फलन आरेख: Difference between revisions

Revision as of 12:47, 9 February 2023

फ़ंक्शन का आरेख

f(x)={\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}.

गणित में, एक फलन का आरेख, क्रमित युग्म $f$ $(x,y)$ का समुच्चय है , जहाँ $f(x)=y.$ सामान्यतः जहां $x$ और $f(x)$ वास्तविक संख्याएं हैं, ये युग्म दो-आयामी स्थान में बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक हैं और इस प्रकार इस समतल का एक उपसमुच्चय बनाते हैं।

दो चर के फलनों के संबंध में $(x,y),$ वह युग्म है जिसके फलन का आरेख सामान्यतः क्रमिक त्रयी $(x,y,z)$ के समुच्चय को संदर्भित करता है जहाँ $f(x,y)=z,$ जैसे कि ऊपर की परिभाषा में संदर्भित है। यह समुच्चय त्रि-आयामी स्थान का एक उप समुच्चय है और दो वास्तविक चर के निरंतर वास्तविक मूल्यवान फलन के लिए, यह एक समतल है।

विज्ञान, अभियांत्रिकी, प्रौद्योगिकी, वित्त और अन्य क्षेत्रों में, रेखांकन कई उद्देश्यों के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण हैं। सबसे सरल प्रयोजन में एक चर को, सामान्यतः आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग करके एक दूसरे के फलन के रूप में दर्शाया जाता है।

फलन का आरेख, संबंध की एक विशेष विभक्ति है। गणित की आधुनिक ढ़ाचों और, सामान्यतः समुच्चय सिद्धांत में, एक फलन वास्तव में इसके आरेख के समान है।^[1] यद्यपि, यह सामान्यतः मानचित्र के रूप में फलनों को देखने के लिए उपयोगी होता है,^[2] जिसमें न केवल निविष्ट और निर्गत के मध्य संबंध सम्मिलित है, किन्तु यह भी कि कौन सा समुच्चय अनुक्षेत्र है, और कौन सा समुच्चय संहितात्मक है। उदाहरण के लिए, यह कहने के लिए कि एक फलन अधिसूचित कार्य पर है, उपअनुक्षेत्र को ध्यान में नहीं रखा जाना चाहिए। एक फलन का आरेख अपने बल उपअनुक्षेत्र को निर्धारित नहीं करता है।^[3] एक ही वस्तु पर विचार करने के बाद भी किसी फलन और आरेख दोनों का उपयोग करने के लिए, वे इसे एक अलग दृष्टिकोण से देखने का संकेत देते हैं।

परिभाषा

एक मानचित्रण $f:X\to Y,$ दिया गया है। दूसरे शब्दों में कहे तो फलन $f$ में अनुक्षेत्र के साथ $X$ और उपअनुक्षेत्र $Y,$ मानचित्रण के आरेख है^[4]

समुच्चय

G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},

जो

X\times Y

उप समुच्चय है एक फलन की अमूर्त परिभाषा में,

G(f)

वास्तव में

f.

के बराबर है

यह देखा जा सकता है कि अगर, $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},$ तो आरेख $G(f)$ , $\mathbb {R} ^{n+m}$ का उप समुच्चय है।

उदाहरण

एक चर वाले फलन

File:Three-dimensional graph.png

फ़ंक्शन का आरेख (गणित)

f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right).

$f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ फलन का आरेख जो

f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}

द्वारा परिभाषित होता है,

\{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}

समुच्चय का उप समुच्चय है जिसमे

[1]

[2]

[3]

[4]

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 [[File:Polynomial of degree three.svg|thumb|250x250px | फ़ंक्शन का आरेख <math>f(x)=\frac{x^3+3x^2-6x-8}{4}.</math>]][[गणित]] में, एक फलन का आरेख, क्रमित युग्म <math>f</math><math>(x, y)</math> का समुच्चय है , जहाँ <math>f(x) = y.</math> सामान्यतः जहां <math>x</math> और <math>f(x)</math> [[वास्तविक संख्या]]एं हैं, ये युग्म दो-आयामी स्थान में बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक हैं और इस प्रकार इस समतल का एक उपसमुच्चय बनाते हैं।
-दो चर के फलनों के संबंध में <math>(x, y),</math> वह युग्म है जिसके फलन का आरेख सामान्यतः क्रमिक त्रयी <math>(x, y, z)</math> के समुच्चय को संदर्भित करता है जहाँ <math>f(x,y) = z,</math>  जैसा कि ऊपर की परिभाषा में संदर्भित है। यह समुच्चय त्रि-आयामी स्थान का एक उप समुच्चय है और दो वास्तविक चर के निरंतर वास्तविक मूल्यवान फलन के लिए, यह एक समतल है।
+दो चर के फलनों के संबंध में <math>(x, y),</math> वह युग्म है जिसके फलन का आरेख सामान्यतः क्रमिक त्रयी <math>(x, y, z)</math> के समुच्चय को संदर्भित करता है जहाँ <math>f(x,y) = z,</math>  जैसे कि ऊपर की परिभाषा में संदर्भित है। यह समुच्चय त्रि-आयामी स्थान का एक उप समुच्चय है और दो वास्तविक चर के निरंतर वास्तविक मूल्यवान फलन के लिए, यह एक समतल है।
-[[विज्ञान]], [[अभियांत्रिकी]], प्रौद्योगिकी, [[वित्त]] और अन्य क्षेत्रों में, रेखांकन कई उद्देश्यों के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण हैं। सबसे सरल मामले में एक चर को, सामान्यतः आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग करके दूसरे के एक फलन के रूप में दर्शाया जाता है।
+[[विज्ञान]], [[अभियांत्रिकी]], प्रौद्योगिकी, [[वित्त]] और अन्य क्षेत्रों में, रेखांकन कई उद्देश्यों के लिए उपयोग किए जाने वाले उपकरण हैं। सबसे सरल प्रयोजन में एक चर को, सामान्यतः आयताकार समन्वय प्रणाली का उपयोग करके एक दूसरे के फलन के रूप में दर्शाया जाता है।
-फलन का आरेख, [[संबंध (गणित)|संबंध]] की एक विशेष विभक्ति है। गणित की आधुनिक ढ़ाचों और, सामान्यतः समुच्चय सिद्धांत में, एक फलन वास्तव में इसके आरेख के समान है।<ref name="Pinter2014">{{cite book|author=Charles C Pinter|title=A Book of Set Theory|url=https://books.google.com/books?id=iUT_AwAAQBAJ&pg=PA49|year=2014|orig-year=1971|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-79549-2|pages=49}}</ref> यद्यपि, यह सामान्यतः [[मानचित्र (गणित)|मानचित्र]] के रूप में फलनों को देखने के लिए उपयोगी होता है,<ref>{{cite book|author=T. M. Apostol|title=Mathematical Analysis|year=1981|publisher=Addison-Wesley|page=35}}</ref> जिसमें न केवल निविष्ट और निर्गत के मध्य संबंध सम्मिलित है, बल्कि यह भी कि कौन सा समुच्चय अनुक्षेत्र है, और कौन सा समुच्चय [[संहितात्मक]] है। उदाहरण के लिए, यह कहने के लिए कि एक फलन [[अधिसूचित कार्य]] पर है, उपअनुक्षेत्र को ध्यान में नहीं रखा जाना चाहिए। एक फलन का आरेख अपने बल उपअनुक्षेत्र को निर्धारित नहीं करता है।<ref>{{cite book|author=P. R. Halmos|title=A Hilbert Space Problem Book|url=https://archive.org/details/hilbertspaceprob00halm_811|url-access=limited|year=1982|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-90685-1|page=[https://archive.org/details/hilbertspaceprob00halm_811/page/n47 31]}}</ref> एक ही वस्तु पर विचार करने के बाद भी किसी फलन और आरेख दोनों का उपयोग करने के लिए, वे इसे एक अलग दृष्टिकोण से देखने का संकेत देते हैं।
+फलन का आरेख, [[संबंध (गणित)|संबंध]] की एक विशेष विभक्ति है। गणित की आधुनिक ढ़ाचों और, सामान्यतः समुच्चय सिद्धांत में, एक फलन वास्तव में इसके आरेख के समान है।<ref name="Pinter2014">{{cite book|author=Charles C Pinter|title=A Book of Set Theory|url=https://books.google.com/books?id=iUT_AwAAQBAJ&pg=PA49|year=2014|orig-year=1971|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-79549-2|pages=49}}</ref> यद्यपि, यह सामान्यतः [[मानचित्र (गणित)|मानचित्र]] के रूप में फलनों को देखने के लिए उपयोगी होता है,<ref>{{cite book|author=T. M. Apostol|title=Mathematical Analysis|year=1981|publisher=Addison-Wesley|page=35}}</ref> जिसमें न केवल निविष्ट और निर्गत के मध्य संबंध सम्मिलित है, किन्तु यह भी कि कौन सा समुच्चय अनुक्षेत्र है, और कौन सा समुच्चय [[संहितात्मक]] है। उदाहरण के लिए, यह कहने के लिए कि एक फलन [[अधिसूचित कार्य]] पर है, उपअनुक्षेत्र को ध्यान में नहीं रखा जाना चाहिए। एक फलन का आरेख अपने बल उपअनुक्षेत्र को निर्धारित नहीं करता है।<ref>{{cite book|author=P. R. Halmos|title=A Hilbert Space Problem Book|url=https://archive.org/details/hilbertspaceprob00halm_811|url-access=limited|year=1982|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-90685-1|page=[https://archive.org/details/hilbertspaceprob00halm_811/page/n47 31]}}</ref> एक ही वस्तु पर विचार करने के बाद भी किसी फलन और आरेख दोनों का उपयोग करने के लिए, वे इसे एक अलग दृष्टिकोण से देखने का संकेत देते हैं।
 == परिभाषा ==

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एक चर वाले फलन