द्विघात रूप: Difference between revisions

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गणित में, एक द्विघात रूप एक [[ बहुपद ]] है जिसमें बहुपद दो की सभी डिग्री होती है ([[ रूप (गणित) ]] एक [[ सजातीय बहुपद ]] का दूसरा नाम है)। उदाहरण के लिए,
 
 
गणित में, एक द्विघात रूप एक [[ बहुपद | बहुपद]] है जिसमें बहुपद दो की सभी डिग्री होती है ([[ रूप (गणित) | रूप (गणित)]] एक [[ सजातीय बहुपद | सजातीय बहुपद]] का दूसरा नाम है)। उदाहरण के लिए,
:<math>4x^2 + 2xy - 3y^2</math>
:<math>4x^2 + 2xy - 3y^2</math>
चरों में द्विघात रूप है {{mvar|x}} और {{mvar|y}}. गुणांक आमतौर पर एक निश्चित [[ क्षेत्र (गणित) ]] से संबंधित होते हैं {{mvar|K}}, जैसे कि [[ वास्तविक संख्या ]] या सम्मिश्र संख्या संख्याएँ, और एक द्विघात रूप की बात करता है {{mvar|K}}. यदि <math>K=\mathbb R</math>, और द्विघात रूप केवल शून्य लेता है जब सभी चर एक साथ शून्य होते हैं, तो यह एक [[ निश्चित द्विघात रूप ]] है, अन्यथा यह एक [[ आइसोट्रोपिक द्विघात रूप ]] है।
चरों में द्विघात रूप है {{mvar|x}} और {{mvar|y}}. गुणांक आमतौर पर एक निश्चित [[ क्षेत्र (गणित) | क्षेत्र (गणित)]] से संबंधित होते हैं {{mvar|K}}, जैसे कि [[ वास्तविक संख्या | वास्तविक संख्या]] या सम्मिश्र संख्याएँ, और एक द्विघात रूप की बात करता है {{mvar|K}}. यदि <math>K=\mathbb R</math>, और द्विघात रूप केवल शून्य लेता है जब सभी चर एक साथ शून्य होते हैं, तो यह एक [[ निश्चित द्विघात रूप | निश्चित द्विघात रूप]] है, अन्यथा यह एक [[ आइसोट्रोपिक द्विघात रूप | आइसोट्रोपिक द्विघात रूप]] है।


द्विघात रूप गणित की विभिन्न शाखाओं में एक केंद्रीय स्थान पर कब्जा कर लेते हैं, जिनमें [[ संख्या सिद्धांत ]], रैखिक बीजगणित, [[ समूह सिद्धांत ]] ([[ ऑर्थोगोनल समूह ]]), [[ अंतर ज्यामिति ]] ([[ रिमेंनियन मीट्रिक ]], [[ दूसरा मौलिक रूप ]]), [[ अंतर टोपोलॉजी ]] ([[ चौराहे का रूप (4-कई गुना) ]] चार- शामिल हैं। मैनिफोल्ड्स), और लाई थ्योरी ([[ मारक रूप ]])।
द्विघात रूप गणित की विभिन्न शाखाओं में एक केंद्रीय स्थान पर कब्जा कर लेते हैं, जिनमें [[ संख्या सिद्धांत | संख्या सिद्धांत]] , रैखिक बीजगणित, [[ समूह सिद्धांत | समूह सिद्धांत]] ([[ ऑर्थोगोनल समूह | ऑर्थोगोनल समूह]] ), [[ अंतर ज्यामिति | अंतर ज्यामिति]] ([[ रिमेंनियन मीट्रिक | रिमेंनियन मीट्रिक]], [[ दूसरा मौलिक रूप | दूसरा मौलिक रूप]] ), [[ अंतर टोपोलॉजी | अंतर टोपोलॉजी]] ([[ चौराहे का रूप (4-कई गुना) | चौराहे का रूप (4-कई गुना)]] चार- शामिल हैं। मैनिफोल्ड्स), और लाई थ्योरी ([[ मारक रूप | मारक रूप]] )।


