अभिन्न समीकरण: Difference between revisions

गणित में, समाकल समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक अज्ञात फलन (गणित) एक समाकल चिह्न के अंतर्गत प्रकट होता है।<ref name=":0" />गणितीय संकेतन में, अभिन्न समीकरणों को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है: <math display="block">f(x_1,x_2,x_3,...,x_n ; u(x_1,x_2,x_3,...,x_n) ; I^1 (u), I^2(u), I^3(u), ..., I^m(u)) = 0</math>कहां <math>I^i(u)</math> यू पर अभिनय करने वाला एक अभिन्न संकारक है।<ref name=":0" />इसलिए, अभिन्न समीकरणों को अंतर समीकरणों के अनुरूप के रूप में देखा जा सकता है जहां डेरिवेटिव वाले समीकरण के बजाय, समीकरण में इंटीग्रल होते हैं।<ref name=":0" />उपरोक्त सामान्य अभिन्न समीकरण के गणितीय रूप के साथ एक प्रत्यक्ष तुलना एक अंतर समीकरण के सामान्य रूप से देखी जा सकती है जिसे निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:<math display="block">f(x_1,x_2,x_3,...,x_n ; u(x_1,x_2,x_3,...,x_n) ; D^1 (u), D^2(u), D^3(u), ..., D^m(u)) = 0</math>कहां <math>D^i(u)</math> आदेश i के एक [[अंतर ऑपरेटर]] के रूप में देखा जा सकता है।<ref name=":0" />अंतर और अभिन्न समीकरणों के बीच इस घनिष्ठ संबंध के कारण, कोई भी अक्सर दोनों के बीच परिवर्तित हो सकता है।<ref name=":0" />उदाहरण के लिए, एक सीमा मूल्य समस्या को हल करने का एक तरीका अंतर समीकरण को उसकी सीमा शर्तों के साथ एक अभिन्न समीकरण में परिवर्तित करना और अभिन्न समीकरण को हल करना है।<ref name=":0" />इसके अलावा, क्योंकि कोई भी दोनों के बीच रूपांतरण कर सकता है, मैक्सवेल के समीकरण जैसे भौतिक विज्ञान में अंतर समीकरण | मैक्सवेल के समीकरणों में अक्सर एक एनालॉग इंटीग्रल और डिफरेंशियल फॉर्म होता है।<ref>{{Cite web |last=admin |date=2022-09-10 |title=मैक्सवेल के समीकरण: अभिन्न और विभेदक रूप में व्युत्पत्ति|url=https://oxscience.com/maxwells-equations/ |access-date=2022-12-10 |website=Ox Science |language=en-US}}</ref> उदाहरण के लिए, ग्रीन का कार्य और [[फ्रेडहोम सिद्धांत]] भी देखें।

अभिन्न समीकरणों के लिए विभिन्न वर्गीकरण विधियां मौजूद हैं। कुछ मानक वर्गीकरणों में रेखीय और अरैखिक के बीच भेद शामिल हैं; सजातीय और विषम; फ्रेडहोम और वोल्टेरा; पहला क्रम, दूसरा क्रम और तीसरा क्रम; और एकवचन और नियमित अभिन्न समीकरण।<ref name=":0" />ये भेद आम तौर पर कुछ मौलिक संपत्ति पर आधारित होते हैं जैसे कि समीकरण की रैखिकता या समीकरण की एकरूपता पर विचार करना।<ref name=":0" />इन टिप्पणियों को निम्नलिखित परिभाषाओं और उदाहरणों के माध्यम से ठोस बनाया गया है:

