औसत: Difference between revisions

Revision as of 10:12, 17 January 2023

सामान्य भाषा में, औसत एक एकल संख्या है जो संख्याओं की सूची के प्रतिनिधि के रूप में ली जाती है, सामान्यतः संख्याओं का योग सूची में जितनी संख्याएं हैं, उनसे विभाजित होता है (अंकगणितीय माध्य), उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 4, 7, और 9 (कुल मिलाकर 25) का औसत 5 है। संदर्भ के आधार पर, औसत अन्य आंकड़े हो सकते हैं जैसे माध्यिका, या मोड (सांख्यिकी)। उदाहरण के लिए, औसत आय को प्रायः माध्यिका के रूप में दिया जाता है - नीचे की संख्या जो व्यक्तिगत आय का 50% है और ऊपर जो व्यक्तिगत आय का 50% है - क्योंकि कुछ अरबपतियों की व्यक्तिगत आय को सम्मिलित करने से माध्य अधिक होगा। इस कारण से,केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों पर चर्चा करते समय औसत शब्द का उपयोग करने से बचने की संस्तुति की जाती है।

सामान्य गुण

यदि किसी सूची में सभी संख्याएँ समान संख्याएँ हैं, तो उनका औसत भी इस संख्या के बराबर होता है। यह संपत्ति कई प्रकार के औसत में से प्रत्येक द्वारा साझा की जाती है।

एक अन्य सार्वभौमिक संपत्ति दिष्टता है: यदि संख्या A और B की दो सूचियों की लंबाई समान है, और सूची A की प्रत्येक प्रविष्टि सूची B पर संबंधित प्रविष्टि के रूप में कम से कम बड़ी है, तो सूची A का औसत कम से कम सूची का B है। इसके अलावा, सभी औसत सजातीय प्रकार्य को संतुष्ट करते हैं: यदि किसी सूची की सभी संख्याओं को एक ही सकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो इसका औसत उसी कारक से बदल जाता है।

कुछ प्रकार के औसत में, सूची में एकांशों को औसत निर्धारित करने से पहले अलग-अलग भार दिए जाते हैं। इनमें भारित अंकगणितीय माध्य, भारित ज्यामितीय माध्य और भारित माध्य सम्मिलित हैं। साथ ही, कुछ प्रकार के गतिमान माध्य के लिए, किसी वस्तु का वजन सूची में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अधिकांश प्रकार के औसत, हालांकि, क्रमचय-असंवेदनशीलता को संतुष्ट करते हैं: सभी वस्तुओं को उनके औसत मूल्य का निर्धारण करने में समान रूप से गिना जाता है और सूची में उनकी स्थिति अप्रासंगिक होती है; (1, 2, 3, 4, 6) का औसत (3, 2, 6, 4, 1) के समान है।

पाइथागोरस का अर्थ है

अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य और अनुकूल माध्य सामूहिक रूप से पायथागॉरियन साधन के रूप में जाने जाते हैं।

सांख्यिकीय स्थान

वर्णनात्मक आंकड़ों में केंद्रीय प्रवृत्ति के अनुमान के रूप में मोड (सांख्यिकी), माध्यिका और मध्य-श्रेणी का उपयोग प्रायः माध्य के अतिरिक्त किया जाता है। इन सभी को किसी न किसी उपाय से भिन्नता को कम करने के रूप में देखा जा सकता है; देखो केंद्रीय प्रवृत्ति § परिवर्तनशील समस्याओं का समाधान.

मूल्यों के सामान्य औसत की तुलना { 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 }
प्रकार	विवरण	उदाहरण	परिणाम
समांतर माध्य	मानों की संख्या से विभाजित डेटा सम्मुच्चय के मानों का योग: $\scriptstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$	(1+2+2+3+4+7+9) / 7	4
मध्यस्थ	डेटा सम्मुच्चय के बड़े और छोटे हिस्सों को अलग करने वाला मध्य मान	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	3
मोड	किसी डेटा सेट में सर्वाधिक नियमित मान	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	2
मध्य-स्तर	एक सम्मुच्चय के उच्चतम और निम्नतम मूल्यों का अंकगणितीय माध्य	(1+9) / 2	5

मोड

विभिन्न तिरछापन के साथ दो लॉग-सामान्य वितरण ों के माध्य, माध्यिका और मोड (सांख्यिकी) की तुलना

किसी सूची में सबसे अधिक बार आने वाली संख्या को मोड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सूची का बहुलक (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) 3 है। ऐसा हो सकता है कि दो या दो से अधिक संख्याएँ ऐसी हों जो किसी अन्य संख्या की तुलना में समान रूप से और अधिक बार आती हों। इस स्थिति में बहुलक की कोई स्वीकृत परिभाषा नहीं है। कुछ लेखक कहते हैं कि वे सभी मोड हैं और कुछ कहते हैं कि कोई मोड नहीं है।

मध्य

माध्यिका समूह की मध्य संख्या होती है जब उन्हें क्रम में रखा जाता है। (यदि संख्याओं की संख्या सम है, तो बीच के दो का माध्य लिया जाता है।)

इस प्रकार माध्यिका को खोजने के लिए, सूची को उसके तत्वों के परिमाण के अनुसार क्रमबद्ध करें और फिर एक या दो मान शेष रहने तक बार-बार उच्चतम और निम्नतम मानों वाली जोड़ी को हटा दें। यदि वास्तव में एक मान छोड़ दिया जाता है, तो वह माध्यक होता है; यदि दो मान हैं, तो माध्यिका इन दोनों का अंकगणितीय माध्य है। यह विधि सूची 1, 7, 3, 13 लेती है और इसे 1, 3, 7, 13 पढ़ने का आदेश देती है। फिर 1 और 13 को सूची 3, 7 प्राप्त करने के लिए हटा दिया जाता है। चूंकि इस शेष सूची में दो तत्व हैं, माध्यिका उनका अंकगणितीय माध्य है, (3 + 7)/2 = 5।

मिड-रेंज

मध्य-श्रेणी एक सेट के उच्चतम और निम्नतम मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है।

प्रकारों का सारांश

Name	Equation or description	As solution to optimization problem
Arithmetic mean	${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})$	${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(x-x_{i})^{2}$
Median	The middle value that separates the higher half from the lower half of the data set	${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}\|x-x_{i}\|$
Geometric median	A rotation invariant extension of the median for points in $\mathbb {R} ^{d}$	$\underset{\vec{x} \in R^{d}}{argmin} \sum_{i = 1}^{n} \| \|$

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 {{Short description|Number taken as representative of a list of numbers}}
-बोलचाल की भाषा में, औसत एक एकल संख्या है जो संख्याओं की सूची के प्रतिनिधि के रूप में ली जाती है, आमतौर पर संख्याओं का योग सूची में कितनी संख्याओं से विभाजित होता है (अंकगणितीय माध्य)। उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 4, 7, और 9 (कुल मिलाकर 25) का औसत 5 है। संदर्भ के आधार पर, औसत अन्य [[ आंकड़े ]] हो सकते हैं जैसे माध्यिका, या [[ मोड (सांख्यिकी) ]]। उदाहरण के लिए, औसत [[ आय ]] को अक्सर माध्यिका के रूप में दिया जाता है - नीचे की संख्या जो व्यक्तिगत आय का 50% है और ऊपर जो व्यक्तिगत आय का 50% है - क्योंकि कुछ अरबपतियों की व्यक्तिगत आय को शामिल करने से माध्य अधिक होगा। इस कारण से, [[ केंद्रीय प्रवृत्ति ]] के उपायों पर चर्चा करते समय औसत शब्द का उपयोग करने से बचने की सिफारिश की जाती है।
+सामान्य भाषा में, औसत एक एकल संख्या है जो संख्याओं की सूची के प्रतिनिधि के रूप में ली जाती है, सामान्यतः संख्याओं का योग सूची में जितनी संख्याएं हैं, उनसे विभाजित होता है (अंकगणितीय माध्य), उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 4, 7, और 9 (कुल मिलाकर 25) का औसत 5 है। संदर्भ के आधार पर, औसत अन्य [[ आंकड़े |आंकड़े]] हो सकते हैं जैसे माध्यिका, या [[ मोड (सांख्यिकी) |मोड (सांख्यिकी)]]। उदाहरण के लिए, औसत [[ आय |आय]] को प्रायः माध्यिका के रूप में दिया जाता है - नीचे की संख्या जो व्यक्तिगत आय का 50% है और ऊपर जो व्यक्तिगत आय का 50% है - क्योंकि कुछ अरबपतियों की व्यक्तिगत आय को सम्मिलित करने से माध्य अधिक होगा। इस कारण से,[[ केंद्रीय प्रवृत्ति ]]के उपायों पर चर्चा करते समय औसत शब्द का उपयोग करने से बचने की संस्तुति की जाती है।
 == सामान्य गुण ==
 यदि किसी सूची में सभी संख्याएँ समान संख्याएँ हैं, तो उनका औसत भी इस संख्या के बराबर होता है। यह संपत्ति कई प्रकार के औसत में से प्रत्येक द्वारा साझा की जाती है।
-एक अन्य सार्वभौमिक संपत्ति [[ दिष्टता ]] है: यदि संख्या ए और बी की दो सूचियों की लंबाई समान है, और सूची ए की प्रत्येक प्रविष्टि सूची बी पर संबंधित प्रविष्टि के रूप में कम से कम बड़ी है, तो सूची ए का औसत कम से कम सूची का है बी। इसके अलावा, सभी औसत सजातीय समारोह को संतुष्ट करते हैं: यदि किसी सूची की सभी संख्याओं को एक ही सकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो इसका औसत उसी कारक से बदल जाता है।
+एक अन्य सार्वभौमिक संपत्ति [[ दिष्टता |दिष्टता]] है: यदि संख्या A और B की दो सूचियों की लंबाई समान है, और सूची A की प्रत्येक प्रविष्टि सूची B पर संबंधित प्रविष्टि के रूप में कम से कम बड़ी है, तो सूची A का औसत कम से कम सूची का B है। इसके अलावा, सभी औसत सजातीय प्रकार्य को संतुष्ट करते हैं: यदि किसी सूची की सभी संख्याओं को एक ही सकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो इसका औसत उसी कारक से बदल जाता है।
-कुछ प्रकार के औसत में, सूची में आइटमों को औसत निर्धारित करने से पहले अलग-अलग भार दिए जाते हैं। इनमें भारित अंकगणितीय माध्य, [[ भारित ज्यामितीय माध्य ]] और भारित माध्य शामिल हैं। साथ ही, कुछ प्रकार के [[ सामान्य गति ]] के लिए, किसी वस्तु का वजन सूची में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अधिकांश प्रकार के औसत, हालांकि, क्रमचय-असंवेदनशीलता को संतुष्ट करते हैं: सभी वस्तुओं को उनके औसत मूल्य का निर्धारण करने में समान रूप से गिना जाता है और सूची में उनकी स्थिति अप्रासंगिक होती है; (1, 2, 3, 4, 6) का औसत (3, 2, 6, 4, 1) के समान है।
+कुछ प्रकार के औसत में, सूची में एकांशों को औसत निर्धारित करने से पहले अलग-अलग भार दिए जाते हैं। इनमें भारित अंकगणितीय माध्य, [[ भारित ज्यामितीय माध्य |भारित ज्यामितीय माध्य]] और भारित माध्य सम्मिलित हैं। साथ ही, कुछ प्रकार के[[ सामान्य गति | गतिमान माध्य]] के लिए, किसी वस्तु का वजन सूची में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अधिकांश प्रकार के औसत, हालांकि, क्रमचय-असंवेदनशीलता को संतुष्ट करते हैं: सभी वस्तुओं को उनके औसत मूल्य का निर्धारण करने में समान रूप से गिना जाता है और सूची में उनकी स्थिति अप्रासंगिक होती है; (1, 2, 3, 4, 6) का औसत (3, 2, 6, 4, 1) के समान है।
 == पाइथागोरस का अर्थ है ==
-{{main|Pythagorean means}}
+{{main|पाइथागोरस का अर्थ है}}
-{{see also|Mean#Pythagorean means}}
+{{see also|मध्यमान#पाइथागोरस का अर्थ है}}
-अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य और [[ अनुकूल माध्य ]] सामूहिक रूप से पायथागॉरियन साधन के रूप में जाने जाते हैं।
+अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य और [[ अनुकूल माध्य |अनुकूल माध्य]] सामूहिक रूप से पायथागॉरियन साधन के रूप में जाने जाते हैं।
 == सांख्यिकीय स्थान ==
-{{see also|Mean#Statistical location}}
+{{see also|मध्यमान#सांख्यिकीय स्थान}}
-वर्णनात्मक आंकड़ों में केंद्रीय प्रवृत्ति के अनुमान के रूप में मोड (सांख्यिकी), माध्यिका और मध्य-श्रेणी का उपयोग अक्सर माध्य के अतिरिक्त किया जाता है। इन सभी को किसी न किसी उपाय से भिन्नता को कम करने के रूप में देखा जा सकता है; देखो {{slink|Central tendency|Solutions to variational problems}}.
+वर्णनात्मक आंकड़ों में केंद्रीय प्रवृत्ति के अनुमान के रूप में मोड (सांख्यिकी), माध्यिका और मध्य-श्रेणी का उपयोग प्रायः माध्य के अतिरिक्त किया जाता है। इन सभी को किसी न किसी उपाय से भिन्नता को कम करने के रूप में देखा जा सकता है; देखो {{slink|केंद्रीय प्रवृत्ति|परिवर्तनशील समस्याओं का समाधान}}.
 {| class="wikitable"
-|+ Comparison of common averages of values { 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 }
+|+ मूल्यों के सामान्य औसत की तुलना { 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 }
-! Type
+! प्रकार
-! Description
+! विवरण
-! Example
+! उदाहरण
-! Result
+! परिणाम
 |-
-| align="center" | [[Arithmetic mean]]
+| align="center" |  [[Arithmetic mean|समांतर माध्य]]
-| Sum of values of a data set divided by number of values: <math>\scriptstyle\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>
+| मानों की संख्या से विभाजित डेटा सम्मुच्चय के मानों का योग: <math>\scriptstyle\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>
 | align="center" | (1+2+2+3+4+7+9) / 7
 | align="center" | '''4'''
 |-
-| align="center" | [[Median]]
+| align="center" | [[Median|मध्यस्थ]]
-| Middle value separating the greater and lesser halves of a data set
+| डेटा सम्मुच्चय के बड़े और छोटे हिस्सों को अलग करने वाला मध्य मान
 | align="center" | 1, 2, 2, '''3''', 4, 7, 9
 | align="center" | '''3'''
 |-
-| align="center" | [[Mode (statistics)|Mode]]
+| align="center" | [[Mode (statistics)|मोड]]
-| Most frequent value in a data set
+| किसी डेटा सेट में सर्वाधिक नियमित मान
 | align="center" | 1, '''2''', '''2''', 3, 4, 7, 9
 | align="center" | '''2'''
 |-
-| align="center" | [[Mid-range]]
+| align="center" | [[Mid-range|मध्य-स्तर]]
-| The arithmetic mean of the highest and lowest values of a set
+| एक सम्मुच्चय के उच्चतम और निम्नतम मूल्यों का अंकगणितीय माध्य
 | align="center" | (1+9) / 2
 | align="center" | '''5'''
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 == मूविंग एवरेज ==
 {{main|Moving average}}
-एक [[ समय श्रृंखला ]] दी गई है, जैसे दैनिक शेयर बाजार की कीमतें या वार्षिक तापमान, लोग अक्सर एक चिकनी श्रृंखला बनाना चाहते हैं।<ref>{{cite book | first1=George E.P. | last1= Box |first2=Gwilym M.| last2= Jenkins| title= Time Series Analysis: Forecasting and Control | edition= revised| publisher=Holden-Day | year=1976 | isbn=0816211043}}</ref> यह अंतर्निहित रुझान या शायद आवधिक व्यवहार दिखाने में मदद करता है। इसे करने का एक आसान तरीका मूविंग एवरेज है: कोई नंबर n चुनता है और पहले n मानों का अंकगणितीय माध्य लेकर एक नई श्रृंखला बनाता है, फिर सबसे पुराने मान को गिराकर एक स्थान आगे बढ़ता है और दूसरे पर एक नया मान प्रस्तुत करता है। सूची का अंत, और इसी तरह। यह मूविंग एवरेज का सबसे सरल रूप है। अधिक जटिल रूपों में [[ भारित औसत ]] का उपयोग करना शामिल है। वेटिंग का उपयोग विभिन्न आवधिक व्यवहार को बढ़ाने या दबाने के लिए किया जा सकता है और [[ डिजिटल फिल्टर ]] पर साहित्य में किस वेटिंग का उपयोग करना है, इसका बहुत व्यापक विश्लेषण है। [[ अंकीय संकेत प्रक्रिया ]] में मूविंग एवरेज शब्द का उपयोग तब भी किया जाता है जब वजन का योग 1.0 नहीं होता है (इसलिए आउटपुट श्रृंखला औसत का एक छोटा संस्करण है)।<ref>{{cite book | first1=Simon | last1= Haykin | title= Adaptive Filter Theory | publisher=Prentice-Hall | year=1986 | isbn=0130040525}}</ref> इसका कारण यह है कि विश्लेषक आमतौर पर केवल प्रवृत्ति या आवधिक व्यवहार में रुचि रखते हैं।
+एक [[ समय श्रृंखला ]] दी गई है, जैसे दैनिक शेयर बाजार की कीमतें या वार्षिक तापमान, लोग प्रायः एक चिकनी श्रृंखला बनाना चाहते हैं।<ref>{{cite book | first1=George E.P. | last1= Box |first2=Gwilym M.| last2= Jenkins| title= Time Series Analysis: Forecasting and Control | edition= revised| publisher=Holden-Day | year=1976 | isbn=0816211043}}</ref> यह अंतर्निहित रुझान या शायद आवधिक व्यवहार दिखाने में मदद करता है। इसे करने का एक आसान तरीका मूविंग एवरेज है: कोई नंबर n चुनता है और पहले n मानों का अंकगणितीय माध्य लेकर एक नई श्रृंखला बनाता है, फिर सबसे पुराने मान को गिराकर एक स्थान आगे बढ़ता है और दूसरे पर एक नया मान प्रस्तुत करता है। सूची का अंत, और इसी तरह। यह मूविंग एवरेज का सबसे सरल रूप है। अधिक जटिल रूपों में [[ भारित औसत ]] का उपयोग करना सम्मिलित है। वेटिंग का उपयोग विभिन्न आवधिक व्यवहार को बढ़ाने या दबाने के लिए किया जा सकता है और [[ डिजिटल फिल्टर ]] पर साहित्य में किस वेटिंग का उपयोग करना है, इसका बहुत व्यापक विश्लेषण है। [[ अंकीय संकेत प्रक्रिया ]] में मूविंग एवरेज शब्द का उपयोग तब भी किया जाता है जब वजन का योग 1.0 नहीं होता है (इसलिए आउटपुट श्रृंखला औसत का एक छोटा संस्करण है)।<ref>{{cite book | first1=Simon | last1= Haykin | title= Adaptive Filter Theory | publisher=Prentice-Hall | year=1986 | isbn=0130040525}}</ref> इसका कारण यह है कि विश्लेषक सामान्यतः केवल प्रवृत्ति या आवधिक व्यवहार में रुचि रखते हैं।
 == इतिहास ==
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 == अलंकारिक उपकरण के रूप में औसत ==
-औसत शब्द की पूर्वोक्त बोलचाल की प्रकृति के कारण, इस शब्द का उपयोग डेटा के सही अर्थ को अस्पष्ट करने के लिए किया जा सकता है और उपयोग की गई औसत विधि (अक्सर अंकगणितीय माध्य, मध्य या मोड) के आधार पर प्रश्नों के अलग-अलग उत्तर सुझाता है। अपने लेख में झूठ बोलने के लिए तैयार: सांख्यिकी इन / आर्टिस्टिक प्रूफ के रूप में, [[ पिट्सबर्ग विश्वविद्यालय ]] के संकाय सदस्य डैनियल लिबर्ज़ ने टिप्पणी की है कि इस कारण से सांख्यिकीय जानकारी अक्सर बयानबाजी के तर्कों से खारिज कर दी जाती है।<ref name=":0">{{Cite journal |last=Libertz |first=Daniel |date=2018-12-31 |title=Framed for Lying: Statistics as In/Artistic Proof |url=https://resrhetorica.com/index.php/RR/article/view/289 |journal=Res Rhetorica |language=en |volume=5 |issue=4 |doi=10.29107/rr2018.4.1 |issn=2392-3113 |doi-access=free}}</ref> हालांकि, उनकी प्रेरक शक्ति के कारण, औसत और अन्य सांख्यिकीय मूल्यों को पूरी तरह से खारिज नहीं किया जाना चाहिए, बल्कि सावधानी के साथ इसका इस्तेमाल और व्याख्या की जानी चाहिए। लिबर्ज़ हमें न केवल औसत जैसी सांख्यिकीय जानकारी के साथ, बल्कि डेटा और उसके उपयोगों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली भाषा के साथ भी गंभीर रूप से संलग्न होने के लिए आमंत्रित करते हैं: .<ref name=":0" />कई मामलों में, इस ऑडियंस-आधारित व्याख्या को सुविधाजनक बनाने में सहायता के लिए डेटा और विशिष्ट गणनाएं प्रदान की जाती हैं।
+औसत शब्द की पूर्वोक्त बोलचाल की प्रकृति के कारण, इस शब्द का उपयोग डेटा के सही अर्थ को अस्पष्ट करने के लिए किया जा सकता है और उपयोग की गई औसत विधि (प्रायः अंकगणितीय माध्य, मध्य या मोड) के आधार पर प्रश्नों के अलग-अलग उत्तर सुझाता है। अपने लेख में झूठ बोलने के लिए तैयार: सांख्यिकी इन / आर्टिस्टिक प्रूफ के रूप में, [[ पिट्सबर्ग विश्वविद्यालय ]] के संकाय सदस्य डैनियल लिबर्ज़ ने टिप्पणी की है कि इस कारण से सांख्यिकीय जानकारी प्रायः बयानबाजी के तर्कों से खारिज कर दी जाती है।<ref name=":0">{{Cite journal |last=Libertz |first=Daniel |date=2018-12-31 |title=Framed for Lying: Statistics as In/Artistic Proof |url=https://resrhetorica.com/index.php/RR/article/view/289 |journal=Res Rhetorica |language=en |volume=5 |issue=4 |doi=10.29107/rr2018.4.1 |issn=2392-3113 |doi-access=free}}</ref> हालांकि, उनकी प्रेरक शक्ति के कारण, औसत और अन्य सांख्यिकीय मूल्यों को पूरी तरह से खारिज नहीं किया जाना चाहिए, बल्कि सावधानी के साथ इसका इस्तेमाल और व्याख्या की जानी चाहिए। लिबर्ज़ हमें न केवल औसत जैसी सांख्यिकीय जानकारी के साथ, बल्कि डेटा और उसके उपयोगों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली भाषा के साथ भी गंभीर रूप से संलग्न होने के लिए आमंत्रित करते हैं: .<ref name=":0" />कई मामलों में, इस ऑडियंस-आधारित व्याख्या को सुविधाजनक बनाने में सहायता के लिए डेटा और विशिष्ट गणनाएं प्रदान की जाती हैं।
 == यह भी देखें ==

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