गणित: Difference between revisions

Latest revision as of 15:27, 29 December 2022

द स्कूल ऑफ एथेंस (1509-1511)^{[lower-alpha 1]} से इस विवरण में राफेल द्वारा कल्पना की गई यूक्लिड एक परकार पकड़े हुए है।

गणित (from Ancient Greek μάθημα; máthēma: 'knowledge, study, learning') ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें संख्याएं (अंकगणित और संख्या सिद्धांत),^[1] सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित),^[2] आकार जैसे विषय शामिल हैं। और वे स्थान जिनमें वे निहित हैं (ज्यामिति),^[1] और राशियाँ और उनके परिवर्तन (कलन और विश्लेषण)।^[3]^[4]^[5] अधिकांश गणितीय गतिविधि में अमूर्त वस्तुओं के गुणों को खोजने या सिद्ध करने के लिए शुद्ध कारण का उपयोग शामिल होता है, जिसमें या तो प्रकृति से अमूर्तताएं होती हैं या—आधुनिक गणित में—ऐसी वास्तविकताएं होती हैं जो कुछ गुणों के साथ निर्धारित होती हैं, जिन्हें स्वयम् सिद्ध वक्तव्य कहा जाता है। एक गणितीय प्रमाण में पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और (प्रकृति से अमूर्तता की स्थति में) कुछ मूल गुणों सहित पहले से ज्ञात परिणामों के लिए कुछ निगमन नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार होता है, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सही प्रारंभिक बिंदु माना जाता है।

विज्ञान में गणित का उपयोग मॉडलिंग परिघटनाओं के लिए किया जाता है, जो तब प्रायोगिक नियमों से पूर्वानुमान लगाने की अनुमति देता है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि ऐसी भविष्यवाणियों की सटीकता केवल मॉडल की उपयुक्तता पर निर्भर करती है। अयथार्थ भविष्यवाणियां, अनुचित गणित के कारण होने के बजाय, उपयोग किए गए गणितीय मॉडल को बदलने की आवश्यकता को दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्वसर्ग को आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के उद्भव के बाद ही समझाया जा सकता है, जिसने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बेहतर गणितीय मॉडल के रूप में बदल दिया।

गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्रों, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ पारस्परिक सम्बन्ध में विकसित किया गया है और अक्सर उन्हें अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए उन्हें शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन प्रायोगिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।^[6]^[7] एक उपयुक्त उदाहरण पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस जाता है, लेकिन जिसका RSA क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में उपयोग करने से पहले कोई प्रायोगिक अनुप्रयोग नहीं था।

ऐतिहासिक रूप से, एक प्रमाण की अवधारणा और इससे जुड़ी गणितीय कठोरता पहली बार ग्रीक गणित में, विशेष रूप से यूक्लिड के तत्वों में दिखाई दी।^[8] इसकी शुरुआत के बाद से, गणित को अनिवार्य रूप से ज्यामिति, और अंकगणित (प्राकृतिक संख्याओं और अंशों का प्रकलन) में विभाजित किया गया, जब तक कि 16वीं और 17वीं शताब्दी तक, जब बीजगणित और अतिसूक्ष्म कलन को विषय के नए क्षेत्रों के रूप में प्रस्तावित किया गया। तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच पारस्परिक क्रिया ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है। उन्नीसवीं सदी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध पद्धति के व्यवस्थितकरण को जन्म दिया। इससे गणित के क्षेत्रों की संख्या और उनके अनुप्रयोगों के क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि हुई। इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जिसमें गणित के 60 से अधिक प्रथम-स्तर के क्षेत्रों की सूची है।

शब्द व्युत्पत्ति

गणित शब्द की उत्पत्ति प्राचीन यूनानी गणित (μάθημα) से हुई है, जिसका अर्थ "जो सीखा जाता है,"^[9] "जो कुछ भी पता चलता है," इसलिए "अध्ययन" और "विज्ञान" भी है। शास्त्रीय काल में भी "गणित" शब्द का संक्षिप्त और अधिक तकनीकी अर्थ "गणितीय अध्ययन" आया।^[10] इसका विशेषण Mathēmatikós (μαθηματικός) है, जिसका अर्थ है "सीखने से संबंधित" या "अध्ययनशील", जिसका अर्थ "गणितीय" भी है। विशेष रूप से, mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ ; लैटिन: ars mathematica) का अर्थ "गणितीय कला" है।

