5 का वर्गमूल: Difference between revisions

5 का वर्गमूल
Rationality	Irrational
Representations
Decimal	2.23606797749978969...
Algebraic form
Continued fraction
Binary	10.0011110001101110...
Hexadecimal	2.3C6EF372FE94F82C...

Latest revision as of 17:44, 11 February 2023

5 का वर्गमूल वह धनात्मक वास्तविक संख्या है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर अभाज्य संख्या 5 प्राप्त होती है। इसे अधिक सटीक रूप से 5 का मुख्य वर्गमूल कहा जाता है, ताकि इसे समान गुण वाली ऋणात्मक संख्या से अलग किया जा सके। यह संख्या सुनहरे अनुपात के लिए भिन्नात्मक व्यंजक में दिखाई देती है। इसे मूल रूप में निरूपित किया जा सकता है।

यह अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्या है।^[1] इसके दशमलव विस्तार के पहले साठ महत्वपूर्ण अंक हैं:

2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089... ( OEIS में अनुक्रम A002163 )।

जिसे 99.99% सटीकता के भीतर 2.236 तक घटाया जा सकता है। सन्निकटन 161/72 (≈ 2.23611) पांच के वर्गमूल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। केवल 72 का भाजक होने के बावजूद यह सही मान से भिन्न होता है। 1/10,000 (लगभग। 4.3×10⁻⁵) जनवरी 2022 तक दशमलव में इसके संख्यात्मक मान की गणना कम से कम 2,250,000,000,000 अंकों तक की गई है।^[2]

तर्कसंगत सन्निकटन

5 के वर्गमूल को निरंतर अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

[2;4,4,4,4,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}.

( OEIS में अनुक्रम A040002 )

निरंतर अंश का क्रमिक आंशिक मूल्यांकन, जिसे इसके अभिसरण को दृष्टिकोण कहा जाता है ${\sqrt {5}}$ :

{\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}},{\frac {12238}{5473}},{\frac {51841}{23184}},\dots

इनके अंश 2, 9, 38, 161,...(OEIS में अनुक्रम A001077 हैं) और उनके हर 1, 4, 17, 72, ...(OEIS में अनुक्रम A001076) हैं।

इनमें से प्रत्येक का एक सर्वोत्तम तर्कसंगत सन्निकटन है

अभिसरण के रूप में व्यक्त किया गया $x / y$ , वैकल्पिक रूप से पेल के समीकरणों को संतुष्ट करें^[3]

x^{2}-5y^{2}=-1\quad {\text{and}}\quad x^{2}-5y^{2}=1

जब ${\sqrt {5}}$ वर्गमूल बेबीलोनियन पद्धति से अनुमानित किया गया है $x 0 = 2$ से शुरू होकर $x n +1 = 1 / 2 (x n + 5 / x n)$ , का उपयोग करते हुए $n$ वें अनुमानित $x n$ के निरंतर अंश के $2 n$ अभिसरण के बराबर है:

x_{0}=2.0,\quad x_{1}={\frac {9}{4}}=2.25,\quad x_{2}={\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad x_{3}={\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots ,\quad x_{4}={\frac {5374978561}{2403763488}}=2.23606797749979\ldots

बेबीलोनियन विधि मूल खोज के लिए न्यूटन की विधि के बराबर है जो बहुपद पर लागू होती है $x^{2}-5$ न्यूटन की विधि अद्यतन, $x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n})$ , के बराबर है $(x_{n}+5/x_{n})/2$ जब $f(x)=x^{2}-5$ इसलिए विधि द्विघात रूप से अभिसरण करती है।

सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्या से संबंध

{\sqrt {5}}/2

h> आधे वर्ग का विकर्ण एक सुनहरे आयत के ज्यामितीय निर्माण का आधार बनता है।

सुनहरा अनुपात $φ$ 1 और का अंकगणितीय माध्य है ${\sqrt {5}}$ ^[4] के बीच बीजगणितीय संबंध ${\sqrt {5}}$ , सुनहरा अनुपात का संयुग्म और घात ( $Φ = -1 / φ = 1 - φ$ ) निम्नलिखित सूत्र में व्यक्त किया गया है:

{\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=\varphi -\Phi =2\varphi -1=1-2\Phi \\[5pt]\varphi &={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\\[5pt]\Phi &={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{aligned}}

(एक के अपघटन के रूप में उनकी ज्यामितीय व्याख्या के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें ${\sqrt {5}}$ आयत।)

${\sqrt {5}}$ फिर स्वाभाविक रूप से फाइबोनैचि संख्याओं के लिए बंद रूप अभिव्यक्ति में आंकड़े एक सूत्र जो आमतौर पर सुनहरे अनुपात के संदर्भ में लिखा जाता है:

F(n)={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}.

का भागफल ${\sqrt {5}}$ और $φ$ (या का उत्पाद ${\sqrt {5}}$ और $Φ$ ), और इसका पारस्परिक, निरंतर अंशों का एक दिलचस्प पैटर्न प्रदान करते हैं और फिबोनैचि संख्याओं और लुकास संख्याओं के बीच के अनुपात से संबंधित हैं:^[5]

{\begin{aligned}{\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}=\Phi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}&=1.3819660112501051518\dots \\&=[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[5pt]{\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\Phi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}&=0.72360679774997896964\ldots \\&=[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\ldots ].\end{aligned}}

इन मानों के अभिसरणों की श्रृंखला में फिबोनैचि संख्याओं की श्रृंखला और लुकास संख्याओं की श्रृंखला क्रमशः अंश और हर के रूप में होती है और इसके विपरीत क्रमशः :

{\begin{aligned}&{1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\ldots \ldots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[8pt]&{1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].\end{aligned}}

वास्तव में, के भागफल की सीमा $n^{th}$ लुकास संख्या $L_{n}$ और यह $n^{th}$ फाइबोनैचि संख्या $F_{n}$ के वर्गमूल के सीधे बराबर है $5$ :

\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.

