प्रसार ग्राफ: Difference between revisions

Revision as of 20:10, 15 January 2023

चार ट्रांसमीटर (Tx1-Tx4), तीन रिसीवर (Rx1-Rx3) और छह स्कैटर S1-S6 के साथ प्रसार रेखांकन का उदाहरण। प्रसार संभव होने पर एक किनारे को एक शीर्ष से दूसरे तक खींचा जाता है।

प्रसार रेखांकन रेडियो प्रसार चैनलों के लिए एक गणितीय मॉडलिंग पद्धति है। प्रसार रेखांकन एक सिग्नल-फ्लो रेखांकन है जिसमें शिखर ट्रांसमीटर, रिसीवर या स्कैटर का प्रतिनिधित्व करते हैं। शिखर के मध्य रेखांकन मॉडल प्रसार की स्थिति में किनारे। प्रसार रेखांकन मॉडल शुरू में ट्रॉल्स पेडर्सन, एट अल द्वारा मल्टीपल स्कैटरिंग वाले परिदृश्यों में मल्टीपाथ प्रसार के लिए विकसित किए गए थे, जैसे इनडोर रेडियो प्रसार।^[1]^[2]^[3]इसे बाद में कई अन्य परिदृश्यों में लागू किया गया।

गणितीय परिभाषा

प्रसार रेखांकन एक सरल निर्देशित रेखांकन ${\mathcal {G}}=({\mathcal {V}},{\mathcal {E}})$ है, शिखर सेट ${\mathcal {V}}$ और एज सेट ${\mathcal {E}}$ के साथ .

प्रसार परिदृश्य में शिखर मॉडल ऑब्जेक्ट्स। शिखर सेट ${\mathcal {V}}$ के रूप में तीन असंयुक्त सेटों में विभाजित है

 ${\mathcal {V}}={\mathcal {V}}_{t}\cup {\mathcal {V}}_{r}\cup {\mathcal {V}}_{s}$  जहाँ   ${\mathcal {V}}_{t}$  ट्रांसमीटरों का सेट है,  ${\mathcal {V}}_{r}$  रिसीवर का सेट है और स्कैटर नामक वस्तुओं का समूह है।

किनारा सेट ${\mathcal {E}}$ शिखरों के बीच प्रसार मॉडल प्रसार स्थिति को मॉडल करता है। चूँकि ${\mathcal {G}}$ सरल माना जाता है, ${\mathcal {E}}\subset {\mathcal {V}}^{2}$ और एक किनारे को एक जोड़ी शिखर द्वारा पहचाना जा सकता है जैसे $e=(v,v')$ | एक किनारा $e=(v,v')$ , ${\mathcal {E}}$ में शामिल है यदि शिखर द्वारा उत्सर्जित सिग्नल $v$ , $v'$ तक प्रसार कर सकते हैं | प्रसार रेखांकन में, ट्रांसमीटरों के इनकमिंग-किनारे नहीं हो सकते हैं और रिसीवर के पास आउटगोइंग-किनारे नहीं हो सकते हैं।

दो प्रसार नियम माने जाते हैं

शिखर अपने इनकमिंग-किनारों के माध्यम से आने वाले संकेतों को एकत्र करता है और आउटगोइंग-किनारों के माध्यम से स्केल किया गया संस्करण भेजता है।
प्रत्येक किनारा $e=(v,v')$ , $v$ से $v'$ को सिग्नल ट्रांसफर करता है जो ट्रांसफर फ़ंक्शन द्वारा स्केल किया गया।

शिखर गेन स्केलिंग और एज ट्रांसफर फ़ंक्शंस की परिभाषा को विशेष परिदृश्यों को समायोजित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है और सिमुलेशन में मॉडल का उपयोग करने के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए। प्रकाशित साहित्य में विभिन्न प्रसार रेखांकन मॉडल के लिए ऐसी कई परिभाषाओं पर विचार किया गया है।

File:PropagationGraphVectorFlowGraph.png

एक प्रसार रेखांकन का वेक्टर सिग्नल फ्लो रेखांकन।

किनारा ट्रांसफर फ़ंक्शंस (फूरियर डोमेन में) को ट्रांसफर मैट्रिसेस में समूहीकृत किया जा सकता है

$\mathbf {D} (f)$ ट्रांसमीटर से रिसीवर तक सीधा प्रसार
$\mathbf {T} (f)$ ट्रांसमीटर से स्कैटर
$\mathbf {R} (f)$ स्कैटर से रिसीवर
$\mathbf {B} (f)$ स्कैटर से स्कैटर,

जहाँ $f$ आवृत्ति चर है।

जो प्रेषित सिग्नल के फूरियर रूपांतरण को $\mathbf {X} (f)$ द्वारा प्रदर्शित करता है, प्राप्त संकेत आवृत्ति डोमेन में पढ़ता है

Y (f) = D (f) X (f) + R (f) T (f) X (f) + R (f) B (f

[1]

[2]

[3]

@@ Line 12: / Line 12: @@
 दो प्रसार नियम माने जाते हैं
-* एक शिखर अपने आने वाले किनारों के माध्यम से आने वाले संकेतों को बताता है और आउटगोइंग किनारों के माध्यम से एक स्केल किए गए संस्करण को भेजता है।
+* शिखर अपने इनकमिंग-किनारों के माध्यम से आने वाले संकेतों को एकत्र करता है और आउटगोइंग-किनारों के माध्यम से स्केल किया गया संस्करण भेजता है।
-* प्रत्येक किनारा <math>e=(v,v')</math> से सिग्नल ट्रांसफर करता है <math>v</math> को <math>v'</math> ट्रांसफर फ़ंक्शन द्वारा स्केल किया गया।
+* प्रत्येक किनारा <math>e=(v,v')</math>,  <math>v</math> से  <math>v'</math> को सिग्नल ट्रांसफर करता है जो ट्रांसफर फ़ंक्शन द्वारा स्केल किया गया।
 शिखर गेन स्केलिंग और एज ट्रांसफर फ़ंक्शंस की परिभाषा को विशेष परिदृश्यों को समायोजित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है और सिमुलेशन में मॉडल का उपयोग करने के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए। प्रकाशित साहित्य में विभिन्न प्रसार रेखांकन मॉडल के लिए ऐसी कई परिभाषाओं पर विचार किया गया है।
-  [[File:PropagationGraphVectorFlowGraph.png|thumb|एक प्रसार रेखांकन का वेक्टर सिग्नल फ्लो रेखांकन।]]एज ट्रांसफर फ़ंक्शंस (फूरियर डोमेन में) को ट्रांसफर मैट्रिसेस में समूहीकृत किया जा सकता है
+  [[File:PropagationGraphVectorFlowGraph.png|thumb|एक प्रसार रेखांकन का वेक्टर सिग्नल फ्लो रेखांकन।]]किनारा ट्रांसफर फ़ंक्शंस (फूरियर डोमेन में) को ट्रांसफर मैट्रिसेस में समूहीकृत किया जा सकता है
 * <math>\mathbf D(f)</math> ट्रांसमीटर से रिसीवर तक सीधा प्रसार
-* <math>\mathbf T(f)</math> बिखरने वालों को ट्रांसमीटर
+* <math>\mathbf T(f)</math> ट्रांसमीटर से स्कैटर
-* <math>\mathbf R(f)</math> रिसीवर के लिए स्कैटर
+* <math>\mathbf R(f)</math> स्कैटर से रिसीवर
-* <math>\mathbf B(f)</math> बिखरने वाले से बिखरने वाले,
+* <math>\mathbf B(f)</math> स्कैटर से स्कैटर,
-कहां <math>f</math> आवृत्ति चर है।
+जहाँ <math>f</math> आवृत्ति चर है।
-द्वारा प्रेषित सिग्नल के [[ फूरियर रूपांतरण ]] को नकारना <math>\mathbf X(f)</math>, प्राप्त संकेत आवृत्ति डोमेन में पढ़ता है
+जो प्रेषित सिग्नल के [[ फूरियर रूपांतरण |फूरियर रूपांतरण]] को <math>\mathbf X(f)</math> द्वारा प्रदर्शित करता है, प्राप्त संकेत आवृत्ति डोमेन में पढ़ता है
 <math display="block">\mathbf Y (f)  = \mathbf  D(f) \mathbf X (f) + \mathbf R (f)\mathbf T (f) \mathbf X (f) +  \mathbf R (f)\mathbf B(f) \mathbf T (f) \mathbf X (f) +\mathbf R (f)\mathbf B^2(f) \mathbf T (f) \mathbf X (f) + \cdots</math>
+== स्थानांतरण फलन ==
+स्थानांतरण फलन <math>\mathbf H(f)</math> प्रसार रेखांकन का एक अनंत श्रृंखला बनाता है<ref name="Pedersen2012" />
-== ट्रांसफर फंक्शन ==
-स्थानांतरण समारोह <math>\mathbf H(f)</math> प्रसार रेखांकन का एक अनंत श्रृंखला बनाता है<ref name="Pedersen2012" />
 <math display="block">
 \begin{align}
@@ Line 35: / Line 33: @@
 \end{align}
 </math>
-ट्रांसफर फ़ंक्शन ऑपरेटरों की एक [[ न्यूमैन श्रृंखला ]] है। वैकल्पिक रूप से, इसे मेट्रिसेस की ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में आवृत्ति में बिंदुवार देखा जा सकता है। यह अवलोकन स्थानांतरण समारोह के लिए एक बंद फॉर्म अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है
+स्थानांतरण फलन पदों की एक [[ न्यूमैन श्रृंखला |न्यूमैन श्रृंखला]] है। वैकल्पिक रूप से, इसे मेट्रिसेस की ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में आवृत्ति में बिंदुवार देखा जा सकता है। यह अवलोकन स्थानांतरण फलन के लिए एक बंद फॉर्म अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है
 <math display="block">\mathbf H(f) = \mathbf D(f) + \mathbf R(f) [\mathbf I - \mathbf B(f)]^{-1} \mathbf T(f),\qquad  \rho(\mathbf B(f))<1 </math>
-कहां <math>\mathbf I</math> पहचान मैट्रिक्स को दर्शाता है और <math>\rho(\cdot)</math> तर्क के रूप में दिए गए मैट्रिक्स का [[ वर्णक्रमीय त्रिज्या ]] है। ट्रांसफर फ़ंक्शन 'बाउंस' की संख्या के बावजूद प्रसार पथों के लिए खाता है।
+जहाँ <math>\mathbf I</math> एकल मैट्रिक्स को दर्शाता है और <math>\rho(\cdot)</math> तर्क के रूप में दिए गए मैट्रिक्स का [[ वर्णक्रमीय त्रिज्या |वर्णक्रमीय त्रिज्या]] है। स्थानांतरण फलन 'बाउंस' की संख्या के बावजूद प्रसार पथों की गिनती रखता है।
-श्रृंखला कई बिखरने वाले सिद्धांत से पैदा हुई श्रृंखला के समान है।<ref name="Zhou2011" />
+श्रृंखला मल्टीप्ल स्कैटरिंग सिद्धांत से पैदा हुई बोर्न श्रृंखला के समान है।<ref name="Zhou2011" />
-आवेग प्रतिक्रियाएँ <math>\mathbf h(\tau)</math> के व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण द्वारा प्राप्त किए जाते हैं <math>\mathbf H(f)</math>
+आवेग प्रतिक्रियाएँ <math>\mathbf h(\tau)</math>,   <math>\mathbf H(f)</math> के व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण द्वारा प्राप्त किए जाते हैं|
+=== आंशिक स्थानांतरण फलन ===
+आंशिक योग के लिए बंद फॉर्म एक्सप्रेशन उपलब्ध हैं, यानी स्थानांतरण फलन में केवल कुछ पदों पर विचार करके। संकेत घटकों के प्रसार के लिए आंशिक स्थानांतरण फलन कम से कम <math>K</math> और अधिक से अधिक <math>L</math> इंटरैक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे
-=== आंशिक स्थानांतरण समारोह ===
+<math display="block" >\mathbf H_{K:L}(f) = \sum_{k=K}^{L} \mathbf  H_k(f)</math> जहाँ
-आंशिक राशियों के लिए बंद फॉर्म एक्सप्रेशन उपलब्ध हैं, यानी ट्रांसफर फ़ंक्शन में केवल कुछ शर्तों पर विचार करके। कम से कम के माध्यम से संकेत घटकों के प्रसार के लिए आंशिक स्थानांतरण समारोह <math>K</math> और अधिक से अधिक <math>L</math> इंटरैक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है
-<math display="block" >\mathbf H_{K:L}(f) = \sum_{k=K}^{L} \mathbf  H_k(f)</math> कहां
 <math display="block">\mathbf H_k(f) =
 \begin{cases} \mathbf D(f),& k=0\\
@@ Line 54: / Line 50: @@
 यहां <math>k</math> इंटरैक्शन या बाउंसिंग ऑर्डर की संख्या को दर्शाता है।
-[[File:PropagationGraphPartialResponseAnimation.png|thumb|प्रसार रेखांकन मॉडल के आंशिक स्थानांतरण कार्यों से गणना की गई बिजली विलंब प्रोफाइल का एनीमेशन। लाल रेखा सीधे रास्ते में देरी का संकेत देती है।]]आंशिक स्थानांतरण समारोह तब है<ref name="Pedersen2012" />
+[[File:PropagationGraphPartialResponseAnimation.png|thumb|प्रसार रेखांकन मॉडल के आंशिक स्थानांतरण कार्यों से गणना की गई बिजली विलंब प्रोफाइल का एनीमेशन। लाल रेखा सीधे रास्ते में देरी का संकेत देती है।]]तब आंशिक स्थानांतरण फलन है<ref name="Pedersen2012" />
 <math display="block">\mathbf H_{K:L}(f) =
 \begin{cases}
@@ Line 60: / Line 56: @@
   \mathbf R(f) [\mathbf B^{K-1}(f)-\mathbf B^L(f)] \cdot [\mathbf I-\mathbf B(f)]^{-1} \cdot \mathbf T(f), & \text{otherwise}.\\
 \end{cases}
-</math>
+</math>विशेष स्थितियां:
-विशेष स्थितियां:
+* <math>\mathbf H_{0:\infty}(f) = \mathbf H(f) </math>: पूर्ण स्थानांतरण फलन।
-* <math>\mathbf H_{0:\infty}(f) = \mathbf H(f) </math>: पूर्ण स्थानांतरण समारोह।
 * <math>\mathbf H_{1:\infty}(f) = \mathbf R(f) [\mathbf I-\mathbf B(f)]^{-1} \mathbf T(f) </math>: केवल अप्रत्यक्ष शब्द।
-* <math>\mathbf H_{0:L}(f)</math>: केवल शर्तों के साथ <math>L</math> या कम बाउंस रखे जाते हैं (<math>L</math>-बाउंस ट्रंकेशन)।
+* <math>\mathbf H_{0:L}(f)</math>: केवल <math>L</math> युक्त पदों के साथ या कम बाउंस रखे जाते हैं (<math>L</math>-बाउंस ट्रंकेशन)।
 * <math>\mathbf H_{L+1:\infty}(f)</math>: एरर टर्म ए के कारण  <math>L</math>-बाउंस ट्रंकेशन।

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