मॉड्यूल (गणित): Difference between revisions

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गणित में, एक मॉड्यूल सदिश स्थान की धारणा का एक सामान्यीकरण है जिसमें अदिश (गणित) के [[क्षेत्र (गणित)]] को एक वलय (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। 'मॉड्यूल' की अवधारणा [[एबेलियन समूह|विनिमेय समूह]] की धारणा को भी सामान्यीकृत करती है, क्योंकि विनिमेय समूह [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के वलय के ऊपर के मॉड्यूल हैं।
गणित में, एक '''मॉड्यूल''' सदिश स्थान की धारणा का एक सामान्यीकरण है जिसमें अदिश (गणित) के [[क्षेत्र (गणित)]] को एक वलय (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। 'मॉड्यूल' की अवधारणा [[एबेलियन समूह|विनिमेय समूह]] की धारणा को भी सामान्यीकृत करती है, क्योंकि विनिमेय समूह [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के वलय के ऊपर के मॉड्यूल हैं।


सदिश स्थान की तरह, एक मॉड्यूल एक योज्य विनिमेय समूह है, और अदिश गुणन वलय या मॉड्यूल के तत्वों के बीच जोड़ के संचालन पर वितरण गुण है और वलय गुणन के साथ [[अर्धसमूह क्रिया]] है।
सदिश स्थान की तरह, एक मॉड्यूल एक योज्य विनिमेय समूह है, और अदिश गुणन वलय या मॉड्यूल के तत्वों के बीच जोड़ के संचालन पर वितरण गुण है और वलय गुणन के साथ [[अर्धसमूह क्रिया]] है।
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=== प्रेरणा ===
=== प्रेरणा ===
सदिश स्थान में, अदिश (गणित) का समुच्चय एक क्षेत्र (गणित) है और अदिश गुणन द्वारा सदिशों पर कार्य करता है, जो वितरण नियम जैसे कुछ स्वयंसिद्धों के अधीन होता है। एक मॉड्यूल में, अदिश्स को केवल एक वलय (गणित) होना चाहिए, इसलिए मॉड्यूल अवधारणा एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करती है। क्रमविनिमेय बीजगणित में, दोनों [[आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)]] और भागफल के छल्ले मॉड्यूल हैं, ताकि आदर्शों या भागफल के छल्ले के बारे में कई तर्कों को मॉड्यूल के बारे में एक ही तर्क में जोड़ा जा सके। गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित में, बाएं आदर्शों, आदर्शों और मॉड्यूल के बीच का अंतर अधिक स्पष्ट हो जाता है, हालांकि कुछ अंगूठी-सैद्धांतिक स्थितियों को या तो बाएं आदर्शों या बाएं मॉड्यूल के बारे में व्यक्त किया जा सकता है।<!-- (semi)perfect rings for instance have a litany of "Foo is true for all left ideals iff foo is true for all finitely generated left ideals iff foo is true for all cyclic modules iff foo is true for all modules" -->
सदिश स्थान में, अदिशों का समुच्चय एक क्षेत्र होता है और अदिश गुणन द्वारा सदिशों पर कार्य करता है, जो वितरण नियम जैसे कुछ स्वयंसिद्धों के अधीन होता है। एक मॉड्यूल में, अदिशों को केवल एक वलय (गणित) आवश्यकता होती है, इसलिए मॉड्यूल अवधारणा एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करती है। क्रमविनिमेय बीजगणित में, दोनों [[आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)|आदर्श (वलय सिद्धांत)]] और भागफल के वलय मॉड्यूल हैं, ताकि आदर्शों या भागफल के वलय के बारे में कई तर्कों को मॉड्यूल के बारे में एक ही तर्क में जोड़ा जा सके। गैर-क्रमविनिमेय बीजगणित में, बाएं आदर्शों, आदर्शों और मॉड्यूल के बीच का अंतर अधिक स्पष्ट हो जाता है, चूंकि कुछ वलयों-सैद्धांतिक स्थितियों को या तो बाएं आदर्शों या बाएं मॉड्यूल के बारे में व्यक्त किया जा सकता है।<!-- (semi)perfect rings for instance have a litany of "Foo is true for all left ideals iff foo is true for all finitely generated left ideals iff foo is true for all cyclic modules iff foo is true for all modules" -->
मॉड्यूल के अधिकांश सिद्धांत में वेक्टर रिक्त स्थान के कई वांछनीय गुणों को एक [[अच्छी तरह से व्यवहार]] वाली अंगूठी पर मॉड्यूल के दायरे तक विस्तारित करना शामिल है, जैसे कि एक [[प्रमुख आदर्श डोमेन]]। हालांकि, वेक्टर रिक्त स्थान की तुलना में मॉड्यूल थोड़ा अधिक जटिल हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, सभी मॉड्यूल का [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] नहीं होता है, और यहां तक ​​​​कि जो ऐसा करते हैं, मुक्त मॉड्यूल, को एक अद्वितीय [[मुफ्त मॉड्यूल]] परिभाषा की आवश्यकता नहीं होती है, यदि अंतर्निहित वलय वेक्टर रिक्त स्थान के विपरीत, [[अपरिवर्तनीय आधार संख्या]] की स्थिति को पूरा नहीं करती है, जो हमेशा एक (संभवतः अनंत) आधार है जिसकी कार्डिनैलिटी तब अद्वितीय है। (इन अंतिम दो अभिकथनों को सामान्य रूप से पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है, लेकिन परिमित-आयामी रिक्त स्थान के मामले में नहीं, या कुछ अच्छी तरह से व्यवहार किए गए अनंत-आयामी स्थान जैसे Lp space|L<sup>p</sup> रिक्त स्थान।)
 