ज्यामिति

ए का अपघटन

1\times 2

समकोण त्रिभुज को पाँच समान त्रिभुजों में विभाजित करना, एपेरियोडिक पिनव्हील टाइलिंग का आधार।

जे हैम्बिज का मूल आयतों का निर्माण

ज्यामिति रुप से ${\sqrt {5}}$ एक आयत के विकर्ण से मेल खाता है जिसकी भुजाएँ लंबाई 1 (संख्या) और 2 (संख्या) की हैं, जैसा कि पायथागॉरियन प्रमेय से स्पष्ट है। इस तरह के आयत को एक वर्ग (ज्यामिति) को आधा करके या दो समान वर्गों को अगल-बगल रखकर प्राप्त किया जा सकता है। इसका उपयोग एक वर्गाकार ग्रिड को झुके हुए वर्गाकार ग्रिड में पाँच गुना अधिक वर्गों के साथ उपविभाजित करने के लिए किया जा सकता है, जो एक उपखंड सतह के लिए आधार बनाता है।^[6] बीच बीजगणितीय संबंध के साथ ${\sqrt {5}}$ और $φ$ , यह एक वर्ग से एक सुनहरे आयत के ज्यामितीय निर्माण के लिए आधार बनाता है, और एक नियमित पंचकोण के निर्माण के लिए इसकी भुजा दी गई है (चूंकि एक नियमित पेंटागन में साइड-टू-डायगोनल अनुपात $φ$ है).

चूंकि एक घन के दो आसन्न फलक 1:2 आयत में खुलेंगे, घन की सतह की यात्रा करते समय घन के किनारे की लंबाई (ज्यामिति) और उसके शीर्ष (ज्यामिति) में से एक से सबसे कम दूरी के बीच का अनुपात ${\sqrt {5}}$ है। इसके विपरीत घन के अंदर से गुजरते समय सबसे छोटी दूरी घन विकर्ण की लंबाई से मेल खाती है, जो कि किनारे के तीन गुना का वर्गमूल है।^{[citation needed]}

पक्ष अनुपात 1 के साथ एक आयत ${\sqrt {5}}$ मूल-पांच आयत कहा जाता है और मूल आयतों की श्रृंखला का हिस्सा है, जो गतिशील आयतो का एक उपसमूह है, जो आधारित हैं ${\sqrt {1}}$ (= 1), ${\sqrt {2}}$ , ${\sqrt {3}}$ , ${\sqrt {4}}$ (= 2), ${\sqrt {5}}$ ... और क्रमिक रूप से पिछले मूल आयत के विकर्ण का उपयोग करके एक वर्ग से शुरू करते हुए निर्मित किया गया।^[7] एक मूल-5 आयत विशेष रूप से उल्लेखनीय है कि इसे एक वर्ग और दो समान सुनहरे आयतों (आयामों के) में विभाजित किया जा सकता है $Φ$ × 1), या विभिन्न आकारों के दो सुनहरे आयतों में (आयामों के $Φ$ × 1 और 1 × $φ$ ).^[8] इसे दो समान सुनहरे आयतों (आयामों के) के मिलन के रूप में भी विघटित किया जा सकता है (1 × $φ$ ) जिसका चौराहा एक वर्ग बनाता है। यह सब बीजगणितीय संबंधों की ज्यामितीय व्याख्या के रूप में देखा जा सकता है ${\sqrt {5}}$ , $φ$ और $Φ$ । मूल-5 आयत को 1:2 आयत (मूल-4 आयत) से बनाया जा सकता है या सीधे एक वर्ग से इस तरह से बनाया जा सकता है जैसे चित्रण में दिखाए गए सुनहरे आयत के लिए लेकिन लंबाई के चाप का विस्तार ${\sqrt {5}}/2$ दोनों पक्षों मे।

त्रिकोणमिति

${\sqrt {2}}$ और ${\sqrt {3}}$ के जैसे, 5 का वर्गमूल सटीक त्रिकोणमितीय स्थिरांक के सूत्रों में व्यापक रूप से प्रकट होता है, जिसमें प्रत्येक कोण की ज्या और कोज्या सम्मिलित हैं, जिसका माप अंश में 3 से विभाज्य है लेकिन 15 से नहीं।^[9] इनमें से सबसे सरल हैं

{\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}+1}},\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},\\[5pt]\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}-1}},\\[5pt]\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,.\end{aligned}}

अत: त्रिकोणमितीय सारणी बनाने के लिए इसके मान की गणना महत्वपूर्ण है।^{[citation needed]} ${\sqrt {5}}$ ज्यामितीय रूप से अर्ध-स्क्वायर आयतों और पेंटागन से जुड़ा हुआ है, यह अक्सर उनसे प्राप्त आंकड़ों के ज्यामितीय गुणों के सूत्रों में भी दिखाई देता है, जैसे कि द्वादशफलक के आयतन के सूत्र में।^{[citation needed]}

डायोगफैंटाइन सन्निकटन

हर्विट्ज़ की प्रमेय (संख्या सिद्धांत) | डायोफैंटाइन सन्निकटन में हर्विट्ज़ की प्रमेय बताती है कि प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक्स ( $x$ ) अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याओं द्वारा सन्निकटित किया जा सकता है $m / n$ सबसे कम शब्दों में इस तरह से कि

\left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}

{\sqrt {5}}

सबसे अच्छा संभव है इस अर्थ में कि किसी भी बड़े स्थिरांक के लिए

{\sqrt {5}}

कुछ अपरिमेय संख्याएँ हैं

x

जिसके लिए केवल सूक्ष्म रूप से ऐसे बहुत से सन्निकटन उपस्थित हैं।^[10]

इससे निकटता से संबंधित प्रमेय है^[11]किन्हीं तीन क्रमागत अभिसारी (निरंतर अंश) का

p i / q i

,

p i +1 / q i +1

,

p i +2 / q i +2

, किसी संख्या का

α

, तीन असमानताओं में कम से कम एक रखती है:

\left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.

और यह ${\sqrt {5}}$ भाजक में सर्वोत्तम सीमा संभव है क्योंकि सुनहरे अनुपात के अभिसरण बाईं ओर के अंतर को मनमाने ढंग से दाईं ओर के मान के करीब बनाते हैं। विशेष रूप से चार या अधिक लगातार अभिसरणों के अनुक्रमों पर विचार करके कोई सख्त सीमा प्राप्त नहीं कर सकता है।^[11]

बीजगणित

क्षेत्र (गणित) $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ फॉर्म की संख्या सम्मिलित है $a+b{\sqrt {-5}}$ , कहाँ पे $a$ और $b$ पूर्णांक हैं और ${\sqrt {-5}}$ काल्पनिक संख्या है $i{\sqrt {5}}$ . यह वलय एक अभिन्न डोमेन का अक्सर उद्धृत उदाहरण है जो एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन नहीं है।^[12] इस वलय के भीतर संख्या 6 के दो असमान्य कारक हैं:

6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,

क्षेत्र (गणित) $\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}],$ किसी भी अन्य द्विघात क्षेत्र की तरह, परिमेय संख्याओं का एक एबेलियन विस्तार है। क्रोनकर-वेबर प्रमेय इसलिए गारंटी देता है कि पांच के वर्गमूल को एकता की जड़ों के तर्कसंगत रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:

{\sqrt {5}}=e^{{\frac {2\pi }{5}}i}-e^{{\frac {4\pi }{5}}i}-e^{{\frac {6\pi }{5}}i}+e^{{\frac {8\pi }{5}}i}.\,

रामानुजन की पहचान

5 का वर्गमूल श्रीनिवास रामानुजन द्वारा खोजी गई विभिन्न सर्वसमिकाओं में निरंतर अंशों को सम्मिलित करते हुए प्रकट होता है।^[13]^[14]

उदाहरण के लिए

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{\frac {2\pi }{5}}=e^{\frac {2\pi }{5}}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+{\sqrt[{5}]{5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1}}}-\varphi \right)e^{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}.

4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}}}}}}}.

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.
↑ Yee, Alexander. "Records Set by y-cruncher".
↑ Conrad, Keith. "Pell's Equation II" (PDF). uconn.edu. Retrieved 17 March 2022.
↑ Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Section: C; Page 1. (Note: this is a widely cited article).
↑ Richard K. Guy: "The Strong Law of Small Numbers". American Mathematical Monthly, vol. 95, 1988, pp. 675–712
↑ Ivrissimtzis, Ioannis P.; Dodgson, Neil A.; Sabin, Malcolm (2005), " ${\sqrt {5}}$ -subdivision", in Dodgson, Neil A.; Floater, Michael S.; Sabin, Malcolm A. (eds.), Advances in multiresolution for geometric modelling: Papers from the workshop (MINGLE 2003) held in Cambridge, September 9–11, 2003, Mathematics and Visualization, Berlin: Springer, pp. 285–299, doi:10.1007/3-540-26808-1_16, MR 2112357
↑ Kimberly Elam (2001), Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition, New York: Princeton Architectural Press, ISBN 1-56898-249-6
↑ Jay Hambidge (1967), The Elements of Dynamic Symmetry, Courier Dover Publications, ISBN 0-486-21776-0
↑ Julian D. A. Wiseman, "Sin and cos in surds"
↑ LeVeque, William Judson (1956), Topics in number theory, Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass., MR 0080682
↑ ^11.0 ^11.1 Khinchin, Aleksandr Yakovlevich (1964), Continued Fractions, University of Chicago Press, Chicago and London
↑ Chapman, Scott T.; Gotti, Felix; Gotti, Marly (2019), "How do elements really factor in $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ ?", in Badawi, Ayman; Coykendall, Jim (eds.), Advances in Commutative Algebra: Dedicated to David F. Anderson, Trends in Mathematics, Singapore: Birkhäuser/Springer, pp. 171–195, arXiv:1711.10842, doi:10.1007/978-981-13-7028-1_9, MR 3991169, S2CID 119142526, Most undergraduate level abstract algebra texts use $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ as an example of an integral domain which is not a unique factorization domain
↑ Ramanathan, K. G. (1984), "On the Rogers-Ramanujan continued fraction", Proceedings of the Indian Academy of Sciences, Section A, 93 (2): 67–77, doi:10.1007/BF02840651, ISSN 0253-4142, MR 0813071, S2CID 121808904
↑ Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions at MathWorld

[1] Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.

[2] Yee, Alexander. "Records Set by y-cruncher".

[conrad-3] Conrad, Keith. "Pell's Equation II" (PDF). uconn.edu. Retrieved 17 March 2022.

[4] Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Section: C; Page 1. (Note: this is a widely cited article).

[5] Richard K. Guy: "The Strong Law of Small Numbers". American Mathematical Monthly, vol. 95, 1988, pp. 675–712

[6] Ivrissimtzis, Ioannis P.; Dodgson, Neil A.; Sabin, Malcolm (2005), " ${\sqrt {5}}$ -subdivision", in Dodgson, Neil A.; Floater, Michael S.; Sabin, Malcolm A. (eds.), Advances in multiresolution for geometric modelling: Papers from the workshop (MINGLE 2003) held in Cambridge, September 9–11, 2003, Mathematics and Visualization, Berlin: Springer, pp. 285–299, doi:10.1007/3-540-26808-1_16, MR 2112357

[7] Kimberly Elam (2001), Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition, New York: Princeton Architectural Press, ISBN 1-56898-249-6

[8] Jay Hambidge (1967), The Elements of Dynamic Symmetry, Courier Dover Publications, ISBN 0-486-21776-0

[9] Julian D. A. Wiseman, "Sin and cos in surds"

[10] LeVeque, William Judson (1956), Topics in number theory, Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass., MR 0080682

[khinchin-11] 11.0 ^11.1 Khinchin, Aleksandr Yakovlevich (1964), Continued Fractions, University of Chicago Press, Chicago and London

[12] Chapman, Scott T.; Gotti, Felix; Gotti, Marly (2019), "How do elements really factor in $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ ?", in Badawi, Ayman; Coykendall, Jim (eds.), Advances in Commutative Algebra: Dedicated to David F. Anderson, Trends in Mathematics, Singapore: Birkhäuser/Springer, pp. 171–195, arXiv:1711.10842, doi:10.1007/978-981-13-7028-1_9, MR 3991169, S2CID 119142526, Most undergraduate level abstract algebra texts use $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ as an example of an integral domain which is not a unique factorization domain

