गुणनफल: Difference between revisions

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[[ गणित ]] में, एक उत्पाद गुणन का परिणाम है, या एक [[ गणितीय अभिव्यक्ति ]] है जो [[ गुणा ]] करने के लिए [[ गणितीय वस्तु ]] (संख्या या [[ चर (गणित) ]]) की पहचान करती है, जिसे 'कारक' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 30 6 और 5 (गुणा का परिणाम) का गुणनफल है, और <math>x\cdot (2+x)</math> का उत्पाद है <math>x</math> और <math>(2+x)</math> (यह दर्शाता है कि दो कारकों को एक साथ गुणा किया जाना चाहिए)।
[[ गणित ]] में, एक उत्पाद गुणन का परिणाम है, या एक [[ गणितीय अभिव्यक्ति ]] है जो [[ गुणा ]] करने के लिए [[ गणितीय वस्तु ]] (संख्या या [[ चर (गणित) ]]) की पहचान करती है, जिसे 'कारक' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 30 6 और 5 (गुणा का परिणाम) का गुणनफल है, और <math>x\cdot (2+x)</math> का उत्पाद है <math>x</math> और <math>(2+x)</math> (यह दर्शाता है कि दो कारकों को एक साथ गुणा किया जाना चाहिए)।


जिस क्रम में [[ वास्तविक संख्या ]] या [[ जटिल संख्या ]] संख्याओं को गुणा किया जाता है, उसका उत्पाद पर कोई असर नहीं पड़ता है; इसे गुणन की [[ क्रमविनिमेयता ]] के रूप में जाना जाता है। जब [[ मैट्रिक्स (गणित) ]] या विभिन्न अन्य [[ साहचर्य बीजगणित ]] के सदस्यों को गुणा किया जाता है, तो उत्पाद आमतौर पर कारकों के क्रम पर निर्भर करता है। [[ मैट्रिक्स गुणन ]], उदाहरण के लिए, गैर-क्रमविनिमेय है, और ऐसा ही सामान्य रूप से अन्य बीजगणितों में भी गुणन है।
जिस क्रम में [[ वास्तविक संख्या ]] या [[ जटिल संख्या ]] संख्याओं को गुणा किया जाता है, उसका उत्पाद पर कोई असर नहीं पड़ता है; इसे गुणन की [[ क्रमविनिमेयता ]] के रूप में जाना जाता है। जब [[ मैट्रिक्स (गणित) ]] या विभिन्न अन्य [[ साहचर्य बीजगणित ]] के सदस्यों को गुणा किया जाता है, तो उत्पाद सामान्य रूप से कारकों के क्रम पर निर्भर करता है। [[ मैट्रिक्स गुणन ]], उदाहरण के लिए, गैर-क्रमविनिमेय है, और ऐसा ही सामान्य रूप से अन्य बीजगणितों में भी गुणन है।


गणित में कई अलग-अलग प्रकार के गुणनफल हैं: केवल संख्याओं, बहुपदों या आव्यूहों का गुणन करने में सक्षम होने के अलावा, कोई भी अनेक भिन्न [[ बीजगणितीय संरचना ]]ओं पर गुणनफलों को परिभाषित कर सकता है।
गणित में कई अलग-अलग प्रकार के गुणनफल हैं: केवल संख्याओं, बहुपदों या आव्यूहों का गुणन करने में सक्षम होने के अतिरिक्त, कोई भी अनेक भिन्न [[ बीजगणितीय संरचना ]]ओं पर गुणनफलों को परिभाषित कर सकता है।


