रोटेशन (गणित): Difference between revisions

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~~{{Short description|Motion of a certain space that preserves at least one point}}~~

[[Image:Rotation illustration2.svg|right|thumb|किसी बिंदु के चारों ओर दो आयामों में किसी वस्तु का घूमना {{mvar|O}}.]]गणित में घूर्णन [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] से उत्पन्न एक अवधारणा है। कोई भी घूर्णन एक निश्चित स्थान की [[ गति (ज्यामिति) |गति]] है जो कम से कम एक [[ बिंदु (ज्यामिति) |बिंदु]] को सुरक्षित रखता है। यह वर्णन कर सकता है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित बिंदु के चारों ओर ~~एक कठोर शरीर~~ की गति, घूर्णन के चिह्न हो सकते हैं (जैसे कोण के चिह्न में): दक्षिणावर्त घूर्णन एक ऋणात्मक कांतिमान होता है, इसलिए वामावर्त घुमाव का परिमाण धनात्मक होता है।

[[Image:Rotation illustration2.svg|right|thumb|किसी बिंदु के चारों ओर दो आयामों में किसी वस्तु का घूमना {{mvar|O}}.]]गणित में घूर्णन [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] से उत्पन्न एक अवधारणा है। कोई भी घूर्णन एक निश्चित स्थान की [[ गति (ज्यामिति) |गति]] है जो कम से कम एक [[ बिंदु (ज्यामिति) |बिंदु]] को सुरक्षित रखता है। यह वर्णन कर सकता है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित बिंदु के चारों ओर दृढ़ पिंड (रिजिड बॉडी) की गति, घूर्णन के चिह्न हो सकते हैं (जैसे कोण के चिह्न में): दक्षिणावर्त घूर्णन ऋणात्मक कांतिमान होता है, इसलिए वामावर्त घुमाव का परिमाण धनात्मक होता है।

एक घुमाव अन्य प्रकार की गतियों से भिन्न होता है: [[ अनुवाद (ज्यामिति) |अनुवाद]], जिसमें कोई निश्चित बिंदु नहीं होते हैं, और (हाइपरप्लेन) प्रतिबिंब होते हैं, उनमें से प्रत्येक में एक संपूर्ण {{math|(''n'' − 1)}} एक {{mvar|n}}-आयामी स्पेस में निश्चित बिंदुओं का आयामी समतल होता है।

घुमाव अन्य प्रकार की गतियों से भिन्न होता है: [[ अनुवाद (ज्यामिति) |अनुवाद]], जिसमें कोई निश्चित बिंदु नहीं होते हैं, और (हाइपरप्लेन) प्रतिबिंब होते हैं, उनमें से प्रत्येक में संपूर्ण {{math|(''n'' − 1)}} एक {{mvar|n}}-आयामी स्पेस में निश्चित बिंदुओं का आयामी समतल होता है।

गणितीय रूप से, घूर्णन एक नक्शा है। एक निश्चित बिंदु के बारे में सभी घुमाव रचना के तहत एक [[ समूह (गणित) |समूह]] बनाते हैं जिसे रोटेशन ग्रुप (किसी विशेष स्थान का) कहा जाता है। लेकिन [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में और, अधिक ~~आम तौर पर,~~ भौतिकी में, इस अवधारणा को ~~अक्सर एक~~ [[ समन्वय परिवर्तन |समन्वय परिवर्तन]] (महत्वपूर्ण रूप से, एक अलौकिक आधार का परिवर्तन) के रूप में समझा जाता है, क्योंकि ~~शरीर~~ की किसी भी गति के लिए, एक व्युत्क्रम परिवर्तन होता है, जिसे अगर फ्रेम पर लागू किया जाता है ~~शरीर~~ में संदर्भ परिणामों के समान निर्देशांक पर होने के कारण। उदाहरण के लिए, दो आयामों में एक पिंड को एक बिंदु के बारे में [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] घुमाना और अक्षों को स्थिर रखना अक्षों को उसी बिंदु के बारे में वामावर्त घुमाने के बराबर है, जबकि ~~शरीर~~ स्थिर रहता है। इन दो प्रकार के घूर्णन को [[ सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन |सक्रिय और निष्क्रिय]] रूपांतरण कहा जाता है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/AlibiTransformation.html Weisstein, Eric W. "Alibi Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref><ref>[http://mathworld.wolfram.com/AliasTransformation.html Weisstein, Eric W. "Alias Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref>

गणितीय रूप से, घूर्णन एक नक्शा है। निश्चित बिंदु के बारे में सभी घुमाव रचना के तहत [[ समूह (गणित) |समूह]] बनाते हैं जिसे रोटेशन ग्रुप (किसी विशेष स्थान का) कहा जाता है। लेकिन [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में और, अधिक सामान्यतः भौतिकी में, इस अवधारणा को प्रायः [[ समन्वय परिवर्तन |समन्वय परिवर्तन]] (महत्वपूर्ण रूप से, अलौकिक आधार का परिवर्तन) के रूप में समझा जाता है, क्योंकि पिंड की किसी भी गति के लिए, व्युत्क्रम परिवर्तन होता है, जिसे अगर फ्रेम पर लागू किया जाता है पिंड में संदर्भ परिणामों के समान निर्देशांक पर होने के कारण। उदाहरण के लिए, दो आयामों में पिंड को बिंदु के बारे में [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] घुमाना और अक्षों को स्थिर रखना अक्षों को उसी बिंदु के बारे में वामावर्त घुमाने के बराबर है, जबकि पिंड स्थिर रहता है। इन दो प्रकार के घूर्णन को [[ सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन |सक्रिय और निष्क्रिय]] रूपांतरण कहा जाता है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/AlibiTransformation.html Weisstein, Eric W. "Alibi Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref><ref>[http://mathworld.wolfram.com/AliasTransformation.html Weisstein, Eric W. "Alias Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref>

== संबंधित परिभाषाएं और शब्दावली ==

रोटेशन ग्रुप एक निश्चित बिंदु के बारे में रोटेशन का लाई समूह है। इस (सामान्य) निश्चित बिंदु को रोटेशन का [[ केंद्र (ज्यामिति) |केंद्र]] कहा जाता है और इसे ~~आमतौर पर~~ उत्पत्ति के साथ पहचाना जाता है। रोटेशन समूह (अभिविन्यास-संरक्षण) गतियों के एक व्यापक समूह में एक बिंदु स्टेबलाइजर है।

रोटेशन ग्रुप निश्चित बिंदु के बारे में रोटेशन का लाई समूह है। इस (सामान्य) निश्चित बिंदु को रोटेशन का [[ केंद्र (ज्यामिति) |केंद्र]] कहा जाता है और इसे सामान्यतः उत्पत्ति के साथ पहचाना जाता है। रोटेशन समूह (अभिविन्यास-संरक्षण) गतियों के व्यापक समूह में एक बिंदु स्टेबलाइजर है।

एक विशेष रोटेशन के लिए:

विशेष रोटेशन के लिए:

* रोटेशन की धुरी इसके निश्चित बिंदुओं की एक [[ रेखा (ज्यामिति) |रेखा]] है। वे केवल n> 2 में मौजूद हैं।

* रोटेशन की धुरी इसके निश्चित बिंदुओं की एक [[ रेखा (ज्यामिति) |रेखा]] है। वे केवल ''n> 2'' में मौजूद हैं।

* [[ रोटेशन का विमान |रोटेशन (घूर्णन) का तल]] ऐसा तल है जो रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है। अक्ष के विपरीत, इसके बिंदु स्वयं स्थिर नहीं होते हैं। धुरी (जहां मौजूद है) और घूर्णन का तल [[ ओर्थोगोनल |ओर्थोगोनल]] हैं।

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=== यूक्लिडियन ज्यामिति में ===

{{further|यूक्लिडियन स्पेस रोटेशन और रिफ्लेक्शन|विशेष लंबकोणीय समूह}}

[[Image:Rotation4.svg|right|thumb|एक बिंदु के चारों ओर एक विमान के घूमने के बाद एक अलग बिंदु के चारों ओर एक और रोटेशन के परिणामस्वरूप कुल गति होती है जो या तो एक रोटेशन है (जैसा कि इस चित्र में है), या एक [[ अनुवाद (गणित) ]]।]][[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन]] स्पेस की गति इसकी आइसोमेट्री के समान है: यह परिवर्तन के बाद अपरिवर्तित किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को छोड़ देता है। लेकिन एक (उचित) रोटेशन को भी [[ अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) |अभिविन्यास]] संरचना को संरक्षित करना होता है। "अनुचित रोटेशन" शब्द आइसोमेट्रीज़ को संदर्भित करता है जो अभिविन्यास को उल्टा (फ्लिप) करता है। समूह सिद्धांत की भाषा में, भेद को यूक्लिडियन [[ समूह सिद्धांत |समूह]] में प्रत्यक्ष बनाम अप्रत्यक्ष समरूपता के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्व में [[ पहचान घटक |पहचान घटक]] ~~शामिल~~ होता है। किसी भी प्रत्यक्ष यूक्लिडियन गति को निश्चित बिंदु और अनुवाद के बारे में घूर्णन की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है।

[[Image:Rotation4.svg|right|thumb|एक बिंदु के चारों ओर एक विमान के घूमने के बाद एक अलग बिंदु के चारों ओर एक और रोटेशन के परिणामस्वरूप कुल गति होती है जो या तो एक रोटेशन है (जैसा कि इस चित्र में है), या एक [[ अनुवाद (गणित) ]]।]][[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन]] स्पेस की गति इसकी आइसोमेट्री के समान है: यह परिवर्तन के बाद अपरिवर्तित किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को छोड़ देता है। लेकिन एक (उचित) रोटेशन को भी [[ अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) |अभिविन्यास]] संरचना को संरक्षित करना होता है। "अनुचित रोटेशन" शब्द आइसोमेट्रीज़ को संदर्भित करता है जो अभिविन्यास को उल्टा (फ्लिप) करता है। समूह सिद्धांत की भाषा में, भेद को यूक्लिडियन [[ समूह सिद्धांत |समूह]] में प्रत्यक्ष बनाम अप्रत्यक्ष समरूपता के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्व में [[ पहचान घटक |पहचान घटक]] सम्मिलित होता है। किसी भी प्रत्यक्ष यूक्लिडियन गति को निश्चित बिंदु और अनुवाद के बारे में घूर्णन की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक आयाम में ~~गैर-तुच्छ~~ रोटेशन नहीं होते हैं। दो आयामों में, मूल के बारे में एक रोटेशन निर्दिष्ट करने के लिए केवल एक कोण की आवश्यकता होती है - रोटेशन का कोण जो चक्र समूह के एक तत्व को निर्दिष्ट करता है (जिसे U(1) भी कहा जाता है)। रोटेशन मूल के बारे में कोण {{mvar|θ}} के माध्यम से किसी वस्तु को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाने के लिए कार्य कर रहा है; जानकारी के लिए नीचे देखें। घुमावों की संरचना उनके कोणों के सापेक्ष 1 मोड़ का योग करती है, जिसका अर्थ है कि सभी द्वि-आयामी घुमाव एक ही बिंदु के बारे में हैं। विभिन्न बिंदुओं के बारे में घुमाव, सामान्य तौर पर, आवागमन नहीं करते। कोई भी द्वि-आयामी प्रत्यक्ष गति या तो एक अनुवाद है या एक घूर्णन है; विवरण के लिए [[ यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री |यूक्लिडियन]] समतल सममिति देखें।

आयाम में असतहीय रोटेशन नहीं होते हैं। दो आयामों में, मूल के बारे में एक रोटेशन निर्दिष्ट करने के लिए केवल कोण की आवश्यकता होती है - रोटेशन का कोण जो चक्र समूह के तत्व को निर्दिष्ट करता है (जिसे U(1) भी कहा जाता है)। रोटेशन मूल के बारे में कोण {{mvar|θ}} के माध्यम से किसी वस्तु को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाने के लिए कार्य कर रहा है; जानकारी के लिए नीचे देखें। घुमावों की संरचना उनके कोणों के सापेक्ष 1 मोड़ का योग करती है, जिसका अर्थ है कि सभी द्वि-आयामी घुमाव एक ही बिंदु के बारे में हैं। विभिन्न बिंदुओं के बारे में घुमाव, सामान्य तौर पर, आवागमन नहीं करते। कोई भी द्वि-आयामी प्रत्यक्ष गति या तो अनुवाद है या घूर्णन है; विवरण के लिए [[ यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री |यूक्लिडियन]] समतल सममिति देखें।

[[Image:Praezession.svg|thumb|170px|left|पृथ्वी का यूलर घूर्णन। आंतरिक (हरा), अग्रगमन (नीला) और पोषण (लाल)]]त्रि-आयामी स्पेस में घूर्णन कई महत्वपूर्ण तरीकों से दो आयामों में भिन्न होता है। तीन आयामों में घुमाव ~~आम तौर पर~~ कम्यूटिव ([[ विनिमेय |विनिमेय]]) नहीं होते हैं, इसलिए जिस क्रम में घुमाव लागू होते हैं वह उसी बिंदु के बारे में भी महत्वपूर्ण होता है। इसके अलावा, द्वि-आयामी मामले के विपरीत, त्रि-आयामी प्रत्यक्ष गति, [[ सामान्य स्थिति |सामान्य स्थिति]] में, घूर्णन नहीं बल्कि एक स्क्रू ऑपरेशन है। उत्पत्ति के बारे में घूर्णन में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है (विवरण के लिए तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकताएं देखें), आयामों की संख्या के समान।

[[Image:Praezession.svg|thumb|170px|left|पृथ्वी का यूलर घूर्णन। आंतरिक (हरा), अग्रगमन (नीला) और पोषण (लाल)]]त्रि-आयामी स्पेस में घूर्णन कई महत्वपूर्ण तरीकों से दो आयामों में भिन्न होता है। तीन आयामों में घुमाव सामान्यतः कम्यूटिव ([[ विनिमेय |विनिमेय]]) नहीं होते हैं, इसलिए जिस क्रम में घुमाव लागू होते हैं वह उसी बिंदु के बारे में भी महत्वपूर्ण होता है। इसके अलावा, द्वि-आयामी मामले के विपरीत, त्रि-आयामी प्रत्यक्ष गति, [[ सामान्य स्थिति |सामान्य स्थिति]] में, घूर्णन नहीं बल्कि स्क्रू ऑपरेशन है। उत्पत्ति के बारे में घूर्णन में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है (विवरण के लिए तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकताएं देखें), आयामों की संख्या के समान।

त्रि-आयामी रोटेशन को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। सबसे सामान्य विधियाँ हैं:

* [[ यूलर कोण |यूलर कोण]] (बाईं ओर चित्रित)। उत्पत्ति के बारे में किसी भी घुमाव को अन्य दो स्थिरांकों को छोड़ते समय यूलर कोणों में से एक को बदलकर प्राप्त गति के रूप में परिभाषित तीन घुमावों की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है। वे रोटेशन सिस्टम के मिश्रित अक्षों का निर्माण करते हैं क्योंकि कोणों को अलग-अलग संदर्भ फ़्रेमों के मिश्रण के संबंध में मापा जाता है, बजाय एक फ्रेम के जो पूरी तरह से बाहरी या विशुद्ध रूप से आंतरिक है। विशेष रूप से, पहला कोण बाहरी अक्ष z के चारों ओर [[ नोड्स की रेखा |नोड्स]] की रेखा को घुमाता है, दूसरा नोड्स की रेखा के चारों ओर घूमता है और तीसरा ~~शरीर~~ में तय की गई धुरी के चारों ओर एक आंतरिक घुमाव (एक स्पिन) होता है जो गति करता है। यूलर कोणों को ~~आमतौर पर~~ α, β, γ, या φ, θ, ψ के रूप में दर्शाया जाता है। यह प्रस्तुति केवल एक निश्चित बिंदु के बारे में घुमाव के लिए सुविधाजनक है।

* [[ यूलर कोण |यूलर कोण]] (बाईं ओर चित्रित)। उत्पत्ति के बारे में किसी भी घुमाव को अन्य दो स्थिरांकों को छोड़ते समय यूलर कोणों में से एक को बदलकर प्राप्त गति के रूप में परिभाषित तीन घुमावों की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है। वे रोटेशन सिस्टम के मिश्रित अक्षों का निर्माण करते हैं क्योंकि कोणों को अलग-अलग संदर्भ फ़्रेमों के मिश्रण के संबंध में मापा जाता है, बजाय एक फ्रेम के जो पूरी तरह से बाहरी या विशुद्ध रूप से आंतरिक है। विशेष रूप से, पहला कोण बाहरी अक्ष z के चारों ओर [[ नोड्स की रेखा |नोड्स]] की रेखा को घुमाता है, दूसरा नोड्स की रेखा के चारों ओर घूमता है और तीसरा पिंड पिंड में तय की गई धुरी के चारों ओर एक आंतरिक घुमाव (स्पिन) होता है जो गति करता है। यूलर कोणों को सामान्यतः α, β, γ, या φ, θ, ψ के रूप में दर्शाया जाता है। यह प्रस्तुति केवल निश्चित बिंदु के बारे में घुमाव के लिए सुविधाजनक है।

[[Image:Euler AxisAngle.png|thumb|right|104px]]

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*एक जोड़ी के रूप में कोण और अक्ष के लिए एक [[ इकाई वेक्टर |इकाई वेक्टर]] से मिलकर, या

** इस इकाई वेक्टर के साथ कोण को गुणा करके प्राप्त [[ यूक्लिडियन वेक्टर |यूक्लिडियन वेक्टर]] के रूप में, जिसे रोटेशन वेक्टर कहा जाता है (हालांकि, सख्ती से बोलना, यह एक स्यूडोवेक्टर है)।

** इस इकाई वेक्टर के साथ कोण को गुणा करके प्राप्त [[ यूक्लिडियन वेक्टर |यूक्लिडियन वेक्टर]] के रूप में, जिसे रोटेशन वेक्टर कहा जाता है (हालांकि, सख्ती से बोलना, यह स्यूडोवेक्टर है)।

**मैट्रिसेस, वर्सर्स (चतुर्भुज), और अन्य बीजगणितीय चीजें: विवरण के लिए अनुभाग रैखिक और बहुरेखीय बीजगणित औपचारिकता देखें।

[[File:8-cell.gif|thumb|चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घुमाए जा रहे [[ tesseract |टेसरैक्ट]] के तीन-आयामों पर एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण।]]चार आयामों में एक सामान्य घुमाव में केवल एक निश्चित बिंदु होता है, रोटेशन का केंद्र और रोटेशन की कोई धुरी नहीं होती है; विवरण के लिए [[ 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन |4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन]] देखें। इसके बजाय, रोटेशन में रोटेशन के दो पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल विमान होते हैं, जिनमें से प्रत्येक इस अर्थ में तय होता है कि प्रत्येक विमान में बिंदु विमानों के भीतर रहते हैं। रोटेशन में रोटेशन के दो कोण होते हैं, रोटेशन के प्रत्येक विमान के लिए एक, जिसके माध्यम से विमानों में बिंदु घूमते हैं। यदि ये ω1 और ω2 हैं तो वे सभी बिंदु जो समतल में नहीं हैं, {{math|''ω''1}} और {{math|''ω''2}} के बीच के कोण से घूमते हैं। एक निश्चित बिंदु के चारों ओर चार आयामों में घूमने की स्वतंत्रता की छह डिग्री होती है। सामान्य स्थिति में एक चार-आयामी प्रत्यक्ष गति एक निश्चित बिंदु के बारे में एक रोटेशन है (जैसा कि सभी यूक्लिडियन आयामों में भी है), लेकिन स्क्रू ऑपरेशन भी मौजूद हैं।

[[File:8-cell.gif|thumb|चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घुमाए जा रहे [[ tesseract |टेसरैक्ट]] के तीन-आयामों पर एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण।]]चार आयामों में एक सामान्य घुमाव में केवल निश्चित बिंदु होता है, रोटेशन का केंद्र और रोटेशन की कोई धुरी नहीं होती है; विवरण के लिए [[ 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन |4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन]] देखें। इसके बजाय, रोटेशन में रोटेशन के दो पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल विमान होते हैं, जिनमें से प्रत्येक इस अर्थ में तय होता है कि प्रत्येक विमान में बिंदु विमानों के भीतर रहते हैं। रोटेशन में रोटेशन के दो कोण होते हैं, रोटेशन के प्रत्येक विमान के लिए एक, जिसके माध्यम से विमानों में बिंदु घूमते हैं। यदि ये ω1 और ω2 हैं तो वे सभी बिंदु जो समतल में नहीं हैं, {{math|''ω''1}} और {{math|''ω''2}} के बीच के कोण से घूमते हैं। एक निश्चित बिंदु के चारों ओर चार आयामों में घूमने की स्वतंत्रता की छह डिग्री होती है। सामान्य स्थिति में चार-आयामी प्रत्यक्ष गति निश्चित बिंदु के बारे में एक रोटेशन है (जैसा कि सभी यूक्लिडियन आयामों में भी है), लेकिन स्क्रू ऑपरेशन भी मौजूद हैं।

=== रेखीय और बहुरेखीय बीजगणितीय औपचारिकता ===

जब कोई यूक्लिडियन स्पेस की गतियों पर विचार करता है जो उत्पत्ति को संरक्षित करता है, शुद्ध गणित में महत्वपूर्ण बिंदुओं और वैक्टरों के बीच का अंतर मिटाया जा सकता है क्योंकि बिंदुओं और स्थिति वैक्टरों के बीच एक कैनोनिकल एक-से-एक सामंजस्य होता है। [[ यूक्लिडियन ज्यामिति |यूक्लिडियन]] के अलावा अन्य ज्यामिति के लिए भी यही सच है, लेकिन जिसका स्थान एक पूरक [[ गणितीय संरचना |संरचना]] के साथ एक सजातीय स्थान है; नीचे एक उदाहरण देखें। वैकल्पिक रूप से, घुमावों के वेक्टर विवरण को अनुवाद के साथ उनकी रचना तक ज्यामितीय घुमावों के पैरामीट्रिजेशन के रूप में समझा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक सदिश घूर्णन अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के बारे में कई समतुल्य घुमाव प्रस्तुत करता है।

जब कोई यूक्लिडियन स्पेस की गतियों पर विचार करता है जो उत्पत्ति को संरक्षित करता है, शुद्ध गणित में महत्वपूर्ण बिंदुओं और वैक्टरों के बीच का अंतर मिटाया जा सकता है क्योंकि बिंदुओं और स्थिति वैक्टरों के बीच एक कैनोनिकल एक-से-एक सामंजस्य होता है। [[ यूक्लिडियन ज्यामिति |यूक्लिडियन]] के अलावा अन्य ज्यामिति के लिए भी यही सच है, लेकिन जिसका स्थान पूरक [[ गणितीय संरचना |संरचना]] के साथ सजातीय स्थान है; नीचे उदाहरण देखें। वैकल्पिक रूप से, घुमावों के वेक्टर विवरण को अनुवाद के साथ उनकी रचना तक ज्यामितीय घुमावों के पैरामीट्रिजेशन के रूप में समझा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सदिश घूर्णन अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के बारे में कई समतुल्य घुमाव प्रस्तुत करता है।

एक गति जो मूल को संरक्षित करती है वह वैक्टर पर एक [[ रैखिक ऑपरेटर |रैखिक ऑपरेटर]] के समान होती है जो एक ही ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करती है लेकिन वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। यूक्लिडियन सदिशों के लिए, यह व्यंजक उनका परिमाण ([[ यूक्लिडियन मानदंड |यूक्लिडियन मानदंड]]) है। घटकों में, ऐसे ऑपरेटर ने {{math|''n'' × ''n''}} [[ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स |ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स]] के साथ व्यक्त किया है जो [[ कॉलम वेक्टर |कॉलम वेक्टर]] से गुणा किया जाता है।

गति जो मूल को संरक्षित करती है वह वैक्टर पर एक [[ रैखिक ऑपरेटर |रैखिक ऑपरेटर]] के समान होती है जो एक ही ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करती है लेकिन वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। यूक्लिडियन सदिशों के लिए, यह व्यंजक उनका परिमाण ([[ यूक्लिडियन मानदंड |यूक्लिडियन मानदंड]]) है। घटकों में, ऐसे ऑपरेटर ने {{math|''n'' × ''n''}} [[ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स |ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स]] के साथ व्यक्त किया है जो [[ कॉलम वेक्टर |कॉलम वेक्टर]] से गुणा किया जाता है।

जैसा कि पहले ही कहा गया था, सदिश स्थान के अभिविन्यास के संरक्षण में एक (उचित) रोटेशन एक मनमाना निश्चित बिंदु गति से अलग है। इस प्रकार, रोटेशन ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक 1 होना चाहिए। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के निर्धारक के लिए एकमात्र अन्य संभावना {{num|−1}} है, और इस परिणाम का मतलब है कि परिवर्तन एक हाइपरप्लेन प्रतिबिंब है, एक [[ बिंदु प्रतिबिंब |बिंदु प्रतिबिंब]] ([[ विषम संख्या |विषम]] {{mvar|n}} के लिए), या अन्य एक प्रकार का अनुचित घुमाव। सभी उचित घुमावों के आव्यूह विशेष लांबिक समूह बनाते हैं।

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==== दो आयाम ====

दो आयामों में, एक मैट्रिक्स, बिंदु का उपयोग करके घूर्णन करने के लिए {{math|(''x'', ''y'')}} वामावर्त घुमाने के लिए एक कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है, फिर कोण से गणना की गई [[ रोटेशन मैट्रिक्स |रोटेशन मैट्रिक्स]] से गुणा किया जाता है {{math|''θ''}}:

दो आयामों में, एक मैट्रिक्स, बिंदु का उपयोग करके घूर्णन करने के लिए {{math|(''x'', ''y'')}} वामावर्त घुमाने के लिए कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है, फिर कोण से गणना की गई [[ रोटेशन मैट्रिक्स |रोटेशन मैट्रिक्स]] से गुणा किया जाता है {{math|''θ''}}:

:<math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =

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y'&=x\sin\theta+y\cos\theta.

\end{align}</math>

वैक्टर <math> \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} </math> और <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} </math> एक ही परिमाण है और एक कोण से अलग हो गए हैं {{mvar|θ}} जैसा सोचा था।

वैक्टर <math> \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} </math> और <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} </math> एक ही परिमाण है और कोण से अलग हो गए हैं {{mvar|θ}} जैसा सोचा था।

पर अंक {{math|'''R'''2}} समतल को सम्मिश्र संख्या के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है: बिंदु {{math|(''x'', ''y'')}} समतल में सम्मिश्र संख्या द्वारा दर्शाया जाता है

:<math> z = x + iy </math>

इसे एक कोण से घुमाया जा सकता है {{mvar|θ}} से गुणा करके {{math|''e''''iθ''}}, फिर यूलर के सूत्र का उपयोग करके उत्पाद का विस्तार इस प्रकार करें:

इसे कोण से घुमाया जा सकता है {{mvar|θ}} से गुणा करके {{math|''e''''iθ''}}, फिर यूलर के सूत्र का उपयोग करके उत्पाद का विस्तार इस प्रकार करें:

:<math>\begin{align}

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दो आयामों की तरह, एक बिंदु को घुमाने के लिए एक मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} एक स्तर तक {{math|(''x′'', ''y′'', ''z′'')}}. प्रयुक्त मैट्रिक्स एक है {{gaps|3|×|3}} आव्यूह,

दो आयामों की तरह, एक बिंदु को घुमाने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} एक स्तर तक {{math|(''x′'', ''y′'', ''z′'')}}. प्रयुक्त मैट्रिक्स है {{gaps|3|×|3}} आव्यूह,

: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}</math>

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\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} </math>

आव्यूह (मैट्रिक्स) गुणन की संक्रिया सहित सभी उपयुक्त आव्यूहों का समुच्चय [[ घूर्णन समूह SO(3) ]] है। साँचा {{math|'''A'''}} त्रि-आयामी विशेष ऑर्थोगोनल समूह का सदस्य है, {{math|SO(3)}}, यानी यह निर्धारक 1 के साथ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। यह एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है कि इसकी पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का एक सेट हैं (इसलिए वे एक ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं) जैसा कि इसके कॉलम हैं, यह स्पॉट करना और जांचना आसान बनाता है एक मैट्रिक्स एक वैध रोटेशन मैट्रिक्स है।

आव्यूह (मैट्रिक्स) गुणन की संक्रिया सहित सभी उपयुक्त आव्यूहों का समुच्चय [[ घूर्णन समूह SO(3) ]] है। साँचा {{math|'''A'''}} त्रि-आयामी विशेष ऑर्थोगोनल समूह का सदस्य है, {{math|SO(3)}}, यानी यह निर्धारक 1 के साथ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। यह ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है कि इसकी पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का सेट हैं (इसलिए वे ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं) जैसा कि इसके कॉलम हैं, यह स्पॉट करना और जांचना आसान बनाता है मैट्रिक्स एक वैध रोटेशन मैट्रिक्स है।

यूलर कोण|उपर्युक्त यूलर कोण और अक्ष-कोण निरूपण को आसानी से एक रोटेशन मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है।

यूलर कोण|उपर्युक्त यूलर कोण और अक्ष-कोण निरूपण को आसानी से रोटेशन मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन वैक्टर के घूर्णन (रोटेशन) का प्रतिनिधित्व करने की एक और संभावना नीचे वर्णित चतुष्कोण हैं।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन वैक्टर के घूर्णन (रोटेशन) का प्रतिनिधित्व करने की और संभावना नीचे वर्णित चतुष्कोण हैं।

==== चतुष्कोण ====

यूनिट चतुष्कोण, या छंद, कुछ मायनों में त्रि-आयामी घुमावों का कम से कम सहज ज्ञान युक्त प्रतिनिधित्व है। वे सामान्य दृष्टिकोण के त्रि-आयामी उदाहरण नहीं हैं। वे मैट्रिसेस की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट हैं और अन्य सभी तरीकों की तुलना में काम करना आसान है, इसलिए ~~अक्सर~~ वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में पसंद किया जाता है।~~{{Citation needed|date=July 2010}}~~

यूनिट चतुष्कोण, या छंद, कुछ मायनों में त्रि-आयामी घुमावों का कम से कम सहज ज्ञान युक्त प्रतिनिधित्व है। वे सामान्य दृष्टिकोण के त्रि-आयामी उदाहरण नहीं हैं। वे मैट्रिसेस की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट हैं और अन्य सभी तरीकों की तुलना में काम करना आसान है, इसलिए प्रायः वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में पसंद किया जाता है।

जहाँ वर्जन (जिसे रोटेशन क्वाटरनियन भी कहा जाता है) में चार वास्तविक संख्याएँ होती हैं, इसलिए क्वाटरनियन का मानक सदिश स्थान 1 होता है। यह बाधा क्वाटरनियन की स्वतंत्रता की डिग्री को तीन तक सीमित करती है, जैसा कि आवश्यक है। मैट्रिसेस और जटिल संख्याओं के विपरीत दो गुणन आवश्यक हैं:

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जहाँ {{math|'''v'''}} रोटेशन वेक्टर को क्वाटरनियन के रूप में माना जाता है।

एक छंद द्वारा एक गुणन, या तो बाएँ या दाएँ, अपने आप में एक घूर्णन है, लेकिन चार आयामों में। उत्पत्ति के बारे में किसी भी चार आयामी घुमाव को दो चतुष्कोणीय गुणन के साथ दर्शाया जा सकता है: एक बाएँ और एक दाएँ, दो अलग-अलग इकाई चतुष्कोणों द्वारा।

छंद द्वारा एक गुणन, या तो बाएँ या दाएँ, अपने आप में घूर्णन है, लेकिन चार आयामों में। उत्पत्ति के बारे में किसी भी चार आयामी घुमाव को दो चतुष्कोणीय गुणन के साथ दर्शाया जा सकता है: एक बाएँ और एक दाएँ, दो अलग-अलग इकाई चतुष्कोणों द्वारा।

==== इसके अतिरिक्त ====

अधिक ~~आम तौर पर~~, किसी भी आयाम में रोटेशन का समन्वय ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस द्वारा दर्शाया जाता है। एन आयामों में सभी ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस का सेट जो उचित घुमाव (निर्धारक = +1) का वर्णन करता है, साथ में मैट्रिक्स गुणन के संचालन के साथ, विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n) बनाता है।

अधिक सामान्यतः, किसी भी आयाम में रोटेशन का समन्वय ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस द्वारा दर्शाया जाता है। एन आयामों में सभी ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस का सेट जो उचित घुमाव (निर्धारक = +1) का वर्णन करता है, साथ में मैट्रिक्स गुणन के संचालन के साथ, विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n) बनाता है।

मेट्रिसेस का उपयोग ~~अक्सर~~ परिवर्तन करने के लिए किया जाता है, खासकर जब बड़ी संख्या में बिंदुओं को रूपांतरित किया जा रहा हो, क्योंकि वे रैखिक ऑपरेटर का प्रत्यक्ष प्रतिनिधित्व करते हैं। उपयोग किए जाने से पहले अन्य तरीकों से दर्शाए गए घुमावों को ~~अक्सर~~ मैट्रिसेस में बदल दिया जाता है। [[ सजातीय निर्देशांक |सजातीय निर्देशांक]] का उपयोग करके एक ही समय में घूर्णन और परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हें बढ़ाया जा सकता है। प्रोजेक्टिव ट्रांसफ़ॉर्मेशन को 4 × 4 मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया गया है। वे रोटेशन मैट्रिसेस नहीं हैं, लेकिन एक परिवर्तन जो यूक्लिडियन रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें ऊपरी बाएं कोने में 3×3 रोटेशन मैट्रिक्स है।

मेट्रिसेस का उपयोग प्रायः परिवर्तन करने के लिए किया जाता है, खासकर जब बड़ी संख्या में बिंदुओं को रूपांतरित किया जा रहा हो, क्योंकि वे रैखिक ऑपरेटर का प्रत्यक्ष प्रतिनिधित्व करते हैं। उपयोग किए जाने से पहले अन्य तरीकों से दर्शाए गए घुमावों को प्रायः मैट्रिसेस में बदल दिया जाता है। [[ सजातीय निर्देशांक |सजातीय निर्देशांक]] का उपयोग करके एक ही समय में घूर्णन और परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हें बढ़ाया जा सकता है। प्रोजेक्टिव ट्रांसफ़ॉर्मेशन को 4 × 4 मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया गया है। वे रोटेशन मैट्रिसेस नहीं हैं, लेकिन एक परिवर्तन जो यूक्लिडियन रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें ऊपरी बाएं कोने में 3×3 रोटेशन मैट्रिक्स है।

मैट्रिसेस का मुख्य नुकसान यह है कि वे गणना करने और गणना करने के लिए अधिक महंगे हैं। इसके अलावा गणना में जहां [[ संख्यात्मक स्थिरता |संख्यात्मक]] अस्थिरता एक चिंता का विषय है, मैट्रिक्स इसके लिए अधिक प्रवण हो सकता है, इसलिए ऑर्थोनॉर्मलिटी को बहाल करने के लिए गणना, जो मेट्रिसेस के लिए करना महंगा है, को अधिक बार करने की आवश्यकता है।

==== मैट्रिक्स औपचारिकता के अधिक विकल्प ====

जैसा कि ऊपर दिखाया गया था, तीन [[ बहुरेखीय बीजगणित |बहुरेखीय बीजगणित]] रोटेशन औपचारिकताएं मौजूद हैं: एक U(1) के साथ, या जटिल संख्याएं, दो आयामों के लिए, और दो अन्य छंदों के साथ, या चतुष्कोण, तीन और चार आयामों के लिए।

जैसा कि ऊपर दिखाया गया था, तीन [[ बहुरेखीय बीजगणित |बहुरेखीय बीजगणित]] रोटेशन औपचारिकताएं मौजूद हैं: U(1) के साथ, या जटिल संख्याएं, दो आयामों के लिए, और दो अन्य छंदों के साथ, या चतुष्कोण, तीन और चार आयामों के लिए।

सामान्य तौर पर (गैर-यूक्लिडियन मिन्कोव्स्की [[ द्विघात रूप |द्विघात रूप]] से लैस वैक्टर के लिए भी) एक सदिश स्थान के रोटेशन को एक बायवेक्टर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस औपचारिकता का प्रयोग ज्यामितीय बीजगणित में किया जाता है, और अधिक सामान्यतः, लाई समूहों के [[ क्लिफर्ड बीजगणित |क्लिफर्ड बीजगणित]] प्रतिनिधित्व में।

सामान्य तौर पर (गैर-यूक्लिडियन मिन्कोव्स्की [[ द्विघात रूप |द्विघात रूप]] से लैस वैक्टर के लिए भी) सदिश स्थान के रोटेशन को बायवेक्टर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस औपचारिकता का प्रयोग ज्यामितीय बीजगणित में किया जाता है, और अधिक सामान्यतः, लाई समूहों के [[ क्लिफर्ड बीजगणित |क्लिफर्ड बीजगणित]] प्रतिनिधित्व में।

~~एक सकारात्मक~~-निश्चित यूक्लिडियन द्विघात रूप के मामले में, आइसोमेट्री समूह <math>\mathrm{SO}(n)</math> के दोहरे [[ आवरण समूह |आवरण समूह]] को [[ स्पिन समूह |स्पिन समूह]], स्पिन (n) के रूप में जाना जाता है। क्लिफर्ड बीजगणित के संदर्भ में इसे आसानी से वर्णित किया जा सकता है। यूनिट चतुष्कोण समूह <math>\mathrm{Spin}(3) \cong \mathrm{SU}(2)</math> देते हैं

धनात्मक-निश्चित यूक्लिडियन द्विघात रूप के मामले में, आइसोमेट्री समूह <math>\mathrm{SO}(n)</math> के दोहरे [[ आवरण समूह |आवरण समूह]] को [[ स्पिन समूह |स्पिन समूह]], स्पिन (n) के रूप में जाना जाता है। क्लिफर्ड बीजगणित के संदर्भ में इसे आसानी से वर्णित किया जा सकता है। यूनिट चतुष्कोण समूह <math>\mathrm{Spin}(3) \cong \mathrm{SU}(2)</math> देते हैं

=== गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में ===

~~[[ गोलाकार~~ ज्यामिति ]] में, ~~एक सीधी गति{{clarification needed|What does the term "direct motion" mean precisely?|date=July 2020}} एन-क्षेत्र का|~~{{mvar|n}}-~~sphere~~ (~~[[ अण्डाकार~~ ज्यामिति ]] का एक उदाहरण) के ~~रोटेशन के समान है~~ {{math|(''n'' + 1)}}~~उत्पत्ति के बारे में~~ आयामी यूक्लिडियन स्थान ({{math|SO(''n'' + 1)}}). विषम ~~के लिए~~ {{mvar|n}}, इनमें से अधिकांश गतियों ~~पर निश्चित बिंदु नहीं होते हैं~~ {{mvar|n}}-~~क्षेत्र~~ और, सख्ती से बोलना, गोले का घूर्णन नहीं है; ~~ऐसी गतियाँ हैं~~ कभी-कभी ~~[[ विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड ]]~~ अनुवाद के रूप में संदर्भित किया जाता है।~~{{citation needed|reason=Which sources call them that?|date=July 2020}} अण्डाकार~~ और ~~अतिशयोक्तिपूर्ण अंतरिक्ष~~ ज्यामिति में एक निश्चित बिंदु के बारे में घूर्णन यूक्लिडियन से अलग नहीं हैं।~~{{clarification needed|How are they not different? The definition of rotation given for Euclidean space isn't even defined for those geometries.|date=July 2020}}~~

गोलीय ज्यामिति में, {{mvar|n}}-गोला (दीर्घवृत्तीय ज्यामिति का उदाहरण) की एक सीधी गति उत्पत्ति के बारे में {{math|(''n'' + 1)}}-आयामी यूक्लिडियन स्थान के घूर्णन के समान है {{math|SO(''n'' + 1)}}.

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रोटेशन (गणित): Difference between revisions

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-{{Short description|Motion of a certain space that preserves at least one point}}
 {{broader|रोटेशन}}
-[[Image:Rotation illustration2.svg|right|thumb|किसी बिंदु के चारों ओर दो आयामों में किसी वस्तु का घूमना {{mvar|O}}.]]गणित में घूर्णन [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] से उत्पन्न एक अवधारणा है। कोई भी घूर्णन एक निश्चित स्थान की [[ गति (ज्यामिति) |गति]] है जो कम से कम एक [[ बिंदु (ज्यामिति) |बिंदु]] को सुरक्षित रखता है। यह वर्णन कर सकता है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित बिंदु के चारों ओर एक कठोर शरीर की गति, घूर्णन के चिह्न हो सकते हैं (जैसे कोण के चिह्न में): दक्षिणावर्त घूर्णन एक ऋणात्मक कांतिमान होता है, इसलिए वामावर्त घुमाव का परिमाण धनात्मक होता है।
+[[Image:Rotation illustration2.svg|right|thumb|किसी बिंदु के चारों ओर दो आयामों में किसी वस्तु का घूमना {{mvar|O}}.]]गणित में घूर्णन [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] से उत्पन्न एक अवधारणा है। कोई भी घूर्णन एक निश्चित स्थान की [[ गति (ज्यामिति) |गति]] है जो कम से कम एक [[ बिंदु (ज्यामिति) |बिंदु]] को सुरक्षित रखता है। यह वर्णन कर सकता है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित बिंदु के चारों ओर  दृढ़ पिंड (रिजिड बॉडी) की गति, घूर्णन के चिह्न हो सकते हैं (जैसे कोण के चिह्न में): दक्षिणावर्त घूर्णन ऋणात्मक कांतिमान होता है, इसलिए वामावर्त घुमाव का परिमाण धनात्मक होता है।
-एक घुमाव अन्य प्रकार की गतियों से भिन्न होता है: [[ अनुवाद (ज्यामिति) |अनुवाद]], जिसमें कोई निश्चित बिंदु नहीं होते हैं, और (हाइपरप्लेन) प्रतिबिंब होते हैं, उनमें से प्रत्येक में एक संपूर्ण {{math|(''n'' − 1)}} एक {{mvar|n}}-आयामी स्पेस में निश्चित बिंदुओं का आयामी समतल होता है।
+घुमाव अन्य प्रकार की गतियों से भिन्न होता है: [[ अनुवाद (ज्यामिति) |अनुवाद]], जिसमें कोई निश्चित बिंदु नहीं होते हैं, और (हाइपरप्लेन) प्रतिबिंब होते हैं, उनमें से प्रत्येक में संपूर्ण {{math|(''n'' − 1)}} एक {{mvar|n}}-आयामी स्पेस में निश्चित बिंदुओं का आयामी समतल होता है।
-गणितीय रूप से, घूर्णन एक नक्शा है। एक निश्चित बिंदु के बारे में सभी घुमाव रचना के तहत एक [[ समूह (गणित) |समूह]] बनाते हैं जिसे रोटेशन ग्रुप (किसी विशेष स्थान का) कहा जाता है। लेकिन [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में और, अधिक आम तौर पर, भौतिकी में, इस अवधारणा को अक्सर एक [[ समन्वय परिवर्तन |समन्वय परिवर्तन]] (महत्वपूर्ण रूप से, एक अलौकिक आधार का परिवर्तन) के रूप में समझा जाता है, क्योंकि शरीर की किसी भी गति के लिए, एक व्युत्क्रम परिवर्तन होता है, जिसे अगर फ्रेम पर लागू किया जाता है शरीर में संदर्भ परिणामों के समान निर्देशांक पर होने के कारण। उदाहरण के लिए, दो आयामों में एक पिंड को एक बिंदु के बारे में [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] घुमाना और अक्षों को स्थिर रखना अक्षों को उसी बिंदु के बारे में वामावर्त घुमाने के बराबर है, जबकि शरीर स्थिर रहता है। इन दो प्रकार के घूर्णन को [[ सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन |सक्रिय और निष्क्रिय]] रूपांतरण कहा जाता है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/AlibiTransformation.html Weisstein, Eric W. "Alibi Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref><ref>[http://mathworld.wolfram.com/AliasTransformation.html Weisstein, Eric W. "Alias Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref>
+गणितीय रूप से, घूर्णन एक नक्शा है। निश्चित बिंदु के बारे में सभी घुमाव रचना के तहत [[ समूह (गणित) |समूह]] बनाते हैं जिसे रोटेशन ग्रुप (किसी विशेष स्थान का) कहा जाता है। लेकिन [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में और, अधिक सामान्यतः भौतिकी में, इस अवधारणा को प्रायः [[ समन्वय परिवर्तन |समन्वय परिवर्तन]] (महत्वपूर्ण रूप से, अलौकिक आधार का परिवर्तन) के रूप में समझा जाता है, क्योंकि पिंड की किसी भी गति के लिए, व्युत्क्रम परिवर्तन होता है, जिसे अगर फ्रेम पर लागू किया जाता है पिंड में संदर्भ परिणामों के समान निर्देशांक पर होने के कारण। उदाहरण के लिए, दो आयामों में पिंड को बिंदु के बारे में [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] घुमाना और अक्षों को स्थिर रखना अक्षों को उसी बिंदु के बारे में वामावर्त घुमाने के बराबर है, जबकि पिंड स्थिर रहता है। इन दो प्रकार के घूर्णन को [[ सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन |सक्रिय और निष्क्रिय]] रूपांतरण कहा जाता है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/AlibiTransformation.html Weisstein, Eric W. "Alibi Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref><ref>[http://mathworld.wolfram.com/AliasTransformation.html Weisstein, Eric W. "Alias Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref>
 == संबंधित परिभाषाएं और शब्दावली ==
-रोटेशन ग्रुप एक निश्चित बिंदु के बारे में रोटेशन का लाई समूह है। इस (सामान्य) निश्चित बिंदु को रोटेशन का [[ केंद्र (ज्यामिति) |केंद्र]] कहा जाता है और इसे आमतौर पर उत्पत्ति के साथ पहचाना जाता है। रोटेशन समूह (अभिविन्यास-संरक्षण) गतियों के एक व्यापक समूह में एक बिंदु स्टेबलाइजर है।
+रोटेशन ग्रुप निश्चित बिंदु के बारे में रोटेशन का लाई समूह है। इस (सामान्य) निश्चित बिंदु को रोटेशन का [[ केंद्र (ज्यामिति) |केंद्र]] कहा जाता है और इसे सामान्यतः उत्पत्ति के साथ पहचाना जाता है। रोटेशन समूह (अभिविन्यास-संरक्षण) गतियों के व्यापक समूह में एक बिंदु स्टेबलाइजर है।
-एक विशेष रोटेशन के लिए:
+विशेष रोटेशन के लिए:
-* रोटेशन की धुरी इसके निश्चित बिंदुओं की एक [[ रेखा (ज्यामिति) |रेखा]] है। वे केवल n> 2 में मौजूद हैं।
+* रोटेशन की धुरी इसके निश्चित बिंदुओं की एक [[ रेखा (ज्यामिति) |रेखा]] है। वे केवल ''n> 2'' में मौजूद हैं।
 * [[ रोटेशन का विमान |रोटेशन (घूर्णन) का तल]] ऐसा तल है जो रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है। अक्ष के विपरीत, इसके बिंदु स्वयं स्थिर नहीं होते हैं। धुरी (जहां मौजूद है) और घूर्णन का तल [[ ओर्थोगोनल |ओर्थोगोनल]] हैं।
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 === यूक्लिडियन ज्यामिति में ===
 {{further|यूक्लिडियन स्पेस रोटेशन और रिफ्लेक्शन|विशेष लंबकोणीय समूह}}
-[[Image:Rotation4.svg|right|thumb|एक बिंदु के चारों ओर एक विमान के घूमने के बाद एक अलग बिंदु के चारों ओर एक और रोटेशन के परिणामस्वरूप कुल गति होती है जो या तो एक रोटेशन है (जैसा कि इस चित्र में है), या एक [[ अनुवाद (गणित) ]]।]][[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन]] स्पेस की गति इसकी आइसोमेट्री के समान है: यह परिवर्तन के बाद अपरिवर्तित किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को छोड़ देता है। लेकिन एक (उचित) रोटेशन को भी [[ अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) |अभिविन्यास]] संरचना को संरक्षित करना होता है। "अनुचित रोटेशन" शब्द आइसोमेट्रीज़ को संदर्भित करता है जो अभिविन्यास को उल्टा (फ्लिप) करता है। समूह सिद्धांत की भाषा में, भेद को यूक्लिडियन [[ समूह सिद्धांत |समूह]] में प्रत्यक्ष बनाम अप्रत्यक्ष समरूपता के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्व में [[ पहचान घटक |पहचान घटक]] शामिल होता है। किसी भी प्रत्यक्ष यूक्लिडियन गति को निश्चित बिंदु और अनुवाद के बारे में घूर्णन की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है।
+[[Image:Rotation4.svg|right|thumb|एक बिंदु के चारों ओर एक विमान के घूमने के बाद एक अलग बिंदु के चारों ओर एक और रोटेशन के परिणामस्वरूप कुल गति होती है जो या तो एक रोटेशन है (जैसा कि इस चित्र में है), या एक [[ अनुवाद (गणित) ]]।]][[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन]] स्पेस की गति इसकी आइसोमेट्री के समान है: यह परिवर्तन के बाद अपरिवर्तित किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को छोड़ देता है। लेकिन एक (उचित) रोटेशन को भी [[ अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) |अभिविन्यास]] संरचना को संरक्षित करना होता है। "अनुचित रोटेशन" शब्द आइसोमेट्रीज़ को संदर्भित करता है जो अभिविन्यास को उल्टा (फ्लिप) करता है। समूह सिद्धांत की भाषा में, भेद को यूक्लिडियन [[ समूह सिद्धांत |समूह]] में प्रत्यक्ष बनाम अप्रत्यक्ष समरूपता के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्व में [[ पहचान घटक |पहचान घटक]] सम्मिलित होता है। किसी भी प्रत्यक्ष यूक्लिडियन गति को निश्चित बिंदु और अनुवाद के बारे में घूर्णन की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है।
-एक आयाम में गैर-तुच्छ रोटेशन नहीं होते हैं। दो आयामों में, मूल के बारे में एक रोटेशन निर्दिष्ट करने के लिए केवल एक कोण की आवश्यकता होती है - रोटेशन का कोण जो चक्र समूह के एक तत्व को निर्दिष्ट करता है (जिसे U(1) भी कहा जाता है)। रोटेशन  मूल के बारे में कोण {{mvar|θ}} के माध्यम से किसी वस्तु को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाने के लिए कार्य कर रहा है; जानकारी के लिए नीचे देखें। घुमावों की संरचना उनके कोणों के सापेक्ष 1 मोड़ का योग करती है, जिसका अर्थ है कि सभी द्वि-आयामी घुमाव एक ही बिंदु के बारे में हैं। विभिन्न बिंदुओं के बारे में घुमाव, सामान्य तौर पर, आवागमन नहीं करते। कोई भी द्वि-आयामी प्रत्यक्ष गति या तो एक अनुवाद है या एक घूर्णन है; विवरण के लिए [[ यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री |यूक्लिडियन]] समतल सममिति देखें।
+आयाम में असतहीय रोटेशन नहीं होते हैं। दो आयामों में, मूल के बारे में एक रोटेशन निर्दिष्ट करने के लिए केवल कोण की आवश्यकता होती है - रोटेशन का कोण जो चक्र समूह के तत्व को निर्दिष्ट करता है (जिसे U(1) भी कहा जाता है)। रोटेशन  मूल के बारे में कोण {{mvar|θ}} के माध्यम से किसी वस्तु को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाने के लिए कार्य कर रहा है; जानकारी के लिए नीचे देखें। घुमावों की संरचना उनके कोणों के सापेक्ष 1 मोड़ का योग करती है, जिसका अर्थ है कि सभी द्वि-आयामी घुमाव एक ही बिंदु के बारे में हैं। विभिन्न बिंदुओं के बारे में घुमाव, सामान्य तौर पर, आवागमन नहीं करते। कोई भी द्वि-आयामी प्रत्यक्ष गति या तो अनुवाद है या घूर्णन है; विवरण के लिए [[ यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री |यूक्लिडियन]] समतल सममिति देखें।
-[[Image:Praezession.svg|thumb|170px|left|पृथ्वी का यूलर घूर्णन। आंतरिक (हरा), अग्रगमन (नीला) और पोषण (लाल)]]त्रि-आयामी स्पेस में घूर्णन कई महत्वपूर्ण तरीकों से दो आयामों में भिन्न होता है। तीन आयामों में घुमाव आम तौर पर कम्यूटिव ([[ विनिमेय |विनिमेय]]) नहीं होते हैं, इसलिए जिस क्रम में घुमाव लागू होते हैं वह उसी बिंदु के बारे में भी महत्वपूर्ण होता है। इसके अलावा, द्वि-आयामी मामले के विपरीत, त्रि-आयामी प्रत्यक्ष गति, [[ सामान्य स्थिति |सामान्य स्थिति]] में, घूर्णन नहीं बल्कि एक स्क्रू ऑपरेशन है। उत्पत्ति के बारे में घूर्णन में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है (विवरण के लिए तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकताएं देखें), आयामों की संख्या के समान।
+[[Image:Praezession.svg|thumb|170px|left|पृथ्वी का यूलर घूर्णन। आंतरिक (हरा), अग्रगमन (नीला) और पोषण (लाल)]]त्रि-आयामी स्पेस में घूर्णन कई महत्वपूर्ण तरीकों से दो आयामों में भिन्न होता है। तीन आयामों में घुमाव सामान्यतः कम्यूटिव ([[ विनिमेय |विनिमेय]]) नहीं होते हैं, इसलिए जिस क्रम में घुमाव लागू होते हैं वह उसी बिंदु के बारे में भी महत्वपूर्ण होता है। इसके अलावा, द्वि-आयामी मामले के विपरीत, त्रि-आयामी प्रत्यक्ष गति, [[ सामान्य स्थिति |सामान्य स्थिति]] में, घूर्णन नहीं बल्कि स्क्रू ऑपरेशन है। उत्पत्ति के बारे में घूर्णन में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है (विवरण के लिए तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकताएं देखें), आयामों की संख्या के समान।
 त्रि-आयामी रोटेशन को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। सबसे सामान्य विधियाँ हैं:
-* [[ यूलर कोण |यूलर कोण]] (बाईं ओर चित्रित)। उत्पत्ति के बारे में किसी भी घुमाव को अन्य दो स्थिरांकों को छोड़ते समय यूलर कोणों में से एक को बदलकर प्राप्त गति के रूप में परिभाषित तीन घुमावों की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है। वे रोटेशन सिस्टम के मिश्रित अक्षों का निर्माण करते हैं क्योंकि कोणों को अलग-अलग संदर्भ फ़्रेमों के मिश्रण के संबंध में मापा जाता है, बजाय एक फ्रेम के जो पूरी तरह से बाहरी या विशुद्ध रूप से आंतरिक है। विशेष रूप से, पहला कोण बाहरी अक्ष z के चारों ओर [[ नोड्स की रेखा |नोड्स]] की रेखा को घुमाता है, दूसरा नोड्स की रेखा के चारों ओर घूमता है और तीसरा शरीर में तय की गई धुरी के चारों ओर एक आंतरिक घुमाव (एक स्पिन) होता है जो गति करता है। यूलर कोणों को आमतौर पर α, β, γ, या φ, θ, ψ के रूप में दर्शाया जाता है। यह प्रस्तुति केवल एक निश्चित बिंदु के बारे में घुमाव के लिए सुविधाजनक है।
+* [[ यूलर कोण |यूलर कोण]] (बाईं ओर चित्रित)। उत्पत्ति के बारे में किसी भी घुमाव को अन्य दो स्थिरांकों को छोड़ते समय यूलर कोणों में से एक को बदलकर प्राप्त गति के रूप में परिभाषित तीन घुमावों की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है। वे रोटेशन सिस्टम के मिश्रित अक्षों का निर्माण करते हैं क्योंकि कोणों को अलग-अलग संदर्भ फ़्रेमों के मिश्रण के संबंध में मापा जाता है, बजाय एक फ्रेम के जो पूरी तरह से बाहरी या विशुद्ध रूप से आंतरिक है। विशेष रूप से, पहला कोण बाहरी अक्ष z के चारों ओर [[ नोड्स की रेखा |नोड्स]] की रेखा को घुमाता है, दूसरा नोड्स की रेखा के चारों ओर घूमता है और तीसरा  पिंड पिंड में तय की गई धुरी के चारों ओर एक आंतरिक घुमाव (स्पिन) होता है जो गति करता है। यूलर कोणों को सामान्यतः α, β, γ, या φ, θ, ψ के रूप में दर्शाया जाता है। यह प्रस्तुति केवल निश्चित बिंदु के बारे में घुमाव के लिए सुविधाजनक है।
 [[Image:Euler AxisAngle.png|thumb|right|104px]]
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 *एक जोड़ी के रूप में कोण और अक्ष के लिए एक [[ इकाई वेक्टर |इकाई वेक्टर]] से मिलकर, या
-** इस इकाई वेक्टर के साथ कोण को गुणा करके प्राप्त [[ यूक्लिडियन वेक्टर |यूक्लिडियन वेक्टर]] के रूप में, जिसे रोटेशन वेक्टर कहा जाता है (हालांकि, सख्ती से बोलना, यह एक स्यूडोवेक्टर है)।
+** इस इकाई वेक्टर के साथ कोण को गुणा करके प्राप्त [[ यूक्लिडियन वेक्टर |यूक्लिडियन वेक्टर]] के रूप में, जिसे रोटेशन वेक्टर कहा जाता है (हालांकि, सख्ती से बोलना, यह स्यूडोवेक्टर है)।
 **मैट्रिसेस, वर्सर्स (चतुर्भुज), और अन्य बीजगणितीय चीजें: विवरण के लिए अनुभाग रैखिक और बहुरेखीय बीजगणित औपचारिकता देखें।
-[[File:8-cell.gif|thumb|चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घुमाए जा रहे [[ tesseract |टेसरैक्ट]] के तीन-आयामों पर एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण।]]चार आयामों में एक सामान्य घुमाव में केवल एक निश्चित बिंदु होता है, रोटेशन का केंद्र और रोटेशन की कोई धुरी नहीं होती है; विवरण के लिए [[ 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन |4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन]] देखें। इसके बजाय, रोटेशन में रोटेशन के दो पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल विमान होते हैं, जिनमें से प्रत्येक इस अर्थ में तय होता है कि प्रत्येक विमान में बिंदु विमानों के भीतर रहते हैं। रोटेशन में रोटेशन के दो कोण होते हैं, रोटेशन के प्रत्येक विमान के लिए एक, जिसके माध्यम से विमानों में बिंदु घूमते हैं। यदि ये ω1 और ω2 हैं तो वे सभी बिंदु जो समतल में नहीं हैं, {{math|''ω''<sub>1</sub>}} और {{math|''ω''<sub>2</sub>}} के बीच के कोण से घूमते हैं। एक निश्चित बिंदु के चारों ओर चार आयामों में घूमने की स्वतंत्रता की छह डिग्री होती है। सामान्य स्थिति में एक चार-आयामी प्रत्यक्ष गति एक निश्चित बिंदु के बारे में एक रोटेशन है (जैसा कि सभी यूक्लिडियन आयामों में भी है), लेकिन स्क्रू ऑपरेशन भी मौजूद हैं।
+[[File:8-cell.gif|thumb|चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घुमाए जा रहे [[ tesseract |टेसरैक्ट]] के तीन-आयामों पर एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण।]]चार आयामों में एक सामान्य घुमाव में केवल निश्चित बिंदु होता है, रोटेशन का केंद्र और रोटेशन की कोई धुरी नहीं होती है; विवरण के लिए [[ 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन |4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन]] देखें। इसके बजाय, रोटेशन में रोटेशन के दो पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल विमान होते हैं, जिनमें से प्रत्येक इस अर्थ में तय होता है कि प्रत्येक विमान में बिंदु विमानों के भीतर रहते हैं। रोटेशन में रोटेशन के दो कोण होते हैं, रोटेशन के प्रत्येक विमान के लिए एक, जिसके माध्यम से विमानों में बिंदु घूमते हैं। यदि ये ω1 और ω2 हैं तो वे सभी बिंदु जो समतल में नहीं हैं, {{math|''ω''<sub>1</sub>}} और {{math|''ω''<sub>2</sub>}} के बीच के कोण से घूमते हैं। एक निश्चित बिंदु के चारों ओर चार आयामों में घूमने की स्वतंत्रता की छह डिग्री होती है। सामान्य स्थिति में चार-आयामी प्रत्यक्ष गति निश्चित बिंदु के बारे में एक रोटेशन है (जैसा कि सभी यूक्लिडियन आयामों में भी है), लेकिन स्क्रू ऑपरेशन भी मौजूद हैं।
 === रेखीय और बहुरेखीय बीजगणितीय औपचारिकता ===
 {{main|रोटेशन मैट्रिक्स}}
-जब कोई यूक्लिडियन स्पेस की गतियों पर विचार करता है जो उत्पत्ति को संरक्षित करता है, शुद्ध गणित में महत्वपूर्ण बिंदुओं और वैक्टरों के बीच का अंतर मिटाया जा सकता है क्योंकि बिंदुओं और स्थिति वैक्टरों के बीच एक कैनोनिकल एक-से-एक सामंजस्य होता है। [[ यूक्लिडियन ज्यामिति |यूक्लिडियन]] के अलावा अन्य ज्यामिति के लिए भी यही सच है, लेकिन जिसका स्थान एक पूरक [[ गणितीय संरचना |संरचना]] के साथ एक सजातीय स्थान है; नीचे एक उदाहरण देखें। वैकल्पिक रूप से, घुमावों के वेक्टर विवरण को अनुवाद के साथ उनकी रचना तक ज्यामितीय घुमावों के पैरामीट्रिजेशन के रूप में समझा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक सदिश घूर्णन अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के बारे में कई समतुल्य घुमाव प्रस्तुत करता है।
+जब कोई यूक्लिडियन स्पेस की गतियों पर विचार करता है जो उत्पत्ति को संरक्षित करता है, शुद्ध गणित में महत्वपूर्ण बिंदुओं और वैक्टरों के बीच का अंतर मिटाया जा सकता है क्योंकि बिंदुओं और स्थिति वैक्टरों के बीच एक कैनोनिकल एक-से-एक सामंजस्य होता है। [[ यूक्लिडियन ज्यामिति |यूक्लिडियन]] के अलावा अन्य ज्यामिति के लिए भी यही सच है, लेकिन जिसका स्थान पूरक [[ गणितीय संरचना |संरचना]] के साथ सजातीय स्थान है; नीचे उदाहरण देखें। वैकल्पिक रूप से, घुमावों के वेक्टर विवरण को अनुवाद के साथ उनकी रचना तक ज्यामितीय घुमावों के पैरामीट्रिजेशन के रूप में समझा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सदिश घूर्णन अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के बारे में कई समतुल्य घुमाव प्रस्तुत करता है।
-एक गति जो मूल को संरक्षित करती है वह वैक्टर पर एक [[ रैखिक ऑपरेटर |रैखिक ऑपरेटर]] के समान होती है जो एक ही ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करती है लेकिन वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। यूक्लिडियन सदिशों के लिए, यह व्यंजक उनका परिमाण ([[ यूक्लिडियन मानदंड |यूक्लिडियन मानदंड]]) है। घटकों में, ऐसे ऑपरेटर ने {{math|''n'' × ''n''}} [[ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स |ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स]] के साथ व्यक्त किया है जो [[ कॉलम वेक्टर |कॉलम वेक्टर]] से गुणा किया जाता है।
+गति जो मूल को संरक्षित करती है वह वैक्टर पर एक [[ रैखिक ऑपरेटर |रैखिक ऑपरेटर]] के समान होती है जो एक ही ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करती है लेकिन वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। यूक्लिडियन सदिशों के लिए, यह व्यंजक उनका परिमाण ([[ यूक्लिडियन मानदंड |यूक्लिडियन मानदंड]]) है। घटकों में, ऐसे ऑपरेटर ने {{math|''n'' × ''n''}} [[ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स |ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स]] के साथ व्यक्त किया है जो [[ कॉलम वेक्टर |कॉलम वेक्टर]] से गुणा किया जाता है।
 जैसा कि पहले ही कहा गया था, सदिश स्थान के अभिविन्यास के संरक्षण में एक (उचित) रोटेशन एक मनमाना निश्चित बिंदु गति से अलग है। इस प्रकार, रोटेशन ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक 1 होना चाहिए। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के निर्धारक के लिए एकमात्र अन्य संभावना {{num|−1}} है, और इस परिणाम का मतलब है कि परिवर्तन एक हाइपरप्लेन प्रतिबिंब है, एक [[ बिंदु प्रतिबिंब |बिंदु प्रतिबिंब]] ([[ विषम संख्या |विषम]] {{mvar|n}} के लिए), या अन्य एक प्रकार का अनुचित घुमाव। सभी उचित घुमावों के आव्यूह विशेष लांबिक समूह बनाते हैं।
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 ==== दो आयाम ====
 {{main|रोटेशन और प्रतिबिंब दो आयामों में}}
-दो आयामों में, एक मैट्रिक्स, बिंदु का उपयोग करके घूर्णन करने के लिए {{math|(''x'', ''y'')}} वामावर्त घुमाने के लिए एक कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है, फिर कोण से गणना की गई [[ रोटेशन मैट्रिक्स |रोटेशन मैट्रिक्स]] से गुणा किया जाता है {{math|''θ''}}:
+दो आयामों में, एक मैट्रिक्स, बिंदु का उपयोग करके घूर्णन करने के लिए {{math|(''x'', ''y'')}} वामावर्त घुमाने के लिए कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है, फिर कोण से गणना की गई [[ रोटेशन मैट्रिक्स |रोटेशन मैट्रिक्स]] से गुणा किया जाता है {{math|''θ''}}:
 :<math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
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 y'&=x\sin\theta+y\cos\theta.
 \end{align}</math>
-वैक्टर <math> \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} </math> और <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} </math> एक ही परिमाण है और एक कोण से अलग हो गए हैं {{mvar|θ}} जैसा सोचा था।
+वैक्टर <math> \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} </math> और <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} </math> एक ही परिमाण है और कोण से अलग हो गए हैं {{mvar|θ}} जैसा सोचा था।
 पर अंक {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} समतल को सम्मिश्र संख्या के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है: बिंदु {{math|(''x'', ''y'')}} समतल में सम्मिश्र संख्या द्वारा दर्शाया जाता है
 :<math> z = x + iy </math>
-इसे एक कोण से घुमाया जा सकता है {{mvar|θ}} से गुणा करके  {{math|''e''<sup>''iθ''</sup>}}, फिर यूलर के सूत्र का उपयोग करके उत्पाद का विस्तार इस प्रकार करें:
+इसे कोण से घुमाया जा सकता है {{mvar|θ}} से गुणा करके  {{math|''e''<sup>''iθ''</sup>}}, फिर यूलर के सूत्र का उपयोग करके उत्पाद का विस्तार इस प्रकार करें:
 :<math>\begin{align}
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 {{main|तीन आयामों में रोटेशन औपचारिकताएं}}
 {{see also|त्रि-आयामी रोटेशन ऑपरेटर}}
-दो आयामों की तरह, एक बिंदु को घुमाने के लिए एक मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} एक स्तर तक {{math|(''x′'', ''y′'', ''z′'')}}. प्रयुक्त मैट्रिक्स एक है {{gaps|3|×|3}} आव्यूह,
+दो आयामों की तरह, एक बिंदु को घुमाने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} एक स्तर तक {{math|(''x′'', ''y′'', ''z′'')}}. प्रयुक्त मैट्रिक्स है {{gaps|3|×|3}} आव्यूह,
 : <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i  \end{pmatrix}</math>
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   \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
   \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} </math>
-आव्यूह (मैट्रिक्स) गुणन की संक्रिया सहित सभी उपयुक्त आव्यूहों का समुच्चय [[ घूर्णन समूह SO(3) ]] है। साँचा {{math|'''A'''}} त्रि-आयामी विशेष ऑर्थोगोनल समूह का सदस्य है, {{math|SO(3)}}, यानी यह निर्धारक 1 के साथ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। यह एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है कि इसकी पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का एक सेट हैं (इसलिए वे एक ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं) जैसा कि इसके कॉलम हैं, यह स्पॉट करना और जांचना आसान बनाता है एक मैट्रिक्स एक वैध रोटेशन मैट्रिक्स है।
+आव्यूह (मैट्रिक्स) गुणन की संक्रिया सहित सभी उपयुक्त आव्यूहों का समुच्चय [[ घूर्णन समूह SO(3) ]] है। साँचा {{math|'''A'''}} त्रि-आयामी विशेष ऑर्थोगोनल समूह का सदस्य है, {{math|SO(3)}}, यानी यह निर्धारक 1 के साथ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। यह ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है कि इसकी पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का सेट हैं (इसलिए वे ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं) जैसा कि इसके कॉलम हैं, यह स्पॉट करना और जांचना आसान बनाता है मैट्रिक्स एक वैध रोटेशन मैट्रिक्स है।
-यूलर कोण|उपर्युक्त यूलर कोण और अक्ष-कोण निरूपण को आसानी से एक रोटेशन मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है।
+यूलर कोण|उपर्युक्त यूलर कोण और अक्ष-कोण निरूपण को आसानी से रोटेशन मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है।
-त्रि-आयामी यूक्लिडियन वैक्टर के घूर्णन (रोटेशन) का प्रतिनिधित्व करने की एक और संभावना नीचे वर्णित चतुष्कोण हैं।
+त्रि-आयामी यूक्लिडियन वैक्टर के घूर्णन (रोटेशन) का प्रतिनिधित्व करने की और संभावना नीचे वर्णित चतुष्कोण हैं।
 ==== चतुष्कोण ====
 {{Main|चतुर्भुज और स्थानिक रोटेशन}}
-यूनिट चतुष्कोण, या छंद, कुछ मायनों में त्रि-आयामी घुमावों का कम से कम सहज ज्ञान युक्त प्रतिनिधित्व है। वे सामान्य दृष्टिकोण के त्रि-आयामी उदाहरण नहीं हैं। वे मैट्रिसेस की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट हैं और अन्य सभी तरीकों की तुलना में काम करना आसान है, इसलिए अक्सर वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में पसंद किया जाता है।{{Citation needed|date=July 2010}}
+यूनिट चतुष्कोण, या छंद, कुछ मायनों में त्रि-आयामी घुमावों का कम से कम सहज ज्ञान युक्त प्रतिनिधित्व है। वे सामान्य दृष्टिकोण के त्रि-आयामी उदाहरण नहीं हैं। वे मैट्रिसेस की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट हैं और अन्य सभी तरीकों की तुलना में काम करना आसान है, इसलिए प्रायः वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में पसंद किया जाता है।
 जहाँ वर्जन (जिसे रोटेशन क्वाटरनियन भी कहा जाता है) में चार वास्तविक संख्याएँ होती हैं, इसलिए क्वाटरनियन का मानक सदिश स्थान 1 होता है। यह बाधा क्वाटरनियन की स्वतंत्रता की डिग्री को तीन तक सीमित करती है, जैसा कि आवश्यक है। मैट्रिसेस और जटिल संख्याओं के विपरीत दो गुणन आवश्यक हैं:
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 जहाँ {{math|'''v'''}} रोटेशन वेक्टर को क्वाटरनियन के रूप में माना जाता है।
-एक छंद द्वारा एक गुणन, या तो बाएँ या दाएँ, अपने आप में एक घूर्णन है, लेकिन चार आयामों में। उत्पत्ति के बारे में किसी भी चार आयामी घुमाव को दो चतुष्कोणीय गुणन के साथ दर्शाया जा सकता है: एक बाएँ और एक दाएँ, दो अलग-अलग इकाई चतुष्कोणों द्वारा।
+छंद द्वारा एक गुणन, या तो बाएँ या दाएँ, अपने आप में घूर्णन है, लेकिन चार आयामों में। उत्पत्ति के बारे में किसी भी चार आयामी घुमाव को दो चतुष्कोणीय गुणन के साथ दर्शाया जा सकता है: एक बाएँ और एक दाएँ, दो अलग-अलग इकाई चतुष्कोणों द्वारा।
 ==== इसके अतिरिक्त ====
-अधिक आम तौर पर, किसी भी आयाम में रोटेशन का समन्वय ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस द्वारा दर्शाया जाता है। एन आयामों में सभी ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस का सेट जो उचित घुमाव (निर्धारक = +1) का वर्णन करता है, साथ में मैट्रिक्स गुणन के संचालन के साथ, विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n) बनाता है।
+अधिक सामान्यतः, किसी भी आयाम में रोटेशन का समन्वय ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस द्वारा दर्शाया जाता है। एन आयामों में सभी ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस का सेट जो उचित घुमाव (निर्धारक = +1) का वर्णन करता है, साथ में मैट्रिक्स गुणन के संचालन के साथ, विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n) बनाता है।
-मेट्रिसेस का उपयोग अक्सर परिवर्तन करने के लिए किया जाता है, खासकर जब बड़ी संख्या में बिंदुओं को रूपांतरित किया जा रहा हो, क्योंकि वे रैखिक ऑपरेटर का प्रत्यक्ष प्रतिनिधित्व करते हैं। उपयोग किए जाने से पहले अन्य तरीकों से दर्शाए गए घुमावों को अक्सर मैट्रिसेस में बदल दिया जाता है। [[ सजातीय निर्देशांक |सजातीय निर्देशांक]] का उपयोग करके एक ही समय में घूर्णन और परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हें बढ़ाया जा सकता है। प्रोजेक्टिव ट्रांसफ़ॉर्मेशन को 4 × 4 मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया गया है। वे रोटेशन मैट्रिसेस नहीं हैं, लेकिन एक परिवर्तन जो यूक्लिडियन रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें ऊपरी बाएं कोने में 3×3 रोटेशन मैट्रिक्स है।
+मेट्रिसेस का उपयोग प्रायः परिवर्तन करने के लिए किया जाता है, खासकर जब बड़ी संख्या में बिंदुओं को रूपांतरित किया जा रहा हो, क्योंकि वे रैखिक ऑपरेटर का प्रत्यक्ष प्रतिनिधित्व करते हैं। उपयोग किए जाने से पहले अन्य तरीकों से दर्शाए गए घुमावों को प्रायः मैट्रिसेस में बदल दिया जाता है। [[ सजातीय निर्देशांक |सजातीय निर्देशांक]] का उपयोग करके एक ही समय में घूर्णन और परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हें बढ़ाया जा सकता है। प्रोजेक्टिव ट्रांसफ़ॉर्मेशन को 4 × 4 मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया गया है। वे रोटेशन मैट्रिसेस नहीं हैं, लेकिन एक परिवर्तन जो यूक्लिडियन रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें ऊपरी बाएं कोने में 3×3 रोटेशन मैट्रिक्स है।
 मैट्रिसेस का मुख्य नुकसान यह है कि वे गणना करने और गणना करने के लिए अधिक महंगे हैं। इसके अलावा गणना में जहां [[ संख्यात्मक स्थिरता |संख्यात्मक]] अस्थिरता एक चिंता का विषय है, मैट्रिक्स इसके लिए अधिक प्रवण हो सकता है, इसलिए ऑर्थोनॉर्मलिटी को बहाल करने के लिए गणना, जो मेट्रिसेस के लिए करना महंगा है, को अधिक बार करने की आवश्यकता है।
 ==== मैट्रिक्स औपचारिकता के अधिक विकल्प ====
-जैसा कि ऊपर दिखाया गया था, तीन [[ बहुरेखीय बीजगणित |बहुरेखीय बीजगणित]] रोटेशन औपचारिकताएं मौजूद हैं: एक U(1) के साथ, या जटिल संख्याएं, दो आयामों के लिए, और दो अन्य छंदों के साथ, या चतुष्कोण, तीन और चार आयामों के लिए।
+जैसा कि ऊपर दिखाया गया था, तीन [[ बहुरेखीय बीजगणित |बहुरेखीय बीजगणित]] रोटेशन औपचारिकताएं मौजूद हैं: U(1) के साथ, या जटिल संख्याएं, दो आयामों के लिए, और दो अन्य छंदों के साथ, या चतुष्कोण, तीन और चार आयामों के लिए।
-सामान्य तौर पर (गैर-यूक्लिडियन मिन्कोव्स्की [[ द्विघात रूप |द्विघात रूप]] से लैस वैक्टर के लिए भी) एक सदिश स्थान के रोटेशन को एक बायवेक्टर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस औपचारिकता का प्रयोग ज्यामितीय बीजगणित में किया जाता है, और अधिक सामान्यतः, लाई समूहों के [[ क्लिफर्ड बीजगणित |क्लिफर्ड बीजगणित]] प्रतिनिधित्व में।
+सामान्य तौर पर (गैर-यूक्लिडियन मिन्कोव्स्की [[ द्विघात रूप |द्विघात रूप]] से लैस वैक्टर के लिए भी) सदिश स्थान के रोटेशन को बायवेक्टर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस औपचारिकता का प्रयोग ज्यामितीय बीजगणित में किया जाता है, और अधिक सामान्यतः, लाई समूहों के [[ क्लिफर्ड बीजगणित |क्लिफर्ड बीजगणित]] प्रतिनिधित्व में।
-एक सकारात्मक-निश्चित यूक्लिडियन द्विघात रूप के मामले में, आइसोमेट्री समूह <math>\mathrm{SO}(n)</math> के दोहरे [[ आवरण समूह |आवरण समूह]] को [[ स्पिन समूह |स्पिन समूह]], स्पिन (n) के रूप में जाना जाता है। क्लिफर्ड बीजगणित के संदर्भ में इसे आसानी से वर्णित किया जा सकता है। यूनिट चतुष्कोण समूह <math>\mathrm{Spin}(3) \cong \mathrm{SU}(2)</math> देते हैं
+धनात्मक-निश्चित यूक्लिडियन द्विघात रूप के मामले में, आइसोमेट्री समूह <math>\mathrm{SO}(n)</math> के दोहरे [[ आवरण समूह |आवरण समूह]] को [[ स्पिन समूह |स्पिन समूह]], स्पिन (n) के रूप में जाना जाता है। क्लिफर्ड बीजगणित के संदर्भ में इसे आसानी से वर्णित किया जा सकता है। यूनिट चतुष्कोण समूह <math>\mathrm{Spin}(3) \cong \mathrm{SU}(2)</math> देते हैं
 === गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में ===
-[[ गोलाकार ज्यामिति ]] में, एक सीधी गति{{clarification needed|What does the term "direct motion" mean precisely?|date=July 2020}} एन-क्षेत्र का|{{mvar|n}}-sphere ([[ अण्डाकार ज्यामिति ]] का एक उदाहरण) के रोटेशन के समान है {{math|(''n'' + 1)}}उत्पत्ति के बारे में आयामी यूक्लिडियन स्थान ({{math|SO(''n'' + 1)}}). विषम के लिए {{mvar|n}}, इनमें से अधिकांश गतियों पर निश्चित बिंदु नहीं होते हैं {{mvar|n}}-क्षेत्र और, सख्ती से बोलना, गोले का घूर्णन नहीं है; ऐसी गतियाँ हैं<!-- all of them? --> कभी-कभी [[ विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड ]] अनुवाद के रूप में संदर्भित किया जाता है।{{citation needed|reason=Which sources call them that?|date=July 2020}} अण्डाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण अंतरिक्ष ज्यामिति में एक निश्चित बिंदु के बारे में घूर्णन यूक्लिडियन से अलग नहीं हैं।{{clarification needed|How are they not different? The definition of rotation given for Euclidean space isn't even defined for those geometries.|date=July 2020}}
+गोलीय ज्यामिति में, {{mvar|n}}-गोला (दीर्घवृत्तीय ज्यामिति का उदाहरण) की एक सीधी गति उत्पत्ति के बारे में {{math|(''n'' + 1)}}-आयामी यूक्लिडियन स्थान के घूर्णन के समान है {{math|SO(''n'' + 1)}}.