शेषफल: Difference between revisions

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[[गणित]] में, शेष वह राशि है जो कुछ संगणना करने के बाद बची रहती है। [[अंकगणित]] में, शेषफल भागफल (गणित) के बाद बचा हुआ [[पूर्णांक]] होता है जो एक पूर्णांक द्वारा दूसरे पूर्णांक को भागफल ([[यूक्लिडियन विभाजन]]) उत्पन्न करने के लिए छोड़ दिया जाता है। बहुपदों के [[बीजगणित]] में, एक बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देने पर बचा हुआ बहुपद शेष होता है। '[[मॉड्यूल ऑपरेशन]]' वह ऑपरेशन है जो लाभांश और भाजक दिए जाने पर ऐसा शेष उत्पन्न करता है।
[[गणित]] में, शेषफल फल वह राशि है जो कुछ संगणना करने के बाद बची रहती है। [[अंकगणित]] में, पूर्णांक भागफल ([[यूक्लिडियन विभाजन]]) उत्पन्न करने के लिए एक पूर्णांक को दूसरे से विभाजित करने के बाद शेषफल फल "बचा हुआ" [[पूर्णांक]] होता है। बहुपदों के [[बीजगणित]] में, एक बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देने पर बचा हुआ बहुपद शेषफल फल होता है। '[[मॉड्यूल ऑपरेशन]]' वह संक्रिया है जो लाभांश और भाजक दिए जाने पर ऐसा शेषफल फल उत्पन्न करता है।


वैकल्पिक रूप से, एक शेष वह भी होता है जो एक संख्या को दूसरे से घटाने के बाद बचता है, हालाँकि इसे अधिक सटीक रूप से ''अंतर'' कहा जाता है। यह प्रयोग कुछ प्रारंभिक पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है; बोलचाल की भाषा में इसे बाकी की अभिव्यक्ति से बदल दिया जाता है जैसे मुझे दो डॉलर वापस दें और बाकी को रखें।<ref>{{harvnb|Smith|1958|loc=p. 97}}</ref> हालांकि, शब्द शेष अभी भी इस अर्थ में प्रयोग किया जाता है जब एक फ़ंक्शन (गणित) को [[श्रृंखला विस्तार]] द्वारा अनुमानित किया जाता है, जहां त्रुटि अभिव्यक्ति (बाकी) को शेष शब्द के रूप में संदर्भित किया जाता है।
वैकल्पिक रूप से, एक शेषफल फल वह भी होता है जो एक संख्या को दूसरे से घटाने के बाद शेषफल  रह जाता है, हालाँकि इसे अधिक सटीक रूप से ''अंतर'' कहा जाता है। यह प्रयोग कुछ प्रारंभिक पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है; बोलचाल की भाषा में इसे "बाकी" की अभिव्यक्ति से बदल दिया जाता है जैसे "मुझे दो डॉलर वापस दें और बाकी को रखें।" <ref>{{harvnb|Smith|1958|loc=p. 97}}</ref> हालांकि, शब्द शेषफल फल अभी भी इस अर्थ में प्रयोग किया जाता है जब एक फ़ंक्शन (गणित) को [[श्रृंखला विस्तार]] द्वारा अनुमानित किया जाता है, जहां त्रुटि अभिव्यक्ति (शेषफल ) को शेषफल फल शब्द के रूप में संदर्भित किया जाता है।


== पूर्णांक विभाजन ==
== पूर्णांक विभाजन ==


एक पूर्णांक a और एक गैर-शून्य पूर्णांक d दिया गया है, यह दिखाया जा सकता है कि अद्वितीय पूर्णांक q और r मौजूद हैं, जैसे कि {{math|1=''a'' = ''qd''&nbsp;+&nbsp;''r''}} और {{math|1=0&nbsp;≤&nbsp;''r''&nbsp;<&nbsp;{{mabs|''d''}}}}. संख्या q को भागफल कहा जाता है, जबकि r को शेषफल कहा जाता है।
एक पूर्णांक a और एक गैर-शून्य पूर्णांक d दिया गया है, यह दिखाया जा सकता है कि अद्वितीय पूर्णांक q और r उपस्थित हैं, जैसे कि {{math|1=''a'' = ''qd''&nbsp;+&nbsp;''r''}} और {{math|1=0&nbsp;≤&nbsp;''r''&nbsp;<&nbsp;{{mabs|''d''}}}}. संख्या q को भागफल कहा जाता है, जबकि r को शेषफल फल कहा जाता है।


(इस परिणाम के प्रमाण के लिए, यूक्लिडियन डिवीजन देखें। शेषफल की गणना करने के तरीके का वर्णन करने वाले एल्गोरिदम के लिए, [[विभाजन एल्गोरिथ्म]] देखें।)
(इस परिणाम के प्रमाण के लिए, यूक्लिडियन विभाजन देखें। शेषफल फल की गणना करने के तरीके का वर्णन करने वाले एल्गोरिदम के लिए, [[विभाजन एल्गोरिथ्म]] देखें।)


शेष, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, को सबसे कम धनात्मक शेष या केवल शेषफल कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Ore|1988|loc=p. 30}}. But if the remainder is 0, it is not positive, even though it is called a "positive remainder".</ref> पूर्णांक a या तो d का गुणज है, या d के क्रमागत गुणकों के बीच अंतराल में स्थित है, अर्थात्, q⋅d और (q + 1)d (सकारात्मक q के लिए)।
शेषफल , जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, को सबसे कम धनात्मक शेषफल फल या केवल शेषफल फल कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Ore|1988|loc=p. 30}}. But if the remainder is 0, it is not positive, even though it is called a "positive remainder".</ref> पूर्णांक a या तो d का गुणज है, या d के क्रमागत गुणकों के बीच अंतराल में स्थित है, अर्थात्, q⋅d और (q + 1)d (सकारात्मक q के लिए)।


कुछ मौकों पर, विभाजन करना सुविधाजनक होता है ताकि a जितना संभव हो सके d के अभिन्न गुणक के करीब हो, यानी हम लिख सकते हैं
कुछ अवसर पर, विभाजन करना सुविधाजनक होता है ताकि a जितना संभव हो सके d के अभिन्न गुणक के करीब हो, अर्थात् हम लिख सकते हैं
:a = k⋅d + s, |s| के साथ ≤ |डी/2| किसी पूर्णांक k के लिए।
:a = k⋅d + s, |s| के साथ ≤ |डी/2| किसी पूर्णांक k के लिए।
इस स्थिति में, s को लघुत्तम निरपेक्ष शेषफल कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Ore|1988|loc=p. 32}}</ref> जैसा कि भागफल और शेष के साथ होता है, k और s विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं, उस स्थिति को छोड़कर जहाँ d = 2n और s = ± n। इस अपवाद के लिए, हमारे पास है:
इस स्थिति में, s को लघुत्तम न्यूनतम पूर्ण शेषफल फल कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Ore|1988|loc=p. 32}}</ref> जैसा कि भागफल और शेषफल फल के साथ होता है, k और s विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं, उस स्थिति को छोड़कर जहाँ d = 2n और s = ± n। इस अपवाद के लिए, हमारे पास है:
: ए = के⋅डी + एन = (के + 1) डी - एन।
: ए = के⋅डी + एन = (के + 1) डी - एन।
इस मामले में कुछ परिपाटी द्वारा अद्वितीय शेषफल प्राप्त किया जा सकता है - जैसे हमेशा s का धनात्मक मान लेना।
इस स्थिति में कुछ परिपाटी द्वारा अद्वितीय शेषफल फल प्राप्त किया जा सकता है - जैसे हमेशा s का धनात्मक मान लेना।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
43 बटा 5 के विभाजन में, हमारे पास:
43 बटा 5 के विभाजन में, हमारे पास:
: 43 = 8 × 5 + 3,
: 43 = 8 × 5 + 3,
इसलिए 3 सबसे कम धनात्मक शेषफल है। हमारे पास वह भी है:
इसलिए 3 सबसे कम धनात्मक शेषफल फल है। हमारे पास वह भी है:
: 43 = 9 × 5 - 2,
: 43 = 9 × 5 - 2,
और -2 न्यूनतम पूर्ण शेषफल है।
और -2 न्यूनतम पूर्ण शेषफल फल है।


ये परिभाषाएँ तब भी मान्य होती हैं जब d ऋणात्मक हो, उदाहरण के लिए, 43 को -5 से विभाजित करने पर,
ये परिभाषाएँ तब भी मान्य होती हैं जब d ऋणात्मक हो, उदाहरण के लिए, 43 को -5 से विभाजित करने पर,
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:43 = (−8) × (−5) + 3,
:43 = (−8) × (−5) + 3,


और 3 सबसे कम धनात्मक शेषफल है, जबकि,
और 3 सबसे कम धनात्मक शेषफल फल है, जबकि,


:43 = (−9) × (−5) + (−2)
:43 = (−9) × (−5) + (−2)


और -2 न्यूनतम पूर्ण शेषफल है।
और -2 न्यूनतम पूर्ण शेषफल फल है।


42 से 5 के विभाजन में, हमारे पास है:
42 से 5 के विभाजन में, हमारे पास है:
:42 = 8 × 5 + 2,
:42 = 8 × 5 + 2,
और चूँकि 2 < 5/2, 2 न्यूनतम धनात्मक शेषफल और न्यूनतम निरपेक्ष शेषफल दोनों है।
और चूँकि 2 < 5/2, 2 न्यूनतम धनात्मक शेषफल फल और न्यूनतम निरपेक्ष शेषफल फल दोनों है।


इन उदाहरणों में, (नकारात्मक) कम से कम निरपेक्ष शेषफल 5 घटाकर प्राप्त किया जाता है, जो कि d है। यह सामान्य रूप से रहता है। डी से विभाजित करते समय, या तो दोनों अवशेष सकारात्मक होते हैं और इसलिए बराबर होते हैं, या उनके विपरीत संकेत होते हैं। यदि धनात्मक शेषफल r है<sub>1</sub>, और नकारात्मक आर है<sub>2</sub>, तब
इन उदाहरणों में, (नकारात्मक) कम से कम निरपेक्ष शेषफल फल 5 घटाकर प्राप्त किया जाता है, जो कि d है। यह सामान्य रूप से रहता है। डी से विभाजित करते समय, या तो दोनों अवशेषफल फल सकारात्मक होते हैं और इसलिए बराबर होते हैं, या उनके विपरीत संकेत होते हैं। यदि धनात्मक शेषफल r1 है, और नकारात्मक शेषफल r2 है, तो


:आर<sub>1</sub> = आर<sub>2</sub> + घ।
:r1 = r2 + d


== फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों के लिए ==
== फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या के लिए ==


जब ए और डी फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर होते हैं, डी गैर-शून्य के साथ, ए को शेष के बिना डी द्वारा विभाजित किया जा सकता है, भागफल एक और फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर होता है। यदि भागफल एक पूर्णांक होने के लिए विवश है, तथापि, शेषफल की अवधारणा अभी भी आवश्यक है। यह साबित किया जा सकता है कि एक अद्वितीय पूर्णांक भागफल q और एक अद्वितीय फ़्लोटिंग-पॉइंट शेष r मौजूद है जैसे a = qd + r 0 ≤ r < |d| के साथ।
जब ए और डी फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या होते हैं, डी गैर-शून्य के साथ, ए को शेषफल फल के बिना डी द्वारा विभाजित किया जा सकता है, भागफल एक और फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या होता है। यदि भागफल एक पूर्णांक होने के लिए विवश है, तथापि, शेषफल फल की अवधारणा अभी भी आवश्यक है। यह साबित किया जा सकता है कि एक अद्वितीय पूर्णांक भागफल q और एक अद्वितीय फ़्लोटिंग-पॉइंट शेषफल फल r उपस्थित है जैसे a = qd + r 0 ≤ r < |d| के साथ।


[[चल बिन्दु संख्या]]ों के लिए शेष की परिभाषा का विस्तार, जैसा कि ऊपर वर्णित है, गणित में सैद्धांतिक महत्व का नहीं है; हालाँकि, कई [[प्रोग्रामिंग भाषा]]एँ इस परिभाषा को लागू करती हैं (मॉड्यूलो ऑपरेशन देखें)।
[[चल बिन्दु संख्या]]ों के लिए शेषफल फल की परिभाषा का विस्तार, जैसा कि ऊपर वर्णित है, गणित में सैद्धांतिक महत्व का नहीं है; हालाँकि, कई [[प्रोग्रामिंग भाषा]]एँ इस परिभाषा को लागू करती हैं (मॉड्यूलो संक्रिया देखें)।


== प्रोग्रामिंग भाषाओं में ==
== प्रोग्रामिंग भाषाओं में ==
{{Main|Modulo operation}}
{{Main|मोडुलो ऑपरेशन}}
जबकि परिभाषाओं में निहित कोई कठिनाइयां नहीं हैं, कार्यान्वयन के मुद्दे हैं जो तब उत्पन्न होते हैं जब शेषफलों की गणना में ऋणात्मक संख्याएं शामिल होती हैं। विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं ने अलग-अलग परंपराओं को अपनाया है। उदाहरण के लिए:


* [[पास्कल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] मॉड ऑपरेशन के परिणाम को सकारात्मक चुनता है, लेकिन d को नकारात्मक या शून्य होने की अनुमति नहीं देता है (इसलिए, {{nowrap|1=''a'' = (''a div d'' ) × ''d'' + ''a mod d''}} हमेशा मान्य नहीं होता है)।
जबकि परिभाषाओं में निहित कोई कठिनाइयां नहीं हैं, कार्यान्वयन के मुद्दे हैं जो तब उत्पन्न होते हैं जब शेषफल फलों की गणना में ऋणात्मक संख्याएं शामिल होती हैं। विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं ने अलग-अलग परंपराओं को अपनाया है। उदाहरण के लिए:
* [[C99]] लाभांश के समान चिन्ह के साथ शेष को चुनता है।
 
* [[पास्कल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] मॉड संक्रिया के परिणाम को सकारात्मक चुनता है, लेकिन d को नकारात्मक या शून्य होने की अनुमति नहीं देता है (इसलिए, {{nowrap|1=''a'' = (''a div d'' ) × ''d'' + ''a mod d''}} हमेशा मान्य नहीं होता है)।
* [[C99]] लाभांश के समान चिन्ह के साथ शेषफल फल को चुनता है।
रेफरी>{{cite web |title=C99 विनिर्देश (ISO/IEC 9899:TC2)|url=http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/docs/n1124.pdf |access-date=16 August 2018 |location=6.5.5 Multiplicative operators |date=2005-05-06}}</ref> (C99 से पहले, C भाषा अन्य विकल्पों की अनुमति देती थी।)
रेफरी>{{cite web |title=C99 विनिर्देश (ISO/IEC 9899:TC2)|url=http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/docs/n1124.pdf |access-date=16 August 2018 |location=6.5.5 Multiplicative operators |date=2005-05-06}}</ref> (C99 से पहले, C भाषा अन्य विकल्पों की अनुमति देती थी।)
* [[पर्ल]], [[पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (केवल आधुनिक संस्करण) भाजक डी के समान चिह्न के साथ शेष का चयन करें। रेफरी>{{cite web |title=बिल्ट-इन फ़ंक्शंस - पायथन 3.10.7 प्रलेखन|url=https://docs.python.org/3.10/library/functions.html#divmod |access-date=10 September 2022 |date=2022-09-09}}</रेफरी>
* [[पर्ल]], [[पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (केवल आधुनिक संस्करण) भाजक डी के समान चिह्न के साथ शेषफल फल का चयन करें। रेफरी>{{cite web |title=बिल्ट-इन फ़ंक्शंस - पायथन 3.10.7 प्रलेखन|url=https://docs.python.org/3.10/library/functions.html#divmod |access-date=10 September 2022 |date=2022-09-09}}</रेफरी>
* [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और स्कीम (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) दो कार्यों की पेशकश करते हैं, शेष और मोडुलो - एडा (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[सामान्य लिस्प]] और पीएल / आई में मॉड और रेम है, जबकि [[फोरट्रान]] में मॉड और मोडुलो है; प्रत्येक मामले में, पूर्व लाभांश के साथ हस्ताक्षर करता है, और बाद वाला भाजक के साथ।
* [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और स्कीम (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) दो कार्यों की पेशकश करते हैं, शेषफल फल और मोडुलो - एडा (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[सामान्य लिस्प]] और पीएल / आई में मॉड और रेम है, जबकि [[फोरट्रान]] में मॉड और मोडुलो है; प्रत्येक स्थिति में, पूर्व लाभांश के साथ हस्ताक्षर करता है, और बाद वाला भाजक के साथ।


== बहुपद विभाजन ==
== बहुपद विभाजन ==
{{main|Euclidean division of polynomials}}
{{main|बहुपदों का यूक्लिडियन विभाजन}}
बहुपदों का यूक्लिडियन विभाजन पूर्णांकों के यूक्लिडियन विभाजन के समान है और बहुपद अवशेषों की ओर जाता है। इसका अस्तित्व निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: दिए गए दो अविभाजित बहुपद a(x) और b(x) (जहाँ b(x) एक गैर-शून्य बहुपद है) एक क्षेत्र पर परिभाषित (विशेष रूप से, [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]एँ) , दो बहुपद q(x) (भागफल) और r(x) (शेष) मौजूद हैं जो संतुष्ट करते हैं:<ref>{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 154}}</ref>
 
बहुपदों का यूक्लिडियन विभाजन पूर्णांकों के यूक्लिडियन विभाजन के समान है और बहुपद अवशेषफल ों की ओर जाता है। इसका अस्तित्व निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: दिए गए दो अविभाजित बहुपद a(x) और b(x) (जहाँ b(x) एक गैर-शून्य बहुपद है) एक क्षेत्र पर परिभाषित (विशेषफल फल रूप से, [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]एँ) , दो बहुपद q(x) (भागफल) और r(x) (शेषफल ) उपस्थित हैं जो संतुष्ट करते हैं:<ref>{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 154}}</ref>
:<math>a(x) = b(x)q(x) + r(x)</math>
:<math>a(x) = b(x)q(x) + r(x)</math>
कहाँ पे
कहाँ पे
:<math>\deg(r(x)) < \deg(b(x)),</math>
:<math>\deg(r(x)) < \deg(b(x)),</math>
जहाँ deg(...) बहुपद की डिग्री को दर्शाता है (स्थिर बहुपद की डिग्री जिसका मान हमेशा 0 होता है, को ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, ताकि यह डिग्री स्थिति हमेशा मान्य रहे जब यह शेषफल हो)। इसके अलावा, q(x) और r(x) इन संबंधों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।
जहाँ deg(...) बहुपद की डिग्री को दर्शाता है (स्थिर बहुपद की डिग्री जिसका मान हमेशा 0 होता है, को ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, ताकि यह डिग्री स्थिति हमेशा मान्य रहे जब यह शेषफल फल हो)। इसके अलावा, q(x) और r(x) इन संबंधों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।
 
यह पूर्णांकों के यूक्लिडियन विभाजन से भिन्न है, पूर्णांकों के लिए, डिग्री की स्थिति को शेषफल फल r पर सीमा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (गैर-ऋणात्मक और भाजक से कम, जो यह सुनिश्चित करता है कि r अद्वितीय है।) यूक्लिडियन विभाजन के बीच समानता पूर्णांकों के लिए और बहुपदों के लिए सबसे सामान्य बीजगणितीय सेटिंग की खोज को प्रेरित करता है जिसमें यूक्लिडियन विभाजन मान्य है। जिन वलय के लिए ऐसी प्रमेय उपस्थित है उन्हें [[यूक्लिडियन डोमेन]] कहा जाता है, लेकिन इस व्यापकता में भागफल और शेषफल फल की विशिष्टता की गारंटी नहीं है।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 267}}</ref>
 
बहुपद विभाजन [[बहुपद शेष प्रमेय|बहुपद शेषफल फल प्रमेय]] के रूप में ज्ञात परिणाम की ओर ले जाता है: यदि एक बहुपद f(x) को x - k से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल फल अचर r = f(k) होता है।<ref>{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 157}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial Remainder Theorem|url=https://mathworld.wolfram.com/PolynomialRemainderTheorem.html|access-date=2020-08-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>


यह पूर्णांकों के यूक्लिडियन विभाजन से भिन्न है, पूर्णांकों के लिए, डिग्री की स्थिति को शेष r पर सीमा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (गैर-ऋणात्मक और भाजक से कम, जो यह सुनिश्चित करता है कि r अद्वितीय है।) यूक्लिडियन विभाजन के बीच समानता पूर्णांकों के लिए और बहुपदों के लिए सबसे सामान्य बीजगणितीय सेटिंग की खोज को प्रेरित करता है जिसमें यूक्लिडियन विभाजन मान्य है। जिन वलय के लिए ऐसी प्रमेय मौजूद है उन्हें [[यूक्लिडियन डोमेन]] कहा जाता है, लेकिन इस व्यापकता में भागफल और शेष की विशिष्टता की गारंटी नहीं है।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 267}}</ref>
बहुपद विभाजन [[बहुपद शेष प्रमेय]] के रूप में ज्ञात परिणाम की ओर ले जाता है: यदि एक बहुपद f(x) को x - k से विभाजित किया जाता है, तो शेष अचर r = f(k) होता है।<ref>{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 157}}</ref><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial Remainder Theorem|url=https://mathworld.wolfram.com/PolynomialRemainderTheorem.html|access-date=2020-08-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>




Revision as of 00:35, 8 February 2023

For other uses, see शेषफल (disambiguation).
Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)
Exponentiation (^)
nth root (√)
Logarithm (log)