[13] Ramanathan, K. G. (1984), "On the Rogers-Ramanujan continued fraction", Proceedings of the Indian Academy of Sciences, Section A, 93 (2): 67–77, doi:10.1007/BF02840651, ISSN 0253-4142, MR 0813071, S2CID 121808904

[14] Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions at MathWorld

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-का वर्गमूल वह धनात्मक [[वास्तविक संख्या]] है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर अभाज्य संख्या [[5 (संख्या)|5]] प्राप्त होती है। इसे अधिक सटीक रूप से 5 का मुख्य वर्गमूल कहा जाता है, ताकि इसे समान गुण वाली ऋणात्मक संख्या से अलग किया जा सके। यह संख्या सुनहरे अनुपात के लिए भिन्नात्मक व्यंजक में दिखाई देती है। इसे मूल रूप में निरूपित किया जा सकता है:
+का वर्गमूल वह धनात्मक [[वास्तविक संख्या]] है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर अभाज्य संख्या [[5 (संख्या)|5]] प्राप्त होती है। इसे अधिक सटीक रूप से 5 का मुख्य वर्गमूल कहा जाता है, ताकि इसे समान गुण वाली ऋणात्मक संख्या से अलग किया जा सके। यह संख्या सुनहरे अनुपात के लिए भिन्नात्मक व्यंजक में दिखाई देती है। इसे मूल रूप में निरूपित किया जा सकता है।
-:
-गणित>\sqrt{5}. \, </ गणित>
 यह [[अपरिमेय संख्या]] [[बीजगणितीय संख्या]] है।<ref>Dauben, Joseph W. (June 1983) [[Scientific American]] ''Georg Cantor and the origins of transfinite set theory.'' Volume 248; Page 122.</ref> इसके [[दशमलव विस्तार]] के पहले साठ महत्वपूर्ण अंक हैं:
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-जिसे 99.99% सटीकता के भीतर 2.236 तक घटाया जा सकता है। सन्निकटन {{sfrac|161|72}} (≈ 2.23611) पांच के वर्गमूल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। केवल 72 का [[भाजक]] होने के बावजूद, यह सही मान में कम से भिन्न होता है {{sfrac|1|10,000}} (लगभग। {{val|4.3e-5}}) जनवरी 2022 तक, दशमलव में इसके संख्यात्मक मान की गणना कम से कम 2,250,000,000,000 अंकों तक की गई है।<ref>{{cite web |last1=Yee |first1=Alexander |title=Records Set by y-cruncher |url=http://numberworld.org/y-cruncher/records.html}}</ref>
+जिसे 99.99% सटीकता के भीतर 2.236 तक घटाया जा सकता है। सन्निकटन {{sfrac|161|72}} (≈ 2.23611) पांच के वर्गमूल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। केवल 72 का [[भाजक]] होने के बावजूद यह सही मान से भिन्न होता है। {{sfrac|1|10,000}} (लगभग। {{val|4.3e-5}}) जनवरी 2022 तक दशमलव में इसके संख्यात्मक मान की गणना कम से कम 2,250,000,000,000 अंकों तक की गई है।<ref>{{cite web |last1=Yee |first1=Alexander |title=Records Set by y-cruncher |url=http://numberworld.org/y-cruncher/records.html}}</ref>
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 के वर्गमूल को [[निरंतर अंश]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
-: <math> [2; 4, 4, 4, 4, 4,\ldots] = 2 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {4 + {{} \atop \displaystyle\ddots}}}}}. </math> {{OEIS|id=A040002}}
+: <math> [2; 4, 4, 4, 4, 4,\ldots] = 2 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {4 + \cfrac 1 {4 + {{} \atop \displaystyle\ddots}}}}}. </math> ( OEIS में अनुक्रम A040002 )
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 इनके अंश 2, 9, 38, 161,...(OEIS में अनुक्रम A001077 हैं) और उनके हर 1, 4, 17, 72, ...(OEIS में अनुक्रम A001076) हैं।
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 == सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्या से संबंध==
-[[File:Golden Rectangle Construction.svg|thumb| <math>\sqrt{5}/2</math> h> आधे वर्ग का विकर्ण एक सुनहरे आयत के ज्यामितीय निर्माण का आधार बनता है।]]सुनहरा अनुपात {{math|φ}} 1 और का अंकगणितीय माध्य है <math>\sqrt{5}</math>.<ref>Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) [[New York Times]] ''Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty.'' Section: C; Page 1. (Note: this is a widely cited article).</ref> के बीच [[बीजगणित]]ीय संबंध <math>\sqrt{5}</math>, सुनहरा अनुपात और सुनहरा अनुपात#सुनहरा अनुपात संयुग्म और घात ({{math|Φ {{=}} {{sfrac|–1|''φ''}} {{=}} 1 − ''φ''}}) निम्नलिखित सूत्र में व्यक्त किया गया है:
+[[File:Golden Rectangle Construction.svg|thumb| <math>\sqrt{5}/2</math> h> आधे वर्ग का विकर्ण एक सुनहरे आयत के ज्यामितीय निर्माण का आधार बनता है।]]सुनहरा अनुपात {{math|φ}} 1 और का अंकगणितीय माध्य है <math>\sqrt{5}</math><ref>Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) [[New York Times]] ''Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty.'' Section: C; Page 1. (Note: this is a widely cited article).</ref> के बीच [[बीजगणित|बीजगणि]]तीय संबंध <math>\sqrt{5}</math>, सुनहरा अनुपात का संयुग्म और घात ({{math|Φ {{=}} {{sfrac|–1|''φ''}} {{=}} 1 − ''φ''}}) निम्नलिखित सूत्र में व्यक्त किया गया है:
 : <math>
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 (एक के अपघटन के रूप में उनकी ज्यामितीय व्याख्या के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें <math>\sqrt{5}</math> आयत।)
-<math>\sqrt{5}</math> फिर स्वाभाविक रूप से [[फाइबोनैचि संख्या]]ओं के लिए बंद रूप अभिव्यक्ति में आंकड़े, एक सूत्र जो आमतौर पर सुनहरे अनुपात के संदर्भ में लिखा जाता है:
+<math>\sqrt{5}</math> फिर स्वाभाविक रूप से [[फाइबोनैचि संख्या]]ओं के लिए बंद रूप अभिव्यक्ति में आंकड़े एक सूत्र जो आमतौर पर सुनहरे अनुपात के संदर्भ में लिखा जाता है:
 : <math>F(n) = \frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt 5}.</math>
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 \end{align}
 </math>
