गेज फिक्सिंग: Difference between revisions

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[[गेज सिद्धांत]] भौतिकी में, गेज फिक्सिंग [[क्षेत्र (भौतिकी)|क्षेत्र]] चर में स्वतंत्रता की अनावश्यक डिग्री से तुलना करने के लिए गणितीय प्रक्रिया को दर्शाता है। परिभाषा के अनुसार,गेज सिद्धांत प्रणाली के प्रत्येक भौतिक रूप से विशिष्ट संरूपण को विस्तृत स्थानीय क्षेत्र संरूपण के समतुल्य वर्ग के रूप में दर्शाता है। एक ही [[तुल्यता वर्ग]] में कोई भी दो विस्तृत विन्यास [[गेज परिवर्तन]] से संबंधित हैं और विन्यास स्थान में अभौतिक अक्षांसो के साथ [[समरूपता परिवर्तन]] के बराबर है। गेज सिद्धांत की अधिकांश मात्रात्मक भौतिक अनुमानों को केवल स्वतंत्रता की इन अभौतिक श्रेणी को दबाने या अनदेखा करने के लिए एक सुसंगत उपाय के अंतर्गत प्राप्त किया जा सकता है।

यद्यपि विस्तृत विन्यास के स्थान में अभौतिक अक्षांश भौतिक प्रारूप की मौलिक संपत्ति हैं, इनके लिए लंबवत दिशाओं का कोई विशेष समुच्चय नहीं है। इसलिए एक ''विशेष'' विस्तृत विन्यास द्वारा प्रत्येक भौतिक विन्यास का प्रतिनिधित्व करने वाले अनुप्रस्थ काट के भारी मात्रा में स्वतंत्रता सम्मिलित है। विवेकपूर्ण गेज फिक्सिंग, गणनाओं को अत्यधिक सरल बना सकती है, लेकिन उत्तरोत्तर कठिन हो जाती है क्योंकि भौतिक प्रारूप अधिक यथार्थवादी हो जाता है; [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के लिए इसका अनुप्रयोग [[पुनर्सामान्यीकरण]] से संबंधित जटिलताओं से भरा होता है, विशेषतः जब गणना उच्च क्रम में जारी रहती है। ऐतिहासिक रूप से, [[तार्किक रूप से सुसंगत|तार्किक सुसंगत]] और अभिकलनीयतः ट्रैक्टेबल गेज फिक्सिंग प्रक्रियाओं की खोज, और विभिन्न प्रकार की तकनीकी कठिनाइयों के सामने उनकी समानता प्रदर्शित करने का प्रयास, उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से लेकर ~~वर्तमान~~ तक [[गणितीय भौतिकी]] का एक प्रमुख चालक रहा है।~~{{citation needed|date=September 2015}}~~

यद्यपि विस्तृत विन्यास के स्थान में अभौतिक अक्षांश भौतिक प्रारूप की मौलिक संपत्ति हैं, इनके लिए लंबवत दिशाओं का कोई विशेष समुच्चय नहीं है। इसलिए एक ''विशेष'' विस्तृत विन्यास द्वारा प्रत्येक भौतिक विन्यास का प्रतिनिधित्व करने वाले अनुप्रस्थ काट के भारी मात्रा में स्वतंत्रता सम्मिलित है। विवेकपूर्ण गेज फिक्सिंग, गणनाओं को अत्यधिक सरल बना सकती है, लेकिन उत्तरोत्तर कठिन हो जाती है क्योंकि भौतिक प्रारूप अधिक यथार्थवादी हो जाता है; [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के लिए इसका अनुप्रयोग [[पुनर्सामान्यीकरण]] से संबंधित जटिलताओं से भरा होता है, विशेषतः जब गणना उच्च क्रम में जारी रहती है। ऐतिहासिक रूप से, [[तार्किक रूप से सुसंगत|तार्किक सुसंगत]] और अभिकलनीयतः ट्रैक्टेबल गेज फिक्सिंग प्रक्रियाओं की खोज, और विभिन्न प्रकार की तकनीकी कठिनाइयों के सामने उनकी समानता प्रदर्शित करने का प्रयास, उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से लेकर धारा तक [[गणितीय भौतिकी]] का एक प्रमुख चालक रहा है।

=== गेज स्वतंत्रता ===

पुरातन गेज सिद्धांत एक [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता]] के संदर्भ में ~~ओलिवर~~ [[योशिय्याह विलार्ड गिब्स|हेविसाइड-गिब्स]] की निरंतर [[बिजली का गतिविज्ञान|विद्युत् का गतिविज्ञान]] का सूत्रीकरण है, जिसे यहां अंतरिक्ष और समय असममित हीविसाइड संख्या में प्रस्तुत किया गया है ~~, जिसे यहां~~ अंतरिक्ष मैक्सवेल के समीकरणों के [[विद्युत क्षेत्र|~~विद्युत~~ क्षेत्र ई]] और [[चुंबकीय क्षेत्र]] बी में स्वतंत्रता की केवल भौतिक डिग्री होती है, इस अर्थ में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र विन्यास में स्वतंत्रता की प्रत्येक 'गणितीय' डिग्री के आसपास के क्षेत्र में परीक्षण आवेशों की गति पर अलग से मापने योग्य प्रभाव होता है। इन क्षेत्र शक्ति चर विद्युत क्षमता p और चुंबकीय ~~वेक्टर~~ क्षमता A के माध्यम से व्यक्त ~~किय~~ जा सकता है। <math display="block">{\mathbf E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}\,, \quad {\mathbf B} = \nabla\times{\mathbf A}.</math>

पुरातन गेज सिद्धांत [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता|विद्युत चुम्बकीय चर-क्षमता]] के संदर्भ में [[योशिय्याह विलार्ड गिब्स|हेविसाइड-गिब्स]] की निरंतर [[बिजली का गतिविज्ञान|विद्युत् गतिविज्ञान]] का सूत्रीकरण है, जिसे यहां अंतरिक्ष और समय के असममित हीविसाइड संख्या में प्रस्तुत किया गया है; अंतरिक्ष मैक्सवेल के समीकरणों के [[विद्युत क्षेत्र|विद्युतीय क्षेत्र '''ई''']] और [[चुंबकीय क्षेत्र]] '''बी''' में स्वतंत्रता की केवल भौतिक डिग्री होती है, इस अर्थ में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र विन्यास में स्वतंत्रता की प्रत्येक 'गणितीय' डिग्री के आसपास के क्षेत्र में परीक्षण आवेशों की गति पर अलग से मापने योग्य प्रभाव होता है। इन क्षेत्र शक्ति चर विद्युत क्षमता p और चुंबकीय सदिश क्षमता A के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। <math display="block">{\mathbf E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}\,, \quad {\mathbf B} = \nabla\times{\mathbf A}.</math>

यदि परिवर्तन

{{NumBlk||<math display="block">\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}+\nabla\psi</math>|{{EquationRef|1}}}}

बना दिया जाता है, तब B अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि (पहचान के साथ <math>\nabla \times \nabla \psi = 0</math>)

बना दिया जाता है, तब B अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि पहचान के साथ <math>\nabla \times \nabla \psi = 0</math>

<math display="block">{\mathbf B} = \nabla\times ({\mathbf A}+ \nabla \psi) = \nabla\times{\mathbf A}.</math>

~~हालाँकि~~, यह परिवर्तन E अनुसार बदलता है

यद्यपि, यह परिवर्तन E के अनुसार बदलता है

<math display="block">\mathbf E = -\nabla\varphi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t} - \nabla \frac{\partial{\psi}}{\partial t} = -\nabla \left( \varphi + \frac{\partial{\psi}}{\partial t}\right) - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}. </math>

यदि कोई अन्य परिवर्तन

{{NumBlk||<math display="block">\varphi\rightarrow\varphi - \frac{\partial{\psi}}{\partial t}</math>|{{EquationRef|2}}}}

बना दिया जाता है तो E भी वही रहता है। इसलिए, यदि कोई कार्य ~~करता~~ है तो E और B क्षेत्र अपरिवर्तित रहते हैं {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} और साथ ही रूपांतरणों के माध्यम से A और ''φ'' को रूपांतरित करता ~~है ({{EquationNote|1}}) और ({{EquationNote|2}}).~~

बना दिया जाता है तो E भी वही रहता है। इसलिए, यदि कोई कार्य होता है तो E और B क्षेत्र अपरिवर्तित रहते हैं {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} और साथ ही रूपांतरणों के माध्यम से A और ''φ'' को रूपांतरित करता है।

स्केलर और वेक्टर क्षमता का एक विशेष विकल्प ~~गेज (अधिक सटीक~~, गेज क्षमता) है और ~~गेज को बदलने~~ के लिए उपयोग किए जाने वाले ~~स्केलर फ़ंक्शन~~ ''ψ'' को गेज ~~फ़ंक्शन~~ कहा जाता है। गेज कार्यों की मनमानी संख्या का अस्तित्व {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} इस सिद्धांत की यू(1) गेज स्वतंत्रता से मेल खाती है। गेज फिक्सिंग कई तरीकों से की जा सकती है, जिनमें से कुछ को हम नीचे प्रदर्शित कर रहे हैं।

स्केलर और वेक्टर क्षमता का विशेष विकल्प, गेज क्षमता है और इसे परिवर्तित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अदिश फलन ''ψ'' को गेज फलन कहा जाता है। गेज कार्यों की मनमानी संख्या का अस्तित्व {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} सिद्धांत यू 1 गेज स्वतंत्रता से मेल खाती है। गेज फिक्सिंग कई तरीकों से की जा सकती है, जिनमें से कुछ को हम नीचे प्रदर्शित कर रहे हैं।