द्विघात रूपों को [[ द्विघात समीकरण ]] के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिसमें केवल एक चर होता है और इसमें डिग्री दो या उससे कम की शर्तें शामिल होती हैं। एक द्विघात रूप सजातीय बहुपद की अधिक सामान्य अवधारणा का एक मामला है।
द्विघात रूपों को [[ द्विघात समीकरण ]] के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिसमें केवल एक चर होता है और इसमें डिग्री दो या उससे कम की शर्तें शामिल होती हैं। एक द्विघात रूप सजातीय बहुपद की अधिक सामान्य अवधारणा का एक मामला है।
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अंकन <math>\langle a_1, \ldots, a_n\rangle</math> अक्सर प्रयोग किया जाता है{{cn|date=December 2020}} द्विघात रूप के लिए
अंकन <math>\langle a_1, \ldots, a_n\rangle</math> अक्सर प्रयोग किया जाता है{{cn|date=December 2020}} द्विघात रूप के लिए
: <math>q(x) = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 + \cdots + a_n x_n^2.</math>
: <math>q(x) = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 + \cdots + a_n x_n^2.</math>
उनके अध्ययन में प्रयुक्त द्विघात रूपों और विधियों का सिद्धांत गुणांक की प्रकृति पर काफी हद तक निर्भर करता है, जो वास्तविक संख्या या जटिल संख्या, परिमेय संख्या या [[ पूर्णांक ]] हो सकता है। रेखीय बीजगणित, [[ विश्लेषणात्मक ज्यामिति ]] और द्विघात रूपों के अधिकांश अनुप्रयोगों में, गुणांक वास्तविक या जटिल संख्याएँ हैं। द्विघात रूपों के बीजगणितीय सिद्धांत में, गुणांक एक निश्चित [[ क्षेत्र (बीजगणित) ]] के तत्व हैं। द्विघात रूपों के अंकगणितीय सिद्धांत में, गुणांक एक निश्चित [[ क्रमविनिमेय अंगूठी ]] से संबंधित होते हैं, अक्सर पूर्णांक Z या p-adic पूर्णांक |''p''-adic पूर्णांक Z<sub>''p''</sub>.<ref>[[Localization of a ring#Terminology|away from 2]], that is, if 2 is invertible in the ring, quadratic forms are equivalent to [[symmetric bilinear form]]s (by the [[polarization identities]]), but at 2 they are different concepts; this distinction is particularly important for quadratic forms over the integers.</ref> द्विआधारी द्विघात रूपों का व्यापक रूप से संख्या सिद्धांत में अध्ययन किया गया है, विशेष रूप से, [[ द्विघात क्षेत्र ]]ों के सिद्धांत, [[ निरंतर अंश ]]ों और [[ मॉड्यूलर रूपों ]] में। n चरों में अभिन्न द्विघात रूपों के सिद्धांत में [[ बीजगणितीय टोपोलॉजी ]] के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।
उनके अध्ययन में प्रयुक्त द्विघात रूपों और विधियों का सिद्धांत गुणांक की प्रकृति पर काफी हद तक निर्भर करता है, जो वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या, परिमेय संख्या या [[ पूर्णांक ]] हो सकता है। रेखीय बीजगणित, [[ विश्लेषणात्मक ज्यामिति ]] और द्विघात रूपों के अधिकांश अनुप्रयोगों में, गुणांक वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं। द्विघात रूपों के बीजगणितीय सिद्धांत में, गुणांक एक निश्चित [[ क्षेत्र (बीजगणित) ]] के तत्व हैं। द्विघात रूपों के अंकगणितीय सिद्धांत में, गुणांक एक निश्चित [[ क्रमविनिमेय अंगूठी ]] से संबंधित होते हैं, अक्सर पूर्णांक Z या p-adic पूर्णांक |''p''-adic पूर्णांक Z<sub>''p''</sub>.<ref>[[Localization of a ring#Terminology|away from 2]], that is, if 2 is invertible in the ring, quadratic forms are equivalent to [[symmetric bilinear form]]s (by the [[polarization identities]]), but at 2 they are different concepts; this distinction is particularly important for quadratic forms over the integers.</ref> द्विआधारी द्विघात रूपों का व्यापक रूप से संख्या सिद्धांत में अध्ययन किया गया है, विशेष रूप से, [[ द्विघात क्षेत्र ]]ों के सिद्धांत, [[ निरंतर अंश ]]ों और [[ मॉड्यूलर रूपों ]] में। n चरों में अभिन्न द्विघात रूपों के सिद्धांत में [[ बीजगणितीय टोपोलॉजी ]] के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।


[[ सजातीय निर्देशांक ]]ों का उपयोग करते हुए, n चरों में एक गैर-शून्य द्विघात रूप (n−1)-आयामी प्रक्षेपी स्थान में एक (n−2)-आयामी [[ क्वाड्रिक ([[ प्रक्षेपी ज्यामिति ]]) ]] को परिभाषित करता है। यह प्रक्षेपी ज्यामिति में एक बुनियादी निर्माण है। इस तरह कोई 3-आयामी वास्तविक द्विघात रूपों को शंक्वाकार वर्गों के रूप में देख सकता है।
[[ सजातीय निर्देशांक ]]ों का उपयोग करते हुए, n चरों में एक गैर-शून्य द्विघात रूप (n−1)-आयामी प्रक्षेपी स्थान में एक (n−2)-आयामी [[ क्वाड्रिक ([[ प्रक्षेपी ज्यामिति ]]) ]] को परिभाषित करता है। यह प्रक्षेपी ज्यामिति में एक बुनियादी निर्माण है। इस तरह कोई 3-आयामी वास्तविक द्विघात रूपों को शंक्वाकार वर्गों के रूप में देख सकता है।
एक उदाहरण त्रि-आयामी [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष ]] और [[ यूक्लिडियन मानदंड ]] के [[ वर्ग (बीजगणित) ]] द्वारा दिया गया है जो निर्देशांक के साथ एक बिंदु के बीच की [[ दूरी ]] को व्यक्त करता है। {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} और उत्पत्ति:
 
