कोणीय वेग: Difference between revisions

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भौतिक विज्ञान में, कोणीय वेग या घूर्णन वेग ({{math|ω}}या{{math|Ω}}), कोणीय आवृत्ति सदिश के रूप में भी जाना जाता है,<ref name="UP1">{{cite book

भौतिक विज्ञान में, कोणीय वेग या घूर्णन वेग ({{math|ω}} या {{math|Ω}}), कोणीय आवृत्ति सदिश के रूप में भी जाना जाता है,<ref name="UP1">{{cite book

| last = Cummings

| first = Karen

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| pages = 449, 484, 485, 487

| url = https://books.google.com/books?id=rAfF_X9cE0EC

| isbn =978-81-265-0882-2 }}(UP1)</ref> एक [[ स्यूडोवेटर |छद्म सदिश]] ~~निरूपण~~ है कि किसी वस्तु की [[ कोणीय स्थिति |कोणीय स्थिति]] या निर्देशन कितनी तेजी से समय के साथ बदलता है(अर्थात् एक वस्तु कितनी जल्दी घूमती है या किसी बिंदु या अक्ष के सापेक्ष घूमती है)~~। छद्म~~ सदिश का परिमाण [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] का निरूपण करता है, जिस दर पर वस्तु घूमती है या परिभ्रमण करती है, और इसकी दिशा [[ सामान्य (ज्यामिति) |सामान्य(ज्यामिति)]] घूर्णन या कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल के लिए सामान्य (ज्यामिति) है। कोणीय वेग का निर्देशन पारंपरिक रूप से दाएं हाथ के नियम द्वारा दर्शाया जाता है।<ref name= EM1>{{cite book

| isbn =978-81-265-0882-2 }}(UP1)</ref> एक [[ स्यूडोवेटर |छद्म सदिश]] यह निरूपित करता है कि किसी वस्तु की [[ कोणीय स्थिति |कोणीय स्थिति]] या निर्देशन कितनी तेजी से समय के साथ बदलता है (अर्थात् एक वस्तु कितनी जल्दी घूमती है या किसी बिंदु या अक्ष के सापेक्ष घूमती है)।छद्म सदिश का परिमाण [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] का निरूपण करता है, जिस दर पर वस्तु घूमती है या परिभ्रमण करती है, और इसकी दिशा [[ सामान्य (ज्यामिति) |सामान्य (ज्यामिति)]] घूर्णन या कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल के लिए सामान्य (ज्यामिति) है। कोणीय वेग का निर्देशन पारंपरिक रूप से दाएं हाथ के नियम द्वारा दर्शाया जाता है। <ref name= EM1>{{cite book

| last = Hibbeler

| first = Russell C.

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| isbn = 978-0-13-607791-6}}(EM1)</ref>

कोणीय [[ वेग |वेग]] के दो प्रकार हैं।

* '''कक्षीय कोणीय वेग''' एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक बिंदु वस्तु घूर्णन कितनी तेजी से संदर्भित करता है, अर्थात् [[ मूल (गणित) |मूल(गणित)]] के सापेक्ष अपनी कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर।

* '''कक्षीय कोणीय वेग''' एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक बिंदु वस्तु घूर्णन कितनी तेजी से संदर्भित करता है, अर्थात् [[ मूल (गणित) |मूल (गणित)]] के सापेक्ष अपनी कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर।

* '''झुकाव कोणीय वेग''' से तात्पर्य है कि घूर्णन के केंद्र के संबंध में एक ~~कठोर शरीर~~ कितनी तेजी से घूर्णन करता है और कक्षीय कोणीय वेग के तुलना, मूल की पसंद से स्वतंत्र है।

* '''झुकाव कोणीय वेग''' से तात्पर्य है कि घूर्णन के केंद्र के संबंध में एक जटिल निकाय कितनी तेजी से घूर्णन करता है और कक्षीय कोणीय वेग के तुलना, मूल की पसंद से स्वतंत्र है।

सामान्यतः, कोणीय वेग में प्रति इकाई समय कोण(भौतिकी) का [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम(भौतिकी)]] होता है(कोण को सामान्यतः समय के साथ रैखिक वेग से [[ दूरी |दूरी]] की जगह लेता है)~~।कोणीय~~ वेग की एसआई इकाई [[ प्रति सेकंड रेडियन |प्रति सेकंड रेडियन]] है,<ref>{{cite book |title=International System of Units (SI) |edition=revised 2008 |first1=Barry N. |last1=Taylor |publisher=DIANE Publishing |year=2009 |isbn=978-1-4379-1558-7 |page=27 |url=https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C}} [https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C&pg=PA27 Extract of page 27]</ref> [[ कांति |रेडियन]] एक [[ आयामहीन मात्रा |आयाम रहित मात्रा]] होने के साथ, इस प्रकार कोणीय वेग की एसआई इकाइयों को एस-1 के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है। कोणीय वेग सामान्यतः प्रतीक [[ ओमेगा |ओमेगा({{math|ω}}, कभी-कभी{{math|Ω}})]] द्वारा दर्शाया जाता ~~है ।परंपरागत~~ ढंग से, धनात्मक कोणीय वेग काउंटर-वामावर्त घूर्णन को इंगित करता है, जबकि ऋणात्मक [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] है।

सामान्यतः, कोणीय वेग में प्रति इकाई समय कोण (भौतिकी) का [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम (भौतिकी)]] होता है (कोण को सामान्यतः समय के साथ रैखिक वेग से [[ दूरी |दूरी]] की जगह लेता है)। कोणीय वेग की एसआई इकाई [[ प्रति सेकंड रेडियन |प्रति सेकंड रेडियन]] है,<ref>{{cite book |title=International System of Units (SI) |edition=revised 2008 |first1=Barry N. |last1=Taylor |publisher=DIANE Publishing |year=2009 |isbn=978-1-4379-1558-7 |page=27 |url=https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C}} [https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C&pg=PA27 Extract of page 27]</ref> [[ कांति |रेडियन]] एक [[ आयामहीन मात्रा |आयाम रहित मात्रा]] होने के साथ, इस प्रकार कोणीय वेग की एसआई इकाइयों को एस-1 के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है। किसी दिए गए समय में कण के कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की मात्रा को कोणीय वेग कहा जाता है। कोणीय वेग सदिश का ट्रैक रोटेशन के विमान के लंबवत है, एक दिशा में जो सामान्यतः दाहिने हाथ के नियम द्वारा इंगित किया जाता है। कोणीय वेग सामान्यतः प्रतीक [[ ओमेगा |ओमेगा ({{math|ω}}, कभी-कभी {{math|Ω}})]] द्वारा दर्शाया जाता है। परंपरागत ढंग से, धनात्मक कोणीय वेग काउंटर-वामावर्त घूर्णन को इंगित करता है, जबकि ऋणात्मक [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] है।

उदाहरण के लिए, एक [[ जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट |भूस्थैतिक उपग्रह]] उपग्रह [[ भूमध्य रेखा |भूमध्य रेखा]] के ऊपर प्रति दिन एक कक्षा को पूरा करता है, या प्रति 24 घंटे 360 डिग्री, और कोणीय वेग = (360 °)/(24 और ~~nbsp;~~ h) = 15 °/h, या या 15 °/h~~, या~~ है, या होता है। यदि कोण को रेडियन में मापा जाता है, तो रैखिक वेग कोणीय वेग का ~~त्रिज्या~~ गुना होता है, <math>v = r\omega</math>। पृथ्वी के केंद्र से 42,000 किमी की कक्षीय त्रिज्या के साथ, अंतरिक्ष के माध्यम से उपग्रह की गति इस प्रकार v = 42,000 किमी × 0.26/घंटा ≈ 11,000 किमी/घंटा है। कोणीय वेग धनात्मक है क्योंकि उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन के साथ पूर्व (उत्तरी ध्रुव के ऊपर से वामावर्त) की ओर यात्रा करता है।

उदाहरण के लिए, एक [[ जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट |भूस्थैतिक उपग्रह]] उपग्रह [[ भूमध्य रेखा |भूमध्य रेखा]] के ऊपर प्रति दिन एक कक्षा को पूरा करता है, या प्रति 24 घंटे 360 डिग्री, और कोणीय वेग = (360 °)/ (24 और h) = 15 °/h, या या 15 °/h है, या होता है। यदि कोण को रेडियन में मापा जाता है, तो रैखिक वेग कोणीय वेग का त्रिज्य गुना होता है, <math>v = r\omega</math>। पृथ्वी के केंद्र से 42,000 किमी की कक्षीय त्रिज्या के साथ, अंतरिक्ष के माध्यम से उपग्रह की गति इस प्रकार v = 42,000 किमी × 0.26/घंटा ≈ 11,000 किमी/घंटा है। कोणीय वेग धनात्मक है क्योंकि उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन के साथ पूर्व (उत्तरी ध्रुव के ऊपर से वामावर्त) की ओर यात्रा करता है।

== एक बिंदु कण का कक्षीय कोणीय वेग ==

=== दो आयामों में कण ===

[[Image:Angular velocity1.svg|right| वेग सदिश 'वी' का अंगूठा।]]<math>r</math> त्रिज्या पर वृत्तीय गति के सबसे सरल मामले में , कोणीय विस्थापन द्वारा दी गई स्थिति के साथ <math>\phi(t)</math> एक्स-अक्ष से, कक्षीय कोणीय वेग समय के संबंध में कोण के परिवर्तन की दर: <math display="inline">\omega = \frac{d\phi}{dt}</math> है। यदि <math>\phi</math> रेडियन में मापा जाता है, वृत्त के चारों ओर धनात्मक एक्स-अक्ष से चाप-लंबाई कण <math>\ell=r\phi</math> है,और रैखिक वेग है <math display="inline">v(t) = \frac{d\ell}{dt} = r\omega(t)</math>, ~~ताकि~~ <math display="inline">\omega = \frac{v}{r}</math>।

[[Image:Angular velocity1.svg|right| वेग सदिश 'वी' का अंगूठा। ]]<math>r</math> त्रिज्या पर वृत्तीय गति के सबसे सरल मामले में , कोणीय विस्थापन द्वारा दी गई स्थिति के साथ <math>\phi(t)</math> एक्स-अक्ष से, कक्षीय कोणीय वेग समय के संबंध में कोण के परिवर्तन की दर: <math display="inline">\omega = \frac{d\phi}{dt}</math> है। यदि <math>\phi</math> रेडियन में मापा जाता है, वृत्त के चारों ओर धनात्मक एक्स-अक्ष से चाप-लंबाई कण <math>\ell=r\phi</math> है, और रैखिक वेग<math display="inline">v(t) = \frac{d\ell}{dt} = r\omega(t)</math> है, जिससे <math display="inline">\omega = \frac{v}{r}</math>।

तल में ~~जाने वाले~~ एक कण के सामान्य मामले में, कक्षीय कोणीय वेग वह दर है जिस पर एक चुने हुए मूल के सापेक्ष स्थिति सदिश कोण ~~से बाहर निकलती है।आरेख~~ स्थिति सदिश ~~दिखाता है~~ <math>\mathbf{r}</math> मूल से <math>O</math> एक कण को <math>P</math>, इसके ध्रुवीय निर्देशांक ~~के साथ~~ <math>(r, \phi)</math>।(सभी चर समय ~~के कार्य हैं~~ <math>t</math>।) कण में रैखिक वेग ~~के रूप में विभाजित होता है~~ <math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_\|+\mathbf{v}_\perp</math>, ~~रेडियल~~ घटक के साथ <math>\mathbf{v}_\|</math> त्रिज्या के समानांतर, और ~~क्रॉस~~-~~रेडियल~~ (या स्पर्शरेखा) घटक <math>\mathbf{v}_\perp</math> त्रिज्या के लिए ~~लंबवत।जब~~ कोई ~~रेडियल~~ घटक नहीं होता है, तो कण एक वृत्त में मूल के चारों ओर चलता है;लेकिन जब कोई ~~क्रॉस~~-~~रेडियल~~ घटक नहीं होता है, तो यह मूल से एक सीधी रेखा में चलता ~~है।चूंकि रेडियल~~ गति कोण को अपरिवर्तित छोड़ देती है, केवल रैखिक वेग का ~~क्रॉस~~-~~रेडियल~~ घटक कोणीय वेग में योगदान देता है।

तल में गतिमान एक कण के सामान्य मामले में, कक्षीय कोणीय वेग वह दर है जिस पर एक चुने हुए मूल के सापेक्ष स्थिति सदिश कोण "स्वीप आउट" कोण होता है। आरेख स्थिति सदिश <math>\mathbf{r}</math> मूल <math>O</math> से एक कण <math>P</math> के लिए दिखाता है, इसके ध्रुवीय निर्देशांक <math>(r, \phi)</math> के साथ। (सभी चर समय <math>t</math> के फलन हैं) कण में रैखिक वेग<math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_\|+\mathbf{v}_\perp</math> के रूप में विभाजित होता है, त्रिज्यीय घटक के साथ <math>\mathbf{v}_\|</math> त्रिज्या के समानांतर, और अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय (या स्पर्शरेखा) घटक <math>\mathbf{v}_\perp</math> त्रिज्या के लिए लंबवत। जब कोई त्रिज्यीय घटक नहीं होता है, तो कण एक वृत्त में मूल के चारों ओर चलता है; लेकिन जब कोई अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय घटक नहीं होता है, तो यह मूल से एक सीधी रेखा में चलता है। चूंकि त्रिज्यीय गति कोण को अपरिवर्तित छोड़ देती है, केवल रैखिक वेग का अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय घटक कोणीय वेग में योगदान देता है।

कोणीय वेग ω समय के संबंध में कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर है, जिसे ~~क्रॉस~~-~~रेडियल~~ वेग से गणना की जा सकती है:

कोणीय वेग ω समय के संबंध में कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर है, जिसे अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय वेग से गणना की जा सकती है:

: <math qid=Q240105>\omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{v_\perp}{r}.</math>

यहाँ ~~क्रॉस~~-~~रेडियल~~ स्पीड <math>v_\perp</math> का हस्ताक्षरित परिमाण है <math>\mathbf{v}_\perp</math>, काउंटर-~~क्लॉकवाइज~~ गति के लिए ~~सकारात्मक~~, दक्षिणावर्त के लिए ऋणात्मक ~~।रैखिक~~ वेग ~~के लिए ध्रुवीय निर्देशांक लेना~~ <math>\mathbf{v}</math> ~~परिमाण देता है~~ <math>v</math> (रैखिक गति) और कोण <math>\theta</math> त्रिज्या सदिश के सापेक्ष;इन शब्दों में, <math>v_\perp = v\sin(\theta)</math>, ~~ताकि~~

यहाँ अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय स्पीड <math>v_\perp</math> का हस्ताक्षरित परिमाण <math>\mathbf{v}_\perp</math>है , काउंटर-वामावर्त गति के लिए धनात्मक, दक्षिणावर्त के लिए ऋणात्मक होता है। रैखिक वेग <math>\mathbf{v}</math> के लिए ध्रुवीय निर्देशांक <math>v</math> (रैखिक गति) और कोण <math>\theta</math> त्रिज्या सदिश के सापेक्ष परिमाण देता है ;इन शब्दों में, <math>v_\perp = v\sin(\theta)</math>, इस प्रकार

: <math qid=Q161635>\omega = \frac{v\sin(\theta)}{r}.</math>

इन सूत्रों को ~~किया जा सकता है~~ <math>\mathbf{r}=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))</math>, हो रहा <math>r</math> समय के संबंध में मूल के लिए दूरी का एक कार्य, और <math>\varphi</math> सदिश और एक्स अक्ष के बीच कोण का एक ~~कार्य।फिर~~ {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{~~Dutt~~} = (\ dot {r} \ ~~chos~~ (\ ~~varfi~~) - r \ dot {\ ~~varfi~~} \ sin (\ ~~varfi~~), \ dot {r} \ sin (\ ~~varaf~~) \ ~~chos~~ (\ ~~varfa)) <~~) <) < / ~~मैट~~>।}} विच आइस के साथ {{nowrap|<math>\dot{r}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) + r\dot{\varphi}(-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\varphi}\hat{\varphi}</math>.}} (बेलनाकार निर्देशांक में [[ इकाई वेक्टर |इकाई सदिश]] देखें)~~।जानने~~ {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \ mathbf {v} </math>,}} हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेग का ~~रेडियल~~ घटक द्वारा दिया गया है {{nowrap|<math>\dot{r}</math>,}} क्योंकि <math>\hat{r}</math> एक ~~रेडियल~~ इकाई सदिश है;और लंबवत घटक द्वारा दिया गया है <math>r\dot{\varphi}</math> क्योंकि <math>\hat{\varphi}</math> एक लंबवत इकाई सदिश है।

इन सूत्रों को <math>\mathbf{r}=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))</math>निष्पादित किया जा सकता है , हो रहा <math>r</math> समय के संबंध में मूल के लिए दूरी का एक कार्य, और <math>\varphi</math> सदिश और एक्स अक्ष के बीच कोण का एक कार्य। फिर {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{dt} = (\dot{r}\cos(\varphi) - r\dot{\varphi}\sin(\varphi), \dot{r}\sin(\varphi) + r\dot{\varphi}\cos(\varphi))</math>.}} विच आइस के साथ {{nowrap|<math>\dot{r}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) + r\dot{\varphi}(-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\varphi}\hat{\varphi}</math>.}} (बेलनाकार निर्देशांक में [[ इकाई वेक्टर |इकाई सदिश]] देखें)। जानने {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \ mathbf {v} </math>,}} हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेग का त्रिज्यीय घटक द्वारा दिया गया है {{nowrap|<math>\dot{r}</math>,}} क्योंकि <math>\hat{r}</math> एक त्रिज्यीय इकाई सदिश है;और लंबवत घटक द्वारा दिया गया है <math>r\dot{\varphi}</math> क्योंकि <math>\hat{\varphi}</math> एक लंबवत इकाई सदिश है।

दो आयामों में, कोणीय वेग प्लस या माइनस साइन के साथ एक संख्या है जो निर्देशन का संकेत देती है, लेकिन एक दिशा में इंगित नहीं करती है। यदि रेडियस सदिश काउंटर-वामावर्त हो जाता है, और यदि दक्षिणावर्त हो तो ऋणात्मक हो जाता है। कोणीय वेग को तब एक [[ स्यूडोस्केलर |छद्मसदिश]] कहा जा सकता है, एक संख्यात्मक मात्रा जो एक [[ समता (भौतिकी) |समता (भौतिकी)]] के तहत चिन्ह को बदलता है, जैसे कि एक अक्ष को प्रतिलोम करना या दो अक्षों को स्विच करना।

दो आयामों में, कोणीय वेग प्लस या माइनस साइन के साथ एक संख्या है जो निर्देशन का संकेत देती है, लेकिन एक दिशा में इंगित नहीं करती है।यदि RADIUS सदिश काउंटर-क्लॉकवाइज हो जाता है, और यदि दक्षिणावर्त हो तो ऋणात्मक हो जाता है।कोणीय वेग को तब एक [[ स्यूडोस्केलर |स्यूडोस्केलर]] कहा जा सकता है, एक संख्यात्मक मात्रा जो एक [[ समता (भौतिकी) |समता (भौतिकी)]] के तहत हस्ताक्षर को बदलता है, जैसे कि एक अक्ष को इनवर्ट करना या दो अक्षों को स्विच करना।

