स्पिन (भौतिकी): Difference between revisions

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इसके कुछ गम्भीर परिणाम होते हैं:
इसके कुछ गम्भीर परिणाम होते हैं:
* क्वार्क और [[ लेप्टॉन ]] (इलेक्ट्रॉन और [[ न्युट्रीनो ]] सहित), जो उत्कृष्ट रूप से पदार्थ के रूप में जाना जाता है, सभी स्पिन- {{sfrac|1|2}} के साथ फ़र्मियन हैं। सामान्य विचार है कि "पदार्थ स्थान लेता है" वास्तव में पाउली अपवर्जन सिद्धांत से आता है जो इन कणों पर एक ही क्वांटम स्थिति में होने से रोकने के लिए इन कणों पर कार्य करता है। आगे के संघनन के लिए इलेक्ट्रॉनों को समान ऊर्जा अवस्थाओं पर अधिग्रहित करने की आवश्यकता होगी, और इसलिए एक प्रकार का [[ दबाव ]] (कभी-कभी इलेक्ट्रॉनों के अध: पतन दबाव के रूप में जाना जाता है) फर्मों को अत्यधिक करीब होने का विरोध करने के लिए कार्य करता है। अन्य स्पिन के साथ प्रारंभिक फर्मन ({{sfrac|3|2}}, {{sfrac|5|2}}, आदि) सम्मिलित नहीं हैं।
* क्वार्क और [[ लेप्टॉन ]] (इलेक्ट्रॉन और [[ न्युट्रीनो ]] सहित), जो उत्कृष्ट रूप से पदार्थ के रूप में जाना जाता है, सभी स्पिन- {{sfrac|1|2}} के साथ फ़र्मियन हैं। सामान्य विचार है कि "पदार्थ स्थान लेता है" वास्तव में पाउली अपवर्जन सिद्धांत से आता है जो इन कणों पर एक ही क्वांटम स्थिति में होने से रोकने के लिए इन कणों पर कार्य करता है। आगे के संघनन के लिए इलेक्ट्रॉनों को समान ऊर्जा अवस्थाओं पर अधिग्रहित करने की आवश्यकता होगी, और इसलिए एक प्रकार का [[ दबाव ]] (कभी-कभी इलेक्ट्रॉनों के अध: पतन दबाव के रूप में जाना जाता है) फर्मों को अत्यधिक करीब होने का विरोध करने के लिए कार्य करता है। अन्य स्पिन के साथ प्रारंभिक फर्मन ({{sfrac|3|2}}, {{sfrac|5|2}}, आदि) सम्मिलित नहीं हैं।
* प्राथमिक कण जिन्हें [[ बल वाहक ]] माना जाता है, वे सभी स्पिन 1 वाले बोसोन हैं। इनमें फोटॉन सम्मिलित है, जो [[ विद्युत चुम्बकीय बल ]], ग्लूऑन ([[ मजबूत बल ]]), और डब्ल्यू और जेड बोसॉन ([[ कमजोर बल ]]) को वहन करता है। बोसोन की एक ही क्वांटम स्थिति पर अधिग्रहित करने की क्षमता का उपयोग [[ लेज़र ]] में किया जाता है, जो एक ही क्वांटम संख्या (समान दिशा और आवृत्ति) वाले कई फोटॉन को संरेखित करता है, हीलियम -4 परमाणुओं से उत्पन्न सुपरफ्लुइड [[ superfluid |(अतितरल)]]  [[ तरल हीलियम | द्रव हीलियम]]  बोसोन और [[ अतिचालकता ]] है, जहां इलेक्ट्रॉनों के युग्म (जो व्यक्तिगत रूप से फ़र्मियन हैं) एकल मिश्रित बोसोन के रूप में कार्य करते हैं। अन्य प्रचक्रणों (0, 2, 3, आदि) के साथ प्रारंभिक बोसोन ऐतिहासिक रूप से विद्यमान नहीं थे, हालांकि उन्हें काफी सैद्धांतिक समाधान प्राप्त हुआ है और वे अपने संबंधित मुख्यधारा के सिद्धांतों के अंदर अच्छी तरह से स्थापित हैं। विशेष रूप से, सिद्धांतकारों ने स्पिन 2 के साथ [[ गुरुत्वाकर्षण | गुरुत्वाकर्षण]] (कुछ क्वांटम गुरुत्व सिद्धांतों द्वारा विद्यमान  होने की भविष्यवाणी की है) और स्पिन 0 के साथ [[ हिग्स बॉसन | हिग्स बॉसन]] ( विद्युत्-दुर्बल समरूपता को विभंजन की व्याख्या) का प्रस्ताव दिया है। 2013 से, स्पिन 0 के साथ सम्मिलित हिग्स बोसोन को सिद्ध माना गया है।<ref>[http://home.cern/topics/higgs-boson Information about Higgs Boson] in [[CERN]]'s official website.</ref> यह प्रकृति में सम्मिलित पहला [[अदिश प्राथमिक कण]] (स्पिन 0) है।
* प्राथमिक कण जिन्हें [[ बल वाहक ]] माना जाता है, वे सभी स्पिन 1 वाले बोसोन हैं। इनमें फोटॉन सम्मिलित है, जो [[ विद्युत चुम्बकीय बल ]], ग्लूऑन ([[ मजबूत बल ]]), और [[W और Z बोसॉन]] ([[ कमजोर बल ]]) को वहन करता है। बोसोन की एक ही क्वांटम स्थिति पर अधिग्रहित करने की क्षमता का उपयोग [[ लेज़र ]] में किया जाता है, जो एक ही क्वांटम संख्या (समान दिशा और आवृत्ति) वाले कई फोटॉन को संरेखित करता है, हीलियम -4 परमाणुओं से उत्पन्न सुपरफ्लुइड [[ superfluid |(अतितरल)]]  [[ तरल हीलियम | द्रव हीलियम]]  बोसोन और [[ अतिचालकता ]] है, जहां इलेक्ट्रॉनों के युग्म (जो व्यक्तिगत रूप से फ़र्मियन हैं) एकल मिश्रित बोसोन के रूप में कार्य करते हैं। अन्य प्रचक्रणों (0, 2, 3, आदि) के साथ प्रारंभिक बोसोन ऐतिहासिक रूप से विद्यमान नहीं थे, हालांकि उन्हें काफी सैद्धांतिक समाधान प्राप्त हुआ है और वे अपने संबंधित मुख्यधारा के सिद्धांतों के अंदर अच्छी तरह से स्थापित हैं। विशेष रूप से, सिद्धांतकारों ने स्पिन 2 के साथ [[ गुरुत्वाकर्षण | गुरुत्वाकर्षण]] (कुछ क्वांटम गुरुत्व सिद्धांतों द्वारा विद्यमान  होने की भविष्यवाणी की है) और स्पिन 0 के साथ [[ हिग्स बॉसन | हिग्स बॉसन]] ( विद्युत्-दुर्बल समरूपता को विभंजन की व्याख्या) का प्रस्ताव दिया है। 2013 से, स्पिन 0 के साथ सम्मिलित हिग्स बोसोन को सिद्ध माना गया है।<ref>[http://home.cern/topics/higgs-boson Information about Higgs Boson] in [[CERN]]'s official website.</ref> यह प्रकृति में सम्मिलित पहला [[अदिश प्राथमिक कण]] (स्पिन 0) है।
* परमाणु नाभिक में परमाणु स्पिन होता है जो या तो अर्ध-पूर्णांक या पूर्णांक हो सकता है, जिससे कि नाभिक या तो फ़र्मियन या बोसोन हो सकते हैं।
* परमाणु नाभिक में परमाणु स्पिन होता है जो या तो अर्ध-पूर्णांक या पूर्णांक हो सकता है, जिससे कि नाभिक या तो फ़र्मियन या बोसोन हो सकते हैं।