==दो संख्याओं का गुणनफल==
==दो संख्याओं का गुणनफल==
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== अनुक्रम का उत्पाद{{anchor|Product of sequences}}==
== अनुक्रम का उत्पाद{{anchor|Product of sequences}}==
{{See also|Multiplication#Product of a sequence}}
{{See also|Multiplication#Product of a sequence}}
गुणन#कैपिटल पीआई नोटेशन के लिए उत्पाद ऑपरेटर को कैपिटल ग्रीक अक्षर पाई (अक्षर) द्वारा निरूपित किया जाता है <अवधि शैली = फ़ॉन्ट-परिवार: समय, सेरिफ़; फ़ॉन्ट-आकार: 150% >Π</span> (राजधानी सिग्मा <span style= फ़ॉन्ट-परिवार: समय, सेरिफ़; फ़ॉन्ट-आकार: 150%> Σ</span> [[ योग ]] प्रतीक के रूप में उपयोग के अनुरूप) .<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=उत्पाद|url=https://mathworld.wolfram.com/उत्पाद.html|access-date=2020-08-16|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति <math>\textstyle \prod_{i=1}^{6}i^2</math>लिखने का दूसरा तरीका है <math>1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36</math>.<ref>{{Cite web|title=Summation and Product Notation|url=https://math.illinoisstate.edu/day/courses/old/305/contentsummationnotation.html|access-date=2020-08-16|website=math.illinoisstate.edu}}</ref>
गुणन#कैपिटल पीआई नोटेशन के लिए उत्पाद ऑपरेटर को कैपिटल ग्रीक अक्षर पाई (अक्षर) द्वारा निरूपित किया जाता है <अवधि शैली = फ़ॉन्ट-परिवार: समय, सेरिफ़; फ़ॉन्ट-आकार: 150% >Π (राजधानी सिग्मा <span style= फ़ॉन्ट-परिवार: समय, सेरिफ़; फ़ॉन्ट-आकार: 150%> Σ</span> [[ योग ]] प्रतीक के रूप में उपयोग के अनुरूप) .<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=उत्पाद|url=https://mathworld.wolfram.com/उत्पाद.html|access-date=2020-08-16|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति <math>\textstyle \prod_{i=1}^{6}i^2</math>लिखने का दूसरा तरीका है <math>1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36</math>.<ref>{{Cite web|title=Summation and Product Notation|url=https://math.illinoisstate.edu/day/courses/old/305/contentsummationnotation.html|access-date=2020-08-16|website=math.illinoisstate.edu}}</ref>
केवल एक संख्या वाले अनुक्रम का गुणनफल केवल वही संख्या होती है; बिना किसी कारक के उत्पाद को [[ खाली उत्पाद ]] के रूप में जाना जाता है, और यह 1 के बराबर है।
केवल एक संख्या वाले अनुक्रम का गुणनफल केवल वही संख्या होती है; बिना किसी कारक के उत्पाद को [[ खाली उत्पाद ]] के रूप में जाना जाता है, और यह 1 के बराबर है।


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अदिश गुणनफल से, कोई मानक (गणित) को परिभाषित करके परिभाषित कर सकता है <math>\|v\| := \sqrt{v \cdot v} </math>.
अदिश गुणनफल से, कोई मानक (गणित) को परिभाषित करके परिभाषित कर सकता है <math>\|v\| := \sqrt{v \cdot v} </math>.


स्केलर उत्पाद भी किसी को दो वैक्टरों के बीच कोण को परिभाषित करने की अनुमति देता है:
स्केलर उत्पाद भी किसी को दो वैक्टरों के बीच कोण को परिभाषित करने की स्वीकृति देता है:


:<math>\cos\angle(v, w) = \frac{v \cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}</math>
:<math>\cos\angle(v, w) = \frac{v \cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}</math>
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* [[ टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद ]]।
* [[ टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद ]]।


टेंसर उत्पाद, बाहरी उत्पाद और [[ क्रोनकर उत्पाद ]] सभी एक ही सामान्य विचार व्यक्त करते हैं। इनके बीच अंतर यह है कि क्रोनकर उत्पाद पहले से तय आधार के संबंध में मैट्रिसेस का एक टेंसर उत्पाद है, जबकि टेंसर उत्पाद आमतौर पर इसके [[ टेंसर (आंतरिक परिभाषा) ]] में दिया जाता है। बाहरी उत्पाद केवल क्रोनकर उत्पाद है, जो वैक्टर (मैट्रिसेस के बजाय) तक सीमित है।
टेंसर उत्पाद, बाहरी उत्पाद और [[ क्रोनकर उत्पाद ]] सभी एक ही सामान्य विचार व्यक्त करते हैं। इनके बीच अंतर यह है कि क्रोनकर उत्पाद पहले से तय आधार के संबंध में मैट्रिसेस का एक टेंसर उत्पाद है, जबकि टेंसर उत्पाद सामान्य रूप से इसके [[ टेंसर (आंतरिक परिभाषा) ]] में दिया जाता है। बाहरी उत्पाद केवल क्रोनकर उत्पाद है, जो वैक्टर (मैट्रिसेस के अतिरिक्त) तक सीमित है।