मॉड्यूल के अधिकांश सिद्धांत में [[अच्छी तरह से व्यवहार]] वाली वलय पर मॉड्यूल के दायरे में संभव के रूप में सदिश रिक्त स्थान के कई वांछनीय गुणों का विस्तार होता है, जैसे कि एक [[प्रमुख आदर्श डोमेन]]। चूंकि, सदिश रिक्त स्थान की तुलना में मॉड्यूल थोड़ा अधिक जटिल हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, सभी मॉड्यूल का [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] नहीं होता है, और यहां तक ​​​​कि जो ऐसा करते है, [[मुफ्त मॉड्यूल]] के लिए, एक अद्वितीय  रैंक की आवश्यकता नहीं होती है यदि अंतर्निहित वलय अपरिवर्तनीय आधार संख्या की स्थिति को पूरा नहीं करती है, जिसमें हमेशा एक (संभवतः अनंत) होता है। आधार जिसकी कार्डिनैलिटी तब अद्वितीय है। (इन अंतिम दो अभिकथनों को सामान्य रूप से पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है, लेकिन परिमित-आयामी रिक्त स्थान या कुछ अच्छी तरह से व्यवहार किए गए अनंत-आयामी रिक्त स्थान जैसे L<sup>''p''</sup> रिक्त स्थान के मामले में नहीं।)                                                    


=== औपचारिक परिभाषा ===
=== औपचारिक परिभाषा ===
मान लीजिए कि R एक वलय (गणित) है, और 1 इसकी गुणात्मक तत्समक है।
मान लीजिए कि R एक वलय (गणित) है, और 1 इसकी गुणात्मक तत्समक है।
एक 'बायाँ आर-मॉड्यूल' एम में एक विनिमेय समूह होता है {{nowrap|(''M'', +)}} और एक ऑपरेशन {{nowrap|· : ''R'' × ''M'' → ''M''}} ऐसा कि सभी r, s in R और x, y in M ​​के लिए, हमारे पास है
 
एक 'बायाँ R-मॉड्यूल' M में एक विनिमेय समूह {{nowrap|(''M'', +)}} और एक ऑपरेशन {{nowrap| ''R'' × ''M'' → ''M''}} होता है जैसे कि सभी r, s में R और x, y में M ​​के लिए, हमारे पास है
#<math> r \cdot ( x + y ) = r \cdot x + r \cdot y </math>
#<math> r \cdot ( x + y ) = r \cdot x + r \cdot y </math>
#<math> ( r + s ) \cdot x = r \cdot x + s \cdot x </math>
#<math> ( r + s ) \cdot x = r \cdot x + s \cdot x </math>
#<math> ( r s ) \cdot x = r \cdot ( s \cdot x ) </math>
#<math> ( r s ) \cdot x = r \cdot ( s \cdot x ) </math>
#<math> 1 \cdot x = x .</math>
#<math> 1 \cdot x = x .</math>
संक्रिया · को अदिश गुणन कहते हैं। अक्सर प्रतीक · को छोड़ दिया जाता है, लेकिन इस लेख में हम इसका उपयोग करते हैं और आर में गुणन के लिए सन्निकटन आरक्षित रखते हैं। कोई भी लिख सकता है <sub>''R''</sub>एम इस बात पर जोर देने के लिए कि एम एक बाएं आर-मॉड्यूल है। एक 'सही आर-मॉड्यूल' एम<sub>''R''</sub> एक ऑपरेशन के संदर्भ में इसी तरह परिभाषित किया गया है {{nowrap|· : ''M'' × ''R'' → ''M''}}.
संक्रिया (·) को अदिश गुणन कहते हैं। अक्सर प्रतीक (·) को छोड़ दिया जाता है, लेकिन इस लेख में हम इसका उपयोग करते हैं और R में गुणन के लिए संसर्ग आरक्षित रखते हैं। कोई इस बात पर ज़ोर देने के लिए <sub>''R''</sub>''M'' लिख सकता है कि M एक बायाँ R-मॉड्यूल है। एक सही R-मॉड्यूल ''M<sub>R</sub>'' को ऑपरेशन के संदर्भ में समान रूप से {{nowrap|· : ''M'' × ''R'' → ''M''}}. परिभाषित किया गया है


जिन लेखकों को [[एकात्मक बीजगणित]] होने के लिए छल्ले की आवश्यकता नहीं है, वे उपरोक्त परिभाषा में शर्त 4 को छोड़ देते हैं; वे यूनिटल लेफ्ट आर-मॉड्यूल के ऊपर परिभाषित संरचनाओं को कॉल करेंगे। इस लेख में, [[रिंग थ्योरी की शब्दावली|वलय थ्योरी की शब्दावली]] के अनुरूप, सभी वलय्स और मॉड्यूल्स को एकात्मक माना जाता है।<ref name="DummitFoote">{{cite book | title=सार बीजगणित| publisher=John Wiley & Sons, Inc. |author1=Dummit, David S.  |author2=Foote, Richard M.  |name-list-style=amp | year=2004 | location=Hoboken, NJ | isbn=978-0-471-43334-7}}</ref>
जिन लेखकों को [[एकात्मक बीजगणित]] होने के लिए वलय की आवश्यकता नहीं है, वे उपरोक्त परिभाषा में शर्त 4 को छोड़ दें; वे ऊपर परिभाषित संरचनाओं को "इकाई बाया R-मॉड्यूल" कहेंगे।। इस लेख में, [[रिंग थ्योरी की शब्दावली|वलय सिद्धांत की शब्दावली]] के अनुरूप, सभी वलयों और मॉड्यूल्स को एकात्मक माना जाता है।<ref name="DummitFoote">{{cite book | title=सार बीजगणित| publisher=John Wiley & Sons, Inc. |author1=Dummit, David S.  |author2=Foote, Richard M.  |name-list-style=amp | year=2004 | location=Hoboken, NJ | isbn=978-0-471-43334-7}}</ref>
An (R, S)-बिमॉड्यूल एक विनिमेय समूह है जिसमें R के तत्वों द्वारा · बाएं अदिश गुणा · और S के तत्वों द्वारा दाएं अदिश गुणा * दोनों शामिल हैं, इसे एक साथ एक बाएं R-मॉड्यूल और एक दाएं S-मॉड्यूल बनाते हैं, अतिरिक्त शर्त को पूरा करना {{nowrap|1=(''r'' · ''x'') ∗ ''s'' = ''r'' ⋅ (''x'' ∗ ''s'')}} आर में सभी आर के लिए, एम में एक्स, और एस में एस।


यदि आर [[क्रमविनिमेय अंगूठी]] है, तो बाएं आर-मॉड्यूल दाएं आर-मॉड्यूल के समान होते हैं और उन्हें केवल आर-मॉड्यूल कहा जाता है।
An (R, S)-बिमॉड्यूल एक विनिमेय समूह है जिसमें R के तत्वों द्वारा · बाएं अदिश गुणा · और S के तत्वों द्वारा दाएं अदिश गुणा * दोनों शामिल हैं, इसे एक साथ एक बाएं R-मॉड्यूल और एक दाएं S-मॉड्यूल बनाते हैं, R में सभी R, M में X, और S में S के लिए अतिरिक्त शर्त (''r'' · ''x'') ∗ ''s'' = ''r'' ⋅ (''x'' ∗ ''s'') को संतुष्ट करता हैं।
 
यदि R [[क्रमविनिमेय अंगूठी|क्रमविनिमेय वलय]] है, तो बाएं R-मॉड्यूल दाएं R-मॉड्यूल के समान होते हैं और उन्हें केवल R-मॉड्यूल कहा जाता है।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


*यदि के एक क्षेत्र (गणित) है, तो के-वेक्टर रिक्त स्थान (के पर वेक्टर रिक्त स्थान) और के-मॉड्यूल समान हैं।
*यदि K एक क्षेत्र (गणित) है, तो K-सदिश रिक्त स्थान (K पर सदिश रिक्त स्थान) और K-मॉड्यूल समान हैं।
*यदि K एक क्षेत्र है, और K[x] एक अविभाजित बहुपद वलय है, तो एक बहुपद वलय#Modules|K[x]-मॉड्यूल M, M पर x की एक अतिरिक्त क्रिया के साथ एक K-मॉड्यूल है जो की क्रिया के साथ संचार करता है एम पर के। दूसरे शब्दों में, एक के [एक्स] -मॉड्यूल एक के-वेक्टर स्पेस एम है जो एम से एम के रैखिक मानचित्र के साथ संयुक्त है। इस उदाहरण के लिए एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर अंतिम रूप से जेनरेट किए गए मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय को लागू करना दिखाता है वाजिब विहित रूप और [[जॉर्डन सामान्य रूप]] रूपों का अस्तित्व।
*यदि K एक क्षेत्र है, और K[x] एक अविभाजित बहुपद वलय है, तो K[x]-मॉड्यूल M, M पर x की अतिरिक्त क्रिया के साथ एक K-मॉड्यूल है जो M पर K की क्रिया के साथ परिवर्तित होता है। दूसरे में शब्द, एक ''K''[''x'']-मॉड्यूल एक K-सदिश स्पेस M है जो M से M के रैखिक मानचित्र के साथ संयुक्त है। इस उदाहरण के लिए एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्मता से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय को लागू करना तर्कसंगत और [[जॉर्डन सामान्य रूप|जॉर्डन]] के अस्तित्व का विहित रूप दिखाता है।                                                         
*'जेड'-मॉड्यूल की अवधारणा एक विनिमेय समूह की धारणा से सहमत है। अर्थात्, प्रत्येक विनिमेय समूह एक अनोखे तरीके से पूर्णांक 'Z' के वलय पर एक मॉड्यूल है। के लिये {{nowrap|''n'' > 0}}, होने देना {{nowrap|1=''n'' ⋅ ''x'' = ''x'' + ''x'' + ... + ''x''}} (एन योग), {{nowrap|1=0 ⋅ ''x'' = 0}}, तथा {{nowrap|1=(−''n'') ⋅ ''x'' = −(''n'' ⋅ ''x'')}}. इस तरह के एक मॉड्यूल के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) की आवश्यकता नहीं है - मरोड़ वाले तत्वों वाले समूह नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, पूर्णांक अंकगणितीय 3 के समूह में, एक भी तत्व नहीं मिल सकता है जो एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट की परिभाषा को संतुष्ट करता है, क्योंकि जब एक पूर्णांक जैसे 3 या 6 एक तत्व को गुणा करता है, तो परिणाम 0 होता है। हालाँकि, यदि कोई [[परिमित क्षेत्र]] को वलय के रूप में लिए गए परिमित क्षेत्र पर एक मॉड्यूल के रूप में माना जाता है, यह एक सदिश स्थान है और इसका एक आधार है।)
*'Z'-मॉड्यूल की अवधारणा एक विनिमेय समूह की धारणा से सहमत है। अर्थात्, प्रत्येक विनिमेय समूह एक अद्वितीय विधि से पूर्णांक 'Z' के वलय पर एक मॉड्यूल है। {{nowrap|''n'' > 0}} के लिये, मान लीजिए {{nowrap|1=''n'' ⋅ ''x'' = ''x'' + ''x'' + ... + ''x''}} (n योग), {{nowrap|1=0 ⋅ ''x'' = 0}}, तथा {{nowrap|1=(−''n'') ⋅ ''x'' = −(''n'' ⋅ ''x'')}} है. इस तरह के एक मॉड्यूल के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) की आवश्यकता नहीं है - मरोड़ वाले तत्वों वाले समूह नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, पूर्णांक अंकगणितीय 3 के समूह में, एक भी तत्व नहीं मिल सकता है जो एक रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट की परिभाषा को संतुष्ट करता है, क्योंकि जब एक पूर्णांक जैसे 3 या 6 एक तत्व को गुणा करता है, तो परिणाम 0 होता है। चूँकि, यदि कोई [[परिमित क्षेत्र]] को वलय के रूप में लिए गए परिमित क्षेत्र पर एक मॉड्यूल के रूप में माना जाता है, यह एक सदिश स्थान है और इसका एक आधार है।)
*दशमलव भिन्न (नकारात्मक सहित) पूर्णांकों पर एक मॉड्यूल बनाते हैं। केवल [[सिंगलटन (गणित)]] रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट हैं, लेकिन कोई सिंगलटन नहीं है जो आधार के रूप में काम कर सके, इसलिए मॉड्यूल का कोई आधार नहीं है और कोई रैंक नहीं है।
*दशमलव भिन्न (नकारात्मक सहित) पूर्णांकों पर एक मॉड्यूल बनाते हैं। केवल [[सिंगलटन (गणित)]] रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट हैं, लेकिन कोई सिंगलटन नहीं है जो आधार के रूप में काम कर सके, इसलिए मॉड्यूल का कोई आधार नहीं है और कोई रैंक नहीं है।
*यदि R कोई वलय है और n एक प्राकृत संख्या है, तो [[कार्तीय गुणन]]फल R<sup>n</sup> यदि हम घटक-वार संचालन का उपयोग करते हैं, तो R के ऊपर बाएँ और दाएँ R-मॉड्यूल दोनों हैं। इसलिए कब {{nowrap|1=''n'' = 1}}, आर एक आर-मॉड्यूल है, जहां अदिश गुणा सिर्फ वलय गुणन है। मुकदमा {{nowrap|1=''n'' = 0}} तुच्छ आर-मॉड्यूल {0} उत्पन्न करता है जिसमें केवल इसकी पहचान तत्व होता है। इस प्रकार के मॉड्यूल को मुक्त मॉड्यूल कहा जाता है और यदि आर में अपरिवर्तनीय आधार संख्या है (उदाहरण के लिए कोई कम्यूटेटिव वलय या फ़ील्ड) संख्या n तो मुक्त मॉड्यूल का रैंक है।
*यदि R कोई वलय है और n एक प्राकृत संख्या है, तो [[कार्तीय गुणन|कार्तीय गुणनफल]] R<sup>n</sup> यदि हम घटक-वार संचालन का उपयोग करते हैं, तो R के ऊपर बाएँ और दाएँ R-मॉड्यूल दोनों हैं। इसलिए जब {{nowrap|1=''n'' = 1}}, R एक R-मॉड्यूल है, जहां अदिश गुणा सिर्फ वलय गुणन है। स्थिति {{nowrap|1=''n'' = 0}} तुच्छ R-मॉड्यूल {0} उत्पन्न करता है जिसमें केवल इसकी पहचान तत्व होता है। इस प्रकार के मॉड्यूल को मुक्त मॉड्यूल कहा जाता है और यदि R में अपरिवर्तनीय आधार संख्या है (उदाहरण के लिए कोई क्रम विनिमेय वलय या क्षेत्र) संख्या n तो मुक्त मॉड्यूल का रैंक है।
*यदि एम<sub>''n''</sub>(आर) की अंगूठी है {{nowrap|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} [[मैट्रिक्स (गणित)]] एक वलय R के ऊपर, M एक M है<sub>''n''</sub>(आर) -मॉड्यूल, और ई<sub>''i''</sub> है {{nowrap|''n'' × ''n''}} 1 के साथ मैट्रिक्स {{nowrap|(''i'', ''i'')}}-प्रविष्टि (और शून्य कहीं और), फिर ई<sub>''i''</sub>एम एक आर-मॉड्यूल है, क्योंकि {{nowrap|1=''re''<sub>''i''</sub>''m'' = ''e''<sub>''i''</sub>''rm'' ∈ ''e''<sub>''i''</sub>''M''}}. तो एम आर-मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में टूट जाता है, {{nowrap|1=''M'' = ''e''<sub>1</sub>''M'' ⊕ ... ⊕ ''e''<sub>''n''</sub>''M''}}. इसके विपरीत, एक आर-मॉड्यूल एम दिया गया<sub>0</sub>, फिर एम<sub>0</sub><sup>⊕n</sup> एक एम है<sub>''n''</sub>(आर) -मॉड्यूल। वास्तव में, मॉड्यूल की श्रेणी | आर-मॉड्यूल की श्रेणी और एम की [[श्रेणी (गणित)]]।<sub>''n''</sub>(आर)-मॉड्यूल श्रेणियों के समकक्ष हैं। विशेष मामला यह है कि मॉड्यूल एम सिर्फ एक मॉड्यूल के रूप में आर है, फिर आर<sup>n</sup> एक एम है<sub>''n''</sub>(आर) -मॉड्यूल।
*यदि M<sub>''n''</sub>(''R'') वलय R के ऊपर {{nowrap|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} [[मैट्रिक्स (गणित)]] वलय है, तो M एक M<sub>''n''</sub>(''R'')-मॉड्यूल है, और ei (i, i)-प्रवेश (और शून्य) में 1 वाला n × n अन्यत्र मैट्रिक्स है), तो  ''e<sub>i</sub>M'' एक R-मॉड्यूल है, क्योंकि {{nowrap|1=''re''<sub>''i''</sub>''m'' = ''e''<sub>''i''</sub>''rm'' ∈ ''e''<sub>''i''</sub>''M''}} है. तो M R-मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग {{nowrap|1=''M'' = ''e''<sub>1</sub>''M'' ⊕ ... ⊕ ''e''<sub>''n''</sub>''M''}} के रूप में टूट जाता है, इसके विपरीत, एक R-मॉड्यूल ''M''<sub>0</sub> दिया गया, तो ''M''<sub>0</sub><sup>⊕''n''</sup> एक M<sub>''n''</sub>(R) -मॉड्यूल है। वास्तव में, R-मॉड्यूल की श्रेणी और M<sub>''n''</sub>(R)-मॉड्यूल [[श्रेणी (गणित)]] समतुल्य हैं। विशेष स्थिति यह है कि मॉड्यूल Mसिर्फ एक मॉड्यूल के रूप में R है, तो R<sup>n</sup> एक M<sub>''n''</sub>(R) -मॉड्यूल है।
*यदि एस एक [[खाली सेट]] [[सेट (गणित)]] है, एम एक बाएं आर-मॉड्यूल है, और एम<sup>एस</sup> सभी कार्यों (गणित) का संग्रह है {{nowrap|''f'' : ''S'' → ''M''}}, फिर एम में जोड़ और अदिश गुणन के साथ<sup>S</sup> द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है {{nowrap|1=(''f'' + ''g'')(''s'') = ''f''(''s'') + ''g''(''s'')}} तथा {{nowrap|1=(''rf'')(''s'') = ''rf''(''s'')}}, एम<sup>एस</sup> एक बायां आर-मॉड्यूल है। सही आर-मॉड्यूल केस अनुरूप है। विशेष रूप से, यदि आर कम्यूटेटिव है तो आर-मॉड्यूल समरूपता का संग्रह {{nowrap|''h'' : ''M'' → ''N''}} (नीचे देखें) एक आर-मॉड्यूल है (और वास्तव में एन का एक सबमॉड्यूल है<sup>एम </सुप>).
*यदि S एक [[खाली सेट]] [[सेट (गणित)]] है, M एक बायाँ R-मॉड्यूल है, और ''M<sup>S</sup>'' सभी कार्यों (गणित) का {{nowrap|''f'' : ''S'' → ''M''}} संग्रह है, फिर M<sup>S</sup> में जोड़ और अदिश गुणन के साथ {{nowrap|1=(''f'' + ''g'')(''s'') = ''f''(''s'') + ''g''(''s'')}} तथा {{nowrap|1=(''rf'')(''s'') = ''rf''(''s'')}} द्वारा बिंदुवार परिभाषित किया गया है, M<sup>S</sup> एक बायां R-मॉड्यूल है। सही R-मॉड्यूल स्थिति के अनुरूप है। विशेष रूप से, यदि R क्रम विनिमेय है तो R- मॉड्यूल समरूपता का संग्रह {{nowrap|''h'' : ''M'' → ''N''}} (नीचे देखें) एक R- मॉड्यूल है (और वास्तव में ''N<sup>M</sup>'' का एक सबमॉड्यूल है
*यदि X एक [[चिकना कई गुना]] है, तो X से [[वास्तविक संख्या]]ओं तक के [[चिकना समारोह]] एक वलय C बनाते हैं<sup>∞</sup>(एक्स). एक्स पर परिभाषित सभी चिकनी [[वेक्टर क्षेत्र]] का सेट सी पर एक मॉड्यूल बनाता है<sup>∞</sup>(X), और इसी प्रकार [[टेंसर क्षेत्र]] और X पर [[विभेदक रूप]] भी करते हैं। आम तौर पर, किसी भी [[वेक्टर बंडल]] के सेक्शन C पर एक [[प्रक्षेपी मॉड्यूल]] बनाते हैं।<sup>∞</sup>(X), और हंस के प्रमेय द्वारा, प्रत्येक प्रक्षेपी मॉड्यूल कुछ बंडल के अनुभागों के मॉड्यूल के लिए समरूप है; सी की श्रेणी (गणित)।<sup>∞</sup>(X)-मॉड्यूल और X के ऊपर सदिश बंडलों की श्रेणी श्रेणियों की समतुल्यता है।
*यदि X एक [[चिकना कई गुना|कई गुना  चिकना]] है, तो X से [[वास्तविक संख्या]]ओं तक के [[चिकना समारोह|चिकना फलन]] एक वलय C<sup>∞</sup>(X) बनाते हैं. X पर परिभाषित सभी चिकनी [[वेक्टर क्षेत्र|सदिश क्षेत्र]] का सेट C<sup>∞</sup>(X) पर एक मॉड्यूल बनाता है, और इसी प्रकार [[टेंसर क्षेत्र]] और X पर [[विभेदक रूप]] भी करते हैं। सामान्यतः, किसी भी [[वेक्टर बंडल|सदिश समूह]] के अनुभाग C<sup>∞</sup>(X) पर एक [[प्रक्षेपी मॉड्यूल]] बनाते हैं।, और हंस के प्रमेय द्वारा, प्रत्येक प्रक्षेपी मॉड्यूल कुछ बंडल के अनुभागों के मॉड्यूल के लिए समरूप है; C<sup>∞</sup>(X)-मॉड्यूल और X के ऊपर सदिश बंडलों की श्रेणी श्रेणियों की समतुल्यता है।
*यदि आर कोई अंगूठी है और मैं आर में कोई [[अंगूठी आदर्श]] है, तो मैं एक बाएं आर-मॉड्यूल है, और आर में समान रूप से सही आदर्श दाएं आर-मॉड्यूल हैं।
*यदि R कोई वलय है और मैं R में कोई [[अंगूठी आदर्श|वलय आदर्श]] है, तो मैं एक बाएं R- मॉड्यूल है, और R में समान रूप से सही आदर्श दाएं R- मॉड्यूल हैं।
*यदि R एक वलय है, तो हम विपरीत वलय R को परिभाषित कर सकते हैं<sup>op</sup> जिसमें समान [[अंतर्निहित सेट]] और समान जोड़ ऑपरेशन है, लेकिन विपरीत गुणन: यदि {{nowrap|1=''ab'' = ''c''}} आर में, फिर {{nowrap|1=''ba'' = ''c''}} आर में<sup>ऑप</sup>। किसी भी बाएं आर-मॉड्यूल एम को तब आर पर एक सही मॉड्यूल के रूप में देखा जा सकता है<sup>op</sup>, और R के ऊपर किसी भी दाएँ मॉड्यूल को R के ऊपर एक बायाँ मॉड्यूल माना जा सकता है<sup>ऑप</sup>।
*यदि R एक वलय है, तो हम विपरीत वलय R<sup>op</sup> को परिभाषित कर सकते हैं जिसमें समान [[अंतर्निहित सेट]] और समान जोड़ ऑपरेशन है, लेकिन विपरीत गुणन: यदि {{nowrap|1=''ab'' = ''c''}} R में, तो {{nowrap|1=''ba'' = ''c''}} ''R''<sup>op</sup> होगा। किसी भी बाएं R- मॉड्यूल M को तब R<sup>op</sup>  पर एक सही मॉड्यूल के रूप में देखा जा सकता है,और R के ऊपर किसी भी दाएँ मॉड्यूल को R<sup>op</sup> पर एक सही मॉड्यूल के रूप में देखा जा सकता है।
* झूठे बीजगणित की शब्दावली # प्रतिनिधित्व सिद्धांत (सहयोगी बीजगणित) इसके सार्वभौमिक आवरण बीजगणित पर मॉड्यूल हैं।
* लाइ बीजगणित पर मॉड्यूल (सहयोगी बीजगणित) इसके सार्वभौमिक आवरण बीजगणित पर मॉड्यूल हैं।
*यदि R और S एक वलय समरूपता वाले वलय हैं {{nowrap|''φ'' : ''R'' → ''S''}}, तो प्रत्येक एस-मॉड्यूल एम परिभाषित करके एक आर-मॉड्यूल है {{nowrap|1=''rm'' = ''φ''(''r'')''m''}}. विशेष रूप से, एस ही एक ऐसा आर-मॉड्यूल है।
*यदि R और S एक वलय समरूपता {{nowrap|''φ'' : ''R'' → ''S''}} वाले वलय हैं, तो प्रत्येक S-मॉड्यूल M परिभाषित करके {{nowrap|1=''rm'' = ''φ''(''r'')''m''}} एक R-मॉड्यूल है. विशेष रूप से, S ही एक ऐसा R-मॉड्यूल है।


== सबमॉड्यूल और समरूपता ==
== सबमॉड्यूल और समरूपता ==


मान लीजिए एम एक बाएं आर-मॉड्यूल है और एन एम का एक [[उपसमूह]] है। फिर एन एक 'सबमॉड्यूल' (या अधिक स्पष्ट रूप से एक आर-सबमॉड्यूल) है यदि एन में किसी भी एन और आर में किसी भी आर के लिए उत्पाद {{nowrap|''r'' ⋅ ''n''}} (या {{nowrap|''n'' ⋅ ''r''}} एक सही आर-मॉड्यूल के लिए) एन में है।
मान लीजिए M एक बाएं R-मॉड्यूल है और n M का एक [[उपसमूह]] है। फिर n एक 'सबमॉड्यूल' (या अधिक स्पष्ट रूप से एक R-सबमॉड्यूल) है यदि n में किसी भी n और R में किसी भी R के लिए उत्पाद {{nowrap|''r'' ⋅ ''n''}} (या {{nowrap|''n'' ⋅ ''r''}} एक सही R-मॉड्यूल के लिए) n में है।


यदि X किसी R-मॉड्यूल का कोई [[सबसेट]] है, तो X द्वारा फैलाए गए सबमॉड्यूल को परिभाषित किया जाता है <math display="inline">\langle X \rangle = \,\bigcap_{N\supseteq X} N</math> जहाँ N, M के सबमॉड्यूल्स पर चलता है जिसमें X, या स्पष्ट रूप से होता है <math display="inline">\left\{\sum_{i=1}^k r_ix_i \mid r_i \in R, x_i \in X\right\}</math>, जो टेंसर उत्पादों की परिभाषा में महत्वपूर्ण है।<ref>{{Cite web|url=http://people.maths.ox.ac.uk/mcgerty/Algebra%20II.pdf|title=बीजगणित II: छल्ले और मॉड्यूल|last=Mcgerty|first=Kevin|date=2016}}</ref> किसी दिए गए मॉड्यूल एम के सबमिड्यूल का सेट, दो बाइनरी ऑपरेशंस + और ∩ के साथ, एक [[जाली (आदेश)]] बनाता है जो '[[मॉड्यूलर जाली]]' को संतुष्ट करता है:
यदि X किसी R-मॉड्यूल का कोई [[सबसेट]] है, तो X द्वारा फैलाए गए सबमॉड्यूल को <math display="inline">\langle X \rangle = \,\bigcap_{N\supseteq X} N</math> परिभाषित किया जाता है, जहाँ N, M के सबमॉड्यूल्स पर चलता है जिसमें X, या <math display="inline">\left\{\sum_{i=1}^k r_ix_i \mid r_i \in R, x_i \in X\right\}</math> स्पष्ट रूप से होता है, जो टेंसर उत्पादों की परिभाषा में महत्वपूर्ण है।<ref>{{Cite web|url=http://people.maths.ox.ac.uk/mcgerty/Algebra%20II.pdf|title=बीजगणित II: छल्ले और मॉड्यूल|last=Mcgerty|first=Kevin|date=2016}}</ref> किसी दिए गए मॉड्यूल M के सबमिड्यूल का सेट, दो बाइनरी ऑपरेशंस + और ∩ के साथ, एक [[जाली (आदेश)]] बनाता है जो '[[मॉड्यूलर जाली]]' को संतुष्ट करता है:
दिए गए सबमॉड्यूल यू, एन<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub> एम का ऐसा है {{nowrap|''N''<sub>1</sub> ⊂ ''N''<sub>2</sub>}}, तो निम्नलिखित दो सबमॉड्यूल बराबर हैं: {{nowrap|1=(''N''<sub>1</sub> + ''U'') ∩ ''N''<sub>2</sub> = ''N''<sub>1</sub> + (''U'' ∩ ''N''<sub>2</sub>)}}.


यदि एम और एन शेष आर-मॉड्यूल हैं, तो एक [[नक्शा (गणित)]] {{nowrap|''f'' : ''M'' → ''N''}} एक मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म है | ''आर'' का होमोमोर्फिज्म-मॉड्यूल अगर किसी भी ''एम'' के लिए, ''एन'' में ''एम'' और ''आर'', ''एस'' में ''आर'' '',
दिए गए सबमॉड्यूल U, n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub> का M ऐसा है कि {{nowrap|''N''<sub>1</sub> ⊂ ''N''<sub>2</sub>}}, तो निम्नलिखित दो सबमॉड्यूल: {{nowrap|1=(''N''<sub>1</sub> + ''U'') ∩ ''N''<sub>2</sub> = ''N''<sub>1</sub> + (''U'' ∩ ''N''<sub>2</sub>)}} बराबर हैं.
 
यदि M और n शेष R-मॉड्यूल हैं, तो एक [[नक्शा (गणित)]] {{nowrap|''f'' : ''M'' → ''N''}} एक मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म है | R का होमोमोर्फिज्म-मॉड्यूल यदि किसी भी m, n में M ​​और r, s में R के लिए,
:<math>f(r \cdot m + s \cdot n) = r \cdot f(m) + s \cdot f(n)</math>.
:<math>f(r \cdot m + s \cdot n) = r \cdot f(m) + s \cdot f(n)</math>.
यह, गणितीय वस्तुओं के किसी भी [[समरूपता]] की तरह, केवल एक मानचित्रण है जो वस्तुओं की संरचना को संरक्षित करता है। आर-मॉड्यूल के समरूपता का दूसरा नाम एक आर-रैखिक नक्शा है।
यह, गणितीय वस्तुओं के किसी भी [[समरूपता]] की तरह, केवल एक मानचित्रण है जो वस्तुओं की संरचना को संरक्षित करता है। R-मॉड्यूल के समरूपता का दूसरा नाम एक R-रैखिक नक्शा है।


एक विशेषण मॉड्यूल समरूपता {{nowrap|''f'' : ''M'' → ''N''}} मॉड्यूल [[समाकृतिकता]] कहा जाता है, और दो मॉड्यूल एम और एन को 'आइसोमोर्फिक' कहा जाता है। दो आइसोमॉर्फिक मॉड्यूल सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए समान हैं, केवल उनके तत्वों के संकेतन में भिन्न हैं।
एक विशेषण मॉड्यूल समरूपता {{nowrap|''f'' : ''M'' → ''N''}} मॉड्यूल [[समाकृतिकता]] कहा जाता है, और दो मॉड्यूल M और n को 'समरूप' कहा जाता है। दो आइसोमॉर्फिक मॉड्यूल सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए समान हैं, केवल उनके तत्वों के संकेतन में भिन्न हैं।


एक मॉड्यूल समरूपता का कर्नेल (बीजगणित)। {{nowrap|''f'' : ''M'' → ''N''}} एम का सबमॉड्यूल है जिसमें सभी तत्व शामिल हैं जो एफ द्वारा शून्य पर भेजे जाते हैं, और एफ की [[छवि (गणित)]] एम के सभी तत्वों एम के लिए मान एफ (एम) से मिलकर एन का सबमॉड्यूल है।<ref>{{Cite web|url=https://faculty.math.illinois.edu/~r-ash/Algebra/Chapter4.pdf|title=मॉड्यूल मूल बातें|last=Ash|first=Robert|website=Abstract Algebra: The Basic Graduate Year}}</ref> समूहों और सदिश स्थानों से परिचित [[समरूपता प्रमेय]] आर-मॉड्यूल के लिए भी मान्य हैं।
एक मॉड्यूल समरूपता का कर्नेल (बीजगणित)। {{nowrap|''f'' : ''M'' → ''N''}} M का सबमॉड्यूल है जिसमें सभी तत्व शामिल हैं जो एफ द्वारा शून्य पर भेजे जाते हैं, और एफ की [[छवि (गणित)]] M के सभी तत्वों M के लिए मान एफ (M) से मिलकर n का सबमॉड्यूल है।<ref>{{Cite web|url=https://faculty.math.illinois.edu/~r-ash/Algebra/Chapter4.pdf|title=मॉड्यूल मूल बातें|last=Ash|first=Robert|website=Abstract Algebra: The Basic Graduate Year}}</ref> समूहों और सदिश स्थानों से परिचित [[समरूपता प्रमेय]] R-मॉड्यूल के लिए भी मान्य हैं।


एक वलय आर दिया गया है, सभी बाएं आर-मॉड्यूल का सेट उनके मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म के साथ एक [[एबेलियन श्रेणी|विनिमेय श्रेणी]] बनाता है, जिसे आर-'मॉड' द्वारा दर्शाया गया है ([[मॉड्यूल की श्रेणी]] देखें)।
एक वलय R दिया गया है, सभी बाएं R-मॉड्यूल का सेट उनके मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म के साथ एक [[एबेलियन श्रेणी|विनिमेय श्रेणी]] बनाता है, जिसे R-'मॉड' द्वारा दर्शाया गया है ([[मॉड्यूल की श्रेणी]] देखें)।


== मॉड्यूल के प्रकार ==
== मॉड्यूल के प्रकार ==
{{see also|Glossary of module theory}}
{{see also|मॉड्यूल सिद्धांत की शब्दावली}}
; अंतिम रूप से उत्पन्न: एक आर-मॉड्यूल एम [[अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल]] है यदि बहुत सारे तत्व x मौजूद हैं<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub> M में ऐसा है कि M का प्रत्येक तत्व वलय R से गुणांक वाले उन तत्वों का एक [[रैखिक संयोजन]] है।
; अंतिम रूप से उत्पन्न: एक R-मॉड्यूल M [[अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल]] है यदि बहुत सारे तत्व x<sub>1</sub>, ..., X<sub>''n''</sub> उपस्थित होते हैं जैसे कि M के प्रत्येक तत्व वलय R से गुणांक वाले उन तत्वों का एक [[रैखिक संयोजन]] है।
; चक्रीय: एक मॉड्यूल को [[चक्रीय मॉड्यूल]] कहा जाता है यदि यह एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है।
; चक्रीय: एक मॉड्यूल को [[चक्रीय मॉड्यूल]] कहा जाता है यदि यह एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है।
; नि: शुल्क: एक नि: शुल्क मॉड्यूल | मुक्त आर-मॉड्यूल एक ऐसा मॉड्यूल है जिसका एक आधार है, या समकक्ष है, जो वलय आर की प्रतियों के मॉड्यूल के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए आइसोमोर्फिक है। ये ऐसे मॉड्यूल हैं जो वेक्टर रिक्त स्थान की तरह व्यवहार करते हैं।
; मुफ्त: एक मुक्त R-मॉड्यूल एक ऐसा मॉड्यूल है जिसका आधार, या समतुल्य है, जो रिंग R की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है। ये ऐसे मॉड्यूल हैं जो सदिश रिक्त स्थान की तरह व्यवहार करते हैं।
; प्रक्षेपी: प्रक्षेपी मॉड्यूल मुक्त मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग हैं और उनके कई वांछनीय गुणों को साझा करते हैं।
; प्रक्षेपी: प्रक्षेपी मॉड्यूल मुक्त मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग हैं और उनके कई वांछनीय गुणों को साझा करते हैं।
; इंजेक्शन: [[इंजेक्शन मॉड्यूल]] को प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के लिए दो तरह से परिभाषित किया गया है।
; अंतःक्षेपक: [[इंजेक्शन मॉड्यूल]] को प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के लिए दो तरह से परिभाषित किया गया है।
; फ्लैट: एक मॉड्यूल को [[फ्लैट मॉड्यूल]] कहा जाता है यदि आर-मॉड्यूल के किसी भी