इसी तरह, पाइथागोरसवाद में विचार के दो मुख्य विद्यालयों में से एक को गणितज्ञ (μαθηματικοί ) के रूप में जाना जाता था - जो उस समय आधुनिक अर्थों में "गणितज्ञ" के बजाय "शिक्षार्थी" था।

लैटिन में, और अंग्रेजी में लगभग 1700 तक, गणित शब्द का अर्थ "गणित" के बजाय "ज्योतिष" (या कभी-कभी "खगोल विज्ञान") से अधिक होता था; अर्थ धीरे-धीरे लगभग 1500 से 1800 तक अपने वर्तमान में बदल गया। इसके परिणामस्वरूप कई गलत अनुवाद हुए हैं। उदाहरण के लिए, सेंट ऑगस्टाइन की चेतावनी कि ईसाइयों को गणितज्ञ से सावधान रहना चाहिए, जिसका अर्थ है ज्योतिषी, कभी-कभी गणितज्ञों की निंदा के रूप में गलत अनुवाद किया जाता है।^[11]

अंग्रेजी में स्पष्ट बहुवचन रूप लैटिन नपुंसक बहुवचन गणित (सिसरो) में वापस चला जाता है, जो ग्रीक बहुवचन ta mathēmatiká (τὰ μαθηματικά) पर आधारित है, जिसका उपयोग अरस्तू (384-322 ईसा पूर्व) द्वारा किया गया था, और इसका अर्थ मोटे तौर पर "सभी चीजें गणितीय" हैं, हालांकि यह प्रशंसनीय है कि अंग्रेजी ने केवल विशेषण गणित (अल) को उधार लिया और भौतिकी और तत्वमीमांसा के पैटर्न के बाद संज्ञा गणित का गठन किया, जो ग्रीक से विरासत में मिला था।^[12] इसे अक्सर गणित या, उत्तरी अमेरिका में, गणित के रूप में संक्षिप्त किया जाता है।^[13]

गणित के क्षेत्र

पुनर्जागरण से पहले, गणित को दो मुख्य क्षेत्रों में विभाजित किया गया था: अंकगणित — संख्याओं के प्रकलन के बारे में, और ज्यामिति — आकृतियों के अध्ययन के बारे में। कुछ प्रकार के छद्म विज्ञान, जैसे अंकशास्त्र और ज्योतिष, तब स्पष्ट रूप से गणित से अलग नहीं थे।

पुनर्जागरण के दौरान दो और क्षेत्र सामने आए। गणितीय संकेतन ने बीजगणित की ओर अग्रसर किया, जो मोटे तौर पर, अध्ययन और सूत्रों के प्रकलन से बना है। कलन, दो उपक्षेत्रों अत्यल्प कलन और समाकलन गणित से मिलकर बना है, निरंतर कार्यों का अध्ययन है, जो अलग-अलग मात्राओं (चर) के बीच आम तौर पर अरेखीय संबंधों को मॉडल करता है। चार मुख्य क्षेत्रों में यह विभाजन — अंकगणित, ज्यामिति, बीजगणित, कलनLua error: Internal error: The interpreter exited with status 1. — 19वीं शताब्दी के अंत तक बना रहा। खगोलीय यांत्रिकी और ठोस यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों को अक्सर गणित का हिस्सा माना जाता था, लेकिन अब उन्हें भौतिकी से संबंधित माना जाता है। इस अवधि के दौरान विकसित कुछ विषय गणित से पहले के हैं और ऐसे क्षेत्रों में विभाजित हैं जैसे कि संभाव्यता सिद्धांत और संयोजन, जोस्वयंसिद्ध पद्ध बाद में स्वायत्त क्षेत्रों के रूप में माना जाने लगा।

19वीं शताब्दी के अंत में, गणित में मूलभूत संकट और परिणामी ति के व्यवस्थितकरण ने गणित के नए क्षेत्रों का विस्फोट किया। आज, गणित विषय वर्गीकरण में चौंसठ प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों से कम नहीं है। इनमें से कुछ क्षेत्र पुराने विभाजन से मेल खाते हैं, जैसा कि संख्या सिद्धांत (उच्च अंकगणित के लिए आधुनिक नाम) और ज्यामिति के बारे में सच है। (हालांकि, कई अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों में उनके नाम में "ज्यामिति" है या अन्यथा सामान्यतः ज्यामिति का हिस्सा माना जाता है।) बीजगणित और कलन प्रथम-स्तर के क्षेत्रों के रूप में प्रकट नहीं होते हैं, लेकिन क्रमशः कई प्रथम-स्तर के क्षेत्रों में विभाजित होते हैं। 20वीं शताब्दी के दौरान अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्र उभरे (उदाहरण के लिए श्रेणी सिद्धांत, समजातीय बीजगणित, और कंप्यूटर विज्ञान) या पहले गणित के रूप में नहीं माना गया था, जैसे गणितीय तर्क और नींव (मॉडल सिद्धांत, संगणनीयता सिद्धांत, सेट सिद्धांत, प्रमाण सिद्धांत और बीजगणितीय तर्क सहित)।

संख्या सिद्धांत

Lua error: Internal error: The interpreter exited with status 1.

File:Spirale Ulam 150.jpg

यह उलम सर्पिल है, जो अभाज्य संख्याओं के वितरण को दर्शाता है। सर्पिल में गहरे रंग की विकर्ण रेखाएं अभाज्य होने और द्विघात बहुपद के मूल्य होने के बीच अनुमानित सन्निकट स्वतंत्रता पर संकेत देती हैं, अनुमान जिसे अब हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान एफ के रूप में जाना जाता है।

संख्या सिद्धांत संख्याओं के प्रकलन के साथ शुरू हुआ, अर्थात, प्राकृतिक संख्याएं $(\mathbb {N} ),$ और बाद में पूर्णांक $(\mathbb {Z} )$ और परिमेय संख्या

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 === बीजगणित ===
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 अमूर्त गणित और भौतिक वास्तविकता के बीच अलौकिक संबंध ने कम से कम पाइथागोरस के समय से दार्शनिक बहस का नेतृत्व किया है। प्राचीन दार्शनिक प्लेटो ने तर्क दिया कि यह संभव था क्योंकि भौतिक वास्तविकता उन अमूर्त वस्तुओं को दर्शाती है जो समय के बाहर मौजूद हैं। परिणामस्वरूप, यह विचार कि गणितीय वस्तुएँ किसी न किसी रूप में अमूर्तता में अपने आप मौजूद हैं, को अक्सर प्लेटोनिज़्म के रूप में जाना जाता है। जबकि अधिकांश गणितज्ञ आमतौर पर प्लेटोनिज़्म द्वारा उठाए गए प्रश्नों से स्वयं को सरोकार नहीं रखते, कुछ और दार्शनिक विचारधारा वाले लोग समकालीन समय में भी प्लेटोनिस्ट के रूप में पहचान रखते हैं।<ref name="SEP-Platonism">{{cite encyclopedia |title=Platonism in Metaphysics |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |last=Balaguer |first=Mark |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |year=2016 |edition=Spring 2016 |publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2016/entries/platonism |access-date=April 2, 2022 }}</ref>
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 == रचनात्मकता और अंतर्ज्ञान ==
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 अंत में, न तो रचनावाद और न ही अंतर्ज्ञानवाद ने शास्त्रीय गणित को विस्थापित किया और न ही मुख्यधारा की स्वीकृति प्राप्त की। हालांकि, इन कार्यक्रमों ने विशिष्ट विकासों को प्रेरित किया है, जैसे कि अंतर्ज्ञानवादी तर्क और अन्य मूलभूत अंतर्दृष्टि, जिन्हें अपने आप में सराहा जाता है।<ref name="SEP-Intuitionism" />
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