=== एक टेंसर उत्पाद के साथ सभी वस्तुओं का वर्ग ===
=== एक टेंसर उत्पाद के साथ सभी वस्तुओं का वर्ग ===
सामान्य तौर पर, जब भी किसी के पास दो गणितीय [[ वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) ]] होती है जिसे इस तरह से जोड़ा जा सकता है जो एक रैखिक बीजगणित टेंसर उत्पाद की तरह व्यवहार करता है, तो इसे आम तौर पर एक [[ मोनोइडल श्रेणी ]] के [[ आंतरिक उत्पाद ]] के रूप में समझा जा सकता है। अर्थात्, मोनोइडल श्रेणी एक टेंसर उत्पाद के अर्थ को ठीक से समझती है; यह बिल्कुल इस धारणा को पकड़ लेता है कि ऐसा क्यों है कि टेंसर उत्पाद जिस तरह से व्यवहार करते हैं। अधिक सटीक रूप से, एक मोनोइडल श्रेणी सभी चीजों का [[ वर्ग (सेट सिद्धांत) ]] है (किसी दिए गए प्रकार के सिद्धांत का) जिसमें एक टेंसर उत्पाद होता है।
सामान्य रूप से, जब भी किसी के पास दो गणितीय [[ वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) ]] होती है जिसे इस तरह से जोड़ा जा सकता है जो एक रैखिक बीजगणित टेंसर उत्पाद की तरह व्यवहार करता है, तो इसे सामान्य रूप से एक [[ मोनोइडल श्रेणी ]] के [[ आंतरिक उत्पाद ]] के रूप में समझा जा सकता है। अर्थात्, मोनोइडल श्रेणी एक टेंसर उत्पाद के अर्थ को ठीक से समझती है; यह बिल्कुल इस धारणा को पकड़ लेता है कि ऐसा क्यों है कि टेंसर उत्पाद जिस तरह से व्यवहार करते हैं। अधिक सटीक रूप से, एक मोनोइडल श्रेणी सभी चीजों का [[ वर्ग (सेट सिद्धांत) ]] है (किसी दिए गए प्रकार के सिद्धांत का) जिसमें एक टेंसर उत्पाद होता है।


=== रैखिक बीजगणित में अन्य उत्पाद ===
=== रैखिक बीजगणित में अन्य उत्पाद ===
रैखिक बीजगणित में अन्य प्रकार के उत्पादों में शामिल हैं:
रैखिक बीजगणित में अन्य प्रकार के उत्पादों में सम्मिलित हैं:


* [[ हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस) ]]
* [[ हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस) ]]
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== कार्टेशियन उत्पाद ==
== कार्टेशियन उत्पाद ==
सेट सिद्धांत में, कार्टेशियन उत्पाद एक गणितीय ऑपरेशन है जो कई सेटों से एक [[ सेट (गणित) ]] (या उत्पाद सेट) देता है। यही है, कार्टेशियन उत्पाद 'ए' और 'बी' सेट के लिए {{nowrap|''A'' × ''B''}} सभी [[ क्रमित युग्म ]]ों का समुच्चय है {{nowrap|(a, b)}}-कहाँ पे {{nowrap|a ∈ ''A''}} और {{nowrap|b ∈ ''B''}}.<ref>{{cite book|last1=Moschovakis|first1=Yiannis|title=Notes on set theory|date=2006|publisher=Springer|location=New York|isbn=0387316094|page=13|edition=2nd}}</ref>
सेट सिद्धांत में, कार्टेशियन उत्पाद एक गणितीय ऑपरेशन है जो कई सेटों से एक [[ सेट (गणित) ]] (या उत्पाद सेट) देता है। यही है, कार्टेशियन उत्पाद 'ए' और 'बी' सेट के लिए {{nowrap|''A'' × ''B''}} सभी [[ क्रमित युग्म ]]ों का समुच्चय है {{nowrap|(a, b)}}-जहां पर {{nowrap|a ∈ ''A''}} और {{nowrap|b ∈ ''B''}}.<ref>{{cite book|last1=Moschovakis|first1=Yiannis|title=Notes on set theory|date=2006|publisher=Springer|location=New York|isbn=0387316094|page=13|edition=2nd}}</ref>
सभी चीजों का वर्ग (किसी दिए गए प्रकार के सिद्धांत का) जिसमें कार्टेशियन उत्पादों को [[ कार्टेशियन मोनोइडल श्रेणी ]] कहा जाता है। इनमें से कई कार्तीय बंद श्रेणी हैं। समुच्चय ऐसी वस्तुओं का एक उदाहरण हैं।
सभी चीजों का वर्ग (किसी दिए गए प्रकार के सिद्धांत का) जिसमें कार्टेशियन उत्पादों को [[ कार्टेशियन मोनोइडल श्रेणी ]] कहा जाता है। इनमें से कई कार्तीय बंद श्रेणी हैं। समुच्चय ऐसी वस्तुओं का एक उदाहरण हैं।


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== अन्य बीजगणितीय संरचनाओं पर उत्पाद ==
== अन्य बीजगणितीय संरचनाओं पर उत्पाद ==
अन्य प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के उत्पादों में शामिल हैं:
अन्य प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के उत्पादों में सम्मिलित हैं:
* सेट का कार्टेशियन उत्पाद
* सेट का कार्टेशियन उत्पाद
* [[ समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद ]], और [[ अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद ]], निट उत्पाद और [[ पुष्पांजलि उत्पाद ]] भी
* [[ समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद ]], और [[ अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद ]], निट उत्पाद और [[ पुष्पांजलि उत्पाद ]] भी
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== श्रेणी सिद्धांत में उत्पाद ==
== श्रेणी सिद्धांत में उत्पाद ==
पिछले सभी उदाहरण विशेष मामले या किसी उत्पाद की सामान्य धारणा के उदाहरण हैं। किसी उत्पाद की अवधारणा के सामान्य उपचार के लिए, उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) देखें, जो किसी वस्तु को बनाने के लिए किसी प्रकार की दो वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) को संयोजित करने का वर्णन करता है, संभवतः एक अलग प्रकार की। लेकिन यह भी, श्रेणी सिद्धांत में, किसी के पास है:
पिछले सभी उदाहरण विशेष स्थिति या किसी उत्पाद की सामान्य धारणा के उदाहरण हैं। किसी उत्पाद की अवधारणा के सामान्य उपचार के लिए, उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) देखें, जो किसी वस्तु को बनाने के लिए किसी प्रकार की दो वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) को संयोजित करने का वर्णन करता है, संभवतः एक अलग प्रकार की। लेकिन यह भी, श्रेणी सिद्धांत में, किसी के पास है:
* [[ फाइबर उत्पाद ]] या पुलबैक,
* [[ फाइबर उत्पाद ]] या पुलबैक,
* [[ उत्पाद श्रेणी ]], एक श्रेणी जो श्रेणियों का उत्पाद है।
* [[ उत्पाद श्रेणी ]], एक श्रेणी जो श्रेणियों का उत्पाद है।

Revision as of 17:58, 25 January 2023

Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)
Exponentiation (^)
nth root (√)
Logarithm (log)

गणित में, एक उत्पाद गुणन का परिणाम है, या एक गणितीय अभिव्यक्ति है जो गुणा करने के लिए गणितीय वस्तु (संख्या या चर (गणित) ) की पहचान करती है, जिसे 'कारक' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 30 6 और 5 (गुणा का परिणाम) का गुणनफल है, और का उत्पाद है और (यह दर्शाता है कि दो कारकों को एक साथ गुणा किया जाना चाहिए)।

जिस क्रम में वास्तविक संख्या या जटिल संख्या संख्याओं को गुणा किया जाता है, उसका उत्पाद पर कोई असर नहीं पड़ता है; इसे गुणन की क्रमविनिमेयता के रूप में जाना जाता है। जब मैट्रिक्स (गणित) या विभिन्न अन्य साहचर्य बीजगणित के सदस्यों को गुणा किया जाता है, तो उत्पाद सामान्य रूप से कारकों के क्रम पर निर्भर करता है। मैट्रिक्स गुणन , उदाहरण के लिए, गैर-क्रमविनिमेय है, और ऐसा ही सामान्य रूप से अन्य बीजगणितों में भी गुणन है।

गणित में कई अलग-अलग प्रकार के गुणनफल हैं: केवल संख्याओं, बहुपदों या आव्यूहों का गुणन करने में सक्षम होने के अतिरिक्त, कोई भी अनेक भिन्न बीजगणितीय संरचना ओं पर गुणनफलों को परिभाषित कर सकता है।

दो संख्याओं का गुणनफल

Page 'Multiplication#Definitions' not found


अनुक्रम का उत्पाद

See also: Multiplication § Product of a sequence

गुणन#कैपिटल पीआई नोटेशन के लिए उत्पाद ऑपरेटर को कैपिटल ग्रीक अक्षर पाई (अक्षर) द्वारा निरूपित किया जाता है <अवधि शैली = फ़ॉन्ट-परिवार: समय, सेरिफ़; फ़ॉन्ट-आकार: 150% >Π (राजधानी सिग्मा Σ योग प्रतीक के रूप में उपयोग के अनुरूप) .[1] उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति