गणित: Difference between revisions

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'''''गणित''''' ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|μάθημα}}''; {{grc-transl|μάθημα}}:|knowledge, study, learning}}) ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें संख्याएं (अंकगणित और संख्या सिद्धांत),<ref name="OED">{{cite web |url=http://oed.com/view/Entry/114974 |title=mathematics, ''n.'' |publisher=Oxford University Press |website=Oxford English Dictionary |year=2012 |access-date=June 16, 2012 |quote=The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. |archive-url=https://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974 |archive-date=November 16, 2019 |url-status=live }}</ref> सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित),<ref name="Kneebone">{{cite book |title=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |publisher=Dover |author=Kneebone, G.T. |year=1963 |page=4 |url=https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 |isbn=978-0-486-41712-7 |quote=Mathematics&nbsp;... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.}}</ref> आकार जैसे विषय शामिल हैं। और वे स्थान जिनमें वे निहित हैं (ज्यामिति),<ref name=OED/> और राशियाँ और उनके परिवर्तन (कलन और विश्लेषण)।<ref name="LaTorre">{{cite book |title=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |publisher=Cengage Learning |first1=Donald R. |last1=LaTorre |first2=John W. |last2=Kenelly |first3=Sherry S. |last3=Biggers |first4=Laurel R. |last4=Carpenter |first5=Iris B. |last5=Reed |first6=Cynthia R. |last6=Harris |year=2011 |page=2 |url=https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 |isbn=978-1-4390-4957-0 |quote=Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.}}</ref><ref name="Ramana">{{cite book |title=Applied Mathematics |publisher=Tata McGraw–Hill Education |author=Ramana |year=2007 |page=2.10 |url=https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 |isbn=978-0-07-066753-2 |quote=The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.}}</ref><ref name="Ziegler">{{cite book |title=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |publisher=Springer |author=Ziegler, Günter M. |author-link=Günter M. Ziegler |year=2011 |page=vii |chapter-url=https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 |isbn=978-3-642-19532-7 |chapter=What Is Mathematics?}}</ref> अधिकांश गणितीय गतिविधि में अमूर्त वस्तुओं के गुणों को खोजने या सिद्ध करने के लिए शुद्ध कारण का उपयोग शामिल होता है, जिसमें या तो प्रकृति से अमूर्तताएं होती हैं या{{emdash}}आधुनिक गणित में{{emdash}}ऐसी वास्तविकताएं होती हैं जो कुछ गुणों के साथ निर्धारित होती हैं, जिन्हें स्वयम् सिद्ध वक्तव्य कहा जाता है। एक गणितीय प्रमाण में पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और (प्रकृति से अमूर्तता की स्थति में) कुछ मूल गुणों सहित पहले से ज्ञात परिणामों के लिए कुछ निगमन नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार होता है, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सही प्रारंभिक बिंदु माना जाता है।  

=== संख्या सिद्धांत ===

{{Main|संख्या सिद्धांत}}

संख्या सिद्धांत संख्याओं के प्रकलन के साथ शुरू हुआ, अर्थात, प्राकृतिक संख्याएं <math>(\mathbb{N}),</math> और बाद में पूर्णांक <math>(\Z)</math> और परिमेय संख्या <math>(\Q).</math> तक विस्तारित हुईं। पहले संख्या सिद्धांत को अंकगणित कहा जाता था, लेकिन आजकल इस शब्द का प्रयोग संख्यात्मक गणना के लिए किया जाता है।

*संकुल ज्यामिति, वास्तविक संख्याओं को सम्मिश्र संख्याओं से प्रतिस्थापित करके प्राप्त ज्यामिति

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=== बीजगणित ===

बीजगणित समीकरणों और सूत्रों में प्रकलन की कला है। डायोफैंटस (तीसरी शताब्दी) और अल-ख्वारिज्मी (9वीं शताब्दी) बीजगणित के दो प्रमुख अग्रदूत थे। पहले व्यक्ति ने कुछ समीकरणों को हल किया जिसमें अज्ञात प्राकृतिक संख्याएं शामिल थीं, जब तक कि वह समाधान प्राप्त नहीं कर लेता। दूसरे ने समीकरणों को बदलने के लिए व्यवस्थित तरीकों की शुरुआत की (जैसे कि एक समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करना)। बीजगणित शब्द अरबी शब्द अल-जबर से लिया गया है जिसका अर्थ है "टूटे हुए हिस्सों के लिए पुनर्मिलन" जिसका उपयोग उन्होंने अपने मुख्य ग्रंथ के शीर्षक में इन विधियों में से एक के नामकरण के लिए किया था।

बीजगणित केवल फ्रांकोइस विएते (1540-1603) के साथ अपने आप में एक क्षेत्र बन गया, जिन्होंने अज्ञात या अनिर्दिष्ट संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षरों (चर) का उपयोग शुरू किया। यह गणितज्ञों को उन संक्रियाओं का वर्णन करने की अनुमति देता है जो गणितीय सूत्रों का उपयोग करके प्रदर्शित संख्याओं पर की जानी हैं।

19वीं शताब्दी तक, बीजगणित में मुख्य रूप से रैखिक समीकरणों (वर्तमान में रैखिक बीजगणित), और एक अज्ञात में बहुपद समीकरणों का अध्ययन शामिल था, जिसे बीजीय समीकरण (एक शब्द जो अभी भी उपयोग में है, हालांकि यह अस्पष्ट हो सकता है) कहा जाता था। 19वीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने संख्याओं के अलावा अन्य चीजों का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर का उपयोग करना शुरू किया (जैसे कि आव्यूह, मापांकीय (मॉड्यूलर) पूर्णांक और ज्यामितीय परिवर्तन), जिस पर अंकगणितीय संचालन के सामान्यीकरण अक्सर मान्य होते हैं। बीजगणितीय संरचना की अवधारणा इसे संबोधित करती है, जिसमें एक सेट होता है, जिसके तत्व अनिर्दिष्ट होते हैं, सेट के तत्वों पर कार्य करने वाले संचालन, और नियम जिनका इन संचालनों का पालन करना चाहिए। इस परिवर्तन के कारण, बीजगणितीय संरचनाओं के अध्ययन को शामिल करने के लिए बीजगणित के क्षेत्र में वृद्धि हुई। बीजगणित की इस वस्तु को आधुनिक बीजगणित या अमूर्त बीजगणित कहा गया। (उत्तरार्द्ध शब्द मुख्य रूप से एक शैक्षिक संदर्भ में प्रकट होता है, प्राथमिक बीजगणित के विरोध में, जो सूत्रों में प्रकलन करने के पुराने तरीके से संबंधित है।)

गणित के कई क्षेत्रों में कुछ प्रकार की बीजीय संरचनाओं में उपयोगी और अक्सर मूलभूत गुण होते हैं। उनका अध्ययन बीजगणित के स्वायत्त हिस्से बन गए, और इसमें शामिल हैं:

*समूह सिद्धांत;

==== प्राचीन ====

गणित का इतिहास अमूर्तन की एक निरंतर बढ़ती श्रृंखला है। विकास की दृष्टि से, अब तक खोजा जाने वाला पहला अमूर्तन, कई जानवरों द्वारा साझा किया गया,<ref>{{cite journal |title=Abstract representations of numbers in the animal and human brain |journal=Trends in Neurosciences |volume=21 |issue=8 |date=Aug 1998 |pages=355–61 |doi=10.1016/S0166-2236(98)01263-6 |pmid=9720604 |last1=Dehaene |first1=Stanislas |last2=Dehaene-Lambertz |first2=Ghislaine |last3=Cohen |first3=Laurent|s2cid=17414557 }}</ref> शायद संख्याओं का था: यह अहसास कि, उदाहरण के लिए, दो सेबों का एक संग्रह और दो संतरे का संग्रह (जैसे) में कुछ है सामान्य, अर्थात् उनमें से दो हैं। जैसा कि हड्डी पर पाए जाने वाले टांगों से प्रमाणित होता है, भौतिक वस्तुओं की गणना करने के तरीके को पहचानने के अलावा, प्रागैतिहासिक लोगों को यह भी पता हो सकता है कि समय-दिन, मौसम या वर्षों जैसी अमूर्त मात्राओं की गणना कैसे की जाती है।<ref>See, for example, [[Raymond L. Wilder]], ''Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study'', ''passim''</ref><ref>{{Cite book|last=Zaslavsky, Claudia.|url=http://worldcat.org/oclc/843204342|title=Africa Counts : Number and Pattern in African Culture.|date=1999|publisher=Chicago Review Press|isbn=978-1-61374-115-3|oclc=843204342|access-date=May 29, 2020|archive-date=March 31, 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210331144030/https://www.worldcat.org/title/africa-counts-number-and-pattern-in-african-culture/oclc/843204342|url-status=live}}</ref>

अधिक जटिल गणित के प्रमाण लगभग 3000 ईसा पूर्व तक प्रकट नहीं होते, जब बेबीलोनियों और मिस्रवासियों ने कराधान और अन्य वित्तीय गणनाओं के लिए, भवन और निर्माण और खगोल विज्ञान के लिए अंकगणित, बीजगणित और ज्यामिति का उपयोग करना शुरू किया।{{sfn|Kline|1990|loc=Chapter 1}} मेसोपोटामिया और मिस्र के सबसे पुराने गणितीय ग्रंथ 2000 से 1800 ई.पू. के हैं। कई प्रारंभिक ग्रंथों में पाइथागोरस त्रिगुणों का उल्लेख है और इसलिए, अनुमान से, पाइथागोरस प्रमेय बुनियादी अंकगणित और ज्यामिति के बाद सबसे प्राचीन और व्यापक गणितीय अवधारणा प्रतीत होती है। यह बेबीलोन के गणित में है कि प्रारंभिक अंकगणित (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) पहले पुरातात्विक रिकॉर्ड में दिखाई देते हैं। बेबीलोनियाई लोगों के पास एक स्थान-मूल्य प्रणाली भी थी और उन्होंने एक षाष्टिक अंक प्रणाली का उपयोग किया था जो आज भी कोण और समय को मापने के लिए उपयोग में है।{{sfn|Boyer|1991|loc="Mesopotamia" pp. 24–27}}

छठी शताब्दी ईसा पूर्व में, ग्रीक गणित एक विशिष्ट विषय के रूप में उभरने लगा और कुछ प्राचीन यूनानियों जैसे पाइथागोरस ने इसे अपने आप में एक विषय माना।<ref>{{cite book |last=Heath |first=Thomas Little |url=https://archive.org/details/historyofgreekma0002heat/page/n14 |url-access=registration |page=1 |title=A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid |location=New York |publisher=Dover Publications |date=1981 |orig-year=1921 |isbn=978-0-486-24073-2}}</ref> लगभग 300 ईसा पूर्व, यूक्लिड ने अभिधारणाओं और पहले सिद्धांतों के माध्यम से गणितीय ज्ञान को व्यवस्थित किया, जो कि स्वयंसिद्ध पद्धति में विकसित हुआ, जिसका उपयोग आज गणित में किया जाता है, जिसमें परिभाषा, अभिगृहीत, प्रमेय और प्रमाण शामिल हैं।{{sfn|Boyer|1991|loc="Euclid of Alexandria" p. 119}} उनकी पुस्तक, तत्व, व्यापक रूप से अब तक की सबसे सफल और प्रभावशाली पाठ्यपुस्तक मानी जाती है। पुरातनता के महानतम गणितज्ञ को अक्सर सिरैक्यूज़ का आर्किमिडीज़ (सी. 287-212 ईसा पूर्व) माना जाता है।{{sfn|Boyer|1991|loc="Archimedes of Syracuse" p. 120}} उन्होंने सतह क्षेत्र और क्रांति के ठोसों की मात्रा की गणना के लिए सूत्र विकसित किए और एक अनंत श्रृंखला के योग के साथ एक परवलय के चाप के नीचे के क्षेत्र की गणना करने के लिए थकावट की विधि का इस्तेमाल किया, जो आधुनिक कलन से बहुत भिन्न नहीं है।{{sfn|Boyer|1991|loc="Archimedes of Syracuse" p. 130}} ग्रीक गणित की अन्य उल्लेखनीय उपलब्धियां हैं शंकु वर्ग (पेर्गा का अपोलोनियस, तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व),{{sfn|Boyer|1991|loc="Apollonius of Perga" p. 145}} त्रिकोणमिति (निकेआ का हिप्पार्कस, दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व),{{sfn|Boyer|1991|loc= "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162}} और बीजगणित की शुरुआत (डायोफैंटस, तीसरी शताब्दी ई।){{sfn|Boyer|1991|loc= "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180}}

हिंदू-अरबी अंक प्रणाली और इसके संचालन के उपयोग के नियम, आज दुनिया भर में उपयोग में हैं, भारत में पहली सहस्राब्दी ईस्वी के दौरान विकसित हुए और इस्लामी गणित के माध्यम से पश्चिमी दुनिया में प्रसारित किए गए। भारतीय गणित के अन्य उल्लेखनीय विकासों में साइन और कोसाइन की आधुनिक परिभाषा और सन्निकटन, और अनंत श्रृंखला का प्रारंभिक रूप शामिल है।

इस्लाम के स्वर्ण युग के दौरान, विशेष रूप से 9वीं और 10वीं शताब्दी के दौरान, गणित ने यूनानी गणित पर कई महत्वपूर्ण नवाचारों का निर्माण देखा। इस्लामिक गणित की सबसे उल्लेखनीय उपलब्धि बीजगणित का विकास था। इस्लामी काल की अन्य उपलब्धियों में गोलाकार त्रिकोणमिति में प्रगति और अरबी अंक प्रणाली में दशमलव बिंदु का जोड़ शामिल है।<ref>{{Cite book|last=Saliba, George.|url=http://worldcat.org/oclc/28723059|title=A history of Arabic astronomy : planetary theories during the golden age of Islam|date=1994|publisher=New York University Press|isbn=978-0-8147-7962-0|oclc=28723059|access-date=May 29, 2020|archive-date=March 31, 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210331144039/https://www.worldcat.org/title/history-of-arabic-astronomy-planetary-theories-during-the-golden-age-of-islam/oclc/28723059|url-status=live}}</ref> इस काल के कई उल्लेखनीय गणितज्ञ फारसी थे, जैसे अल-ख्वारिस्मी, उमर खय्याम और शराफ अल-दीन अल-इस्सी।

== प्रतीकात्मक संकेतन ==

{{see also|गणितीय संकेतन}}

विशेष भाषा के अतिरिक्त, समकालीन गणित विशेष अंकन का अत्यधिक उपयोग करता है। ये प्रतीक गणितीय विचारों की अभिव्यक्ति को सरल बनाने और नियमित नियमों का पालन करने वाले नियमित संचालन की अनुमति देकर, कठोरता में भी योगदान देते हैं। आधुनिक अंकन गणित को निपुण के लिए अधिक कुशल बनाता है, हालांकि शुरुआती इसे कठिन पा सकते हैं।

== विज्ञान के साथ संबंध ==

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