गुणनफल

गणित में, एक उत्पाद गुणन का परिणाम है, या एक गणितीय अभिव्यक्ति है जो गुणा करने के लिए गणितीय वस्तु (संख्या या चर (गणित) ) की पहचान करती है, जिसे 'कारक' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 30 6 और 5 (गुणा का परिणाम) का गुणनफल है, और $x\cdot (2+x)$ का उत्पाद है $x$ और $(2+x)$ (यह दर्शाता है कि दो कारकों को एक साथ गुणा किया जाना चाहिए)।

जिस क्रम में वास्तविक संख्या या जटिल संख्या संख्याओं को गुणा किया जाता है, उसका उत्पाद पर कोई असर नहीं पड़ता है; इसे गुणन की क्रमविनिमेयता के रूप में जाना जाता है। जब मैट्रिक्स (गणित) या विभिन्न अन्य साहचर्य बीजगणित के सदस्यों को गुणा किया जाता है, तो उत्पाद सामान्य रूप से कारकों के क्रम पर निर्भर करता है। मैट्रिक्स गुणन , उदाहरण के लिए, गैर-क्रमविनिमेय है, और ऐसा ही सामान्य रूप से अन्य बीजगणितों में भी गुणन है।

गणित में कई अलग-अलग प्रकार के गुणनफल हैं: केवल संख्याओं, बहुपदों या आव्यूहों का गुणन करने में सक्षम होने के अतिरिक्त, कोई भी अनेक भिन्न बीजगणितीय संरचना ओं पर गुणनफलों को परिभाषित कर सकता है।

दो संख्याओं का गुणनफल

यह खंड गुणन § परिभाषाओं का एक अंश है।

दो संख्याओं का गुणनफल या दो संख्याओं के बीच गुणन को सामान्य विशेष स्थितियों के लिए परिभाषित किया जा सकता है: पूर्णांक, प्राकृतिक संख्याएँ, भिन्न वास्तविक संख्याएँ, सम्मिश्र संख्याएँ और चतुष्कोण।

अनुक्रम का उत्पाद

See also: Multiplication § Product of a sequence

गुणन#कैपिटल पीआई नोटेशन के लिए उत्पाद ऑपरेटर को कैपिटल ग्रीक अक्षर पाई (अक्षर) द्वारा निरूपित किया जाता है <अवधि शैली = फ़ॉन्ट-परिवार: समय, सेरिफ़; फ़ॉन्ट-आकार: 150% >Π (राजधानी सिग्मा Σ योग प्रतीक के रूप में उपयोग के अनुरूप) . उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति $\textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}$लिखने का दूसरा तरीका है $1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36$. केवल एक संख्या वाले अनुक्रम का गुणनफल केवल वही संख्या होती है; बिना किसी कारक के उत्पाद को खाली उत्पाद के रूप में जाना जाता है, और यह 1 के बराबर है।

क्रमविनिमेय अंगूठी ्स

क्रमविनिमेय छल्लों का एक उत्पाद संचालन होता है।

पूर्णांकों के अवशेष वर्ग

Main article: residue class

छल्लों में अवशेष कक्षाएं $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ जोड़ा जा सकता है:

$(a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z}$

और गुणा:

$(a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z}$

कनवल्शन

Main article: convolution

File:Convolucion Funcion Pi.gif

स्क्वायर वेव का कनवल्शन अपने आप में त्रिकोणीय फलन देता है

वास्तविक से दो कार्यों को दूसरे तरीके से गुणा किया जा सकता है, जिसे घुमाव कहा जाता है।

यदि

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{and}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,$

फिर अभिन्न

$(f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau$

अच्छी तरह से परिभाषित है और इसे कनवल्शन कहा जाता है।

फूरियर रूपांतरण के तहत, कनवल्शन पॉइंट-वाइज फलन गुणन बन जाता है।

बहुपद के छल्ले

Main article: polynomial ring

दो बहुपदों का गुणनफल निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}$

साथ

$c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}$

== रैखिक बीजगणित == में उत्पाद रैखिक बीजगणित में कई प्रकार के गुणनफल होते हैं। इनमें से कुछ के नाम ([[ बाहरी उत्पाद ]], बाहरी उत्पाद) बहुत अलग अर्थों के साथ भ्रामक रूप से समान नाम हैं, जबकि अन्य के बहुत अलग नाम हैं (बाहरी उत्पाद, टेंसर उत्पाद, क्रोनकर उत्पाद) और फिर भी अनिवार्य रूप से एक ही विचार व्यक्त करते हैं। इनका संक्षिप्त विवरण निम्नलिखित अनुभागों में दिया गया है।

अदिश गुणन

Main article: scalar multiplication

सदिश स्थान की बहुत परिभाषा के अनुसार, कोई भी सदिश के साथ किसी भी अदिश का गुणनफल बना सकता है, एक नक्शा दे सकता है $\mathbb {R} \times V\rightarrow V$