathbf {x} =x^{i}A\mathbf {u} _{i}=x^{i}(A\mathbf {u} _{i})^{j}\mathbf {v} _{j}.

तब

a_{i}^{j} := (A

[1]

[2]

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 सबसे आम प्रकार के संकारक का सामना रैखिक संकारकों से होता है। माना U और V [[क्षेत्र (गणित)]] K पर सदिश समष्टियाँ है। मानचित्रण (गणित) A: U → V रैखिक है यदि-
 <math display="block">A(\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}) = \alpha A \mathbf{x} + \beta A \mathbf{y}</math>
-सभी x, y के लिए ''U'' में और सभके लिए ''K'' में। इसका मतलब यह है कि एक रैखिक संकारक सदिश समष्टियों कि संक्रियाओं को संरक्षित करता है, इस अर्थ में कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप रैखिक संकारक को गुणन की संक्रिया और अदिश गुणन के पहले या बाद में लागू करते हैं या नहीं। अधिक तकनीकी शब्दों में, रैखिक संकारक सदिश समष्टि के बीच [[morphism|मॉर्फिज्म(]]आकारिता) हैं।
+सभी x, y के लिए ''U'' में और सभी <math>\alpha</math> तथा <math>\beta</math> लिए ''K'' में। इसका मतलब यह है कि एक रैखिक संकारक सदिश समष्टियों कि संक्रियाओं को संरक्षित करता है, इस अर्थ में कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप रैखिक संकारक को गुणन की संक्रिया और अदिश गुणन के पहले या बाद में लागू करते हैं या नहीं। अधिक तकनीकी शब्दों में, रैखिक संकारक सदिश समष्टि के बीच [[morphism|मॉर्फिज्म(]]आकारिता) हैं।
 परिमित-आयामी मामले में रैखिक संकारकों को निम्नलिखित तरीके से [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] द्वारा दर्शाया जा सकता है। मान लें कि <math>K</math> एक क्षेत्र है और <math>U</math> तथा <math>V</math>, <math>K</math> पर परिमित-आयामी सदिश समष्टि हैं। आइए एक आधार चुनें <math>U</math> में <math>\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n</math> तथा <math>V</math> में <math>\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m</math>। तब माना <math>\mathbf{x} = x^i \mathbf{u}_i</math>, <math>U</math> में एक यादृच्छिक सदिश है [[आइंस्टीन सम्मेलन|(आइंस्टीन कान्वेंशन]]  मानते हुए), और <math>A: U \to V</math> एक रैखिक संकारक है। तब-
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 फूरियर रूपांतरण गणित, विशेष रूप से भौतिकी और संकेत संसाधन में उपयोगी है। यह एक और समाकल संकारक है, यह मुख्य रूप से उपयोगी है क्योंकि यह एक (अस्थायी) डोमेन पर फलन को दूसरे (आवृत्ती) डोमेन पर फलन में परिवर्तित करता है, एक तरह से प्रभावी रूप से उलटा कार्य करता है। कोई सूचना कि हानि नहीं होती है, क्योंकि एक व्युत्क्रम परिवर्तन संकारक है। आवधिक कार्यों के सरल मामले में, इसका परिणाम प्रमेय पर आधारित होता है कि किसी निरंतर आवधिक कार्य को [[साइन लहर|ज्या तरंगों]]  और कोज्या तरंगों की श्रृंखला के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है-
 <math display="block">f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) } </math>
-टपल (अ़<sub>0</sub>, ए<sub>1</sub>, बी<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, बी<sub>2</sub>, ...) वास्तव में एक अनंत-आयामी सदिश अंतरिक्ष अनुक्रम अंतरिक्ष का एक तत्व है|ℓ{{i sup|2}}, और इस प्रकार फूरियर श्रृंखला एक रैखिक संकारक है।
+टपल (अ़<sub>0</sub>, ए<sub>1</sub>, बी<sub>1</sub>, ए<sub>2</sub>, बी<sub>2</sub>, ...) वास्तव में एक अनंत-आयामी सदिश समष्टि ℓ{{i sup|2}} का एक तत्व है, और इस प्रकार फूरियर श्रृंखला एक रैखिक संकारक है।
-सामान्य कार्य से निपटने पर <math>\R\to\C</math>, परिवर्तन एक [[अभिन्न]] रूप लेता है:
+सामान्य फलन से निपटने पर <math>\R\to\C</math>, रूपांतरण एक [[अभिन्न]] रूप लेता है-
 <math display="block">f(t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \,d\omega }. </math>

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