{{Em|Linear}}: एक समाकल समीकरण रैखिक होता है यदि अज्ञात फलन u(x) और इसके समाकल समीकरण में रैखिक दिखाई देते हैं।<ref name=":0" />इसलिए, एक रेखीय समीकरण का एक उदाहरण होगा:<ref name=":0" /><math display="block">u(x) = f(x) + \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}K(x,t) \cdot u(t)dt</math>नामकरण परिपाटी पर एक टिप्पणी के रूप में: i) u(x) को अज्ञात फलन कहा जाता है, ii) f(x) को ज्ञात फलन कहा जाता है, iii) K(x,t) दो चरों का एक फलन है और अक्सर कर्नेल कहा जाता है (इंटीग्रल ऑपरेटर) फ़ंक्शन, और iv) λ एक अज्ञात कारक या पैरामीटर है, जो रैखिक बीजगणित में [[eigenvalue]] के समान भूमिका निभाता है।<ref name=":0" />

{{Em|Nonlinear}}: एक समाकल समीकरण अरैखिक होता है यदि अज्ञात फलन u(x) या इसका कोई समाकल समीकरण में अरैखिक दिखाई देता है।<ref name=":0" />इसलिए, अरैखिक समीकरणों के उदाहरण उपरोक्त समीकरण होंगे यदि हमने यू(टी) को के साथ बदल दिया <math>u^2(x), \, \, cos(u(x)), \, \text{or } \,e^{u(x)}</math>, जैसे कि:<math display="block">u(x) = f(x) + \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}K(x,t) \cdot u^2(t)dt</math>कुछ प्रकार के अरैखिक समाकल समीकरणों के विशिष्ट नाम होते हैं।<ref name=":2" />ऐसे समीकरणों का चयन है:<ref name=":2" />

* दूसरी तरह के नॉनलाइनियर वोल्तेरा इंटीग्रल समीकरण जिनका सामान्य रूप है: <math> u(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t) \, F(x, t, u(t)) \, dt, </math> कहां{{mvar|F}}एक ज्ञात कार्य है।<ref name=":2" />* दूसरी तरह के नॉनलाइनियर फ्रेडहोम इंटीग्रल समीकरण जिनका सामान्य रूप है: <math>f(x)=F(x, \int_a^{b} K(x,y,f(x),f(y)) \, dy)</math>.<ref name=":2" />* दूसरी तरह के एक विशेष प्रकार के अरैखिक फ्रेडहोम इंटीग्रल समीकरण फॉर्म द्वारा दिए गए हैं: <math>f(x)=g(x)+ \int_a^{b} K(x,y,f(x),f(y)) \, dy</math>, जिसके दो विशेष उपवर्ग हैं:<ref name=":2" />** उरीसोहन समीकरण: <math>f(x)=g(x)+ \int_a^{b} k(x,y,f(y)) \, dy</math>.<ref name=":2" />** हैमरस्टीन समीकरण: <math>f(x)=g(x)+ \int_a^{b} k(x,y) \, G(y,f(y)) \, dy</math>.<ref name=":2" />

हैमरस्टीन समीकरण और हैमरस्टीन समीकरण के विभिन्न संस्करणों के बारे में अधिक जानकारी नीचे हैमरस्टीन अनुभाग में पाई जा सकती है।

{{Em|First kind}}: एक समाकल समीकरण प्रथम प्रकार का समाकल समीकरण कहलाता है यदि अज्ञात फलन केवल समाकल चिह्न के अंतर्गत प्रकट होता है।<ref name=":2" />एक उदाहरण होगा: <math> f(x) = \int_a^b K(x,t)\,u(t)\,dt </math>.<ref name=":2" />

 

{{Em|Third kind}}: एक समाकल समीकरण को तीसरे प्रकार का समाकल समीकरण कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित रूप का एक रैखिक समाकल समीकरण हो:<ref name=":2" /><math display="block"> g(t)u(t) + \lambda \int_a^b K(t,x)u(x)  \, dx = f(t) </math>जहाँ g(t) अंतराल में कम से कम एक बार गायब हो जाता है [a,b]<ref>{{Cite journal |last=Bart |first=G. R. |last2=Warnock |first2=R. L. |date=November 1973 |title=तीसरी तरह के रैखिक इंटीग्रल समीकरण|url=http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0504053 |journal=SIAM Journal on Mathematical Analysis |language=en |volume=4 |issue=4 |pages=609–622 |doi=10.1137/0504053 |issn=0036-1410}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Shulaia |first=D. |date=2017-12-01 |title=टुकड़ेवार मोनोटोन गुणांकों के मामले के लिए तीसरे प्रकार के अभिन्न समीकरण|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2346809217300533 |journal=Transactions of A. Razmadze Mathematical Institute |language=en |volume=171 |issue=3 |pages=396–410 |doi=10.1016/j.trmi.2017.05.002 |issn=2346-8092}}</ref> या जहां जी (टी) (ए, बी) में सीमित बिंदुओं पर गायब हो जाता है।<ref>{{Cite journal |last=Sukavanam |first=N. |date=1984-05-01 |title=तृतीय-प्रकार के रैखिक समाकल समीकरणों के लिए एक फ्रेडहोम-प्रकार का सिद्धांत|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022247X84900969 |journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications |language=en |volume=100 |issue=2 |pages=478–485 |doi=10.1016/0022-247X(84)90096-9 |issn=0022-247X}}</ref>

<u>फ्रेडहोम</u>: एक अभिन्न समीकरण को [[फ्रेडहोम अभिन्न समीकरण]] कहा जाता है यदि सभी इंटीग्रल में एकीकरण की दोनों सीमाएं निश्चित और स्थिर हैं।<ref name=":0" />एक उदाहरण यह होगा कि अभिन्न को एक निश्चित उपसमुच्चय पर ले लिया जाता है <math>\mathbb{R}^n</math>.<ref name=":2" />इसलिए, निम्नलिखित दो उदाहरण फ्रेडहोम समीकरण हैं:<ref name=":0" />* पहले प्रकार का फ्रेडहोम समीकरण: <math> f(x) = \int_a^b K(x,t)\,u(t)\,dt </math>.

* दूसरे प्रकार का फ्रेडहोम समीकरण: <math> u(x) = f(x)+ \lambda \int_a^b K(x,t) \, u(t) \, dt. </math>

ध्यान दें कि हम अभिन्न समीकरणों को अभिव्यक्त कर सकते हैं जैसे कि ऊपर वाले भी अभिन्न ऑपरेटर नोटेशन का उपयोग कर रहे हैं।<ref name=":1" />उदाहरण के लिए, हम फ्रेडहोम इंटीग्रल ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:<math display="block">(\mathcal{F}y)(t) := \int_{t_0}^T K(t,s) \, y(s) \, ds.</math>इसलिए, दूसरी तरह के फ्रेडहोम समीकरण को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:<ref name=":1" /><math display="block">y(t)=g(t)+\lambda(\mathcal{F}y)(t).</math>

{{Em|Volterra}}: एक समाकल समीकरण को वोल्टेरा समाकल समीकरण कहा जाता है यदि समाकलन की कम से कम एक सीमा एक चर हो।<ref name=":0" />इसलिए, इंटीग्रल को इंटीग्रेशन के वेरिएबल के साथ अलग-अलग डोमेन पर ले लिया जाता है।<ref name=":2" />Volterra समीकरणों के उदाहरण होंगे:<ref name=":0" />  

फ्रेडहोम समीकरणों की तरह, हम फिर से ऑपरेटर संकेतन को अपना सकते हैं। इस प्रकार, हम रैखिक Volterra इंटीग्रल ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं <math>\mathcal{V} : C(I) \to C(I)</math>, निम्नलिखित नुसार:<ref name=":2" /><math display="block">(\mathcal{V} \phi)(t) := \int_{t_0}^t K(t,s) \, \phi(s) \, ds</math>कहां <math>t \in I = [t_0 , T]</math> और के (टी, एस) को कर्नेल कहा जाता है और अंतराल पर निरंतर होना चाहिए <math>D := \{(t,s) : 0 \leq s \leq t \leq T \leq \infty\}</math>.<ref name=":2" />इसलिए, पहली तरह के वोल्टेरा अभिन्न समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:<ref name=":2" /><math display="block">(\mathcal{V}y)(t)=g(t)</math>साथ <math>g(0)=0</math>. इसके अलावा, एक अज्ञात समारोह के लिए दूसरी तरह का एक रैखिक Volterra अभिन्न समीकरण <math> y(t) </math> और एक दिया गया निरंतर कार्य <math> g(t) </math> अंतराल पर <math> I </math> कहां <math> t \in I </math>:<math display="block">y(t)=g(t)+(\mathcal{V} y)(t).</math>{{Em|Volterra-Fredholm}}: उच्च आयामों में, फ्रेडहोम-वोल्तेरा अभिन्न समीकरण (VFIE) जैसे अभिन्न समीकरण मौजूद हैं।<ref name=":2" />एक VFIE का रूप है:<math display="block">u(t,x) = g(t,x)+(\mathcal{T}u)(t,x)</math>साथ <math>x \in \Omega</math> और <math>\Omega</math> में एक बंद परिबद्ध क्षेत्र होने के नाते <math>\mathbb{R}^d</math> टुकड़े की चिकनी सीमा के साथ।<ref name=":2" />फ्रेडहोम-वोल्तेरा इंटीग्रल ऑपरेटर <math>\mathcal{T} : C(I \times \Omega) \to C(I \times \Omega)</math> की तरह परिभाषित किया गया है:<ref name=":2" />

 

 

{{Em|Homogenous}}: ज्ञात फ़ंक्शन होने पर एक अभिन्न समीकरण को समरूप कहा जाता है <math>f</math> समान रूप से शून्य है।<ref name=":0" />

{{Em|Inhomogenous}}: ज्ञात फ़ंक्शन होने पर एक अभिन्न समीकरण को समरूप कहा जाता है <math>f</math> अशून्य है।<ref name=":0" />

=== नियमितता ===

{{Em|Regular}}: एक अभिन्न समीकरण को नियमित कहा जाता है यदि उपयोग किए गए अभिन्न सभी उचित अभिन्न हैं।<ref name=":1" />

उदाहरणों में शामिल:<ref name=":0" /><math display="block">F(\lambda) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\lambda x} u(x) \, dx</math><math display="block">L[u(x)] = \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} u(x) \, dx</math>ये दो अभिन्न समीकरण क्रमशः यू (एक्स) के फूरियर ट्रांसफॉर्म और लाप्लास ट्रांसफॉर्म हैं, दोनों कर्नेल के साथ पहली तरह के फ्रेडहोम समीकरण हैं। <math>K(x,t)=e^{-i\lambda x}</math> और <math>K(x,t)=e^{-\lambda x}</math>, क्रमश।<ref name=":0" />एकवचन समाकल समीकरण का एक और उदाहरण जिसमें कर्नेल अबाधित हो जाता है:<ref name=":0" /> <math display="block">x^2= \int_0^x \frac{1}{\sqrt{x-t}} \, u(t) \, dt.</math>यह समीकरण पहले प्रकार के अधिक सामान्य कमजोर एकवचन वोल्टेरा अभिन्न समीकरण का एक विशेष रूप है, जिसे एबेल का अभिन्न समीकरण कहा जाता है:<ref name=":1" /> <math display="block">g(x)=\int_a^{x} \frac{f(y)}{\sqrt{x-y}} \, dy</math>{{Em|Strongly singular}}: एक समाकल समीकरण प्रबल रूप से एकवचन कहलाता है यदि समाकल को एक विशेष नियमितीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, कौशी प्रमुख मूल्य द्वारा।<ref name=":1" />

== वोल्टेरा अभिन्न समीकरण ==

=== 1डी === में विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय

समीकरण द्वारा दिए गए पहले प्रकार के रैखिक वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण का समाधान:<math display="block">(\mathcal{V}y)(t)=g(t)</math>निम्नलिखित विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय द्वारा वर्णित किया जा सकता है।<ref name=":2" />याद रखें कि Volterra इंटीग्रल ऑपरेटर <math>\mathcal{V} : C(I) \to C(I)</math>, इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:<ref name=":2" /><math display="block">(\mathcal{V} \phi)(t) := \int_{t_0}^t K(t,s) \, \phi(s) \, ds</math>कहां <math>t \in I = [t_0 , T]</math> और के (टी, एस) को कर्नेल कहा जाता है और अंतराल पर निरंतर होना चाहिए <math>D := \{(t,s) : 0 \leq s \leq t \leq T \leq \infty\}</math>.<ref name=":2" />  

{{Math theorem

| math_statement = Assume that <math> K </math> satisfies <math> K \in C(D), \, \partial K / \partial t \in C(D) </math> and <math> \vert K(t,t) \vert  \geq k_0 > 0 </math> for some <math> t \in I. </math> Then for any <math> g\in C^1(I) </math> with <math> g(0)=0 </math> the integral equation above has a unique solution in <math> y \in C(I)</math>.

| math_statement = Let <math> K \in C(D) </math> and let <math>R </math> denote the resolvent Kernel associated with <math> K </math>. Then, for any <math>g \in C(I) </math> , the second-kind Volterra integral equation has a unique solution  <math>y \in C(I) </math> and this solution is given by: <math>y(t)=g(t)+\int_0^t R(t,s) \, g(s) \, ds</math>.

दूसरी तरह का वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:<ref name=":2" /><math display="block">u(t,x) = g(t,x)+\int_0^x \int_0^y K(x,\xi, y, \eta) \, u(\xi, \eta) \, d\eta \, d\xi</math>कहां <math>(x,y) \in \Omega := [0,X] \times [0,Y]</math>, <math>g \in C( \Omega)</math>, <math>K \in C(D_2)</math> और <math>D_2 := \{(x, \xi,y,\eta): 0 \leq \xi \leq x \leq X, 0 \leq \eta \leq y \leq Y\}</math>.<ref name=":2" />इस अभिन्न समीकरण का एक अनूठा समाधान है <math>u \in C( \Omega)</math> के द्वारा दिया गया:<ref name=":2" /><math display="block">u(t,x) = g(t,x)+\int_0^x \int_0^{y} R(x,\xi, y, \eta) \, g(\xi, \eta) \, d\eta \, d\xi</math>कहां <math>R</math> K का विलायक कर्नेल है।<ref name=":2" />

=== फ्रेडहोम-वोल्तेरा समीकरणों की विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय ===

जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, एक VFIE का रूप है:<math display="block">u(t,x) = g(t,x)+(\mathcal{T}u)(t,x)</math>साथ <math>x \in \Omega</math> और <math>\Omega</math> में एक बंद परिबद्ध क्षेत्र होने के नाते <math>\mathbb{R}^d</math> टुकड़े की चिकनी सीमा के साथ।<ref name=":2" />फ्रेडहोम-वोल्तेरा इंटीग्रल ऑपरेटर <math>\mathcal{T} : C(I \times \Omega) \to C(I \times \Omega)</math> की तरह परिभाषित किया गया है:<ref name=":2" /><math display="block">(\mathcal{T}u)(t,x) := \int_0^t \int_\Omega K(t,s,x,\xi) \, G(u(s, \xi)) \, d\xi \, ds.</math>ऐसे मामले में जहां कर्नेल K को इस रूप में लिखा जा सकता है <math>K(t,s,x,\xi) = k(t-s)H(x, \xi)</math>, K को सकारात्मक मेमोरी कर्नेल कहा जाता है।<ref name=":2" />इसे ध्यान में रखते हुए, अब हम निम्नलिखित प्रमेय का परिचय दे सकते हैं:<ref name=":2" />