गणित: Difference between revisions

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[[File:Euclid.jpg|thumb|350px|द स्कूल ऑफ एथेंस (1509-1511){{efn|No likeness or description of Euclid's physical appearance made during his lifetime survived antiquity. Therefore, Euclid's depiction in works of art depends on the artist's imagination (see Euclid).}} से इस विवरण में राफेल द्वारा कल्पना की गई यूक्लिड एक परकार पकड़े हुए है।]]
 
'''''गणित''''' ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|μάθημα}}''; {{grc-transl|μάθημα}}:|knowledge, study, learning}}) ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें संख्याएं (अंकगणित और संख्या सिद्धांत),<ref name="OED">{{cite web |url=http://oed.com/view/Entry/114974 |title=mathematics, ''n.'' |publisher=Oxford University Press |website=Oxford English Dictionary |year=2012 |access-date=June 16, 2012 |quote=The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. |archive-url=https://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974 |archive-date=November 16, 2019 |url-status=live }}</ref> सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित),<ref name="Kneebone">{{cite book |title=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |publisher=Dover |author=Kneebone, G.T. |year=1963 |page=4 |url=https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 |isbn=978-0-486-41712-7 |quote=Mathematics&nbsp;... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.}}</ref> आकार जैसे विषय शामिल हैं। और वे स्थान जिनमें वे निहित हैं (ज्यामिति),<ref name=OED/> और राशियाँ और उनके परिवर्तन (कलन और विश्लेषण)।<ref name="LaTorre">{{cite book |title=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |publisher=Cengage Learning |first1=Donald R. |last1=LaTorre |first2=John W. |last2=Kenelly |first3=Sherry S. |last3=Biggers |first4=Laurel R. |last4=Carpenter |first5=Iris B. |last5=Reed |first6=Cynthia R. |last6=Harris |year=2011 |page=2 |url=https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 |isbn=978-1-4390-4957-0 |quote=Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.}}</ref><ref name="Ramana">{{cite book |title=Applied Mathematics |publisher=Tata McGraw–Hill Education |author=Ramana |year=2007 |page=2.10 |url=https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 |isbn=978-0-07-066753-2 |quote=The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.}}</ref><ref name="Ziegler">{{cite book |title=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |publisher=Springer |author=Ziegler, Günter M. |author-link=Günter M. Ziegler |year=2011 |page=vii |chapter-url=https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 |isbn=978-3-642-19532-7 |chapter=What Is Mathematics?}}</ref> अधिकांश गणितीय गतिविधि में अमूर्त वस्तुओं के गुणों को खोजने या सिद्ध करने के लिए शुद्ध कारण का उपयोग शामिल होता है, जिसमें या तो प्रकृति से अमूर्तताएं होती हैं या{{emdash}}आधुनिक गणित में{{emdash}}ऐसी वास्तविकताएं होती हैं जो कुछ गुणों के साथ निर्धारित होती हैं, जिन्हें स्वयम् सिद्ध वक्तव्य कहा जाता है। एक गणितीय प्रमाण में पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और (प्रकृति से अमूर्तता की स्थति में) कुछ मूल गुणों सहित पहले से ज्ञात परिणामों के लिए कुछ निगमन नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार होता है, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सही प्रारंभिक बिंदु माना जाता है।  