-इन मानों के अभिसरणों की श्रृंखला में फिबोनैचि संख्याओं की श्रृंखला और लुकास संख्याओं की श्रृंखला क्रमशः अंश और हर के रूप में होती है, और इसके विपरीत, क्रमशः:
+इन मानों के अभिसरणों की श्रृंखला में फिबोनैचि संख्याओं की श्रृंखला और लुकास संख्याओं की श्रृंखला क्रमशः अंश और हर के रूप में होती है और इसके विपरीत क्रमशः :
 : <math>
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 == ज्यामिति ==
 [[File:pinwheel 1.svg|250px|thumb|right|ए का अपघटन <math>1\times 2</math> समकोण त्रिभुज को पाँच समान त्रिभुजों में विभाजित करना, एपेरियोडिक [[पिनव्हील टाइलिंग]] का आधार।]]
-[[File:Root rectangles Hambidge 1920.png|250px|thumb|right|जे हैम्बिज|जे हैम्बिज का मूल आयतों का निर्माण]][[ज्यामिति]], <math>\sqrt{5}</math> एक [[आयत]] के [[विकर्ण]] से मेल खाता है जिसकी भुजाएँ लंबाई [[1 (संख्या)]] और [[2 (संख्या)]] की हैं, जैसा कि पायथागॉरियन प्रमेय से स्पष्ट है। इस तरह के आयत को एक [[वर्ग (ज्यामिति)]] को आधा करके, या दो समान वर्गों को अगल-बगल रखकर प्राप्त किया जा सकता है। इसका उपयोग एक वर्गाकार ग्रिड को झुके हुए वर्गाकार ग्रिड में पाँच गुना अधिक वर्गों के साथ उपविभाजित करने के लिए किया जा सकता है, जो एक [[उपखंड सतह]] के लिए आधार बनाता है।<ref>{{citation
+[[File:Root rectangles Hambidge 1920.png|250px|thumb|right|जे हैम्बिज|जे हैम्बिज का मूल आयतों का निर्माण]][[ज्यामिति|ज्यामिति रुप से]]<math>\sqrt{5}</math>  एक [[आयत]] के [[विकर्ण]] से मेल खाता है जिसकी भुजाएँ लंबाई [[1 (संख्या)]] और [[2 (संख्या)]] की हैं, जैसा कि पायथागॉरियन प्रमेय से स्पष्ट है। इस तरह के आयत को एक [[वर्ग (ज्यामिति)]] को आधा करके या दो समान वर्गों को अगल-बगल रखकर प्राप्त किया जा सकता है। इसका उपयोग एक वर्गाकार ग्रिड को झुके हुए वर्गाकार ग्रिड में पाँच गुना अधिक वर्गों के साथ उपविभाजित करने के लिए किया जा सकता है, जो एक [[उपखंड सतह]] के लिए आधार बनाता है।<ref>{{citation
   | last1 = Ivrissimtzis | first1 = Ioannis P.
   | last2 = Dodgson | first2 = Neil A.
@@ Line 90: / Line 87: @@
   | series = Mathematics and Visualization
   | title = Advances in multiresolution for geometric modelling: Papers from the workshop (MINGLE 2003) held in Cambridge, September 9–11, 2003
-  | year = 2005}}</ref> बीच बीजगणितीय संबंध के साथ <math>\sqrt{5}</math> और {{math|''φ''}}, यह एक वर्ग से एक सुनहरे आयत के ज्यामितीय निर्माण के लिए आधार बनाता है, और एक नियमित [[पंचकोण]] के निर्माण के लिए इसकी भुजा दी गई है (चूंकि एक नियमित पेंटागन में साइड-टू-डायगोनल अनुपात है {{math|''φ''}}).
+  | year = 2005}}</ref> बीच बीजगणितीय संबंध के साथ <math>\sqrt{5}</math> और {{math|''φ''}}, यह एक वर्ग से एक सुनहरे आयत के ज्यामितीय निर्माण के लिए आधार बनाता है, और एक नियमित [[पंचकोण]] के निर्माण के लिए इसकी भुजा दी गई है (चूंकि एक नियमित पेंटागन में साइड-टू-डायगोनल अनुपात {{math|''φ''}} है).
+चूंकि एक घन के दो आसन्न फलक 1:2 आयत में खुलेंगे, घन की सतह की यात्रा करते समय घन के किनारे की लंबाई (ज्यामिति) और उसके शीर्ष (ज्यामिति) में से एक से सबसे कम दूरी के बीच का अनुपात <math>\sqrt{5}</math> है। इसके विपरीत घन के अंदर से गुजरते समय सबसे छोटी दूरी घन विकर्ण की लंबाई से मेल खाती है, जो कि किनारे के तीन गुना का वर्गमूल है।{{Citation needed|date=August 2007}}
-चूंकि एक घन के दो आसन्न फलक 1:2 आयत में खुलेंगे, घन की सतह की यात्रा करते समय घन के किनारे की लंबाई (ज्यामिति) और उसके शीर्ष (ज्यामिति) में से एक से सबसे कम दूरी के बीच का अनुपात , है <math>\sqrt{5}</math>. इसके विपरीत, घन के अंदर से गुजरते समय सबसे छोटी दूरी घन विकर्ण की लंबाई से मेल खाती है, जो कि किनारे के तीन गुना का वर्गमूल है।{{Citation needed|date=August 2007}}
+पक्ष अनुपात 1 के साथ एक आयत<math>\sqrt{5}</math> मूल-पांच आयत कहा जाता है और मूल आयतों की श्रृंखला का हिस्सा है, जो [[गतिशील आयत|गतिशील आयतो]] का एक उपसमूह है, जो आधारित हैं {{nowrap|1=<math>\sqrt{1}</math> (= 1), <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{4}</math> (= 2), <math>\sqrt{5}</math>...}} और क्रमिक रूप से पिछले मूल आयत के विकर्ण का उपयोग करके एक वर्ग से शुरू करते हुए निर्मित किया गया।<ref>{{Citation | url = https://books.google.com/books?id=1KI0JVuWYGkC&q=intitle:%22Geometry+of+Design%22+%22root+5%22&pg=PA41 | author = Kimberly Elam | title = Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition | place = New York | publisher = Princeton Architectural Press | year = 2001 | isbn = 1-56898-249-6 }}</ref> एक मूल-5 आयत विशेष रूप से उल्लेखनीय है कि इसे एक वर्ग और दो समान सुनहरे आयतों (आयामों के) में विभाजित किया जा सकता है {{nowrap|{{math|Φ}} × 1}}), या विभिन्न आकारों के दो सुनहरे आयतों में (आयामों के {{nowrap|{{math|Φ}} × 1}} और {{nowrap|1 × {{math|''φ''}}}}).<ref>{{Citation | title = The Elements of Dynamic Symmetry | author = Jay Hambidge | publisher = Courier Dover Publications | year = 1967 | isbn = 0-486-21776-0 | url = https://books.google.com/books?id=VYJK2F-dh2oC&q=%22root+five+rectangle%22++section+inauthor:hambidge&pg=PA26 }}</ref> इसे दो समान सुनहरे आयतों (आयामों के) के मिलन के रूप में भी विघटित किया जा सकता है ({{nowrap|1 × {{math|φ}}}}) जिसका चौराहा एक वर्ग बनाता है। यह सब बीजगणितीय संबंधों की ज्यामितीय व्याख्या के रूप में देखा जा सकता है <math>\sqrt{5}</math>, {{math|''φ''}} और {{math|Φ}}। मूल-5 आयत को 1:2 आयत (मूल-4 आयत) से बनाया जा सकता है या सीधे एक वर्ग से इस तरह से बनाया जा सकता है जैसे चित्रण में दिखाए गए सुनहरे आयत के लिए लेकिन लंबाई के चाप का विस्तार <math>\sqrt{5}/2</math> दोनों पक्षों मे।