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कोई देख सकता है कि {{mvar|s<sub>z</sub>}} के {{math|2''s'' + 1}} के संभावित मान है। जो संख्या <nowiki>''</nowiki>{{math|2''s'' + 1}}<nowiki>''</nowiki> स्पिन प्रणाली की [[ बहुलता (रसायन विज्ञान) ]] है। उदाहरण के लिए, स्पिन के लिए केवल दो संभावित मान हैं-{{sfrac|1|2}}कण: {{math|''s<sub>z</sub>'' {{=}} +{{sfrac|1|2}}}} और {{math|''s<sub>z</sub>'' {{=}} −{{sfrac|1|2}}}} ये क्वांटम अवस्थाओ के अनुरूप हैं जिनमें स्पिन घटक क्रमशः +z या -z दिशाओं में इंगित कर रहा है, और प्रायः इसे स्पिन ऊपर और स्पिन नीचे के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक स्पिन के लिए-{{sfrac|3|2}} कण, एक डेल्टा बैरियन की तरह, संभावित मान + {{sfrac|3|2}}, +{{sfrac|1|2}}, −{{sfrac|1|2}}, −{{sfrac|3|2}}.
कोई देख सकता है कि {{mvar|s<sub>z</sub>}} के {{math|2''s'' + 1}} के संभावित मान है। जो संख्या <nowiki>''</nowiki>{{math|2''s'' + 1}}<nowiki>''</nowiki> स्पिन प्रणाली की [[ बहुलता (रसायन विज्ञान) ]] है। उदाहरण के लिए, स्पिन के लिए केवल दो संभावित मान हैं-{{sfrac|1|2}}कण: {{math|''s<sub>z</sub>'' {{=}} +{{sfrac|1|2}}}} और {{math|''s<sub>z</sub>'' {{=}} −{{sfrac|1|2}}}} ये क्वांटम अवस्थाओ के अनुरूप हैं जिनमें स्पिन घटक क्रमशः +z या -z दिशाओं में इंगित कर रहा है, और प्रायः इसे स्पिन ऊपर और स्पिन नीचे के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक स्पिन के लिए-{{sfrac|3|2}} कण, एक डेल्टा बैरियन की तरह, संभावित मान + {{sfrac|3|2}}, +{{sfrac|1|2}}, −{{sfrac|1|2}}, −{{sfrac|3|2}}.