{{Math topics TOC}}
[[File:Euclid.jpg|thumb|350px|तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने कैलीपर्स को पकड़े हुए, जैसा कि एथेंस के स्कूल से इस विस्तार से राफेल द्वारा कल्पना की गई थी (1509-1511){{efn|No likeness or description of Euclid's physical appearance made during his lifetime survived antiquity. Therefore, Euclid's depiction in works of art depends on the artist's imagination (see Euclid).}}]]
गणित ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|μάθημα}}''; {{grc-transl|μάθημα}}:|knowledge, study, learning}}) ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें संख्याएं (अंकगणित और संख्या सिद्धांत),<ref name="OED">{{cite web |url=http://oed.com/view/Entry/114974 |title=mathematics, ''n.'' |publisher=Oxford University Press |website=Oxford English Dictionary |year=2012 |access-date=June 16, 2012 |quote=The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. |archive-url=https://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974 |archive-date=November 16, 2019 |url-status=live }}</ref> सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित),<ref name="Kneebone">{{cite book |title=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |publisher=Dover |author=Kneebone, G.T. |year=1963 |page=4 |url=https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 |isbn=978-0-486-41712-7 |quote=Mathematics&nbsp;... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.}}</ref> आकार जैसे विषय शामिल हैं। और वे स्थान जिनमें वे निहित हैं (ज्यामिति),<ref name=OED/> और राशियाँ और उनके परिवर्तन (कलन और विश्लेषण)।<ref name="LaTorre">{{cite book |title=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |publisher=Cengage Learning |first1=Donald R. |last1=LaTorre |first2=John W. |last2=Kenelly |first3=Sherry S. |last3=Biggers |first4=Laurel R. |last4=Carpenter |first5=Iris B. |last5=Reed |first6=Cynthia R. |last6=Harris |year=2011 |page=2 |url=https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 |isbn=978-1-4390-4957-0 |quote=Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.}}</ref><ref name="Ramana">{{cite book |title=Applied Mathematics |publisher=Tata McGraw–Hill Education |author=Ramana |year=2007 |page=2.10 |url=https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 |isbn=978-0-07-066753-2 |quote=The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.}}</ref><ref name="Ziegler">{{cite book |title=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |publisher=Springer |author=Ziegler, Günter M. |author-link=Günter M. Ziegler |year=2011 |page=vii |chapter-url=https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 |isbn=978-3-642-19532-7 |chapter=What Is Mathematics?}}</ref> अधिकांश गणितीय गतिविधि में अमूर्त वस्तुओं के गुणों को खोजने या सिद्ध करने के लिए शुद्ध कारण का उपयोग शामिल होता है, जिसमें या तो प्रकृति से अमूर्तताएं होती हैं या{{emdash}}आधुनिक गणित में{{emdash}}ऐसी वास्तविकताएं होती हैं जो कुछ गुणों के साथ निर्धारित होती हैं, जिन्हें स्वयम् सिद्ध वक्तव्य कहा जाता है। एक गणितीय प्रमाण में पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और (प्रकृति से अमूर्तता की स्थति में) कुछ मूल गुणों सहित पहले से ज्ञात परिणामों के लिए कुछ निगमन नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार होता है, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सही प्रारंभिक बिंदु माना जाता है।  


विज्ञान में गणित का उपयोग मॉडलिंग परिघटनाओं के लिए किया जाता है, जो तब प्रायोगिक नियमों से पूर्वानुमान लगाने की अनुमति देता है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि ऐसी भविष्यवाणियों की सटीकता केवल मॉडल की उपयुक्तता पर निर्भर करती है। अयथार्थ भविष्यवाणियां, अनुचित गणित के कारण होने के बजाय, उपयोग किए गए गणितीय मॉडल को बदलने की आवश्यकता को दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्वसर्ग को आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के उद्भव के बाद ही समझाया जा सकता है, जिसने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बेहतर गणितीय मॉडल के रूप में बदल दिया।
विज्ञान में गणित का उपयोग मॉडलिंग परिघटनाओं के लिए किया जाता है, जो तब प्रायोगिक नियमों से पूर्वानुमान लगाने की अनुमति देता है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि ऐसी भविष्यवाणियों की सटीकता केवल मॉडल की उपयुक्तता पर निर्भर करती है। अयथार्थ भविष्यवाणियां, अनुचित गणित के कारण होने के बजाय, उपयोग किए गए गणितीय मॉडल को बदलने की आवश्यकता को दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्वसर्ग को आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के उद्भव के बाद ही समझाया जा सकता है, जिसने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बेहतर गणितीय मॉडल के रूप में बदल दिया।
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गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्रों, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ पारस्परिक सम्बन्ध में विकसित किया गया है और अक्सर उन्हें अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए उन्हें शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन प्रायोगिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।{{sfn|Peterson|2001|p=12}}<ref name="wigner1960">{{cite journal |last=Wigner |first=Eugene |year=1960 |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |url=https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |volume=13 |issue=1 |pages=1–14 |doi=10.1002/cpa.3160130102 |bibcode=1960CPAM...13....1W |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |archive-date=February 28, 2011 |df=mdy-all }}</ref> एक उपयुक्त उदाहरण पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस जाता है, लेकिन जिसका RSA क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में उपयोग करने से पहले कोई प्रायोगिक अनुप्रयोग नहीं था।
गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्रों, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ पारस्परिक सम्बन्ध में विकसित किया गया है और अक्सर उन्हें अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए उन्हें शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन प्रायोगिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।{{sfn|Peterson|2001|p=12}}<ref name="wigner1960">{{cite journal |last=Wigner |first=Eugene |year=1960 |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |url=https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |volume=13 |issue=1 |pages=1–14 |doi=10.1002/cpa.3160130102 |bibcode=1960CPAM...13....1W |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |archive-date=February 28, 2011 |df=mdy-all }}</ref> एक उपयुक्त उदाहरण पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस जाता है, लेकिन जिसका RSA क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में उपयोग करने से पहले कोई प्रायोगिक अनुप्रयोग नहीं था।


