3 का वर्गमूल

3 का वर्गमूल

File:भुजा 2 के साथ समबाहु त्रिभुज.svg 2 भुजाओं वाले समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई 3 के वर्गमूल के बराबर है।
Representations
Continued fraction	$1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}$
Binary	1.10111011011001111010...

3 का वर्गमूल वह धनात्मक वास्तविक संख्या है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर, 3 (संख्या) प्राप्त होती है। इसे गणितीय रूप से ${\textstyle {\sqrt {3}}}$ या $3^{1/2}$ के रूप में निरूपित किया जाता है। इसे अधिक सटीक रूप से 3 का मुख्य वर्गमूल कहा जाता है ताकि इसे समान गुण वाली ऋणात्मक संख्या से अलग किया जा सके। 3 का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है। साइरेन के थियोडोरस के बाद इसे थियोडोरस स्थिरांक के रूप में भी जाना जाता है, जिसने इसकी तर्कहीनता साबित की।

दिसंबर 2013 तक, दशमलव अंकन में इसके संख्यात्मक मान की गणना कम से कम दस बिलियन अंकों तक की गई थी। इसका दशमलव विस्तार, यहाँ 65 दशमलव स्थानों पर लिखा गया है, OEIS: A002194 द्वारा दिया गया है:

1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806

अंश ${\textstyle {\frac {97}{56}}}$(1.732142857...) का उपयोग एक अच्छे सन्निकटन के रूप में किया जा सकता है। केवल 56 का भाजक होने के बावजूद, यह ${\textstyle {\frac {1}{10,000}}}$ (लगभग ${\textstyle 9.2\times 10^{-5}}$, की सापेक्ष त्रुटि के साथ, ${\textstyle 5\times 10^{-5}}$) से कम द्वारा सही मान से भिन्न होता है। 1.732 का गोल मान वास्तविक मान के 0.01% के भीतर सही है।

अंश ${\textstyle {\frac {716,035}{413,403}}}$ (1.73205080756...) के लिए सटीक है ${\textstyle 1\times 10^{-11}}$.

आर्किमिडीज ने इसके मूल्य के लिए एक सीमा की सूचना दी: ${\textstyle ({\frac {1351}{780}})^{2}>3>({\frac {265}{153}})^{2}}$.

निचली सीमा ${\textstyle {\frac {1351}{780}}}$ के लिए सटीक अनुमान है ${\sqrt {3}}$ को ${\textstyle {\frac {1}{608,400}}}$ (छह दशमलव स्थान, सापेक्ष त्रुटि ${\textstyle 3\times 10^{-7}}$) और ऊपरी सीमा${\textstyle {\frac {265}{153}}}$को ${\textstyle {\frac {2}{23,409}}}$ (चार दशमलव स्थान, सापेक्ष त्रुटि ${\textstyle 1\times 10^{-5}}$).

अभिव्यक्ति

इसे निरंतर अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (sequence A040001 in the OEIS).

अतः यह कहना सत्य है:

${\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}$

फिर कब $n\to \infty$ :

${\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a_{22}}{a_{12}}}-1$

इसे सामान्यीकृत निरंतर अंशों द्वारा भी व्यक्त किया जा सकता है जैसे

$[2;-4,-4,-4,...]=2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-\ddots }}}}}}$

जिसका प्रत्येक दूसरे अंश पर [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] मूल्यांकन किया जाता है।

ज्यामिति और त्रिकोणमिति

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एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई जिसकी भुजा लंबाई 2 है √3 है। साथ ही, एक 30-60-90 त्रिभुज का कर्ण वाला लंबा कैथेटस 2.

और, एक नियमित हेक्सागोन की लंबाई 1 की भुजाओं के साथ।

इकाई घन का विकर्ण है √3.

बिलिंस्की द्वादशफ़लक का यह प्रक्षेपण विकर्ण अनुपात वाला एक समचतुर्भुज है √3.

3 के वर्गमूल को एक समबाहु त्रिभुज के कैथेटस की लंबाई के रूप में पाया जा सकता है जो 1 के व्यास के साथ एक वृत्त को घेरता है।

यदि लंबाई 1 की भुजाओं वाले एक समबाहु त्रिभुज को एक भुजा के साथ एक समकोण बनाने के लिए एक आंतरिक कोण को समद्विभाजित करके दो बराबर हिस्सों में काटा जाता है, तो समकोण त्रिभुज का कर्ण लंबाई एक होता है, और भुजाएँ लंबाई की होती हैं ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ और ${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$. इससे, ${\textstyle \tan {60^{\circ }}={\sqrt {3}}}$, ${\textstyle \sin {60^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, और ${\textstyle \cos {30^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

3 का वर्गमूल कई अन्य सटीक त्रिकोणमितीय स्थिरांकों के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में भी प्रकट होता है, जिसमें शामिल हैं 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84°, और 87 की ज्याएँ शामिल होती है।

यह 1 भुजाओं वाले नियमित षट्भुज की समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी होती है।

यह एक इकाई घन के अंतरिक्ष विकर्ण की लंबाई होती है।

मछली मूत्राशय में $1:{\sqrt {3}}$ के बराबर लघु अक्ष अनुपात के लिए एक प्रमुख अक्ष होता है। इसके भीतर दो समबाहु त्रिभुजों की रचना करके दिखाया जा सकता है।

अन्य उपयोग और घटना

पॉवर इंजीनियरिंग

पावर इंजीनियरिंग में, तीन-चरण प्रणाली में दो चरणों के बीच का वोल्टेज न्यूट्रल वोल्टेज की रेखा के ${\textstyle {\sqrt {3}}}$ गुना के बराबर होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कोई भी दो चरण 120 डिग्री अलग हैं, और 120 डिग्री अलग सर्कल पर दो बिंदु त्रिज्या के ${\textstyle {\sqrt {3}}}$ गुना से अलग होते हैं (ऊपर ज्यामिति उदाहरण देखें)।

विशेष कार्य

यह ज्ञात है कि डेरिवेटिव की अधिकांश जड़ें $J_{\nu }^{(n)}(x)$ (जहाँ n <18 और $J_{\nu }(x)$ आदेश का बेसेल कार्य है $\nu$) पारलौकिक संख्या हैं। एकमात्र अपवाद $\pm {\sqrt {3}}$ संख्याएं हैं, जो दोनों $J_{1}^{(3)}(x)$ और $J_{0}^{(4)}(x)$ की बीजगणितीय जड़ें हैं।

यह भी देखें

• 2 का वर्गमूल
• 5 का वर्गमूल

बाहरी कड़ियाँ

• Theodorus' Constant at MathWorld
• Kevin Brown
• E. B. Davis