-पक्ष अनुपात 1 के साथ एक आयत:<math>\sqrt{5}</math> मूल-पांच आयत कहा जाता है और मूल आयतों की श्रृंखला का हिस्सा है, जो [[गतिशील आयत]]ों का एक उपसमूह है, जो आधारित हैं {{nowrap|1=<math>\sqrt{1}</math> (= 1), <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{3}</math>, <math>\sqrt{4}</math> (= 2), <math>\sqrt{5}</math>...}} और क्रमिक रूप से पिछले मूल आयत के विकर्ण का उपयोग करके, एक वर्ग से शुरू करते हुए निर्मित किया गया।<ref>{{Citation | url = https://books.google.com/books?id=1KI0JVuWYGkC&q=intitle:%22Geometry+of+Design%22+%22root+5%22&pg=PA41 | author = Kimberly Elam | title = Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition | place = New York | publisher = Princeton Architectural Press | year = 2001 | isbn = 1-56898-249-6 }}</ref> एक मूल-5 आयत विशेष रूप से उल्लेखनीय है कि इसे एक वर्ग और दो समान सुनहरे आयतों (आयामों के) में विभाजित किया जा सकता है {{nowrap|{{math|Φ}} × 1}}), या विभिन्न आकारों के दो सुनहरे आयतों में (आयामों के {{nowrap|{{math|Φ}} × 1}} और {{nowrap|1 × {{math|''φ''}}}}).<ref>{{Citation | title = The Elements of Dynamic Symmetry | author = Jay Hambidge | publisher = Courier Dover Publications | year = 1967 | isbn = 0-486-21776-0 | url = https://books.google.com/books?id=VYJK2F-dh2oC&q=%22root+five+rectangle%22++section+inauthor:hambidge&pg=PA26 }}</ref> इसे दो समान सुनहरे आयतों (आयामों के) के मिलन के रूप में भी विघटित किया जा सकता है {{nowrap|1 × {{math|φ}}}}) जिसका चौराहा एक वर्ग बनाता है। यह सब बीजगणितीय संबंधों की ज्यामितीय व्याख्या के रूप में देखा जा सकता है <math>\sqrt{5}</math>, {{math|''φ''}} और {{math|Φ}} उपर्युक्त। रूट-5 आयत को 1:2 आयत (रूट-4 आयत) से बनाया जा सकता है, या सीधे एक वर्ग से इस तरह से बनाया जा सकता है जैसे चित्रण में दिखाए गए सुनहरे आयत के लिए, लेकिन लंबाई के चाप का विस्तार <math>\sqrt{5}/2</math> दोनों पक्षों को।
 ==त्रिकोणमिति==
-पसंद करना <math>\sqrt{2}</math> और <math>\sqrt{3}</math>, 5 का वर्गमूल [[सटीक त्रिकोणमितीय स्थिरांक]] के सूत्रों में व्यापक रूप से प्रकट होता है, जिसमें प्रत्येक कोण की ज्या और कोज्या शामिल हैं, जिसका माप डिग्री में 3 से विभाज्य है लेकिन 15 से नहीं।<ref>[http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Julian D. A. Wiseman, "Sin and cos in surds"]</ref> इनमें से सबसे सरल हैं
+<math>\sqrt{2}</math> और <math>\sqrt{3}</math> के जैसे, 5 का वर्गमूल [[सटीक त्रिकोणमितीय स्थिरांक]] के सूत्रों में व्यापक रूप से प्रकट होता है, जिसमें प्रत्येक कोण की ज्या और कोज्या सम्मिलित हैं, जिसका माप अंश में 3 से विभाज्य है लेकिन 15 से नहीं।<ref>[http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Julian D. A. Wiseman, "Sin and cos in surds"]</ref> इनमें से सबसे सरल हैं
 :<math>\begin{align}
 \sin\frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ &= \tfrac{1}{4}(\sqrt5-1) = \frac{1}{\sqrt5+1}, \\[5pt]
@@ Line 103: / Line 101: @@
 \sin\frac{2\pi}{5} = \sin 72^\circ &= \tfrac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt5)}\, . \end{align}</math>
 अत: त्रिकोणमितीय सारणी बनाने के लिए इसके मान की गणना महत्वपूर्ण है।{{Citation needed|date=August 2007}}  <math>\sqrt{5}</math> ज्यामितीय रूप से अर्ध-स्क्वायर आयतों और पेंटागन से जुड़ा हुआ है, यह अक्सर उनसे प्राप्त आंकड़ों के ज्यामितीय गुणों के सूत्रों में भी दिखाई देता है, जैसे कि द्वादशफलक के आयतन के सूत्र में।{{Citation needed|date=August 2007}}
+== [[डायोफैंटाइन सन्निकटन|डायोगफैंटाइन सन्निकटन]] ==
+हर्विट्ज़ की प्रमेय (संख्या सिद्धांत) | डायोफैंटाइन सन्निकटन में हर्विट्ज़ की प्रमेय बताती है कि प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक्स ({{math|''x''}}) अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याओं द्वारा सन्निकटित किया जा सकता है {{math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} सबसे कम शब्दों में इस तरह से कि
+:<math> \left|x - \frac{m}{n}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}\,n^2} </math>
+:<math>\sqrt{5}</math> सबसे अच्छा संभव है इस अर्थ में कि किसी भी बड़े स्थिरांक के लिए <math>\sqrt{5}</math> कुछ अपरिमेय संख्याएँ हैं {{math|''x''}} जिसके लिए केवल सूक्ष्म रूप से ऐसे बहुत से सन्निकटन उपस्थित हैं।<ref>{{Citation | last1=LeVeque | first1=William Judson | title=Topics in number theory | publisher=Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass. |mr=0080682 | year=1956}}</ref>
+:इससे निकटता से संबंधित प्रमेय है<ref name="khinchin" />किन्हीं तीन क्रमागत अभिसारी (निरंतर अंश) का {{math|{{sfrac|''p''<sub>''i''</sub>|''q''<sub>''i''</sub>}}}}, {{math|{{sfrac|''p''<sub>''i''+1</sub>|''q''<sub>''i''+1</sub>}}}}, {{math|{{sfrac|''p''<sub>''i''+2</sub>|''q''<sub>''i''+2</sub>}}}}, किसी संख्या का {{math|''α''}}, तीन असमानताओं में कम से कम एक रखती है:
-== [[डायोफैंटाइन सन्निकटन]] ==
-हर्विट्ज़ की प्रमेय (संख्या सिद्धांत) | डायोफैंटाइन सन्निकटन में हर्विट्ज़ की प्रमेय बताती है कि प्रत्येक अपरिमेय संख्या {{math|''x''}} अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याओं द्वारा सन्निकटित किया जा सकता है {{math|{{sfrac|''m''|''n''}}}} सबसे कम शब्दों में इस तरह से कि
-:<math> \left|x - \frac{m}{n}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}\,n^2} </math>
-ओर वो <math>\sqrt{5}</math> सबसे अच्छा संभव है, इस अर्थ में कि किसी भी बड़े स्थिरांक के लिए <math>\sqrt{5}</math>, कुछ अपरिमेय संख्याएँ हैं {{math|''x''}} जिसके लिए केवल सूक्ष्म रूप से ऐसे बहुत से सन्निकटन मौजूद हैं।<ref>{{Citation | last1=LeVeque | first1=William Judson | title=Topics in number theory | publisher=Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass. |mr=0080682 | year=1956}}</ref>
-इससे निकटता से संबंधित प्रमेय है<ref name=khinchin/>किन्हीं तीन क्रमागत अभिसारी (निरंतर अंश) का {{math|{{sfrac|''p''<sub>''i''</sub>|''q''<sub>''i''</sub>}}}}, {{math|{{sfrac|''p''<sub>''i''+1</sub>|''q''<sub>''i''+1</sub>}}}}, {{math|{{sfrac|''p''<sub>''i''+2</sub>|''q''<sub>''i''+2</sub>}}}}, किसी संख्या का {{math|''α''}}, तीन असमानताओं में से कम से कम एक रखती है:
 :<math>\left|\alpha - {p_i\over q_i}\right| < {1\over \sqrt5 q_i^2}, \qquad
 \left|\alpha - {p_{i+1}\over q_{i+1}}\right| < {1\over \sqrt5 q_{i+1}^2}, \qquad
 \left|\alpha - {p_{i+2}\over q_{i+2}}\right| < {1\over \sqrt5 q_{i+2}^2}.</math>
-और यह <math>\sqrt{5}</math> भाजक में सर्वोत्तम सीमा संभव है क्योंकि सुनहरे अनुपात के अभिसरण बाईं ओर के अंतर को मनमाने ढंग से दाईं ओर के मान के करीब बनाते हैं। विशेष रूप से, चार या अधिक लगातार अभिसरणों के अनुक्रमों पर विचार करके कोई सख्त सीमा प्राप्त नहीं कर सकता है।<ref name=khinchin>{{Citation | last1=Khinchin | author-link=A. Ya. Khinchin | first1=Aleksandr Yakovlevich | title=Continued Fractions | publisher = University of Chicago Press, Chicago and London | year = 1964}}</ref>
+और यह <math>\sqrt{5}</math> भाजक में सर्वोत्तम सीमा संभव है क्योंकि सुनहरे अनुपात के अभिसरण बाईं ओर के अंतर को मनमाने ढंग से दाईं ओर के मान के करीब बनाते हैं। विशेष रूप से चार या अधिक लगातार अभिसरणों के अनुक्रमों पर विचार करके कोई सख्त सीमा प्राप्त नहीं कर सकता है।<ref name=khinchin>{{Citation | last1=Khinchin | author-link=A. Ya. Khinchin | first1=Aleksandr Yakovlevich | title=Continued Fractions | publisher = University of Chicago Press, Chicago and London | year = 1964}}</ref>
 == बीजगणित ==
-[[अंगूठी (गणित)]] <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> फॉर्म की संख्या शामिल है <math>a + b\sqrt{-5}</math>, कहाँ पे {{math|''a''}} और {{math|''b''}} [[पूर्णांक]] हैं और <math>\sqrt{-5}</math> [[काल्पनिक संख्या]] है <math>i\sqrt{5}</math>. यह वलय एक [[अभिन्न डोमेन]] का अक्सर उद्धृत उदाहरण है जो एक [[अद्वितीय गुणनखंड डोमेन]] नहीं है।<ref>{{citation
+[[अंगूठी (गणित)|क्षेत्र (गणित)]] <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]</math> फॉर्म की संख्या सम्मिलित है <math>a + b\sqrt{-5}</math>, कहाँ पे {{math|''a''}} और {{math|''b''}} [[पूर्णांक]] हैं और <math>\sqrt{-5}</math> [[काल्पनिक संख्या]] है <math>i\sqrt{5}</math>. यह वलय एक [[अभिन्न डोमेन]] का अक्सर उद्धृत उदाहरण है जो एक [[अद्वितीय गुणनखंड डोमेन]] नहीं है।<ref>{{citation
   | last1 = Chapman | first1 = Scott T.
   | last2 = Gotti | first2 = Felix
@@ Line 134: / Line 131: @@
   | year = 2019| arxiv = 1711.10842
   | s2cid = 119142526
-  }}</ref> इस वलय के भीतर संख्या 6 के दो असमान कारक हैं:
+  }}</ref> इस वलय के भीतर संख्या 6 के दो असमान्य कारक हैं:
 : <math>6 = 2 \cdot 3 = (1 - \sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5}). \, </math>
 [[क्षेत्र (गणित)]] <math>\mathbb{Q}[\sqrt{-5}],</math> किसी भी अन्य [[द्विघात क्षेत्र]] की तरह, परिमेय संख्याओं का एक एबेलियन विस्तार है। क्रोनकर-वेबर प्रमेय इसलिए गारंटी देता है कि पांच के वर्गमूल को एकता की जड़ों के तर्कसंगत रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:
@@ Line 141: / Line 138: @@
 == रामानुजन की पहचान ==
-का वर्गमूल [[श्रीनिवास रामानुजन]] द्वारा खोजी गई विभिन्न सर्वसमिकाओं में निरंतर अंशों को शामिल करते हुए प्रकट होता है।<ref>{{Citation | last1=Ramanathan | first1=K. G. | title=On the Rogers-Ramanujan continued fraction |mr=813071 | year=1984 | journal= Proceedings of the Indian Academy of Sciences, Section A| issn=0253-4142 | volume=93 | issue=2 | pages=67–77 | doi=10.1007/BF02840651| s2cid=121808904 }}</ref><ref>{{Citation | url=http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html | author=Eric W. Weisstein | title=Ramanujan Continued Fractions}} at [[MathWorld]]</ref>
+का वर्गमूल [[श्रीनिवास रामानुजन]] द्वारा खोजी गई विभिन्न सर्वसमिकाओं में निरंतर अंशों को सम्मिलित करते हुए प्रकट होता है।<ref>{{Citation | last1=Ramanathan | first1=K. G. | title=On the Rogers-Ramanujan continued fraction |mr=813071 | year=1984 | journal= Proceedings of the Indian Academy of Sciences, Section A| issn=0253-4142 | volume=93 | issue=2 | pages=67–77 | doi=10.1007/BF02840651| s2cid=121808904 }}</ref><ref>{{Citation | url=http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html | author=Eric W. Weisstein | title=Ramanujan Continued Fractions}} at [[MathWorld]]</ref>
-उदाहरण के लिए, रोजर्स-रामानुजन का यह मामला निरंतर अंश:
+उदाहरण के लिए
 :<math>\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + { {} \atop \displaystyle \ddots}}}}}
 = \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{\frac{2\pi}{5}} = e^{\frac{2\pi}{5}}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right).</math>
@@ Line 169: / Line 167: @@
 {{Algebraic numbers}}
 {{Irrational number}}
-[[Category: गणितीय स्थिरांक]] [[Category: द्विघात अपरिमेय संख्या]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with unsourced statements]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from August 2007]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 03/02/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:गणितीय स्थिरांक]]
+[[Category:द्विघात अपरिमेय संख्या]]