ऐतिहासिक रूप से, प्रमाण की अवधारणा और उससे जुड़ी गणितीय कठिनाई सबसे पहले ग्रीक गणित में दिखाई दी, विशेष रूप से यूक्लिड के तत्वों में।<ref>{{Cite web|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|title=Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion|last=Wise|first=David|website=jwilson.coe.uga.edu|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20190601004355/http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|archive-date=June 1, 2019|access-date=2019-10-26}}</ref> इसकी शुरुआत के बाद से, गणित को अनिवार्य रूप से ज्यामिति, और अंकगणित (प्राकृतिक संख्याओं और अंशों का प्रकलन) में विभाजित किया गया, जब तक कि 16वीं और 17वीं शताब्दी तक, जब बीजगणित और अतिसूक्ष्म कलन को विषय के नए क्षेत्रों के रूप में प्रस्तावित किया गया। तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच पारस्परिक क्रिया ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है। उन्नीसवीं सदी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध पद्धति के व्यवस्थितकरण को जन्म दिया। इससे गणित के क्षेत्रों की संख्या और उनके अनुप्रयोगों के क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि हुई। इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जिसमें गणित के 60 से अधिक प्रथम-स्तर के क्षेत्रों की सूची है।
ऐतिहासिक रूप से, एक प्रमाण की अवधारणा और इससे जुड़ी गणितीय कठोरता पहली बार ग्रीक गणित में, विशेष रूप से यूक्लिड के तत्वों में दिखाई दी।<ref>{{Cite web|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|title=Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion|last=Wise|first=David|website=jwilson.coe.uga.edu|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20190601004355/http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|archive-date=June 1, 2019|access-date=2019-10-26}}</ref> इसकी शुरुआत के बाद से, गणित को अनिवार्य रूप से ज्यामिति, और अंकगणित (प्राकृतिक संख्याओं और अंशों का प्रकलन) में विभाजित किया गया, जब तक कि '''16वीं''' और '''17वीं''' शताब्दी तक, जब बीजगणित और अतिसूक्ष्म कलन को विषय के नए क्षेत्रों के रूप में प्रस्तावित किया गया। तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच पारस्परिक क्रिया ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है। उन्नीसवीं सदी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध पद्धति के व्यवस्थितकरण को जन्म दिया। इससे गणित के क्षेत्रों की संख्या और उनके अनुप्रयोगों के क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि हुई। इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जिसमें गणित के 60 से अधिक प्रथम-स्तर के क्षेत्रों की सूची है।
 
 
 
 
 
 
== शब्द व्युत्पत्ति ==
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{{TOC limit|3}}
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=== संख्या सिद्धांत ===
=== संख्या सिद्धांत ===
{{Main|संख्या सिद्धांत}}
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[[File:Spirale_Ulam_150.jpg|thumb|250x250px | यह उलम सर्पिल है, जो प्रमुख संख्याओं के वितरण को दर्शाता है।सर्पिल संकेत में अंधेरे विकर्ण रेखाएं प्राइम होने और एक द्विघात बहुपद का मूल्य होने के बीच अनुमानित स्वतंत्रता पर परिकल्पना की गई, एक अनुमान जिसे अब उलम सर्पिल#हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान के रूप में जाना जाता है। हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान एफ।]]
[[File:Spirale_Ulam_150.jpg|thumb|250x250px | यह उलम सर्पिल है, जो अभाज्य संख्याओं के वितरण को दर्शाता है। सर्पिल में गहरे रंग की विकर्ण रेखाएं अभाज्य होने और द्विघात बहुपद के मूल्य होने के बीच अनुमानित सन्निकट स्वतंत्रता पर संकेत देती हैं, अनुमान जिसे अब हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान एफ के रूप में जाना जाता है।]]
संख्या सिद्धांत संख्याओं के प्रकलन के साथ शुरू हुआ, अर्थात, प्राकृतिक संख्याएं <math>(\mathbb{N}),</math> और बाद में पूर्णांक <math>(\Z)</math> और परिमेय संख्या <math>(\Q).</math> तक विस्तारित हुईं। पहले संख्या सिद्धांत को अंकगणित कहा जाता था, लेकिन आजकल इस शब्द का प्रयोग संख्यात्मक गणना के लिए किया जाता है।
संख्या सिद्धांत संख्याओं के प्रकलन के साथ शुरू हुआ, अर्थात, प्राकृतिक संख्याएं <math>(\mathbb{N}),</math> और बाद में पूर्णांक <math>(\Z)</math> और परिमेय संख्या <math>(\Q).</math> तक विस्तारित हुईं। पहले संख्या सिद्धांत को अंकगणित कहा जाता था, लेकिन आजकल इस शब्द का प्रयोग संख्यात्मक गणना के लिए किया जाता है।


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*संकुल ज्यामिति, वास्तविक संख्याओं को सम्मिश्र संख्याओं से प्रतिस्थापित करके प्राप्त ज्यामिति
*संकुल ज्यामिति, वास्तविक संख्याओं को सम्मिश्र संख्याओं से प्रतिस्थापित करके प्राप्त ज्यामिति


{{Gallery|title=Examples of shapes encountered in geometry
{{Gallery|title=ज्यामिति में सामने आई आकृतियों के उदाहरण
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|File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|[[Pythagorean theorem]]
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=== बीजगणित ===
=== बीजगणित ===
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बीजगणित समीकरणों और सूत्रों में प्रकलन की कला है। डायोफैंटस (तीसरी शताब्दी) और अल-ख्वारिज्मी (9वीं शताब्दी) बीजगणित के दो प्रमुख अग्रदूत थे। पहले व्यक्ति ने कुछ समीकरणों को हल किया जिसमें अज्ञात प्राकृतिक संख्याएं शामिल थीं, जब तक कि वह समाधान प्राप्त नहीं कर लेता। दूसरे ने समीकरणों को बदलने के लिए व्यवस्थित तरीकों की शुरुआत की (जैसे कि एक समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करना)। बीजगणित शब्द अरबी शब्द अल-जबर से लिया गया है जिसका अर्थ है "टूटे हुए हिस्सों के लिए पुनर्मिलन" जिसका उपयोग उन्होंने अपने मुख्य ग्रंथ के शीर्षक में इन विधियों में से एक के नामकरण के लिए किया था।
बीजगणित समीकरणों और सूत्रों में प्रकलन की कला है। डायोफैंटस (तीसरी शताब्दी) और अल-ख्वारिज्मी (9वीं शताब्दी) बीजगणित के दो प्रमुख अग्रदूत थे। पहले व्यक्ति ने कुछ समीकरणों को हल किया जिसमें अज्ञात प्राकृतिक संख्याएं शामिल थीं, जब तक कि वह समाधान प्राप्त नहीं कर लेता। दूसरे ने समीकरणों को बदलने के लिए व्यवस्थित तरीकों की शुरुआत की (जैसे कि एक समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करना)। बीजगणित शब्द अरबी शब्द अल-जबर से लिया गया है जिसका अर्थ है "टूटे हुए हिस्सों के लिए पुनर्मिलन" जिसका उपयोग उन्होंने अपने मुख्य ग्रंथ के शीर्षक में इन विधियों में से एक के नामकरण के लिए किया था।


[[File:Quadratic formula.svg|thumb|द्विघात सूत्र, जो सभी द्विघात समीकरणों के समाधानों को व्यक्त करता है]]
[[File:Quadratic formula.svg|thumb|द्विघात सूत्र, जो सभी द्विघात समीकरणों के हल को संक्षेप में व्यक्त करता है]]
बीजगणित केवल फ्रांकोइस विएते (1540-1603) के साथ अपने आप में एक क्षेत्र बन गया, जिन्होंने अज्ञात या अनिर्दिष्ट संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षरों (चर) का उपयोग शुरू किया। यह गणितज्ञों को उन संक्रियाओं का वर्णन करने की अनुमति देता है जो गणितीय सूत्रों का उपयोग करके प्रदर्शित संख्याओं पर की जानी हैं।
बीजगणित केवल फ्रांकोइस विएते (1540-1603) के साथ अपने आप में एक क्षेत्र बन गया, जिन्होंने अज्ञात या अनिर्दिष्ट संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षरों (चर) का उपयोग शुरू किया। यह गणितज्ञों को उन संक्रियाओं का वर्णन करने की अनुमति देता है जो गणितीय सूत्रों का उपयोग करके प्रदर्शित संख्याओं पर की जानी हैं।


19वीं शताब्दी तक, बीजगणित में मुख्य रूप से रैखिक समीकरणों (वर्तमान में रैखिक बीजगणित), और एक अज्ञात में बहुपद समीकरणों का अध्ययन शामिल था, जिसे बीजीय समीकरण (एक शब्द जो अभी भी उपयोग में है, हालांकि यह अस्पष्ट हो सकता है) कहा जाता था। 19वीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने संख्याओं के अलावा अन्य चीजों का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर का उपयोग करना शुरू किया (जैसे कि आव्यूह, मापांकीय (मॉड्यूलर) पूर्णांक और ज्यामितीय परिवर्तन), जिस पर अंकगणितीय संचालन के सामान्यीकरण अक्सर मान्य होते हैं। बीजगणितीय संरचना की अवधारणा इसे संबोधित करती है, जिसमें एक सेट होता है, जिसके तत्व अनिर्दिष्ट होते हैं, सेट के तत्वों पर कार्य करने वाले संचालन, और नियम जिनका इन संचालनों का पालन करना चाहिए। इस परिवर्तन के कारण, बीजगणितीय संरचनाओं के अध्ययन को शामिल करने के लिए बीजगणित के क्षेत्र में वृद्धि हुई। बीजगणित की इस वस्तु को आधुनिक बीजगणित या अमूर्त बीजगणित कहा गया। (उत्तरार्द्ध शब्द मुख्य रूप से एक शैक्षिक संदर्भ में प्रकट होता है, प्राथमिक बीजगणित के विरोध में, जो सूत्रों में प्रकलन करने के पुराने तरीके से संबंधित है।)
19वीं शताब्दी तक, बीजगणित में मुख्य रूप से रैखिक समीकरणों (वर्तमान में रैखिक बीजगणित), और एक अज्ञात में बहुपद समीकरणों का अध्ययन शामिल था, जिसे बीजीय समीकरण (एक शब्द जो अभी भी उपयोग में है, हालांकि यह अस्पष्ट हो सकता है) कहा जाता था। 19वीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने संख्याओं के अलावा अन्य चीजों का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर का उपयोग करना शुरू किया (जैसे कि आव्यूह, मापांकीय (मॉड्यूलर) पूर्णांक और ज्यामितीय परिवर्तन), जिस पर अंकगणितीय संचालन के सामान्यीकरण अक्सर मान्य होते हैं। बीजगणितीय संरचना की अवधारणा इसे संबोधित करती है, जिसमें एक सेट होता है, जिसके तत्व अनिर्दिष्ट होते हैं, सेट के तत्वों पर कार्य करने वाले संचालन, और नियम जिनका इन संचालनों का पालन करना चाहिए। इस परिवर्तन के कारण, बीजगणितीय संरचनाओं के अध्ययन को शामिल करने के लिए बीजगणित के क्षेत्र में वृद्धि हुई। बीजगणित की इस वस्तु को आधुनिक बीजगणित या अमूर्त बीजगणित कहा गया। (उत्तरार्द्ध शब्द मुख्य रूप से एक शैक्षिक संदर्भ में प्रकट होता है, प्राथमिक बीजगणित के विरोध में, जो सूत्रों में प्रकलन करने के पुराने तरीके से संबंधित है।)


[[File:Rubik's cube.svg|thumb|रुबिक क्यूब: द स्टडी ऑफ इट्स टाइटल मूव्स ग्रुप थ्योरी का एक ठोस अनुप्रयोग है]]
[[File:Rubik's cube.svg|thumb|रूबिक का घन: इसकी संभावित चालों का अध्ययन समूह सिद्धांत का एक मूर्त अनुप्रयोग है]]
गणित के कई क्षेत्रों में कुछ प्रकार की बीजीय संरचनाओं में उपयोगी और अक्सर मूलभूत गुण होते हैं। उनका अध्ययन बीजगणित के स्वायत्त हिस्से बन गए, और इसमें शामिल हैं:
गणित के कई क्षेत्रों में कुछ प्रकार की बीजीय संरचनाओं में उपयोगी और अक्सर मूलभूत गुण होते हैं। उनका अध्ययन बीजगणित के स्वायत्त हिस्से बन गए, और इसमें शामिल हैं:
*समूह सिद्धांत;
*समूह सिद्धांत;
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|File:Two red dice 01.svg | Game theory<br>Discrete probabilities
|File:Two red dice 01.svg | Game theory<br>Discrete probabilities
}} -->
}} -->


=== गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत ===
=== गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत ===
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इन समस्याओं और बहसों ने गणितीय तर्क का व्यापक विस्तार किया, जैसे मॉडल सिद्धांत (अन्य सिद्धांतों के अंदर कुछ तार्किक सिद्धांतों का मॉडलिंग), सबूत सिद्धांत, प्रकार सिद्धांत, संगणना सिद्धांत और अभिकलनात्मक जटिलता सिद्धांत जैसे उपक्षेत्रों के साथ। हालांकि गणितीय तर्क के इन पहलुओं को कंप्यूटर के उदय से पहले प्रस्तावित किया गया था, लेकिन संकलक डिजाइन, प्रोग्राम प्रमाणन, प्रूफ सहायक और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य पहलुओं में उनके उपयोग ने इन तार्किक सिद्धांतों के विस्तार में योगदान दिया।<ref>{{cite web |last1=Halpern |first1=Joseph |last2=Harper |first2=Robert |last3=Immerman |first3=Neil |last4=Kolaitis |first4=Phokion |last5=Vardi |first5=Moshe |last6=Vianu |first6=Victor |title=On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science |url=https://www.cs.cmu.edu/~rwh/papers/unreasonable/basl.pdf |access-date=15 January 2021 |date=2001}}</ref>
इन समस्याओं और बहसों ने गणितीय तर्क का व्यापक विस्तार किया, जैसे मॉडल सिद्धांत (अन्य सिद्धांतों के अंदर कुछ तार्किक सिद्धांतों का मॉडलिंग), सबूत सिद्धांत, प्रकार सिद्धांत, संगणना सिद्धांत और अभिकलनात्मक जटिलता सिद्धांत जैसे उपक्षेत्रों के साथ। हालांकि गणितीय तर्क के इन पहलुओं को कंप्यूटर के उदय से पहले प्रस्तावित किया गया था, लेकिन संकलक डिजाइन, प्रोग्राम प्रमाणन, प्रूफ सहायक और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य पहलुओं में उनके उपयोग ने इन तार्किक सिद्धांतों के विस्तार में योगदान दिया।<ref>{{cite web |last1=Halpern |first1=Joseph |last2=Harper |first2=Robert |last3=Immerman |first3=Neil |last4=Kolaitis |first4=Phokion |last5=Vardi |first5=Moshe |last6=Vianu |first6=Victor |title=On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science |url=https://www.cs.cmu.edu/~rwh/papers/unreasonable/basl.pdf |access-date=15 January 2021 |date=2001}}</ref>
=== अनुप्रयुक्त गणित ===
=== अनुप्रयुक्त गणित ===
{{Main|अनुप्रयुक्त गणित}}{{Expand section|गणित के उचित और अन्य विज्ञानों के बीच संबंध (पूरे प्रथम-स्तर के खंड के लिए पर्याप्त)|date=जून 2022}}
{{Main|अनुप्रयुक्त गणित}}अनुप्रयुक्त गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, व्यवसाय और उद्योग में उपयोग किए जाने वाले गणितीय तरीकों का अध्ययन है। इस प्रकार, "अनुप्रयुक्त गणित" विशिष्ट ज्ञान वाला गणितीय विज्ञान है। अनुप्रयुक्त गणित शब्द उस प्रस्तावितेवर विशेषता का भी वर्णन करता है जिसमें गणितज्ञ व्यावहारिक समस्याओं पर कार्य करते हैं; व्यावहारिक समस्याओं पर केंद्रित एक प्रस्ताविते के रूप में, अनुप्रयुक्त गणित "गणितीय मॉडल के निर्माण, अध्ययन और उपयोग" पर केंद्रित है।{{Cn|date=May 2022}}
अनुप्रयुक्त गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, व्यवसाय और उद्योग में उपयोग किए जाने वाले गणितीय तरीकों का अध्ययन है। इस प्रकार, "अनुप्रयुक्त गणित" विशिष्ट ज्ञान वाला गणितीय विज्ञान है। अनुप्रयुक्त गणित शब्द उस प्रस्तावितेवर विशेषता का भी वर्णन करता है जिसमें गणितज्ञ व्यावहारिक समस्याओं पर कार्य करते हैं; व्यावहारिक समस्याओं पर केंद्रित एक प्रस्ताविते के रूप में, अनुप्रयुक्त गणित "गणितीय मॉडल के निर्माण, अध्ययन और उपयोग" पर केंद्रित है।{{Cn|date=May 2022}}


अतीत में, प्रायोगिक अनुप्रयोगों ने गणितीय सिद्धांतों के विकास को प्रेरित किया है, जो तब शुद्ध गणित में अध्ययन का विषय बन गया, जहां गणित को मुख्य रूप से अपने लिए विकसित किया गया है। इस प्रकार, अनुप्रयुक्त गणित की गतिविधि विशुद्ध रूप से शुद्ध गणित में अनुसंधान के साथ जुड़ी हुई है।{{Example needed|s|date=June 2022}}
अतीत में, प्रायोगिक अनुप्रयोगों ने गणितीय सिद्धांतों के विकास को प्रेरित किया है, जो तब शुद्ध गणित में अध्ययन का विषय बन गया, जहां गणित को मुख्य रूप से अपने लिए विकसित किया गया है। इस प्रकार, अनुप्रयुक्त गणित की गतिविधि विशुद्ध रूप से शुद्ध गणित में अनुसंधान के साथ जुड़ी हुई है।{{Example needed|s|date=June 2022}}
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==== प्राचीन ====
==== प्राचीन ====
गणित का इतिहास अमूर्तन की एक निरंतर बढ़ती श्रृंखला है। विकास की दृष्टि से, अब तक खोजा जाने वाला पहला अमूर्तन, कई जानवरों द्वारा साझा किया गया,<ref>{{cite journal |title=Abstract representations of numbers in the animal and human brain |journal=Trends in Neurosciences |volume=21 |issue=8 |date=Aug 1998 |pages=355–61 |doi=10.1016/S0166-2236(98)01263-6 |pmid=9720604 |last1=Dehaene |first1=Stanislas |last2=Dehaene-Lambertz |first2=Ghislaine |last3=Cohen |first3=Laurent|s2cid=17414557 }}</ref> शायद संख्याओं का था: यह अहसास कि, उदाहरण के लिए, दो सेबों का एक संग्रह और दो संतरे का संग्रह (जैसे) में कुछ है सामान्य, अर्थात् उनमें से दो हैं। जैसा कि हड्डी पर पाए जाने वाले टांगों से प्रमाणित होता है, भौतिक वस्तुओं की गणना करने के तरीके को पहचानने के अलावा, प्रागैतिहासिक लोगों को यह भी पता हो सकता है कि समय-दिन, मौसम या वर्षों जैसी अमूर्त मात्राओं की गणना कैसे की जाती है।<ref>See, for example, [[Raymond L. Wilder]], ''Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study'', ''passim''</ref><ref>{{Cite book|last=Zaslavsky, Claudia.|url=http://worldcat.org/oclc/843204342|title=Africa Counts : Number and Pattern in African Culture.|date=1999|publisher=Chicago Review Press|isbn=978-1-61374-115-3|oclc=843204342|access-date=May 29, 2020|archive-date=March 31, 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210331144030/https://www.worldcat.org/title/africa-counts-number-and-pattern-in-african-culture/oclc/843204342|url-status=live}}</ref>
गणित का इतिहास अमूर्तन की एक निरंतर बढ़ती श्रृंखला है। विकास की दृष्टि से, अब तक खोजा जाने वाला पहला अमूर्तन, कई जानवरों द्वारा साझा किया गया,<ref>{{cite journal |title=Abstract representations of numbers in the animal and human brain |journal=Trends in Neurosciences |volume=21 |issue=8 |date=Aug 1998 |pages=355–61 |doi=10.1016/S0166-2236(98)01263-6 |pmid=9720604 |last1=Dehaene |first1=Stanislas |last2=Dehaene-Lambertz |first2=Ghislaine |last3=Cohen |first3=Laurent|s2cid=17414557 }}</ref> शायद संख्याओं का था: यह अहसास कि, उदाहरण के लिए, दो सेबों का एक संग्रह और दो संतरे का संग्रह (जैसे) में कुछ है सामान्य, अर्थात् उनमें से दो हैं। जैसा कि हड्डी पर पाए जाने वाले टांगों से प्रमाणित होता है, भौतिक वस्तुओं की गणना करने के तरीके को पहचानने के अलावा, प्रागैतिहासिक लोगों को यह भी पता हो सकता है कि समय-दिन, मौसम या वर्षों जैसी अमूर्त मात्राओं की गणना कैसे की जाती है।<ref>See, for example, [[Raymond L. Wilder]], ''Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study'', ''passim''</ref><ref>{{Cite book|last=Zaslavsky, Claudia.|url=http://worldcat.org/oclc/843204342|title=Africa Counts : Number and Pattern in African Culture.|date=1999|publisher=Chicago Review Press|isbn=978-1-61374-115-3|oclc=843204342|access-date=May 29, 2020|archive-date=March 31, 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210331144030/https://www.worldcat.org/title/africa-counts-number-and-pattern-in-african-culture/oclc/843204342|url-status=live}}</ref>
[[File:Plimpton 322.jpg|thumb|बेबीलोनि