गेज फिक्सिंग: Difference between revisions

From Vigyanwiki
(Created page with "{{Short description|Procedure of coping with redundant degrees of freedom in physical field theories}} {{Electromagnetism}} {{Quantum field theory}} गेज सिद्...")
 
No edit summary
 
(32 intermediate revisions by 6 users not shown)
Line 2: Line 2:
{{Electromagnetism}}
{{Electromagnetism}}
{{Quantum field theory}}
{{Quantum field theory}}
[[गेज सिद्धांत]] के भौतिकी में, गेज फिक्सिंग (जिसे गेज चुनना भी कहा जाता है) [[क्षेत्र (भौतिकी)]] चर में स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की अनावश्यक डिग्री से मुकाबला करने के लिए एक गणितीय प्रक्रिया को दर्शाता है। परिभाषा के अनुसार, एक गेज सिद्धांत सिस्टम के प्रत्येक भौतिक रूप से विशिष्ट कॉन्फ़िगरेशन को विस्तृत स्थानीय फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन के समतुल्य वर्ग के रूप में दर्शाता है। एक ही [[तुल्यता वर्ग]] में कोई भी दो विस्तृत विन्यास एक [[गेज परिवर्तन]] से संबंधित हैं, विन्यास स्थान में अभौतिक अक्षों के साथ एक [[समरूपता परिवर्तन]] के बराबर है। एक गेज सिद्धांत की अधिकांश मात्रात्मक भौतिक भविष्यवाणियों को केवल स्वतंत्रता की इन अभौतिक डिग्री को दबाने या अनदेखा करने के लिए एक सुसंगत नुस्खे के तहत प्राप्त किया जा सकता है।
[[गेज सिद्धांत]] भौतिकी में, गेज फिक्सिंग [[क्षेत्र (भौतिकी)|क्षेत्र]] चर में स्वतंत्रता की अनावश्यक डिग्री से तुलना  करने के लिए गणितीय प्रक्रिया को दर्शाता है। परिभाषा के अनुसार,गेज सिद्धांत प्रणाली के प्रत्येक भौतिक रूप से विशिष्ट संरूपण को विस्तृत स्थानीय क्षेत्र संरूपण के समतुल्य वर्ग के रूप में दर्शाता है। एक ही [[तुल्यता वर्ग]] में कोई भी दो विस्तृत विन्यास [[गेज परिवर्तन]] से संबंधित हैं और विन्यास स्थान में अभौतिक अक्षांसो के साथ [[समरूपता परिवर्तन]] के बराबर है। गेज सिद्धांत की अधिकांश मात्रात्मक भौतिक अनुमानों को केवल स्वतंत्रता की इन अभौतिक श्रेणी को दबाने या अनदेखा करने के लिए एक सुसंगत उपाय के अंतर्गत प्राप्त किया जा सकता है।


यद्यपि विस्तृत विन्यास के स्थान में अभौतिक कुल्हाड़ियों भौतिक मॉडल की एक मौलिक संपत्ति हैं, उनके लिए लंबवत दिशाओं का कोई विशेष सेट नहीं है। इसलिए एक ''विशेष'' विस्तृत विन्यास (या यहां तक ​​कि उनका भारित वितरण) द्वारा प्रत्येक भौतिक विन्यास का प्रतिनिधित्व करने वाले क्रॉस सेक्शन को लेने में भारी मात्रा में स्वतंत्रता शामिल है। विवेकपूर्ण गेज फिक्सिंग गणनाओं को अत्यधिक सरल बना सकती है, लेकिन उत्तरोत्तर कठिन हो जाती है क्योंकि भौतिक मॉडल अधिक यथार्थवादी हो जाता है; [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के लिए इसका अनुप्रयोग [[पुनर्सामान्यीकरण]] से संबंधित जटिलताओं से भरा हुआ है, खासकर जब संगणना को उच्च पर्टुरेटिव विस्तार के लिए जारी रखा जाता है। ऐतिहासिक रूप से, [[तार्किक रूप से सुसंगत]] और कम्प्यूटेशनल रूप से ट्रैक्टेबल गेज फिक्सिंग प्रक्रियाओं की खोज, और विभिन्न प्रकार की तकनीकी कठिनाइयों के सामने उनकी समानता प्रदर्शित करने का प्रयास, उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से लेकर वर्तमान तक [[गणितीय भौतिकी]] का एक प्रमुख चालक रहा है।{{citation needed|date=September 2015}}
यद्यपि विस्तृत विन्यास के स्थान में अभौतिक अक्षांश भौतिक प्रारूप की मौलिक संपत्ति हैं, इनके लिए लंबवत दिशाओं का कोई विशेष समुच्चय नहीं है। इसलिए एक ''विशेष'' विस्तृत विन्यास द्वारा प्रत्येक भौतिक विन्यास का प्रतिनिधित्व करने वाले अनुप्रस्थ काट के भारी मात्रा में स्वतंत्रता सम्मिलित है। विवेकपूर्ण गेज फिक्सिंग, गणनाओं को अत्यधिक सरल बना सकती है, लेकिन उत्तरोत्तर कठिन हो जाती है क्योंकि भौतिक प्रारूप अधिक यथार्थवादी हो जाता है; [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के लिए इसका अनुप्रयोग [[पुनर्सामान्यीकरण]] से संबंधित जटिलताओं से भरा होता है, विशेषतः जब गणना उच्च क्रम में जारी रहती है। ऐतिहासिक रूप से, [[तार्किक रूप से सुसंगत|तार्किक सुसंगत]] और अभिकलनीयतः ट्रैक्टेबल गेज फिक्सिंग प्रक्रियाओं की खोज, और विभिन्न प्रकार की तकनीकी कठिनाइयों के सामने उनकी समानता प्रदर्शित करने का प्रयास, उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से लेकर धारा तक [[गणितीय भौतिकी]] का एक प्रमुख चालक रहा है।




