संख्या: Difference between revisions

[[File:NumberSetinC.svg|thumb|[[जटिल संख्या]]ओं के [[सबसेट|सबसमुच्चय]]]]संख्या एक [[गणितीय वस्तु]] है जिसका उपयोग [[गिनती]], [[माप]] और [[नाममात्र संख्या]] के लिए किया जाता है। मूल उदाहरण [[प्राकृतिक संख्या]] [[1]], [[2]], [[3]], [[4]], और आगे हैं।<ref>{{Cite journal |title=number, n. |url=http://www.oed.com/view/Entry/129082 |journal=OED Online |language=en-GB |publisher=Oxford University Press |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181004081907/http://www.oed.com/view/Entry/129082 |archive-date=2018-10-04 |url-status=live }}</ref> [[संख्या शब्द|संख्याओं]] को भाषा में संख्या शब्दों के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। अधिक सार्वभौमिक रूप से, व्यक्तिगत संख्याओं को [[प्रतीक]]ों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिन्हें अंक कहा जाता है;उदाहरण के लिए, [[5]] अंक है जो 5 का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि केवल अपेक्षाकृत कम संख्या में प्रतीकों को याद किया जा सकता है, मूलभूत अंक सामान्यतः [[अंक प्रणाली]] में व्यवस्थित होते हैं, जो किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए संगठित विधि है।सबसे आम अंक प्रणाली हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली है, जो दस मौलिक संख्यात्मक प्रतीकों के संयोजन का उपयोग करके किसी भी संख्या के प्रतिनिधित्व के लिए अनुमति देती है, जिसे [[संख्यात्मक अंक]] कहा जाता है।<ref>{{Cite journal |title=numeral, adj. and n. |url=http://www.oed.com/view/Entry/129111 |journal=OED Online |publisher=Oxford University Press |access-date=2017-05-16 |archive-date=2022-07-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220730095156/https://www.oed.com/start;jsessionid=B9929F0647C8EE5D4FDB3A3C1B2CA3C3?authRejection=true&url=%2Fview%2FEntry%2F129111 |url-status=live }}</ref>{{efn|In [[linguistics]], a [[numeral (linguistics)|numeral]] can refer to a symbol like 5, but also to a word or a phrase that names a number, like "five hundred"; numerals include also other words representing numbers, like "dozen".}} गिनती और मापने में उनके उपयोग के अतिरिक्त, अंकों ऑर्डर करने के लिए ([[ क्रमिक संख्या | क्रमिक संख्या]] के साथ), और कोड के लिए (जैसा कि [[आईएसबीएन]] के साथ) का उपयोग अधिकांश लेबल के लिए ([[टेलीफोन नंबर|टेलीफोन संख्या]] के साथ) उपयोग किया जाता है। सामान्य उपयोग में एक संख्या उस संख्या से स्पष्ट रूप से भिन्न नहीं होती है जिसका वह प्रतिनिधित्व करता है।

[[गणित]] में, [[0|शून्य]] (0)<ref>{{Cite news |url=https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/ |title=The Origin of Zero |last=Matson |first=John |work=Scientific American |access-date=2017-05-16 |language=en |archive-url=https://web.archive.org/web/20170826235655/https://www.scientificamerican.com/article/history-of-zero/ |archive-date=2017-08-26 |url-status=live }}</ref> ऋणात्मक संख्याएँ,<ref name=":0">{{Cite book |url=https://books.google.com/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA88 |title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity |last=Hodgkin |first=Luke |date=2005-06-02 |publisher=OUP Oxford |isbn=978-0-19-152383-0 |pages=85–88 |language=en |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190204012433/https://books.google.com/books?id=f6HlhlBuQUgC&pg=PA88#v=onepage&q&f=false |archive-date=2019-02-04 |url-status=live }}</ref> [[तर्कसंगत संख्या|परिमेय संख्याएँ]] जैसे कि एक [[एक आधा|आधा]] <math>\left(\tfrac{1}{2}\right)</math>, [[वास्तविक संख्या]] जैसे कि [[2 का वर्गमूल]] <math>\left(\sqrt{2}\right)</math><ref>{{cite book |title=Mathematics across cultures : the history of non-western mathematics |date=2000 |publisher=Kluwer Academic |location=Dordrecht |isbn=1-4020-0260-2 |pages=410–411}}</ref> को सम्मिलित करने के लिए शताब्दियों से संख्या की धारणा को बढ़ाया गया है,<ref>{{Cite book |last=Descartes |first=René |title=La Géométrie &#124; The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition |url=https://archive.org/details/geometryofrenede00rend |year=1954 |author-link=René Descartes |orig-year=1637 |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=0-486-60068-8 |access-date=20 April 2011 }}</ref> और पाई({{pi}}) और सम्मिश्र संख्याएं जो −1 (काल्पनिक संख्या) के वर्गमूल के साथ वास्तविक संख्याओं का (और इसके गुणकों को जोड़कर या घटाने से वास्तविक संख्या के साथ इसके संयोजन) विस्तार करती हैं।<ref name=":0" /> संख्याओं के साथ गणना [[अंकगणित|अंकगणितीय]] संक्रियाओं के साथ की जाती है, सबसे परिचित, जोड़, [[घटाव]], गुणन, [[विभाजन (गणित)]], और [[घातांक]] हैं। उनके अध्ययन या उपयोग को अंकगणित कहा जाता है, शब्द जो [[संख्या सिद्धांत]], संख्याओं के गुणों के अध्ययन का भी उल्लेख कर सकता है।

उनके व्यावहारिक उपयोगों के अतिरिक्त, संख्याओं का संसार में सांस्कृतिक महत्व है।<ref name="Gilsdorf">{{Cite book |last=Gilsdorf |first=Thomas E. |url=https://books.google.com/books?id=IN8El-TTlSQC |title=Introduction to cultural mathematics : with case studies in the Otomies and the Incas |date=2012 |publisher=Wiley |isbn=978-1-118-19416-4 |location=Hoboken, N.J. |oclc=793103475}}</ref><ref name="Restivo">{{Cite book |last=Restivo |first=Sal P. |url=https://books.google.com/books?id=V0RuCQAAQBAJ&q=Mathematics+in+Society+and+History |title=Mathematics in society and history : sociological inquiries |date=1992 |isbn=978-94-011-2944-2 |location=Dordrecht |oclc=883391697}}</ref> उदाहरण के लिए, पश्चिमी समाज में, [[13 (संख्या)]] को अधिकांश अशुभ माना जाता है, और मिलियन त्रुटिहीन मात्रा के अतिरिक्त बहुत अधिक संकेत दे सकता है।<ref name="Gilsdorf" /> यद्यपि इसे अब [[छद्म]] विज्ञान के रूप में माना जाता है, संख्या के रहस्यमय महत्व में विश्वास, जिसे अंक विज्ञान के रूप में जाना जाता है, प्राचीन और मध्ययुगीन विचार को अनुमति दी जाती है।<ref name="Ore">{{Cite book |last=Ore |first=Øystein |url=https://books.google.com/books?id=Sl_6BPp7S0AC |title=Number theory and its history |date=1988 |publisher=Dover |isbn=0-486-65620-9 |location=New York |oclc=17413345}}</ref> न्यूमेरोलॉजी ने [[ग्रीक गणित]] के विकास को बहुत प्रभावित किया, संख्या सिद्धांत में कई समस्याओं की जांच को उत्तेजित किया जो आज भी रुचि के हैं।<ref name="Ore" />

19 वीं शताब्दी के समय, गणितज्ञों ने कई अलग -अलग अमूर्तता विकसित करना प्रारंभ कर दिया, जो संख्याओं के कुछ गुणों को साझा करते हैं, और अवधारणा को विस्तारित करने के रूप में देखा जा सकता है। सबसे पहले [[हाइपरकम्प्लेक्स संख्या|हाइपरकम्प्लेक्स संख्याएं]] थी, जिसमें जटिल संख्या प्रणाली के विभिन्न एक्सटेंशन या संशोधन सम्मिलित थे।आधुनिक गणित में, संख्या प्रणालियों को अधिक सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं जैसे रिंग (गणित) और [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्रों (गणित)]] के महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण माना जाता है, और शब्द संख्या का अनुप्रयोग मौलिक महत्व के बिना, सम्मेलन का विषय है।<ref>Gouvêa, Fernando Q. ''[[The Princeton Companion to Mathematics]], Chapter II.1, "The Origins of Modern Mathematics"'', p. 82. Princeton University Press, September 28, 2008. {{isbn|978-0-691-11880-2}}. "Today, it is no longer that easy to decide what counts as a 'number.' The objects from the original sequence of 'integer, rational, real, and complex' are certainly numbers, but so are the ''p''-adics. The quaternions are rarely referred to as 'numbers,' on the other hand, though they can be used to coordinatize certain mathematical notions."</ref>

संख्याओं को अंकों से अलग किया जाना चाहिए, जो कि संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीक हैं। मिस्रियों ने पहले सिफर्ड अंक प्रणाली का आविष्कार किया, और यूनानियों ने इओनियन और डोरिक अक्षर पर अपनी गिनती संख्याओं को मैप करने के बाद यूनानियों को आविष्कार किया।<ref>{{Cite journal |last=Chrisomalis |first=Stephen |date=2003-09-01 |title=The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals |journal=Antiquity |volume=77 |issue=297 |pages=485–96 |doi=10.1017/S0003598X00092541 |s2cid=160523072 |issn=0003-598X }}</ref> रोमन अंकों, प्रणाली, जो रोमन वर्णमाला से अक्षरों के संयोजन का उपयोग करती थी, 14 वीं शताब्दी के अंत में श्रेष्ठ हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली के प्रसार तक यूरोप में प्रमुख रही, और आज संसार में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली सबसे आम प्रणाली बनी हुई है।<ref name="Cengage Learning2">{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=dOxl71w-jHEC&pg=PA192 |title=The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1 |last2=Crossley |first2=Pamela |last3=Headrick |first3=Daniel |last4=Hirsch |first4=Steven |last5=Johnson |first5=Lyman |publisher=Cengage Learning |year=2010 |isbn=978-1-4390-8474-8 |page=192 |quote=Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today |first1=Richard |last1=Bulliet |access-date=2017-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170128072424/https://books.google.com/books?id=dOxl71w-jHEC&pg=PA192 |archive-date=2017-01-28 |url-status=live }}</ref>{{better source needed|date=January 2017}} प्रणाली की प्रभावशीलता की कुंजी [[शून्य]] के लिए प्रतीक था, जिसे प्राचीन [[भारतीय गणित]] द्वारा 500 ईस्वी के आसपास विकसित किया गया था।<ref name="Cengage Learning2" />

=== संख्याओं का पहला उपयोग ===

{{main|प्राचीन अंक प्रणालियों का इतिहास}}

हड्डियों और अन्य कलाकृतियों को उन पर काटे गए निशानों के साथ खोजा गया है, जो कई लोगों का मानना है कि ये मिलान के निशान हैं।<ref>{{Cite book |last=Marshack |first=Alexander |url=https://books.google.com/books?id=vbQ9AAAAIAAJ |title=The roots of civilization; the cognitive beginnings of man's first art, symbol, and notation. |date=1971 |publisher=McGraw-Hill |isbn=0-07-040535-2 |edition=[1st ed.] |location=New York |oclc=257105}}</ref> इन मिलान चिह्नों का उपयोग बीता हुआ समय, जैसे दिनों की संख्या, चंद्र चक्र या जानवरों की मात्रा का अभिलेख रखने के लिए किया जा सकता है।

स्थानीय मान के साथ पहली ज्ञात प्रणाली मेसोपोटामिया की आधार 60 प्रणाली (सी.-3400 ईसा पूर्व) थी और सबसे पुरानी ज्ञात आधार 10 प्रणाली [[मिस्र]] में 3100 ईसा पूर्व की है।<ref>{{cite web |url=http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html#berlin |title=Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora |publisher=Math.buffalo.edu |access-date=2012-01-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150407231917/http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html#berlin |archive-date=2015-04-07 |url-status=live }}</ref>

शून्य तारीखों का पहला ज्ञात प्रलेखित उपयोग 628 ईस्वी तक का है, और [[भारतीय गणितज्ञ]] [[ब्रह्मगुप्त]] के मुख्य कार्य ब्रोहमस्फुसिद्धान्टा में दिखाई दिया। उन्होंने 0 को एक संख्या के रूप में माना और विभाजन सहित इसमें सम्मिलित संक्रियाओं पर चर्चा की, जिसमें शून्य द्वारा विभाजन भी सम्मिलित है। इस समय तक (7वीं शताब्दी) अवधारणा स्पष्ट रूप से खमेर अंकों के रूप में कंबोडिया तक पहुंच गई थी, और दस्तावेज़ीकरण से पता चलता है कि यह विचार बाद में चीन और इस्लामी संसार में फैल गया।

संख्या के रूप में 0 के उपयोग को स्थान-मान प्रणालियों में प्लेसहोल्डर अंक के रूप में इसके उपयोग से अलग किया जाना चाहिए। कई प्राचीन ग्रंथों में 0 का प्रयोग हुआ हैं। बेबीलोन और मिस्र के ग्रंथों ने इसका उपयोग किया। मिस्रियों ने [[ डबल-एंट्री बहीखाता प्रणाली |डबल-एंट्री बहीखाता प्रणाली]] में संतुलन को निरूपित करने के लिए एनएफआर शब्द का उपयोग किया। भारतीय ग्रंथों ने शून्य की अवधारणा का उल्लेख करने के लिए [[संस्कृत]] शब्द {{lang|sa-Latn|शुन्य}} या {{lang|sa|शून्य}} का उपयोग किया। गणित के ग्रंथों में यह शब्द अधिकांश संख्या शून्य को संदर्भित करता है।<ref>{{cite web |url=http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/apr99/0197.html |title=Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM&#93; The Zero Story: a question |publisher=Sunsite.utk.edu |date=1999-04-26 |access-date=2012-01-30 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120112073735/http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/apr99/0197.html |archive-date=2012-01-12 }}</ref> इसी प्रकार, पाणिनि (5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व) ने [[अष्टाध्यायी]] में शून्य (शून्य) ऑपरेटर का उपयोग किया, जो संस्कृत भाषा के लिए [[औपचारिक व्याकरण]] का प्रारंभिक उदाहरण ([[पिंगला]] भी देखें) देखे।

ब्रह्मगुप्त से पहले शून्य के अन्य उपयोग हैं, चूंकि दस्तावेज उतना पूरा नहीं है जितना कि यह ब्रोहमस्फुसिदहन्टा में है।

अभिलेख बताते हैं कि [[प्राचीन ग्रीस]] संख्या के रूप में 0 की स्थिति के बारे में अनिश्चित प्रतीत होते थे: उन्होंने स्वयं से पूछा "कैसे 'कुछ नहीं' कुछ हो सकता है?" रोचक [[दार्शनिक]] के लिए अग्रणी और, मध्ययुगीन काल तक, 0 और [[ खालीपन | निर्वात]] की प्रकृति और अस्तित्व के बारे में धार्मिक तर्क देखे। एलिया के ज़ेनो के विरोधाभास भाग में 0 की अनिश्चित व्याख्या पर निर्भर करते हैं।(प्राचीन यूनानियों ने यह भी सवाल किया कि क्या {{num|1}} संख्या थी।)

दक्षिण-मध्य मेक्सिको के स्वर्गीय [[ ऑल्मेक | ऑल्मेक]] लोगों ने शून्य के लिए एक प्रतीक का उपयोग करना प्रारंभ किया, एक शेल [[ ग्लाइफ |ग्लिफ़]], नई संसार में, संभवतः चौथी शताब्दी ईसा पूर्व किन्तु निश्चित रूप से 40 ईसा पूर्व तक, जो [[माया अंक|माया अंकों]] और [[माया कैलेंडर]] का एक अभिन्न अंग बन गया। माया अंकगणित ने बेस 4 और बेस 5 को बेस 20 लिखा।1961 में जॉर्ज आई। सैंचेज़ ने आधार  4, बेस 5 फिंगर एबाकस की सूचना दी।<ref>{{Cite book |last=Sánchez |first=George I. |author-link=George I. Sánchez |title=Arithmetic in Maya |publisher=self published |year=1961 |place=Austin, Texas}}</ref>{{Better source needed|reason=The only source is a self-published book, albeit one by a respected educator. According to the (favorable) review by David H. Kelley in 'American Anthropologist', Sánchez was neither a Mayanist nor a mathematician. The review does not mention the abacus.|date=September 2020}}

130 ईस्वी तक, [[टॉलेमी]], [[हिप्पार्चस|हिप्पार्कस]] और बेबीलोनियों से प्रभावित होकर, 0 के लिए एक प्रतीक का उपयोग कर रहा था (लंबे ओवरबार वाला एक छोटा वृत्त) [[साठवाँ]] अंक प्रणाली के अन्दर अन्यथा अल्फाबेटिक [[ग्रीक अंक|ग्रीक अंकों]] का उपयोग कर रहा था। क्योंकि यह केवल एक प्लेसहोल्डर के रूप में नहीं, किन्तु अकेले उपयोग किया गया था, यह हेलेनिस्टिक शून्य पुरानी संसार में एक सच्चे शून्य का पहला प्रलेखित उपयोग था। उनके सिंटैक्सिस मैथेमेटिका (अल्मागेस्ट) के बाद के बीजान्टिन पांडुलिपियों में, हेलेनिस्टिक शून्य [[ग्रीक वर्णमाला]] [[ऑमिक्रॉन]] (अन्यथा अर्थ और 70) में रूपांतरित किया था।

525 तक रोमन अंकों के साथ तालिकाओं में एक और वास्तविक शून्य का उपयोग किया गया था (डायोनिसियस एक्सिगुअस द्वारा पहला ज्ञात उपयोग), किन्तु एक शब्द के रूप में, नुल्ला का अर्थ कुछ भी नहीं है, प्रतीक के रूप में नहीं। जब विभाजन ने शेषफल के रूप में 0 दिया, तो निहिल, जिसका अर्थ कुछ भी नहीं है, का उपयोग किया गया। ये मध्यकालीन शून्य भविष्य के सभी मध्यकालीन कंप्यूटर ([[ईस्टर]] के [[कैलकुलेटर]]) द्वारा उपयोग किया गया था। उनके प्रारंभिक, एन का एक पृथक उपयोग, रोमन अंकों की तालिका में बेडे या एक सहयोगी के बारे में 725, एक वास्तविक शून्य प्रतीक द्वारा उपयोग किया गया था।

ऋणात्मक संख्याओं की अमूर्त अवधारणा को चीन में 100-50 ईसा पूर्व की प्रारंभ में मान्यता दी गई थी। [[गणितीय कला पर नौ अध्याय|गणितीय कला पर नौ अध्यायों]] में आंकड़े के क्षेत्रों को खोजने की विधि सम्मिलित हैं;लाल छड़ का उपयोग सकारात्मक गुणांक को और काले छड़ का उपयोग ऋणात्मक गुणांक निरूपित करने के लिए किया गया था।<ref>{{Cite book |last=Staszkow |first=Ronald |author2=Robert Bradshaw |title=The Mathematical Palette (3rd ed.) |publisher=Brooks Cole |year=2004 |page=41 |isbn=0-534-40365-4}}</ref> पश्चिमी कार्य में पहला संदर्भ 3 शताब्दी ईस्वी में ग्रीस में था।[[डायोफेंटस]] ने [[अंकगणित]] में {{nowrap|4''x'' + 20 {{=}} 0}} (समाधान ऋणात्मक है) के समतुल्य समीकरण का