=== वेक्टर '''edit''' ===
=== वेक्टर ===
[[File:Spin One-Half (Slow).gif|thumb|अंतरिक्ष में एक बिंदु बिना स्पर्शरेखा के लगातार स्पिन कर सकता है। ध्यान दें कि 360 डिग्री घूर्णन के बाद, सर्पिल दक्षिणावर्त और वामावर्त झुकाव के बीच प्रतिवर्तन करता है। पूर्ण 720° स्पिन के बाद अपने मूल विन्यास में वापस आ जाता है।]]
[[File:Spin One-Half (Slow).gif|thumb|अंतरिक्ष में एक बिंदु बिना स्पर्शरेखा के लगातार स्पिन कर सकता है। ध्यान दें कि 360 डिग्री घूर्णन के बाद, सर्पिल दक्षिणावर्त और वामावर्त झुकाव के बीच प्रतिवर्तन करता है। पूर्ण 720° स्पिन के बाद अपने मूल विन्यास में वापस आ जाता है।]]
किसी दी गई क्वांटम स्थिति के लिए, एक स्पिन वेक्टर,<math display="inline"> \lang S \rang </math> के बारे में सोचा जा सकता है  जिनके घटक प्रत्येक अक्ष के साथ स्पिन घटकों का अपेक्षित मान (क्वांटम भौतिकी) हैं, अर्थात, <math display="inline"> \lang S \rang = [\lang S_x \rang, \lang S_y \rang, \lang S_z \rang]</math>। यह वेक्टर तब "दिशा" का वर्णन करेगा जिसमें स्पिन इंगित कर रहा है, जो घूर्णन के अक्ष की उत्कृष्ट अवधारणा के अनुरूप है। यह पता चला है कि स्पिन वेक्टर वास्तविक क्वांटम-यांत्रिक गणनाओं में अधिक उपयोगी नहीं है, क्योंकि इसे प्रत्यक्ष रूप से मापा नहीं जा सकता है: {{mvar|s<sub>x</sub>}}, {{mvar|s<sub>y</sub>}} और {{mvar|s<sub>z</sub>}} उनके बीच एक क्वांटम अनिश्चितता सिद्धांत के कारण एक साथ निश्चित मान नहीं हो सकते। हालांकि, कणों के सांख्यिकीय रूप से बड़े संग्रह के लिए जिन्हें एक ही शुद्ध क्वांटम अवस्था में रखा गया है, जैसे कि स्टर्न-गेरलाच तंत्र के उपयोग के माध्यम से, स्पिन वेक्टर का एक अच्छी तरह से परिभाषित प्रयोगात्मक अर्थ है: यह साधारण अंतरिक्ष में दिशा निर्दिष्ट करता है। जिसमें संग्रह में प्रत्येक कण का पता लगाने की अधिकतम संभव संभावना (100%) प्राप्त करने के लिए बाद के अभिज्ञापक को उन्मुख होना चाहिए। स्पिन के लिए-{{sfrac|1|2}} कण, यह संभावना सुचारू रूप से कम हो जाती है क्योंकि स्पिन वेक्टर और अभिज्ञापक के बीच का कोण 180 ° के कोण तक बढ़ जाता है - अर्थात, स्पिन वेक्टर के विपरीत दिशा में उन्मुख अभिज्ञापक के लिए - संग्रह से कणों का पता लगाने की अपेक्षा न्यूनतम 0% तक पहुँचता है।
किसी दी गई क्वांटम स्थिति के लिए, एक स्पिन वेक्टर,<math display="inline"> \lang S \rang </math> के बारे में सोचा जा सकता है  जिनके घटक प्रत्येक अक्ष के साथ स्पिन घटकों का अपेक्षित मान (क्वांटम भौतिकी) हैं, अर्थात, <math display="inline"> \lang S \rang = [\lang S_x \rang, \lang S_y \rang, \lang S_z \rang]</math>। यह वेक्टर तब "दिशा" का वर्णन करेगा जिसमें स्पिन इंगित कर रहा है, जो घूर्णन के अक्ष की उत्कृष्ट अवधारणा के अनुरूप है। यह पता चला है कि स्पिन वेक्टर वास्तविक क्वांटम-यांत्रिक गणनाओं में अधिक उपयोगी नहीं है, क्योंकि इसे प्रत्यक्ष रूप से मापा नहीं जा सकता है: {{mvar|s<sub>x</sub>}}, {{mvar|s<sub>y</sub>}} और {{mvar|s<sub>z</sub>}} उनके बीच एक क्वांटम अनिश्चितता सिद्धांत के कारण एक साथ निश्चित मान नहीं हो सकते। हालांकि, कणों के सांख्यिकीय रूप से बड़े संग्रह के लिए जिन्हें एक ही शुद्ध क्वांटम अवस्था में रखा गया है, जैसे कि स्टर्न-गेरलाच तंत्र के उपयोग के माध्यम से, स्पिन वेक्टर का एक अच्छी तरह से परिभाषित प्रयोगात्मक अर्थ है: यह साधारण अंतरिक्ष में दिशा निर्दिष्ट करता है। जिसमें संग्रह में प्रत्येक कण का पता लगाने की अधिकतम संभव संभावना (100%) प्राप्त करने के लिए बाद के अभिज्ञापक को उन्मुख होना चाहिए। स्पिन के लिए-{{sfrac|1|2}} कण, यह संभावना सुचारू रूप से कम हो जाती है क्योंकि स्पिन वेक्टर और अभिज्ञापक के बीच का कोण 180 ° के कोण तक बढ़ जाता है - अर्थात, स्पिन वेक्टर के विपरीत दिशा में उन्मुख अभिज्ञापक के लिए - संग्रह से कणों का पता लगाने की अपेक्षा न्यूनतम 0% तक पहुँचता है।
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एक [[ बोसॉन ]] (पूर्णांक स्पिन) और फ़र्मियन (अर्ध-पूर्णांक स्पिन) को अलग करता है। पारस्परिक प्रभाव प्रक्रियाओं में संरक्षित कुल कोणीय संवेग तब कक्षीय कोणीय संवेग और स्पिन का योग है।
एक [[ बोसॉन ]] (पूर्णांक स्पिन) और फ़र्मियन (अर्ध-पूर्णांक स्पिन) को अलग करता है। पारस्परिक प्रभाव प्रक्रियाओं में संरक्षित कुल कोणीय संवेग तब कक्षीय कोणीय संवेग और स्पिन का योग है।


=== पॉल मैट्रिसेस ===
=== पाउली आव्यूह (मेट्रिसेस) ===
{{main|Pauli matrices}}
{{main|पाउली आव्यूह}}
संचालिका (भौतिकी) क्वांटम यांत्रिकी में संचालिका  स्पिन से जुड़े क्वांटम-यांत्रिकी संचालिका-{{sfrac|1|2}} [[ अवलोकनीय ]] हैं
संचालिका (भौतिकी) क्वांटम यांत्रिकी में संचालिका  स्पिन से जुड़े क्वांटम-यांत्रिकी संचालिका-{{sfrac|1|2}} [[ अवलोकनीय ]] हैं


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: <math>S_x = \frac{\hbar}{2} \sigma_x, \quad S_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y, \quad S_z = \frac{\hbar}{2} \sigma_z.</math>
: <math>S_x = \frac{\hbar}{2} \sigma_x, \quad S_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y, \quad S_z = \frac{\hbar}{2} \sigma_z.</math>
स्पिन के विशेष स्थिति के लिए-{{sfrac|1|2}} कण, {{mvar|σ<sub>x</sub>}}, {{mvar|σ<sub>y</sub>}} और {{mvar|σ<sub>z</sub>}} तीन [[ पॉल मैट्रिसेस | पॉल आव्यूह]] हैं:
स्पिन के विशेष स्थिति के लिए-{{sfrac|1|2}} कण, {{mvar|σ<sub>x</sub>}}, {{mvar|σ<sub>y</sub>}} और {{mvar|σ<sub>z</sub>}} तीन [[ पॉल मैट्रिसेस | पाउली आव्यूह]] हैं:


:<math>
:<math>
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===पाउली अपवर्जन सिद्धांत    edit===
===पाउली अपवर्जन सिद्धांत    ===