एक उदाहरण त्रि-आयामी [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष | यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] और [[ यूक्लिडियन मानदंड | यूक्लिडियन मानदंड]] के [[ वर्ग (बीजगणित) | वर्ग (बीजगणित)]] द्वारा दिया गया है जो निर्देशांक के साथ एक बिंदु के बीच की [[ दूरी | दूरी]] को व्यक्त करता है। {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} और उत्पत्ति:
: <math>q(x,y,z) = d((x,y,z), (0,0,0))^2 = \|(x,y,z)\|^2 = x^2 + y^2 + z^2.</math>
: <math>q(x,y,z) = d((x,y,z), (0,0,0))^2 = \|(x,y,z)\|^2 = x^2 + y^2 + z^2.</math>
ज्यामितीय अधिस्वरों के साथ निकट से संबंधित धारणा एक द्विघात स्थान है, जो एक जोड़ी है {{nowrap|(''V'', ''q'')}}, V के साथ एक क्षेत्र K पर एक सदिश स्थान, और {{nowrap|''q'' : ''V'' → ''K''}} वी। देखें पर एक द्विघात रूप {{sectionlink||Definitions}} सदिश स्थान पर द्विघात रूप की परिभाषा के लिए नीचे।
ज्यामितीय अधिस्वरों के साथ निकट से संबंधित धारणा एक द्विघात स्थान है, जो एक जोड़ी है {{nowrap|(''V'', ''q'')}}, V के साथ एक क्षेत्र K पर एक सदिश स्थान, और {{nowrap|''q'' : ''V'' → ''K''}} वी। देखें पर एक द्विघात रूप {{sectionlink||Definitions}} सदिश स्थान पर द्विघात रूप की परिभाषा के लिए नीचे।
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== इतिहास ==
== इतिहास ==
विशेष द्विघात रूपों का अध्ययन, विशेष रूप से यह प्रश्न कि क्या एक दिया गया पूर्णांक पूर्णांकों पर द्विघात रूप का मान हो सकता है, कई सदियों पहले का है। ऐसा ही एक मामला दो वर्गों के योग पर फ़र्मेट का प्रमेय है, जो यह निर्धारित करता है कि कब एक पूर्णांक को रूप में व्यक्त किया जा सकता है {{nowrap|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}}, जहाँ x, y पूर्णांक हैं। यह समस्या [[ पायथागॉरियन ट्रिपल ]] खोजने की समस्या से संबंधित है, जो दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में सामने आई थी।<ref>[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_Pythagoras.html Babylonian Pythagoras]</ref>
विशेष द्विघात रूपों का अध्ययन, विशेष रूप से यह प्रश्न कि क्या एक दिया गया पूर्णांक पूर्णांकों पर द्विघात रूप का मान हो सकता है, कई सदियों पहले का है। ऐसा ही एक मामला दो वर्गों के योग पर फ़र्मेट का प्रमेय है, जो यह निर्धारित करता है कि कब एक पूर्णांक को रूप में व्यक्त किया जा सकता है {{nowrap|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}}, जहाँ x, y पूर्णांक हैं। यह समस्या [[ पायथागॉरियन ट्रिपल ]] खोजने की समस्या से संबंधित है, जो दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में सामने आई थी।<ref>[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_Pythagoras.html Babylonian Pythagoras]</ref>
628 में, भारतीय गणितज्ञ [[ ब्रह्मगुप्त ]] ने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत लिखा, जिसमें कई अन्य बातों के अलावा, फॉर्म के समीकरणों का अध्ययन शामिल है। {{nowrap|1=''x''<sup>2</sup> − ''ny''<sup>2</sup> = ''c''}}. विशेष रूप से उन्होंने उस पर विचार किया जिसे अब पेल का समीकरण कहा जाता है, {{nowrap|1=''x''<sup>2</sup> − ''ny''<sup>2</sup> = 1}}, और इसके समाधान के लिए एक तरीका खोजा।<ref>[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Brahmagupta.html Brahmagupta biography]</ref> यूरोप में इस समस्या का अध्ययन विलियम ब्रॉन्कर, द्वितीय विस्काउंट ब्रॉन्कर, [[ लियोनहार्ड यूलर ]] और [[ जोसेफ लुइस लाग्रेंज ]] ने किया था।
 
