रोटेशन (गणित): Difference between revisions

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{{Short description|Motion of a certain space that preserves at least one point}}
{{broader|रोटेशन}}
{{broader|Rotation}}
[[Image:Rotation illustration2.svg|right|thumb|किसी बिंदु के चारों ओर दो आयामों में किसी वस्तु का घूमना {{mvar|O}}.]]गणित में घूर्णन [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] से उत्पन्न एक अवधारणा है। कोई भी घूर्णन एक निश्चित स्थान की [[ गति (ज्यामिति) |गति]] है जो कम से कम एक [[ बिंदु (ज्यामिति) |बिंदु]] को सुरक्षित रखता है। यह वर्णन कर सकता है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित बिंदु के चारों ओर  दृढ़ पिंड (रिजिड बॉडी) की गति, घूर्णन के चिह्न हो सकते हैं (जैसे कोण के चिह्न में): दक्षिणावर्त घूर्णन ऋणात्मक कांतिमान होता है, इसलिए वामावर्त घुमाव का परिमाण धनात्मक होता है।
{{refimprove|date=February 2014}}
[[Image:Rotation illustration2.svg|right|thumb|किसी बिंदु के चारों ओर दो आयामों में किसी वस्तु का घूमना {{mvar|O}}.]]गणित में घूर्णन [[ ज्यामिति ]] में उत्पन्न होने वाली एक अवधारणा है। कोई भी घूर्णन एक निश्चित स्थान (गणित) की [[ गति (ज्यामिति) ]] है जो कम से कम एक [[ बिंदु (ज्यामिति) ]] को संरक्षित करता है। यह वर्णन कर सकता है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित बिंदु के आसपास एक कठोर शरीर की गति। घूर्णन में [[ संकेत (गणित) ]] हो सकता है (कोण # चिह्न के रूप में): दक्षिणावर्त घुमाव एक ऋणात्मक परिमाण है, इसलिए वामावर्त मोड़ में सकारात्मक परिमाण होता है।
एक घूर्णन अन्य प्रकार की गतियों से भिन्न होता है: [[ अनुवाद (ज्यामिति) ]], जिसका कोई निश्चित बिंदु नहीं होता है, और परावर्तन (गणित)|(हाइपरप्लेन) परावर्तन, उनमें से प्रत्येक में एक संपूर्ण होता है {{math|(''n'' − 1)}}एक में निश्चित बिंदुओं का आयामी फ्लैट (ज्यामिति)। {{mvar|n}}-[[ आयाम (गणित) ]] स्थान।


गणितीय रूप से, एक घूर्णन एक मानचित्र (गणित) है। एक निश्चित बिंदु के बारे में सभी घुमाव फ़ंक्शन रचना के तहत एक [[ समूह (गणित) ]] बनाते हैं जिसे रोटेशन समूह (किसी विशेष स्थान का) कहा जाता है। लेकिन [[ यांत्रिकी ]] में और, अधिक आम तौर पर, भौतिकी में, इस अवधारणा को अक्सर एक [[ समन्वय परिवर्तन ]] (महत्वपूर्ण रूप से, एक अलौकिक आधार का परिवर्तन) के रूप में समझा जाता है, क्योंकि किसी शरीर की गति के लिए एक व्युत्क्रम परिवर्तन होता है, जिसे अगर फ्रेम पर लागू किया जाता है शरीर में संदर्भ परिणाम समान निर्देशांक पर होते हैं। उदाहरण के लिए, दो आयामों में अक्षों को स्थिर रखते हुए एक बिंदु के बारे में एक पिंड को [[ दक्षिणावर्त ]] घुमाना अक्षों को उसी बिंदु के बारे में वामावर्त घुमाने के बराबर है, जबकि शरीर को स्थिर रखा जाता है। इन दो प्रकार के घूर्णन को [[ सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन ]] कहा जाता है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/AlibiTransformation.html Weisstein, Eric W. "Alibi Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref><ref>[http://mathworld.wolfram.com/AliasTransformation.html Weisstein, Eric W. "Alias Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref>
घुमाव अन्य प्रकार की गतियों से भिन्न होता है: [[ अनुवाद (ज्यामिति) |अनुवाद]], जिसमें कोई निश्चित बिंदु नहीं होते हैं, और (हाइपरप्लेन) प्रतिबिंब होते हैं, उनमें से प्रत्येक में संपूर्ण {{math|(''n'' − 1)}} एक {{mvar|n}}-आयामी स्पेस में निश्चित बिंदुओं का आयामी समतल होता है।


गणितीय रूप से, घूर्णन एक नक्शा है। निश्चित बिंदु के बारे में सभी घुमाव रचना के तहत [[ समूह (गणित) |समूह]] बनाते हैं जिसे रोटेशन ग्रुप (किसी विशेष स्थान का) कहा जाता है। लेकिन [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में और, अधिक सामान्यतः भौतिकी में, इस अवधारणा को प्रायः [[ समन्वय परिवर्तन |समन्वय परिवर्तन]] (महत्वपूर्ण रूप से, अलौकिक आधार का परिवर्तन) के रूप में समझा जाता है, क्योंकि पिंड की किसी भी गति के लिए, व्युत्क्रम परिवर्तन होता है, जिसे अगर फ्रेम पर लागू किया जाता है पिंड में संदर्भ परिणामों के समान निर्देशांक पर होने के कारण। उदाहरण के लिए, दो आयामों में पिंड को बिंदु के बारे में [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] घुमाना और अक्षों को स्थिर रखना अक्षों को उसी बिंदु के बारे में वामावर्त घुमाने के बराबर है, जबकि पिंड स्थिर रहता है। इन दो प्रकार के घूर्णन को [[ सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन |सक्रिय और निष्क्रिय]] रूपांतरण कहा जाता है।<ref>[http://mathworld.wolfram.com/AlibiTransformation.html Weisstein, Eric W. "Alibi Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref><ref>[http://mathworld.wolfram.com/AliasTransformation.html Weisstein, Eric W. "Alias Transformation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]</ref>


== संबंधित परिभाषाएं और शब्दावली ==
== संबंधित परिभाषाएं और शब्दावली ==
रोटेशन ग्रुप [[ झूठ समूह ]] एक्शन (गणित) # फिक्स्ड पॉइंट्स और स्टेबलाइजर सबग्रुप्स के बारे में रोटेशन का एक झूठा समूह है। इस (सामान्य) निश्चित बिंदु को रोटेशन का [[ केंद्र (ज्यामिति) ]] कहा जाता है और इसे आमतौर पर मूल (गणित) के साथ पहचाना जाता है। रोटेशन ग्रुप एक ग्रुप एक्शन (गणित) # फिक्स्ड पॉइंट्स और स्टेबलाइजर सबग्रुप्स (ओरिएंटेशन-प्रिजर्विंग) मोशन (ज्यामिति) के एक व्यापक समूह में है।
रोटेशन ग्रुप निश्चित बिंदु के बारे में रोटेशन का लाई समूह है। इस (सामान्य) निश्चित बिंदु को रोटेशन का [[ केंद्र (ज्यामिति) |केंद्र]] कहा जाता है और इसे सामान्यतः उत्पत्ति के साथ पहचाना जाता है। रोटेशन समूह (अभिविन्यास-संरक्षण) गतियों के व्यापक समूह में एक बिंदु स्टेबलाइजर है।


किसी विशेष घुमाव के लिए:
विशेष रोटेशन के लिए:
* रोटेशन की धुरी अपने निश्चित बिंदुओं की एक [[ रेखा (ज्यामिति) ]] है। वे केवल में मौजूद हैं {{math|''n'' > 2}}.
* [[ रोटेशन का विमान ]] एक विमान (ज्यामिति) है जो समूह क्रिया (गणित) # रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय सबसेट है। अक्ष के विपरीत, इसके बिंदु स्वयं स्थिर नहीं होते हैं। धुरी (जहां मौजूद है) और घूर्णन का तल [[ ओर्थोगोनल ]] हैं।<!-- I hope not only in Euclidean and not only in 3D? --Incnis Mrsi -->
रोटेशन का प्रतिनिधित्व एक विशेष औपचारिकता है, या तो बीजगणितीय या ज्यामितीय, जिसका उपयोग रोटेशन मानचित्र को पैरामीट्रिज करने के लिए किया जाता है। यह अर्थ किसी तरह [[ समूह प्रतिनिधित्व ]] के विपरीत है।


[[ affine space ]]|(affine) बिंदुओं के स्थान और संबंधित वेक्टर रिक्त स्थान के घूर्णन हमेशा स्पष्ट रूप से अलग नहीं होते हैं। पूर्व को कभी-कभी एफाइन रोटेशन के रूप में संदर्भित किया जाता है (हालांकि यह शब्द भ्रामक है), जबकि बाद वाले वेक्टर रोटेशन हैं। विवरण के लिए नीचे दिया गया लेख देखें।
* रोटेशन की धुरी इसके निश्चित बिंदुओं की एक [[ रेखा (ज्यामिति) |रेखा]] है। वे केवल ''n> 2'' में मौजूद हैं।
* [[ रोटेशन का विमान |रोटेशन (घूर्णन) का तल]] ऐसा तल है जो रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है। अक्ष के विपरीत, इसके बिंदु स्वयं स्थिर नहीं होते हैं। धुरी (जहां मौजूद है) और घूर्णन का तल [[ ओर्थोगोनल |ओर्थोगोनल]] हैं।
 
रोटेशन का प्रतिनिधित्व एक विशेष औपचारिकता है, या तो बीजगणितीय या ज्यामितीय, जिसका उपयोग रोटेशन मानचित्र को पैरामीट्रिज करने के लिए किया जाता है। यह अर्थ किसी तरह समूह सिद्धांत के अर्थ के विपरीत है।
 
बिंदुओं और संबंधित सदिश स्थानों के (एफ़िन) रिक्त स्थान के घुमाव हमेशा स्पष्ट रूप से अलग नहीं होते हैं। पूर्व को कभी-कभी एफाइन रोटेशन के रूप में संदर्भित किया जाता है (हालांकि यह शब्द भ्रामक है), जबकि बाद वाले वेक्टर रोटेशन हैं। विवरण के लिए नीचे दिया गया लेख देखें।


== परिभाषाएं और प्रतिनिधित्व ==
== परिभाषाएं और प्रतिनिधित्व ==


=== यूक्लिडियन ज्यामिति में ===<!-- caution: an internal #-link -->
=== यूक्लिडियन ज्यामिति में ===
{{further|Euclidean space #Rotations and reflections|Special orthogonal group}}
{{further|यूक्लिडियन स्पेस रोटेशन और रिफ्लेक्शन|विशेष लंबकोणीय समूह}}
[[Image:Rotation4.svg|right|thumb|एक बिंदु के चारों ओर एक विमान के घूमने के बाद एक अलग बिंदु के चारों ओर एक और रोटेशन के परिणामस्वरूप कुल गति होती है जो या तो एक रोटेशन है (जैसा कि इस चित्र में है), या एक [[ अनुवाद (गणित) ]]।]][[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष ]] की गति इसकी [[ आइसोमेट्री ]] के समान होती है: यह परिवर्तन के बाद किसी भी दो बिंदुओं के बीच [[ यूक्लिडियन दूरी ]] को अपरिवर्तित छोड़ देता है। लेकिन एक (उचित) रोटेशन को भी [[ अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) ]] को संरक्षित करना होता है। अनुचित रोटेशन शब्द आइसोमेट्री को संदर्भित करता है जो ओरिएंटेशन को उल्टा (फ्लिप) करता है। [[ समूह सिद्धांत ]] की भाषा में भेद को [[ यूक्लिडियन समूह ]] में प्रत्यक्ष बनाम अप्रत्यक्ष समरूपता के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्व में [[ पहचान घटक ]] शामिल होता है। किसी भी प्रत्यक्ष यूक्लिडियन गति को निश्चित बिंदु और अनुवाद के बारे में घूर्णन की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है।
[[Image:Rotation4.svg|right|thumb|एक बिंदु के चारों ओर एक विमान के घूमने के बाद एक अलग बिंदु के चारों ओर एक और रोटेशन के परिणामस्वरूप कुल गति होती है जो या तो एक रोटेशन है (जैसा कि इस चित्र में है), या एक [[ अनुवाद (गणित) ]]।]][[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन]] स्पेस की गति इसकी आइसोमेट्री के समान है: यह परिवर्तन के बाद अपरिवर्तित किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को छोड़ देता है। लेकिन एक (उचित) रोटेशन को भी [[ अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) |अभिविन्यास]] संरचना को संरक्षित करना होता है। "अनुचित रोटेशन" शब्द आइसोमेट्रीज़ को संदर्भित करता है जो अभिविन्यास को उल्टा (फ्लिप) करता है। समूह सिद्धांत की भाषा में, भेद को यूक्लिडियन [[ समूह सिद्धांत |समूह]] में प्रत्यक्ष बनाम अप्रत्यक्ष समरूपता के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्व में [[ पहचान घटक |पहचान घटक]] सम्मिलित होता है। किसी भी प्रत्यक्ष यूक्लिडियन गति को निश्चित बिंदु और अनुवाद के बारे में घूर्णन की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है।
 
आयाम में असतहीय रोटेशन नहीं होते हैं। दो आयामों में, मूल के बारे में एक रोटेशन निर्दिष्ट करने के लिए केवल कोण की आवश्यकता होती है - रोटेशन का कोण जो चक्र समूह के तत्व को निर्दिष्ट करता है (जिसे U(1) भी कहा जाता है)। रोटेशन  मूल के बारे में कोण {{mvar|θ}} के माध्यम से किसी वस्तु को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाने के लिए कार्य कर रहा है; जानकारी के लिए नीचे देखें। घुमावों की संरचना उनके कोणों के सापेक्ष 1 मोड़ का योग करती है, जिसका अर्थ है कि सभी द्वि-आयामी घुमाव एक ही बिंदु के बारे में हैं। विभिन्न बिंदुओं के बारे में घुमाव, सामान्य तौर पर, आवागमन नहीं करते। कोई भी द्वि-आयामी प्रत्यक्ष गति या तो अनुवाद है या घूर्णन है; विवरण के लिए [[ यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री |यूक्लिडियन]] समतल सममिति देखें।
 
[[Image:Praezession.svg|thumb|170px|left|पृथ्वी का यूलर घूर्णन। आंतरिक (हरा), अग्रगमन (नीला) और पोषण (लाल)]]त्रि-आयामी स्पेस में घूर्णन कई महत्वपूर्ण तरीकों से दो आयामों में भिन्न होता है। तीन आयामों में घुमाव सामान्यतः कम्यूटिव ([[ विनिमेय |विनिमेय]]) नहीं होते हैं, इसलिए जिस क्रम में घुमाव लागू होते हैं वह उसी बिंदु के बारे में भी महत्वपूर्ण होता है। इसके अलावा, द्वि-आयामी मामले के विपरीत, त्रि-आयामी प्रत्यक्ष गति, [[ सामान्य स्थिति |सामान्य स्थिति]] में, घूर्णन नहीं बल्कि स्क्रू ऑपरेशन है। उत्पत्ति के बारे में घूर्णन में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है (विवरण के लिए तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकताएं देखें), आयामों की संख्या के समान।


एक आयाम में कोई गैर-[[ तुच्छता (गणित) ]] घुमाव नहीं हैं। द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, मूल (गणित) के बारे में एक रोटेशन निर्दिष्ट करने के लिए केवल एक [[ कोण ]] की आवश्यकता होती है - रोटेशन का कोण जो सर्कल समूह के एक तत्व को निर्दिष्ट करता है (जिसे के रूप में भी जाना जाता है) {{math|U(1)}}). घूर्णन किसी वस्तु को एक कोण से [[ वामावर्त ]] घुमाने के लिए कार्य कर रहा है {{mvar|θ}} उत्पत्ति (गणित) के बारे में; विवरण के लिए #दो आयाम देखें। घुमावों की संरचना उनके कोणों को [[ मॉड्यूलर अंकगणित ]] 1 [[ मोड़ (ज्यामिति) ]] का [[ योग ]] करती है, जिसका अर्थ है कि एक ही बिंदु [[ एबेलियन समूह ]] के बारे में सभी द्वि-आयामी घुमाव। विभिन्न बिंदुओं के बारे में घुमाव, सामान्य तौर पर, यात्रा नहीं करते हैं। कोई भी द्वि-आयामी प्रत्यक्ष गति या तो एक अनुवाद या घूर्णन है; विवरण के लिए [[ यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री ]] देखें।
त्रि-आयामी रोटेशन को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। सबसे सामान्य विधियाँ हैं:
* [[ यूलर कोण |यूलर कोण]] (बाईं ओर चित्रित)। उत्पत्ति के बारे में किसी भी घुमाव को अन्य दो स्थिरांकों को छोड़ते समय यूलर कोणों में से एक को बदलकर प्राप्त गति के रूप में परिभाषित तीन घुमावों की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है। वे रोटेशन सिस्टम के मिश्रित अक्षों का निर्माण करते हैं क्योंकि कोणों को अलग-अलग संदर्भ फ़्रेमों के मिश्रण के संबंध में मापा जाता है, बजाय एक फ्रेम के जो पूरी तरह से बाहरी या विशुद्ध रूप से आंतरिक है। विशेष रूप से, पहला कोण बाहरी अक्ष z के चारों ओर [[ नोड्स की रेखा |नोड्स]] की रेखा को घुमाता है, दूसरा नोड्स की रेखा के चारों ओर घूमता है और तीसरा  पिंड पिंड में तय की गई धुरी के चारों ओर एक आंतरिक घुमाव (स्पिन) होता है जो गति करता है। यूलर कोणों को सामान्यतः α, β, γ, या φ, θ, ψ के रूप में दर्शाया जाता है। यह प्रस्तुति केवल निश्चित बिंदु के बारे में घुमाव के लिए सुविधाजनक है।
[[Image:Euler AxisAngle.png|thumb|right|104px]]


{{anchor|Euler angles}}[[Image:Praezession.svg|thumb|170px|left|पृथ्वी का यूलर घूर्णन। आंतरिक (हरा), अग्रगमन (नीला) और पोषण (लाल)]]त्रि-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन कई महत्वपूर्ण तरीकों से दो आयामों में भिन्न होता है। तीन आयामों में घुमाव आम तौर पर [[ विनिमेय ]] नहीं होते हैं, इसलिए जिस क्रम में घुमाव लागू होते हैं वह उसी बिंदु के बारे में भी महत्वपूर्ण होता है। इसके अलावा, द्वि-आयामी मामले के विपरीत, एक त्रि-आयामी प्रत्यक्ष गति, [[ सामान्य स्थिति ]] में, घूर्णन नहीं बल्कि एक [[ पेंच अक्ष ]] है। उत्पत्ति के बारे में घूर्णन में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है (विवरण के लिए तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकताएं देखें), आयामों की संख्या के समान।
* अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व (दाईं ओर चित्रित) अक्ष के साथ एक कोण निर्दिष्ट करता है जिसके बारे में रोटेशन होता है। इसे आसानी से देखा जा सकता है। इसका प्रतिनिधित्व करने के दो रूप हैं:


त्रि-आयामी रोटेशन को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। सबसे सामान्य तरीके हैं:
*एक जोड़ी के रूप में कोण और अक्ष के लिए एक [[ इकाई वेक्टर |इकाई वेक्टर]] से मिलकर, या
* [[ यूलर कोण ]] (बाईं ओर चित्रित)। उत्पत्ति के बारे में किसी भी घुमाव को अन्य दो स्थिरांक को छोड़ते हुए एक यूलर कोण को बदलकर प्राप्त गति के रूप में परिभाषित तीन घुमावों की कार्य संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है। वे घूर्णन प्रणाली के मिश्रित अक्षों का निर्माण करते हैं क्योंकि कोणों को अलग-अलग संदर्भ फ़्रेमों के मिश्रण के संबंध में मापा जाता है, बजाय एक एकल फ्रेम के जो विशुद्ध रूप से बाहरी या विशुद्ध रूप से आंतरिक है। विशेष रूप से, पहला कोण बाहरी अक्ष '' z '' के चारों ओर [[ नोड्स की रेखा ]] को घुमाता है, दूसरा नोड्स की रेखा के चारों ओर घूमता है और तीसरा शरीर में स्थिर धुरी के चारों ओर एक आंतरिक घुमाव (एक स्पिन) होता है जो चलता है। यूलर कोणों को आमतौर पर Alpha|''α'', Beta|''β'', Gamma|''γ'', या Phi|''φ'', Theta|''θ'', Psi (पत्र )|''ψ''. यह प्रस्तुति केवल एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमने के लिए सुविधाजनक है।
** इस इकाई वेक्टर के साथ कोण को गुणा करके प्राप्त [[ यूक्लिडियन वेक्टर |यूक्लिडियन वेक्टर]] के रूप में, जिसे रोटेशन वेक्टर कहा जाता है (हालांकि, सख्ती से बोलना, यह स्यूडोवेक्टर है)।
[[Image:Euler AxisAngle.png|thumb|right|104px]]* अक्ष-कोण निरूपण (दाईं ओर चित्रित) अक्ष के साथ एक कोण निर्दिष्ट करता है जिसके चारों ओर घूर्णन होता है। इसे आसानी से देखा जा सकता है। इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए दो प्रकार हैं:
**मैट्रिसेस, वर्सर्स (चतुर्भुज), और अन्य बीजगणितीय चीजें: विवरण के लिए अनुभाग रैखिक और बहुरेखीय बीजगणित औपचारिकता देखें।
** अक्ष के लिए कोण और एक [[ इकाई वेक्टर ]] वाली जोड़ी के रूप में, या
** इस इकाई वेक्टर के साथ कोण को गुणा करके प्राप्त एक [[ यूक्लिडियन वेक्टर ]] के रूप में, जिसे रोटेशन वेक्टर कहा जाता है (हालांकि, सख्ती से बोलना, यह एक [[ pseudovector ]] है)।
* मैट्रिसेस, वर्सर्स (चतुर्भुज), और अन्य [[ बीजगणित ]]ीय चीजें: विवरण के लिए #Linear और Multilinear बीजगणित औपचारिकता अनुभाग देखें।


[[File:8-cell.gif|thumb|चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घुमाए जा रहे [[ tesseract ]] के तीन-आयामों पर एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण।]]चार-आयामी अंतरिक्ष में एक सामान्य रोटेशन में केवल एक निश्चित बिंदु, रोटेशन का केंद्र और रोटेशन की कोई धुरी नहीं होती है; विवरण के लिए [[ 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन ]] देखें। इसके बजाय रोटेशन में रोटेशन के दो पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल विमान होते हैं, जिनमें से प्रत्येक इस अर्थ में तय होता है कि प्रत्येक विमान में बिंदु विमानों के भीतर रहते हैं। रोटेशन में रोटेशन के दो कोण होते हैं, रोटेशन के प्रत्येक विमान के लिए एक, जिसके माध्यम से विमानों में बिंदु घूमते हैं। अगर ये हैं {{math|''ω''<sub>1</sub>}} और {{math|''ω''<sub>2</sub>}} तब सभी बिंदु जो समतल में नहीं हैं, बीच के कोण से घूमते हैं {{math|''ω''<sub>1</sub>}} और {{math|''ω''<sub>2</sub>}}. एक निश्चित बिंदु के चारों ओर चार आयामों में घूमने की स्वतंत्रता की छह डिग्री होती है। सामान्य स्थिति में एक चार-आयामी प्रत्यक्ष गति निश्चित बिंदु के बारे में एक रोटेशन है (जैसा कि सभी यूक्लिडियन आयामों में भी है), लेकिन पेंच संचालन भी मौजूद हैं।
[[File:8-cell.gif|thumb|चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घुमाए जा रहे [[ tesseract |टेसरैक्ट]] के तीन-आयामों पर एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण।]]चार आयामों में एक सामान्य घुमाव में केवल निश्चित बिंदु होता है, रोटेशन का केंद्र और रोटेशन की कोई धुरी नहीं होती है; विवरण के लिए [[ 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन |4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन]] देखें। इसके बजाय, रोटेशन में रोटेशन के दो पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल विमान होते हैं, जिनमें से प्रत्येक इस अर्थ में तय होता है कि प्रत्येक विमान में बिंदु विमानों के भीतर रहते हैं। रोटेशन में रोटेशन के दो कोण होते हैं, रोटेशन के प्रत्येक विमान के लिए एक, जिसके माध्यम से विमानों में बिंदु घूमते हैं। यदि ये ω1 और ω2 हैं तो वे सभी बिंदु जो समतल में नहीं हैं, {{math|''ω''<sub>1</sub>}} और {{math|''ω''<sub>2</sub>}} के बीच के कोण से घूमते हैं। एक निश्चित बिंदु के चारों ओर चार आयामों में घूमने की स्वतंत्रता की छह डिग्री होती है। सामान्य स्थिति में चार-आयामी प्रत्यक्ष गति निश्चित बिंदु के बारे में एक रोटेशन है (जैसा कि सभी यूक्लिडियन आयामों में भी है), लेकिन स्क्रू ऑपरेशन भी मौजूद हैं।


=== रैखिक और बहुरेखीय बीजगणित औपचारिकता ===<!-- caution: an internal #-link -->
=== रेखीय और बहुरेखीय बीजगणितीय औपचारिकता ===
{{main|Rotation matrix}}
{{main|रोटेशन मैट्रिक्स}}
जब कोई यूक्लिडियन अंतरिक्ष की गतियों पर विचार करता है जो मूल (गणित) को संरक्षित करता है, बिंदु-वेक्टर भेद, शुद्ध गणित में महत्वपूर्ण, मिटाया जा सकता है क्योंकि अंक और स्थिति (वेक्टर) के बीच एक कैनोनिकल एक-से-एक पत्राचार होता है। [[ यूक्लिडियन ज्यामिति ]] के अलावा अन्य ज्यामिति के लिए भी यही सच है, लेकिन जिसका स्थान एक पूरक [[ गणितीय संरचना ]] के साथ एक सजातीय स्थान है; # सापेक्षता में देखें। वैकल्पिक रूप से, घुमावों के वेक्टर विवरण को अनुवाद के साथ उनकी रचना [[ तक ]] ज्यामितीय घुमावों के पैरामीट्रिजेशन के रूप में समझा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक सदिश घुमाव अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के बारे में कई [[ तुल्यता संबंध ]] घुमाव प्रस्तुत करता है।
जब कोई यूक्लिडियन स्पेस की गतियों पर विचार करता है जो उत्पत्ति को संरक्षित करता है, शुद्ध गणित में महत्वपूर्ण बिंदुओं और वैक्टरों के बीच का अंतर मिटाया जा सकता है क्योंकि बिंदुओं और स्थिति वैक्टरों के बीच एक कैनोनिकल एक-से-एक सामंजस्य होता है। [[ यूक्लिडियन ज्यामिति |यूक्लिडियन]] के अलावा अन्य ज्यामिति के लिए भी यही सच है, लेकिन जिसका स्थान पूरक [[ गणितीय संरचना |संरचना]] के साथ सजातीय स्थान है; नीचे उदाहरण देखें। वैकल्पिक रूप से, घुमावों के वेक्टर विवरण को अनुवाद के साथ उनकी रचना तक ज्यामितीय घुमावों के पैरामीट्रिजेशन के रूप में समझा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सदिश घूर्णन अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के बारे में कई समतुल्य घुमाव प्रस्तुत करता है।


एक गति जो उत्पत्ति को संरक्षित करती है वह वैक्टर पर एक [[ रैखिक ऑपरेटर ]] के समान होती है जो समान ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करती है लेकिन वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। यूक्लिडियन वैक्टर के लिए, यह अभिव्यक्ति उनका परिमाण ([[ यूक्लिडियन मानदंड ]]) है। [[ वास्तविक समन्वय स्थान ]] में, ऐसे संकारक को व्यक्त किया जाता है {{math|''n'' × ''n''}} [[ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स ]] जिसे [[ कॉलम वेक्टर ]] से गुणा किया जाता है।
गति जो मूल को संरक्षित करती है वह वैक्टर पर एक [[ रैखिक ऑपरेटर |रैखिक ऑपरेटर]] के समान होती है जो एक ही ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करती है लेकिन वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। यूक्लिडियन सदिशों के लिए, यह व्यंजक उनका परिमाण ([[ यूक्लिडियन मानदंड |यूक्लिडियन मानदंड]]) है। घटकों में, ऐसे ऑपरेटर ने {{math|''n'' × ''n''}} [[ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स |ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स]] के साथ व्यक्त किया है जो [[ कॉलम वेक्टर |कॉलम वेक्टर]] से गुणा किया जाता है।


जैसा कि #यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक (उचित) रोटेशन सदिश स्थान के अभिविन्यास के संरक्षण में एक मनमाना निश्चित-बिंदु गति से भिन्न होता है। इस प्रकार, रोटेशन ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक 1 होना चाहिए। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के निर्धारक के लिए एकमात्र अन्य संभावना है {{num|−1}}, और इस परिणाम का अर्थ है कि परिवर्तन एक प्रतिबिंब (गणित) है, एक [[ बिंदु प्रतिबिंब ]] ([[ विषम संख्या ]] के लिए {{mvar|n}}), या किसी अन्य प्रकार का अनुचित रोटेशन। सभी उचित घुमावों के मैट्रिसेस [[ विशेष ऑर्थोगोनल समूह ]] बनाते हैं।
जैसा कि पहले ही कहा गया था, सदिश स्थान के अभिविन्यास के संरक्षण में एक (उचित) रोटेशन एक मनमाना निश्चित बिंदु गति से अलग है। इस प्रकार, रोटेशन ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक 1 होना चाहिए। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के निर्धारक के लिए एकमात्र अन्य संभावना {{num|−1}} है, और इस परिणाम का मतलब है कि परिवर्तन एक हाइपरप्लेन प्रतिबिंब है, एक [[ बिंदु प्रतिबिंब |बिंदु प्रतिबिंब]] ([[ विषम संख्या |विषम]] {{mvar|n}} के लिए), या अन्य एक प्रकार का अनुचित घुमाव। सभी उचित घुमावों के आव्यूह विशेष लांबिक समूह बनाते हैं।


==== दो आयाम ====<!-- caution: an internal #-link -->
==== दो आयाम ====
{{main|Rotations and reflections in two dimensions}}
{{main|रोटेशन और प्रतिबिंब दो आयामों में}}
दो आयामों में, एक मैट्रिक्स, बिंदु का उपयोग करके घूर्णन करने के लिए {{math|(''x'', ''y'')}} वामावर्त घुमाने के लिए एक कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है, फिर कोण से गणना की गई [[ रोटेशन मैट्रिक्स ]] से गुणा किया जाता है {{math|''θ''}}:
दो आयामों में, एक मैट्रिक्स, बिंदु का उपयोग करके घूर्णन करने के लिए {{math|(''x'', ''y'')}} वामावर्त घुमाने के लिए कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है, फिर कोण से गणना की गई [[ रोटेशन मैट्रिक्स |रोटेशन मैट्रिक्स]] से गुणा किया जाता है {{math|''θ''}}:


:<math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
:<math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =
Line 58: Line 61:
y'&=x\sin\theta+y\cos\theta.
y'&=x\sin\theta+y\cos\theta.
\end{align}</math>
\end{align}</math>
वैक्टर <math> \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} </math> और <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} </math> एक ही परिमाण है और एक कोण से अलग हो गए हैं {{mvar|θ}} जैसा सोचा था।
वैक्टर <math> \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} </math> और <math> \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} </math> एक ही परिमाण है और कोण से अलग हो गए हैं {{mvar|θ}} जैसा सोचा था।


{{anchor|Complex numbers}}
पर अंक {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} समतल को सम्मिश्र संख्या के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है: बिंदु {{math|(''x'', ''y'')}} समतल में सम्मिश्र संख्या द्वारा दर्शाया जाता है
पर अंक {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} समतल को सम्मिश्र संख्या के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है: बिंदु {{math|(''x'', ''y'')}} समतल में सम्मिश्र संख्या द्वारा दर्शाया जाता है


:<math> z = x + iy </math>
:<math> z = x + iy </math>
इसे एक कोण से घुमाया जा सकता है {{mvar|θ}} से गुणा करके  {{math|''e''<sup>''iθ''</sup>}}, फिर यूलर के सूत्र का उपयोग करके उत्पाद का विस्तार इस प्रकार करें:
इसे कोण से घुमाया जा सकता है {{mvar|θ}} से गुणा करके  {{math|''e''<sup>''iθ''</sup>}}, फिर यूलर के सूत्र का उपयोग करके उत्पाद का विस्तार इस प्रकार करें:


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
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\end{align}</math>
\end{align}</math>
चूँकि सम्मिश्र संख्याएँ क्रमविनिमेय वलय बनाती हैं, दो आयामों में सदिश घुमाव क्रमविनिमेय होते हैं, उच्च आयामों के विपरीत। उनके पास स्वतंत्रता (यांत्रिकी) की केवल एक डिग्री है, क्योंकि इस तरह के घुमाव पूरी तरह से रोटेशन के कोण से निर्धारित होते हैं।<ref>Lounesto 2001, p. 30.</ref>
चूँकि सम्मिश्र संख्याएँ क्रमविनिमेय वलय बनाती हैं, दो आयामों में सदिश घुमाव क्रमविनिमेय होते हैं, उच्च आयामों के विपरीत। उनके पास स्वतंत्रता (यांत्रिकी) की केवल एक डिग्री है, क्योंकि इस तरह के घुमाव पूरी तरह से रोटेशन के कोण से निर्धारित होते हैं।<ref>Lounesto 2001, p. 30.</ref>
==== तीन आयाम ====
==== तीन आयाम ====
{{main|Rotation formalisms in three dimensions}}
{{main|तीन आयामों में रोटेशन औपचारिकताएं}}
{{see also|Three-dimensional rotation operator}}
{{see also|त्रि-आयामी रोटेशन ऑपरेटर}}
दो आयामों की तरह, एक बिंदु को घुमाने के लिए एक मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} एक स्तर तक {{math|(''x′'', ''y′'', ''z′'')}}. प्रयुक्त मैट्रिक्स एक है {{gaps|3|×|3}} आव्यूह,
दो आयामों की तरह, एक बिंदु को घुमाने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} एक स्तर तक {{math|(''x′'', ''y′'', ''z′'')}}. प्रयुक्त मैट्रिक्स है {{gaps|3|×|3}} आव्यूह,


: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i  \end{pmatrix}</math>
: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i  \end{pmatrix}</math>
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  \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} </math>
  \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} </math>
आव्यूह गुणन की संक्रिया सहित सभी उपयुक्त आव्यूहों का समुच्चय [[ घूर्णन समूह SO(3) ]] है। साँचा {{math|'''A'''}} त्रि-आयामी विशेष ऑर्थोगोनल समूह का सदस्य है, {{math|SO(3)}}, यानी यह निर्धारक 1 के साथ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। यह एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है कि इसकी पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का एक सेट हैं (इसलिए वे एक ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं) जैसा कि इसके कॉलम हैं, यह स्पॉट करना और जांचना आसान बनाता है एक मैट्रिक्स एक वैध रोटेशन मैट्रिक्स है।
आव्यूह (मैट्रिक्स) गुणन की संक्रिया सहित सभी उपयुक्त आव्यूहों का समुच्चय [[ घूर्णन समूह SO(3) ]] है। साँचा {{math|'''A'''}} त्रि-आयामी विशेष ऑर्थोगोनल समूह का सदस्य है, {{math|SO(3)}}, यानी यह निर्धारक 1 के साथ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। यह ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है कि इसकी पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का सेट हैं (इसलिए वे ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं) जैसा कि इसके कॉलम हैं, यह स्पॉट करना और जांचना आसान बनाता है मैट्रिक्स एक वैध रोटेशन मैट्रिक्स है।