~~हालांकि शास्त्रीय~~ विद्युत चुंबकत्व को अब ~~अक्सर~~ गेज सिद्धांत के रूप में ~~बोला~~ जाता है, यह मूल रूप से इन शर्तों में नहीं माना गया था। ~~शास्त्रीय~~ बिंदु आवेश की गति केवल उस बिंदु पर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की ~~ताकत~~ से प्रभावित होती है, और संभावितों को कुछ ~~सबूतों~~ और गणनाओं को सरल बनाने के लिए केवल गणितीय उपकरण के रूप में माना जा सकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के आगमन तक यह नहीं कहा जा सकता था कि क्षमताएं स्वयं एक प्रणाली के भौतिक विन्यास का हिस्सा हैं। सटीक रूप से अनुमानित और प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित होने वाला सबसे पहला परिणाम अहरोनोव-बोहम प्रभाव था, जिसका कोई ~~शास्त्रीय~~ समकक्ष नहीं है। फिर भी, इन सिद्धांतों में गेज स्वतंत्रता अभी भी सत्य है। उदाहरण के लिए, अहरोनोव-बोहम प्रभाव एक बंद ~~लूप~~ के चारों ओर ए के [[रेखा अभिन्न]] पर निर्भर करता है, और यह ~~इंटीग्रल~~ इसके द्वारा नहीं बदला जाता है

यद्यपि पारम्परिक विद्युत चुंबकत्व को अब प्रायः गेज सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जाता है, यह मूल रूप से इन शर्तों में नहीं माना गया था। पारम्परिक बिंदु आवेश की गति केवल उस बिंदु पर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति से प्रभावित होती है, और संभावितों को कुछ प्रमाणों और गणनाओं को सरल बनाने के लिए केवल गणितीय उपकरण के रूप में माना जा सकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के आगमन तक यह नहीं कहा जा सकता था कि क्षमताएं स्वयं प्रणाली के भौतिक विन्यास का हिस्सा हैं। सटीक रूप से अनुमानित और प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित होने वाला सबसे पहला परिणाम अहरोनोव-बोहम प्रभाव था, जिसका कोई पारम्परिक समकक्ष नहीं है। फिर भी, इन सिद्धांतों में गेज स्वतंत्रता अभी भी सत्य है। उदाहरण के लिए, अहरोनोव-बोहम प्रभाव एक बंद कुंडली के चारों ओर A के [[रेखा अभिन्न|रेखा पूर्णांक]] पर निर्भर करता है, और यह पूर्णांक इसके द्वारा नहीं बदला जाता है

<math display="block">\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi\,.</math>

~~नॉन-एबेलियन गेज सिद्धांत में गेज फिक्सिंग | नॉन~~-एबेलियन गेज सिद्धांत, जैसे यांग-मिल्स सिद्धांत और [[सामान्य सापेक्षता]], एक अधिक जटिल विषय है; विवरण के लिए ग्रिबोव अस्पष्टता~~, फद्दीव~~-पोपोव ~~भूत~~ और [[फ्रेम बंडल]] देखें।

गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत, जैसे यांग-मिल्स सिद्धांत और [[सामान्य सापेक्षता]], अधिक जटिल विषय है; विवरण के लिए ग्रिबोव अस्पष्टता फैडडीव-पोपोव छाया और [[फ्रेम बंडल]] देखें।

=== एक उदाहरण ===

[[File:gauge.png|right|thumb|एक मुड़े हुए सिलेंडर का गेज फिक्सिंग। (ध्यान दें: लाइन सिलेंडर की सतह पर है, उसके अंदर नहीं।)]]गेज फिक्सिंग के उदाहरण के रूप में, एक बेलनाकार ~~रॉड~~ को देख सकते हैं और यह बताने का प्रयास कर सकते हैं कि यह मुड़ा हुआ है या नहीं। यदि छड़ पूरी तरह से बेलनाकार है, तो अनुप्रस्थ काट की गोलाकार समरूपता यह बताना असंभव बना देती है कि यह मुड़ी हुई है या नहीं। ~~हालाँकि~~, यदि छड़ की लंबाई के साथ एक सीधी रेखा खींची जाती, तो रेखा की स्थिति को देखकर यह आसानी से कहा जा सकता था कि कोई मोड़ है या नहीं। रेखा खींचना गेज फिक्सिंग है। रेखा खींचना गेज समरूपता को बिगाड़ता है, अर्थात छड़ के प्रत्येक बिंदु पर अनुप्रस्थ काट की वृत्ताकार समरूपता ~~U(1)।~~ रेखा गेज ~~फ़ंक्शन~~ के समतुल्य है; यह सीधा नहीं होना चाहिए। लगभग कोई भी लाइन वैध गेज फिक्सिंग है, ~~यानी, एक बड़ी गेज स्वतंत्रता है।~~ संक्षेप में, यह बताने के लिए कि क्या छड़ मुड़ी हुई है, ~~गेज ज्ञात होना चाहिए।~~ भौतिक मात्राएँ, जैसे कि ~~मरोड़ की~~ ऊर्जा, गेज पर निर्भर नहीं करती हैं, अर्थात वे गेज ~~इनवेरिएंट~~ हैं।

गेज फिक्सिंग के उदाहरण के रूप में, बेलनाकार छड़ को देख सकते हैं और यह बताने का प्रयास कर सकते हैं कि यह मुड़ा हुआ है या नहीं। यदि छड़ पूरी तरह से बेलनाकार है, तो अनुप्रस्थ काट की गोलाकार समरूपता यह बताना असंभव बना देती है कि यह मुड़ी हुई है या नहीं। यद्यपि, यदि छड़ की लंबाई के साथ एक सीधी रेखा खींची जाती, तो रेखा की स्थिति को देखकर यह आसानी से कहा जा सकता था कि कोई मोड़ है या नहीं। रेखा खींचना गेज फिक्सिंग है। रेखा खींचना गेज समरूपता को बिगाड़ता है, अर्थात छड़ के प्रत्येक बिंदु पर अनुप्रस्थ काट की वृत्ताकार समरूपता रेखा गेज फलन के समतुल्य है; यह सीधा नहीं होना चाहिए। लगभग कोई भी लाइन वैध गेज फिक्सिंग है, संक्षेप में, गेज ज्ञात होना चाहिए यह बताने के लिए कि क्या छड़ मुड़ी हुई है, भौतिक मात्राएँ, जैसे कि अपरूपण ऊर्जा, गेज पर निर्भर नहीं करती हैं, अर्थात वे अचर गेज हैं।

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== कूलम्ब गेज ==

=== कूलम्ब गेज ===

कूलम्ब गेज (जिसे ~~हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन #~~ अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है~~) का~~ उपयोग [[क्वांटम रसायन]] विज्ञान और [[संघनित पदार्थ भौतिकी]] में किया जाता है और इसे गेज स्थिति ~~(अधिक सटीक, गेज फिक्सिंग स्थिति)~~ द्वारा परिभाषित किया जाता है।

कूलम्ब गेज जिसे अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है, इसका उपयोग [[क्वांटम रसायन]] विज्ञान और [[संघनित पदार्थ भौतिकी]] में किया जाता है और इसे गेज स्थिति द्वारा परिभाषित किया जाता है।

<math display="block">\nabla\cdot{\mathbf A}(\mathbf{r},t)=0\,.</math>

यह क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-शास्त्रीय गणनाओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जिसमें ~~वेक्टर~~ क्षमता [[परिमाणीकरण (भौतिकी)]] है, लेकिन कूलम्ब ~~इंटरेक्शन~~ नहीं है।

यह क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-शास्त्रीय गणनाओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जिसमें सदिश क्षमता [[परिमाणीकरण (भौतिकी)|परिमाणीकरण]] है, लेकिन कूलम्ब सहभागिता नहीं है।

कूलम्ब गेज में कई गुण हैं:

{{ordered list

|1= संभावनाओं को क्षेत्रों और घनत्व के तात्कालिक मूल्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है ([[इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली]] में) M. {{!}}year=2003 {{!}}title=कूलॉम्ब गेज की वेक्टर क्षमता {{!}}journal=[[यूरोपियन जर्नल ऑफ फिजिक्स]]<nowiki> |वॉल्यूम=24 |issue=5 |pages=519–524 |doi=10.1088/0143-0807/24 /5/308 |बिबकोड = 2003EJPh...24..519S|s2cid=250880504 }}</nowiki></ref>

|1= इसे संभावनाओं के क्षेत्रों और घनत्व के तात्कालिक मूल्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

<math display="block"> \varphi(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int\frac{\mathbf{\rho}(\mathbf{r}',t)}{R} d^3\mathbf{r}'</math>

<math display="block"> \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \nabla \times\int\frac{ \mathbf{B}(\mathbf{r}',t)}{4\pi R} d^3\mathbf{r}'</math>

जहाँ {{math|''ρ''('''r''', ''t'')}} विद्युत आवेश घनत्व है, ~~<math>\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'</math> and <math>R = \left| \mathbf{R}\right| </math>~~ (~~where~~ '''r''' अंतरिक्ष में कोई स्थिति वेक्टर है और '''r'''′ आवेश या वर्तमान वितरण में एक बिंदु है), <math>\nabla</math> '''r''' और ''d''3 '''r''' पर संचालित होता ~~है [[एकीकरण और माप सिद्धांत विषयों की सूची|मात्रा तत्व]] '' पर 'r'''।~~

जहाँ {{math|''ρ''('''r''', ''t'')}} विद्युत आवेश घनत्व है, (जहाँ '''r''' अंतरिक्ष में कोई स्थिति वेक्टर है और '''r'''′ आवेश या वर्तमान वितरण में एक बिंदु है), <math>\nabla</math> '''r''' और ''d''3 '''r''' मात्रा तत्व r पर संचालित होता है।

इन संभावनाओं की तात्कालिक प्रकृति, पहली ~~नजर~~ में, [[कारण-~~कारण~~]] का उल्लंघन करने के लिए प्रकट होती है, क्योंकि विद्युत आवेश या चुंबकीय क्षेत्र की गति ~~हर जगह~~ संभावित परिवर्तन के रूप में तुरंत दिखाई देती है। यह ध्यान देने योग्य है कि ~~स्केलर~~ और ~~वेक्टर~~ क्षमताएं स्वयं आवेशों की गति को प्रभावित नहीं करती हैं, केवल उनके ~~डेरिवेटिव~~ के संयोजन जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ~~ताकत बनाते~~ हैं। यद्यपि ~~कोई~~ कूलम्ब गेज में स्पष्ट रूप से क्षेत्र की ~~ताकत~~ की गणना कर सकता है और प्रदर्शित कर सकता है कि उनमें परिवर्तन प्रकाश की गति से फैलता है, यह निरीक्षण करना बहुत आसान है कि क्षेत्र की ताकत गेज परिवर्तनों के ~~तहत अपरिवर्तित~~ होती है और स्पष्ट रूप से लोरेंत्ज़ सहसंयोजक लॉरेंज में कार्य-कारण का प्रदर्शन करती है। गेज नीचे वर्णित है।

इन संभावनाओं की तात्कालिक प्रकृति, पहली दृष्टि में, [[कारण-कार्य]] का उल्लंघन करने के लिए प्रकट होती है, क्योंकि विद्युत आवेश या चुंबकीय क्षेत्र की गति सभी स्थानों पर संभावित परिवर्तन के रूप में तुरंत दिखाई देती है। यह ध्यान देने योग्य है कि अदिश और सदिश क्षमताएं स्वयं आवेशों की गति को प्रभावित नहीं करती हैं, केवल उनके व्युत्पत्ति के संयोजन को विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की शक्ति बनाती हैं। यद्यपि कूलम्ब गेज में स्पष्ट रूप से क्षेत्र की s की गणना कर सकता है और प्रदर्शित कर सकता है कि उनमें परिवर्तन प्रकाश की गति से फैलता है, यह निरीक्षण करना बहुत आसान है कि क्षेत्र की ताकत गेज परिवर्तनों के अंतर्गत शक्ति परिवर्तित होती है और स्पष्ट रूप से लोरेंत्ज़ सहसंयोजक लॉरेंज में कार्य-कारण का प्रदर्शन करती है। गेज नीचे वर्णित है।

~~वेक्टर~~ क्षमता के लिए एक और अभिव्यक्ति, समय-मंद विद्युत प्रवाह घनत्व के संदर्भ में {{math|'''J'''('''r''', ''t'')}}, को प्राप्त किया गया ~~है होना~~: <~~रेफरी नाम~~ = ~~जैक्सन 2002~~> {{~~जर्नल उद्धृत करें~~ | ~~अंतिम~~ = ~~जैक्सन~~ | ~~पहला~~ = ~~जे।~~ D. |year=2002 |title=~~लॉरेन्ज़ से कूलम्ब और अन्य स्पष्ट गेज रूपांतरण~~ |journal=[[~~अमेरिकन जर्नल ऑफ़ फ़िज़िक्स~~]] |~~वॉल्यूम~~=70 |issue=9 |pages=917–928 |doi=10.1119/1.1491265 | arxiv = ~~Physics~~/0204034 |bibcode = 2002AmJPh..70..917J |s2cid=119652556 }}</ref>

सदिश क्षमता के लिए एक और अभिव्यक्ति, समय-मंद विद्युत प्रवाह घनत्व के संदर्भ में {{math|'''J'''('''r''', ''t'')}}, को प्राप्त किया गया है।:<ref name=Jackson2002>{{cite journal |last=Jackson |first=J. D. |year=2002 |title=From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations |journal=[[American Journal of Physics]] |volume=70 |issue=9 |pages=917–928 |doi=10.1119/1.1491265 |arxiv = physics/0204034 |bibcode = 2002AmJPh..70..917J |s2cid=119652556 }}</ref>

<math display="block"> \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \nabla\times\int \left[ \int_0^{R/c} \tau\, \frac{ { \mathbf{J}(\mathbf{r}', t- \tau)} \times { \mathbf{R } } }{R^3}\, d\tau \right] d^3\mathbf{r}' .</math>

|2= कूलम्ब गेज की स्थिति को बनाए रखने वाले और गेज परिवर्तन गेज कार्यों के साथ किए जा सकते हैं जो {{math|1='''∇'''2''ψ'' = 0}} ~~को संतुष्ट~~ करते हैं, ~~लेकिन~~ जैसा इस समीकरण का एकमात्र समाधान जो अनंत पर ~~गायब~~ हो जाता है ~~(जहां सभी क्षेत्रों को गायब होना आवश्यक है)~~ {{math|1=''ψ''('''r''', ''t'') = 0}} , कोई गेज की मनमानी नहीं रहती। इस वजह से, कूलम्ब गेज को एक पूर्ण गेज कहा जाता है, गेज के विपरीत जहां कुछ गेज की मनमानी बनी रहती है, जैसे नीचे लॉरेंज गेज।

|2= कूलम्ब गेज की स्थिति को बनाए रखने वाले और गेज परिवर्तन गेज कार्यों के साथ किए जा सकते हैं जो {{math|1='''∇'''2''ψ'' = 0}} का पालन करते हैं, परन्तु जैसा इस समीकरण का एकमात्र समाधान जो अनंत पर लुप्त हो जाता है {{math|1=''ψ''('''r''', ''t'') = 0}} , कोई गेज की मनमानी नहीं रहती। इस वजह से, कूलम्ब गेज को एक पूर्ण गेज कहा जाता है, गेज के विपरीत जहां कुछ गेज की मनमानी बनी रहती है, जैसे नीचे लॉरेंज गेज।

|3= कूलम्ब गेज इस अर्थ में एक न्यूनतम गेज है कि इस गेज के लिए '''A'''2 का ~~इंटीग्रल पूरे~~ स्थान पर न्यूनतम है: अन्य सभी गेज एक बड़ा ~~इंटीग्रल~~ देते हैं।<ref>{ {जर्नल उद्धृत करें |last1=गुबारेव |first1=F. V. |last2=Stodolsky |first2=L. |last3=ज़खारोव |first3=V. I. |year=2001 |title=~~वेक्टर पोटेंशियल~~ स्क्वेर्ड के महत्व पर |journal=[[भौतिक समीक्षा पत्र|Phys. Rev. Lett.]] |volume=86 |issue=11 |pages=2220–2222 |doi=10.1103/PhysRevLett.86.2220 |pmid=11289894 |arxiv = hep-ph/0010057 |bibcode = 2001PhRvL..86.2220G |s2cid =45172403 }}</ref> कूलम्ब गेज द्वारा दिया गया न्यूनतम मान है <math display="block"> \int \mathbf{A}^2(\mathbf{r}, t) d^3\mathbf{r} = \iint\frac {\mathbf{B}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{B}(\mathbf{r}', t)}{4\pi R} d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{r}'.</math>

|3= कूलम्ब गेज इस अर्थ में एक न्यूनतम गेज है कि इस गेज के लिए '''A'''2 का पूर्णांक सभी स्थान पर न्यूनतम है: अन्य सभी गेज एक बड़ा पूर्णांक देते हैं।<ref>{ {जर्नल उद्धृत करें |last1=गुबारेव |first1=F. V. |last2=Stodolsky |first2=L. |last3=ज़खारोव |first3=V. I. |year=2001 |title=अदिश क्षमता स्क्वेर्ड के महत्व पर |journal=[[भौतिक समीक्षा पत्र|Phys. Rev. Lett.]] |volume=86 |issue=11 |pages=2220–2222 |doi=10.1103/PhysRevLett.86.2220 |pmid=11289894 |arxiv = hep-ph/0010057 |bibcode = 2001PhRvL..86.2220G |s2cid =45172403 }}</ref> कूलम्ब गेज द्वारा दिया गया न्यूनतम मान है <math display="block"> \int \mathbf{A}^2(\mathbf{r}, t) d^3\mathbf{r} = \iint\frac {\mathbf{B}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{B}(\mathbf{r}', t)}{4\pi R} d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{r}'.</math>

|4= विद्युत आवेश से दूर के क्षेत्रों में अदिश विभव शून्य हो जाता है। इसे '''विकिरण गेज''' के रूप में जाना जाता है। [[विद्युत चुम्बकीय विकिरण]] को सबसे पहले इस गेज में परिमाणित किया गया था।

|4= विद्युत आवेश से दूर के क्षेत्रों में अदिश विभव शून्य हो जाता है। इसे '''विकिरण गेज''' के रूप में जाना जाता है। विद्युत चुम्बकीय विकिरण को सबसे पहले इस गेज में परिमाणित किया गया था।

|5= कूलम्ब गेज विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के विकास समीकरणों के एक संरक्षित वर्तमान के साथ बातचीत के एक प्राकृतिक हैमिल्टनियन फॉर्मूलेशन को स्वीकार करता है, जो सिद्धांत के परिमाणीकरण के लिए ~~एक फायदा~~ है। कूलम्ब गेज, ~~हालांकि~~, लोरेंत्ज़ सहसंयोजक नहीं है। यदि एक [[लोरेंत्ज़ परिवर्तन]] को एक नए जड़त्वीय ~~फ्रेम~~ में किया जाता है, तो कूलम्ब गेज की स्थिति को बनाए रखने के लिए एक और गेज परिवर्तन करना पड़ता है। इस वजह से, ~~Coulomb~~ गेज का उपयोग सहसंयोजक गड़बड़ी सिद्धांत में नहीं किया जाता है, जो सापेक्षतावादी [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] जैसे [[क्वांटम ~~इलेक्ट्रोडायनामिक्स]] (QED)~~ के उपचार के लिए मानक बन गया है। लोरेंत्ज़ सहसंयोजक गेज जैसे लोरेंज गेज ~~आमतौर पर~~ इन सिद्धांतों में उपयोग किए जाते हैं। गैर सहपरिवर्ती कूलम्ब गेज में क्यूईडी में भौतिक प्रक्रियाओं के आयाम सहपरिवर्ती लॉरेंज गेज के परिमाण से मेल खाते हैं।<ref>{{उद्धृत जर्नल | अंतिम = एडकिंस | पहले=ग्रेगरी एस. | शीर्षक = कूलम्ब-गेज QED के फेनमैन नियम और इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षण | जर्नल = भौतिक समीक्षा डी | प्रकाशक=अमेरिकन फिजिकल सोसायटी (एपीएस) | आयतन=36 | अंक = 6 | दिनांक=1987-09-15 | issn=0556-2821 | doi=10.1103/physrevd.36.1929 | पृष्ठ=1929–1932| पीएमआईडी=9958379}}</ref>

|5= कूलम्ब गेज विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के विकास समीकरणों के एक संरक्षित वर्तमान के साथ बातचीत के एक प्राकृतिक हैमिल्टनियन फॉर्मूलेशन को स्वीकार करता है, जो सिद्धांत के परिमाणीकरण के लिए लाभप्रद है। कूलम्ब गेज, यद्यपि, लोरेंत्ज़ सहसंयोजक नहीं है। यदि एक लोरेंत्ज़ परिवर्तन को एक नए जड़त्वीय पटल में स्थापित किया जाता है, तो कूलम्ब गेज की स्थिति को बनाए रखने के लिए एक और गेज परिवर्तन करना पड़ता है। इस वजह से, कूलम्ब गेज का उपयोग सहसंयोजक गड़बड़ी सिद्धांत में नहीं किया जाता है, जो सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जैसे क्वांटम वैद्युतगतिकी के उपचार के लिए मानक बन गया है। लोरेंत्ज़ सहसंयोजक गेज जैसे लोरेंज गेज सामान्यतः इन सिद्धांतों में उपयोग किए जाते हैं। गैर सहपरिवर्ती कूलम्ब गेज में क्यूईडी में भौतिक प्रक्रियाओं के आयाम सहपरिवर्ती लॉरेंज गेज के परिमाण से मेल खाते हैं।<ref>{{उद्धृत जर्नल | अंतिम = एडकिंस | पहले=ग्रेगरी एस. | शीर्षक = कूलम्ब-गेज QED के फेनमैन नियम और इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षण | जर्नल = भौतिक समीक्षा डी | प्रकाशक=अमेरिकन फिजिकल सोसायटी (एपीएस) | आयतन=36 | अंक = 6 | दिनांक=1987-09-15 | issn=0556-2821 | doi=10.1103/physrevd.36.1929 | पृष्ठ=1929–1932| पीएमआईडी=9958379}}</ref>

|6= एक समान और स्थिर चुंबकीय क्षेत्र '''बी''' के लिए कूलम्ब गेज में वेक्टर क्षमता को तथाकथित '''सममित गेज''' के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

<math display="block">{\mathbf A}(\mathbf{r},t)=-\frac{1}{2} \mathbf{r}\times \mathbf{B}</math>

साथ ही किसी भी अदिश क्षेत्र (गेज फ़ंक्शन) का ग्रेडिएंट, जिसकी पुष्टि '''A''' के div और curl की गणना करके की जा सकती है। अनंत पर '''ए''' का अपसरण अभौतिक धारणा का परिणाम है कि चुंबकीय क्षेत्र पूरे अंतरिक्ष में एक समान है। ~~हालांकि~~ यह ~~वेक्टर~~ क्षमता सामान्य रूप से अवास्तविक है, लेकिन यह अंतरिक्ष की सीमित मात्रा में क्षमता के लिए एक अच्छा सन्निकटन प्रदान कर सकती है जिसमें चुंबकीय क्षेत्र एक समान है।

साथ ही किसी भी अदिश क्षेत्र (गेज फ़ंक्शन) का ग्रेडिएंट, जिसकी पुष्टि '''A''' के div और curl की गणना करके की जा सकती है। अनंत पर '''ए''' का अपसरण अभौतिक धारणा का परिणाम है कि चुंबकीय क्षेत्र पूरे अंतरिक्ष में एक समान है। यद्यपि यह सदिश क्षमता सामान्य रूप से अवास्तविक है, लेकिन यह अंतरिक्ष की सीमित मात्रा में क्षमता के लिए एक अच्छा सन्निकटन प्रदान कर सकती है जिसमें चुंबकीय क्षेत्र एक समान है।

|7= उपरोक्त विचारों के परिणामस्वरूप, विद्युत चुम्बकीय क्षमता को विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के रूप में उनके सबसे सामान्य रूपों में व्यक्त किया जा सकता है

~~<math display="block"> \varphi(\mathbf~~{~~r},t) = \int\frac~~{~~\nabla~~'~~\cdot{\mathbf E}~~(~~\mathbf{~~r}',t)}~~{4\pi R~~}~~\operatorname{d}\!^3\mathbf{r}'~~-~~\frac{\partial{\psi(\mathbf{r}~~,t)}}~~{\partial t}</math>~~

जहां {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} एक यद्रिच्छिक अदिश क्षेत्र है जिसे गेज फलन कहा जाता है। विद्युत्कीय क्षेत्र जो वर्णों से व्युत्पन्न होते हैं, उन्हें गेज क्षेत्र के रूप में जाना जाता है और वर्णों से संबंधित क्षेत्र को गेज स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। एक गणना में जो सही तरीके से की जाती है, शुद्ध गैज शब्दों का किसी भौतिक अवलोकन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। एक मात्रा या अभिव्यंजना जो बंडल पर स्थित नहीं होती है, उसे गैर-भिन्न कहा जाता है: सभी भौतिक अवलोकनों को गैज अचर होना आवश्यक है। कूलाम्ब गैज से दूसरे गैज में गैज को एक विशिष्ट कूट के योग के रूप में ले लिया जाता है जो कि परिवर्तित हो जाता है और यद्रिच्छिक लॉगिन हो जाता है। यदि यद्रिच्छिक कार्य शून्य पर स्थित किया जाता है, तो गैज को स्थिर कहा जाता है। गणना एक निश्चित गैज में की जा सकती है।

}}

मीट्रिक प्रदर्शन = खंड > \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \nabla\times\int\frac{\mathbf{B}(\mathbf{r}',t)}{4\pi R }\operatorname{d}\!^3\mathbf{r}'+\nabla\psi(\mathbf{r},t)</math>

कहां {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} एक मनमाना अदिश क्षेत्र है जिसे गाजर कहा जाता है। फ़ील्ड जो दस्तावेज़ वर्णों के व्युत्पन्न होते हैं, उन्हें शुद्ध गेज फ़ील्ड के रूप में जाना जाता है और दस्तावेज़ वर्णों से संबंधित मन को गेज स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। एक गणना में जो सही तरीके से की जाती है, शुद्ध गैज शब्दों का किसी भौतिक अवलोकन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। एक मात्रा या अभिव्यंजना जो पैकेज पर टिकी हुई नहीं होती है, उसे गैर-भिन्न कहा जाता है: सभी भौतिक अवलोकनों को गैज इनवेरिएंट होना आवश्यक है। कूलाम्ब गैज से दूसरे गैज में गैज चेंज अजरेज को एक विशिष्ट पासवर्ड के योग के रूप में ले लिया जाता है जो कि चेंज हो जाता है और मनमाना लॉगिन हो जाता है। यदि मनमाना कार्य शून्य पर सेट किया जाता है, तो गैज को स्थिर कहा जाता है। गणना एक निश्चित गैज में की जा सकती है लेकिन गैज इनवेरिएंट के तरीकों से जानी जानी चाहिए।

}}

~~[[Category:All articles with unsourced statements]]~~

~~[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]~~

~~[[Category:Articles with unsourced statements from September 2015]]~~

~~[[Category:Collapse templates]]~~

~~[[Category:Created On 06/02/2023]]~~

~~[[Category:Machine Translated Page]]~~

~~[[Category:Navigational boxes| ]]~~

~~[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]~~

~~[[Category:Pages with broken file links]]~~

~~[[Category:Pages with math errors]]~~

== लॉरेंज गेज ==

{{See also|~~Covariant formulation of classical electromagnetism~~}}

एसआई इकाइयों में लॉरेंज गेज स्थिति दी गई है:

एसआई इकाइयों में लॉरेंज गेज की स्थिति दी गई है:

<math display="block">\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0</math>

और गॉसियन इकाइयों में:

<math display="block">\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0.</math>

इसे ~~फिर से~~ लिखा जा सकता है:

इसे पुनः लिखा जा सकता है:

<math display="block">\partial_{\mu} A^{\mu} = 0.</math>

~~कहाँ~~ <math>A^\mu = \left[\,\tfrac{1}{c}\varphi,\,\mathbf{A}\,\right]</math> विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है, ∂μ [[4-ढाल]] ~~[[[~~मीट्रिक हस्ताक्षर]] (+, −, −, −)] का उपयोग ~~करके।~~

जहाँ <math>A^\mu = \left[\,\tfrac{1}{c}\varphi,\,\mathbf{A}\,\right]</math> विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है, ∂μ [[4-ढाल]] मीट्रिक हस्ताक्षर (+, −, −, −)] का उपयोग करके

[[लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस]] को बनाए रखने में बाधा गेज के बीच यह अद्वितीय है। ~~हालाँकि, ध्यान दें कि~~ इस गेज का नाम मूल रूप से डेनिश भौतिक विज्ञानी [[लुडविग लॉरेंज]] के नाम पर रखा गया था न कि [[हेंड्रिक लोरेंत्ज़]] के नाम पर; इसे ~~अक्सर~~ लोरेंत्ज़ गेज की गलत वर्तनी दी जाती है। (गणना में इसका उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति भी नहीं थे; इसे 1888 में जॉर्ज फ्रांसिस फिट्जगेराल्ड ~~| जॉर्ज एफ. फिट्जगेराल्ड~~ द्वारा पेश किया गया था।)

[[लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस]] को बनाए रखने में बाधा गेज के बीच अद्वितीय है। यद्यपि इस गेज का नाम मूल रूप से डेनिश भौतिक विज्ञानी [[लुडविग लॉरेंज]] के नाम पर रखा गया था न कि [[हेंड्रिक लोरेंत्ज़]] के नाम पर; प्रायः इसे लोरेंत्ज़ गेज की गलत वर्तनी दी जाती है। गणना में इसका उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे; इसे 1888 में जॉर्ज फ्रांसिस फिट्जगेराल्ड द्वारा पेश कि

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गेज फिक्सिंग: Difference between revisions

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 [[गेज सिद्धांत]] भौतिकी में, गेज फिक्सिंग [[क्षेत्र (भौतिकी)|क्षेत्र]] चर में स्वतंत्रता की अनावश्यक डिग्री से तुलना  करने के लिए गणितीय प्रक्रिया को दर्शाता है। परिभाषा के अनुसार,गेज सिद्धांत प्रणाली के प्रत्येक भौतिक रूप से विशिष्ट संरूपण को विस्तृत स्थानीय क्षेत्र संरूपण के समतुल्य वर्ग के रूप में दर्शाता है। एक ही [[तुल्यता वर्ग]] में कोई भी दो विस्तृत विन्यास [[गेज परिवर्तन]] से संबंधित हैं और विन्यास स्थान में अभौतिक अक्षांसो के साथ [[समरूपता परिवर्तन]] के बराबर है। गेज सिद्धांत की अधिकांश मात्रात्मक भौतिक अनुमानों को केवल स्वतंत्रता की इन अभौतिक श्रेणी को दबाने या अनदेखा करने के लिए एक सुसंगत उपाय के अंतर्गत प्राप्त किया जा सकता है।
-यद्यपि विस्तृत विन्यास के स्थान में अभौतिक अक्षांश भौतिक प्रारूप की मौलिक संपत्ति हैं, इनके लिए लंबवत दिशाओं का कोई विशेष समुच्चय नहीं है। इसलिए एक ''विशेष'' विस्तृत विन्यास द्वारा प्रत्येक भौतिक विन्यास का प्रतिनिधित्व करने वाले अनुप्रस्थ काट के भारी मात्रा में स्वतंत्रता सम्मिलित है। विवेकपूर्ण गेज फिक्सिंग, गणनाओं को अत्यधिक सरल बना सकती है, लेकिन उत्तरोत्तर कठिन हो जाती है क्योंकि भौतिक प्रारूप अधिक यथार्थवादी हो जाता है; [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के लिए इसका अनुप्रयोग [[पुनर्सामान्यीकरण]] से संबंधित जटिलताओं से भरा होता है, विशेषतः जब गणना उच्च क्रम में जारी रहती है। ऐतिहासिक रूप से, [[तार्किक रूप से सुसंगत|तार्किक सुसंगत]] और अभिकलनीयतः ट्रैक्टेबल गेज फिक्सिंग प्रक्रियाओं की खोज, और विभिन्न प्रकार की तकनीकी कठिनाइयों के सामने उनकी समानता प्रदर्शित करने का प्रयास, उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से लेकर वर्तमान तक [[गणितीय भौतिकी]] का एक प्रमुख चालक रहा है।{{citation needed|date=September 2015}}
+यद्यपि विस्तृत विन्यास के स्थान में अभौतिक अक्षांश भौतिक प्रारूप की मौलिक संपत्ति हैं, इनके लिए लंबवत दिशाओं का कोई विशेष समुच्चय नहीं है। इसलिए एक ''विशेष'' विस्तृत विन्यास द्वारा प्रत्येक भौतिक विन्यास का प्रतिनिधित्व करने वाले अनुप्रस्थ काट के भारी मात्रा में स्वतंत्रता सम्मिलित है। विवेकपूर्ण गेज फिक्सिंग, गणनाओं को अत्यधिक सरल बना सकती है, लेकिन उत्तरोत्तर कठिन हो जाती है क्योंकि भौतिक प्रारूप अधिक यथार्थवादी हो जाता है; [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के लिए इसका अनुप्रयोग [[पुनर्सामान्यीकरण]] से संबंधित जटिलताओं से भरा होता है, विशेषतः जब गणना उच्च क्रम में जारी रहती है। ऐतिहासिक रूप से, [[तार्किक रूप से सुसंगत|तार्किक सुसंगत]] और अभिकलनीयतः ट्रैक्टेबल गेज फिक्सिंग प्रक्रियाओं की खोज, और विभिन्न प्रकार की तकनीकी कठिनाइयों के सामने उनकी समानता प्रदर्शित करने का प्रयास, उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से लेकर धारा तक [[गणितीय भौतिकी]] का एक प्रमुख चालक रहा है।
 === गेज स्वतंत्रता ===
-पुरातन गेज सिद्धांत एक [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता]] के संदर्भ में ओलिवर  [[योशिय्याह विलार्ड गिब्स|हेविसाइड-गिब्स]] की निरंतर [[बिजली का गतिविज्ञान|विद्युत् का गतिविज्ञान]] का सूत्रीकरण है, जिसे यहां अंतरिक्ष और समय असममित हीविसाइड संख्या में प्रस्तुत किया गया है , जिसे यहां अंतरिक्ष मैक्सवेल के समीकरणों के [[विद्युत क्षेत्र|विद्युत क्षेत्र  ई]] और [[चुंबकीय क्षेत्र]] बी में स्वतंत्रता की केवल भौतिक डिग्री होती है, इस अर्थ में  विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र विन्यास में स्वतंत्रता की प्रत्येक 'गणितीय' डिग्री के आसपास के क्षेत्र में परीक्षण आवेशों की गति पर अलग से मापने योग्य प्रभाव होता है। इन  क्षेत्र शक्ति चर विद्युत क्षमता p और चुंबकीय वेक्टर क्षमता A के माध्यम से व्यक्त किय जा सकता है। <math display="block">{\mathbf E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}\,, \quad {\mathbf B} = \nabla\times{\mathbf A}.</math>
+पुरातन गेज सिद्धांत [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता|विद्युत चुम्बकीय चर-क्षमता]] के संदर्भ में [[योशिय्याह विलार्ड गिब्स|हेविसाइड-गिब्स]] की निरंतर [[बिजली का गतिविज्ञान|विद्युत् गतिविज्ञान]] का सूत्रीकरण है, जिसे यहां अंतरिक्ष और समय के असममित हीविसाइड संख्या में प्रस्तुत किया गया है; अंतरिक्ष मैक्सवेल के समीकरणों के [[विद्युत क्षेत्र|विद्युतीय क्षेत्र '''ई''']] और [[चुंबकीय क्षेत्र]] '''बी''' में स्वतंत्रता की केवल भौतिक डिग्री होती है, इस अर्थ में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र विन्यास में स्वतंत्रता की प्रत्येक 'गणितीय' डिग्री के आसपास के क्षेत्र में परीक्षण आवेशों की गति पर अलग से मापने योग्य प्रभाव होता है। इन क्षेत्र शक्ति चर विद्युत क्षमता p और चुंबकीय सदिश क्षमता A के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। <math display="block">{\mathbf E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}\,, \quad {\mathbf B} = \nabla\times{\mathbf A}.</math>
 यदि परिवर्तन
 {{NumBlk||<math display="block">\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}+\nabla\psi</math>|{{EquationRef|1}}}}
-बना दिया जाता है, तब B अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि (पहचान के साथ <math>\nabla \times \nabla \psi = 0</math>)
+बना दिया जाता है, तब B अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि पहचान के साथ <math>\nabla \times \nabla \psi = 0</math>
 <math display="block">{\mathbf B} = \nabla\times ({\mathbf A}+ \nabla \psi) = \nabla\times{\mathbf A}.</math>
-हालाँकि, यह परिवर्तन E अनुसार बदलता है
+यद्यपि, यह परिवर्तन E के अनुसार बदलता है
 <math display="block">\mathbf E = -\nabla\varphi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t} - \nabla \frac{\partial{\psi}}{\partial t} = -\nabla \left( \varphi + \frac{\partial{\psi}}{\partial t}\right) - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}. </math>
 यदि कोई अन्य परिवर्तन
 {{NumBlk||<math display="block">\varphi\rightarrow\varphi - \frac{\partial{\psi}}{\partial t}</math>|{{EquationRef|2}}}}
-बना दिया जाता है तो E भी वही रहता है। इसलिए, यदि कोई कार्य करता है तो E और B क्षेत्र अपरिवर्तित रहते हैं {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} और साथ ही रूपांतरणों के माध्यम से A और ''φ'' को रूपांतरित करता है ({{EquationNote|1}}) और ({{EquationNote|2}}).
+बना दिया जाता है तो E भी वही रहता है। इसलिए, यदि कोई कार्य होता है तो E और B क्षेत्र अपरिवर्तित रहते हैं {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} और साथ ही रूपांतरणों के माध्यम से A और ''φ'' को रूपांतरित करता है।
-स्केलर और वेक्टर क्षमता का एक विशेष विकल्प गेज (अधिक सटीक, गेज क्षमता) है और गेज को बदलने के लिए उपयोग किए जाने वाले स्केलर फ़ंक्शन ''ψ'' को गेज फ़ंक्शन कहा जाता है। गेज कार्यों की मनमानी संख्या का अस्तित्व {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} इस सिद्धांत की यू(1) गेज स्वतंत्रता से मेल खाती है। गेज फिक्सिंग कई तरीकों से की जा सकती है, जिनमें से कुछ को हम नीचे प्रदर्शित कर रहे हैं।
+स्केलर और वेक्टर क्षमता का विशेष विकल्प, गेज क्षमता है और इसे परिवर्तित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अदिश फलन ''ψ'' को गेज फलन कहा जाता है। गेज कार्यों की मनमानी संख्या का अस्तित्व {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}}  सिद्धांत यू 1 गेज स्वतंत्रता से मेल खाती है। गेज फिक्सिंग कई तरीकों से की जा सकती है, जिनमें से कुछ को हम नीचे प्रदर्शित कर रहे हैं।
-हालांकि शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व को अब अक्सर गेज सिद्धांत के रूप में बोला जाता है, यह मूल रूप से इन शर्तों में नहीं माना गया था। शास्त्रीय बिंदु आवेश की गति केवल उस बिंदु पर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत से प्रभावित होती है, और संभावितों को कुछ सबूतों और गणनाओं को सरल बनाने के लिए केवल गणितीय उपकरण के रूप में माना जा सकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के आगमन तक यह नहीं कहा जा सकता था कि क्षमताएं स्वयं एक प्रणाली के भौतिक विन्यास का हिस्सा हैं। सटीक रूप से अनुमानित और प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित होने वाला सबसे पहला परिणाम अहरोनोव-बोहम प्रभाव था, जिसका कोई शास्त्रीय समकक्ष नहीं है। फिर भी, इन सिद्धांतों में गेज स्वतंत्रता अभी भी सत्य है। उदाहरण के लिए, अहरोनोव-बोहम प्रभाव एक बंद लूप के चारों ओर ए के [[रेखा अभिन्न]] पर निर्भर करता है, और यह इंटीग्रल इसके द्वारा नहीं बदला जाता है
+यद्यपि पारम्परिक विद्युत चुंबकत्व को अब प्रायः गेज सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जाता है, यह मूल रूप से इन शर्तों में नहीं माना गया था। पारम्परिक बिंदु आवेश की गति केवल उस बिंदु पर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति से प्रभावित होती है, और संभावितों को कुछ प्रमाणों और गणनाओं को सरल बनाने के लिए केवल गणितीय उपकरण के रूप में माना जा सकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के आगमन तक यह नहीं कहा जा सकता था कि क्षमताएं स्वयं प्रणाली के भौतिक विन्यास का हिस्सा हैं। सटीक रूप से अनुमानित और प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित होने वाला सबसे पहला परिणाम अहरोनोव-बोहम प्रभाव था, जिसका कोई पारम्परिक समकक्ष नहीं है। फिर भी, इन सिद्धांतों में गेज स्वतंत्रता अभी भी सत्य है। उदाहरण के लिए, अहरोनोव-बोहम प्रभाव एक बंद कुंडली के चारों ओर A के [[रेखा अभिन्न|रेखा पूर्णांक]] पर निर्भर करता है, और यह पूर्णांक इसके द्वारा नहीं बदला जाता है
- <math display="block">\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi\,.</math>
+<math display="block">\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi\,.</math>
-नॉन-एबेलियन गेज सिद्धांत में गेज फिक्सिंग | नॉन-एबेलियन गेज सिद्धांत, जैसे यांग-मिल्स सिद्धांत और [[सामान्य सापेक्षता]], एक अधिक जटिल विषय है; विवरण के लिए ग्रिबोव अस्पष्टता, फद्दीव-पोपोव भूत और [[फ्रेम बंडल]] देखें।
+गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत, जैसे यांग-मिल्स सिद्धांत और [[सामान्य सापेक्षता]], अधिक जटिल विषय है; विवरण के लिए ग्रिबोव अस्पष्टता फैडडीव-पोपोव छाया और [[फ्रेम बंडल]] देखें।
 === एक उदाहरण ===
-[[File:gauge.png|right|thumb|एक मुड़े हुए सिलेंडर का गेज फिक्सिंग। (ध्यान दें: लाइन सिलेंडर की सतह पर है, उसके अंदर नहीं।)]]गेज फिक्सिंग के उदाहरण के रूप में, एक बेलनाकार रॉड को देख सकते हैं और यह बताने का प्रयास कर सकते हैं कि यह मुड़ा हुआ है या नहीं। यदि छड़ पूरी तरह से बेलनाकार है, तो अनुप्रस्थ काट की गोलाकार समरूपता यह बताना असंभव बना देती है कि यह मुड़ी हुई है या नहीं। हालाँकि, यदि छड़ की लंबाई के साथ एक सीधी रेखा खींची जाती, तो रेखा की स्थिति को देखकर यह आसानी से कहा जा सकता था कि कोई मोड़ है या नहीं। रेखा खींचना गेज फिक्सिंग है। रेखा खींचना गेज समरूपता को बिगाड़ता है, अर्थात छड़ के प्रत्येक बिंदु पर अनुप्रस्थ काट की वृत्ताकार समरूपता U(1)। रेखा गेज फ़ंक्शन के समतुल्य है; यह सीधा नहीं होना चाहिए। लगभग कोई भी लाइन वैध गेज फिक्सिंग है, यानी, एक बड़ी गेज स्वतंत्रता है। संक्षेप में, यह बताने के लिए कि क्या छड़ मुड़ी हुई है, गेज ज्ञात होना चाहिए। भौतिक मात्राएँ, जैसे कि मरोड़ की ऊर्जा, गेज पर निर्भर नहीं करती हैं, अर्थात वे गेज इनवेरिएंट हैं।
+गेज फिक्सिंग के उदाहरण के रूप में, बेलनाकार छड़ को देख सकते हैं और यह बताने का प्रयास कर सकते हैं कि यह मुड़ा हुआ है या नहीं। यदि छड़ पूरी तरह से बेलनाकार है, तो अनुप्रस्थ काट की गोलाकार समरूपता यह बताना असंभव बना देती है कि यह मुड़ी हुई है या नहीं। यद्यपि, यदि छड़ की लंबाई के साथ एक सीधी रेखा खींची जाती, तो रेखा की स्थिति को देखकर यह आसानी से कहा जा सकता था कि कोई मोड़ है या नहीं। रेखा खींचना गेज फिक्सिंग है। रेखा खींचना गेज समरूपता को बिगाड़ता है, अर्थात छड़ के प्रत्येक बिंदु पर अनुप्रस्थ काट की वृत्ताकार समरूपता रेखा गेज फलन के समतुल्य है; यह सीधा नहीं होना चाहिए। लगभग कोई भी लाइन वैध गेज फिक्सिंग है,  संक्षेप में, गेज ज्ञात होना चाहिए यह बताने के लिए कि क्या छड़ मुड़ी हुई है, भौतिक मात्राएँ, जैसे कि अपरूपण ऊर्जा, गेज पर निर्भर नहीं करती हैं, अर्थात वे अचर गेज हैं।
+[[index.php?title=Category:Navigational boxes| ]]
-[[Category:All articles with unsourced statements]]
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-[[Category:Articles with unsourced statements from September 2015]]
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-[[Category:Machine Translated Page]]
-[[Category:Navigational boxes| ]]
-[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
-[[Category:Pages with broken file links]]
-[[Category:Pages with math errors]]
-== कूलम्ब गेज ==
+=== कूलम्ब गेज ===
-कूलम्ब गेज (जिसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन # अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग [[क्वांटम रसायन]] विज्ञान और [[संघनित पदार्थ भौतिकी]] में किया जाता है और इसे गेज स्थिति (अधिक सटीक, गेज फिक्सिंग स्थिति) द्वारा परिभाषित किया जाता है।
+कूलम्ब गेज जिसे अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है, इसका उपयोग [[क्वांटम रसायन]] विज्ञान और [[संघनित पदार्थ भौतिकी]] में किया जाता है और इसे गेज स्थिति द्वारा परिभाषित किया जाता है।
 <math display="block">\nabla\cdot{\mathbf A}(\mathbf{r},t)=0\,.</math>
-यह क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-शास्त्रीय गणनाओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जिसमें वेक्टर क्षमता [[परिमाणीकरण (भौतिकी)]] है, लेकिन कूलम्ब इंटरेक्शन नहीं है।
+यह क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-शास्त्रीय गणनाओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जिसमें सदिश क्षमता [[परिमाणीकरण (भौतिकी)|परिमाणीकरण]] है, लेकिन कूलम्ब सहभागिता नहीं है।
 कूलम्ब गेज में कई गुण हैं:
 {{ordered list
-|1= संभावनाओं को क्षेत्रों और घनत्व के तात्कालिक मूल्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है ([[इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली]] में) M. {{!}}year=2003 {{!}}title=कूलॉम्ब गेज की वेक्टर क्षमता {{!}}journal=[[यूरोपियन जर्नल ऑफ फिजिक्स]]<nowiki> |वॉल्यूम=24 |issue=5 |pages=519–524 |doi=10.1088/0143-0807/24 /5/308 |बिबकोड = 2003EJPh...24..519S|s2cid=250880504 }}</nowiki></ref>
+|1= इसे संभावनाओं के क्षेत्रों और घनत्व के तात्कालिक मूल्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है
 <math display="block"> \varphi(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int\frac{\mathbf{\rho}(\mathbf{r}',t)}{R} d^3\mathbf{r}'</math>
 <math display="block"> \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \nabla \times\int\frac{ \mathbf{B}(\mathbf{r}',t)}{4\pi R} d^3\mathbf{r}'</math>
-जहाँ {{math|''ρ''('''r''', ''t'')}} विद्युत आवेश घनत्व है, <math>\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'</math> and <math>R = \left| \mathbf{R}\right| </math> (where '''r''' अंतरिक्ष में कोई स्थिति वेक्टर है और '''r'''&prime; आवेश या वर्तमान वितरण में एक बिंदु है), <math>\nabla</math> '''r''' और ''d''<sup>3&nbsp;</sup>'''r''' पर संचालित होता है [[एकीकरण और माप सिद्धांत विषयों की सूची|मात्रा तत्व]] '' पर 'r'''।
+जहाँ {{math|''ρ''('''r''', ''t'')}} विद्युत आवेश घनत्व है,  (जहाँ  '''r''' अंतरिक्ष में कोई स्थिति वेक्टर है और '''r'''&prime; आवेश या वर्तमान वितरण में एक बिंदु है), <math>\nabla</math> '''r''' और ''d''<sup>3&nbsp;</sup>'''r''' मात्रा तत्व r पर संचालित होता है।
-इन संभावनाओं की तात्कालिक प्रकृति, पहली नजर में, [[कारण-कारण]] का उल्लंघन करने के लिए प्रकट होती है, क्योंकि विद्युत आवेश या चुंबकीय क्षेत्र की गति हर जगह संभावित परिवर्तन के रूप में तुरंत दिखाई देती है। यह ध्यान देने योग्य है कि स्केलर और वेक्टर क्षमताएं स्वयं आवेशों की गति को प्रभावित नहीं करती हैं, केवल उनके डेरिवेटिव के संयोजन जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ताकत बनाते हैं। यद्यपि कोई कूलम्ब गेज में स्पष्ट रूप से क्षेत्र की ताकत की गणना कर सकता है और प्रदर्शित कर सकता है कि उनमें परिवर्तन प्रकाश की गति से फैलता है, यह निरीक्षण करना बहुत आसान है कि क्षेत्र की ताकत गेज परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तित होती है और स्पष्ट रूप से लोरेंत्ज़ सहसंयोजक लॉरेंज में कार्य-कारण का प्रदर्शन करती है। गेज नीचे वर्णित है।
+इन संभावनाओं की तात्कालिक प्रकृति, पहली दृष्टि में, [[कारण-कार्य]] का उल्लंघन करने के लिए प्रकट होती है, क्योंकि विद्युत आवेश या चुंबकीय क्षेत्र की गति सभी स्थानों पर संभावित परिवर्तन के रूप में तुरंत दिखाई देती है। यह ध्यान देने योग्य है कि अदिश और सदिश क्षमताएं स्वयं आवेशों की गति को प्रभावित नहीं करती हैं, केवल उनके व्युत्पत्ति के संयोजन को  विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की शक्ति बनाती हैं। यद्यपि कूलम्ब गेज में स्पष्ट रूप से क्षेत्र की s की गणना कर सकता है और प्रदर्शित कर सकता है कि उनमें परिवर्तन प्रकाश की गति से फैलता है, यह निरीक्षण करना बहुत आसान है कि क्षेत्र की ताकत गेज परिवर्तनों के अंतर्गत शक्ति परिवर्तित होती है और स्पष्ट रूप से लोरेंत्ज़ सहसंयोजक लॉरेंज में कार्य-कारण का प्रदर्शन करती है। गेज नीचे वर्णित है।
-वेक्टर क्षमता के लिए एक और अभिव्यक्ति, समय-मंद विद्युत प्रवाह घनत्व के संदर्भ में {{math|'''J'''('''r''', ''t'')}}, को प्राप्त किया गया है होना: <रेफरी नाम = जैक्सन 2002> {{जर्नल उद्धृत करें | अंतिम = जैक्सन | पहला = जे। D. |year=2002 |title=लॉरेन्ज़ से कूलम्ब और अन्य स्पष्ट गेज रूपांतरण |journal=[[अमेरिकन जर्नल ऑफ़ फ़िज़िक्स]] |वॉल्यूम=70 |issue=9 |pages=917–928 |doi=10.1119/1.1491265 | arxiv = Physics/0204034 |bibcode = 2002AmJPh..70..917J |s2cid=119652556 }}</ref>
+सदिश क्षमता के लिए एक और अभिव्यक्ति, समय-मंद विद्युत प्रवाह घनत्व के संदर्भ में {{math|'''J'''('''r''', ''t'')}}, को प्राप्त किया गया है।:<ref name=Jackson2002>{{cite journal |last=Jackson |first=J. D. |year=2002 |title=From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations |journal=[[American Journal of Physics]] |volume=70 |issue=9 |pages=917–928 |doi=10.1119/1.1491265 |arxiv = physics/0204034 |bibcode = 2002AmJPh..70..917J |s2cid=119652556 }}</ref>
 <math display="block"> \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \nabla\times\int \left[ \int_0^{R/c} \tau\, \frac{ { \mathbf{J}(\mathbf{r}', t- \tau)} \times { \mathbf{R } } }{R^3}\, d\tau \right] d^3\mathbf{r}' .</math>
-|2= कूलम्ब गेज की स्थिति को बनाए रखने वाले और गेज परिवर्तन गेज कार्यों के साथ किए जा सकते हैं जो {{math|1='''∇'''<sup>2</sup>''ψ'' = 0}} को संतुष्ट करते हैं, लेकिन जैसा इस समीकरण का एकमात्र समाधान जो अनंत पर गायब हो जाता है (जहां सभी क्षेत्रों को गायब होना आवश्यक है) {{math|1=''ψ''('''r''', ''t'') = 0}} , कोई गेज की मनमानी नहीं रहती। इस वजह से, कूलम्ब गेज को एक पूर्ण गेज कहा जाता है, गेज के विपरीत जहां कुछ गेज की मनमानी बनी रहती है, जैसे नीचे लॉरेंज गेज।
+|2= कूलम्ब गेज की स्थिति को बनाए रखने वाले और गेज परिवर्तन गेज कार्यों के साथ किए जा सकते हैं जो {{math|1='''∇'''<sup>2</sup>''ψ'' = 0}} का पालन करते हैं, परन्तु जैसा इस समीकरण का एकमात्र समाधान जो अनंत पर लुप्त  हो जाता है {{math|1=''ψ''('''r''', ''t'') = 0}} , कोई गेज की मनमानी नहीं रहती। इस वजह से, कूलम्ब गेज को एक पूर्ण गेज कहा जाता है, गेज के विपरीत जहां कुछ गेज की मनमानी बनी रहती है, जैसे नीचे लॉरेंज गेज।
-|3= कूलम्ब गेज इस अर्थ में एक न्यूनतम गेज है कि इस गेज के लिए '''A'''<sup>2</sup> का इंटीग्रल पूरे स्थान पर न्यूनतम है: अन्य सभी गेज एक बड़ा इंटीग्रल देते हैं।<ref>{ {जर्नल उद्धृत करें |last1=गुबारेव |first1=F. V. |last2=Stodolsky |first2=L. |last3=ज़खारोव |first3=V. I. |year=2001 |title=वेक्टर पोटेंशियल स्क्वेर्ड के महत्व पर |journal=[[भौतिक समीक्षा पत्र|Phys. Rev. Lett.]] |volume=86 |issue=11 |pages=2220–2222 |doi=10.1103/PhysRevLett.86.2220 |pmid=11289894 |arxiv = hep-ph/0010057 |bibcode = 2001PhRvL..86.2220G |s2cid =45172403 }}</ref> कूलम्ब गेज द्वारा दिया गया न्यूनतम मान है <math display="block"> \int \mathbf{A}^2(\mathbf{r}, t) d^3\mathbf{r} = \iint\frac {\mathbf{B}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{B}(\mathbf{r}', t)}{4\pi R} d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{r}'.</math>
+|3= कूलम्ब गेज इस अर्थ में एक न्यूनतम गेज है कि इस गेज के लिए '''A'''<sup>2</sup> का पूर्णांक सभी स्थान पर न्यूनतम है: अन्य सभी गेज एक बड़ा पूर्णांक देते हैं।<ref>{ {जर्नल उद्धृत करें |last1=गुबारेव |first1=F. V. |last2=Stodolsky |first2=L. |last3=ज़खारोव |first3=V. I. |year=2001 |title=अदिश क्षमता स्क्वेर्ड के महत्व पर |journal=[[भौतिक समीक्षा पत्र|Phys. Rev. Lett.]] |volume=86 |issue=11 |pages=2220–2222 |doi=10.1103/PhysRevLett.86.2220 |pmid=11289894 |arxiv = hep-ph/0010057 |bibcode = 2001PhRvL..86.2220G |s2cid =45172403 }}</ref> कूलम्ब गेज द्वारा दिया गया न्यूनतम मान है <math display="block"> \int \mathbf{A}^2(\mathbf{r}, t) d^3\mathbf{r} = \iint\frac {\mathbf{B}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{B}(\mathbf{r}', t)}{4\pi R} d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{r}'.</math>
-|4= विद्युत आवेश से दूर के क्षेत्रों में अदिश विभव शून्य हो जाता है। इसे '''विकिरण गेज''' के रूप में जाना जाता है। [[विद्युत चुम्बकीय विकिरण]] को सबसे पहले इस गेज में परिमाणित किया गया था।
+|4= विद्युत आवेश से दूर के क्षेत्रों में अदिश विभव शून्य हो जाता है। इसे '''विकिरण गेज''' के रूप में जाना जाता है। विद्युत चुम्बकीय विकिरण को सबसे पहले इस गेज में परिमाणित किया गया था।
-|5= कूलम्ब गेज विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के विकास समीकरणों के एक संरक्षित वर्तमान के साथ बातचीत के एक प्राकृतिक हैमिल्टनियन फॉर्मूलेशन को स्वीकार करता है, जो सिद्धांत के परिमाणीकरण के लिए एक फायदा है। कूलम्ब गेज, हालांकि, लोरेंत्ज़ सहसंयोजक नहीं है। यदि एक [[लोरेंत्ज़ परिवर्तन]] को एक नए जड़त्वीय फ्रेम में किया जाता है, तो कूलम्ब गेज की स्थिति को बनाए रखने के लिए एक और गेज परिवर्तन करना पड़ता है। इस वजह से, Coulomb गेज का उपयोग सहसंयोजक गड़बड़ी सिद्धांत में नहीं किया जाता है, जो सापेक्षतावादी [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] जैसे [[क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स]] (QED) के उपचार के लिए मानक बन गया है। लोरेंत्ज़ सहसंयोजक गेज जैसे लोरेंज गेज आमतौर पर इन सिद्धांतों में उपयोग किए जाते हैं। गैर सहपरिवर्ती कूलम्ब गेज में क्यूईडी में भौतिक प्रक्रियाओं के आयाम सहपरिवर्ती लॉरेंज गेज के परिमाण से मेल खाते हैं।<ref>{{उद्धृत जर्नल | अंतिम = एडकिंस | पहले=ग्रेगरी एस. | शीर्षक = कूलम्ब-गेज QED के फेनमैन नियम और इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षण | जर्नल = भौतिक समीक्षा डी | प्रकाशक=अमेरिकन फिजिकल सोसायटी (एपीएस) | आयतन=36 | अंक = 6 | दिनांक=1987-09-15 | issn=0556-2821 | doi=10.1103/physrevd.36.1929 | पृष्ठ=1929–1932| पीएमआईडी=9958379}}</ref>
+|5= कूलम्ब गेज विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के विकास समीकरणों के एक संरक्षित वर्तमान के साथ बातचीत के एक प्राकृतिक हैमिल्टनियन फॉर्मूलेशन को स्वीकार करता है, जो सिद्धांत के परिमाणीकरण के लिए लाभप्रद है। कूलम्ब गेज, यद्यपि, लोरेंत्ज़ सहसंयोजक नहीं है। यदि एक लोरेंत्ज़ परिवर्तन को एक नए जड़त्वीय पटल में स्थापित किया जाता है, तो कूलम्ब गेज की स्थिति को बनाए रखने के लिए एक और गेज परिवर्तन करना पड़ता है। इस वजह से, कूलम्ब गेज का उपयोग सहसंयोजक गड़बड़ी सिद्धांत में नहीं किया जाता है, जो सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जैसे क्वांटम वैद्युतगतिकी के उपचार के लिए मानक बन गया है। लोरेंत्ज़ सहसंयोजक गेज जैसे लोरेंज गेज सामान्यतः इन सिद्धांतों में उपयोग किए जाते हैं। गैर सहपरिवर्ती कूलम्ब गेज में क्यूईडी में भौतिक प्रक्रियाओं के आयाम सहपरिवर्ती लॉरेंज गेज के परिमाण से मेल खाते हैं।<ref>{{उद्धृत जर्नल | अंतिम = एडकिंस | पहले=ग्रेगरी एस. | शीर्षक = कूलम्ब-गेज QED के फेनमैन नियम और इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षण | जर्नल = भौतिक समीक्षा डी | प्रकाशक=अमेरिकन फिजिकल सोसायटी (एपीएस) | आयतन=36 | अंक = 6 | दिनांक=1987-09-15 | issn=0556-2821 | doi=10.1103/physrevd.36.1929 | पृष्ठ=1929–1932| पीएमआईडी=9958379}}</ref>
 |6= एक समान और स्थिर चुंबकीय क्षेत्र '''बी''' के लिए कूलम्ब गेज में वेक्टर क्षमता को तथाकथित '''सममित गेज''' के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 <math display="block">{\mathbf A}(\mathbf{r},t)=-\frac{1}{2} \mathbf{r}\times \mathbf{B}</math>
-साथ ही किसी भी अदिश क्षेत्र (गेज फ़ंक्शन) का ग्रेडिएंट, जिसकी पुष्टि '''A''' के div और curl की गणना करके की जा सकती है। अनंत पर '''ए''' का अपसरण अभौतिक धारणा का परिणाम है कि चुंबकीय क्षेत्र पूरे अंतरिक्ष में एक समान है। हालांकि यह वेक्टर क्षमता सामान्य रूप से अवास्तविक है, लेकिन यह अंतरिक्ष की सीमित मात्रा में क्षमता के लिए एक अच्छा सन्निकटन प्रदान कर सकती है जिसमें चुंबकीय क्षेत्र एक समान है।
+साथ ही किसी भी अदिश क्षेत्र (गेज फ़ंक्शन) का ग्रेडिएंट, जिसकी पुष्टि '''A''' के div और curl की गणना करके की जा सकती है। अनंत पर '''ए''' का अपसरण अभौतिक धारणा का परिणाम है कि चुंबकीय क्षेत्र पूरे अंतरिक्ष में एक समान है। यद्यपि यह सदिश क्षमता सामान्य रूप से अवास्तविक है, लेकिन यह अंतरिक्ष की सीमित मात्रा में क्षमता के लिए एक अच्छा सन्निकटन प्रदान कर सकती है जिसमें चुंबकीय क्षेत्र एक समान है।
 |7= उपरोक्त विचारों के परिणामस्वरूप, विद्युत चुम्बकीय क्षमता को विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के रूप में उनके सबसे सामान्य रूपों में व्यक्त किया जा सकता है
-<math display="block"> \varphi(\mathbf{r},t) = \int\frac{\nabla'\cdot{\mathbf E}(\mathbf{r}',t)}{4\pi R}\operatorname{d}\!^3\mathbf{r}'-\frac{\partial{\psi(\mathbf{r},t)}}{\partial t}</math>
+जहां {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} एक यद्रिच्छिक अदिश क्षेत्र है जिसे  गेज फलन कहा जाता है। विद्युत्कीय क्षेत्र जो वर्णों से व्युत्पन्न होते हैं, उन्हें गेज क्षेत्र के रूप में जाना जाता है और वर्णों से संबंधित क्षेत्र को गेज स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। एक गणना में जो सही तरीके से की जाती है, शुद्ध गैज शब्दों का किसी भौतिक अवलोकन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। एक मात्रा या अभिव्यंजना जो बंडल पर स्थित नहीं होती है, उसे गैर-भिन्न कहा जाता है: सभी भौतिक अवलोकनों को गैज अचर होना आवश्यक है। कूलाम्ब गैज से दूसरे गैज में गैज को एक विशिष्ट कूट के योग के रूप में ले लिया जाता है जो कि परिवर्तित हो जाता है और यद्रिच्छिक लॉगिन हो जाता है। यदि यद्रिच्छिक कार्य शून्य पर स्थित किया जाता है, तो गैज को स्थिर कहा जाता है। गणना एक निश्चित गैज में की जा सकती है।
+}}
-मीट्रिक प्रदर्शन = खंड > \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \nabla\times\int\frac{\mathbf{B}(\mathbf{r}',t)}{4\pi R }\operatorname{d}\!^3\mathbf{r}'+\nabla\psi(\mathbf{r},t)</math>
-कहां {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} एक मनमाना अदिश क्षेत्र है जिसे गाजर कहा जाता है। फ़ील्ड जो दस्तावेज़ वर्णों के व्युत्पन्न होते हैं, उन्हें शुद्ध गेज फ़ील्ड के रूप में जाना जाता है और दस्तावेज़ वर्णों से संबंधित मन को गेज स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। एक गणना में जो सही तरीके से की जाती है, शुद्ध गैज शब्दों का किसी भौतिक अवलोकन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। एक मात्रा या अभिव्यंजना जो पैकेज पर टिकी हुई नहीं होती है, उसे गैर-भिन्न कहा जाता है: सभी भौतिक अवलोकनों को गैज इनवेरिएंट होना आवश्यक है। कूलाम्ब गैज से दूसरे गैज में गैज चेंज अजरेज को एक विशिष्ट पासवर्ड के योग के रूप में ले लिया जाता है जो कि चेंज हो जाता है और मनमाना लॉगिन हो जाता है। यदि मनमाना कार्य शून्य पर सेट किया जाता है, तो गैज को स्थिर कहा जाता है। गणना एक निश्चित गैज में की जा सकती है लेकिन गैज इनवेरिएंट के तरीकों से जानी जानी चाहिए।
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 == लॉरेंज गेज ==
-{{See also|Covariant formulation of classical electromagnetism}}
+{{See also|चिरसम्मत विद्युत चुंबकत्व का सहपरिवर्ती सूत्रीकरण}}
-एसआई इकाइयों में लॉरेंज गेज स्थिति दी गई है:
+एसआई इकाइयों में लॉरेंज गेज की  स्थिति दी गई है:
 <math display="block">\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0</math>
 और गॉसियन इकाइयों में:
 <math display="block">\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0.</math>
-इसे फिर से लिखा जा सकता है:
+इसे पुनः  लिखा जा सकता है:
 <math display="block">\partial_{\mu} A^{\mu} = 0.</math>
-कहाँ <math>A^\mu = \left[\,\tfrac{1}{c}\varphi,\,\mathbf{A}\,\right]</math> विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है, ∂<sub>μ</sub> [[4-ढाल]] [[[मीट्रिक हस्ताक्षर]] (+, −, −, −)] का उपयोग करके।
+जहाँ  <math>A^\mu = \left[\,\tfrac{1}{c}\varphi,\,\mathbf{A}\,\right]</math> विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है, ∂<sub>μ</sub> [[4-ढाल]] मीट्रिक हस्ताक्षर (+, −, −, −)] का उपयोग करके
-[[लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस]] को बनाए रखने में बाधा गेज के बीच यह अद्वितीय है। हालाँकि, ध्यान दें कि इस गेज का नाम मूल रूप से डेनिश भौतिक विज्ञानी [[लुडविग लॉरेंज]] के नाम पर रखा गया था न कि [[हेंड्रिक लोरेंत्ज़]] के नाम पर; इसे अक्सर लोरेंत्ज़ गेज की गलत वर्तनी दी जाती है। (गणना में इसका उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति भी नहीं थे; इसे 1888 में जॉर्ज फ्रांसिस फिट्जगेराल्ड | जॉर्ज एफ. फिट्जगेराल्ड द्वारा पेश किया गया था।)
+[[लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस]] को बनाए रखने में बाधा गेज के बीच अद्वितीय है। यद्यपि इस गेज का नाम मूल रूप से डेनिश भौतिक विज्ञानी [[लुडविग लॉरेंज]] के नाम पर रखा गया था न कि [[हेंड्रिक लोरेंत्ज़]] के नाम पर; प्रायः इसे  लोरेंत्ज़ गेज की गलत वर्तनी दी जाती है। गणना में इसका उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे; इसे 1888 में जॉर्ज फ्रांसिस फिट्जगेराल्ड  द्वारा पेश कि