628 में, भारतीय गणितज्ञ [[ ब्रह्मगुप्त | ब्रह्मगुप्त]] ने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत लिखा, जिसमें कई अन्य बातों के अलावा, फॉर्म के समीकरणों का अध्ययन शामिल है। {{nowrap|1=''x''<sup>2</sup> − ''ny''<sup>2</sup> = ''c''}}. विशेष रूप से उन्होंने उस पर विचार किया जिसे अब पेल का समीकरण कहा जाता है, {{nowrap|1=''x''<sup>2</sup> − ''ny''<sup>2</sup> = 1}}, और इसके समाधान के लिए एक तरीका खोजा।<ref>[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Brahmagupta.html Brahmagupta biography]</ref> यूरोप में इस समस्या का अध्ययन विलियम ब्रॉन्कर, द्वितीय विस्काउंट ब्रॉन्कर, [[ लियोनहार्ड यूलर | लियोनहार्ड यूलर]] और [[ जोसेफ लुइस लाग्रेंज | जोसेफ लुइस लाग्रेंज]] ने किया था।


1801 में [[ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ]] ने [[ अंकगणितीय शोध ]] प्रकाशित किया, जिसका एक बड़ा हिस्सा पूर्णांकों पर द्विआधारी द्विघात रूपों के एक पूर्ण सिद्धांत के लिए समर्पित था। तब से, अवधारणा को सामान्यीकृत किया गया है, और [[ द्विघात संख्या क्षेत्र ]]ों, [[ मॉड्यूलर समूह ]] और गणित के अन्य क्षेत्रों के साथ संबंधों को और स्पष्ट किया गया है।
1801 में [[ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ]] ने [[ अंकगणितीय शोध ]] प्रकाशित किया, जिसका एक बड़ा हिस्सा पूर्णांकों पर द्विआधारी द्विघात रूपों के एक पूर्ण सिद्धांत के लिए समर्पित था। तब से, अवधारणा को सामान्यीकृत किया गया है, और [[ द्विघात संख्या क्षेत्र ]]ों, [[ मॉड्यूलर समूह ]] और गणित के अन्य क्षेत्रों के साथ संबंधों को और स्पष्ट किया गया है।
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: <math> \lambda_1 \tilde x_1^2 + \lambda_2 \tilde x_2^2 + \cdots + \lambda_n \tilde x_n^2, </math>
: <math> \lambda_1 \tilde x_1^2 + \lambda_2 \tilde x_2^2 + \cdots + \lambda_n \tilde x_n^2, </math>
जहां संबद्ध सममित मैट्रिक्स [[ विकर्ण मैट्रिक्स ]] है। इसके अलावा, गुणांक {{math|''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub>}} एक क्रमपरिवर्तन तक विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।<ref>[[Maxime Bôcher]] (with E.P.R. DuVal)(1907) ''Introduction to Higher Algebra'', [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.b4248862;view=1up;seq=147 § 45 Reduction of a quadratic form to a sum of squares] via [[HathiTrust]]</ref>
जहां संबद्ध सममित मैट्रिक्स [[ विकर्ण मैट्रिक्स ]] है। इसके अलावा, गुणांक {{math|''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub>}} एक क्रमपरिवर्तन तक विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।<ref>[[Maxime Bôcher]] (with E.P.R. DuVal)(1907) ''Introduction to Higher Algebra'', [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.b4248862;view=1up;seq=147 § 45 Reduction of a quadratic form to a sum of squares] via [[HathiTrust]]</ref>
यदि चर का परिवर्तन एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स द्वारा दिया जाता है, जो कि आवश्यक रूप से ऑर्थोगोनल नहीं है, तो कोई यह मान सकता है कि सभी गुणांक {{math|''λ''<sub>''i''</sub>}} 0, 1, या -1 हैं। सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम में कहा गया है कि प्रत्येक 1 और -1 की संख्या द्विघात रूप के [[ अपरिवर्तनीय (गणित) ]] हैं, इस अर्थ में कि किसी भी अन्य विकर्णकरण में प्रत्येक की समान संख्या होगी। द्विघात रूप का हस्ताक्षर त्रिक है {{nowrap|(''n''<sub>0</sub>, ''n''<sub>+</sub>, ''n''<sub>−</sub>)}}, जहां एन<sub>0</sub> 0s और n की संख्या है<sub>±</sub> ±1s की संख्या है। सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम से पता चलता है कि यह द्विघात रूप से जुड़ी एक अच्छी तरह से परिभाषित मात्रा है।