=== तीन आयामों में कण ===

[[Image:Angular velocity.svg|thumb|250px|कक्षीय कोणीय वेग सदिश कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर, साथ ही कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल को एन्कोड करता ~~है।इस~~ मामले में (काउंटर-~~क्लॉकवाइज~~ सर्कुलर मोशन) सदिश इंगित करता है।]]त्रि-आयामी ~~स्थान~~ में, हमारे पास फिर से एक ~~चलती~~ कण की स्थिति सदिश ~~आर है।यहां~~, कक्षीय कोणीय वेग एक ~~स्यूडोसदिश~~ है जिसका परिमाण वह दर है जिस पर आर कोण को बाहर निकालता है, और जिसकी दिशा तात्कालिक तल के लिए लंबवत है जिसमें आर आर कोण को बाहर निकालता है (~~अर्थात् तल आर~~ और वी द्वारा ~~फैलाया जाता है~~)~~।हालांकि~~, जैसा कि किसी भी तल के लिए लंबवत ''दो'' दिशाएं हैं, कोणीय वेग की दिशा को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए एक अतिरिक्त स्थिति आवश्यक है;परंपरागत रूप से, दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है।

[[Image:Angular velocity.svg|thumb|250px|कक्षीय कोणीय वेग सदिश कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर, साथ ही कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल को एन्कोड करता है। इस मामले में (काउंटर-वामावर्त सर्कुलर मोशन) सदिश इंगित करता है। ]]त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, हमारे पास फिर से एक गतिमान कण की स्थिति सदिश r होता है। यहां, कक्षीय कोणीय वेग एक छद्म सदिश है जिसका परिमाण वह दर है जिस पर r कोण को बाहर निकालता है, और जिसकी दिशा तात्कालिक तल के लिए लंबवत है जिसमें आर आर कोण को बाहर निकालता है (अर्थात r और v द्वारा फैला हुआ समतल)। हालांकि, जैसा कि किसी भी तल के लिए लंबवत ''दो'' दिशाएं हैं, कोणीय वेग की दिशा को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए एक अतिरिक्त स्थिति आवश्यक है;परंपरागत रूप से, दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है।

छद्म सदिश को चलो <math>\mathbf{u}</math> आर और वी द्वारा फैले हुए तल के लिए इकाई सदिश लंबवत बनें, ~~ताकि~~ दाहिने हाथ का नियम संतुष्ट हो (अर्थात् कोणीय विस्थापन की तात्कालिक दिशा काउंटर-~~क्लॉकवाइज है जो ऊपर से दिख रही है~~ <math>\mathbf{u}</math>)~~।ध्रुवीय~~ निर्देशांक ~~लेना~~ <math>(r,\phi)</math> इस तल में, जैसा कि ऊपर दो-आयामी मामले में, कोई भी कक्षीय कोणीय वेग सदिश को परिभाषित कर सकता है:

छद्म सदिश को चलो <math>\mathbf{u}</math> आर और वी द्वारा फैले हुए तल के लिए इकाई सदिश लंबवत बनें, जिससे दाहिने हाथ का नियम संतुष्ट हो (अर्थात् कोणीय विस्थापन की तात्कालिक दिशा काउंटर-वामावर्त <math>\mathbf{u}</math> है जो ऊपर से दिख रही है)। ध्रुवीय निर्देशांक <math>(r,\phi)</math> इस तल में, जैसा कि ऊपर दो-आयामी मामले में, कोई भी कक्षीय कोणीय वेग सदिश को परिभाषित कर सकता है:

: <math>\boldsymbol\omega =\omega \mathbf u = \frac{d\phi}{dt}\mathbf u=\frac{v \sin(\theta)}{r}\mathbf u,</math>

जहां ~~and~~ 'r' और 'v' के बीच का कोण ~~है।क्रॉस उत्पाद~~ के संदर्भ में, यह है:

जहां ''θ'' 'r' और 'v' के बीच का कोण है। अनुप्रस्थ परिणाम के संदर्भ में, यह है:

: <math>\boldsymbol\omega

=\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{r^2}.</math><ref>{{cite web |last1=Singh |first1=Sunil K. |title=Angular Velocity |url=https://cnx.org/contents/MymQBhVV@175.14:51fg7QFb@14/Angular-velocity |website=OpenStax |publisher=Rice University |access-date=21 May 2021 |ref=1}}</ref>

उपरोक्त समीकरण से, कोई भी स्पर्शरेखा वेग को ~~ठीक~~ कर सकता है:

उपरोक्त समीकरण से, कोई भी स्पर्शरेखा वेग को पुनः प्राप्त कर सकता है:

:<math>\mathbf{v}_{\perp} =\boldsymbol{\omega} \times\mathbf{r}</math>

== एक ~~कठोर शरीर~~ या संदर्भ फ्रेम का झुकाव कोणीय वेग ==

== एक जटिल निकाय या संदर्भ फ्रेम का झुकाव कोणीय वेग ==

तीन इकाई समन्वय ~~वैक्टर~~ के एक घूर्णन फ्रेम को देखते हुए, तीनों में प्रत्येक तत्काल में एक ही कोणीय गति होनी ~~चाहिए।इस~~ तरह के फ्रेम में, प्रत्येक सदिश को निरंतर ~~स्केलर~~ त्रिज्या के साथ एक ~~चलती~~ कण के रूप में माना जा सकता है।

तीन इकाई समन्वय सदिश के एक घूर्णन फ्रेम को देखते हुए, तीनों में प्रत्येक तत्काल में एक ही कोणीय गति होनी चाहिए। इस तरह के फ्रेम में, प्रत्येक सदिश को निरंतर अदिश त्रिज्या के साथ एक गतिमान कण के रूप में माना जा सकता है।

घूर्णन फ्रेम ~~कठोर शरीर~~ के संदर्भ में दिखाई देता है, और इसके लिए विशेष उपकरण विकसित किए गए हैं: झुकाव कोणीय वेग को सदिश के रूप में या समकक्ष रूप से एक [[ टेन्सर |टेन्सर]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

घूर्णन फ्रेम जटिल निकाय के संदर्भ में दिखाई देता है, और इसके लिए विशेष उपकरण विकसित किए गए हैं: झुकाव कोणीय वेग को सदिश के रूप में या समकक्ष रूप से एक [[ टेन्सर |टेन्सर]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

सामान्य परिभाषा के अनुरूप, एक फ्रेम के झुकाव कोणीय वेग को घूर्णन के अपने स्वयं के केंद्र के संबंध में तीन ~~वैक्टर~~ (सभी के लिए समान) के कक्षीय कोणीय वेग के रूप में परिभाषित किया गया ~~है।फ्रेम~~ के लिए कोणीय वेग ~~वैक्टर~~ के ~~अलावा~~ भी सामान्य सदिश जोड़ (रैखिक आंदोलनों की संरचना) द्वारा परिभाषित किया गया है, और घूर्णन को एक [[ गिम्बल |गिम्बल]] में विघटित करने के लिए उपयोगी हो सकता ~~है।सदिश~~ के सभी घटकों की गणना ~~चलती~~ फ्रेम (यूलर कोण या घूर्णन ~~मैट्रिसेस~~) को परिभाषित करने वाले मापदंडों के डेरिवेटिव के रूप में की जा सकती ~~है।जैसा~~ कि सामान्य मामले में, इसके ~~अलावा कम्यूटेटिव~~ है: <math>\omega_1 + \omega_2 = \omega_2 + \omega_1</math>।

सामान्य परिभाषा के अनुरूप, एक फ्रेम के झुकाव कोणीय वेग को घूर्णन के अपने स्वयं के केंद्र के संबंध में तीन सदिश (सभी के लिए समान) के कक्षीय कोणीय वेग के रूप में परिभाषित किया गया है। फ्रेम के लिए कोणीय वेग सदिश के अतिरिक्त भी सामान्य सदिश जोड़ (रैखिक आंदोलनों की संरचना) द्वारा परिभाषित किया गया है, और घूर्णन को एक [[ गिम्बल |गिम्बल]] में विघटित करने के लिए उपयोगी हो सकता है। सदिश के सभी घटकों की गणना गतिमान फ्रेम (यूलर कोण या घूर्णन आव्यूहों ) को परिभाषित करने वाले मापदंडों के डेरिवेटिव के रूप में की जा सकती है। जैसा कि सामान्य मामले में, इसके अतिरिक्त क्रमविनिमेय है: <math>\omega_1 + \omega_2 = \omega_2 + \omega_1</math>।

यूलर के घूर्णन प्रमेय द्वारा, किसी भी घूर्णन फ्रेम में घूर्णन की एक तात्कालिक अक्ष होता है, जो कोणीय वेग सदिश की दिशा है, और कोणीय वेग का परिमाण दो-आयामी मामले के अनुरूप है।

यदि हम एक संदर्भ बिंदु चुनते हैं <math>{\boldsymbol R}</math> ~~कठोर शरीर~~ में तय, वेग <math> \dot {\boldsymbol r}</math> ~~शरीर~~ में किसी भी बिंदु द्वारा दिया जाता है

यदि हम एक संदर्भ बिंदु चुनते हैं <math>{\boldsymbol R}</math> जटिल निकाय में तय, वेग <math> \dot {\boldsymbol r}</math> निकाय में किसी भी बिंदु द्वारा दिया जाता है।

:<math> \dot {\boldsymbol r}= \dot {\boldsymbol R}+ {\boldsymbol\omega}\times({\boldsymbol r}-{\boldsymbol R})

Line 92:

Line 103:

=== ~~बॉडी~~-फिक्स्ड फ्रेम के आधार ~~वैक्टर~~ से घटक ===

=== निकाय-फिक्स्ड फ्रेम के आधार सदिश से घटक ===

एक निश्चित बिंदु ओ के बारे में एक ~~कठोर शरीर~~ पर विचार ~~करें। शरीर~~ में एक संदर्भ फ्रेम का निर्माण करें जिसमें ~~वैक्टर के एक ऑर्थोनॉर्मल सेट शामिल हैं~~ <math>\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 </math> ~~शरीर~~ के लिए और ओ में उनके सामान्य मूल के साथ। ओ के बारे में फ्रेम और ~~शरीर~~ दोनों के झुकाव कोणीय वेग सदिश तब है

एक निश्चित बिंदु O के बारे में एक जटिल निकाय पर विचार करें।निकाय में एक संदर्भ फ्रेम का निर्माण करें जिसमें सदिश <math>\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 </math> के एक प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण सम्मुच्चय सम्मिलित हैं निकाय के लिए और O में उनके सामान्य मूल के साथ। O के बारे में फ्रेम और निकाय दोनों के झुकाव कोणीय वेग सदिश तब है

: <math>\boldsymbol\omega = \left(\dot \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2\right) \mathbf{e}_3 + \left(\dot \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_3\right) \mathbf{e}_1 + \left(\dot \mathbf{e}_3\cdot\mathbf{e}_1\right) \mathbf{e}_2,

</math>

~~कहाँ पे~~ <math> \dot \mathbf{e}_i= \frac{d \mathbf{e}_i}{dt} </math> फ्रेम सदिश ~~के परिवर्तन की समय दर है~~ <math> \mathbf{e}_i, i=1,2,3,</math> घूर्णन के ~~कारण।~~

जहाँ पर <math> \dot \mathbf{e}_i= \frac{d \mathbf{e}_i}{dt} </math> फ्रेम सदिश <math> \mathbf{e}_i, i=1,2,3,</math> घूर्णन के कारण के परिवर्तन की समय दर है।

ध्यान दें कि यह सूत्र कक्षीय कोणीय वेग के लिए अभिव्यक्ति के साथ असंगत है

Line 103:

Line 114:

: <math>\boldsymbol\omega

=\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{r^2},</math>

चूंकि यह सूत्र ओ के बारे में एक बिंदु के लिए कोणीय वेग को परिभाषित करता है, जबकि इस खंड में सूत्र एक फ्रेम या ~~कठोर शरीर~~ पर लागू होता ~~है।एक कठोर शरीर~~ के मामले में एक एकल <math> \boldsymbol\omega</math> ~~शरीर~~ में सभी कणों की गति के लिए जिम्मेदार है।

चूंकि यह सूत्र O के बारे में एक बिंदु के लिए कोणीय वेग को परिभाषित करता है, जबकि इस खंड में सूत्र एक फ्रेम या जटिल निकाय पर लागू होता है। एक जटिल निकाय के मामले में एक एकल <math> \boldsymbol\omega</math> निकाय में सभी कणों की गति के लिए जिम्मेदार है।

=== यूलर कोण से घटक ===

[[Image:Eulerframe.svg|thumb|हरे रंग में यूलर फ्रेम दिखा रहा है]]झुकाव कोणीय वेग छद्म सदिश के घटकों की गणना पहले [[ लियोनहार्ड यूलर |लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा अपने [[ यूलर कोण |यूलर ~~कोण~~]] ों और एक मध्यवर्ती फ्रेम के उपयोग ~~का उपयोग करके~~ की गई थी:

[[Image:Eulerframe.svg|thumb|हरे रंग में यूलर फ्रेम दिखा रहा है]]झुकाव कोणीय वेग छद्म सदिश के घटकों की गणना पहले [[ लियोनहार्ड यूलर |लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा अपने [[ यूलर कोण |यूलर कोणों]] और एक मध्यवर्ती फ्रेम के उपयोग से की गई थी:

* संदर्भ फ्रेम की एक धुरी (प्रीसेशन ~~एक्सिस~~)

* संदर्भ फ्रेम की एक धुरी (प्रीसेशन अक्ष)

* संदर्भ फ्रेम (पोषण अक्ष) के संबंध में ~~मूविंग~~ फ्रेम के नोड्स की रेखा

* संदर्भ फ्रेम (पोषण अक्ष) के संबंध में गतिमान फ्रेम के नोड्स की रेखा

* ~~चलती~~ फ्रेम की एक अक्ष (आंतरिक घूर्णन अक्ष)

* गतिमान फ्रेम की एक अक्ष (आंतरिक घूर्णन अक्ष)

यूलर ने ~~साबित~~ किया कि इन तीन अक्षों में से प्रत्येक पर कोणीय वेग ~~स्यूडोसदिश~~ के अनुमान इसके संबद्ध कोण का व्युत्पन्न है (जो तात्कालिक घूर्णन को तीन तात्कालिक [[ यूलर रोटेशन |यूलर]] घूर्णन में विघटित करने के बराबर है)~~।इसलिए~~:<ref>[http://www.vti.mod.gov.rs/ntp/rad2007/3-07/hedr/hedr.pdf K.S.HEDRIH: Leonhard Euler (1707–1783) and rigid body dynamics]</ref>

यूलर ने प्रमाणित किया कि इन तीन अक्षों में से प्रत्येक पर कोणीय वेग छद्म सदिश के अनुमान इसके संबद्ध कोण का व्युत्पन्न है (जो तात्कालिक घूर्णन को तीन तात्कालिक [[ यूलर रोटेशन |यूलर]] घूर्णन में विघटित करने के बराबर है)। इसलिए:<ref>[http://www.vti.mod.gov.rs/ntp/rad2007/3-07/hedr/hedr.pdf K.S.HEDRIH: Leonhard Euler (1707–1783) and rigid body dynamics]</ref>

: <math>\boldsymbol\omega = \dot\alpha\mathbf u_1+\dot\beta\mathbf u_2+\dot\gamma \mathbf u_3</math>

यह आधार ~~ऑर्थोनॉर्मल~~ नहीं है और इसका उपयोग करना ~~मुश्किल~~ है, लेकिन अब वेग सदिश को निश्चित फ्रेम या ~~मूविंग~~ फ्रेम में केवल ~~ठिकानों~~ के परिवर्तन के साथ बदला जा सकता ~~है।उदाहरण~~ के लिए, मोबाइल फ्रेम में बदलना:

यह आधार असामान्य नहीं है और इसका उपयोग करना कठिन है, लेकिन अब वेग सदिश को निश्चित फ्रेम या गतिमान फ्रेम में केवल आधारों के परिवर्तन के साथ बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, मोबाइल फ्रेम में बदलना:

: <math>\boldsymbol\omega =

Line 120:

Line 131:

(\dot\alpha \sin\beta \cos\gamma - \dot\beta\sin\gamma) \hat\mathbf j +

(\dot\alpha \cos\beta + \dot\gamma) \hat\mathbf k</math>

~~कहाँ पे~~ <math>\hat\mathbf i, \hat\mathbf j, \hat\mathbf k</math> ~~मूविंग बॉडी~~ में तय किए गए फ्रेम के लिए इकाई ~~वैक्टर हैं।यह~~ उदाहरण Z-X-Z कन्वेंशन के लिए ~~Euler~~ कोणों के लिए किया गया है।{{Citation needed|date=June 2020}}

जहाँ पर <math>\hat\mathbf i, \hat\mathbf j, \hat\mathbf k</math> गतिमान निकाय में तय किए गए फ्रेम के लिए इकाई सदिश हैं। यह उदाहरण Z-X-Z कन्वेंशन के लिए यूलर कोणों के लिए किया गया है। {{Citation needed|date=June 2020}}

== प्रदिश {{anchor|Angular velocity tensor}} ==

कोणीय वेग सदिश <math>\boldsymbol\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)</math> ऊपर परिभाषित किया जा सकता है एक कोणीय वेग प्रदिश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, आव्यूह (या रैखिक मानचित्रण) ''w'' = ''w'' t '') द्वारा परिभाषित:

: <math>

Line 135:

Line 146:

-\omega_y & \omega_x & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

यह एक कोणीय विस्थापन~~#infinitesimal~~ घूर्णन ~~मैट्रिसेस है।रैखिक~~ मैपिंग ~~डब्ल्यू~~ के रूप में ~~कार्य~~ करता है <math>(\boldsymbol\omega \times)</math>:

यह एक कोणीय विस्थापन अतिसूक्ष्म घूर्णन आव्यूहों है। रैखिक मैपिंग W के रूप में फलन करता है <math>(\boldsymbol\omega \times)</math>:

: <math>\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} = W \cdot\mathbf{r}. </math>

Line 145:

Line 156:

:<math>\frac {d \mathbf r} {dt} = \boldsymbol{\omega} \times\mathbf{r} = W \cdot \mathbf{r}</math>

एक फ्रेम के ओरिएंटेशन आव्यूह ए (टी) को देखते हुए, जिनके कॉलम ~~चलती ऑर्थोनॉर्मल~~ कोऑर्डिनेट ~~वैक्टर~~ हैं <math>\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3</math>, हम इसके कोणीय वेग प्रदिश ~~डब्ल्यू~~ (टी) प्राप्त कर सकते ~~हैं।कोणीय~~ वेग तीन ~~वैक्टर~~ के लिए समान होना चाहिए <math>\mathbf r = \mathbf e_i</math>, इसलिए एक आव्यूह के स्तंभों में तीन सदिश समीकरणों की व्यवस्था करना, हमारे पास है:

एक फ्रेम के ओरिएंटेशन आव्यूह ए (टी) को देखते हुए, जिनके कॉलम गतिमान प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण कोऑर्डिनेट सदिश हैं <math>\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3</math>, हम इसके कोणीय वेग प्रदिश W (टी) प्राप्त कर सकते हैं। कोणीय वेग तीन सदिश के लिए समान होना चाहिए <math>\mathbf r = \mathbf e_i</math>, इसलिए एक आव्यूह के स्तंभों में तीन सदिश समीकरणों की व्यवस्था करना, हमारे पास है:

: <math>\frac {dA}{dt} = W \cdot A.</math>

(यह तब भी धारण करता है जब a (t) समान रूप से नहीं घूर्णन है।) इसलिए कोणीय वेग प्रदिश है:

(यह तब भी धारण करता है जब a (t) समान रूप से नहीं घूर्णन है। ) इसलिए कोणीय वेग प्रदिश है:

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 }}
 {{Classical mechanics|rotational}}
-भौतिक विज्ञान में, कोणीय वेग या घूर्णन वेग ({{math|ω}}या{{math|Ω}}), कोणीय आवृत्ति सदिश के रूप में भी जाना जाता है,<ref name="UP1">{{cite book
+भौतिक विज्ञान में, कोणीय वेग या घूर्णन वेग ({{math|ω}} या {{math|Ω}}), कोणीय आवृत्ति सदिश के रूप में भी जाना जाता है,<ref name="UP1">{{cite book
    | last = Cummings
    | first = Karen
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    | pages = 449, 484, 485, 487
    | url = https://books.google.com/books?id=rAfF_X9cE0EC
-   | isbn =978-81-265-0882-2 }}(UP1)</ref> एक [[ स्यूडोवेटर |छद्म सदिश]] निरूपण है कि किसी वस्तु की [[ कोणीय स्थिति |कोणीय स्थिति]] या निर्देशन कितनी तेजी से समय के साथ बदलता है(अर्थात् एक वस्तु कितनी जल्दी घूमती है या किसी बिंदु या अक्ष के सापेक्ष घूमती है)। छद्म सदिश का परिमाण [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] का निरूपण करता है, जिस दर पर वस्तु घूमती है या परिभ्रमण करती है, और इसकी दिशा [[ सामान्य (ज्यामिति) |सामान्य(ज्यामिति)]] घूर्णन या कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल के लिए सामान्य (ज्यामिति) है। कोणीय वेग का निर्देशन पारंपरिक रूप से दाएं हाथ के नियम द्वारा दर्शाया जाता है।<ref name= EM1>{{cite book
+   | isbn =978-81-265-0882-2 }}(UP1)</ref> एक [[ स्यूडोवेटर |छद्म सदिश]] यह निरूपित करता है कि किसी वस्तु की [[ कोणीय स्थिति |कोणीय स्थिति]] या निर्देशन कितनी तेजी से समय के साथ बदलता है (अर्थात् एक वस्तु कितनी जल्दी घूमती है या किसी बिंदु या अक्ष के सापेक्ष घूमती है)।छद्म सदिश का परिमाण [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] का निरूपण करता है, जिस दर पर वस्तु घूमती है या परिभ्रमण करती है, और इसकी दिशा [[ सामान्य (ज्यामिति) |सामान्य (ज्यामिति)]] घूर्णन या कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल के लिए सामान्य (ज्यामिति) है। कोणीय वेग का निर्देशन पारंपरिक रूप से दाएं हाथ के नियम द्वारा दर्शाया जाता है। <ref name= EM1>{{cite book
    | last =  Hibbeler
    | first = Russell C.
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    | isbn = 978-0-13-607791-6}}(EM1)</ref>
 कोणीय [[ वेग |वेग]] के दो प्रकार हैं।
-* '''कक्षीय कोणीय वेग''' एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक बिंदु वस्तु घूर्णन कितनी तेजी से संदर्भित करता है, अर्थात् [[ मूल (गणित) |मूल(गणित)]] के सापेक्ष अपनी कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर।
+* '''कक्षीय कोणीय वेग''' एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक बिंदु वस्तु घूर्णन कितनी तेजी से संदर्भित करता है, अर्थात् [[ मूल (गणित) |मूल (गणित)]] के सापेक्ष अपनी कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर।
-* '''झुकाव कोणीय वेग''' से तात्पर्य है कि घूर्णन के केंद्र के संबंध में एक कठोर शरीर कितनी तेजी से घूर्णन करता है और कक्षीय कोणीय वेग के तुलना, मूल की पसंद से स्वतंत्र है।
+* '''झुकाव कोणीय वेग''' से तात्पर्य है कि घूर्णन के केंद्र के संबंध में एक जटिल निकाय कितनी तेजी से घूर्णन करता है और कक्षीय कोणीय वेग के तुलना, मूल की पसंद से स्वतंत्र है।
-सामान्यतः, कोणीय वेग में प्रति इकाई समय कोण(भौतिकी) का [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम(भौतिकी)]] होता है(कोण को सामान्यतः समय के साथ रैखिक वेग से [[ दूरी |दूरी]] की जगह लेता है)।कोणीय वेग की एसआई इकाई [[ प्रति सेकंड रेडियन |प्रति सेकंड रेडियन]] है,<ref>{{cite book |title=International System of Units (SI) |edition=revised 2008 |first1=Barry N. |last1=Taylor |publisher=DIANE Publishing |year=2009 |isbn=978-1-4379-1558-7 |page=27 |url=https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C}} [https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C&pg=PA27 Extract of page 27]</ref> [[ कांति |रेडियन]] एक [[ आयामहीन मात्रा |आयाम रहित मात्रा]] होने के साथ, इस प्रकार कोणीय वेग की एसआई इकाइयों को एस-1 के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है। कोणीय वेग सामान्यतः प्रतीक [[ ओमेगा |ओमेगा({{math|ω}}, कभी-कभी{{math|Ω}})]] द्वारा दर्शाया जाता है ।परंपरागत ढंग से, धनात्मक कोणीय वेग काउंटर-वामावर्त घूर्णन को इंगित करता है, जबकि ऋणात्मक [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] है।
+सामान्यतः, कोणीय वेग में प्रति इकाई समय कोण (भौतिकी) का [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम (भौतिकी)]] होता है (कोण को सामान्यतः समय के साथ रैखिक वेग से [[ दूरी |दूरी]] की जगह लेता है)। कोणीय वेग की एसआई इकाई [[ प्रति सेकंड रेडियन |प्रति सेकंड रेडियन]] है,<ref>{{cite book |title=International System of Units (SI) |edition=revised 2008 |first1=Barry N. |last1=Taylor |publisher=DIANE Publishing |year=2009 |isbn=978-1-4379-1558-7 |page=27 |url=https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C}} [https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C&pg=PA27 Extract of page 27]</ref> [[ कांति |रेडियन]] एक [[ आयामहीन मात्रा |आयाम रहित मात्रा]] होने के साथ, इस प्रकार कोणीय वेग की एसआई इकाइयों को एस-1 के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है। किसी दिए गए समय में कण के कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की मात्रा को कोणीय वेग कहा जाता है। कोणीय वेग सदिश का ट्रैक रोटेशन के विमान के लंबवत है, एक दिशा में जो सामान्यतः दाहिने हाथ के नियम द्वारा इंगित किया जाता है। कोणीय वेग सामान्यतः प्रतीक [[ ओमेगा |ओमेगा ({{math|ω}}, कभी-कभी {{math|Ω}})]] द्वारा दर्शाया जाता है। परंपरागत ढंग से, धनात्मक कोणीय वेग काउंटर-वामावर्त घूर्णन को इंगित करता है, जबकि ऋणात्मक [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] है।
-उदाहरण के लिए, एक [[ जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट |भूस्थैतिक उपग्रह]] उपग्रह [[ भूमध्य रेखा |भूमध्य रेखा]] के ऊपर प्रति दिन एक कक्षा को पूरा करता है, या प्रति 24 घंटे 360 डिग्री, और कोणीय वेग = (360 °)/(24 और nbsp; h) = 15 °/h, या या 15 °/h, या है, या होता है। यदि कोण को रेडियन में मापा जाता है, तो रैखिक वेग कोणीय वेग का त्रिज्या गुना होता है, <math>v = r\omega</math>। पृथ्वी के केंद्र से 42,000 किमी की कक्षीय त्रिज्या के साथ, अंतरिक्ष के माध्यम से उपग्रह की गति इस प्रकार v = 42,000 किमी × 0.26/घंटा ≈ 11,000 किमी/घंटा है। कोणीय वेग धनात्मक है क्योंकि उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन के साथ पूर्व (उत्तरी ध्रुव के ऊपर से वामावर्त) की ओर यात्रा करता है।
+उदाहरण के लिए, एक [[ जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट |भूस्थैतिक उपग्रह]] उपग्रह [[ भूमध्य रेखा |भूमध्य रेखा]] के ऊपर प्रति दिन एक कक्षा को पूरा करता है, या प्रति 24 घंटे 360 डिग्री, और कोणीय वेग = (360 °)/ (24 और h) = 15 °/h, या या 15 °/h है, या होता है। यदि कोण को रेडियन में मापा जाता है, तो रैखिक वेग कोणीय वेग का त्रिज्य गुना होता है, <math>v = r\omega</math>। पृथ्वी के केंद्र से 42,000 किमी की कक्षीय त्रिज्या के साथ, अंतरिक्ष के माध्यम से उपग्रह की गति इस प्रकार v = 42,000 किमी × 0.26/घंटा ≈ 11,000 किमी/घंटा है। कोणीय वेग धनात्मक है क्योंकि उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन के साथ पूर्व (उत्तरी ध्रुव के ऊपर से वामावर्त) की ओर यात्रा करता है।
 == एक बिंदु कण का कक्षीय कोणीय वेग ==
 === दो आयामों में कण ===
-[[Image:Angular velocity1.svg|right| वेग सदिश 'वी' का अंगूठा।]]<math>r</math> त्रिज्या पर वृत्तीय गति के सबसे सरल मामले में , कोणीय विस्थापन द्वारा दी गई स्थिति के साथ <math>\phi(t)</math> एक्स-अक्ष से, कक्षीय कोणीय वेग समय के संबंध में कोण के परिवर्तन की दर: <math display="inline">\omega = \frac{d\phi}{dt}</math> है। यदि <math>\phi</math> रेडियन में मापा जाता है, वृत्त के चारों ओर धनात्मक एक्स-अक्ष से चाप-लंबाई कण <math>\ell=r\phi</math> है,और रैखिक वेग है <math display="inline">v(t) = \frac{d\ell}{dt} = r\omega(t)</math>, ताकि <math display="inline">\omega = \frac{v}{r}</math>।
+[[Image:Angular velocity1.svg|right| वेग सदिश 'वी' का अंगूठा। ]]<math>r</math> त्रिज्या पर वृत्तीय गति के सबसे सरल मामले में , कोणीय विस्थापन द्वारा दी गई स्थिति के साथ <math>\phi(t)</math> एक्स-अक्ष से, कक्षीय कोणीय वेग समय के संबंध में कोण के परिवर्तन की दर: <math display="inline">\omega = \frac{d\phi}{dt}</math> है। यदि <math>\phi</math> रेडियन में मापा जाता है, वृत्त के चारों ओर धनात्मक एक्स-अक्ष से चाप-लंबाई कण <math>\ell=r\phi</math> है, और रैखिक वेग<math display="inline">v(t) = \frac{d\ell}{dt} = r\omega(t)</math> है, जिससे <math display="inline">\omega = \frac{v}{r}</math>।
-तल में जाने वाले एक कण के सामान्य मामले में, कक्षीय कोणीय वेग वह दर है जिस पर एक चुने हुए मूल के सापेक्ष स्थिति सदिश कोण से बाहर निकलती है।आरेख स्थिति सदिश दिखाता है <math>\mathbf{r}</math> मूल से <math>O</math> एक कण को <math>P</math>, इसके ध्रुवीय निर्देशांक के साथ <math>(r, \phi)</math>।(सभी चर समय के कार्य हैं <math>t</math>।) कण में रैखिक वेग के रूप में विभाजित होता है <math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_\|+\mathbf{v}_\perp</math>, रेडियल घटक के साथ <math>\mathbf{v}_\|</math> त्रिज्या के समानांतर, और क्रॉस-रेडियल (या स्पर्शरेखा) घटक <math>\mathbf{v}_\perp</math> त्रिज्या के लिए लंबवत।जब कोई रेडियल घटक नहीं होता है, तो कण एक वृत्त में मूल के चारों ओर चलता है;लेकिन जब कोई क्रॉस-रेडियल घटक नहीं होता है, तो यह मूल से एक सीधी रेखा में चलता है।चूंकि रेडियल गति कोण को अपरिवर्तित छोड़ देती है, केवल रैखिक वेग का क्रॉस-रेडियल घटक कोणीय वेग में योगदान देता है।
+तल में गतिमान एक कण के सामान्य मामले में, कक्षीय कोणीय वेग वह दर है जिस पर एक चुने हुए मूल के सापेक्ष स्थिति सदिश कोण "स्वीप आउट" कोण होता है। आरेख स्थिति सदिश <math>\mathbf{r}</math> मूल <math>O</math> से एक कण <math>P</math> के लिए दिखाता है, इसके ध्रुवीय निर्देशांक <math>(r, \phi)</math> के साथ। (सभी चर समय <math>t</math> के फलन हैं) कण में रैखिक वेग<math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_\|+\mathbf{v}_\perp</math> के रूप में विभाजित होता है, त्रिज्यीय घटक के साथ <math>\mathbf{v}_\|</math> त्रिज्या के समानांतर, और अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय (या स्पर्शरेखा) घटक <math>\mathbf{v}_\perp</math> त्रिज्या के लिए लंबवत। जब कोई त्रिज्यीय घटक नहीं होता है, तो कण एक वृत्त में मूल के चारों ओर चलता है; लेकिन जब कोई अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय घटक नहीं होता है, तो यह मूल से एक सीधी रेखा में चलता है। चूंकि त्रिज्यीय गति कोण को अपरिवर्तित छोड़ देती है, केवल रैखिक वेग का अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय घटक कोणीय वेग में योगदान देता है।
-कोणीय वेग ω समय के संबंध में कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर है, जिसे क्रॉस-रेडियल वेग से गणना की जा सकती है:
+कोणीय वेग ω समय के संबंध में कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर है, जिसे अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय वेग से गणना की जा सकती है:
 : <math qid=Q240105>\omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{v_\perp}{r}.</math>
-यहाँ क्रॉस-रेडियल स्पीड <math>v_\perp</math> का हस्ताक्षरित परिमाण है <math>\mathbf{v}_\perp</math>, काउंटर-क्लॉकवाइज गति के लिए सकारात्मक, दक्षिणावर्त के लिए ऋणात्मक ।रैखिक वेग के लिए ध्रुवीय निर्देशांक लेना <math>\mathbf{v}</math> परिमाण देता है <math>v</math> (रैखिक गति) और कोण <math>\theta</math> त्रिज्या सदिश के सापेक्ष;इन शब्दों में, <math>v_\perp = v\sin(\theta)</math>, ताकि
+यहाँ अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय स्पीड <math>v_\perp</math> का हस्ताक्षरित परिमाण <math>\mathbf{v}_\perp</math>है , काउंटर-वामावर्त गति के लिए धनात्मक, दक्षिणावर्त के लिए ऋणात्मक होता है। रैखिक वेग <math>\mathbf{v}</math> के लिए ध्रुवीय निर्देशांक <math>v</math> (रैखिक गति) और कोण <math>\theta</math> त्रिज्या सदिश के सापेक्ष परिमाण देता है ;इन शब्दों में, <math>v_\perp = v\sin(\theta)</math>, इस प्रकार
 : <math qid=Q161635>\omega = \frac{v\sin(\theta)}{r}.</math>
-इन सूत्रों को किया जा सकता है <math>\mathbf{r}=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))</math>, हो रहा <math>r</math> समय के संबंध में मूल के लिए दूरी का एक कार्य, और <math>\varphi</math> सदिश और एक्स अक्ष के बीच कोण का एक कार्य।फिर {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{Dutt} = (\ dot {r} \ chos (\ varfi) - r \ dot {\ varfi} \ sin (\ varfi), \ dot {r} \ sin (\ varaf) \ chos (\ varfa)) <) <) < / मैट>।}} विच आइस के साथ {{nowrap|<math>\dot{r}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) + r\dot{\varphi}(-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\varphi}\hat{\varphi}</math>.}} (बेलनाकार निर्देशांक में [[ इकाई वेक्टर |इकाई सदिश]] देखें)।जानने {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \ mathbf {v} </math>,}} हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेग का रेडियल घटक द्वारा दिया गया है {{nowrap|<math>\dot{r}</math>,}} क्योंकि <math>\hat{r}</math> एक रेडियल इकाई सदिश है;और लंबवत घटक द्वारा दिया गया है <math>r\dot{\varphi}</math> क्योंकि <math>\hat{\varphi}</math> एक लंबवत इकाई सदिश है।
+इन सूत्रों को <math>\mathbf{r}=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))</math>निष्पादित किया जा सकता है , हो रहा <math>r</math> समय के संबंध में मूल के लिए दूरी का एक कार्य, और <math>\varphi</math> सदिश और एक्स अक्ष के बीच कोण का एक कार्य। फिर {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{dt} = (\dot{r}\cos(\varphi) - r\dot{\varphi}\sin(\varphi), \dot{r}\sin(\varphi) + r\dot{\varphi}\cos(\varphi))</math>.}} विच आइस के साथ {{nowrap|<math>\dot{r}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) + r\dot{\varphi}(-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\varphi}\hat{\varphi}</math>.}} (बेलनाकार निर्देशांक में [[ इकाई वेक्टर |इकाई सदिश]] देखें)। जानने {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \ mathbf {v} </math>,}} हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेग का त्रिज्यीय घटक द्वारा दिया गया है {{nowrap|<math>\dot{r}</math>,}} क्योंकि <math>\hat{r}</math> एक त्रिज्यीय इकाई सदिश है;और लंबवत घटक द्वारा दिया गया है <math>r\dot{\varphi}</math> क्योंकि <math>\hat{\varphi}</math> एक लंबवत इकाई सदिश है।
+दो आयामों में, कोणीय वेग प्लस या माइनस साइन के साथ एक संख्या है जो निर्देशन का संकेत देती है, लेकिन एक दिशा में इंगित नहीं करती है। यदि रेडियस सदिश काउंटर-वामावर्त हो जाता है, और यदि दक्षिणावर्त हो तो ऋणात्मक हो जाता है। कोणीय वेग को तब एक [[ स्यूडोस्केलर |छद्मसदिश]] कहा जा सकता है, एक संख्यात्मक मात्रा जो एक [[ समता (भौतिकी) |समता (भौतिकी)]] के तहत चिन्ह को बदलता है, जैसे कि एक अक्ष को प्रतिलोम करना या दो अक्षों को स्विच करना।
-दो आयामों में, कोणीय वेग प्लस या माइनस साइन के साथ एक संख्या है जो निर्देशन का संकेत देती है, लेकिन एक दिशा में इंगित नहीं करती है।यदि RADIUS सदिश काउंटर-क्लॉकवाइज हो जाता है, और यदि दक्षिणावर्त हो तो ऋणात्मक  हो जाता है।कोणीय वेग को तब एक [[ स्यूडोस्केलर |स्यूडोस्केलर]] कहा जा सकता है, एक संख्यात्मक मात्रा जो एक [[ समता (भौतिकी) |समता (भौतिकी)]] के तहत हस्ताक्षर को बदलता है, जैसे कि एक अक्ष को इनवर्ट करना या दो अक्षों को स्विच करना।
 === तीन आयामों में कण ===
-[[Image:Angular velocity.svg|thumb|250px|कक्षीय कोणीय वेग सदिश कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर, साथ ही कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल को एन्कोड करता है।इस मामले में (काउंटर-क्लॉकवाइज सर्कुलर मोशन) सदिश इंगित करता है।]]त्रि-आयामी स्थान में, हमारे पास फिर से एक चलती कण की स्थिति सदिश आर है।यहां, कक्षीय कोणीय वेग एक स्यूडोसदिश है जिसका परिमाण वह दर है जिस पर आर कोण को बाहर निकालता है, और जिसकी दिशा तात्कालिक तल के लिए लंबवत है जिसमें आर आर कोण को बाहर निकालता है (अर्थात् तल आर और वी द्वारा फैलाया जाता है)।हालांकि, जैसा कि किसी भी तल के लिए लंबवत ''दो'' दिशाएं हैं, कोणीय वेग की दिशा को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए एक अतिरिक्त स्थिति आवश्यक है;परंपरागत रूप से, दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है।
+[[Image:Angular velocity.svg|thumb|250px|कक्षीय कोणीय वेग सदिश कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर, साथ ही कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल को एन्कोड करता है। इस मामले में (काउंटर-वामावर्त सर्कुलर मोशन) सदिश इंगित करता है। ]]त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, हमारे पास फिर से एक गतिमान कण की स्थिति सदिश r होता है। यहां, कक्षीय कोणीय वेग एक छद्म सदिश है जिसका परिमाण वह दर है जिस पर r कोण को बाहर निकालता है, और जिसकी दिशा तात्कालिक तल के लिए लंबवत है जिसमें आर आर कोण को बाहर निकालता है (अर्थात r और v द्वारा फैला हुआ समतल)। हालांकि, जैसा कि किसी भी तल के लिए लंबवत ''दो'' दिशाएं हैं, कोणीय वेग की दिशा को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए एक अतिरिक्त स्थिति आवश्यक है;परंपरागत रूप से, दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है।
-छद्म सदिश को चलो <math>\mathbf{u}</math> आर और वी द्वारा फैले हुए तल के लिए इकाई सदिश लंबवत बनें, ताकि दाहिने हाथ का नियम संतुष्ट हो (अर्थात् कोणीय विस्थापन की तात्कालिक दिशा काउंटर-क्लॉकवाइज है जो ऊपर से दिख रही है <math>\mathbf{u}</math>)।ध्रुवीय निर्देशांक लेना <math>(r,\phi)</math> इस तल में, जैसा कि ऊपर दो-आयामी मामले में, कोई भी कक्षीय कोणीय वेग सदिश को परिभाषित कर सकता है:
+छद्म सदिश को चलो <math>\mathbf{u}</math> आर और वी द्वारा फैले हुए तल के लिए इकाई सदिश लंबवत बनें, जिससे दाहिने हाथ का नियम संतुष्ट हो (अर्थात् कोणीय विस्थापन की तात्कालिक दिशा काउंटर-वामावर्त <math>\mathbf{u}</math> है जो ऊपर से दिख रही है)। ध्रुवीय निर्देशांक <math>(r,\phi)</math> इस तल में, जैसा कि ऊपर दो-आयामी मामले में, कोई भी कक्षीय कोणीय वेग सदिश को परिभाषित कर सकता है:
 : <math>\boldsymbol\omega =\omega \mathbf u = \frac{d\phi}{dt}\mathbf u=\frac{v \sin(\theta)}{r}\mathbf u,</math>
-जहां and 'r' और 'v' के बीच का कोण है।क्रॉस उत्पाद के संदर्भ में, यह है:
+जहां ''θ'' 'r' और 'v' के बीच का कोण है। अनुप्रस्थ परिणाम के संदर्भ में, यह है:
 : <math>\boldsymbol\omega
 =\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{r^2}.</math><ref>{{cite web |last1=Singh |first1=Sunil K. |title=Angular Velocity |url=https://cnx.org/contents/MymQBhVV@175.14:51fg7QFb@14/Angular-velocity |website=OpenStax |publisher=Rice University |access-date=21 May 2021 |ref=1}}</ref>
-उपरोक्त समीकरण से, कोई भी स्पर्शरेखा वेग को ठीक कर सकता है:
+उपरोक्त समीकरण से, कोई भी स्पर्शरेखा वेग को पुनः प्राप्त कर सकता है:
 :<math>\mathbf{v}_{\perp} =\boldsymbol{\omega} \times\mathbf{r}</math>
-== एक कठोर शरीर या संदर्भ फ्रेम का झुकाव कोणीय वेग ==
+== एक जटिल निकाय या संदर्भ फ्रेम का झुकाव कोणीय वेग ==
-तीन इकाई समन्वय वैक्टर के एक घूर्णन फ्रेम को देखते हुए, तीनों में प्रत्येक तत्काल में एक ही कोणीय गति होनी चाहिए।इस तरह के फ्रेम में, प्रत्येक सदिश को निरंतर स्केलर त्रिज्या के साथ एक चलती कण के रूप में माना जा सकता है।
+तीन इकाई समन्वय सदिश के एक घूर्णन फ्रेम को देखते हुए, तीनों में प्रत्येक तत्काल में एक ही कोणीय गति होनी चाहिए। इस तरह के फ्रेम में, प्रत्येक सदिश को निरंतर अदिश त्रिज्या के साथ एक गतिमान कण के रूप में माना जा सकता है।
-घूर्णन फ्रेम कठोर शरीर के संदर्भ में दिखाई देता है, और इसके लिए विशेष उपकरण विकसित किए गए हैं: झुकाव कोणीय वेग को सदिश के रूप में या समकक्ष रूप से एक [[ टेन्सर |टेन्सर]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
+घूर्णन फ्रेम जटिल निकाय के संदर्भ में दिखाई देता है, और इसके लिए विशेष उपकरण विकसित किए गए हैं: झुकाव कोणीय वेग को सदिश के रूप में या समकक्ष रूप से एक [[ टेन्सर |टेन्सर]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
-सामान्य परिभाषा के अनुरूप, एक फ्रेम के झुकाव कोणीय वेग को  घूर्णन के अपने स्वयं के केंद्र के संबंध में तीन वैक्टर (सभी के लिए समान) के कक्षीय कोणीय वेग के रूप में परिभाषित किया गया है।फ्रेम के लिए कोणीय वेग वैक्टर के अलावा भी सामान्य सदिश जोड़ (रैखिक आंदोलनों की संरचना) द्वारा परिभाषित किया गया है, और  घूर्णन को एक [[ गिम्बल |गिम्बल]] में विघटित करने के लिए उपयोगी हो सकता है।सदिश के सभी घटकों की गणना चलती फ्रेम (यूलर कोण या  घूर्णन मैट्रिसेस) को परिभाषित करने वाले मापदंडों के डेरिवेटिव के रूप में की जा सकती है।जैसा कि सामान्य मामले में, इसके अलावा कम्यूटेटिव है: <math>\omega_1 + \omega_2 = \omega_2 + \omega_1</math>।
+सामान्य परिभाषा के अनुरूप, एक फ्रेम के झुकाव कोणीय वेग को घूर्णन के अपने स्वयं के केंद्र के संबंध में तीन सदिश (सभी के लिए समान) के कक्षीय कोणीय वेग के रूप में परिभाषित किया गया है। फ्रेम के लिए कोणीय वेग सदिश के अतिरिक्त भी सामान्य सदिश जोड़ (रैखिक आंदोलनों की संरचना) द्वारा परिभाषित किया गया है, और घूर्णन को एक [[ गिम्बल |गिम्बल]] में विघटित करने के लिए उपयोगी हो सकता है। सदिश के सभी घटकों की गणना गतिमान फ्रेम (यूलर कोण या घूर्णन आव्यूहों ) को परिभाषित करने वाले मापदंडों के डेरिवेटिव के रूप में की जा सकती है। जैसा कि सामान्य मामले में, इसके अतिरिक्त क्रमविनिमेय है: <math>\omega_1 + \omega_2 = \omega_2 + \omega_1</math>।
-यूलर के  घूर्णन प्रमेय द्वारा, किसी भी घूर्णन फ्रेम में  घूर्णन की एक तात्कालिक अक्ष होता है, जो कोणीय वेग सदिश की दिशा है, और कोणीय वेग का परिमाण दो-आयामी मामले के अनुरूप है।
+यूलर के घूर्णन प्रमेय द्वारा, किसी भी घूर्णन फ्रेम में घूर्णन की एक तात्कालिक अक्ष होता है, जो कोणीय वेग सदिश की दिशा है, और कोणीय वेग का परिमाण दो-आयामी मामले के अनुरूप है।
-यदि हम एक संदर्भ बिंदु चुनते हैं <math>{\boldsymbol R}</math> कठोर शरीर में तय, वेग <math> \dot {\boldsymbol r}</math> शरीर में किसी भी बिंदु द्वारा दिया जाता है
+यदि हम एक संदर्भ बिंदु चुनते हैं <math>{\boldsymbol R}</math> जटिल निकाय में तय, वेग <math> \dot {\boldsymbol r}</math> निकाय में किसी भी बिंदु द्वारा दिया जाता है।
 :<math> \dot {\boldsymbol r}= \dot {\boldsymbol R}+ {\boldsymbol\omega}\times({\boldsymbol r}-{\boldsymbol R})
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-=== बॉडी-फिक्स्ड फ्रेम के आधार वैक्टर से घटक ===
+=== निकाय-फिक्स्ड फ्रेम के आधार सदिश से घटक ===
-एक निश्चित बिंदु ओ के बारे में एक कठोर शरीर पर विचार करें। शरीर में एक संदर्भ फ्रेम का निर्माण करें जिसमें वैक्टर के एक ऑर्थोनॉर्मल सेट शामिल हैं <math>\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 </math> शरीर के लिए और ओ में उनके सामान्य मूल के साथ। ओ के बारे में फ्रेम और शरीर दोनों के झुकाव कोणीय वेग सदिश तब है
+एक निश्चित बिंदु O के बारे में एक जटिल निकाय पर विचार करें।निकाय में एक संदर्भ फ्रेम का निर्माण करें जिसमें सदिश <math>\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 </math> के एक प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण सम्मुच्चय सम्मिलित हैं निकाय के लिए और O में उनके सामान्य मूल के साथ। O के बारे में फ्रेम और निकाय दोनों के झुकाव कोणीय वेग सदिश तब है
 : <math>\boldsymbol\omega = \left(\dot \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2\right) \mathbf{e}_3 + \left(\dot \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_3\right) \mathbf{e}_1 + \left(\dot \mathbf{e}_3\cdot\mathbf{e}_1\right) \mathbf{e}_2,
 </math>
-कहाँ पे <math> \dot \mathbf{e}_i= \frac{d  \mathbf{e}_i}{dt} </math> फ्रेम सदिश के परिवर्तन की समय दर है <math> \mathbf{e}_i, i=1,2,3,</math>  घूर्णन के कारण।
+जहाँ पर <math> \dot \mathbf{e}_i= \frac{d  \mathbf{e}_i}{dt} </math> फ्रेम सदिश <math> \mathbf{e}_i, i=1,2,3,</math> घूर्णन के कारण के परिवर्तन की समय दर है।
 ध्यान दें कि यह सूत्र कक्षीय कोणीय वेग के लिए अभिव्यक्ति के साथ असंगत है
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 : <math>\boldsymbol\omega
 =\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{r^2},</math>
-चूंकि यह सूत्र ओ के बारे में एक बिंदु के लिए कोणीय वेग को परिभाषित करता है, जबकि इस खंड में सूत्र एक फ्रेम या कठोर शरीर पर लागू होता है।एक कठोर शरीर के मामले में एक एकल <math> \boldsymbol\omega</math> शरीर में सभी कणों की गति के लिए जिम्मेदार है।
+चूंकि यह सूत्र O के बारे में एक बिंदु के लिए कोणीय वेग को परिभाषित करता है, जबकि इस खंड में सूत्र एक फ्रेम या जटिल निकाय पर लागू होता है। एक जटिल निकाय के मामले में एक एकल <math> \boldsymbol\omega</math> निकाय में सभी कणों की गति के लिए जिम्मेदार है।
 === यूलर कोण से घटक ===
-[[Image:Eulerframe.svg|thumb|हरे रंग में यूलर फ्रेम दिखा रहा है]]झुकाव कोणीय वेग छद्म सदिश के घटकों की गणना पहले [[ लियोनहार्ड यूलर |लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा अपने [[ यूलर कोण |यूलर कोण]] ों और एक मध्यवर्ती फ्रेम के उपयोग का उपयोग करके की गई थी:
+[[Image:Eulerframe.svg|thumb|हरे रंग में यूलर फ्रेम दिखा रहा है]]झुकाव कोणीय वेग छद्म सदिश के घटकों की गणना पहले [[ लियोनहार्ड यूलर |लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा अपने [[ यूलर कोण |यूलर कोणों]] और एक मध्यवर्ती फ्रेम के उपयोग से की गई थी:
-* संदर्भ फ्रेम की एक धुरी (प्रीसेशन एक्सिस)
+* संदर्भ फ्रेम की एक धुरी (प्रीसेशन अक्ष)
-* संदर्भ फ्रेम (पोषण अक्ष) के संबंध में मूविंग फ्रेम के नोड्स की रेखा
+* संदर्भ फ्रेम (पोषण अक्ष) के संबंध में गतिमान फ्रेम के नोड्स की रेखा
-* चलती फ्रेम की एक अक्ष (आंतरिक  घूर्णन अक्ष)
+* गतिमान फ्रेम की एक अक्ष (आंतरिक घूर्णन अक्ष)
-यूलर ने साबित किया कि इन तीन अक्षों में से प्रत्येक पर कोणीय वेग स्यूडोसदिश के अनुमान इसके संबद्ध कोण का व्युत्पन्न है (जो तात्कालिक  घूर्णन को तीन तात्कालिक [[ यूलर रोटेशन |यूलर]] घूर्णन में विघटित करने के बराबर है)।इसलिए:<ref>[http://www.vti.mod.gov.rs/ntp/rad2007/3-07/hedr/hedr.pdf K.S.HEDRIH: Leonhard Euler (1707–1783) and rigid body dynamics]</ref>
+यूलर ने प्रमाणित किया कि इन तीन अक्षों में से प्रत्येक पर कोणीय वेग छद्म सदिश के अनुमान इसके संबद्ध कोण का व्युत्पन्न है (जो तात्कालिक घूर्णन को तीन तात्कालिक [[ यूलर रोटेशन |यूलर]] घूर्णन में विघटित करने के बराबर है)। इसलिए:<ref>[http://www.vti.mod.gov.rs/ntp/rad2007/3-07/hedr/hedr.pdf K.S.HEDRIH: Leonhard Euler (1707–1783) and rigid body dynamics]</ref>
 : <math>\boldsymbol\omega = \dot\alpha\mathbf u_1+\dot\beta\mathbf u_2+\dot\gamma \mathbf u_3</math>
-यह आधार ऑर्थोनॉर्मल नहीं है और इसका उपयोग करना मुश्किल है, लेकिन अब वेग सदिश को निश्चित फ्रेम या मूविंग फ्रेम में केवल ठिकानों के परिवर्तन के साथ बदला जा सकता है।उदाहरण के लिए, मोबाइल फ्रेम में बदलना:
+यह आधार असामान्य नहीं है और इसका उपयोग करना कठिन है, लेकिन अब वेग सदिश को निश्चित फ्रेम या गतिमान फ्रेम में केवल आधारों के परिवर्तन के साथ बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, मोबाइल फ्रेम में बदलना:
 : <math>\boldsymbol\omega =
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 (\dot\alpha \sin\beta \cos\gamma - \dot\beta\sin\gamma) \hat\mathbf j +
 (\dot\alpha \cos\beta + \dot\gamma) \hat\mathbf k</math>
-कहाँ पे <math>\hat\mathbf i, \hat\mathbf j, \hat\mathbf k</math> मूविंग बॉडी में तय किए गए फ्रेम के लिए इकाई वैक्टर हैं।यह उदाहरण Z-X-Z कन्वेंशन के लिए Euler कोणों के लिए किया गया है।{{Citation needed|date=June 2020}}
+जहाँ पर <math>\hat\mathbf i, \hat\mathbf j, \hat\mathbf k</math> गतिमान निकाय में तय किए गए फ्रेम के लिए इकाई सदिश हैं। यह उदाहरण Z-X-Z कन्वेंशन के लिए यूलर कोणों के लिए किया गया है। {{Citation needed|date=June 2020}}
 == प्रदिश {{anchor|Angular velocity tensor}} ==
-{{See also|Skew-symmetric matrix}}
+{{See also|तिरछा-सममित मैट्रिक्स}}
-कोणीय वेग सदिश <math>\boldsymbol\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)</math> ऊपर परिभाषित किया जा सकता है एक कोणीय वेग प्रदिश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, आव्यूह (या रैखिक मानचित्रण) ''w'' = ''w''  t '') द्वारा परिभाषित:
+कोणीय वेग सदिश <math>\boldsymbol\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)</math> ऊपर परिभाषित किया जा सकता है एक कोणीय वेग प्रदिश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, आव्यूह (या रैखिक मानचित्रण) ''w'' = ''w'' t '') द्वारा परिभाषित:
 : <math>
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 -\omega_y & \omega_x & 0 \\
 \end{pmatrix}</math>
-यह एक कोणीय विस्थापन#infinitesimal  घूर्णन मैट्रिसेस है।रैखिक मैपिंग डब्ल्यू के रूप में कार्य करता है <math>(\boldsymbol\omega \times)</math>:
+यह एक कोणीय विस्थापन अतिसूक्ष्म घूर्णन आव्यूहों है। रैखिक मैपिंग W के रूप में फलन करता है <math>(\boldsymbol\omega \times)</math>:
 : <math>\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} = W \cdot\mathbf{r}. </math>
@@ Line 145: / Line 156: @@
 :<math>\frac {d \mathbf r} {dt} = \boldsymbol{\omega} \times\mathbf{r} = W \cdot \mathbf{r}</math>
-एक फ्रेम के ओरिएंटेशन आव्यूह ए (टी) को देखते हुए, जिनके कॉलम चलती ऑर्थोनॉर्मल कोऑर्डिनेट वैक्टर हैं <math>\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3</math>, हम इसके कोणीय वेग प्रदिश डब्ल्यू (टी) प्राप्त कर सकते हैं।कोणीय वेग तीन वैक्टर के लिए समान होना चाहिए <math>\mathbf r = \mathbf e_i</math>, इसलिए एक आव्यूह के स्तंभों में तीन सदिश समीकरणों की व्यवस्था करना, हमारे पास है:
+एक फ्रेम के ओरिएंटेशन आव्यूह ए (टी) को देखते हुए, जिनके कॉलम गतिमान प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण कोऑर्डिनेट सदिश हैं <math>\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3</math>, हम इसके कोणीय वेग प्रदिश W (टी) प्राप्त कर सकते हैं। कोणीय वेग तीन सदिश के लिए समान होना चाहिए <math>\mathbf r = \mathbf e_i</math>, इसलिए एक आव्यूह के स्तंभों में तीन सदिश समीकरणों की व्यवस्था करना, हमारे पास है:
 : <math>\frac {dA}{dt} = W \cdot A.</math>
-(यह तब भी धारण करता है जब a (t) समान रूप से नहीं घूर्णन है।) इसलिए कोणीय वेग प्रदिश है:
+(यह तब भी धारण करता है जब a (t) समान रूप से नहीं घूर्णन है। ) इसलिए कोणीय वेग प्रदिश है: