3 का वर्गमूल

3 का वर्गमूल

File:Equilateral triangle with side 2.svg The height of an equilateral triangle with sides of length 2 equals the square root of 3.
Representations
Continued fraction	$1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}$
Binary	1.10111011011001111010...

3 का वर्गमूल वह धनात्मक वास्तविक संख्या है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर, 3 (संख्या) प्राप्त होती है। इसे गणितीय रूप से ${\textstyle {\sqrt {3}}}$ या $3^{1/2}$ के रूप में निरूपित किया जाता है। इसे अधिक सटीक रूप से 3 का मुख्य वर्गमूल कहा जाता है ताकि इसे समान गुण वाली ऋणात्मक संख्या से अलग किया जा सके। 3 का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है। साइरेन के थियोडोरस के बाद इसे थियोडोरस स्थिरांक के रूप में भी जाना जाता है, जिसने इसकी तर्कहीनता साबित की।

दिसंबर 2013 तक, दशमलव अंकन में इसके संख्यात्मक मान की गणना कम से कम दस बिलियन अंकों तक की गई थी। इसका दशमलव विस्तार, यहाँ 65 दशमलव स्थानों पर लिखा गया है, OEIS: A002194 द्वारा दिया गया है:

1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806

अंश${\textstyle {\frac {97}{56}}}$(1.732142857...) एक अच्छे सन्निकटन के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। केवल 56 का भाजक होने के बावजूद, यह सही मान से कम से भिन्न होता है ${\textstyle {\frac {1}{10,000}}}$ (लगभग ${\textstyle 9.2\times 10^{-5}}$, की सापेक्ष त्रुटि के साथ ${\textstyle 5\times 10^{-5}}$). का गोल मान1.732वास्तविक मूल्य के 0.01% के भीतर सही है।

अंश ${\textstyle {\frac {716,035}{413,403}}}$ (1.73205080756...) के लिए सटीक है ${\textstyle 1\times 10^{-11}}$.

आर्किमिडीज ने इसके मूल्य के लिए एक सीमा की सूचना दी: ${\textstyle ({\frac {1351}{780}})^{2}>3>({\frac {265}{153}})^{2}}$. निचली सीमा${\textstyle {\frac {1351}{780}}}$के लिए सटीक अनुमान है${\sqrt {3}}$को ${\textstyle {\frac {1}{608,400}}}$ (छह दशमलव स्थान, सापेक्ष त्रुटि ${\textstyle 3\times 10^{-7}}$) और ऊपरी सीमा${\textstyle {\frac {265}{153}}}$को ${\textstyle {\frac {2}{23,409}}}$ (चार दशमलव स्थान, सापेक्ष त्रुटि ${\textstyle 1\times 10^{-5}}$).

भाव

इसे निरंतर अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (sequence A040001 in the OEIS).

अतः यह कहना सत्य है:

${\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}$

फिर कब $n\to \infty$ :

${\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a_{22}}{a_{12}}}-1$

इसे सामान्यीकृत निरंतर अंशों द्वारा भी व्यक्त किया जा सकता है जैसे

$[2;-4,-4,-4,...]=2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-\ddots }}}}}}$

जो है [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] हर दूसरे कार्यकाल में मूल्यांकन किया गया।

ज्यामिति और त्रिकोणमिति

0px

The height of an equilateral triangle with edge length 2 is √3. Also, the long leg of a 30-60-90 triangle with hypotenuse 2.

File:Root 3 Hexagon.svg

And, the height of a regular hexagon with sides of length 1.

File:Square root of 3 in cube.svg

इकाई घन का विकर्ण है √3.

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बिलिंस्की द्वादशफ़लक का यह प्रक्षेपण विकर्ण अनुपात वाला एक समचतुर्भुज है √3.

3 के वर्गमूल को एक समबाहु त्रिभुज की कैथेटस लंबाई के रूप में पाया जा सकता है जो 1 के व्यास वाले एक वृत्त को समाहित करता है।

यदि लंबाई 1 की भुजाओं वाले एक समबाहु त्रिभुज को एक भुजा के साथ एक समकोण बनाने के लिए एक आंतरिक कोण को समद्विभाजित करके दो बराबर हिस्सों में काटा जाता है, तो समकोण त्रिभुज का कर्ण लंबाई एक होता है, और भुजाएँ लंबाई की होती हैं${\textstyle {\frac {1}{2}}}$और${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$. इस से, ${\textstyle \tan {60^{\circ }}={\sqrt {3}}}$, ${\textstyle \sin {60^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$, और ${\textstyle \cos {30^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

3 का वर्गमूल अन्य सटीक त्रिकोणमितीय स्थिरांकों के बीजगणितीय व्यंजकों में भी प्रकट होता है, जिनमें शामिल हैं 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84°, और 87 की ज्या °।

यह 1 भुजाओं वाले नियमित षट्भुज की समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी है।

यह एक इकाई घन के अंतरिक्ष विकर्ण की लंबाई है।

मछली मूत्राशय में एक प्रमुख अक्ष से लघु अक्ष का अनुपात बराबर होता है $1:{\sqrt {3}}$. इसे इसके भीतर दो समबाहु त्रिभुजों की रचना करके दिखाया जा सकता है।

अन्य उपयोग और घटना

पॉवर इंजीनियरिंग

पावर इंजीनियरिंग में, तीन-चरण विद्युत शक्ति में दो चरणों के बीच वोल्टेज | तीन-चरण प्रणाली बराबर होती है${\textstyle {\sqrt {3}}}$न्यूट्रल वोल्टेज के लिए लाइन का गुना। ऐसा इसलिए है क्योंकि कोई भी दो चरण 120 डिग्री अलग हैं, और 120 डिग्री अलग एक सर्कल पर दो बिंदु अलग-अलग होते हैं${\textstyle {\sqrt {3}}}$त्रिज्या से गुणा (ऊपर #ज्यामिति और त्रिकोणमिति देखें)।

विशेष कार्य

यह ज्ञात है कि के nवें डेरिवेटिव की अधिकांश जड़ें $J_{\nu }^{(n)}(x)$ (जहाँ n <18 और $J_{\nu }(x)$ आदेश का बेसेल कार्य है $\nu$) पारलौकिक संख्या हैं। केवल संख्याएँ ही अपवाद हैं $\pm {\sqrt {3}}$, जो दोनों के बीजगणितीय मूल हैं $J_{1}^{(3)}(x)$ और $J_{0}^{(4)}(x)$.

यह भी देखें

• 2 का वर्गमूल
• 5 का वर्गमूल

बाहरी कड़ियाँ

• Theodorus' Constant at MathWorld
• Kevin Brown
• E. B. Davis