मामला जब सभी λ<sub>''i''</sub> एक ही चिन्ह होना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है: इस मामले में द्विघात रूप को [[ सकारात्मक निश्चित रूप ]] (सभी 1) या नकारात्मक निश्चित (सभी -1) कहा जाता है। यदि कोई भी पद 0 नहीं है, तो प्रपत्र कहलाता है{{visible anchor|nondegenerate}}; इसमें धनात्मक निश्चित, ऋणात्मक निश्चित और समदैशिक द्विघात रूप (1 और -1 का मिश्रण) शामिल हैं; समतुल्य रूप से, एक गैर-डीजेनरेट द्विघात रूप वह है जिसका संबंधित सममित रूप एक गैर-डीजेनरेट फॉर्म है। इंडेक्स के एक अनिश्चित नॉनडिजेनरेट द्विघात रूप के साथ एक वास्तविक वेक्टर स्पेस {{nowrap|(''p'', ''q'')}} (p 1s और q −1s को दर्शाते हुए) को अक्सर 'R' के रूप में दर्शाया जाता है<sup>p,q</sup> विशेष रूप से अंतरिक्ष-समय के भौतिक सिद्धांत में।
यदि चर का परिवर्तन एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स द्वारा दिया जाता है, जो कि आवश्यक रूप से ऑर्थोगोनल नहीं है, तो कोई यह मान सकता है कि सभी गुणांक {{math|''λ''<sub>''i''</sub>}} 0, 1, या -1 हैं। सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम में कहा गया है कि प्रत्येक 1 और -1 की संख्या द्विघात रूप के [[ अपरिवर्तनीय (गणित) | अपरिवर्तनीय (गणित)]] हैं, इस अर्थ में कि किसी भी अन्य विकर्णकरण में प्रत्येक की समान संख्या होगी। द्विघात रूप का हस्ताक्षर त्रिक है {{nowrap|(''n''<sub>0</sub>, ''n''<sub>+</sub>, ''n''<sub>−</sub>)}}, जहां एन<sub>0</sub> 0s और n की संख्या है<sub>±</sub> ±1s की संख्या है। सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम से पता चलता है कि यह द्विघात रूप से जुड़ी एक अच्छी तरह से परिभाषित मात्रा है।
 
मामला जब सभी λ<sub>''i''</sub> एक ही चिन्ह होना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है: इस मामले में द्विघात रूप को [[ सकारात्मक निश्चित रूप | सकारात्मक निश्चित रूप]] (सभी 1) या नकारात्मक निश्चित (सभी -1) कहा जाता है। यदि कोई भी पद 0 नहीं है, तो प्रपत्र कहलाता है {{visible anchor|nondegenerate}}; इसमें धनात्मक निश्चित, ऋणात्मक निश्चित और समदैशिक द्विघात रूप (1 और -1 का मिश्रण) शामिल हैं; समतुल्य रूप से, एक गैर-डीजेनरेट द्विघात रूप वह है जिसका संबंधित सममित रूप एक गैर-डीजेनरेट फॉर्म है। इंडेक्स के एक अनिश्चित नॉनडिजेनरेट द्विघात रूप के साथ एक वास्तविक वेक्टर स्पेस {{nowrap|(''p'', ''q'')}} (p 1s और q −1s को दर्शाते हुए) को अक्सर 'R' के रूप में दर्शाया जाता है<sup>p,q</sup> विशेष रूप से अंतरिक्ष-समय के भौतिक सिद्धांत में।


द्विघात रूप का विवेचक#विभेदक, ठोस रूप से K/(K) में प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स के निर्धारक का वर्ग<sup>×</sup>)<sup>2</sup> (गैर-शून्य वर्गों तक) को भी परिभाषित किया जा सकता है, और एक वास्तविक द्विघात रूप के लिए हस्ताक्षर की तुलना में एक अपरिष्कृत रूप है, केवल "सकारात्मक, शून्य या नकारात्मक" के मान लेते हुए। शून्य पतित से मेल खाता है, जबकि एक गैर-पतित रूप के लिए यह नकारात्मक गुणांक की संख्या की समानता है, <math>(-1)^{n_{-}}.</math>
द्विघात रूप का विवेचक#विभेदक, ठोस रूप से K/(K) में प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स के निर्धारक का वर्ग<sup>×</sup>)<sup>2</sup> (गैर-शून्य वर्गों तक) को भी परिभाषित किया जा सकता है, और एक वास्तविक द्विघात रूप के लिए हस्ताक्षर की तुलना में एक अपरिष्कृत रूप है, केवल "सकारात्मक, शून्य या नकारात्मक" के मान लेते हुए। शून्य पतित से मेल खाता है, जबकि एक गैर-पतित रूप के लिए यह नकारात्मक गुणांक की संख्या की समानता है, <math>(-1)^{n_{-}}.</math>
इन परिणामों को नीचे एक अलग तरीके से सुधारा गया है।
इन परिणामों को नीचे एक अलग तरीके से सुधारा गया है।