== गेज स्वतंत्रता ==
 
आर्किटेपिकल गेज सिद्धांत एक [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता]] के संदर्भ में ओलिवर [[योशिय्याह विलार्ड गिब्स]] की निरंतर [[बिजली का गतिविज्ञान]] का सूत्रीकरण है, जो यहां अंतरिक्ष / समय असममित हीविसाइड नोटेशन में प्रस्तुत किया गया है। मैक्सवेल के समीकरणों के [[विद्युत क्षेत्र]] ई और [[चुंबकीय क्षेत्र]] बी में स्वतंत्रता की केवल भौतिक डिग्री होती है, इस अर्थ में कि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र विन्यास में स्वतंत्रता की प्रत्येक 'गणितीय' डिग्री का आसपास के क्षेत्र में परीक्षण आवेशों की गति पर अलग से मापने योग्य प्रभाव होता है। . ये क्षेत्र शक्ति चर विद्युत क्षमता के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं <math>\varphi</math> और संबंधों के माध्यम से चुंबकीय सदिश क्षमता A:
=== गेज स्वतंत्रता ===
<math display="block">{\mathbf E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}\,, \quad {\mathbf B} = \nabla\times{\mathbf A}.</math>
पुरातन गेज सिद्धांत [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता|विद्युत चुम्बकीय चर-क्षमता]] के संदर्भ में [[योशिय्याह विलार्ड गिब्स|हेविसाइड-गिब्स]] की निरंतर [[बिजली का गतिविज्ञान|विद्युत् गतिविज्ञान]] का सूत्रीकरण है, जिसे यहां अंतरिक्ष और समय के असममित हीविसाइड संख्या में प्रस्तुत किया गया है; अंतरिक्ष मैक्सवेल के समीकरणों के [[विद्युत क्षेत्र|विद्युतीय क्षेत्र '''ई''']] और [[चुंबकीय क्षेत्र]] '''बी''' में स्वतंत्रता की केवल भौतिक डिग्री होती है, इस अर्थ में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र विन्यास में स्वतंत्रता की प्रत्येक 'गणितीय' डिग्री के आसपास के क्षेत्र में परीक्षण आवेशों की गति पर अलग से मापने योग्य प्रभाव होता है। इन क्षेत्र शक्ति चर विद्युत क्षमता p और चुंबकीय सदिश क्षमता A के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। <math display="block">{\mathbf E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}\,, \quad {\mathbf B} = \nabla\times{\mathbf A}.</math>
यदि परिवर्तन
यदि परिवर्तन
{{NumBlk||<math display="block">\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}+\nabla\psi</math>|{{EquationRef|1}}}}
{{NumBlk||<math display="block">\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}+\nabla\psi</math>|{{EquationRef|1}}}}
बना दिया जाता है, तब B अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि (पहचान के साथ <math>\nabla \times \nabla \psi = 0</math>)
बना दिया जाता है, तब B अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि पहचान के साथ <math>\nabla \times \nabla \psi = 0</math>
<math display="block">{\mathbf B} = \nabla\times ({\mathbf A}+ \nabla \psi) = \nabla\times{\mathbf A}.</math>
<math display="block">{\mathbf B} = \nabla\times ({\mathbf A}+ \nabla \psi) = \nabla\times{\mathbf A}.</math>
हालाँकि, यह परिवर्तन E अनुसार बदलता है
यद्यपि, यह परिवर्तन E के अनुसार बदलता है
<math display="block">\mathbf E = -\nabla\varphi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t} - \nabla \frac{\partial{\psi}}{\partial t} = -\nabla \left( \varphi + \frac{\partial{\psi}}{\partial t}\right) - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}. </math>
<math display="block">\mathbf E = -\nabla\varphi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t} - \nabla \frac{\partial{\psi}}{\partial t} = -\nabla \left( \varphi + \frac{\partial{\psi}}{\partial t}\right) - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}. </math>
यदि कोई अन्य परिवर्तन
यदि कोई अन्य परिवर्तन
{{NumBlk||<math display="block">\varphi\rightarrow\varphi - \frac{\partial{\psi}}{\आंशिक t}</math>|{{EquationRef|2}}}}
{{NumBlk||<math display="block">\varphi\rightarrow\varphi - \frac{\partial{\psi}}{\partial t}</math>|{{EquationRef|2}}}}
बना दिया जाता है तो E भी वही रहता है। इसलिए, यदि कोई कार्य करता है तो E और B क्षेत्र अपरिवर्तित रहते हैं {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} और साथ ही रूपांतरणों के माध्यम से A और ''φ'' को रूपांतरित करता है ({{EquationNote|1}}) और ({{EquationNote|2}}).
बना दिया जाता है तो E भी वही रहता है। इसलिए, यदि कोई कार्य होता है तो E और B क्षेत्र अपरिवर्तित रहते हैं {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} और साथ ही रूपांतरणों के माध्यम से A और ''φ'' को रूपांतरित करता है।


स्केलर और वेक्टर क्षमता का एक विशेष विकल्प गेज (अधिक सटीक, गेज क्षमता) है और गेज को बदलने के लिए उपयोग किए जाने वाले स्केलर फ़ंक्शन ''ψ'' को गेज फ़ंक्शन कहा जाता है। गेज कार्यों की मनमानी संख्या का अस्तित्व {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} इस सिद्धांत की यू(1) गेज स्वतंत्रता से मेल खाती है। गेज फिक्सिंग कई तरीकों से की जा सकती है, जिनमें से कुछ को हम नीचे प्रदर्शित कर रहे हैं।
स्केलर और वेक्टर क्षमता का विशेष विकल्प, गेज क्षमता है और इसे परिवर्तित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अदिश फलन ''ψ'' को गेज फलन कहा जाता है। गेज कार्यों की मनमानी संख्या का अस्तित्व {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} सिद्धांत यू 1 गेज स्वतंत्रता से मेल खाती है। गेज फिक्सिंग कई तरीकों से की जा सकती है, जिनमें से कुछ को हम नीचे प्रदर्शित कर रहे हैं।


हालांकि शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व को अब अक्सर गेज सिद्धांत के रूप में बोला जाता है, यह मूल रूप से इन शर्तों में नहीं माना गया था। शास्त्रीय बिंदु आवेश की गति केवल उस बिंदु पर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत से प्रभावित होती है, और संभावितों को कुछ सबूतों और गणनाओं को सरल बनाने के लिए केवल गणितीय उपकरण के रूप में माना जा सकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के आगमन तक यह नहीं कहा जा सकता था कि क्षमताएं स्वयं एक प्रणाली के भौतिक विन्यास का हिस्सा हैं। सटीक रूप से अनुमानित और प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित होने वाला सबसे पहला परिणाम अहरोनोव-बोहम प्रभाव था, जिसका कोई शास्त्रीय समकक्ष नहीं है। फिर भी, इन सिद्धांतों में गेज स्वतंत्रता अभी भी सत्य है। उदाहरण के लिए, अहरोनोव-बोहम प्रभाव एक बंद लूप के चारों ओर ए के [[रेखा अभिन्न]] पर निर्भर करता है, और यह इंटीग्रल इसके द्वारा नहीं बदला जाता है
यद्यपि पारम्परिक विद्युत चुंबकत्व को अब प्रायः गेज सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जाता है, यह मूल रूप से इन शर्तों में नहीं माना गया था। पारम्परिक बिंदु आवेश की गति केवल उस बिंदु पर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति से प्रभावित होती है, और संभावितों को कुछ प्रमाणों और गणनाओं को सरल बनाने के लिए केवल गणितीय उपकरण के रूप में माना जा सकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के आगमन तक यह नहीं कहा जा सकता था कि क्षमताएं स्वयं प्रणाली के भौतिक विन्यास का हिस्सा हैं। सटीक रूप से अनुमानित और प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित होने वाला सबसे पहला परिणाम अहरोनोव-बोहम प्रभाव था, जिसका कोई पारम्परिक समकक्ष नहीं है। फिर भी, इन सिद्धांतों में गेज स्वतंत्रता अभी भी सत्य है। उदाहरण के लिए, अहरोनोव-बोहम प्रभाव एक बंद कुंडली के चारों ओर A के [[रेखा अभिन्न|रेखा पूर्णांक]] पर निर्भर करता है, और यह पूर्णांक इसके द्वारा नहीं बदला जाता है
<math display="block">\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi\,.</math>
<math display="block">\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi\,.</math>
नॉन-एबेलियन गेज सिद्धांत में गेज फिक्सिंग | नॉन-एबेलियन गेज सिद्धांत, जैसे यांग-मिल्स सिद्धांत और [[सामान्य सापेक्षता]], एक अधिक जटिल विषय है; विवरण के लिए ग्रिबोव अस्पष्टता, फद्दीव-पोपोव भूत और [[फ्रेम बंडल]] देखें।
गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत, जैसे यांग-मिल्स सिद्धांत और [[सामान्य सापेक्षता]], अधिक जटिल विषय है; विवरण के लिए ग्रिबोव अस्पष्टता फैडडीव-पोपोव छाया और [[फ्रेम बंडल]] देखें।


=== एक उदाहरण ===
=== एक उदाहरण ===
[[File:gauge.png|right|thumb|एक मुड़े हुए सिलेंडर का गेज फिक्सिंग। (ध्यान दें: लाइन सिलेंडर की सतह पर है, उसके अंदर नहीं।)]]गेज फिक्सिंग के उदाहरण के रूप में, एक बेलनाकार रॉड को देख सकते हैं और यह बताने का प्रयास कर सकते हैं कि यह मुड़ा हुआ है या नहीं। यदि छड़ पूरी तरह से बेलनाकार है, तो अनुप्रस्थ काट की गोलाकार समरूपता यह बताना असंभव बना देती है कि यह मुड़ी हुई है या नहीं। हालाँकि, यदि छड़ की लंबाई के साथ एक सीधी रेखा खींची जाती, तो रेखा की स्थिति को देखकर यह आसानी से कहा जा सकता था कि कोई मोड़ है या नहीं। रेखा खींचना गेज फिक्सिंग है। रेखा खींचना गेज समरूपता को बिगाड़ता है, अर्थात छड़ के प्रत्येक बिंदु पर अनुप्रस्थ काट की वृत्ताकार समरूपता U(1)। रेखा गेज फ़ंक्शन के समतुल्य है; यह सीधा नहीं होना चाहिए। लगभग कोई भी लाइन वैध गेज फिक्सिंग है, यानी, एक बड़ी गेज स्वतंत्रता है। संक्षेप में, यह बताने के लिए कि क्या छड़ मुड़ी हुई है, गेज ज्ञात होना चाहिए। भौतिक मात्राएँ, जैसे कि मरोड़ की ऊर्जा, गेज पर निर्भर नहीं करती हैं, अर्थात वे गेज इनवेरिएंट हैं।
गेज फिक्सिंग के उदाहरण के रूप में, बेलनाकार छड़ को देख सकते हैं और यह बताने का प्रयास कर सकते हैं कि यह मुड़ा हुआ है या नहीं। यदि छड़ पूरी तरह से बेलनाकार है, तो अनुप्रस्थ काट की गोलाकार समरूपता यह बताना असंभव बना देती है कि यह मुड़ी हुई है या नहीं। यद्यपि, यदि छड़ की लंबाई के साथ एक सीधी रेखा खींची जाती, तो रेखा की स्थिति को देखकर यह आसानी से कहा जा सकता था कि कोई मोड़ है या नहीं। रेखा खींचना गेज फिक्सिंग है। रेखा खींचना गेज समरूपता को बिगाड़ता है, अर्थात छड़ के प्रत्येक बिंदु पर अनुप्रस्थ काट की वृत्ताकार समरूपता रेखा गेज फलन के समतुल्य है; यह सीधा नहीं होना चाहिए। लगभग कोई भी लाइन वैध गेज फिक्सिंग है, संक्षेप में, गेज ज्ञात होना चाहिए यह बताने के लिए कि क्या छड़ मुड़ी हुई है, भौतिक मात्राएँ, जैसे कि अपरूपण ऊर्जा, गेज पर निर्भर नहीं करती हैं, अर्थात वे अचर गेज हैं।
 
 
 
 
 
 
[[index.php?title=Category:Navigational boxes| ]]


== कूलम्ब गेज ==
 
कूलम्ब गेज (जिसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन # अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग [[क्वांटम रसायन]] विज्ञान और [[संघनित पदार्थ भौतिकी]] में किया जाता है और इसे गेज स्थिति (अधिक सटीक, गेज फिक्सिंग स्थिति) द्वारा परिभाषित किया जाता है।
 
 
=== कूलम्ब गेज ===
कूलम्ब गेज जिसे अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है, इसका उपयोग [[क्वांटम रसायन]] विज्ञान और [[संघनित पदार्थ भौतिकी]] में किया जाता है और इसे गेज स्थिति द्वारा परिभाषित किया जाता है।
<math display="block">\nabla\cdot{\mathbf A}(\mathbf{r},t)=0\,.</math>
<math display="block">\nabla\cdot{\mathbf A}(\mathbf{r},t)=0\,.</math>
यह क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-शास्त्रीय गणनाओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जिसमें वेक्टर क्षमता [[परिमाणीकरण (भौतिकी)]] है, लेकिन कूलम्ब इंटरेक्शन नहीं है।
यह क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-शास्त्रीय गणनाओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जिसमें सदिश क्षमता [[परिमाणीकरण (भौतिकी)|परिमाणीकरण]] है, लेकिन कूलम्ब सहभागिता नहीं है।


कूलम्ब गेज में कई गुण हैं:
कूलम्ब गेज में कई गुण हैं:
{{ordered list
{{ordered list
|1= The potentials can be expressed in terms of instantaneous values of the fields and densities (in [[International System of Units]])<ref name=Stewart2003>{{cite journal |last=Stewart |first=A. M. |year=2003 |title=Vector potential of the Coulomb gauge |journal=[[European Journal of Physics]] |volume=24 |issue=5 |pages=519–524 |doi=10.1088/0143-0807/24/5/308 |bibcode = 2003EJPh...24..519S|s2cid=250880504 }}</ref>
|1= इसे संभावनाओं के क्षेत्रों और घनत्व के तात्कालिक मूल्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है
<math display="block"> \varphi(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int\frac{\mathbf{\rho}(\mathbf{r}',t)}{R} d^3\mathbf{r}'</math>
<math display="block"> \varphi(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int\frac{\mathbf{\rho}(\mathbf{r}',t)}{R} d^3\mathbf{r}'</math>
<math display="block"> \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \nabla \times\int\frac{ \mathbf{B}(\mathbf{r}',t)}{4\pi R} d^3\mathbf{r}'</math>
<math display="block"> \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \nabla \times\int\frac{ \mathbf{B}(\mathbf{r}',t)}{4\pi R} d^3\mathbf{r}'</math>
where {{math|''ρ''('''r''', ''t'')}} is the electric charge density, <math>\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'</math> and <math>R = \left| \mathbf{R}\right| </math> (where '''r''' is any position vector in space and '''r'''&prime; is a point in the charge or current distribution), the <math>\nabla</math> operates on '''r''' and ''d''<sup>3&nbsp;</sup>'''r''' is the [[List of integration and measure theory topics|volume element]] at '''r'''.
जहाँ {{math|''ρ''('''r''', ''t'')}} विद्युत आवेश घनत्व है, (जहाँ  '''r''' अंतरिक्ष में कोई स्थिति वेक्टर है और '''r'''&prime; आवेश या वर्तमान वितरण में एक बिंदु है), <math>\nabla</math> '''r''' और ''d''<sup>3&nbsp;</sup>'''r''' मात्रा तत्व r पर संचालित होता है।


The instantaneous nature of these potentials appears, at first sight, to violate [[causality]], since motions of electric charge or magnetic field appear everywhere instantaneously as changes to the potentials. This is justified by noting that the scalar and vector potentials themselves do not affect the motions of charges, only the combinations of their derivatives that form the electromagnetic field strength. Although one can compute the field strengths explicitly in the Coulomb gauge and demonstrate that changes in them propagate at the speed of light, it is much simpler to observe that the field strengths are unchanged under gauge transformations and to demonstrate causality in the manifestly Lorentz covariant Lorenz gauge described below.
इन संभावनाओं की तात्कालिक प्रकृति, पहली दृष्टि में, [[कारण-कार्य]] का उल्लंघन करने के लिए प्रकट होती है, क्योंकि विद्युत आवेश या चुंबकीय क्षेत्र की गति सभी स्थानों पर संभावित परिवर्तन के रूप में तुरंत दिखाई देती है। यह ध्यान देने योग्य है कि अदिश और सदिश क्षमताएं स्वयं आवेशों की गति को प्रभावित नहीं करती हैं, केवल उनके व्युत्पत्ति के संयोजन को  विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की शक्ति बनाती हैं। यद्यपि कूलम्ब गेज में स्पष्ट रूप से क्षेत्र की s की गणना कर सकता है और प्रदर्शित कर सकता है कि उनमें परिवर्तन प्रकाश की गति से फैलता है, यह निरीक्षण करना बहुत आसान है कि क्षेत्र की ताकत गेज परिवर्तनों के अंतर्गत शक्ति परिवर्तित होती है और स्पष्ट रूप से लोरेंत्ज़ सहसंयोजक लॉरेंज में कार्य-कारण का प्रदर्शन करती है। गेज नीचे वर्णित है।


Another expression for the vector potential, in terms of the time-retarded electric current density {{math|'''J'''('''r''', ''t'')}}, has been obtained to be:<ref name=Jackson2002>{{cite journal |last=Jackson |first=J. D. |year=2002 |title=From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations |journal=[[American Journal of Physics]] |volume=70 |issue=9 |pages=917–928 |doi=10.1119/1.1491265 |arxiv = physics/0204034 |bibcode = 2002AmJPh..70..917J |s2cid=119652556 }}</ref>
सदिश क्षमता के लिए एक और अभिव्यक्ति, समय-मंद विद्युत प्रवाह घनत्व के संदर्भ में {{math|'''J'''('''r''', ''t'')}}, को प्राप्त किया गया है।:<ref name=Jackson2002>{{cite journal |last=Jackson |first=J. D. |year=2002 |title=From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations |journal=[[American Journal of Physics]] |volume=70 |issue=9 |pages=917–928 |doi=10.1119/1.1491265 |arxiv = physics/0204034 |bibcode = 2002AmJPh..70..917J |s2cid=119652556 }}</ref>
<math display="block"> \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \nabla\times\int \left[ \int_0^{R/c} \tau\, \frac{ { \mathbf{J}(\mathbf{r}', t- \tau)} \times { \mathbf{R } } }{R^3}\, d\tau \right] d^3\mathbf{r}' .</math>
<math display="block"> \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \, \nabla\times\int \left[ \int_0^{R/c} \tau\, \frac{ { \mathbf{J}(\mathbf{r}', t- \tau)} \times { \mathbf{R } } }{R^3}\, d\tau \right] d^3\mathbf{r}' .</math>


|2= Further gauge transformations that retain the Coulomb gauge condition might be made  with gauge functions that satisfy {{math|1='''∇'''<sup>2</sup>''ψ'' = 0}}, but as the only solution to this equation that vanishes at infinity (where all fields are required to vanish) is {{math|1=''ψ''('''r''', ''t'') = 0}}, no gauge arbitrariness remains. Because of this, the Coulomb gauge is said to be a complete gauge, in contrast to gauges where some gauge arbitrariness remains, like the Lorenz gauge below.
|2= कूलम्ब गेज की स्थिति को बनाए रखने वाले और गेज परिवर्तन गेज कार्यों के साथ किए जा सकते हैं जो {{math|1='''∇'''<sup>2</sup>''ψ'' = 0}} का पालन करते हैं, परन्तु जैसा इस समीकरण का एकमात्र समाधान जो अनंत पर लुप्त  हो जाता है {{math|1=''ψ''('''r''', ''t'') = 0}} , कोई गेज की मनमानी नहीं रहती। इस वजह से, कूलम्ब गेज को एक पूर्ण गेज कहा जाता है, गेज के विपरीत जहां कुछ गेज की मनमानी बनी रहती है, जैसे नीचे लॉरेंज गेज।


|3= The Coulomb gauge is a minimal gauge in the sense that the integral of '''A'''<sup>2</sup> over all space is minimal for this gauge: All other gauges give a larger integral.<ref>{{cite journal |last1=Gubarev |first1=F. V. |last2=Stodolsky |first2=L. |last3=Zakharov |first3=V. I. |year=2001 |title=On the Significance of the Vector Potential Squared |journal=[[Physical Review Letters|Phys. Rev. Lett.]] |volume=86 |issue=11 |pages=2220–2222 |doi=10.1103/PhysRevLett.86.2220 |pmid=11289894 |arxiv = hep-ph/0010057 |bibcode = 2001PhRvL..86.2220G |s2cid=45172403 }}</ref> The minimum value given by the Coulomb gauge is <math display="block"> \int \mathbf{A}^2(\mathbf{r}, t) d^3\mathbf{r} = \iint\frac {\mathbf{B}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{B}(\mathbf{r}', t)}{4\pi R} d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{r}'.</math>
|3= कूलम्ब गेज इस अर्थ में एक न्यूनतम गेज है कि इस गेज के लिए '''A'''<sup>2</sup> का पूर्णांक सभी स्थान पर न्यूनतम है: अन्य सभी गेज एक बड़ा पूर्णांक देते हैं।<ref>{ {जर्नल उद्धृत करें |last1=गुबारेव |first1=F. V. |last2=Stodolsky |first2=L. |last3=ज़खारोव |first3=V. I. |year=2001 |title=अदिश क्षमता स्क्वेर्ड के महत्व पर |journal=[[भौतिक समीक्षा पत्र|Phys. Rev. Lett.]] |volume=86 |issue=11 |pages=2220–2222 |doi=10.1103/PhysRevLett.86.2220 |pmid=11289894 |arxiv = hep-ph/0010057 |bibcode = 2001PhRvL..86.2220G |s2cid =45172403 }}</ref> कूलम्ब गेज द्वारा दिया गया न्यूनतम मान है <math display="block"> \int \mathbf{A}^2(\mathbf{r}, t) d^3\mathbf{r} = \iint\frac {\mathbf{B}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{B}(\mathbf{r}', t)}{4\pi R} d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{r}'.</math>


|4= In regions far from electric charge the scalar potential becomes zero. This is known as the '''radiation gauge'''. [[Electromagnetic radiation]] was first quantized in this gauge.
|4= विद्युत आवेश से दूर के क्षेत्रों में अदिश विभव शून्य हो जाता है। इसे '''विकिरण गेज''' के रूप में जाना जाता है। विद्युत चुम्बकीय विकिरण को सबसे पहले इस गेज में परिमाणित किया गया था।


|5= The Coulomb gauge admits a natural Hamiltonian formulation of the evolution equations of the electromagnetic field interacting with a conserved current, which is an advantage for the quantization of the theory. The Coulomb gauge is, however, not Lorentz covariant. If a [[Lorentz transformation]] to a new inertial frame is carried out, a further gauge transformation has to be made to retain the Coulomb gauge condition. Because of this, the Coulomb gauge is not used in covariant perturbation theory, which has become standard for the treatment of relativistic [[quantum field theories]] such as [[quantum electrodynamics]] (QED). Lorentz covariant gauges such as the Lorenz gauge are usually used in these theories. Amplitudes of physical processes in QED in the noncovariant Coulomb gauge coincide with those in the covariant Lorenz gauge.<ref>{{cite journal | last=Adkins | first=Gregory S. | title=Feynman rules of Coulomb-gauge QED and the electron magnetic moment | journal=Physical Review D | publisher=American Physical Society (APS) | volume=36 | issue=6 | date=1987-09-15 | issn=0556-2821 | doi=10.1103/physrevd.36.1929 | pages=1929–1932| pmid=9958379 }}</ref>
|5= कूलम्ब गेज विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के विकास समीकरणों के एक संरक्षित वर्तमान के साथ बातचीत के एक प्राकृतिक हैमिल्टनियन फॉर्मूलेशन को स्वीकार करता है, जो सिद्धांत के परिमाणीकरण के लिए लाभप्रद है। कूलम्ब गेज, यद्यपि, लोरेंत्ज़ सहसंयोजक नहीं है। यदि एक लोरेंत्ज़ परिवर्तन को एक नए जड़त्वीय पटल में स्थापित किया जाता है, तो कूलम्ब गेज की स्थिति को बनाए रखने के लिए एक और गेज परिवर्तन करना पड़ता है। इस वजह से, कूलम्ब गेज का उपयोग सहसंयोजक गड़बड़ी सिद्धांत में नहीं किया जाता है, जो सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जैसे क्वांटम वैद्युतगतिकी के उपचार के लिए मानक बन गया है। लोरेंत्ज़ सहसंयोजक गेज जैसे लोरेंज गेज सामान्यतः इन सिद्धांतों में उपयोग किए जाते हैं। गैर सहपरिवर्ती कूलम्ब गेज में क्यूईडी में भौतिक प्रक्रियाओं के आयाम सहपरिवर्ती लॉरेंज गेज के परिमाण से मेल खाते हैं।<ref>{{उद्धृत जर्नल | अंतिम = एडकिंस | पहले=ग्रेगरी एस. | शीर्षक = कूलम्ब-गेज QED के फेनमैन नियम और इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षण | जर्नल = भौतिक समीक्षा डी | प्रकाशक=अमेरिकन फिजिकल सोसायटी (एपीएस) | आयतन=36 | अंक = 6 | दिनांक=1987-09-15 | issn=0556-2821 | doi=10.1103/physrevd.36.1929 | पृष्ठ=1929–1932| पीएमआईडी=9958379}}</ref>


|6= For a uniform and constant magnetic field '''B''' the vector potential in the Coulomb gauge can be expressed in the so-called '''symmetric gauge''' as
|6= एक समान और स्थिर चुंबकीय क्षेत्र '''बी''' के लिए कूलम्ब गेज में वेक्टर क्षमता को तथाकथित '''सममित गेज''' के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
<math display="block">{\mathbf A}(\mathbf{r},t)=-\frac{1}{2} \mathbf{r}\times \mathbf{B}</math>
<math display="block">{\mathbf A}(\mathbf{r},t)=-\frac{1}{2} \mathbf{r}\times \mathbf{B}</math>
plus the gradient of any scalar field (the gauge function), which can be confirmed by calculating the div and curl of '''A'''. The divergence of '''A''' at infinity is a consequence of the unphysical assumption that the magnetic field is uniform throughout the whole of space. Although this vector potential is unrealistic in general it can provide a good approximation to the potential in a finite volume of space in which the magnetic field is uniform.
साथ ही किसी भी अदिश क्षेत्र (गेज फ़ंक्शन) का ग्रेडिएंट, जिसकी पुष्टि '''A''' के div और curl की गणना करके की जा सकती है। अनंत पर '''ए''' का अपसरण अभौतिक धारणा का परिणाम है कि चुंबकीय क्षेत्र पूरे अंतरिक्ष में एक समान है। यद्यपि यह सदिश क्षमता सामान्य रूप से अवास्तविक है, लेकिन यह अंतरिक्ष की सीमित मात्रा में क्षमता के लिए एक अच्छा सन्निकटन प्रदान कर सकती है जिसमें चुंबकीय क्षेत्र एक समान है।
 
|7= उपरोक्त विचारों के परिणामस्वरूप, विद्युत चुम्बकीय क्षमता को विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के रूप में उनके सबसे सामान्य रूपों में व्यक्त किया जा सकता है
जहां {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} एक यद्रिच्छिक अदिश क्षेत्र है जिसे  गेज फलन कहा जाता है। विद्युत्कीय क्षेत्र जो वर्णों से व्युत्पन्न होते हैं, उन्हें गेज क्षेत्र के रूप में जाना जाता है और वर्णों से संबंधित क्षेत्र को गेज स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। एक गणना में जो सही तरीके से की जाती है, शुद्ध गैज शब्दों का किसी भौतिक अवलोकन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। एक मात्रा या अभिव्यंजना जो बंडल पर स्थित नहीं होती है, उसे गैर-भिन्न कहा जाता है: सभी भौतिक अवलोकनों को गैज अचर होना आवश्यक है। कूलाम्ब गैज से दूसरे गैज में गैज को एक विशिष्ट कूट के योग के रूप में ले लिया जाता है जो कि परिवर्तित हो जाता है और यद्रिच्छिक लॉगिन हो जाता है। यदि यद्रिच्छिक कार्य शून्य पर स्थित किया जाता है, तो गैज को स्थिर कहा जाता है। गणना एक निश्चित गैज में की जा सकती है।
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 


|7= As a consequence of the considerations above, the electromagnetic potentials may be expressed in their most general forms in terms of the electromagnetic fields as
<math display="block"> \varphi(\mathbf{r},t) = \int\frac{\nabla'\cdot{\mathbf E}(\mathbf{r}',t)}{4\pi R}\operatorname{d}\!^3\mathbf{r}'-\frac{\partial{\psi(\mathbf{r},t)}}{\आंशिक t}</math>


गणित प्रदर्शन = खंड > \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \nabla\times\int\frac{\mathbf{B}(\mathbf{r}',t)}{4\pi R }\operatorname{d}\!^3\mathbf{r}'+\nabla\psi(\mathbf{r},t)</math>
कहाँ {{math|''ψ''('''r''', ''t'')}} एक मनमाना अदिश क्षेत्र है जिसे गेज फ़ंक्शन कहा जाता है। फ़ील्ड जो गेज फ़ंक्शन के डेरिवेटिव हैं, उन्हें शुद्ध गेज फ़ील्ड के रूप में जाना जाता है और गेज फ़ंक्शन से जुड़ी मनमानी को गेज स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। एक गणना में जो सही ढंग से की जाती है, शुद्ध गेज शब्दों का किसी भौतिक अवलोकन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। एक मात्रा या अभिव्यक्ति जो गेज फ़ंक्शन पर निर्भर नहीं होती है उसे गेज इनवेरिएंट कहा जाता है: सभी भौतिक अवलोकनों को गेज इनवेरिएंट होना आवश्यक है। कूलम्ब गेज से दूसरे गेज में गेज परिवर्तन गेज फ़ंक्शन को एक विशिष्ट फ़ंक्शन के योग के रूप में ले कर किया जाता है जो वांछित गेज परिवर्तन और मनमाना फ़ंक्शन देगा। यदि मनमाना कार्य शून्य पर सेट किया जाता है, तो गेज को स्थिर कहा जाता है। गणना एक निश्चित गेज में की जा सकती है लेकिन गेज इनवेरिएंट के तरीके से की जानी चाहिए।
}}


== लॉरेंज गेज ==
== लॉरेंज गेज ==
{{See also|Covariant formulation of classical electromagnetism}}
{{See also|चिरसम्मत विद्युत चुंबकत्व का सहपरिवर्ती सूत्रीकरण}}
एसआई इकाइयों में लॉरेंज गेज स्थिति दी गई है:
एसआई इकाइयों में लॉरेंज गेज की  स्थिति दी गई है:
<math display="block">\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0</math>
<math display="block">\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0</math>
और गॉसियन इकाइयों में:
और गॉसियन इकाइयों में:
<math display="block">\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0.</math>
<math display="block">\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0.</math>
इसे फिर से लिखा जा सकता है:
इसे पुनः  लिखा जा सकता है:
<math display="block">\partial_{\mu} A^{\mu} = 0.</math>
<math display="block">\partial_{\mu} A^{\mu} = 0.</math>
कहाँ <math>A^\mu = \left[\,\tfrac{1}{c}\varphi,\,\mathbf{A}\,\right]</math> विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है, ∂<sub>μ</sub> [[4-ढाल]] [[[मीट्रिक हस्ताक्षर]] (+, −, −, −)] का उपयोग करके।
जहाँ  <math>A^\mu = \left[\,\tfrac{1}{c}\varphi,\,\mathbf{A}\,\right]</math> विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है, ∂<sub>μ</sub> [[4-ढाल]] मीट्रिक हस्ताक्षर (+, −, −, −)] का उपयोग करके


[[लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस]] को बनाए रखने में बाधा गेज के बीच यह अद्वितीय है। हालाँकि, ध्यान दें कि इस गेज का नाम मूल रूप से डेनिश भौतिक विज्ञानी [[लुडविग लॉरेंज]] के नाम पर रखा गया था न कि [[हेंड्रिक लोरेंत्ज़]] के नाम पर; इसे अक्सर लोरेंत्ज़ गेज की गलत वर्तनी दी जाती है। (गणना में इसका उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति भी नहीं थे; इसे 1888 में जॉर्ज फ्रांसिस फिट्जगेराल्ड | जॉर्ज एफ. फिट्जगेराल्ड द्वारा पेश किया गया था।)
[[लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस]] को बनाए रखने में बाधा गेज के बीच अद्वितीय है। यद्यपि इस गेज का नाम मूल रूप से डेनिश भौतिक विज्ञानी [[लुडविग लॉरेंज]] के नाम पर रखा गया था न कि [[हेंड्रिक लोरेंत्ज़]] के नाम पर; प्रायः इसे लोरेंत्ज़ गेज की गलत वर्तनी दी जाती है। गणना में इसका उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे; इसे 1888 में जॉर्ज फ्रांसिस फिट्जगेराल्ड द्वारा पेश किया गया था।


लॉरेंज गेज क्षमता के लिए निम्नलिखित विषम तरंग समीकरणों की ओर जाता है:
लॉरेंज गेज संभावितो के लिए निम्नलिखित तरंग असमांगी समीकरणों की ओर ले जाता है।
<math display="block">\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} - \nabla^2{\varphi} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
<math display="block">\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} - \nabla^2{\varphi} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
<math display="block">\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} - \nabla^2{\mathbf A} = \mu_0 \mathbf{J}</math>
<math display="block">\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} - \nabla^2{\mathbf A} = \mu_0 \mathbf{J}</math>
यह इन समीकरणों से देखा जा सकता है कि, वर्तमान और आवेश की अनुपस्थिति में, समाधान वे क्षमताएँ हैं जो प्रकाश की गति से फैलती हैं।
यह इन समीकरणों से देखा जा सकता है कि, धारा और आवेश की अनुपस्थिति में, समाधान वे क्षमताएँ हैं जो प्रकाश की गति से फैलती हैं।


लॉरेंज गेज कुछ अर्थों में अधूरा है: गेज परिवर्तनों का एक उप-