v t e अपरिमेय संख्या
चेटिन ( $Ω$ )* Liouville* प्राइम ( $ρ$ )* ओमेगा* काहेन* 2 का लघुगणक* गॉस ( $G$ )* 2 की बारहवीं जड़* apéry's ( $ζ (3)$ )* प्लास्टिक $ρ$ )* 2 का वर्गमूल* सुपरगोल्डन अनुपात ( $ψ$ )* erdős -borwein ( $E$ )* गोल्डन अनुपात ( $φ$ )* 3 का वर्गमूल* 5 का वर्गमूल* चांदी का अनुपात ( $δ S$ )* 6 का वर्गमूल* 7 का वर्गमूल* यूलर ( $e$ )* Pi ( $π$ )
सिज़ोफ्रेनिक ट्रांसेंडेंटल त्रिकोणमितीय* सिज़ोफ्रेनिक ट्रांसेंडेंटल त्रिकोणमितीय सिज़ोफ्रेनिक ट्रांसेंडेंटल त्रिकोणमितीयसिज़ोफ्रेनिक नंबर
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तर्कसंगत सन्निकटन

सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्या से संबंध

ज्यामिति

त्रिकोणमिति

डायोगफैंटाइन सन्निकटन

बीजगणित

रामानुजन की पहचान

यह भी देखें

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तर्कसंगत सन्निकटन

सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्या से संबंध

ज्यामिति

त्रिकोणमिति

डायोगफैंटाइन सन्निकटन

बीजगणित

रामानुजन की पहचान

यह भी देखें

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