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0 & 0 & \cdots & \lambda_n
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{pmatrix}</math>
\end{pmatrix}</math>
ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स एस की उपयुक्त पसंद से, और बी की विकर्ण प्रविष्टियां विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती हैं - यह जैकोबी का प्रमेय है। यदि S को किसी भी व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स की अनुमति है तो B को विकर्ण पर केवल 0,1, और -1, और प्रत्येक प्रकार की प्रविष्टियों की संख्या (n) बनाया जा सकता है<sub>0</sub> 0 के लिए, एन<sub>+</sub> 1 के लिए, और एन<sub>−</sub> for -1) केवल A पर निर्भर करता है। यह सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम और संख्या n के योगों में से एक है<sub>+</sub> और n<sub>−</sub> जड़त्व के धनात्मक और ऋणात्मक सूचक कहलाते हैं। हालांकि उनकी परिभाषा में संबंधित वास्तविक सममित मैट्रिक्स 'ए' के ​​आधार और विचार शामिल थे, सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम का अर्थ है कि वे द्विघात रूप 'क्यू' के अपरिवर्तनीय हैं।
ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स एस की उपयुक्त पसंद से, और बी की विकर्ण प्रविष्टियां विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती हैं - यह जैकोबी का प्रमेय है। यदि S को किसी भी व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स की अनुमति है तो B को विकर्ण पर केवल 0,1, और -1, और प्रत्येक प्रकार की प्रविष्टियों की संख्या (n) बनाया जा सकता है एन<sub>0</sub> के लिए 0 , एन<sub>+</sub> के लिए 1  और एन<sub>−</sub> के लिए -1) केवल A पर निर्भर करता है। यह सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम और संख्या n के योगों में से एक है n<sub>+</sub> और n<sub>−</sub> जड़त्व के धनात्मक और ऋणात्मक सूचक कहलाते हैं। हालांकि उनकी परिभाषा में संबंधित वास्तविक सममित मैट्रिक्स 'ए' के ​​आधार और विचार शामिल थे, सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम का अर्थ है कि वे द्विघात रूप 'क्यू' के अपरिवर्तनीय हैं।


द्विघात रूप ''q'' धनात्मक निश्चित (उत्तर, ऋणात्मक निश्चित) है यदि {{nowrap|''q''(''v'') > 0}} (सं., {{nowrap|''q''(''v'') < 0}}) प्रत्येक अशून्य सदिश v के लिए।<ref>If a non-strict inequality (with ≥ or ≤) holds then the quadratic form ''q'' is called semidefinite.</ref> जब q(v) धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान ग्रहण करता है, q एक 'अनिश्चित' द्विघात रूप है। जैकोबी और सिल्वेस्टर के प्रमेयों से पता चलता है कि n चर में किसी भी सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप को एक उपयुक्त व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तन द्वारा n वर्गों के योग में लाया जा सकता है: ज्यामितीय रूप से, प्रत्येक आयाम का केवल एक सकारात्मक निश्चित वास्तविक द्विघात रूप होता है। इसका [[ आइसोमेट्री समूह ]] एक [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] ऑर्थोगोनल ग्रुप ओ (एन) है। यह अनिश्चित रूपों के मामले के विपरीत है, जब संबंधित समूह, [[ अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह ]] ओ (पी, क्यू), गैर-कॉम्पैक्ट है। इसके अलावा, क्यू और -क्यू के आइसोमेट्री समूह समान हैं ({{nowrap|1=O(''p'', ''q'') ≈ O(''q'', ''p''))}}, लेकिन संबंधित क्लिफोर्ड बीजगणित (और इसलिए [[ पिन समूह ]]) अलग हैं।
द्विघात रूप ''q'' धनात्मक निश्चित (उत्तर, ऋणात्मक निश्चित) है यदि {{nowrap|''q''(''v'') > 0}} (सं., {{nowrap|''q''(''v'') < 0}}) प्रत्येक अशून्य सदिश v के लिए।<ref>If a non-strict inequality (with ≥ or ≤) holds then the quadratic form ''q'' is called semidefinite.</ref> जब q(v) धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान ग्रहण करता है, q एक 'अनिश्चित' द्विघात रूप है। जैकोबी और सिल्वेस्टर के प्रमेयों से पता चलता है कि n चर में किसी भी सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप को एक उपयुक्त व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तन द्वारा n वर्गों के योग में लाया जा सकता है: ज्यामितीय रूप से, प्रत्येक आयाम का केवल एक सकारात्मक निश्चित वास्तविक द्विघात रूप होता है। इसका [[ आइसोमेट्री समूह ]] एक [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] ऑर्थोगोनल ग्रुप ओ (एन) है। यह अनिश्चित रूपों के मामले के विपरीत है, जब संबंधित समूह, [[ अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह ]] ओ (पी, क्यू), गैर-कॉम्पैक्ट है। इसके अलावा, क्यू और -क्यू के आइसोमेट्री समूह समान हैं ({{nowrap|1=O(''p'', ''q'') ≈ O(''q'', ''p''))}}, लेकिन संबंधित क्लिफोर्ड बीजगणित (और इसलिए [[ पिन समूह ]]) अलग हैं।
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: <math>q(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}{x_i}{x_j}, \quad a_{ij}\in K. </math>
: <math>q(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}{x_i}{x_j}, \quad a_{ij}\in K. </math>
मैट्रिक्स का उपयोग करके यह सूत्र फिर से लिखा जा सकता है: x को घटक x के साथ [[ कॉलम वेक्टर ]] होने दें<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub> और {{nowrap|1=''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>)}} K पर n×n मैट्रिक्स बनें जिसकी प्रविष्टियाँ q के गुणांक हैं। फिर
मैट्रिक्स का उपयोग करके यह सूत्र फिर से लिखा जा सकता है: x को घटक x के साथ [[ कॉलम वेक्टर ]] होने दें एक्स<sub>1</sub>,..., एक्स<sub>''n''</sub> और {{nowrap|1=''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>)}} K पर n×n मैट्रिक्स बनें जिसकी प्रविष्टियाँ q के गुणांक हैं। फिर


