यूक्लिड: Difference between revisions

यूक्लिड ({{IPAc-en|ˈ|juː|k|l|ɪ|d}}; {{lang-grc-gre|[[Wikt:Εὐκλείδης|Εὐκλείδης]]}}; {{fl.|300}} ईसा पूर्व) एक प्राचीन यूनानी [[गणितज्ञ]] था जो एक [[ज्यामितिशास्त्रीय]] और लॉजिशियन के रूप में सक्रिय था।{{sfn|Bruno|2003|p=[https://archive.org/details/mathmathematicia00brun/page/125 125]}} ज्यामिति का जनक माना जाता है,{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Summary"}} उन्हें मुख्य रूप से यूक्लिड के तत्व ग्रंथ के लिए जाना जाता है, जिसने [[ज्यामिति]] की नींव स्थापित की जो 19वीं शताब्दी की शुरुआत तक बड़े पैमाने पर क्षेत्र पर हावी रही। उनकी प्रणाली, जिसे अब [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] के रूप में संदर्भित किया जाता है, में पहले ग्रीक गणितज्ञों के सिद्धांतों के संश्लेषण के साथ संयोजन में नए नवाचार शामिल थे, जिनमें कनिडस के यूडोक्सस, चिओस के हिप्पोक्रेट्स, थेल्स और थेएटेटस (गणितज्ञ) शामिल थे। पेरगा के [[आर्किमिडीज]] और एपोलोनियस के साथ, यूक्लिड को आमतौर पर पुरातनता के महानतम गणितज्ञों में से एक माना जाता है, और गणित के इतिहास में सबसे प्रभावशाली में से एक है।

यूक्लिड के जीवन के बारे में बहुत कम जानकारी है, और अधिकांश जानकारी कई सदियों बाद [[सिकंदरिया]] के दार्शनिकों प्रोक्लस और पप्पस से आती है। शुरुआती पुनर्जागरण तक उन्हें अक्सर मेगारा के पहले दार्शनिक यूक्लिड के लिए गलत माना जाता था, जिससे उनकी जीवनी को काफी हद तक संशोधित किया गया था। आम तौर पर यह माना जाता है कि उन्होंने अपना करियर अलेक्जेंड्रिया में टॉलेमी आई सोटर के तहत बिताया और प्लेटो के बाद और आर्किमिडीज़ से पहले 300 ईसा पूर्व के आसपास रहे। कुछ अटकलें हैं कि यूक्लिड प्लेटोनिक अकादमी का छात्र था। यूक्लिड को अक्सर [[एथेंस]] में पहले की प्लेटोनिक परंपरा को अलेक्जेंड्रिया की बाद की परंपरा के साथ जोड़ने के रूप में माना जाता है।

तत्वों में, यूक्लिड ने [[स्वयंसिद्ध]]ों के एक छोटे समूह से प्रमेयों को निकाला। उन्होंने परिप्रेक्ष्य (दृश्य), [[शंकु खंड]], गोलाकार ज्यामिति, [[संख्या सिद्धांत]], और कठोरता#गणितीय प्रमाण पर काम भी लिखा। तत्वों के अलावा, यूक्लिड ने [[प्रकाशिकी]] क्षेत्र, यूक्लिड के प्रकाशिकी, और [[डेटा (यूक्लिड)]] और फेनोमेना सहित कम ज्ञात कार्यों में एक केंद्रीय प्रारंभिक पाठ लिखा। यूक्लिड के दो अन्य ग्रंथों के ग्रन्थकारिता-आंकड़ों के विभाजन पर, कैटोपट्रिक्स- पर सवाल उठाया गया है। ऐसा माना जाता है कि उन्होंने अब बहुत सी #खोई हुई रचनाएँ लिखी हैं।

[[File:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's Elements.jpg|thumb|upright=1.6|यूक्लिड के तत्वों का एक पपाइरस ऑक्सीरहिन्चस 29 दिनांकित {{circa|75–125 AD}}. ऑक्सीरहिन्चस में पाया गया, आरेख पुस्तक II, प्रस्ताव 5 के साथ आता है।{{sfn|Fowler|1999|pp=210–211}}]]अंग्रेजी नाम 'यूक्लिड' प्राचीन ग्रीक नाम विक्ट: Εὐκλείδης|Εὐκλείδης का अंग्रेजीकृत संस्करण है।{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Life"}}{{efn|In modern English, 'Euclid' is pronounced as {{IPAc-en|ˈ|juː|k|l|ɪ|d}} in [[British English]] and {{IPAc-en|'|j|u|ˌ|k|l|ɪ|d}} in [[American English]].{{sfn|''OED''a}}}} यह 'Wikt:eu-#English|eu-' (Wikt:εὖ#Ancient यूनानी|εὖ; 'well') और 'class' (Wikt:#-κλῆς|-κλῆς; 'प्रसिद्धि') से लिया गया है, जिसका अर्थ है प्रसिद्ध, गौरवशाली{{sfn|''OED''b}} 'यूक्लिड' शब्द का कम सामान्यतः अर्थ उसी की एक प्रति भी है,{{sfn|''OED''a}} और कभी-कभी 'ज्यामिति' का पर्याय बन जाता है।{{sfn|Bruno|2003|p=[https://archive.org/details/mathmathematicia00brun/page/125 125]}}

कई प्राचीन ग्रीक गणितज्ञों की तरह, यूक्लिड का जीवन ज्यादातर अज्ञात है।{{sfn|Heath|1981|p=354}} उन्हें ज्यादातर मौजूदा ग्रंथों- यूक्लिड के तत्व, यूक्लिड के प्रकाशिकी, डेटा (यूक्लिड), फेनोमेना- के लेखक के रूप में स्वीकार किया जाता है, लेकिन इसके अलावा, उनके बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है।{{sfn|Asper|2010|loc=§ para. 1}}{{efn|Euclid's ''oeuvre'' also includes the treatise ''On Divisions'', which survives fragmented in a later Arabic source.{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Works"}} He authored numerous [[#Lost works|lost works]] as well.}} इतिहासकार [[कार्ल बेंजामिन बोयर]] ने विडंबना का उल्लेख किया है कि लेखक और उसके सर्वश्रेष्ठ विक्रेता [तत्वों] की प्रसिद्धि को ध्यान में रखते हुए, उल्लेखनीय रूप से यूक्लिड के बारे में बहुत कम जानकारी है।{{sfn|Boyer|1991|p=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/100/mode/2up?view=theater 100]}} पारंपरिक कथा मुख्य रूप से यूक्लिड के तत्वों की पहली पुस्तक पर अपनी टिप्पणी में प्रोक्लस द्वारा 5 वीं शताब्दी ईस्वी के खाते के साथ-साथ 4 वीं शताब्दी की शुरुआत में अलेक्जेंड्रिया के पप्पस के कुछ उपाख्यानों का अनुसरण करती है।{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Life"}}{{efn|Some of the information from [[Pappus of Alexandria]] on Euclid is now lost and was preserved in [[Proclus]]'s ''Commentary on the First Book of Euclid's Elements''.{{sfn|Heath|1911|p=741}}}} प्रोक्लस के अनुसार, यूक्लिड दार्शनिक प्लेटो के बाद जीवित रहे ({{Died in|347}} ईसा पूर्व) और गणितज्ञ आर्किमिडीज से पहले ({{circa|287|212}} ईसा पूर्व); विशेष रूप से, प्रोक्लस ने यूक्लिड को टॉलेमी आई सोटर के शासन के दौरान रखा ({{reign|305/304|282}} ईसा पूर्व)।{{sfn|Asper|2010|loc=§ para. 1}}{{sfn|Heath|1981|p=354}}{{efn|See {{harvnb|Heath|1981|p=354}} for an English translation on Proclus's account of Euclid's life.}} अपने संग्रह में, पप्पस इंगित करता है कि यूक्लिड अलेक्जेंड्रिया में सक्रिय था, जहां उसने गणितीय परंपरा की स्थापना की थी।{{sfn|Asper|2010|loc=§ para. 1}}{{sfn|Sialaros|2020|p=142}} इस प्रकार, पारंपरिक रूपरेखा- इतिहासकार माइकेलिस सियालारोस द्वारा प्रमुख दृष्टिकोण के रूप में वर्णित- यह मानता है कि यूक्लिड लगभग 300 ईसा पूर्व अलेक्जेंड्रिया में रहता था, जबकि टॉलेमी I ने शासन किया था।{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Life"}}

यूक्लिड की जन्मतिथि अज्ञात है; कुछ विद्वानों का अनुमान लगभग 330 है{{sfn|Ball|1960|p=[https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/52/mode/2up 52]}}{{sfn|Sialaros|2020|p=141}} या 325 ईसा पूर्व,{{sfn|Bruno|2003|p=[https://archive.org/details/mathmathematicia00brun/page/125 125]}}{{sfn|Goulding|2010|p=125}} लेकिन अन्य स्रोत पूरी तरह से किसी तिथि का अनुमान लगाने से बचते हैं।{{sfn|Smorynski|2008|p=2}} यह माना जाता है कि वह यूनानी वंश का था,{{sfn|Ball|1960|p=[https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/52/mode/2up 52]}} लेकिन उनका जन्मस्थान अज्ञात है।{{sfn|Boyer|1991|p=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/100/mode/2up?view=theater 100]}}{{efn|Later Arab sources state he was a Greek born in modern-day [[Tyre, Lebanon]], though these accounts are considered dubious and speculative.{{sfn|Asper|2010|loc=§ para. 1}}{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Life"}} See {{harvnb|Heath|1981|p=355}} for an English translation of the Arab account. He was long held to have been born in Megara, but by the [[Renaissance]] it was concluded that he had been confused with the philosopher [[Euclid of Megara]],{{sfn|Goulding|2010|p=118}} see [[#Identity and historicity|§Identity and historicity]]}} प्रोक्लस ने माना कि यूक्लिड ने प्लैटोनिज़्म का अनुसरण किया, लेकिन इसकी कोई निश्चित पुष्टि नहीं है।{{sfn|Heath|1981|p=355}} यह संभावना नहीं है कि वह प्लेटो के समकालीन थे, इसलिए अक्सर यह माना जाता है कि उन्हें प्लेटो के शिष्यों ने एथेंस में प्लेटोनिक अकादमी में शिक्षित किया था।{{sfn|Goulding|2010|p=126}} इतिहासकार थॉमस हीथ (क्लासिकिस्ट) ने इस सिद्धांत का समर्थन करते हुए कहा कि सबसे सक्षम जियोमीटर एथेंस में रहते थे, जिसमें कई गणितज्ञ शामिल थे जिनके काम यूक्लिड ने बाद में बनाए।{{sfn|Heath|1908|p=[https://archive.org/details/bub_gb_UhgPAAAAIAAJ/page/n13/mode/2up 2]}}{{sfn|Sialaros|2020|p=147}} सियालारोस द्वारा इन दावों की सटीकता पर सवाल उठाया गया है,{{sfn|Sialaros|2020|pp=147–148}} जिन्होंने कहा कि हीथ के सिद्धांत को केवल एक अनुमान के रूप में माना जाना चाहिए।{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Life"}} प्लेटोनिक अकादमी में उनकी वास्तविक उपस्थिति के बावजूद, उनके बाद के काम की सामग्री निश्चित रूप से सुझाव देती है कि वे प्लेटोनिक ज्यामिति परंपरा से परिचित थे, हालांकि वे [[अरस्तू]] से कोई भी प्रभाव नहीं दिखाते हैं।{{sfn|Ball|1960|p=[https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/52/mode/2up 52]}}

[[सिकंदर महान]] ने 331 ईसा पूर्व में अलेक्जेंड्रिया की स्थापना की, जहां यूक्लिड बाद में 300 ईसा पूर्व के आसपास सक्रिय हो गया।{{sfn|Bruno|2003|p=[https://archive.org/details/mathmathematicia00brun/page/126 126]}} 306 ईसा पूर्व से टॉलेमी प्रथम के शासन ने शहर को एक स्थिरता प्रदान की जो कि सिकंदर के साम्राज्य को विभाजित करने पर डियाडोची के अराजक युद्धों के बीच भूमध्यसागरीय क्षेत्र में अपेक्षाकृत अद्वितीय था।{{sfn|Ball|1960|p=[https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/50/mode/2up 51]}} टॉलेमी ने यूनानीकरण की प्रक्रिया शुरू की और कई निर्माण शुरू किए, विशाल [[संग्रहालय]] संस्थान का निर्माण किया, जो शिक्षा का एक प्रमुख केंद्र था।{{sfn|Boyer|1991|p=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/100/mode/2up?view=theater 100]}}{{efn|The [[Musaeum]] would later include the famous [[Library of Alexandria]], but it was likely founded later, during the reign of [[Ptolemy II Philadelphus]] (285–246 BC).{{sfn|Tracy|2000|pp=343–344}}}} बाद के उपाख्यानों के आधार पर, यूक्लिड को मुसेयम के पहले विद्वानों में से एक माना जाता है और वहां उन्होंने एलेक्जेंड्रियन स्कूल ऑफ मैथमेटिक्स की स्थापना की।{{sfn|Bruno|2003|p=[https://archive.org/details/mathmathematicia00brun/page/126 126]}} पप्पस के अनुसार, पेरगा के बाद के गणितज्ञ अपोलोनियस को यूक्लिड के विद्यार्थियों द्वारा पढ़ाया गया था।{{sfn|Heath|1908|p=[https://archive.org/details/bub_gb_UhgPAAAAIAAJ/page/n13/mode/2up 2]}} यूक्लिड की मृत्यु की तिथि अज्ञात है; यह अनुमान लगाया गया है कि उनकी मृत्यु हो गई {{circa|270}} ईसा पूर्व, संभवतः अलेक्जेंड्रिया में।{{sfn|Bruno|2003|p=[https://archive.org/details/mathmathematicia00brun/page/126 126]}}

[[File:Domenico Marolì - Euclid of Megara.jpg|thumb|upright=1.5|[[डोमिनिको मारोली]] द्वारा 1650 के दशक की एक पेंटिंग, जिसमें मेगारा के दार्शनिक यूक्लिड का चित्रण किया गया है। उस समय, दार्शनिक यूक्लिड और गणितज्ञ यूक्लिड को गलत तरीके से एक ही व्यक्ति माना जाता था, इसलिए इस पेंटिंग में टेबल पर गणितीय वस्तुएं शामिल हैं।]]यूक्लिड को अक्सर 'अलेक्जेंड्रिया के यूक्लिड' के रूप में संदर्भित किया जाता है ताकि वह सुकरात के एक शिष्य मेगारा के पहले दार्शनिक यूक्लिड से अलग हो सके, जो प्लेटो के संवादों में बोलने वालों की सूची में शामिल था।{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Life"}}{{sfn|Smorynski|2008|p=2}} ऐतिहासिक रूप से, मध्यकालीन विद्वानों ने अक्सर गणितज्ञ और दार्शनिक को भ्रमित किया, गलती से पूर्व को लैटिन में 'मेगारेंसिस' के रूप में संदर्भित किया ({{lit|of Megara}}).{{sfn|Taisbak|Waerden|2021|loc=§ "Life"}} परिणामस्वरूप, गणितज्ञ यूक्लिड की जीवनी संबंधी जानकारी लंबे समय तक अलेक्जेंड्रिया के यूक्लिड और मेगारा के यूक्लिड दोनों के जीवन से जुड़ी रही।{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Life"}} गणितज्ञ और दार्शनिक को भ्रमित करने वाले पुरातनता के एकमात्र विद्वान वेलेरियस मैक्सिमस थे।{{sfn|Goulding|2010|p=120}}{{efn|The historian Robert Goulding notes that the "common conflation of Euclid of Megara and Euclid the mathematician in Byzantine sources" suggests that doing so was a "more extensive tradition" than just the account of Valerius.{{sfn|Goulding|2010|p=120}}}} हालांकि, इस गलत पहचान को कई गुमनाम [[बीजान्टिन]] स्रोतों और नोवारा और थिओडोर मेटोचाइट्स के पुनर्जागरण विद्वानों कैम्पैनस द्वारा रिले किया गया था, जिसे [[एरहार्ड रैटडॉल्ट]] द्वारा बाद के 1482 अनुवाद में शामिल किया गया था।{{sfn|Goulding|2010|p=120}} गणितज्ञ के बाद {{ill|Bartolomeo Zamberti|fr}} (1473-1539) ने अपने 1505 अनुवाद में इस धारणा की पुष्टि की, बाद के सभी प्रकाशन इस पहचान पर पारित हुए।{{sfn|Goulding|2010|p=120}}{{efn|This misidentification also appeared in Art; the 17th-century painting {{lang|it|Euclide di Megara si traveste da donna per recarsi ad Atene a seguire le lezioni di Socrate}} [''Euclid of Megara Dressing as a Woman to Hear Socrates Teach in Athens''] by [[Domenico Maroli]] portrays the philosopher [[Euclid of Megara]] but includes mathematical objects on his desk, under the false impression that he is also Euclid of Alexandria.{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Life" and Note 5}}}} बाद के पुनर्जागरण के विद्वानों, विशेष रूप से पीटर रेमस ने इस दावे का पुनर्मूल्यांकन किया, कालक्रम में मुद्दों और प्रारंभिक स्रोतों में विरोधाभास के माध्यम से इसे गलत साबित किया।{{sfn|Goulding|2010|p=120}}

उनकी मृत्यु के कई सदियों बाद लिखे गए अरब स्रोत यूक्लिड के जीवन से संबंधित बड़ी मात्रा में जानकारी देते हैं, लेकिन वे पूरी तरह से असत्यापित हैं।{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Life"}} अधिकांश विद्वान उन्हें संदिग्ध प्रामाणिकता मानते हैं;{{sfn|Asper|2010|loc=§ para. 1}} हीथ विशेष रूप से तर्क देते हैं कि एक सम्मानित गणितज्ञ और अरब दुनिया के बीच संबंध को मजबूत करने के लिए काल्पनिककरण किया गया था।{{sfn|Heath|1981|p=355}} यूक्लिड से संबंधित कई उपाख्यानात्मक कहानियां भी हैं, जो सभी अनिश्चित ऐतिहासिकता से संबंधित हैं, जो उन्हें एक दयालु और सौम्य बूढ़े व्यक्ति के रूप में चित्रित करती हैं।{{sfn|Boyer|1991|p=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/100/mode/2up?view=theater 101]}} इनमें से सबसे अच्छी तरह से ज्ञात प्रोक्लस की कहानी है जिसमें टॉलेमी ने यूक्लिड से पूछा कि क्या उनके तत्वों को पढ़ने की तुलना में ज्यामिति सीखने का एक तेज़ रास्ता है, जिसके बारे में यूक्लिड ने उत्तर दिया कि ज्यामिति के लिए कोई शाही रास्ता नहीं है।{{sfn|Boyer|1991|p=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/100/mode/2up?view=theater 101]}} यह उपाख्यान संदेहास्पद है क्योंकि [[मेनेकमस]] और सिकंदर महान के बीच एक बहुत ही समान बातचीत स्टोबियस से दर्ज की गई है।{{sfn|Boyer|1991|p=96}} दोनों खाते 5वीं शताब्दी ईस्वी में लिखे गए थे, न तो उनके स्रोत का संकेत मिलता है, और न ही कहानी प्राचीन यूनानी साहित्य में दिखाई देती है।{{sfn|Sialaros|2018|p=90}}

यूक्लिड की गतिविधि का पारंपरिक आख्यान {{circa|300}} चौथी शताब्दी ईसा पूर्व के किसी भी गणितज्ञ द्वारा जटिल नहीं है जो उसके अस्तित्व का संकेत देता है।{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Life"}} आर्किमिडीज और एपोलोनियस जैसे तीसरी शताब्दी के गणितज्ञ मानते हैं कि उनके काम का एक हिस्सा जाना जाता है;{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Life"}} हालाँकि, आर्किमिडीज़ यूक्लिड के बजाय अनुपात के एक पुराने सिद्धांत का अजीब तरीके से उपयोग करते हैं।{{sfn|Asper|2010|loc=§ para. 1}} तत्वों को कम से कम आंशिक रूप से तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व तक प्रचलन में रखा गया है।{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Life"}} कुछ प्राचीन ग्रीक गणितज्ञों ने उनके नाम का उल्लेख किया है, लेकिन उन्हें आमतौर पर ὁ στοιχειώτης (तत्वों के लेखक) के रूप में जाना जाता है।{{sfn|Heath|1981|p=357}} मध्य युग में, कुछ विद्वानों ने तर्क दिया कि यूक्लिड एक ऐतिहासिक व्यक्ति नहीं था और उसका नाम ग्रीक गणितीय शब्दों के भ्रष्टाचार से उत्पन्न हुआ था।{{sfn|Ball|1960|pp=[https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/52/mode/2up 52–53]}}

== वर्क्स ==

{{anchor|The ''Elements''|Elements}}{{main|Euclid's Elements}}

'''Structure of the ''Elements'''''{{sfn|Artmann|2012|p=3}}

<hr/>

: Books I–VI: Plane geometry

: Books VII–X: Arithmetic

: Books XI–XIII: Solid geometry

यूक्लिड अपने तेरह-पुस्तक ग्रंथ, एलिमेंट्स के लिए सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है ({{lang-grc-gre|[[Wikt:στοιχεία|Στοιχεῖα]]}}; {{transliteration|grc|Stoicheia}}).{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Summary"}}{{sfn|Asper|2010|loc=§ para. 2}} हालांकि तत्वों में से कई परिणाम पहले के ग्रीक गणितज्ञों के साथ उत्पन्न हुए थे, यूक्लिड की उपलब्धियों में से एक उन्हें एक एकल, तार्किक रूप से सुसंगत ढांचे में प्रस्तुत करना था, जिससे इसका उपयोग करना आसान और संदर्भ में आसान हो गया, जिसमें कठोर [[गणितीय प्रमाण]]ों की एक प्रणाली शामिल है जो बनी हुई है। 23 सदियों बाद गणित के आधार।{{sfn|Struik|1967|loc=p. 51, "their logical structure has influenced scientific thinking perhaps more than any other text in the world"}} जिन गणितज्ञों के काम को चित्रित किया गया है उनमें यूडोक्सस, हिप्पोक्रेट्स ऑफ चिओस, थेल्स और थेएटेटस शामिल हैं।{{sfn|Asper|2010|loc=§ para. 6}}

हालांकि सबसे अच्छा अपने ज्यामितीय परिणामों के लिए जाना जाता है, तत्वों में संख्या सिद्धांत भी शामिल है। यह पूर्ण संख्या और [[मेर्सन प्रीमियम]] (यूक्लिड-यूलर प्रमेय के रूप में जाना जाता है), यूक्लिड के प्रमेय, यूक्लिड के कारकीकरण पर लेम्मा (जो पूर्णांक कारककरण की विशिष्टता पर अंकगणित के मौलिक प्रमेय की ओर जाता है), और [[यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] के बीच संबंध पर विचार करता है। दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक।

[[File:Euclid Dodecahedron 1.svg|thumb|यूक्लिड का एक नियमित द्वादशफलक का निर्माण।]]तत्वों के अलावा, यूक्लिड के कम से कम पांच कार्य आज तक जीवित हैं। वे परिभाषाओं और सिद्ध प्रस्तावों के साथ तत्वों के समान तार्किक संरचना का पालन करते हैं।

* कैटोपट्रिक्स का संबंध दर्पणों के गणितीय सिद्धांत से है, विशेष रूप से समतल और गोलाकार अवतल दर्पणों में बनने वाली छवियों से, हालांकि कभी-कभी आरोपण पर सवाल उठाया जाता है।{{sfn|Sialaros|2021|loc=§ "Other Works"}}

* डेटा (यूक्लिड) ({{lang-grc-gre|Δεδομένα}}), कुछ