प्रणालियों के लिए {{mvar|N}} समान कण यह पाउली अपवर्जन सिद्धांत से संबंधित है, जो बताता है कि इसकी [[ तरंग क्रिया ]] <math>\psi(\mathbf r_1, \sigma_1, \dots, \mathbf r_N, \sigma_N)</math> किन्हीं दो के आदान-प्रदान पर बदलना चाहिए {{mvar|N}} कणों के रूप में
{{mvar|N}} समान कणों की प्रणालियों के लिए यह पाउली अपवर्जन सिद्धांत से संबंधित है, जो बताता है कि इसकी [[ तरंग क्रिया ]] <math>\psi(\mathbf r_1, \sigma_1, \dots, \mathbf r_N, \sigma_N)</math> किन्हीं दो {{mvar|N}} कणों के रूप में परस्पर विनिमय पर परिवर्तित करना चाहिए 


: <math>\psi(\dots, \mathbf r_i, \sigma_i, \dots, \mathbf r_j, \sigma_j, \dots ) =
: <math>\psi(\dots, \mathbf r_i, \sigma_i, \dots, \mathbf r_j, \sigma_j, \dots ) =
  (-1)^{2s} \psi(\dots, \mathbf r_j, \sigma_j, \dots, \mathbf r_i, \sigma_i, \dots).</math>
  (-1)^{2s} \psi(\dots, \mathbf r_j, \sigma_j, \dots, \mathbf r_i, \sigma_i, \dots).</math>
इस प्रकार, बोसोन प्रीफैक्टर के लिए {{math|(−1)<sup>2''s''</sup>}} fermions के लिए -1 करने के लिए, +1 करने के लिए कम हो जाएगा। क्वांटम यांत्रिकी में सभी कण या तो बोसोन या फ़र्मियन होते हैं। कुछ सट्टा सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों में [[ सुपरसिमेट्री ]] कण भी सम्मिलित हैं, जहां बोसोनिक और फर्मीओनिक घटकों के रैखिक संयोजन दिखाई देते हैं। दो आयामों में, प्रीफैक्टर {{math|(−1)<sup>2''s''</sup>}} 1 परिमाण की किसी भी जटिल संख्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जैसे कि किसी में भी।
इस प्रकार, बोसोन पूर्व-कारक के लिए {{math|(−1)<sup>2''s''</sup>}} घटकर +1 हो जाएगा, फ़र्मियन के लिए -1 हो जाएगा। क्वांटम यांत्रिकी में सभी कण या तो बोसोन या फ़र्मियन होते हैं। कुछ अव्यवहार्य सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों में [[ सुपरसिमेट्री | अतिसममित]] कण भी सम्मिलित हैं, जहां बोसोनिक और फर्मीओनिक घटकों के रैखिक संयोजन दिखाई देते हैं। दो आयामों में, पूर्व-कारक {{math|(−1)<sup>2''s''</sup>}} 1 परिमाण की किसी भी जटिल संख्या द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जैसे कि किसी में भी।
   
   
उपरोक्त क्रमचय के लिए अभिधारणा है {{mvar|N}}-कण अवस्था फलन के दैनिक जीवन में सबसे महत्वपूर्ण परिणाम होते हैं, उदा रासायनिक तत्वों की [[ आवर्त सारणी ]]।
{{mvar|N}}-कण अवस्था फलन के लिए उपरोक्त क्रमचय अभिधारणा  का  दैनिक जीवन में सबसे महत्वपूर्ण परिणाम होते हैं, उदा रासायनिक तत्वों की [[ आवर्त सारणी ]]।


=== घूर्णन ===
=== घूर्णन ===


{{see also|Symmetry in quantum mechanics}}
{{see also|क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता}}
जैसा कि ऊपर वर्णित है, क्वांटम यांत्रिकी में कहा गया है कि किसी भी दिशा में मापा गया कोणीय संवेग का स्थानिक वेक्टर केवल कई असतत मान ले सकता है। कण के स्पिन का सबसे सुविधाजनक क्वांटम-यांत्रिकी विवरण इसलिए एक दिए गए अक्ष पर अपने आंतरिक कोणीय संवेग के प्रक्षेपण के दिए गए मान को खोजने के आयामों के अनुरूप जटिल संख्याओं के एक समूह के साथ है। उदाहरण के लिए, स्पिन के लिए-{{sfrac|1|2}} कण, हमें दो नंबरों की आवश्यकता होगी {{math|''a''<sub>±1/2</sub>}}, के समान कोणीय संवेग के प्रक्षेपण के साथ इसे खोजने का आयाम दे रहा है {{math|+{{sfrac|''ħ''|2}}}} और {{math|−{{sfrac|''ħ''|2}}}}, आवश्यकता को पूरा करना
जैसा कि ऊपर वर्णित है, क्वांटम यांत्रिकी में कहा गया है कि किसी भी दिशा में मापा गया कोणीय संवेग का स्थानिक वेक्टर केवल कई असतत मान ले सकता है। कण के स्पिन का सबसे सुविधाजनक क्वांटम-यांत्रिकी विवरण इसलिए एक दिए गए अक्ष पर अपने आंतरिक कोणीय संवेग के प्रक्षेपण के दिए गए मान को खोजने के आयामों के अनुरूप जटिल संख्याओं के एक समूह के साथ है। उदाहरण के लिए, स्पिन के लिए-{{sfrac|1|2}} कण, हमें दो संख्याओ {{math|''a''<sub>±1/2</sub>}} की आवश्यकता होगी, समान कोणीय संवेग के प्रक्षेपण के साथ इसे खोजने का आयाम दे रहा है {{math|+{{sfrac|''ħ''|2}}}} और {{math|−{{sfrac|''ħ''|2}}}}, आवश्यकता को पूरा करना


: <math>|a_{+1/2}|^2 + |a_{-1/2}|^2 = 1.</math>
: <math>|a_{+1/2}|^2 + |a_{-1/2}|^2 = 1.</math>
स्पिन के साथ एक सामान्य कण के लिए {{mvar|s}}, हमे चाहिए होगा {{math|2''s'' + 1}} ऐसे पैरामीटर। चूँकि ये संख्याएँ अक्ष की पसंद पर निर्भर करती हैं, इसलिए जब इस अक्ष को घुमाया जाता है तो वे गैर-तुच्छ रूप से एक दूसरे में परिवर्तित हो जाती हैं। यह स्पष्ट है कि परिवर्तन कानून रैखिक होना चाहिए, इसलिए हम प्रत्येक घूर्णन के साथ एक मैट्रिक्स को जोड़कर इसका प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, और घूर्णन ए और बी के अनुरूप दो रूपांतरण मैट्रिसेस का उत्पाद घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स के समान (प्रावस्था तक) होना चाहिए। एबी इसके अतिरिक्त, घूर्णन क्वांटम-यांत्रिकी आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करते हैं, और इसलिए हमारे परिवर्तन मैट्रिसेस भी होने चाहिए:
स्पिन {{mvar|s}} के साथ एक सामान्य कण के लिए , हमे {{math|2''s'' + 1}} ऐसे पैरामीटरकी आवश्यकता होगी। चूँकि ये संख्याएँ अक्ष के चयन पर निर्भर करती हैं, इसलिए जब इस अक्ष को घुमाया जाता है तो वे गैर-नगण्यतापूर्वक रूप से एक दूसरे में परिवर्तित हो जाती हैं। यह स्पष्ट है कि परिवर्तन सिद्धांत रैखिक होना चाहिए, इसलिए हम प्रत्येक घूर्णन के साथ एक आव्यूह को जोड़कर इसका प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, और घूर्णन ए और बी के अनुरूप दो रूपांतरण आव्यूह का उत्पाद घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने वाले आव्यूह के समान (प्रावस्था तक) होना चाहिए। AB इसके अतिरिक्त, घूर्णन क्वांटम-यांत्रिकी आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करते हैं, और इसलिए हमारे परिवर्तन आव्यूह भी होने चाहिए:


: <math>
: <math>
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  \sum_{n=-j}^j \sum_{k=-j}^j U_{np}^* U_{kq} = \delta_{pq}.
  \sum_{n=-j}^j \sum_{k=-j}^j U_{np}^* U_{kq} = \delta_{pq}.
</math>
</math>
गणितीय रूप से बोलते हुए, ये मैट्रिसेस घूर्णन समूह SO(3) का एक एकात्मक प्रोजेक्टिव प्रतिनिधित्व प्रस्तुत करते हैं। ऐसा प्रत्येक प्रतिनिधित्व SO(3) के कवरिंग समूह के प्रतिनिधित्व से अनुरूप है, जो [[ SU(2) ]] है।<ref>{{cite book
गणितीय रूप से बोलते हुए, ये आव्यूह घूर्णन समूह SO(3) का एक एकात्मक प्रक्षेपीय प्रतिनिधित्व प्रस्तुत करते हैं। ऐसा प्रत्येक प्रतिनिधित्व SO(3) के आच्छादन समूह के प्रतिनिधित्व से अनुरूप है, जो [[ SU(2) ]] है।<ref>{{cite book
  |author=B. C. Hall
  |author=B. C. Hall
  |title=गणितज्ञों के लिए क्वांटम थ्योरी|publisher=Springer
  |title=गणितज्ञों के लिए क्वांटम थ्योरी|publisher=Springer
  |pages=354–358
  |pages=354–358
  |year=2013
  |year=2013
}}</ref> वहां एक है {{mvar|n}}प्रत्येक आयाम के लिए एसयू (2) का आयामी इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व, हालांकि यह प्रतिनिधित्व है {{mvar|n}}विषम के लिए आयामी वास्तविक {{mvar|n}} और {{mvar|n}}सम के लिए आयामी परिसर {{mvar|n}} (इसलिए वास्तविक आयाम {{math|2''n''}}). कोण से घूर्णन के लिए {{mvar|θ}} विमान में सामान्य वेक्टर के साथ <math display="inline">\hat{\boldsymbol{\theta}}</math>,
}}</ref> प्रत्येक आयाम कर लिए[[ SU(2) |SU(2)]] एक {{mvar|n}} आयाम अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व है, हालांकि यह प्रतिनिधित्व विषम {{mvar|n}} के लिए {{mvar|n}} आयामी वास्तविक है और सम {{mvar|n}} के लिए आयामी सम्मिश्र {{mvar|n}} (इसलिए वास्तविक आयाम {{math|2''n''}}) है।  सामान्य वेक्टर के साथ <math display="inline">\hat{\boldsymbol{\theta}}</math> के साथ समतल में कोण θ द्वारा घूर्णन के लिए,


: <math>U = e^{-\frac{i}{\hbar} \boldsymbol{\theta} \cdot \mathbf{S}},</math>
: <math>U = e^{-\frac{i}{\hbar} \boldsymbol{\theta} \cdot \mathbf{S}},</math>
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अनुमान के अनुसार ध्यान दें कि चूंकि हम केवल स्पिनसंचालिका दिक्-परिवर्तन संबंधों पर निभर करते है, यह प्रमाण किसी भी आयाम के लिए है (अर्थात, किसी भी प्रमुख स्पिन क्वांटम संख्या के लिए) {{mvar|s}})।<ref>[[J. J. Sakurai]], ''[[Modern Quantum Mechanics]]'', [https://books.google.com/books?id=w2a8QgAACAAJ p.&nbsp;159].</ref>
अनुमान के अनुसार ध्यान दें कि चूंकि हम केवल स्पिनसंचालिका दिक्-परिवर्तन संबंधों पर निभर करते है, यह प्रमाण किसी भी आयाम के लिए है (अर्थात, किसी भी प्रमुख स्पिन क्वांटम संख्या के लिए) {{mvar|s}})।<ref>[[J. J. Sakurai]], ''[[Modern Quantum Mechanics]]'', [https://books.google.com/books?id=w2a8QgAACAAJ p.&nbsp;159].</ref>
}}
}}
[[ यूलर कोण | यूलर कोणो]] का उपयोग करके इस प्रकार के कंपाउंडिंग संचालिको द्वारा 3-आयामी अंतरिक्ष में एक सामान्य घूर्णन बनाया जा सकता है:
[[ यूलर कोण | यूलर कोणो]] का उपयोग करके इस प्रकार के संयुक्तीकरण संचालिको द्वारा 3-आयामी अंतरिक्ष में एक सामान्य घूर्णन बनाया जा सकता है:


: <math>\mathcal{R}(\alpha, \beta, \gamma) = e^{-i\alpha S_x} e^{-i\beta S_y} e^{-i\gamma S_z}.</math>
: <math>\mathcal{R}(\alpha, \beta, \gamma) = e^{-i\alpha S_x} e^{-i\beta S_y} e^{-i\gamma S_z}.</math>
संचालिको के इस समूह का एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व [[ विग्नर डी-मैट्रिक्स ]] द्वारा प्रस्तुत किया गया है:
संचालिको के इस समूह का एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व [[विग्नर डी-मैट्रिक्स]] द्वारा प्रस्तुत किया गया है:


:<math>
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: <math>d^s_{m'm}(\beta) = \langle sm' | e^{-i\beta s_y} | sm \rangle</math>
: <math>d^s_{m'm}(\beta) = \langle sm' | e^{-i\beta s_y} | sm \rangle</math>
विग्नर डी-मैट्रिक्स # विग्नर (छोटा) डी-मैट्रिक्स है विग्नर का छोटा डी-मैट्रिक्स। ध्यान दें कि के लिए {{math|1=''γ'' = 2π}} और {{math|1=''α'' = ''β'' = 0}}; अर्थात, के बारे में एक पूर्ण घूर्णन {{mvar|z}}अक्ष, विग्नेर डी-मैट्रिक्स तत्व बन जाते हैं
विग्नर का छोटा डी-आव्यूह है ध्यान दें कि के लिए {{math|1=''γ'' = 2π}} और {{math|1=''α'' = ''β'' = 0}}; अर्थात, के बारे में एक पूर्ण घूर्णन {{mvar|z}}अक्ष, विग्नेर डी-आव्यूह तत्व बन जाते हैं


: <math>D^s_{m'm}(0, 0, 2\pi) = d^s_{m'm}(0) e^{-i m 2 \pi} = \delta_{m'm} (-1)^{2m}.</math>
: <math>D^s_{m'm}(0, 0, 2\pi) = d^s_{m'm}(0) e^{-i m 2 \pi} = \delta_{m'm} (-1)^{2m}.</math>
यह याद करते हुए कि एक सामान्य स्पिन स्थिति को निश्चित अवस्थाओ के सुपरपोजिशन के रूप में लिखा जा सकता है {{mvar|m}}, हम देखते हैं कि अगर {{mvar|s}} एक पूर्णांक है, के मान {{mvar|m}} सभी पूर्णांक हैं, और यह मैट्रिक्स पहचान संचालिका से मेल खाती है। हालांकि, यदि {{mvar|s}} एक आधा पूर्णांक है, के मान {{mvar|m}} सभी अर्ध-पूर्णांक हैं, दे रहे हैं {{math|1=(−1)<sup>2''m''</sup> = −1}} सबके लिए {{mvar|m}}, और इसलिए 2 से घुमाने पर{{pi}} अवस्था एक ऋण चिह्न उठाता है। यह तथ्य स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय के प्रमाण का एक महत्वपूर्ण तत्व है।
यह स्मरण करते हुए कि एक सामान्य स्पिन स्थिति को निश्चित {{mvar|m}} वाले अवस्थाओ के अध्यारोपण के रूप में लिखा जा सकता है , हम देखते हैं कि यदि {{mvar|s}} एक पूर्णांक है, तो {{mvar|m}} के मान  सभी पूर्णांक हैं, और यह आव्यूह पहचान संचालिका से अनुरूप होती है। हालांकि, यदि {{mvar|s}} एक आधा पूर्णांक है, तो {{mvar|m}} के मान  सभी अर्ध-पूर्णांक हैं, जिसमे सभी {{mvar|m}} के लिए  {{math|1=(−1)<sup>2''m''</sup> = −1}} मिलता है , और इसलिए 2{{pi}} द्वारा घुमाने पर स्थिति एक ऋण चिह्न चयन करती है। यह तथ्य स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय के प्रमाण का एक महत्वपूर्ण तत्व है।


=== लोरेंत्ज़ परिवर्तन ===
=== लोरेंत्ज़ परिवर्तन ===
हम सामान्य लोरेन्ट्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत स्पिन के व्यवहार को निर्धारित करने के लिए एक ही दृष्टिकोण का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन हम तुरंत एक बड़ी बाधा खोज लेंगे। एसओ (3) के विपरीत, [[ लोरेंत्ज़ परिवर्तन | लोरेंत्ज़ परिवर्तनो]] का समूह एसओ (3,1) [[ कॉम्पैक्ट समूह ]]  गैर-कॉम्पैक्ट है और इसलिए इसमें कोई वफादार, एकात्मक, परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व नहीं है।
हम सामान्य लोरेन्ट्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत स्पिन के व्यवहार को निर्धारित करने के लिए एक ही दृष्टिकोण का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन हम तुरंत एक बड़ी बाधा खोज लेंगे। SO(3) के विपरीत, [[ लोरेंत्ज़ परिवर्तन | लोरेंत्ज़ परिवर्तनो]] का [[ कॉम्पैक्ट समूह |समूह]] SO (3,1)   असंहत है और इसलिए इसमें कोई विश्वसनीय, एकात्मक, परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व नहीं है।


स्पिन के स्थिति में-{{sfrac|1|2}} कण, एक निर्माण को खोजना संभव है जिसमें परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व और एक स्केलर उत्पाद सम्मिलित है जो इस प्रतिनिधित्व द्वारा संरक्षित है। हम एक 4-घटक डायराक स्पिनर को संबद्ध करते हैं {{mvar|ψ}} प्रत्येक कण के साथ। ये स्पिनर कानून के अनुसार लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत रूपांतरित होते हैं
स्पिन के स्थिति में-{{sfrac|1|2}} कण, एक निर्माण को खोजना संभव है जिसमें परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व और एक अदिश उत्पाद सम्मिलित है जो इस प्रतिनिधित्व द्वारा संरक्षित है। हम प्रत्येक कण के साथ एक 4-घटक डायराक स्पिनर {{mvar|ψ}} को संबद्ध करते हैं  । ये स्पिनर सिद्धांत के अनुसार लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत रूपांतरित होते हैं


: <math>\psi' = \exp{\left(\tfrac{1}{8} \omega_{\mu\nu} [\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]\right)} \psi,</math>
: <math>\psi' = \exp{\left(\tfrac{1}{8} \omega_{\mu\nu} [\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]\right)} \psi,</math>
जहां पर {{mvar|γ<sub>ν</sub>}} [[ गामा मैट्रिक्स ]] हैं, और {{mvar|ω<sub>μν</sub>}} एक एंटीसिमेट्रिक 4 × 4 मैट्रिक्स है जो ट्रांसफ़ॉर्मेशन को पैरामीट्रिज़ कर रहा है। यह दिखाया जा सकता है कि स्केलर उत्पाद
जहां पर {{mvar|γ<sub>ν</sub>}} [[ गामा मैट्रिक्स | गामा आव्यूह]] हैं, और {{mvar|ω<sub>μν</sub>}} एक प्रतिसममित 4 × 4 आव्यूह है जो परिवर्तन को प्राचलीकरण कर रहा है। यह दिखाया जा सकता है कि अदिश उत्पाद


: <math>\langle\psi|\phi\rangle = \bar{\psi}\phi = \psi^\dagger \gamma_0 \phi</math>
: <math>\langle\psi|\phi\rangle = \bar{\psi}\phi = \psi^\dagger \gamma_0 \phi</math>
संरक्षित है। हालाँकि, यह सकारात्मक-निश्चित नहीं है, इसलिए प्रतिनिधित्व एकात्मक नहीं है।
संरक्षित है। हालाँकि, यह सकारात्मक-निश्चित नहीं है, इसलिए प्रतिनिधित्व एकात्मक नहीं है।


=== स्पिन के साथ माप {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, या {{mvar|z}} कुल्हाड़ियों ===
=== {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, या {{mvar|z}} अक्षों  के साथ स्पिन का मापन ===
स्पिन के प्रत्येक ([[ हर्मिटियन मैट्रिक्स ]]) पाउली मैट्रिसेस-{{sfrac|1|2}} कणों के दो [[ eigenvalues ]] ​​​​हैं, +1 और -1। संबंधित [[ सामान्यीकृत तरंग समारोह ]] आइजन्वेक्टर हैं
स्पिन के प्रत्येक ([[ हर्मिटियन मैट्रिक्स | हर्मिटियन आव्यूह]] ) पाउली आव्यूह-{{sfrac|1|2}} कणों के दो [[ eigenvalues |इगन-मूल्य]] ​​​​ +1 और -1 हैं, संबंधित [[ सामान्यीकृत तरंग समारोह | सामान्यीकृत]] आइजन्वेक्टर हैं


: <math>\begin{array}{lclc}
: <math>\begin{array}{lclc}
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     \begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}.
     \begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}.
\end{array}</math>
\end{array}</math>
(चूँकि किसी स्थिरांक से गुणा किया गया कोई भी eigenvector अभी भी एक eigenvector है, मिश्रित संकेत के बारे में अस्पष्टता है। इस लेख में, संकेत अस्पष्टता होने पर पहले तत्व को काल्पनिक और नकारात्मक बनाने के लिए सम्मेलन को चुना गया है। वर्तमान सम्मेलन द्वारा उपयोग किया जाता है। [[ SymPy ]] जैसे सॉफ्टवेयर; जबकि कई भौतिकी पाठ्यपुस्तकें, जैसे सकुराई और ग्रिफिथ्स, इसे वास्तविक और सकारात्मक बनाना पसंद करती हैं।)
(चूँकि किसी स्थिरांक से गुणा किया गया कोई भी आइजन्वेक्टर अभी भी एक आइजन्वेक्टर है, मिश्रित संकेत के बारे में अस्पष्टता है। इस लेख में, संकेत अस्पष्टता होने पर पहले तत्व को काल्पनिक और नकारात्मक बनाने के लिए संकेत को चुना गया है। वर्तमान संकेत द्वारा उपयोग किया जाता है। [[ SymPy ]] जैसे सॉफ्टवेयर; जबकि कई भौतिकी पाठ्यपुस्तकें, जैसे सकुराई और ग्रिफिथ्स, इसे वास्तविक और सकारात्मक बनाना अपेक्षाकृत अधिक पसंद करती हैं।)


क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं द्वारा {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, या {{mvar|z}}अक्ष केवल संबंधित स्पिन संचालिका का एक आइगेनवेल्यू उत्पन्न कर सकता है ({{mvar|S<sub>x</sub>}}, {{mvar|S<sub>y</sub>}} या {{mvar|S<sub>z</sub>}}) उस धुरी पर, अर्थात {{math|{{sfrac|''ħ''|2}}}} या {{math|–{{sfrac|''ħ''|2}}}}. एक कण की क्वांटम स्थिति (स्पिन के संबंध में), दो-घटक स्पिनर द्वारा प्रदर्शित की जा सकती है:
क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं द्वारा {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, या {{mvar|z}}अक्ष केवल संबंधित स्पिन संचालिका का एक आइगेनमान  उत्पन्न कर सकता है ({{mvar|S<sub>x</sub>}}, {{mvar|S<sub>y</sub>}} या {{mvar|S<sub>z</sub>}}) उस धुरी पर, अर्थात {{math|{{sfrac|''ħ''|2}}}} या {{math|–{{sfrac|''ħ''|2}}}}. एक कण की क्वांटम स्थिति (स्पिन के संबंध में), दो-घटक स्पिनर द्वारा प्रदर्शित की जा सकती है:


: <math>\psi = \begin{pmatrix} a + bi \\ c + di \end{pmatrix}.</math>
: <math>\psi = \begin{pmatrix} a + bi \\ c + di \end{pmatrix}.</math>
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=== एक यादृच्छिक अक्ष के साथ स्पिन का माप ===
=== एक यादृच्छिक अक्ष के साथ स्पिन का माप ===
एक अनियंत्रित अक्ष दिशा के साथ स्पिन को मापने के लिए संचालिका पाउली स्पिन मैट्रिसेस से आसानी से प्राप्त किया जाता है। होने देना {{math|''u'' {{=}} (''u<sub>x</sub>'', ''u<sub>y</sub>'', ''u<sub>z</sub>'')}} एक यादृच्छिक इकाई वेक्टर बनें। फिर इस दिशा में घुमाने के लिए संचालिका सरल है
एक अनियंत्रित अक्ष दिशा के साथ स्पिन को मापने के लिए संचालिका पाउली स्पिन आव्यूह से आसानी से प्राप्त किया जाता है। होने देना {{math|''u'' {{=}} (''u<sub>x</sub>'', ''u<sub>y</sub>'', ''u<sub>z</sub>'')}} एक यादृच्छिक इकाई वेक्टर बनें। फिर इस दिशा में घुमाने के लिए संचालिका सरल है


: <math>S_u = \frac{\hbar}{2}(u_x \sigma_x + u_y \sigma_y + u_z \sigma_z).</math>
: <math>S_u = \frac{\hbar}{2}(u_x \sigma_x + u_y \sigma_y + u_z \sigma_z).</math>
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: <math>\frac{1}{\sqrt{2 + 2u_z}} \begin{pmatrix} 1 + u_z \\ u_x + iu_y \end{pmatrix}.</math>
: <math>\frac{1}{\sqrt{2 + 2u_z}} \begin{pmatrix} 1 + u_z \\ u_x + iu_y \end{pmatrix}.</math>
उपरोक्त स्पिनर को सामान्य तरीके से विकर्ण करके प्राप्त किया जाता है {{mvar|σ<sub>u</sub>}} मैट्रिक्स और eigenvalues ​​​​के अनुरूप eigenstates ढूँढना। क्वांटम यांत्रिकी में, वैक्टर को सामान्यीकृत कारक से गुणा करने पर सामान्यीकृत कहा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप वेक्टर में एकता की लंबाई होती है।
उपरोक्त स्पिनर को सामान्य तरीके से विकर्ण करके प्राप्त किया जाता है {{mvar|σ<sub>u</sub>}} आव्यूह और eigenvalues ​​​​के अनुरूप eigenstates ढूँढना। क्वांटम यांत्रिकी में, वैक्टर को सामान्यीकृत कारक से गुणा करने पर सामान्यीकृत कहा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप वेक्टर में एकता की लंबाई होती है।


=== स्पिन माप की संगतत ===
=== स्पिन माप की संगतत ===
चूंकि पाउली मेट्रिसेस [[ क्रमविनिमेयता ]] नहीं करते हैं, विभिन्न अक्षों के साथ स्पिन के माप असंगत हैं। इसका मतलब है कि अगर, उदाहरण के लिए, हम स्पिन को जानते हैं {{mvar|x}}धुरी, और फिर हम स्पिन को मापते हैं {{mvar|y}}धुरी, हमने अपने पिछले ज्ञान को अमान्य कर दिया है {{mvar|x}}धुरी स्पिन। इसे पाउली मेट्रिसेस के आइजन्वेक्टर (अर्थात् ईजेनस्टेट्स) के गुण से देखा जा सकता है कि
चूंकि पाउली मेट्रिसेस [[ क्रमविनिमेयता ]] नहीं करते हैं, विभिन्न अक्षों के साथ स्पिन के माप असंगत हैं। इसका मतलब है कि यदि, उदाहरण के लिए, हम स्पिन को जानते हैं {{mvar|x}}धुरी, और फिर हम स्पिन को मापते हैं {{mvar|y}}धुरी, हमने अपने पिछले ज्ञान को अमान्य कर दिया है {{mvar|x}}धुरी स्पिन। इसे पाउली मेट्रिसेस के आइजन्वेक्टर (अर्थात् ईजेनस्टेट्स) के गुण से देखा जा सकता है कि


: <math>\big| \langle \psi_{x\pm} | \psi_{y\pm} \rangle \big|^2 =
: <math>\big| \langle \psi_{x\pm} | \psi_{y\pm} \rangle \big|^2 =
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बहुकण प्रणाली के [[ क्वांटम यांत्रिकी ]] में भी उपयोगी, सामान्य [[ पाउली समूह ]] {{mvar|G<sub>n</sub>}} सभी को सम्मिलित करने के लिए परिभाषित किया गया है {{mvar|n}}पाउली मेट्रिसेस के फोल्ड [[ टेन्सर ]] उत्पाद।
बहुकण प्रणाली के [[ क्वांटम यांत्रिकी ]] में भी उपयोगी, सामान्य [[ पाउली समूह ]] {{mvar|G<sub>n</sub>}} सभी को सम्मिलित करने के लिए परिभाषित किया गया है {{mvar|n}}पाउली मेट्रिसेस के फोल्ड [[ टेन्सर ]] उत्पाद।


पाउली मैट्रिसेस का अनुरूप सूत्र
पाउली आव्यूह का अनुरूप सूत्र
: <math>
: <math>
   \hat{R}(\theta, \hat{\mathbf{n}}) = e^{i \frac{\theta}{2} \hat{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\sigma}} =
   \hat{R}(\theta, \hat{\mathbf{n}}) = e^{i \frac{\theta}{2} \hat{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\sigma}} =

Revision as of 10:51, 11 January 2023

यह लेख क्वांटम यांत्रिकी में स्पिन के बारे में है। उत्कृष्ट यांत्रिकी में घूर्णन के लिए, कोणीय संवेग देखें।

स्पिन (प्रचक्रण) संरक्षित मात्रा है जो प्राथमिक कणों द्वारा और इस प्रकार मिश्रित कणों (हैड्रॉन्स) और परमाणु नाभिकों द्वारा वहन की जाती है।[1][2]

क्वांटम यांत्रिकी में स्पिन दो प्रकार के कोणीय संवेग में से एक है, दूसरा कक्षीय कोणीय संवेग है। कक्षीय कोणीय संवेग संचालिका कक्षीय क्रांति के उत्कृष्ट कोणीय संवेग के लिए क्वांटम-या