: <math> q(x)=x^\mathrm{T}Ax. </math>
: <math> q(x)=x^\mathrm{T}Ax. </math>
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जब K की विशेषता 2 नहीं है, बिलिनियर मैप {{nowrap|''B'' : ''V'' × ''V'' → ''K''}} K पर परिभाषित किया गया है:
जब K की विशेषता 2 नहीं है, बिलिनियर मैप {{nowrap|''B'' : ''V'' × ''V'' → ''K''}} K पर परिभाषित किया गया है:
:<math> B(v,w)= \tfrac{1}{2}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).</math>
:<math> B(v,w)= \tfrac{1}{2}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).</math>
यह द्विरेखीय रूप B सममित है। वह है, {{nowrap|1=''B''(''x'', ''y'') = ''B''(''y'', ''x'')}} वी में सभी एक्स, वाई के लिए, और यह क्यू निर्धारित करता है: {{nowrap|1=''Q''(''x'') = ''B''(''x'', ''x'')}} वी में सभी एक्स के लिए।
यह द्विरेखीय रूप B सममित है। वह है, {{nowrap|1=''B''(''x'', ''y'') = ''B''(''y'', ''x'')}} वी में सभी एक्स, वाई के लिए और यह क्यू निर्धारित करता है: {{nowrap|1=''Q''(''x'') = ''B''(''x'', ''x'')}} वी में सभी एक्स के लिए।


जब K की विशेषता 2 है, ताकि 2 एक इकाई (रिंग थ्योरी) न हो, तब भी एक सममित द्विरेखीय रूप को परिभाषित करने के लिए द्विघात रूप का उपयोग करना संभव है {{nowrap|1=''B''′(''x'', ''y'') = ''Q''(''x'' + ''y'') − ''Q''(''x'') − ''Q''(''y'')}}. हालाँकि, Q(x) को अब इस B′ से उसी तरह से पुनर्प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि {{nowrap|1=''B''′(''x'', ''x'') = 0}} सभी एक्स के लिए (और इस प्रकार वैकल्पिक है)।<ref>This alternating form associated with a quadratic form in characteristic 2 is of interest related to the [[Arf invariant]] – {{citation|author=Irving Kaplansky|year=1974|title=Linear Algebra and Geometry|page=27}}.</ref> वैकल्पिक रूप से, हमेशा एक द्विरेखीय रूप B″ मौजूद होता है (सामान्य रूप से या तो अद्वितीय या सममित नहीं) जैसे कि {{nowrap|1=''B''″(''x'', ''x'') = ''Q''(''x'')}}.
जब K की विशेषता 2 है, ताकि 2 एक इकाई (रिंग थ्योरी) न हो, तब भी एक सममित द्विरेखीय रूप को परिभाषित करने के लिए द्विघात रूप का उपयोग करना संभव है {{nowrap|1=''B''′(''x'', ''y'') = ''Q''(''x'' + ''y'') − ''Q''(''x'') − ''Q''(''y'')}}. हालाँकि, Q(x) को अब इस B′ से उसी तरह से पुनर्प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि {{nowrap|1=''B''′(''x'', ''x'') = 0}} सभी एक्स के लिए (और इस प्रकार वैकल्पिक है)।<ref>This alternating form associated with a quadratic form in characteristic 2 is of interest related to the [[Arf invariant]] – {{citation|author=Irving Kaplansky|year=1974|title=Linear Algebra and Geometry|page=27}}.</ref> वैकल्पिक रूप से, हमेशा एक द्विरेखीय रूप B″ मौजूद होता है (सामान्य रूप से या तो अद्वितीय या सममित नहीं) जैसे कि {{nowrap|1=''B''″(''x'', ''x'') = ''Q''(''x'')}}.
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: <math>q(x)=a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2+ \cdots +a_n x_n^2.</math>
: <math>q(x)=a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2+ \cdots +a_n x_n^2.</math>
इस तरह के एक विकर्ण रूप को अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\langle a_1,\ldots,a_n\rangle.</math>
इस तरह के एक विकर्ण रूप को अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\langle a_1,\ldots,a_n\rangle.</math>
तुल्यता तक सभी द्विघात रूपों का वर्गीकरण इस प्रकार विकर्ण रूपों के मामले में कम किया जा सकता है।
तुल्यता तक सभी द्विघात रूपों का वर्गीकरण इस प्रकार विकर्ण रूपों के मामले में कम किया जा सकता है।


== ज्यामितीय अर्थ ==
== ज्यामितीय अर्थ ==
कार्टेशियन का उपयोग तीन आयामों में निर्देशांक करता है, आइए <math>\mathbf{x} = (x,y,z)^\text{T}</math>, और जाने <math>A</math> एक सममित मैट्रिक्स 3-बाय -3 मैट्रिक्स बनें। फिर समीकरण के [[ समाधान सेट ]] की ज्यामितीय प्रकृति <math>\mathbf{x}^\text{T}A\mathbf{x}+\mathbf{b}^\text{T}\mathbf{x}=1</math> मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​पर निर्भर करता है <math>A</math>.
कार्टेशियन का उपयोग तीन आयामों में निर्देशांक करता है, आइएऔर जाने, <math>\mathbf{x} = (x,y,z)^\text{T}</math>, <math>A</math> एक सममित मैट्रिक्स 3-बाय -3 मैट्रिक्स बनें। फिर समीकरण के [[ समाधान सेट ]] की ज्यामितीय प्रकृति <math>\mathbf{x}^\text{T}A\mathbf{x}+\mathbf{b}^\text{T}\mathbf{x}=1</math> मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​पर निर्भर करता है <math>A</math>.


यदि सभी [[ eigenvalue ]]s <math>A</math> गैर-शून्य हैं, तो समाधान सेट एक [[ दीर्घवृत्ताभ ]] या एक अतिपरवलयज है{{Citation needed|date=February 2017}}. यदि सभी eigenvalues ​​धनात्मक हैं, तो यह एक दीर्घवृत्ताभ है; यदि सभी eigenvalues ​​​​नकारात्मक हैं, तो यह एक काल्पनिक दीर्घवृत्ताकार है (हमें एक दीर्घवृत्ताभ का समीकरण मिलता है लेकिन काल्पनिक त्रिज्या के साथ); यदि कुछ eigenvalues ​​धनात्मक हैं और कुछ ऋणात्मक हैं, तो यह एक अतिपरवलयज है।
यदि सभी [[ eigenvalue ]]s <math>A</math> गैर-शून्य हैं, तो समाधान सेट एक [[ दीर्घवृत्ताभ ]] या एक अतिपरवलयज है{{Citation needed|date=February 2017}}. यदि सभी eigenvalues ​​धनात्मक हैं, तो यह एक दीर्घवृत्ताभ है; यदि सभी eigenvalues ​​​​नकारात्मक हैं, तो यह एक काल्पनिक दीर्घवृत्ताकार है (हमें एक दीर्घवृत्ताभ का समीकरण मिलता है लेकिन काल्पनिक त्रिज्या के साथ); यदि कुछ eigenvalues ​​धनात्मक हैं और कुछ ऋणात्मक हैं, तो यह एक अतिपरवलयज है।

Revision as of 10:51, 3 January 2023

For the usage in statistics, see Quadratic form (statistics).


गणित में, एक द्विघात रूप एक बहुपद है जिसमें बहुपद दो की सभी डिग्री होती है ( रूप (गणित) एक सजातीय बहुपद का दूसरा नाम है)। उदाहरण के लिए,

चरों में द्विघात रूप है x और y. गुणांक आमतौर पर एक निश्चित क्षेत्र (गणित) से संबंधित होते हैं K, जैसे कि वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याएँ, और एक द्विघात रूप की बात करता है K. यदि , और द्विघात रूप केवल शून्य लेता है जब सभी चर एक साथ शून्य होते हैं, तो यह एक निश्चित द्विघात रूप है, अन्यथा यह एक आइसोट्रोपिक द्विघात रूप है।

द्विघात रूप गणित की विभिन्न शाखाओं में एक केंद्रीय स्थान पर कब्जा कर लेते हैं, जिनमें संख्या सिद्धांत , रैखिक बीजगणित, समूह सिद्धांत ( ऑर्थोगोनल समूह ), अंतर ज्यामिति ( रिमेंनियन मीट्रिक, दूसरा मौलिक रूप ), अंतर टोपोलॉजी ( चौराहे का रूप (4-कई गुना) चार- शामिल हैं। मैनिफोल्ड्स), और लाई थ्योरी ( मारक रूप )।

द्विघात रूपों को द्विघात समीकरण के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जिसमें केवल एक चर होता है और इसमें डिग्री दो या उससे कम की शर्तें शामिल होती हैं। एक द्विघात रूप सजातीय बहुपद की अधिक सामान्य अवधारणा का एक मामला है।

परिचय

द्विघात रूप एन चर में सजातीय द्विघात बहुपद हैं। एक, दो और तीन चर के मामलों में उन्हें 'यूनरी', 'द्विआधारी द्विघात रूप ' और 'टर्नरी' कहा जाता है और निम्नलिखित स्पष्ट रूप होते हैं: